EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Handboek · hoofdstuk 11Trillingen en resonantie

Van veer en slinger tot windturbine: waarom dingen trillen, hoe hard, en hoe je ze stilhoudt

Alles wat een massa en een veer heeft, trilt: een auto, een brug, een mast, een wijnglas. Zolang je ernaast blijft duwen, is dat onschuldig. Duw je in het ritme van zijn eigenfrequentie, dan groeit de beweging tot alleen de demping ze nog tegenhoudt: resonantie. In dit hoofdstuk leid je de harmonische trilling af, meet je eigenfrequentie en demping, simuleer je een rotor die door een resonantie versnelt, en leer je machines zo op te stellen dat hun trillingen de vloer niet bereiken. Voor Habitat leg je de windturbine van het station vast en zorg je dat ze het station niet laat meetrillen.

6× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code16 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren LElektriciteit en elektronica

De windturbine van het station staat op een eigen mast, vijftien meter van de woonmodule. In dit hoofdstuk ontdek je waarom.

Na dit hoofdstuk

Je kan de bewegingsvergelijking van een massa-veersysteem opstellen, oplossen en de eigenfrequentie berekenen, ook uit een statische inzakking of een trekproef.
Je kan de slinger (klein en groot, fysisch) beschrijven en uitleggen waarom elk stabiel evenwicht voor kleine uitwijkingen harmonisch trilt.
Je kan demping beschrijven met de dempingsverhouding ζ, het logaritmisch decrement en de kwaliteitsfactor Q, en ze uit een meting halen, ook met Python.
Je kan de gedwongen trilling analyseren (amplitude, fase, drie gebieden, opbouwtijd) en resonantie herkennen en vermijden.
Je kan een Campbell-diagram opstellen en lezen voor een draaiende machine (1P, 3P) en er ontwerpregels uit afleiden.
Je kan trillingsisolatie ontwerpen met de transmissibiliteit (r > √2, fₙ ≤ f/3) en dempers kiezen uit een catalogus.

Verhaal · 11.1

Tacoma Narrows en de Millennium Bridge

1/18

Op 1 juli 1940 ging in de Amerikaanse staat Washington de Tacoma Narrows Bridge open, een hangbrug met een hoofdoverspanning van 853 m. Het dek was slank: twaalf meter breed, gedragen door liggers van amper 2,4 m hoog. Al tijdens de bouw golfde het dek op en neer bij wind; de brug kreeg de bijnaam Galloping Gertie. Op 7 november 1940, bij een wind van ongeveer 64 km/h, sloeg de beweging om: het dek begon te torderen, de twee helften van de overspanning draaiden in tegengestelde zin, ongeveer twaalf keer per minuut (0,2 Hz), tot hellingen van tientallen graden. Rond 11 uur scheurde het dek los en stortte in het water. Er vielen geen mensen, wel een hond die in een achtergelaten auto zat. Het filmpje ervan is een van de bekendste beelden uit de techniek.

Vaak lees je dat de wind 'in resonantie' met de brug was. Dat klopt niet: bij 64 km/h lieten de wervels achter het dek los met een frequentie rond 1 Hz, niet 0,2 Hz. Wat gebeurde, heet aero-elastisch fladderen: de torsie van het dek veranderde de luchtkrachten zo, dat de lucht bij elke trilling meer energie toevoegde dan de demping afvoerde. Dat is een negatieve demping. Resonantie groeit tot een grens die de demping legt; zelfexcitatie groeit zonder grens (figuur). Sindsdien test men elk slank brugdek in een windtunnel. De nieuwe brug, met een stijf vakwerkdek, ging open in 1950.

Zestig jaar later, op 10 juni 2000, opende in Londen de Millennium Bridge, een voetgangersbrug van 325 m over de Theems. Die dag stapten er ongeveer 90 000 mensen over, tot 2000 tegelijk. De brug begon zijwaarts te slingeren, tot 70 mm, met frequenties tussen 0,5 en 1,1 Hz. Twee dagen later ging ze dicht. De oorzaak: wie over een zijwaarts bewegende vloer loopt, zet zijn voeten breder en in het ritme van de beweging. Omdat een mens bij elke stap zijwaarts duwt, met de helft van de stapfrequentie (rond 1 Hz), duwden honderden voetgangers de brug samen verder: weer een negatieve demping, nu door mensen. De ingenieurs (Arup) verhoogden de demping van ongeveer 0,5 % tot een orde van 20 %, met 37 viskeuze dempers en 52 gestemde massadempers. De brug heropende op 22 februari 2002 en trilt sindsdien niet meer merkbaar.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het station krijgt een windturbine: een rotor die tot vijf keer per seconde ronddraait bovenop een slanke stalen mast. Wie niet weet bij welke toerentallen de mast meetrilt, krijgt een turbine die zichzelf kapotschudt, of een woonmodule die 's nachts bromt. Dit hoofdstuk levert de getallen: eigenfrequentie, demping, de gevaarlijke toerentallen en de isolatie.

Boven: een kracht in het ritme van de eigenfrequentie laat de amplitude groeien tot 1/(2ζ) keer de statische uitwijking. Onder: bij negatieve demping groeit ze exponentieel, zonder grens.

De Millennium Bridge in Londen: zo slank dat voetgangers haar lieten slingeren. Sinds 2002 houden tientallen dempers onder het dek haar stil.

Uitleg · 11.2

De harmonische trilling: massa en veer

2/18

wat je al kan	wat nu komt
de wet van Hooke $F = k Δ x$ (hoofdstuk 11 van F)	een veer met een massa: de harmonische trilling
$F = ma$ en de vrijlichaamsdiagrammen (hoofdstuk 8 van I)	de bewegingsvergelijking $m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = F (t)$
differentiaalvergelijkingen met Euler en Heun (hoofdstuk 4)	trillingen simuleren, ook waar geen formule bestaat
een sinus als projectie van een draaiende wijzer, fasoren, de karakteristieke vergelijking (hoofdstuk 7 en 8)	eigenfrequentie, demping en resonantie in één beeld
traagheidsmoment en de fysische slinger (hoofdstuk 10)	de slinger, groot en klein; onbalans van draaiende machines

Hang een massa $m$ aan een veer met veerconstante $k$ . In evenwicht is de veer $δ = m g / k$ uitgerekt. Meet de uitwijking $x$ vanaf dat evenwicht (naar onder positief). Dan geeft de veer $k (δ + x)$ omhoog, de zwaartekracht $m g$ omlaag, en de tweede wet van Newton wordt

m \overset{x}{¨} = m g - k (δ + x) = - k x .

De zwaartekracht valt weg: ze verschuift alleen het evenwicht. Welke functie is, op een factor $k / m$ na, min haar eigen tweede afgeleide? Een sinus of een cosinus (hoofdstuk 1). Of met de methode van hoofdstuk 7: proberen met $x = e^{s t}$ geeft $m s^{2} + k = 0$ , dus $s = \pm j ω_{0}$ , en het reële deel is een cosinus:

harmonische trilling van een massa aan een veer

x (t) = A cos (ω_{0} t + φ) ω_{0} = \frac{k}{m} f_{0} = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m} T = 2 π \frac{m}{k}

A

φ

volgen uit de beginvoorwaarden (

x_{0}

v_{0}

); de frequentie niet. Een zwaardere massa trilt trager, een stijvere veer sneller. De periode hangt niet af van de amplitude.

Energie. Vermenigvuldig $m \overset{x}{¨} + k x = 0$ met $\overset{x}{˙}$ : dat is de afgeleide van $\frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ . Die som blijft dus constant: $E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v_{max}^{2}$ , met $v_{max} = A ω_{0}$ en $a_{max} = A ω_{0}^{2}$ . De energie pendelt tussen veer en massa.

Een handige vuistregel. Omdat $k / m = g / δ$ , is $ω_{0} = g / δ$ : wie weet hoever een voorwerp inzakt op zijn veren, kent zijn eigenfrequentie. Met $δ$ in millimeter:

f_{0} = \frac{1}{2 π} \frac{9810}{δ} \approx \frac{15 , 8}{δ [ mm ]} Hz .

Rubberen voeten die 2 mm inzakken: ±11 Hz. Een auto die 20 cm op zijn veren zakt: ±1,1 Hz. Dat geldt alleen als de zwaartekracht in de richting van de trilling werkt; voor een mast die zijwaarts trilt, meet je $k$ anders (volgend blad).

In evenwicht houdt de veer het gewicht in balans; wie de massa x verder trekt, voelt een terugroepende kracht −kx. Het gewicht verschuift alleen het nulpunt.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.3

Habitat: de mast als massa aan een veer

3/18

De windturbine van het station (rotor Ø 4,0 m, 3,0 kW) staat op een vrijstaande stalen buis van 12,0 m, 244,5 × 5,0 mm (hoofdstuk 12 kiest die buis). Gondel en rotor wegen samen 150 kg, de mast zelf 354 kg. Bij een trekproef hangt men 500 N horizontaal aan de mastkop: die schuift 50,8 mm opzij. Bereken de eigenfrequentie van de mast met gondel.

Links de mast die onder 500 N opzij buigt (overdreven getekend); rechts het massa-veersysteem met dezelfde stijfheid en dezelfde eigenfrequentie.

Gegeven

$F = 500 N$ , $δ = 50, 8 mm$
$m_{gondel} = 150 kg$ , $m_{mast} = 354 kg$

Gevraagd

$k$ , de meebewegende massa, $f_{1}$

Oplossing

1
Veerconstante van de mastkop: $k = F / δ = 500/0, 05082 = 9839 N/m$ . (Hoofdstuk 12 leidt af dat een ingeklemde staaf onder een kracht aan de top $δ = F L^{3} / (3 E I)$ opzij gaat; met $E I = 5, 67 MN m^{2}$ geeft $3 E I / L^{3}$ hetzelfde getal.)
2
Welke massa trilt mee? De gondel volledig; van de mast alleen een deel, want de voet staat stil. Met de vervormde vorm van de mast als benadering (methode van Rayleigh: de kinetische energie van elk stukje mast optellen) vind je $\frac{33}{140} = 0, 236$ van de mastmassa: $m_{eff} = 150 + 0, 236 \cdot 354 = 233, 5 kg$ .
3
$f_{1} = \frac{1}{2 π} \frac{9839}{233 , 5} = 1, 033 Hz$ , een periode van 0,97 s.

Antwoord

De mast met gondel trilt met ongeveer 1,03 Hz: één keer per seconde heen en weer.

Klopt dit? Een balkmodel met 80 stukjes (het idee van hoofdstuk 13) geeft 1,030 Hz: de benadering met één massa en één veer zit er 0,3 % naast. Zonder de meebewegende mastmassa (alleen de gondel) zou je 1,29 Hz vinden: 25 % te hoog. De trekproef is een echte techniek: ze meet de stijfheid van mast, flens en fundering samen, ook wat een berekening vergeet (een fundering die een beetje kantelt maakt

k

kleiner).

Uitleg · 11.4

De slinger, en waarom elk evenwicht trilt

4/18

Een puntmassa $m$ aan een touw van lengte $L$ maakt een hoek $θ$ met de verticaal. Langs de cirkelboog werkt de component $- m g sin θ$ van de zwaartekracht, en de versnelling langs de boog is $L \ddot{θ}$ :

m L \ddot{θ} = - m g sin θ ⟹ \ddot{θ} = - \frac{g}{L} sin θ \approx - \frac{g}{L} θ .

Voor kleine hoeken ( $sin θ \approx θ$ in radialen) is dat de vergelijking van de massa aan de veer, met $ω_{0}^{2} = g / L$ :

slinger (kleine uitwijking) en fysische slinger

T_{0} = 2 π \frac{L}{g} T_{fysisch} = 2 π \frac{I _{O}}{m g d}

De massa valt weg: een zware en een lichte slinger zijn even snel. Een star voorwerp dat om een as

O

slingert (traagheidsmoment

I_{O}

, zwaartepunt op afstand

d

, hoofdstuk 10) volgt uit

I_{O} \ddot{θ} = - m g d sin θ

. Een meetlat van 1 m om een uiteinde:

I_{O} = \frac{1}{3} m L^{2}

d = L /2

T = 2 π 2 L / (3 g)

Grote uitwijkingen. Dan is $sin θ$ kleiner dan $θ$ , de terugroepende kracht zwakker en de periode langer. Er is geen formule met elementaire functies; numeriek (of met een elliptische integraal) vind je de figuur. Tot 23° wijkt de periode minder dan 1 % af, en de reeks $T \approx T_{0} (1 + θ_{0}^{2} /16)$ doet het goed tot ongeveer 60°. Een slingeruurwerk houdt zijn uitwijking daarom klein en constant.

Elk stabiel evenwicht is een veer. Stel dat een voorwerp potentiële energie $U (x)$ heeft met een minimum in $x_{0}$ . Dicht erbij is volgens Taylor $U (x) \approx U (x_{0}) + \frac{1}{2} U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$ : een parabool, precies de energie $\frac{1}{2} k x^{2}$ van een veer met $k = U^{''} (x_{0})$ . Voor de slinger is $U = m g L (1 - cos θ)$ en $U^{''} = m g L$ . Daarom trillen zoveel dingen harmonisch: een mast, een brugdek, een atoom in een kristal, een schip dat slingert. Alleen bij grote uitwijkingen merk je de rest van de kromme.

Een zwaardere slinger slingert trager

Bij een slinger trekt de zwaartekracht harder aan een zwaardere massa, maar die is ook even veel moeilijker te versnellen: $m$ valt weg. Bij een massa aan een veer is dat niet zo: de veerkracht hangt niet af van de massa, en een zwaardere massa trilt wel trager.

Hoe groter de uitwijking, hoe langer de periode; bij 90° is ze 18 % langer. De benadering 1 + θ₀²/16 houdt tot ongeveer 60° stand.

Proef · 11.5

Twee keer dezelfde veer: statisch en dynamisch

5/18

Onderzoeksvraag

Geeft de trillingstijd dezelfde veerconstante als het uitrekken? En welke rol speelt de massa van de veer zelf?

Materiaal

een schroefveer (±20 N/m) aan een statief
massa's van 50 tot 250 g
meetlat
stopwatch of een smartphone met een versnellingsmeter-app

T² stijgt lineair met de massa; de helling geeft de veerconstante, het snijpunt de meebewegende massa van de veer.

Werkwijze

1Hang telkens een massa aan de veer en meet de verlenging in rust tegenover de veer zonder massa.
2Trek de massa 2 à 3 cm naar beneden, laat los en meet de tijd voor 10 trillingen (start bij een doorgang door het evenwicht, niet bij een top).
3Zet T² uit tegen m en de verlenging tegen de kracht mg; bepaal telkens een helling.
4Bereken k uit beide hellingen en vergelijk.

Waarneming

Een voorbeeldmeting:

$m$ (kg)	tijd voor 10 trillingen (s)	$T$ (s)	$T^{2}$ (s²)	verlenging in rust (mm)
0,050	3,53	0,353	0,1246	25
0,100	4,69	0,469	0,2200	50
0,150	5,52	0,552	0,3047	74
0,200	6,47	0,647	0,4186	98
0,250	7,19	0,719	0,5170	123

$T^{2}$ ligt op een rechte met helling 1,967 s²/kg en snijpunt 0,0220 s². De verlenging tegenover $m g$ geeft een helling van 49,7 mm/N.

Verklaring

Uit $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{k} (m + m_{v} /3)$ volgt $k = 4 π^{2} / helling = 20, 1 N/m$ . Uit het uitrekken: $k = 1/0, 04975 = 20, 1 N/m$ . Beide methoden geven dezelfde veer, binnen enkele procenten.

Waarom gaat de rechte niet door de oorsprong? Ook de veer zelf beweegt mee: de onderste winding beweegt met de massa, het bovenste staat stil. Net als bij de mast (vorig voorbeeld) telt een deel van haar massa mee; voor een uniforme veer is dat een derde. Het snijpunt geeft $m_{v} /3 = 11 g$ , dus een veer van ongeveer 34 g. Weeg de veer en controleer. Meet je tien trillingen in plaats van één, dan deelt je reactietijd door tien.

Uitleg · 11.6

Demping

6/18

Een echte trilling sterft uit: wrijving in het materiaal, in verbindingen, in de lucht. Het eenvoudigste model is een viskeuze demper, een kracht $- c \overset{x}{˙}$ tegen de snelheid in (een schokbreker, olie die door een gaatje moet). Met $x = e^{s t}$ wordt de bewegingsvergelijking de karakteristieke vergelijking van hoofdstuk 7:

m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = 0 \Rightarrow m s^{2} + cs + k = 0 \Rightarrow s = - ζ ω_{0} \pm ω_{0} ζ^{2} - 1, ζ = \frac{c}{2 k m} .

De dempingsverhouding $ζ$ beslist alles. Is $ζ < 1$ , dan is de wortel imaginair en is $x = A e^{- ζ ω_{0} t} cos (ω_{d} t + φ)$ met $ω_{d} = ω_{0} 1 - ζ^{2}$ : een uitdovende trilling (ondergedempt). Bij $ζ = 1$ keert het systeem het snelst terug zonder door te schieten (kritisch); bij $ζ > 1$ kruipt het traag terug (overgedempt). Deurdrangers en meetinstrumenten zitten dicht bij kritisch, constructies ver eronder.

logaritmisch decrement en kwaliteitsfactor

δ = ln \frac{x _{n}}{x _{n + 1}} = \frac{2 π ζ}{1 - ζ ^{2}} \approx 2 π ζ Q = \frac{1}{2 ζ}

Twee opeenvolgende toppen liggen één periode uit elkaar, en de omhullende daalt met

e^{- ζ ω_{0} t}

: hun verhouding is

e^{ζ ω_{0} T_{d}}

. Zo meet je

ζ

uit een uitdovende trilling. Per periode verdwijnt ongeveer een deel

4 π ζ

van de energie.

systeem (orde van grootte)	$ζ$	$Q = 1/ (2 ζ)$
wijnglas (voorbeeld verderop)	±0,000 7	±700
gelaste stalen schoorsteen of buis	±0,002	±250
mast met gondel en boutflens, rotor stil (rekenwaarde Habitat)	0,005	100
brug of gebouw	0,005 à 0,05	100 à 10
dezelfde mast met draaiende rotor (aerodynamisch)	0,037	13
rubberen demperblok	±0,05	±10
ophanging van een auto	0,2 à 0,4	2,5 à 1,3

Een draaiende rotor dempt. De stuwkracht van een rotor is $\frac{1}{2} ρ A C_{T} v^{2}$ , met $v$ de wind die de rotor voelt. Beweegt de mastkop met snelheid $\overset{x}{˙}$ mee met de wind, dan voelt de rotor $v - \overset{x}{˙}$ , en de stuwkracht daalt met $ρ A C_{T} v \overset{x}{˙}$ : een demper met $c = ρ A C_{T} v$ . Bij 8 m/s en $C_{T} = 0, 8$ is dat voor de Habitat-turbine 99 N·s/m, of $ζ = 0, 032$ : meer dan zes keer de demping van het staal. Een stilstaande rotor mist die demping: de ergste toestand voor de mast is dus een storm met de rotor stil.

Ondergedempt: een trilling binnen een exponentiële omhullende (stippellijnen). Kritisch: de snelste terugkeer zonder doorschieten. Overgedempt: traag terugkruipen.

Code · 11.7

Een uitslingerproef van de mast analyseren

7/18

Na de trekproef van 500 N laat men de mastkop los. Een laserafstandsmeter op een paal ernaast meet de uitwijking 20 keer per seconde, 40 s lang (rotor stil). Het bestand mast_uitslinger.csv begint zo:

t_s,x_mm
0.00,51.07
0.05,48.28
0.10,40.75
0.15,28.85
0.20,14.14

Het programma zoekt de toppen, haalt de periode uit hun afstand en de demping uit de helling van $ln (top)$ tegenover het nummer van de top: volgens het vorige blad is dat een rechte met helling $- δ$ .

Pythonuitslinger.py21 regelsDownload

# uitslinger.py - eigenfrequentie en demping van de mast uit een uitslingerproefimport mathimport numpy as np with open("mast_uitslinger.csv") as f:    next(f)                                                   # kopregel overslaan    data = np.array([[float(v) for v in regel.split(",")] for regel in f])t, x = data[:, 0], data[:, 1]                                 # tijd (s), uitwijking mastkop (mm) # toppen: een meting die de grootste is van haar omgeving (4 metingen links en rechts)toppen = [i for i in range(4, len(x) - 4) if x[i] == x[i - 4:i + 5].max() and x[i] > 0]tt, xt = t[toppen], x[toppen] T = (tt[-1] - tt[0]) / (len(tt) - 1)                          # gemiddelde periodehelling, _ = np.polyfit(np.arange(len(xt)), np.log(xt), 1)    # ln(top) daalt lineair per periodedelta = -helling                                              # logaritmisch decrementzeta = delta / math.sqrt(4 * math.pi**2 + delta**2) print(f"{len(tt)} toppen, periode {T:.3f} s, eigenfrequentie {1 / T:.3f} Hz")print(f"logaritmisch decrement {delta:.4f}, demping zeta = {100 * zeta:.2f} %, Q = {1 / (2 * zeta):.0f}")print(f"de amplitude halveert na {math.log(2) / delta:.0f} perioden ({math.log(2) / delta * T:.0f} s)")

De mastkop na het loslaten: 50,8 mm, uitdovend met ζ ≈ 0,5 %. Na 40 s is de amplitude nog ongeveer een kwart.

Uitvoer:

41 toppen, periode 0.969 s, eigenfrequentie 1.032 Hz
logaritmisch decrement 0.0315, demping zeta = 0.50 %, Q = 100
de amplitude halveert na 22 perioden (21 s)

De eigenfrequentie klopt met de trekproef en het balkmodel ( $1, 033 Hz$ ). De demping van ongeveer 0,5 % is klein: een kwaliteitsfactor van ongeveer 100. Wie de mast één keer een duw geeft, ziet haar een halve minuut nadeinen. Waarom een rechte fitten en niet gewoon twee toppen delen? De ruis van 0,2 mm weegt bij de kleine toppen aan het eind zwaar; de fit gebruikt alle toppen tegelijk. Het brein van het station herhaalt deze proef elk jaar: daalt $f_{1}$ , dan is er iets losgekomen (flens, fundering), stijgt $ζ$ sterk, dan wrijft er iets.

Uitleg · 11.8

Gedwongen trilling en resonantie

8/18

Duw met een sinusoïdale kracht $F_{0} cos ω t$ . De oplossing bestaat uit twee delen: de vrije trilling van het vorige blad, die uitsterft met tijdconstante $τ = 1/ (ζ ω_{0})$ , en een trilling met de frequentie van de kracht, die blijft. Die tweede vind je met een fasor (hoofdstuk 7): $\overset{x}{˙} \to j ω X$ , $\overset{x}{¨} \to - ω^{2} X$ :

gedwongen trilling: amplitude en faseachterstand

\frac{X}{F _{0} / k} = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} tan φ = \frac{2 ζ r}{1 - r ^{2}} r = \frac{ω}{ω _{0}}

F_{0} / k

is de uitwijking bij een trage, even grote kracht. Bij

r = 1

is de amplitude

Q = 1/ (2 ζ)

keer die statische uitwijking en loopt de beweging 90° achter op de kracht: de kracht duwt dan precies met de snelheid mee en levert maximaal vermogen.

Drie gebieden, drie verschillende oplossingen:

gebied	amplitude	fase	wat helpt
$r ≪ 1$ (traag duwen)	$X \approx F_{0} / k$	mee met de kracht	een stijvere veer
$r \approx 1$ (resonantie)	$X = F_{0} / (c ω_{0})$	90° achter	demping
$r ≫ 1$ (snel duwen)	$X \approx F_{0} / (m ω^{2})$	tegengesteld	meer massa

Wie een resonantie wil bestrijden met een stijvere veer of meer massa, verschuift de eigenfrequentie; alleen demping verlaagt de piek zelf.

Opbouwen kost tijd. Start een systeem in rust met een kracht precies op zijn eigenfrequentie, dan groeit de amplitude als $X_{res} (1 - e^{- t / τ})$ (verhaalblad). Een systeem met weinig demping heeft een grote piek, maar ook een lange opbouwtijd. Daar leeft de windturbine van: een rotor die snel door een kritisch toerental gaat, geeft de mast geen tijd om op te bouwen.

Van wijnglas tot brug. Een glas zingt na een tik op 500 Hz en na 2,0 s is de toon gezakt tot 1 % van zijn amplitude (voorbeeldmeting). Dan is $ζ ω_{0} t = ln 100$ , dus $ζ = \frac{ln 100}{2 π \cdot 500 \cdot 2 , 0} = 7, 3 \cdot 1 0^{- 4}$ en $Q \approx 682$ . Een luidspreker die precies die toon speelt, laat het glas honderden keren verder uitwijken dan dezelfde geluidsdruk bij een andere toon; bij een luide toon breekt het. Een brug heeft een $Q$ van tien tot honderd, maar een massa van honderden tonnen: haar vijand is niet één duw maar een ritme dat blijft duren, zoals stappende voetgangers.

Hoe meer demping, hoe beter

Bij resonantie klopt dat. Maar een zware demper maakt een systeem ook traag en geeft bij hoge frequenties méér kracht door naar de steun (verderop, bij de isolatie). Ontwerpers kiezen de demping voor een doel: een meetinstrument rond $ζ = 0, 7$ , een autoveer rond 0,3, een trillingsisolator laag.

Boven: de amplitude piekt bij r = 1 tot 1/(2ζ); ver erboven daalt ze onder de statische uitwijking. Onder: de beweging loopt achter op de kracht, 90° bij resonantie, bijna 180° ver erboven.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.9

Onbalans: de rotor als trilbron

9/18

Geen rotor is perfect gebalanceerd. Het zwaartepunt van de rotor van de Habitat-turbine ligt een klein beetje naast de as; de onbalans is $U = m_{u} e = 0, 05 kg m$ (rekenwaarde: bijvoorbeeld 25 g te veel op 2 m van de as). Bereken de kracht op de mastkop en de uitwijking bij 300 tpm, en bij het toerental waarop de kracht de eigenfrequentie van de mast raakt, als de rotor daar lang zou blijven draaien.

Bij onbalans groeit de kracht met ω²: ver boven de resonantie wordt de uitwijking constant, U/m, wat het toerental ook is.

Gegeven

$U = 0, 05 kg m$ , $k = 9839 N/m$ , $m_{eff} = 233, 5 kg$ , $f_{1} = 1, 033 Hz$ , $ζ = 0, 005$ (rotor stil of langzaam)

Gevraagd

$F$ en $X$ bij 300 tpm; $X$ bij resonantie

Oplossing

1
Een massa $m_{u}$ op straal $e$ heeft een middelpuntzoekende kracht $m_{u} e ω^{2}$ nodig (hoofdstuk 8); de as levert die, en de lagers duwen dus een even grote, ronddraaiende kracht $U ω^{2}$ op de gondel. Haar horizontale component is $U ω^{2} cos ω t$ : een gedwongen trilling met frequentie 1P.
2
Bij 300 tpm: $ω = 31, 42 rad/s$ , $F = 0, 05 \cdot 31, 4 2^{2} = 49, 3 N$ ; $r = 5, 00/1, 033 = 4, 84$ . Ver boven de resonantie: $X = \frac{F / k}{r ^{2} - 1} = \frac{49 , 3/9839}{22 , 4} = 0, 22 mm$ .
3
Algemeen: $F = U ω^{2} = U ω_{0}^{2} r^{2}$ , dus $X = \frac{U}{m} \cdot \frac{r ^{2}}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}}$ (figuur). Ver boven de resonantie wordt $X \to U / m$ : de mastkop beweegt zo dat het gezamenlijke zwaartepunt van gondel en rotor stilstaat.
4
Bij resonantie ( $62$ tpm): $F = U ω_{0}^{2} = 2, 11 N$ , maar $X = F / (c ω_{0}) = \frac{F / k}{2 ζ} = 21, 4 mm$ , na een opbouwtijd van enkele keren $τ = 1/ (ζ ω_{0}) = 31 s$ .

Antwoord

Bij 300 tpm duwt de rotor met 49 N heen en weer, maar de mastkop beweegt maar 0,22 mm: de mast is 'zacht' tegenover 5 Hz. Bij 62 tpm is de kracht 23 keer kleiner, en toch zou de uitwijking honderd keer groter worden: 21 mm.

Klopt dit? Dimensies: kg·m · (1/s)² = N. Het resultaat laat zien waarom een zachte mast een goed idee is voor deze turbine: in bedrijf draait de rotor altijd boven de eigenfrequentie. Het gevaar zit alleen in het aanlopen en in zwakke wind; dat onderzoeken de volgende bladen.

Uitleg · 11.10

Het Campbell-diagram: 1P en 3P

10/18

Een draaiende rotor duwt met vaste veelvouden van zijn toerental. Onbalans en een ongelijk blad geven 1P (één keer per omwenteling). Elk blad dat voor de mast langs gaat, voelt minder wind (de mast remt de lucht af), en hoger in de lucht waait het harder dan lager: bij een rotor met drie bladen geeft dat kracht- en momentschommelingen met 3P. Omdat de toerentallen veranderen met de wind, zijn dat geen vaste frequenties maar lijnen door de oorsprong: $f = n /60$ en $f = 3 n /60$ .

Een Campbell-diagram zet die lijnen samen met de eigenfrequenties van de constructie. Waar een lijn een eigenfrequentie snijdt, ligt een gevaarlijk toerental. De Habitat-turbine draait tussen ±80 tpm (aanloop bij 3 m/s) en 300 tpm (nominaal, vanaf 11 m/s): 1P tussen 1,33 en 5,0 Hz, 3P tussen 4,0 en 15 Hz.

Er zijn drie strategieën voor de eerste eigenfrequentie $f_{1}$ van de mast:

stijf-stijf: $f_{1}$ boven 3P bij het hoogste toerental (hier boven 15 Hz). Voor een mast van 12 m zou zelfs een stalen buis zonder gondel meer dan twee meter dik moeten zijn: onmogelijk.
zacht-stijf: $f_{1}$ tussen 1P en 3P over het hele werkgebied. Kan hier niet: 1P reikt tot 5 Hz en 3P begint al bij 4 Hz.
zacht-zacht: $f_{1}$ onder 1P bij het laagste toerental. Dan draait de rotor in bedrijf altijd boven de resonantie, en passeert hij ze alleen bij het aanlopen en stoppen. Dat is de keuze voor Habitat: $f_{1} = 1, 03 Hz$ tegenover 1P $\geq 1, 33 Hz$ , een marge van 29 %.

De mast heeft ook een tweede buigmode, waarin ze in het midden opzij bolt terwijl de gondel bijna stilstaat (figuur op het volgende voorbeeld). Een balkmodel geeft $f_{2} \approx 8, 2 Hz$ , en die ligt wel in de 3P-band: 3P raakt ze bij 163 tpm. Dat venster moet de rotor snel doorlopen.

Waar een aandrijflijn (1P, 3P) een eigenfrequentie snijdt, ligt een kritisch toerental (bolletjes): 1P raakt de eerste mode bij 62 tpm, onder het werkgebied (band); 3P raakt de tweede mode bij ±163 tpm (smalle strook).

Code · 11.11

Een rotor versnelt door de resonantie

11/18

Hoe gevaarlijk is het passeren van 62 tpm bij het aanlopen? Het model: de mast als massa-veersysteem met demping, en een onbalanskracht $U Ω^{2} cos θ$ waarvan de hoeksnelheid $Ω$ lineair stijgt van 0 tot 100 tpm. Omdat de frequentie van de kracht verandert, is er geen formule: dit is werk voor een simulatie. De toestand is $(x, v, θ)$ ; Heun (hoofdstuk 4) rekent met een stap van 5 ms.

Pythonaanloop.py38 regelsDownload

# aanloop.py - de rotor versnelt door de eerste eigenfrequentie van de mastimport math k, m, zeta = 9839.0, 233.5, 0.005          # mast als veer (N/m), meebewegende massa (kg), demping (rotor stil)c = 2 * zeta * math.sqrt(k * m)           # dempingsconstante (N s/m)U = 0.05                                  # onbalans van de rotor (kg m): de kracht is U * W**2w0 = math.sqrt(k / m)  def afgeleide(t, s, T_op, W_eind):    """s = (x, v, hoek van de rotor); de rotor versnelt lineair tot W_eind in T_op seconden."""    x, v, hoek = s    W = W_eind * min(t / T_op, 1.0)    return (v, (U * W**2 * math.cos(hoek) - c * v - k * x) / m, W)  def aanloop(T_op, n_eind=100, duur=150.0, h=0.005):    """Heun (hoofdstuk 4): Euler als voorspeller, het gemiddelde van twee hellingen als verbeteraar."""    W_eind = 2 * math.pi * n_eind / 60    s, t, spoor = (0.0, 0.0, 0.0), 0.0, []    while t < duur:        a = afgeleide(t, s, T_op, W_eind)        p = tuple(si + h * ai for si, ai in zip(s, a))        b = afgeleide(t + h, p, T_op, W_eind)        s = tuple(si + h / 2 * (ai + bi) for si, ai, bi in zip(s, a, b))        t += h        spoor.append((t, s[0]))    return spoor  if __name__ == "__main__":    print(f"eigenfrequentie {w0 / (2 * math.pi):.3f} Hz = {60 * w0 / (2 * math.pi):.0f} tpm, tijdconstante {1 / (zeta * w0):.0f} s")    for T_op in (4, 30, 120):        spoor = aanloop(T_op)        tmax, xmax = max(spoor, key=lambda p: abs(p[1]))        print(f"van 0 naar 100 tpm in {T_op:3d} s: grootste uitwijking {1000 * abs(xmax):4.1f} mm (na {tmax:5.1f} s)")    F = U * w0**2    print(f"blijft de rotor op {60 * w0 / (2 * math.pi):.0f} tpm draaien: {1000 * F / (c * w0):.1f} mm (evenwichtstoestand)")

De mastkop tijdens een aanloop van 4 s (boven) en 120 s (onder). De gekleurde strook is de aanlooptijd. Trager aanlopen geeft de resonantie meer tijd.

Uitvoer:

eigenfrequentie 1.033 Hz = 62 tpm, tijdconstante 31 s
van 0 naar 100 tpm in   4 s: grootste uitwijking  1.4 mm (na   3.8 s)
van 0 naar 100 tpm in  30 s: grootste uitwijking  3.3 mm (na  22.0 s)
van 0 naar 100 tpm in 120 s: grootste uitwijking  5.9 mm (na  81.4 s)
blijft de rotor op 62 tpm draaien: 21.4 mm (evenwichtstoestand)

Een snelle aanloop (4 s) laat een uitwijking van 1,4 mm na: de mast kreeg niet de tijd om op te bouwen. Hoe trager, hoe groter, en wie op het kritische toerental blijft hangen, krijgt na een paar minuten 21 mm, vijftien keer meer dan bij de snelle aanloop. In de figuur zie je na het passeren een trilling op de eigenfrequentie die traag uitsterft ( $ζ = 0, 5$ %), met de snelle 100 tpm-trilling van de onbalans erbovenop.

Een windturbine in echte wind versnelt niet netjes lineair: in zwakke wind kan een rotor zonder last minutenlang rond 60 tpm hangen. Daarom houdt de regelaar hem daar weg (volgend blad).

Uitgewerkt voorbeeld · 11.12

Habitat: de windturbine en haar mast

12/18

Vat samen voor het dossier van het station: is de mast (buis 244,5 × 5,0 mm, 12,0 m) geschikt voor de turbine, welke toerentallen zijn kritisch, hoeveel marge is er, en welke regels krijgt de regelaar van de turbine mee?

De eerste twee buigmodes van de mast met gondel, uit een balkmodel met 80 elementen. In de tweede mode beweegt het midden meer dan de top.

Gegeven

$f_{1} = 1, 03 Hz$ , $f_{2} = 8, 2 Hz$ (balkmodel); werkgebied 80 tot 300 tpm
$ζ = 0, 005$ stil, $0, 037$ in bedrijf (bij 8 m/s)
onbalans $U = 0, 05 kg m$

Gevraagd

kritische toerentallen en marges
regels voor de regelaar

Oplossing

1
Kritische toerentallen. 1P raakt $f_{1}$ bij $60 \cdot 1, 030 = 62$ tpm, 3P raakt $f_{1}$ bij 21 tpm (daar is de kracht verwaarloosbaar), 3P raakt $f_{2}$ bij $20 \cdot 8, 16 = 163$ tpm. 1P raakt $f_{2}$ nooit (dat zou 490 tpm vragen).
2
Marges. Bij het laagste toerental in bedrijf is 1P $1, 29$ keer $f_{1}$ : 29 % marge, meer dan de 10 à 20 % die men gewoonlijk aanhoudt. Bij 300 tpm is $r = 4, 9$ en beweegt de mastkop door de onbalans maar 0,22 mm.
3
Modevormen. In de eerste mode beweegt vooral de gondel; in de tweede bolt de mast halverwege uit terwijl de gondel veel minder beweegt (figuur). Een kracht aan de mastkop wekt de tweede mode dus minder op dan de eerste, maar niet nul: een rotor die urenlang op 163 tpm draait (bij ±6 m/s, een heel gewone windsnelheid), zou de mast in het midden laten trillen, precies waar de las van een versterking zou zitten.

Regels voor de regelaar (de windturbine krijgt een eigen regelaar; het brein van het station bewaakt):

regel voor de turbine	waarom
niet langer dan enkele seconden tussen 56 en 68 tpm (1P op de eerste mode)	de amplitude bouwt op met een tijdconstante van 31 s; wie snel voorbij is, merkt niets
in zwakke wind: de rotor niet vrij laten rondtrillen onder 80 tpm (lichte generatorbelasting of rem)	anders kan hij minutenlang op 62 tpm hangen: 21 mm aan de mastkop
het venster 155 tot 171 tpm snel doorlopen (3P op de tweede mode)	een 'sprong' in het toerental, zoals grote turbines doen
een versnellingsmeter in de gondel; stoppen als de trilling bij 1,03 Hz een grens overschrijdt	een ijsafzetting of een beschadigd blad verhoogt de onbalans; het brein merkt het eerst

Antwoord

De mast is geschikt als 'zachte' mast: in bedrijf draait de rotor altijd boven de eerste eigenfrequentie (1,03 Hz). Kritisch zijn 62 tpm (aanlopen, zwakke wind) en 163 tpm (3P op de tweede mode); de regelaar vermijdt beide en het brein bewaakt de trilling van de gondel.

Klopt dit? Een stijvere mast lijkt veiliger, maar is het niet: een buis van 273,0 × 6,3 mm zou

f_{1}

naar ±1,27 Hz brengen, vlak onder 1P bij 80 tpm (1,33 Hz), met maar 5 % marge (opdracht 11.11). Bij trillingen is 'sterker' niet automatisch 'beter': het gaat om waar de eigenfrequenties liggen tegenover de aandrijving.

Uitleg · 11.13

Trillingsisolatie

13/18

Een machine op verende voeten duwt niet meer rechtstreeks op de vloer: wat doorkomt, is de kracht in de veren en dempers, $k x + c \overset{x}{˙}$ . Met de fasor van de gedwongen trilling ( $X$ en $j ω X$ ) volgt de verhouding tussen de kracht die doorkomt en de kracht die de machine opwekt:

transmissibiliteit

T = \frac{∣ F _{T} ∣}{F _{0}} = \frac{1 + ( 2 ζ r ) ^{2}}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} r = \frac{f}{f _{n}}

Dezelfde formule geldt omgekeerd: een gevoelig toestel op een trillende vloer beweegt met

T

keer de vloer mee. Bij

r = 2

T = 1

, voor elke demping.

Drie ontwerpregels volgen rechtstreeks uit de figuur:

Isoleren kan pas boven $2 f_{n}$ . Daaronder komt er meer kracht door dan zonder veren. De eigenfrequentie van de opstelling moet dus ruim onder de laagste storende frequentie liggen.
Vuistregel: $f_{n} \leq f /3$ . Dan is $T \approx 1/ (r^{2} - 1) = 1/8$ : nog ongeveer 12 % komt door. Bij $f /4$ : 7 %.
Weinig demping isoleert beter boven $2$ (de demper duwt zelf ook op de vloer), maar bij het aanlopen, als de machine door $f_{n}$ gaat, is wat demping welkom. Rubber, met $ζ \approx 0, 05$ , is een goed compromis.

Zachte veren betekenen inzakken: met de vuistregel van het eerste blad hoort bij $f_{n} = 10 Hz$ een statische inzakking van 2,5 mm, bij 3 Hz al 28 mm. Voor lage storende frequenties wordt isoleren daardoor snel onpraktisch.

De ventilatie-unit van hoofdstuk 7 (12 kg op rubberen voeten van samen 30 kN/m, ventilator op 25 Hz): $f_{n} = 7, 96 Hz$ , $r = 3, 14$ , en met $ζ = 0, 1$ is $T = 0, 133$ : 13 % van de trillingskracht bereikt de vloer.

Onder r = √2 versterken veren de trilling; erboven isoleren ze, en minder demping isoleert daar beter. Let op de logaritmische schaal.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.14

Rubberdempers voor de drukpomp

14/18

De drukpomp van het drinkwater (hoofdstuk 7: 0,75 kW) staat met haar motor op een stalen grondplaat in de technische ruimte, samen 28 kg. De motor draait 2900 tpm. De houten vloer van de woonmodule geeft trillingen goed door (je hoort een pomp dan in de slaapkamer). Kies vier rubberen voeten uit de catalogus en bereken hoeveel van de trillingskracht nog doorkomt.

type (voorbeeldcatalogus)	stijfheid per voet	grootste last per voet	opbouw
A	25 kN/m	60 N	zacht rubber, drukbelast
B	40 kN/m	100 N	rubber, drukbelast
C	90 kN/m	250 N	rubber, drukbelast
D	250 kN/m	600 N	hard rubber, drukbelast
E	45 kN/m	250 N	rubber op afschuiving (duurder)

De draaiende delen wekken een kracht op; door de rubberen voeten komt maar een klein deel ervan op de vloer.

Gegeven

$m = 28 kg$ op vier voeten, $f = 2900/60 = 48, 3 Hz$ , rubber $ζ \approx 0, 05$

Gevraagd

een keuze, met $f_{n}$ , $T$ en de inzakking

Oplossing

1
Eis. Met de vuistregel $f_{n} \leq f /3 = 16, 1 Hz$ . Last per voet: $28 \cdot 9, 81/4 = 68, 7 N$ .
2
Alle types doorgerekend ( $f_{n} = \frac{1}{2 π} 4 k_{1} / m$ , $T$ met $ζ = 0, 05$ , inzakking $m g / (4 k_{1})$ ):
4 voeten van type $f_{n}$ (Hz) $r$ $T$ inzakking (mm) last per voet
A 9,5 5,08 4,5 % 2,75 te zwaar (69 N)
B 12,0 4,02 7,1 % 1,72 in orde
C 18,0 2,68 16,8 % 0,76 in orde
D 30,1 1,61 63,7 % 0,27 in orde
E 12,8 3,79 8,0 % 1,53 in orde
3
Keuze. Type A isoleert het best, maar is overbelast: rubber dat te zwaar belast wordt, kruipt en veroudert snel. C en D zijn te stijf. B en E voldoen allebei; B is eenvoudiger en goedkoper: $f_{n} = 12, 0 Hz$ , $T = 0, 071$ , inzakking 1,7 mm.
4
Aanlopen. De motor gaat in minder dan een seconde door 12 Hz: te snel voor een opbouw ( $τ = 1/ (ζ ω_{n}) = 0, 26 s$ , maar de doorgang duurt maar een fractie daarvan). Leidingen sluit je aan met een stukje flexibele slang: een stijve buis zou de veren kortsluiten.

Antwoord

Vier voeten van type B: de pomp staat op 12,0 Hz, en nog 7 % van de trillingskracht bereikt de vloer. De pomp zakt 1,7 mm in.

Klopt dit? Snelle controle met

f_{n} \approx 15, 8/ δ = 15, 8/ 1, 72 = 12, 0 Hz

: klopt. Een pomp met een frequentieregelaar die ook traag kan draaien (bv. 20 Hz), zou met dezelfde voeten maar

T \approx 0, 57

halen: hoe lager de laagste storende frequentie, hoe zachter de voeten moeten zijn.

Rubberen voeten onder de pomp en flexibele slangen naar de leidingen: zo blijft de trilling bij de machine.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.15

Habitat: de windturbine isoleren van het station

15/18

Iemand stelt voor de turbine op het dak van de woonmodule te zetten, op een kort mastje met rubberen dempers eronder: geen fundering, een korte kabel. Kan dat de trillingen van de rotor (1P: 1,33 tot 5,0 Hz; 3P: 4,0 tot 15 Hz) van het station isoleren? Zo nee, hoe dan wel?

Met rubber onder de mastvoet (fₙ = 3 Hz) komt in de hele 1P-band meer kracht door dan zonder (T > 1); pas in het hoge deel van de 3P-band helpt het.

Gegeven

frequentiebanden 1P en 3P in bedrijf
rubber $ζ = 0, 05$
houtskelet: een lichte constructie die trillingen goed doorgeeft

Gevraagd

de vereiste $f_{n}$ en inzakking
een besluit voor Habitat

Oplossing

1
Alles isoleren. Isoleren kan pas boven $2 f_{n}$ ; de laagste storende frequentie is 1P bij 80 tpm, 1,33 Hz. Dus $f_{n} < 1, 33/ 2 = 0, 94 Hz$ , en dat betekent een statische inzakking van $g / ω_{n}^{2} = 28 cm$ . Een turbine die op zulke zachte veren staat, kantelt bij de eerste windstoot om.
2
Alleen 3P isoleren. Dan moet $f_{n} < 2, 83 Hz$ : nog altijd 31 mm inzakking, en de 1P-band zou er juist middenin liggen. Met realistische voeten (bv. $f_{n} = 3 Hz$ ) toont de figuur het resultaat: bij 80 tpm komt 1,2 keer de kracht door, rond 3 Hz tien keer, en pas vanaf 5,2 Hz minder dan de helft.
3
Zonder rubber, star vastgezet: alle kracht komt door ( $T = 1$ ), en een houten dak heeft zelf eigenfrequenties in de buurt van de 3P-band. Bovendien is de wind boven een dak turbulent: minder opbrengst, meer wisselende lasten.
4
Besluit. De beste isolatie is geen verbinding. De turbine krijgt een eigen mast en een eigen fundering op 15 m van de woonmodule (meer dan de valafstand: 12 m mast + 2 m blad). De enige verbinding is de kabel, ondergronds in een mantelbuis met een lus bij de mastvoet. Rubberdempers komen waar ze wél werken: onder de machines ín het station (vorig voorbeeld, en later de warmtepomp).

Antwoord

Op het dak isoleren is onmogelijk: voor 1P zou de turbine 28 cm moeten inzakken. De turbine staat daarom op een eigen mast met eigen fundering, 15 m van de woonmodule; alleen een kabel verbindt ze met het station.

Klopt dit? Dit is een algemene les: isoleren werkt goed tegen hoge frequenties (pompen, ventilatoren, compressoren: 25 tot 100 Hz) en slecht tegen lage (een rotor van een paar hertz, voetgangers, verkeer). Tegen lage frequenties helpen afstand, massa en demping aan de bron. Praktijkproeven met kleine turbines op daken gaven bovendien teleurstellend weinig energie.

Ontleed · 11.16

De windturbine van het station ontleed

16/18

Elk onderdeel van de turbine heeft een rol in het trillingsverhaal van dit hoofdstuk: als bron, als veer, als massa, als demper of als bewaker.

Zijaanzicht (schematisch, afstanden op schaal): de wind komt van links; de rotor draait vóór de mast.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Rotor (Ø 4,0 m, 3 bladen)
Bron van 1P (onbalans, een blad dat anders is) en 3P (elk blad passeert de mast en ziet andere wind boven en onder). In bedrijf dempt hij de mast ook: ±3 %.
2
Gondel met generator (150 kg samen met de rotor)
De grootste massa van het systeem: ze bepaalt samen met de stijfheid van de mast de eerste eigenfrequentie. De generator werkt hoofdstuk 19 uit.
3
Windvaan en uit-de-windmechanisme
Houdt de rotor in de wind en draait hem boven ±15 m/s weg: zo blijven toerental en stuwkracht begrensd.
4
Versnellingsmeter
Meet de trilling van de gondel. Het brein kijkt naar het niveau bij f₁ en bij 1P: een blad met ijs of schade verhoogt de onbalans; dan stopt de turbine.
5
Mast (buis 244,5 × 5,0 mm, 12,0 m)
De veer van het systeem (9,8 kN/m aan de top) en een deel van de massa. Ze is bewust 'zacht' gekozen: eigenfrequentie onder 1P in bedrijf.
6
Flens en ankerbouten
Verbinden mast en fundering. Hier is het buigmoment het grootst en wisselt het honderden miljoenen keren in de levensduur: vermoeiing (hoofdstuk 12 en 46).
7
Eigen fundering
Een betonblok dat de mast inklemt. Géén verbinding met de fundering van het station: dat is de eigenlijke trillingsisolatie.
8
Kabel in een mantelbuis
De enige verbinding met het station: ondergronds, met een lus bij de voet, zodat ze geen trillingen of trekkrachten doorgeeft.
9
Woonmodule op 15 m
Verder dan de valafstand (12 m mast + 2 m blad). Rubberdempers staan hier wel: onder de pomp, de ventilatie-unit en later de warmtepomp.

Naslag · 11.17

Trillingen: formules en werkwijze

17/18

Werkwijze: (1) zoek de massa en de veer (stijfheid uit een formule, een inzakking of een trekproef; meebewegende massa); (2) bereken $f_{n}$ ; (3) zoek alle aandrijffrequenties (toerental, 1P, 3P, netfrequentie, stappen) en hun bereik; (4) vergelijk: marge tegenover resonantie, of $r > 2$ voor isolatie; (5) schat de demping en reken de amplitude of de doorgegeven kracht; (6) simuleer wat geen formule heeft.

bewegingsvergelijking

m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = F (t)

symbool	betekenis	eenheid
$m$	massa	kg
$c$	dempingsconstante	N·s/m
$k$	veerconstante	N/m

eigenfrequentie

ω_{0} = k / m, f_{0} = \frac{1}{2 π} k / m, f_{0} \approx 15, 8/ δ_{mm}

symbool	betekenis	eenheid
$ω_{0}$	eigenhoekfrequentie	rad/s
$δ$	statische inzakking	mm

slinger en fysische slinger

T = 2 π L / g, T = 2 π I_{O} / (m g d)

demping

ζ = \frac{c}{2 k m}, ω_{d} = ω_{0} 1 - ζ^{2}, δ = \frac{2 π ζ}{1 - ζ ^{2}}, Q = \frac{1}{2 ζ}

symbool	betekenis	eenheid
$ζ$	dempingsverhouding	-

gedwongen trilling

\frac{X}{F _{0} / k} = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}}, tan φ = \frac{2 ζ r}{1 - r ^{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$r$	frequentieverhouding $ω / ω_{0}$	-

onbalans

F = U ω^{2}, \frac{X}{U / m} = \frac{r ^{2}}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$U$	onbalans $m_{u} e$	kg·m

transmissibiliteit

T = \frac{1 + ( 2 ζ r ) ^{2}}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}}, T < 1 als r > 2

ingeklemde mast met topmassa

k = \frac{3 E I}{L ^{3}}, m_{eff} = m_{top} + \frac{33}{140} m_{mast}

aerodynamische demping van een rotor

c_{aero} = ρ A C_{T} v

gebied	amplitude	fase	wat helpt
$r ≪ 1$ (traag duwen)	$X \approx F_{0} / k$	mee met de kracht	een stijvere veer
$r \approx 1$ (resonantie)	$X = F_{0} / (c ω_{0})$	90° achter	demping
$r ≫ 1$ (snel duwen)	$X \approx F_{0} / (m ω^{2})$	tegengesteld	meer massa

Het geheel · 11.18

Waar trillingen vandaan komen en waar ze heen gaan

18/18

Trillingen brengen samen wat de vorige hoofdstukken apart opbouwden: de tweede wet van Newton als differentiaalvergelijking, de sinus als draaiende wijzer, de fasor, de simulatie met Heun. Dezelfde wiskunde komt terug in de elektrische kring met spoel en condensator (een LC-kring trilt, een RLC-kring resoneert), in regelsystemen (tweedeordesystemen met doorschot) en in signaalverwerking (frequenties in een meting). In constructies (K) en ontwerpen (D) is het een vraag die bij elke machine terugkomt.

F11 Krachten

De wet van Hooke: een veer met veerconstante k.

I8 De wetten van Newton

F = ma en het vrijlichaamsdiagram: de basis van de bewegingsvergelijking.

I31 Regelsystemen

Een regeling kan zelf gaan trillen: hysterese en vertraging.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Euler en Heun, tweede orde als stelsel: zo simuleer je een trilling.

E7 Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

Fasoren, de karakteristieke vergelijking en de gedwongen trilling in één regel.

E8 Beweging in twee dimensies

Een eenparige cirkelbeweging geprojecteerd op een as is een harmonische trilling; de middelpuntzoekende kracht van een onbalans.

E10 Rotatie

Traagheidsmoment en de fysische slinger; draaiende machines.

E12 Sterkteleer

De stijfheid van de mast (k = 3EI/L³), haar dimensionering en de knik (dezelfde differentiaalvergelijking).

E13 Vakwerken en constructieanalyse

Het idee van de eindige-elementenmethode: het balkmodel dat f₂ gaf.

E19 Elektrische en magnetische velden, inductie

De generator van de windturbine.

E20 Wisselstroom

De RLC-kring: resonantie en kwaliteitsfactor in de elektrotechniek.

E21 Filters en signaalverwerking

Frequenties in een meting: het spectrum van de versnellingsmeter in de gondel.

E38 Dynamische systemen modelleren

Tweedeordesystemen, doorschot en de overdrachtsfunctie.

E46 Betrouwbaarheid en risico

Vermoeiing en faalwijzen van trillende onderdelen.

HabitatHabitat heeft nu een windturbine: 3,0 kW bij 11 m/s, rotor Ø 4,0 m, 80 tot 300 tpm, gondel en rotor 150 kg, op een vrijstaande stalen buis van 12,0 m (244,5 × 5,0 mm) met een eigen fundering op 15 m van de woonmodule. De mast is 'zacht': eerste eigenfrequentie 1,03 Hz, tweede 8,2 Hz; de regelaar vermijdt 62 en 163 tpm, een versnellingsmeter in de gondel meldt trillingen aan het brein. De drukpomp staat op vier rubberen voeten (12 Hz, 7 % doorgang). Hoofdstuk 12 dimensioneert de mast, hoofdstuk 19 de generator.

Samenvatting

In het kort

Een massa aan een veer trilt harmonisch: $x = A cos (ω_{0} t + φ)$ met $ω_{0} = k / m$ ; het gewicht verschuift alleen het evenwicht, en $f_{0} \approx 15, 8/ δ_{mm}$ .
Een slinger heeft $T_{0} = 2 π L / g$ voor kleine hoeken; elk stabiel evenwicht gedraagt zich dichtbij als een veer met $k = U^{''} (x_{0})$ .
Demping: $ζ = c / (2 k m)$ ; onder 1 dooft de trilling uit met $e^{- ζ ω_{0} t}$ ; uit een meting volgt $ζ$ uit het logaritmisch decrement $δ \approx 2 π ζ$ ; $Q = 1/ (2 ζ)$ .
Een gedwongen trilling volgt de frequentie van de kracht; bij $r = 1$ is de amplitude $Q$ keer de statische, en de opbouw duurt enkele keren $1/ (ζ ω_{0})$ .
Onbalans geeft $U ω^{2}$ (1P); bladen die de mast passeren geven 3P. Een Campbell-diagram toont de kritische toerentallen.
Isoleren kan pas boven $2 f_{n}$ ; kies $f_{n} \leq f /3$ . Tegen lage frequenties helpen afstand, massa en demping, niet rubber.
Habitat: de windturbine (3 kW, Ø 4 m) staat op een zachte mast ( $f_{1} \approx 1, 03$ Hz) met een eigen fundering op 15 m van het station.

Begrippen

Wat je nu kent

harmonische trilling: Een beweging $x = A cos (ω t + φ)$ ; ze ontstaat als de terugroepende kracht evenredig is met de uitwijking ( $F = - k x$ ).
eigenfrequentie: De frequentie waarmee een systeem uit zichzelf trilt; voor een massa aan een veer $f_{0} = \frac{1}{2 π} k / m$ .
dempingsverhouding: $ζ = c / (2 k m)$ : de demping gedeeld door de kritische demping; onder 1 trilt het systeem uit, vanaf 1 kruipt het terug.
logaritmisch decrement: $δ = ln (x_{n} / x_{n + 1}) = 2 π ζ / 1 - ζ^{2}$ : het natuurlijk logaritme van de verhouding van twee opeenvolgende toppen.
kwaliteitsfactor: $Q = 1/ (2 ζ)$ : hoeveel keer groter de amplitude bij resonantie is dan bij een even grote, trage kracht.
resonantie: Het sterke meetrillen van een systeem dat aangedreven wordt met (bijna) zijn eigenfrequentie; alleen de demping begrenst de amplitude.
onbalans: Een draaiend deel waarvan het zwaartepunt niet op de as ligt; het geeft een draaiende kracht $U ω^{2}$ met $U = m_{u} e$ .
Campbell-diagram: Grafiek van de aandrijffrequenties van een draaiende machine (1P, 2P, 3P ...) tegenover het toerental, samen met de eigenfrequenties: de snijpunten zijn de gevaarlijke toerentallen.
transmissibiliteit: $T$ : de verhouding van de kracht (of beweging) die door een verende steun doorkomt tot die aan de bron; kleiner dan 1 pas als $f > 2 f_{n}$ .
gestemde massademper: Een kleine massa op een veer met demping, afgestemd op de eigenfrequentie van een constructie; ze trilt tegen de constructie in en neemt energie weg.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen

4 voeten van type	$f_{n}$ (Hz)	$r$	$T$	inzakking (mm)	last per voet
A	9,5	5,08	4,5 %	2,75	te zwaar (69 N)
B	12,0	4,02	7,1 %	1,72	in orde
C	18,0	2,68	16,8 %	0,76	in orde
D	30,1	1,61	63,7 %	0,27	in orde
E	12,8	3,79	8,0 %	1,53	in orde