EExpert · deel E4 · Elektrotechniek en elektronica

Handboek · hoofdstuk 19Elektrische en magnetische velden, inductie

Van Coulomb tot Faraday: velden die kracht zetten, energie opslaan en stroom opwekken

Een lading vult de ruimte rond zich met een elektrisch veld, een stroom met een magnetisch veld. Met die twee velden verklaar je waarom een condensator lading opslaat en een supercondensator zelfs farads, waarom een stroommeter zonder contact kan meten, en vooral: waarom een veranderend magnetisch veld een spanning opwekt. Dat laatste, de inductie van Faraday, zit in elke transformator en elke generator. Je rekent de velden uit met integralen en vectorproducten, berekent veldlijnen in Python en eindigt bij de windturbine van het station: hoe haar generator van draaien stroom maakt, met welke spanning en frequentie, en hoe die in de 48 V-batterij terechtkomt.

11× uitleg9× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel3× code19 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

LElektriciteit en elektronica KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren

Magneten die langs koperen spoelen draaien: zo maakt de windturbine van het station stroom.

Na dit hoofdstuk

Je kan het elektrisch veld van puntladingen als vectorsom berekenen (Coulomb, superpositie) en veldlijnen en equipotentiaallijnen lezen, tekenen en numeriek berekenen.
Je kan de potentiaal uit het veld afleiden (integraal) en omgekeerd (E = −dV/dx), en rekenen met een homogeen veld, de elektronvolt en doorslag.
Je kan C = εA/d afleiden met de wet van Gauss, er een condensator mee ontwerpen en verklaren waarom een supercondensator zoveel capaciteit heeft maar weinig spanning verdraagt.
Je kan het magnetisch veld van een rechte draad (Biot-Savart en Ampère) en van een spoel berekenen, ook voor een kabel met heen- en terugleiding.
Je kan de Lorentzkracht als vectorproduct berekenen voor een lading en een stroomdraad, een cirkelbaan beschrijven en het Hall-effect verklaren en berekenen.
Je kan de wet van Faraday toepassen op een veranderend veld, een bewegende geleider en een draaiende spoel (e = NBAω sin ωt), en met de wet van Lenz de richting en de energiebalans verklaren.
Je kan zelfinductie en de energie in een spoel berekenen, en het uitschakelen van een inductieve last met een vrijloopdiode en een zener doorrekenen.
Je kan een ideale transformator berekenen (spanning, stroom, impedantie, U = 4,44 f N A B̂) en de verliezen verklaren.
Je kan uitleggen hoe een driefasige generator met permanente magneten werkt en voor de windturbine van het station frequentie, spanning en gelijkgerichte spanning bepalen.

Verhaal · 19.1

Faraday en de ijzeren ring

1/28

Michael Faraday was de zoon van een smid en leerde het vak van boekbinder. Hij las de boeken die hij inbond, volgde lezingen van de scheikundige Humphry Davy en werd in 1813 diens assistent aan de Royal Institution in Londen. In 1820 ontdekte de Deen Hans Christian Ørsted dat een stroom een kompasnaald laat uitwijken: elektriciteit maakt magnetisme. Faraday vroeg zich af of het omgekeerde ook kon, en zocht jarenlang.

Op 29 augustus 1831 wikkelde hij twee spoelen op een dikke ijzeren ring, de ene aan een batterij, de andere aan een galvanometer. Zolang er een constante stroom liep, gebeurde er niets. Maar bij het aansluiten en het losmaken van de batterij schoot de naald even uit, telkens in een andere richting. Niet het magnetisme maakt stroom, maar zijn verandering. In de weken daarna duwde hij een magneet in een spoel en liet in oktober 1831 een koperen schijf tussen de polen van een magneet draaien: de eerste generator. In Amerika vond Joseph Henry hetzelfde verschijnsel, onafhankelijk; de eenheid van inductie, de henry, draagt zijn naam. In 1834 formuleerde Heinrich Lenz in Sint-Petersburg de regel voor de richting van de inductiestroom.

Faraday kende weinig wiskunde. Hij dacht in krachtlijnen die de ruimte vullen, een idee dat de meeste natuurkundigen toen vaag vonden. James Clerk Maxwell goot die lijnen in 1865 in vergelijkingen, en vond iets verbluffends: een veranderend magnetisch veld maakt een elektrisch veld (Faraday), een veranderend elektrisch veld maakt een magnetisch veld, en samen planten ze zich voort als een golf met snelheid $1/ μ_{0} ε_{0} = 2, 998 \cdot 1 0^{8} m/s$ : de lichtsnelheid. Licht is een elektromagnetische golf. Twee constanten die je in dit hoofdstuk voor condensatoren en spoelen gebruikt, bepalen samen hoe snel het licht gaat.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Elke centrale, elke transformator, elke inductiekookplaat en de draadloze lader van je gsm werken met Faradays ontdekking. Het station krijgt een windturbine (hoofdstuk 11 en 12) waarvan de generator uit draaiende magneten en vaste spoelen bestaat. Welke spanning ze maakt, bij welke frequentie, en hoe die stroom in de 48 V-batterij komt, reken je hier uit. Hoofdstuk 20 bouwt verder met wisselstroom, hoofdstuk 24 met de omzetters die de spanning aanpassen.

Een ijzeren ring met twee spoelen: alleen bij het in- en uitschakelen gaf de tweede spoel stroom.

Uitleg · 19.2

Wat je al weet, en de vraag van dit hoofdstuk

2/28

wat je al kan	wat nu komt
lading, stroom en spanning; de wet van Ohm (hoofdstuk 19 van F)	lading als bron van een veld; spanning als verschil in potentiaal
$Q = C U$ , platen en isolator, de supercondensator (hoofdstuk 24 van I)	$C = ε A / d$ afgeleid; waarom een supercondensator farads haalt
veld rond een draad en in een spoel, $F = B I l$ , de motor en zijn tegen-emk (hoofdstuk 26 van I)	$B$ berekend met Biot-Savart en Ampère; $F = q v \times B$ ; inductie
vectorproduct en rechterhandregel (hoofdstuk 5); integralen (hoofdstuk 3)	de Lorentzkracht in 3D; potentiaal en flux als integralen
RC-kring als differentiaalvergelijking; Euler (hoofdstuk 4); sinus, fasor, $Z_{L} = j ω L$ (hoofdstuk 7)	zelfinductie $u = L d i / d t$ ; de sinus uit een draaiende spoel; de transformator

In Intermediate zag je velden kwalitatief: veldlijnen rond een draad, de kracht $F = B I l$ , een condensator die lading opslaat. Hier worden het rekengereedschappen. Je berekent velden als vectorsommen en integralen, leidt de capaciteit van een condensator af in plaats van ze te geven, en maakt kennis met het belangrijkste verschijnsel van de elektrotechniek: inductie.

De Habitat-vraag: de windturbine van het station (3,0 kW bij 11 m/s, rotor Ø 4,0 m, 80 tot 300 toeren per minuut, hoofdstuk 11) moet haar energie in het 48 V-net van het station leveren. Een rotor die met wisselende snelheid draait, maakt een spanning waarvan zowel de grootte als de frequentie met de wind meegaan. Hoeveel magneetpolen kies je, welke spanning en frequentie komen eruit, en hoe maak je er gelijkspanning voor de batterij van?

Magneten, spoelen en hoge spanning

Neodymiummagneten klappen met grote kracht tegen elkaar of tegen staal: vingers geklemd, splinters. Houd ze weg van pacemakers, bankkaarten en harde schijven. Een spoel met ijzerkern die je uitschakelt, kan een spanning van honderden volt geven (verderop). En de generator van de windturbine komt boven 120 V gelijkspanning: dat is geen zeer lage spanning meer (hoofdstuk 5 van F) en hoort bij het werk van een elektricien, net als 230 V.

Uitleg · 19.3

Lading, kracht en het elektrisch veld

3/28

Twee puntladingen $q_{1}$ en $q_{2}$ op afstand $r$ duwen of trekken elkaar met de kracht van Coulomb:

wet van Coulomb

F = k \frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}}, k = \frac{1}{4 π ε _{0}} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}

Gelijke tekens stoten af, tegengestelde trekken aan.

ε_{0} = 8, 854 \cdot 1 0^{- 12} F/m

is de permittiviteit van vacuüm. De elektrische kracht tussen een proton en een elektron is

2, 3 \cdot 1 0^{39}

keer hun zwaartekracht.

Faradays idee: de lading $q_{1}$ verandert de ruimte rond zich, ook als er niets anders is. Die toestand heet het elektrisch veld: de kracht die een kleine proeflading $q$ in een punt zou voelen, gedeeld door $q$ :

elektrisch veld, puntlading en superpositie

E = \frac{F}{q} E_{punt} = k \frac{Q}{r ^{2}} \overset{r}{^} E = i \sum E_{i}

Eenheid N/C = V/m.

\overset{r}{^}

wijst van de lading naar het punt: weg van een positieve, naar een negatieve lading. Bij meer ladingen tel je de velden op als vectoren (hoofdstuk 5).

Een veld is een vectorveld: in elk punt een pijl. Je tekent het met veldlijnen: lijnen die in elk punt de richting van $E$ volgen. Ze beginnen op positieve en eindigen op negatieve ladingen (of in het oneindige), ze snijden elkaar nooit (het veld heeft in elk punt één richting) en waar ze dicht opeen liggen, is het veld sterk. Het aantal lijnen dat uit een lading vertrekt, is evenredig met die lading.

De figuur is geen schets: elke veldlijn is berekend door vanuit de positieve lading telkens een klein stapje in de richting van $E$ te zetten (volgend blad). De stippellijnen zijn de equipotentiaallijnen, de lijnen met gelijke potentiaal (twee bladen verder); ze snijden de veldlijnen overal loodrecht.

+2 nC en −2 nC op 10 cm van elkaar. Stippellijnen: equipotentiaallijnen van ±100, ±250, ±500 en ±1000 V (van buiten naar binnen) en 0 V; lijnen die het beeld verlaten, komen er elders terug in.

Code · 19.4

Veldlijnen berekenen

4/28

Een veldlijn is een kromme waarvan de raaklijn overal de richting van $E$ heeft: $d r / d s = E /∣ E ∣$ , met $s$ de booglengte. Dat is een differentiaalvergelijking zoals in hoofdstuk 4, alleen met een vector. Het programma lost ze op met de methode van Runge-Kutta van de vierde orde: in plaats van één helling per stap (Euler) neemt het een gewogen gemiddelde van vier hellingen, en blijft zo met stapjes van een halve millimeter nauwkeurig tot op de lading (hoofdstuk 36 legt de methode uit).

Pythonveldlijnen.py55 regelsDownload

# veldlijnen.py - veld, potentiaal en veldlijnen van twee puntladingenimport numpy as np K = 8.99e9                                        # 1/(4 pi eps0) in N m²/C²ladingen = [(+2e-9, np.array([-0.05, 0.0])),     # (lading in C, plaats in m)            (-2e-9, np.array([+0.05, 0.0]))]  def veld(p):    """Elektrisch veld (V/m) in punt p: de vectorsom van de bijdragen (superpositie)."""    E = np.zeros(2)    for q, a in ladingen:        r = p - a        E += K * q * r / np.linalg.norm(r) ** 3    return E  def potentiaal(p):    """Potentiaal (V) in punt p, nul ver weg."""    return sum(K * q / np.linalg.norm(p - a) for q, a in ladingen)  def veldlijn(start, h=0.0005, n_max=3000):    """Volg de richting van E met Runge-Kutta (vierde orde) in stapjes van h meter."""    def richting(p):        E = veld(p)        return E / np.linalg.norm(E)    p = np.array(start, float)    lijn = [p]    for _ in range(n_max):        k1 = richting(p)        k2 = richting(p + h / 2 * k1)        k3 = richting(p + h / 2 * k2)        k4 = richting(p + h * k3)        p = p + h / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)        lijn.append(p)        if np.linalg.norm(p - ladingen[1][1]) < 0.004:    # aangekomen op de negatieve lading            return np.array(lijn), True        if abs(p[0]) > 0.15 or abs(p[1]) > 0.10:          # buiten het beeld            return np.array(lijn), False    return np.array(lijn), False  P = np.array([0.0, 0.05])R = np.array([-0.02, 0.0])Ex, Ey = veld(P)print(f"in P: Ex = {Ex:.0f} V/m, Ey = {Ey:.0f} V/m, V = {potentiaal(P):.1f} V")print(f"in O: Ex = {veld(np.zeros(2))[0]:.0f} V/m")print(f"in R: Ex = {veld(R)[0]:.0f} V/m, V = {potentiaal(R):.1f} V")lijnen = []for hoek in np.radians(np.arange(0, 360, 22.5)):    start = ladingen[0][1] + 0.005 * np.array([np.cos(hoek), np.sin(hoek)])    lijnen.append(veldlijn(start))aan = sum(1 for lijn, op_min in lijnen if op_min)print(f"{len(lijnen)} veldlijnen: {aan} eindigen in het beeld op -2 nC, {len(lijnen) - aan} verlaten het beeld")

Uitvoer:

in P: Ex = 5086 V/m, Ey = 0 V/m, V = 0.0 V
in O: Ex = 14384 V/m
in R: Ex = 23647 V/m, V = 342.5 V
16 veldlijnen: 9 eindigen in het beeld op -2 nC, 7 verlaten het beeld

Het programma start zestien lijnen op 5 mm van de positieve lading, om de 22,5°. 9 ervan bereiken de negatieve lading binnen het beeld; de rest verlaat het en komt er (door de symmetrie) gespiegeld weer in, zodat in de figuur alle zestien op de negatieve lading eindigen. De functies veld en potentiaal zijn dezelfde die de figuren van dit hoofdstuk tekenen en de getallen van het volgende voorbeeld controleren. Twee valkuilen: dicht bij een lading wordt $∣ E ∣$ enorm, maar de richting blijft goed bepaald, daarom normeert het programma; en in een punt waar $E = 0$ bestaat geen richting: daar kan een veldlijn niet door (opdracht 19.8).

Uitleg · 19.5

Potentiaal en spanning

5/28

Verplaats je een lading $q$ in een elektrisch veld, dan verricht het veld arbeid $W = \int F \cdot d s$ (hoofdstuk 3 en 5). Net als de zwaartekracht is het elektrostatische veld conservatief: de arbeid hangt alleen af van begin- en eindpunt. Dus heeft een lading in elk punt een potentiële energie $E_{p}$ , en die is evenredig met $q$ . De potentiaal is de potentiële energie per lading:

potentiaal en spanning

V = \frac{E _{p}}{q} U_{A B} = V_{A} - V_{B} V_{punt} (r) = \int_{r}^{\infty} E d r^{'} = \int_{r}^{\infty} \frac{k Q}{r ^{'2}} d r^{'} = \frac{k Q}{r}

Eenheid volt (J/C). Spanning is een potentiaalverschil. De nul leg je vrij: bij een puntlading ver weg, in een schakeling de massa. Bij meer ladingen tel je de potentialen op, als gewone getallen.

Omgekeerd volgt het veld uit de potentiaal: $W = q E d x = - q d V$ over een klein stapje, dus

veld uit potentiaal

E_{x} = - \frac{d V}{d x} homogeen veld: E = \frac{U}{d}

Het veld wijst 'bergaf', van hoge naar lage potentiaal. In drie dimensies:

E = - \nabla V

, de steilste daling. Op een equipotentiaalvlak is

d V = 0

, dus staat het veld er loodrecht op.

In de onderste grafiek zie je het terug: waar $V$ steil daalt (tussen de ladingen), is $E_{x}$ groot en positief. Links van de positieve lading stijgt $V$ naar rechts toe, en daar wijst het veld naar links.

Twee handige gevolgen. Een elektron dat over 1 V versnelt, wint $1, 602 \cdot 1 0^{- 19} J$ : dat heet één elektronvolt (eV), de natuurlijke energie-eenheid in halfgeleiders en in de chemie (de 0,7 V over een siliciumdiode, hoofdstuk 23 van I, is 0,7 eV per elektron). En een isolator houdt maar een bepaald veld uit. Droge lucht slaat bij ongeveer 3 kV/mm door (homogeen veld, 1 bar): er springt een vonk. Aan punten en scherpe randen is het veld veel sterker dan $U / d$ ; daar begint de doorslag, en daarom werkt een bliksemafleider.

Boven de potentiaal langs de as (nul in het midden), onder het veld, dat de negatieve helling van V is. Bij de ladingen lopen beide naar oneindig.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.6

Veld en potentiaal van twee ladingen

6/28

Een lading van +2,0 nC staat in A (−5,0 cm; 0), een lading van −2,0 nC in B (5,0 cm; 0), zoals in de figuur. (a) Bereken het veld in P (0; 5,0 cm) en in de oorsprong O. (b) Welke kracht voelt een elektron in P, en welke versnelling? (c) Bereken de potentiaal in P en in R (−2,0 cm; 0). Hoeveel kinetische energie wint of verliest een elektron dat van R naar O beweegt?

Gegeven

$q_{A} = + 2, 0 nC$ , $q_{B} = - 2, 0 nC$ , $k = 8, 99 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$
$e = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} C$ , $m_{e} = 9, 11 \cdot 1 0^{- 31} kg$

Gevraagd

$E_{P}$ , $E_{O}$
$F$ en $a$ van een elektron in P
$V_{P}$ , $V_{R}$ en de energie van R naar O

Oplossing

1
$k q = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot 2, 0 \cdot 1 0^{- 9} = 17, 98 V m$ . Afstand van P tot A en B: $0, 0 5^{2} + 0, 0 5^{2} = 0, 0707 m$ , dus elk veld is $17, 98/0, 005 = 3596 V/m$ .
2
Richtingen: $E_{A}$ wijst weg van A, langs $(1; 1) / 2$ ; $E_{B}$ wijst naar B, langs $(1; - 1) / 2$ . De $y$ -componenten heffen elkaar op: $E_{P} = (2 \cdot 3596/ 2; 0) = (5086; 0) V/m$ , evenwijdig met AB, van + naar −.
3
In O: beide velden wijzen naar rechts en elk is $17, 98/0, 0 5^{2} = 7192 V/m$ : $E_{O} = (14384; 0) V/m$ .
4
(b) $F = e E = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 5086 = 8, 15 \cdot 1 0^{- 16} N$ , naar links (tegen het veld in: het elektron is negatief). $a = F / m_{e} = 8, 9 \cdot 1 0^{14} m/ s^{2}$ : zwaartekracht speelt geen enkele rol.
5
(c) $V_{P} = k q / r_{A} - k q / r_{B} = 0$ ( $r_{A} = r_{B}$ ): de hele middelloodlijn is een equipotentiaallijn, ook al is het veld er niet nul. $V_{R} = 17, 98 (1/0, 03 - 1/0, 07) = 342, 5 V$ .
6
Van R naar O: $Δ E_{p} = q (V_{O} - V_{R}) = (- e) (0 - 342, 5 V) = + 342, 5 eV$ . De potentiële energie van het elektron stijgt terwijl $V$ daalt: het beweegt tegen de kracht in, want het veld trekt het naar hoge potentiaal (naar A). Het verliest dus 342 eV kinetische energie.

Antwoord

E_{P} = (5086; 0) V/m

E_{O} = (14384; 0) V/m

; op het elektron in P

8, 15 \cdot 1 0^{- 16}

N naar links;

V_{P} = 0

V_{R} = 342 V

. Van R naar O verliest een elektron 342 eV aan kinetische energie (een proton zou er 342 eV winnen).

Klopt dit? Het programma van het vorige blad geeft dezelfde getallen (in R ook

E_{x} = 23647 V/m

). Een snelle controle van (c): een positieve lading 'valt' van hoge naar lage potentiaal en wint energie, een negatieve lading omgekeerd. Veld nul in P? Nee:

V = 0

zegt niets over

E

, alleen over de helling van

V

Uitleg · 19.7

De vlakke condensator: C = εA/d

7/28

Om het veld van een grote geladen plaat te vinden, gebruik je de wet van Gauss. Tel de veldlijnen die uit een gesloten oppervlak komen: de elektrische flux $Φ_{E} = \oint E \cdot d A$ (bij een homogeen veld loodrecht op een vlak gewoon $E A$ ). Gauss: die flux hangt alleen af van de lading binnenin.

wet van Gauss

\oint E \cdot d A = \frac{Q _{binnen}}{ε _{0}}

Controle met een puntlading: een bol met straal

r

eromheen geeft

E \cdot 4 π r^{2} = Q / ε_{0}

, dus

E = Q / (4 π ε_{0} r^{2}) = k Q / r^{2}

: de wet van Coulomb.

Een plaat met oppervlakte $A$ en lading $Q$ heeft een oppervlakteladingsdichtheid $σ = Q / A$ . Een doosje dat één kant van de geladen oppervlakte omsluit (de stippellijn in de figuur): alleen door het ondervlak gaat veld, want in de metalen plaat zelf is $E = 0$ . Dus $E A_{doos} = σ A_{doos} / ε_{0}$ en

E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} A}, U = E d = \frac{Q d}{ε _{0} A} \Rightarrow C = \frac{Q}{U} = \frac{ε _{0} A}{d} .

vlakke condensator en energie in het veld

C = ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d} W = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2} \cdot A d

Geldt als

d

klein is tegenover de plaat (het randveld verwaarloosd). Een isolator met relatieve permittiviteit

ε_{r}

polariseert: zijn eigen ladingen verschuiven een beetje en verzwakken het veld

ε_{r}

keer, zodat dezelfde lading minder spanning geeft. De energie zit in het veld zelf:

\frac{1}{2} ε E^{2}

joule per kubieke meter.

Wat de formule vertelt: capaciteit vraag je van een groot oppervlak, een kleine afstand en een isolator met grote $ε_{r}$ . Maar een kleine afstand verdraagt weinig spanning (het veld $U / d$ moet onder de doorslagsterkte blijven), en materialen met een enorme $ε_{r}$ hebben er nadelen bij: bij keramiek hangt de capaciteit af van de spanning en de temperatuur. Elk condensatortype is een ander compromis:

isolator (diëlektricum)	$ε_{r}$
vacuüm	1
lucht (1 bar)	1,0006
PTFE (teflon)	2,1
polypropyleen (PP)	2,2
polyester (PET)	3,3
aluminiumoxide (elco)	±9
tantaaloxide	±27
water (20 °C)	±80
bariumtitanaatkeramiek	10³ tot 10⁴

Tussen de platen is het veld homogeen; alleen aan de randen buigt het uit. Het doosje van Gauss vangt de lading van één plaatoppervlak.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.8

Een foliecondensator voor 230 V

8/28

Een motorcondensator van 10 µF voor 230 V (hoofdstuk 20 zet er een bij de drukpomp) is een opgerolde polypropyleenfolie van 5 µm dik, aan beide kanten met een laagje metaal opgedampt. (a) Hoe groot moet de folie zijn, en hoe lang is een rol van 5 cm breed? (b) Welk veld staat er in de folie bij de piek van de netspanning, en welke energie zit er dan in? (c) Hoe groot zouden twee platen in lucht op 1 mm afstand moeten zijn voor dezelfde 10 µF?

Gegeven

$C = 10 μ F$ , $d = 5 μ m$ , $ε_{r} = 2, 2$ (PP)
$\hat{U} = 325 V$

Gevraagd

$A$ en de lengte van de rol
$E$ en $W$ bij 325 V
oppervlakte in lucht

Oplossing

1
$A = \frac{C d}{ε _{0} ε _{r}} = \frac{10 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 6}}{8 , 854 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 2 , 2} = 2, 57 m^{2}$ .
2
Bij 5 cm breedte: $2, 57/0, 05 = 51 m$ folie. Opgerold met een tweede folie (anders raken de metaallagen elkaar bij het wikkelen) wordt het een cilinder van enkele centimeter dik. Bij het oprollen werken beide kanten van elke folie mee: in werkelijkheid volstaat ongeveer de helft.
3
(b) $E = \hat{U} / d = 325/ (5 \cdot 1 0^{- 6}) = 65 V/ μ m$ , twintig keer meer dan lucht verdraagt (3 V/µm); polypropyleen houdt enkele honderden V/µm uit. $W = \frac{1}{2} C \hat{U}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 5} \cdot 32 5^{2} = 0, 53 J$ .
4
(c) $A = C d / ε_{0} = 1 0^{- 5} \cdot 1 0^{- 3} / (8, 854 \cdot 1 0^{- 12}) = 1129 m^{2}$ : een vierkant van 34 m zijde.

Antwoord

Een folie van 2,6 m² (een rol van 51 m bij 5 cm breedte); in de folie staat 65 V/µm bij de piek van het net, en de condensator bevat dan 0,53 J. In lucht zou het een plaat van 1129 m² vragen: de dunne folie wint een factor 200, de isolator nog eens 2,2.

Klopt dit? Orde van grootte: een echte motorcondensator van 10 µF / 450 V is een cilinder van ongeveer 4 cm diameter en 7 cm lang, ongeveer 90 cm³. De folie alleen neemt

2, 57 m^{2} \cdot 5 μ m = 13 c m^{3}

in (met metaallaag, marges en behuizing meer): het klopt. Een opgedampte metaallaag heeft nog een voordeel: bij een doorslagje verdampt ze plaatselijk en isoleert zichzelf ('zelfherstellend').

Uitgewerkt voorbeeld · 19.9

Waarom een supercondensator één farad haalt

9/28

In hoofdstuk 24 van I hield een supercondensator van 1 F de 5 V-rail 3 s overeind, en een vlakke condensator van 1 F in lucht met 1 mm afstand vroeg ruim 100 km² plaat. Hoe kan een doosje van enkele cm³ dan 1 F halen? Gebruik $C = ε A / d$ met de afmetingen van een elektrische dubbellaag: ionen die op ongeveer 0,5 nm van een koolstofoppervlak liggen, in een laagje met $ε_{r} \approx 8$ . Actieve kool heeft ongeveer 1500 m² oppervlak per gram.

Aan elke elektrode ligt een laag ionen op een halve nanometer: twee condensatoren in serie, gescheiden door een poreuze scheider.

Gegeven

$d \approx 0, 5 nm$ , $ε_{r} \approx 8$ (orde van grootte)
actieve kool: $\approx 1500 m^{2} /g$
organisch elektrolyt: hoogstens $\approx 2, 7 V$ per cel

Gevraagd

$C$ per cm² en per gram
waarom de spanning zo laag blijft
hoe een cel van 1 F / 5,5 V is opgebouwd

Oplossing

1
Per vierkante meter: $\frac{ε _{0} ε _{r}}{d} = \frac{8 , 854 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 8}{0 , 5 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 0, 142 F/ m^{2}$ , of $14 μ F/c m^{2}$ (gemeten waarden liggen rond 10 tot 20 µF/cm²).
2
Per gram koolstof: $0, 142 \cdot 1500 \approx 213 F/g$ . Voor 1 F volstaat $7, 1 m^{2}$ oppervlak: $4, 7 mg$ koolstof. Tegenover de plaat in lucht ( $d$ is 2 miljoen keer kleiner) is dat het hele geheim.
3
De prijs: over 0,5 nm staat bij 1,35 V (de helft van een cel van 2,7 V) een veld van $1, 35/ (0, 5 \cdot 1 0^{- 9}) = 2, 7 \cdot 1 0^{9} V/m$ , bijna duizend keer de doorslagsterkte van lucht. Boven ongeveer 2,7 V ontleedt het elektrolyt zelf. Meer spanning kan alleen door cellen in serie te zetten.
4
Elke cel heeft twee elektroden, elk met een eigen dubbellaag: twee condensatoren in serie, dus de helft van de capaciteit van één elektrode. Een 'supercondensator van 1 F / 5,5 V' bestaat uit twee cellen van 2 F / 2,75 V in serie; elke elektrode moet dan 4 F halen. In de praktijk haalt actieve kool per elektrode ongeveer 100 F/g (niet alle poriën zijn bereikbaar voor de ionen): 0,04 g per elektrode, 0,16 g voor het geheel.

Antwoord

Een dubbellaag geeft ongeveer 14 µF/cm², en actieve kool heeft zoveel binnenoppervlak dat een gram in theorie ongeveer 210 F haalt. De afstand van een halve nanometer geeft de capaciteit, maar laat maar ongeveer 2,7 V per cel toe: daarom zijn supercondensatoren voor 5,5 V twee cellen in serie.

Klopt dit? Energie:

\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5, 5^{2} = 15 J

(

4 mWh

) in een onderdeel van enkele gram, ordegrootte 5 Wh/kg voor grote cellen, tegenover ongeveer 110 Wh/kg voor een LiFePO4-batterij (hoofdstuk 24 van I). Een supercondensator slaat weinig energie op, maar kan ze zeer snel en eindeloos vaak opnemen en afgeven: geen chemische reactie, alleen ionen die verschuiven.

Uitleg · 19.10

Het magnetisch veld van een stroomdraad en een spoel

10/28

Een stroom maakt een magnetisch veld $B$ (eenheid tesla, T). Het aardmagnetisch veld in België is ongeveer 50 µT, een koelkastmagneet enkele mT, een neodymiummagneet ruim 1 T aan zijn oppervlak. Zoals Coulomb het veld van een lading geeft, geeft de wet van Biot-Savart het veld van een stukje stroom:

wet van Biot-Savart

d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}}, μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A

d l

langs de stroom,

\overset{r}{^}

van het stukje naar het punt. Het vectorproduct (hoofdstuk 5) zegt:

d B

staat loodrecht op de draad en op

\overset{r}{^}

, de velden draaien rond de draad (rechterhandregel).

Een lange rechte draad. Leg de draad langs de $z$ -as en kijk op afstand $a$ . Voor een stukje op hoogte $z$ is $r^{2} = a^{2} + z^{2}$ en de sinus van de hoek tussen $d l$ en $\overset{r}{^}$ is $a / r$ . Alle bijdragen wijzen dezelfde kant op, dus mag je de groottes optellen (hoofdstuk 3):

B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{a d z}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{μ _{0} I}{4 π} [\frac{z}{a a ^{2} + z ^{2}}]_{- \infty}^{\infty} = \frac{μ _{0} I}{4 π} \cdot \frac{2}{a} = \frac{μ _{0} I}{2 π a} .

Voor symmetrische gevallen gaat het sneller met de wet van Ampère: loop je langs een gesloten lus en tel je $B$ maal de weg op (de component langs de lus), dan vind je $μ_{0}$ maal de stroom die door de lus gaat. Een cirkel rond de draad: $B \cdot 2 π a = μ_{0} I$ , dezelfde uitkomst in één regel.

wet van Ampère, rechte draad, lange spoel

\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{omsloten} B_{draad} = \frac{μ _{0} I}{2 π a} B_{spoel} = μ_{0} \frac{N I}{l} = μ_{0} n I

Spoel: een rechthoekige lus met één zijde binnen (lengte

l

) en de andere ver buiten omsluit

N I

; alleen de zijde binnenin draagt bij.

n = N / l

is het aantal windingen per meter. Met een ijzerkern wordt het veld

μ_{r}

keer groter, tot het ijzer verzadigt (ongeveer 1,5 tot 2 T).

De formule van de lange spoel geldt in het midden van een spoel die veel langer is dan breed. Met Biot-Savart op elke winding (opdracht 19.17 geeft het veld van één winding) vind je het veld op de as van een echte spoel: in het midden bijna $μ_{0} n I$ , aan de uiteinden de helft, en buiten valt het snel weg.

Dezelfde windingsdichtheid, andere lengte: de lange spoel haalt in het midden 9,94 mT, bijna µ₀nI; de korte spoel maar 8,62 mT. Aan de uiteinden van de lange spoel (stippellijnen) is het veld de helft.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.11

Waarom de plus- en minkabel samen lopen

11/28

Tussen de batterij en de netomvormer van het station loopt bij vol vermogen ongeveer 90 A (hoofdstuk 7). (a) Hoe groot is het magnetisch veld op 2 cm en op 0,50 m van één geleider? (b) En als de heen- en terugleiding naast elkaar liggen, met een hartafstand van 12 mm? (c) Waarom telt dat voor een kompas, een gevoelige sensor en de omvormer zelf?

Logaritmische assen: één geleider (helling −1) tegenover heen en terug naast elkaar (helling −2). Al op 10 cm zakt het paar onder het aardveld.

Gegeven

$I = 90 A$ ; hartafstand $d = 12 mm$
aardmagnetisch veld $\approx 50 μ T$

Gevraagd

$B$ van één geleider op 2 cm en 0,50 m
$B$ van het paar op 0,50 m

Oplossing

1
(a) $B = \frac{μ _{0} I}{2 π a} = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 90}{2 π \cdot 0 , 02} = 900 μ T$ op 2 cm, en $36 μ T$ op 0,50 m: van dezelfde orde als het aardveld.
2
(b) Twee tegengestelde stromen: hun velden heffen elkaar bijna op. Op afstand $r ≫ d$ scheelt de afstand tot de twee draden ongeveer $d$ , en blijft over $B \approx \frac{μ _{0} I}{2 π} (\frac{1}{r - d /2} - \frac{1}{r + d /2}) \approx \frac{μ _{0} I d}{2 π r ^{2}}$ .
3
Op 0,50 m: $\frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 90 \cdot 0 , 012}{2 π \cdot 0 , 25} = 0, 86 μ T$ (de exacte vectorsom geeft hetzelfde). Het veld van een paar daalt met $1/ r^{2}$ in plaats van $1/ r$ : op 0,50 m 42 keer minder.
4
(c) Een kompas of een magnetometer meet het aardveld van 50 µT; een losse kabel ernaast zou het met tientallen µT verstoren, en bij elke verandering van de stroom anders. Het omsloten oppervlak tussen heen- en terugleiding bepaalt ook hoeveel spanning een veranderende stroom in naburige lussen opwekt (Faraday, verderop) en hoeveel zelfinductie de kabel heeft: bij een omvormer die in microseconden schakelt, telt elke nanohenry.

Antwoord

Eén geleider: 900 µT op 2 cm en 36 µT op 0,50 m. Het paar: 0,86 µT op 0,50 m. Regel voor het station: plus en min van elke gelijkstroomkabel naast elkaar (of getwist), nooit langs verschillende wegen.

Klopt dit? Dimensies: T·m/A · A / m = T. De benadering

μ_{0} I d / (2 π r^{2})

is in alle richtingen dezelfde (een 'lijndipool'), en de figuur toont dat ze vanaf enkele centimeter samenvalt met de exacte som. Dezelfde reden zit achter getwiste paren in netwerkkabels en sensordraden: de velden van heen en terug heffen elkaar op.

Uitleg · 19.12

De Lorentzkracht

12/28

Een lading die beweegt in een magnetisch veld voelt een kracht loodrecht op haar snelheid en op het veld. Samen met de elektrische kracht:

Lorentzkracht

F = q (E + v \times B) ∣ F_{B} ∣ = ∣ q ∣ v B sin θ

θ

is de hoek tussen

v

B

. Evenwijdig aan het veld bewegen kost niets. Voor een negatieve lading keert de kracht om. De richting volgt uit het vectorproduct (hoofdstuk 5): krul de vingers van je rechterhand van

v

naar

B

, je duim wijst langs

v \times B

Op een stroomdraad. In een draad met doorsnede $A$ bewegen $n$ ladingen $q$ per m³ met een driftsnelheid $v_{d}$ : de stroom is $I = n q v_{d} A$ . Op een stuk $L$ zitten $n A L$ ladingen, elk met kracht $q v_{d} \times B$ . Samen $n A L q v_{d} \times B = I L \times B$ , met $L$ in de richting van de stroom. Dat is de $F = B I l$ van hoofdstuk 26 van I, nu met een richting. De driftsnelheid zelf is klein: in koper ( $n = 8, 5 \cdot 1 0^{28} m^{- 3}$ ) loopt 10 A door 5 mm² aan $0, 15 mm/s$ .

kracht op een draad en straal van de cirkelbaan

F = I L \times B r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}

Omdat de magnetische kracht loodrecht op

v

staat, verricht ze geen arbeid: ze buigt de baan af zonder de snelheid te veranderen. Loodrecht op een homogeen veld wordt dat een cirkel, met

q v B = m v^{2} / r

als middelpuntzoekende kracht (hoofdstuk 8).

Toepassingen: elke elektromotor en luidspreker ( $I L \times B$ ), de massaspectrometer en het cyclotron (de straal hangt af van de massa), het noorderlicht (geladen deeltjes van de zon die rond de aardmagnetische veldlijnen spiraliseren), en de Hall-sensor van het volgende blad. Een elektron van $2 \cdot 1 0^{6} m/s$ in 10 mT beschrijft een cirkel van $1, 14 mm$ .

Links in isometrie: v langs x, B langs y, dan wijst v × B langs z. Rechts: loodrecht op een homogeen veld maakt een geladen deeltje een cirkel.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.13

De Hall-sensor in de stroommeter van de module

13/28

Op A4 van de Mega meet een ACS712 de stroom van de klimaatmodule (hoofdstuk 16 van I). Het is een Hall-sensor: de stroom loopt door een koperbaantje in het ic, en een halfgeleiderplaatje erboven meet het veld ervan. (a) Leid de Hall-spanning af voor een plaatje met dikte $t$ en ladingsdichtheid $n$ . (b) Bereken ze voor een koperen strip (10 A, 0,10 T, 1 mm dik) en voor een halfgeleiderplaatje ( $n = 1 0^{22} m^{- 3}$ , 5 mA, 50 mT, 0,1 mm dik). (c) De ACS712-20A geeft 2,5 V bij 0 A en 100 mV per ampère. Wat meet A4 bij 12 A, en wat is de kleinste stap in stroom?

De stroom loopt naar rechts, de elektronen dus naar links; het veld uit het blad buigt ze naar de onderrand. Tussen boven- en onderrand ontstaat de Hall-spanning.

Gegeven

$n_{Cu} = 8, 5 \cdot 1 0^{28} m^{- 3}$ , $q = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} C$
ACS712-20A: 100 mV/A, 2,5 V bij 0 A; ADC 10 bit op 5 V (4,88 mV per stap)

Gevraagd

$U_{H}$ algemeen, voor koper en voor de halfgeleider
spanning op A4 bij 12 A; stroom per ADC-stap

Oplossing

1
(a) De ladingsdragers drijven met $v_{d}$ door een plaatje met breedte $b$ en dikte $t$ . De Lorentzkracht duwt ze naar één rand; daar hopen ze op tot het dwarsveld $E_{H}$ even hard terugduwt: $q E_{H} = q v_{d} B$ . Met $U_{H} = E_{H} b$ en $v_{d} = I / (n q b t)$ valt $b$ weg:
2
$U_{H} = v_{d} B b = \frac{I B}{n q t}$ . Hoe minder ladingsdragers, hoe groter de spanning: bij evenveel stroom moeten ze sneller bewegen.
3
(b) Koper: $U_{H} = \frac{10 \cdot 0 , 10}{8 , 5 \cdot 1 0 ^{28} \cdot 1 , 602 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 1 0 ^{- 3}} = 73 nV$ : onmeetbaar klein naast ruis en thermospanningen. Halfgeleider: $U_{H} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 0 , 05}{1 0 ^{22} \cdot 1 , 602 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 1 0 ^{- 4}} = 1, 56 mV$ : goed te versterken.
4
(c) Bij 12 A: $2, 5 + 12 \cdot 0, 100 = 3, 7 V$ op A4, ruw ongeveer $3, 7/5 \cdot 1024 = 758$ . Eén ADC-stap is $4, 88 mV$ , dus $4, 88/100 = 0, 049 A$ per stap.

Antwoord

U_{H} = I B / (n q t)

: 73 nV in koper, 1,6 mV in de halfgeleider. Daarom zijn Hall-sensoren halfgeleiders. De ACS712 geeft 3,7 V bij 12 A en meet in stappen van 49 mA; de koperbaan en de elektronica zijn galvanisch gescheiden (tot 2,1 kV volgens de datasheet).

Klopt dit? Het teken van

U_{H}

verraadt het teken van de ladingsdragers: in koper en in een n-halfgeleider zijn het elektronen, in een p-halfgeleider gaten, en dan keert

U_{H}

om. Edwin Hall mat het effect in 1879 in goud, bijna twintig jaar voor de ontdekking van het elektron. Een Hall-sensor meet ook gelijkstroom, wat een stroomtransformator niet kan (verderop).

Uitleg · 19.14

Magnetische flux en de wet van Faraday

14/28

Hoeveel veld gaat er door een lus? Dat is de magnetische flux, zoals de elektrische flux van Gauss:

magnetische flux

Φ = B \cdot A = B A cos θ 1 Wb = 1 T m^{2} = 1 V s

A

staat loodrecht op het vlak van de lus,

θ

is de hoek tussen

B

en die normaal. Bij een niet-homogeen veld:

Φ = \int B \cdot d A

Faradays ontdekking in één formule: een lus waarvan de flux verandert, krijgt een emk (elektromotorische kracht: een spanning die stroom kan drijven), evenredig met de snelheid van de verandering.

wet van Faraday

e = - N \frac{d Φ}{d t}

N

windingen in serie tellen op. Het minteken is de wet van Lenz (verderop). De flux kan op drie manieren veranderen:

B

verandert (transformator),

A

verandert (een bewegende geleider), of

θ

verandert (een draaiende spoel: de generator).

Een bewegende geleider. Een staaf met lengte $L$ schuift met snelheid $v$ over twee rails, loodrecht op een veld $B$ (figuur). Op elke lading in de staaf werkt $q v \times B$ , langs de staaf: de ladingen worden naar één uiteinde geduwd. De arbeid per lading over de staaf is de emk: $e = v B L$ . Faraday zegt hetzelfde: de omsloten oppervlakte $A = Lx$ groeit met $d A / d t = Lv$ , dus $∣ e ∣ = B Lv$ . Twee verklaringen, één verschijnsel.

De energiebalans. Sluit je de rails met een weerstand $R$ , dan loopt $I = B Lv / R$ , en de staaf voelt $F = B I L$ tegen de beweging in. Wie de staaf aan constante snelheid wil houden, moet duwen met vermogen $F v = B I Lv = e I = I^{2} R$ : elke joule warmte in de weerstand komt uit het duwen. Dat is een generator in zijn eenvoudigste vorm, en ook de reden waarom een generator zwaarder draait zodra je er stroom uit neemt.

De staaf schuift naar rechts in een veld het blad in: de stroom loopt omhoog door de staaf, en de kracht BIL remt de beweging af.

Proef · 19.15

Een magneet valt door een spoel

15/28

Onderzoeksvraag

Hoe ziet de spanning eruit die een vallende magneet in een spoel opwekt, en welke grootheid blijft gelijk als je de magneet van hoger laat vallen?

Materiaal

spoel met ±300 windingen (straal ±12 mm), eventueel zelf gewikkeld op een pvc-buis
neodymiummagneet Ø 10 × 10 mm, een pvc- of kartonnen buis die rechtop door de spoel past
oscilloscoop of meetinterface (minstens 5000 metingen per seconde; bij een Arduino: de spoel tussen A0 en een deler die 2,5 V geeft)
Python of een rekenblad om de oppervlakte onder de pulsen te berekenen, meetlint, zachte opvang (schuim)

VeiligheidNeodymiummagneten niet tegen elkaar laten klappen; de opvang onder de buis zacht maken, want de magneet is bros.

Model van de proef: de flux (stippellijn, rechts) stijgt en daalt; de emk is haar negatieve afgeleide. Beide pulsen hebben dezelfde oppervlakte.

Werkwijze

1Zet de buis rechtop door de spoel, sluit de spoel aan op de scoop (enkelvoudige trigger op ±0,1 V, 20 ms per hokje).
2Laat de magneet van 10 cm boven het midden van de spoel door de buis vallen. Bewaar het beeld of de meetreeks.
3Herhaal van 5 cm en van 20 cm. Noteer telkens beide pieken en de tijd ertussen.
4Bereken met de meetreeks de oppervlakte onder elke puls (trapeziumregel, hoofdstuk 3).
5Draai de magneet om en laat hem nog eens vallen. Sluit de spoel daarna kort met een weerstand van 10 Ω en herhaal.

Waarneming

Twee pulsen van tegengesteld teken: één terwijl de magneet de spoel nadert, één terwijl hij haar verlaat. Het model (figuur) voorspelt voor 10 cm pieken van −1,15 V en +1,22 V op 8,6 ms van elkaar; de tweede is iets hoger en smaller, omdat de magneet sneller gaat. Van hoger vallen geeft hogere en smallere pulsen, maar de oppervlakte van elke puls blijft gelijk (11,8 mV·s in het model). Omgedraaid: beide pulsen keren om. Met de weerstand van 10 Ω loopt er stroom, en de magneet valt merkbaar trager door de spoel.

Verklaring

Integreer de wet van Faraday over één puls: $\int e d t = - N ΔΦ$ . De flux gaat van (bijna) nul tot haar maximum $N Φ_{max}$ als de magneet in het midden zit, en terug naar nul. De oppervlakte hangt dus alleen af van de magneet en de spoel, niet van de snelheid: sneller vallen geeft een hogere maar kortere puls. Het model beschrijft de magneet als een kleine dipool met magnetisch moment $m = B_{r} V / μ_{0} = 0, 75 A m^{2}$ ; de flux door één winding op afstand $z$ is dan $Φ = μ_{0} m R^{2} / (2 (R^{2} + z^{2})^{3/2})$ , met als maximum $N Φ_{max} = 11, 8 mWb$ . De piek volgt uit $e = - N \frac{d Φ}{d z} \frac{d z}{d t}$ : evenredig met de snelheid ( $1, 40 m/s$ na 10 cm vallen). Een echte magneet is geen punt: vlak bij de spoel wijkt de meting enkele tientallen procenten af, de oppervlakte veel minder. De tragere val met de weerstand is de wet van Lenz (volgend blad).

Uitleg · 19.16

De wet van Lenz

16/28

Het minteken in $e = - N d Φ/ d t$ bepaalt de richting: de inductiestroom werkt de verandering tegen die hem veroorzaakt. Nadert een noordpool een ring, dan maakt de ringstroom zelf een noordpool naar de magneet toe: ze stoten af. Verwijdert hij zich, dan trekt de ring hem terug. Dat is geen extra natuurwet maar behoud van energie: stel dat het teken andersom was, dan zou de ring de magneet aantrekken, sneller laten bewegen, meer stroom geven, nog harder trekken, en zou je energie uit het niets halen.

In massieve metalen lopen de inductiestromen in lussen rond: wervelstromen. Ze remmen en verwarmen, en worden zo nuttig als hinderlijk:

Wervelstroomrem: een vrije-valtoren of achtbaan remt af met koperen of aluminium vinnen die tussen sterke magneten schuiven. De remkracht is evenredig met de snelheid: ze stopt nooit abrupt, en werkt zonder stroom en zonder slijtage. Een magneet in een koperen buis valt om dezelfde reden traag (opdracht 19.14).
Inductiekookplaat: een spoel met wisselstroom van tientallen kHz wekt wervelstromen op in de bodem van de pan, die zo zelf de warmtebron wordt.
Gelamineerde kernen: in de ijzerkern van een transformator of motor zouden wervelstromen energie verspillen. Dunne, geïsoleerde plaatjes onderbreken hun weg.
De kortsluitrem van een windturbine: verbind je de drie fasen van de generator met elkaar, dan lopen er grote stromen en remt de generator de rotor. Hoe goed dat werkt bij hoge snelheid, bereken je in opdracht 19.18.

De inductiestroom werkt het veld tegen

Hij werkt de verandering van de flux tegen, niet het veld zelf. Trek je een magneet weg uit een ring, dan versterkt de ringstroom het veld van de magneet binnen de ring: hij probeert de verdwijnende flux op peil te houden.

Koperen vinnen die tussen magneten schuiven: wervelstromen remmen de gondel zacht en zonder slijtage af.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.17

De emk van een draaiende spoel

17/28

Een rechthoekige spoel met $N$ windingen en oppervlakte $A$ draait met hoeksnelheid $ω$ in een homogeen veld $B$ , om een as loodrecht op het veld. Leid de emk af. Reken daarna uit wat een spoel van 250 windingen van 4 cm × 5 cm in 0,25 T geeft bij 25 omwentelingen per seconde.

Waar de flux maximaal is (t = 0, 20 ms, ...), is de emk nul; waar de flux door nul gaat (t = 10 ms), is de emk het grootst.

Gegeven

$N = 250$ , $A = 0, 04 \cdot 0, 05 = 2, 0 \cdot 1 0^{- 3} m^{2}$ , $B = 0, 25 T$ , $f = 25 Hz$

Gevraagd

$e (t)$ algemeen
$\hat{E}$ en $E_{eff}$

Oplossing

1
De normaal op de spoel maakt op tijdstip $t$ een hoek $θ = ω t$ met het veld (op $t = 0$ staat de spoel loodrecht op $B$ ): $Φ (t) = B A cos ω t$ .
2
Faraday: $e = - N \frac{d}{d t} (B A cos ω t) = N B A ω sin ω t$ . De emk is maximaal als de spoel evenwijdig met het veld staat (de flux is dan nul, maar verandert het snelst) en nul als ze er loodrecht op staat.
3
$ω = 2 π \cdot 25 = 157, 1 rad/s$ ; $\hat{E} = N B A ω = 250 \cdot 0, 25 \cdot 2, 0 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 157, 1 = 19, 6 V$ .
4
Effectief (hoofdstuk 3): $E_{eff} = \hat{E} / 2 = 13, 9 V$ .

Antwoord

e (t) = N B A ω sin ω t

: een sinus met amplitude evenredig met het toerental. Hier 19,6 V piek bij 25 Hz. In fasortaal (hoofdstuk 7): de emk ijlt 90° voor op de flux, zoals elke afgeleide.

Klopt dit? Dimensies: T·m²/s = Wb/s = V. Twee keer zo snel draaien verdubbelt de amplitude én de frequentie. Daarom kan een generator die met wisselend toerental draait (een windturbine) nooit rechtstreeks aan een net met vaste spanning en frequentie: je richt eerst gelijk (verderop), of je laat de rotor met een vast toerental draaien (zoals grote centrales).

Uitleg · 19.18

Zelfinductie en de energie in een spoel

18/28

Een spoel voelt haar eigen flux. Verandert de stroom, dan verandert de flux, en wekt de spoel in zichzelf een emk op die de verandering tegenwerkt (Lenz). De verhouding tussen de gekoppelde flux en de stroom is de zelfinductie $L$ :

zelfinductie

L = \frac{N Φ}{I} u = L \frac{d i}{d t} L_{spoel} = μ_{0} μ_{r} \frac{N ^{2} A}{l}

Eenheid henry:

1 H = 1 V s/A

. Voor een lange spoel volgt

L

uit

Φ = B A

met

B = μ_{0} N I / l

N

staat in het kwadraat: dubbel zoveel windingen geeft dubbel zoveel flux, die dubbel zoveel windingen doorsnijdt.

u = L d i / d t

is de spanning over de spoel (hoofdstuk 1, en

Z_{L} = j ω L

in hoofdstuk 7).

Om de stroom op te bouwen, moet de bron werk leveren tegen die emk in: $d W = u i d t = L i d i$ . Integreren van 0 tot $I$ (hoofdstuk 3):

energie in een spoel

W = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} \cdot A l

De tweede vorm (met

L

B

van de lange spoel) toont: de energie zit in het magnetisch veld,

B^{2} / (2 μ_{0})

per m³, net zoals die van een condensator in het elektrisch veld zit.

Die energie moet ergens heen als je de stroom onderbreekt. Een schakelaar of transistor die in een microseconde opent, geeft $u = L d i / d t$ van honderden of duizenden volt: de spanning stijgt tot er iets doorslaat, een vonk over het contact of de transistor zelf. Daarom kreeg elke pomp, klep en elk relais in de klimaatmodule een vrijloopdiode (hoofdstuk 23 van I): de stroom loopt door de diode verder en sterft uit met $τ = L / R$ (hoofdstuk 4). Het volgende voorbeeld toont de keerzijde: een klep valt zo trager af.

Twee spoelen die elkaars flux delen, beïnvloeden elkaar: een veranderende stroom in de ene wekt een spanning in de andere, met een wederzijdse inductie $M$ . Op dat principe draait de transformator.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.19

De magneetklep uitschakelen: diode of zener?

19/28

De CO₂-klep van de klimaatmodule (D10, hoofdstuk 23 van I) is een magneetklep van 12 V met, als rekenwaarden, $R = 24 Ω$ en $L = 0, 12 H$ ; ze valt dicht als de stroom onder 150 mA zakt. De MOSFET schakelt ze uit. (a) Hoeveel energie zit er in de spoel? (b) Hoe lang duurt het tot de klep dicht is met alleen een vrijloopdiode (0,7 V)? (c) En als er een zenerdiode van 33 V in serie met de vrijloopdiode staat? Welke spanning ziet de MOSFET dan (die verdraagt 55 V)?

Na het uitschakelen: met alleen een diode sterft de stroom traag uit (τ = 5 ms); met een zener erbij daalt ze bijna recht naar nul in 1,5 ms.

Gegeven

$U = 12 V$ , $R = 24 Ω$ , $L = 0, 12 H$ ; afvallen onder $150 mA$
diode $0, 7 V$ ; zener $33 V$ ; MOSFET tot $55 V$

Gevraagd

$W$
afvaltijd met diode en met diode + zener
spanning op de MOSFET

Oplossing

1
(a) $I_{0} = 12/24 = 0, 50 A$ ; $W = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 12 \cdot 0, 25 = 15 mJ$ ; $τ = L / R = 5 ms$ .
2
Na het uitschakelen loopt de stroom door de spoel, haar weerstand en de klemspanning $U_{k}$ (diode, of diode + zener): $L \frac{d i}{d t} = - (U_{k} + R i)$ . Oplossing (hoofdstuk 4): $i (t) = (I_{0} + \frac{U _{k}}{R}) e^{- t / τ} - \frac{U _{k}}{R}$ , tot $i = 0$ .
3
Afvaltijd: $t = τ ln \frac{I _{0} + U _{k} / R}{I _{af} + U _{k} / R}$ . (b) $U_{k} = 0, 7 V$ : $t = 5 ms \cdot ln \frac{0 , 5 + 0 , 029}{0 , 15 + 0 , 029} = 5, 41 ms$ .
4
(c) $U_{k} = 33, 7 V$ : $t = 5 ms \cdot ln \frac{0 , 5 + 1 , 404}{0 , 15 + 1 , 404} = 1, 02 ms$ ; de stroom is na $1, 52 ms$ helemaal nul. De MOSFET ziet $12 + 33, 7 = 45, 7 V$ : onder 55 V.

Antwoord

De spoel bevat 15 mJ. Met alleen een diode valt de klep na 5,4 ms af, met diode en zener na 1,0 ms, vijf keer sneller. De zener neemt de energie sneller op omdat hij er een hogere spanning tegenover zet; de prijs is een drainspanning van 46 V, dus kies de zener onder de grens van de transistor.

Klopt dit? Energie in de zener: hij voert

\int U_{z} i d t

af, samen met de diode en de spoelweerstand precies de 15 mJ. Zonder enige klem zou

d i / d t

bij 1 µs schakeltijd

5 \cdot 1 0^{5} A/s

zijn, en

u = L d i / d t

= 60 kV

: in werkelijkheid slaat de MOSFET door lang voor dat. Voor de CO₂-klep is 5 ms trager dicht geen probleem; voor een snelle kraan of een injector wel.

Uitleg · 19.20

De transformator

20/28

Twee spoelen rond één gesloten ijzerkern: de primaire met $N_{1}$ windingen aan een wisselspanning, de secundaire met $N_{2}$ windingen aan de last. Het ijzer houdt (bijna) alle flux samen: door elke winding van beide spoelen gaat dezelfde $Φ$ . Faraday voor elke spoel: $u_{1} = N_{1} d Φ/ d t$ en $u_{2} = N_{2} d Φ/ d t$ . Deel ze door elkaar, en $d Φ/ d t$ valt weg:

ideale transformator

\frac{u _{1}}{u _{2}} = \frac{N _{1}}{N _{2}} \frac{i _{1}}{i _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} Z_{1} = (\frac{N _{1}}{N _{2}})^{2} Z_{2}

De stroomverhouding volgt uit behoud van energie (

u_{1} i_{1} = u_{2} i_{2}

zonder verliezen). Een last

Z_{2}

aan de secundaire ziet de bron als

(N_{1} / N_{2})^{2} Z_{2}

: een transformator verandert ook impedanties.

Voor een sinus met amplitude $\hat{Φ} = \hat{B} A$ in de kern geeft Faraday een effectieve spanning per spoel

transformatorformule

U_{eff} = \frac{2 π f N B ^ A}{2} = 4, 44 f N A \hat{B}

\hat{B}

mag in gewoon transformatorijzer tot ongeveer 1,2 à 1,5 T; daarboven verzadigt de kern en schiet de stroom omhoog. Bij een hogere frequentie volstaat een kleinere

N A

: daarom zijn schakelende voedingen, die met tientallen kHz werken, zo klein en licht.

Waarom werkt het niet met gelijkstroom? Een constante stroom geeft een constante flux, en dan is $d Φ/ d t = 0$ : de secundaire levert niets, en de primaire is voor gelijkstroom alleen een koperdraad, een kortsluiting. Dat was precies Faradays waarneming aan de ijzeren ring.

Verliezen. Een echte transformator verliest energie in het koper ( $I^{2} R$ in beide spoelen), in het ijzer (hysterese, het telkens omdraaien van de magnetisatie, en wervelstromen, beperkt door de lamellen), en door strooiflux die maar één spoel omsluit. Een kleine nettransformator haalt ongeveer 85 tot 90 %, een grote vermogenstransformator ruim 99 %. Zonder last neemt de primaire een kleine magnetiseringsstroom, bijna 90° achter op de spanning (hoofdstuk 20). En een stroomtransformator (een stroomtang) is een transformator met de te meten draad als primaire van één winding: de secundaire geeft $I / N_{2}$ , alleen voor wisselstroom.

Links de bouw: primaire en secundaire op de twee benen van één kern, die de flux samenhoudt. Rechts het schemasymbool.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.21

Transformatoren rekenen: van het labo tot de omvormer

21/28

(a) Een veiligheidstransformator voor het labo maakt 12 V uit 230 V, 50 VA, op een kern met een doorsnede van 8 cm² en $\hat{B} = 1, 2 T$ . Hoeveel windingen krijgt elke spoel, en welke draad (3 A/mm²)? (b) Een omvormer kan 230 V maken met een brug van schakelaars aan de 48 V-batterij en een 50 Hz-transformator erachter (hoofdstuk 7: minstens 7,4 keer opwaarts). Welke windingen horen bij 4,0 kVA op een kern van 30 cm²? (c) Hoeveel kleiner mag $N A$ bij een ferrietkern op 40 kHz met $\hat{B} = 0, 15 T$ ?

Gegeven

$U_{1} = 230 V$ , $U_{2} = 12 V$ , $S = 50 VA$ , $A = 8 c m^{2}$ , $\hat{B} = 1, 2 T$
omvormer: batterij minstens 44 V, 4,0 kVA, $A = 30 c m^{2}$

Gevraagd

$N_{1}$ , $N_{2}$ en de draaddiameters
$N_{1}$ , $N_{2}$ en $I_{1}$ van de omvormertransformator
de verhouding 50 Hz tegenover 40 kHz

Oplossing

1
(a) $N_{1} = \frac{U _{1}}{4 , 44 f A B ^} = \frac{230}{4 , 44 \cdot 50 \cdot 8 \cdot 1 0 ^{- 4} \cdot 1 , 2} = 1079$ windingen; $N_{2} = 1079 \cdot 12/230 = 56, 3$ . Onder last zakt de secundaire spanning enkele procenten: men neemt er ongeveer 8 % meer, 61 windingen.
2
Stromen: $I_{1} = 50/230 = 0, 217 A$ , $I_{2} = 50/12 = 4, 17 A$ . Bij 3 A/mm²: $0, 072 m m^{2}$ (Ø 0,30 mm) en $1, 39 m m^{2}$ (Ø 1,33 mm): veel dunne windingen primair, weinig dikke secundair.
3
(b) Een brug aan 44 V maakt hoogstens een sinus van 44 V piek, $44/ 2 = 31, 1 V$ effectief. Verhouding $230/31, 1 = 7, 39$ . $N_{2} = 230/ (4, 44 \cdot 50 \cdot 30 \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1, 2) = 288$ en $N_{1} = 288/7, 39 = 39$ . Primaire stroom bij 4,0 kVA: $4000/31, 1 = 129 A$ .
4
(c) $N A$ is evenredig met $1/ (f \hat{B})$ : $\frac{40 000 \cdot 0 , 15}{50 \cdot 1 , 2} = 100$ . Honderd keer minder windingen maal doorsnede.

Antwoord

(a) 1079 en 56 (onbelast; 61 onder last) windingen, draad Ø 0,30 en 1,33 mm. (b) 288 en 39 windingen, primair 129 A: een kern van tientallen kilo. (c) Bij 40 kHz is

N A

100 keer kleiner: moderne omvormers verhogen de spanning met een kleine hoogfrequente transformator of zonder transformator (hoofdstuk 24).

Klopt dit? Omgekeerd gerekend:

4, 44 \cdot 50 \cdot 1079 \cdot 8 \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1, 2 = 230 V

. Voor een veiligheidstransformator eist de norm bovendien een dubbele isolatie tussen primair en secundair: dat is waarom 12 V uit zo'n toestel veilig is, terwijl een spanningsdeler van 230 V naar 12 V dat nooit is.

Uitleg · 19.22

De generator: van draaiende spoel tot driefasige machine

22/28

Een echte generator keert het beeld van de draaiende spoel om: de magneten draaien (de rotor), de spoelen staan stil (de stator). Zo hoeft de stroom niet via sleepringen van een draaiend deel af te komen. Het veld van de rotor draait door de stator, de flux door elke statorspoel verandert sinusvormig, en elke spoel krijgt een emk. De generator is in feite een transformator waarvan de flux niet heen en weer gaat maar rondloopt: dezelfde formule geldt, per fase

generator

f = \frac{p n}{60} E_{eff} = 4, 44 f N \hat{Φ} \propto n

p

= aantal poolparen op de rotor,

n

= toerental in tpm. Bij elk poolpaar dat voorbijdraait, doorloopt de emk één periode.

\hat{Φ}

is de flux van één pool door een spoel; met permanente magneten ligt die vast, dus groeit de emk evenredig met het toerental. (In de praktijk komt er nog een wikkelfactor iets onder 1 bij.)

Een grote centrale draait met een stoomturbine op 3000 tpm met één poolpaar: 50 Hz. Een waterkrachtcentrale draait trager en heeft meer polen. Een kleine windturbine draait nog trager, en heeft daarom veel polen nodig, zonder tandwielkast ertussen (directe aandrijving):

poolparen $p$	1	2	4	8	12
$f$ bij 80 tpm (Hz)	1,3	2,7	5,3	10,7	16,0
$f$ bij 300 tpm (Hz)	5,0	10,0	20,0	40,0	60,0
toerental voor 50 Hz (tpm)	3000	1500	750	375	250

Drie fasen. Leg drie spoelgroepen 120 elektrische graden uit elkaar, en je krijgt drie emk's die 120° in fase verschillen (hoofdstuk 7: drie wijzers die samen nul geven). Driefasig haal je uit dezelfde machine meer vermogen, en het koppel op de as is constant in plaats van te kloppen met de dubbele frequentie (hoofdstuk 20 toont waarom). Belast je de generator, dan loopt er stroom in de spoelen, en de Lorentzkracht op die stroom (Lenz) geeft een tegenkoppel: $M = P / ω$ . Zo wordt mechanisch vermogen elektrisch vermogen.

Een motor is dezelfde machine in de andere richting: de gelijkstroommotor van hoofdstuk 26 van I had een tegen-emk $k ω$ , precies de emk van een generator. De permanente-magneetgenerator van een windturbine is in bouw gelijk aan de borstelloze motor van hoofdstuk 24.

Ontleed · 19.23

De generator van de windturbine

23/28

Een doorsnede, schematisch, van de permanente-magneetgenerator die we voor de windturbine van het station kiezen: een binnenrotor met 16 magneten (8 poolparen) en een stator met 24 tanden, elk met een eigen spoel. Opeenvolgende tanden liggen 15° mechanisch uit elkaar, en dat is $1 5^{\circ} \cdot 8 = 12 0^{\circ}$ elektrisch: de spoelen horen om beurt bij fase U, V en W.

Magneten (N en Z om beurten) draaien langs 24 spoelen in drie fasen. Elke spoel ziet 8 noordpolen voorbijkomen per omwenteling.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Statorjuk
Gelamineerd plaatijzer (plaatjes van ±0,5 mm, onderling geïsoleerd) dat de flux van de ene tand naar de volgende sluit. Massief ijzer zou vol wervelstromen zitten.
2
Tand met spoel
Elke tand draagt een eigen spoel (geconcentreerde wikkeling). Alle spoelen van één kleur staan in serie: acht spoelen per fase, samen de N van de formule.
3
Magneet
NdFeB, radiaal gemagnetiseerd, N en Z om beurten. Ze leveren de flux zonder stroom: geen bekrachtiging nodig, en de generator werkt al bij lage toerentallen.
4
Luchtspleet
Enkele millimeter tussen magneet en tand. Lucht heeft µr = 1: hoe smaller de spleet, hoe meer flux door de spoelen. Hij moet wel breed genoeg zijn voor lagerspeling en uitzetting.
5
Rotorjuk
Stalen ring waarop de magneten zitten; hij sluit de flux tussen naburige magneten aan de binnenkant.
6
As
Rechtstreeks gekoppeld aan de naaf van de rotor (80 tot 300 tpm): geen tandwielkast, minder onderhoud, minder lawaai.
7
Drie fasen
Drie aansluitingen U, V en W (in ster geschakeld) met een wisselspanning van 10,7 tot 40 Hz, die met de wind in grootte en frequentie verandert. Een zespulsbrug maakt er gelijkspanning van.

Uitgewerkt voorbeeld · 19.24

Habitat: spanning en frequentie van de windturbine

24/28

De windturbine van het station draait van 80 tpm (aanloop bij 3 m/s) tot 300 tpm (3,0 kW bij 11 m/s), hoofdstuk 11. We kiezen een direct aangedreven permanente-magneetgenerator met 16 polen. Als rekenwaarde nemen we een emk van 0,55 V lijnspanning (effectief) per tpm. (a) Welke frequentie en spanning maakt de generator? (b) Welke gelijkspanning geeft een brug van zes diodes? (c) Hoe komt de energie in de 48 V-batterij (44 tot 56 V)? (d) Welke stromen horen bij 3,0 kW, en wat zegt de spanning over de veiligheid?

Alle spanningen groeien evenredig met het toerental. In het werkgebied (groen) ligt de gelijkspanning altijd boven de batterij (oranje strook), en vanaf ±155 tpm boven 120 V, de grens van de zeer lage spanning.

Gegeven

$n = 80$ tot $300 tpm$ ; $p = 8$ ; $U_{lijn} = 0, 55 V \cdot n$ (rekenwaarde)
$P = 3, 0 kW$ bij 300 tpm; batterij 44 tot 56 V

Gevraagd

$f$ en $U_{lijn}$ bij 80 en 300 tpm
$U_{dc}$
de weg naar de batterij
stromen en veiligheid

Oplossing

1
(a) $f = p n /60 = 8 n /60$ : $10, 7 Hz$ bij 80 tpm en $40 Hz$ bij 300 tpm. Lijnspanning $44$ tot $165 V$ ; per fase (ster) $3$ keer minder: $25, 4$ tot $95, 3 V$ .
2
(b) De brug geeft op elk ogenblik de grootste lijnspanning door (volgend blad). Gemiddeld is dat $\frac{3 2}{π} U_{lijn} = 1, 35 U_{lijn}$ : $59$ tot $223 V$ . Zonder last laadt een condensator tot de piek $2 U_{lijn}$ : $62$ tot $233 V$ . De rimpel heeft zes keer de generatorfrequentie: 64 tot 240 Hz.
3
(c) Een neerwaartse omzetter (buck) met MPPT maakt er de laadspanning van (hoofdstuk 24). Hij werkt zolang zijn ingang boven de batterij ligt: vanaf de aanloop is $59 V > 56 V$ . Tegelijk kiest hij, door meer of minder stroom te vragen, het toerental waarbij de rotor het meeste vermogen uit de wind haalt (snellopendheid 5,7, hoofdstuk 11).
4
(d) Bij 3,0 kW: $I_{dc} = 3000/223 = 13, 5 A$ , per fase $2/3 I_{dc} = 11, 0 A$ effectief; aan de batterij (omzetter ±96 %) ongeveer $60 A$ . Koppel op de as bij 90 % rendement van de generator: $3333/31, 42 = 106 N m$ .
5
Veiligheid: boven 120 V gelijkspanning is het geen zeer lage spanning meer. Bij overtoeren zonder last stijgt de spanning evenredig mee: 400 tpm geeft al $311 V$ piek. De kabel van de turbine, de brug en de omzetter worden behandeld als 230 V-installatie, met onderdelen voor minstens 400 V, en de turbine mag nooit zonder last vrij draaien: een dumpbelasting neemt het vermogen over als de batterij vol is (opdracht 19.18).

Antwoord

Dossier: generator met permanente magneten, 16 polen, driefasig, direct aangedreven; 10,7 tot 40 Hz; 44 tot 165 V lijnspanning; na de zespulsbrug 59 tot 223 V gelijk; MPPT-omzetter naar 48 V (hoofdstuk 24). Bij 3,0 kW 13,5 A gelijkstroom en 11,0 A per fase. Boven 330 tpm (overtoeren) neemt een dumpbelasting het vermogen op.

Klopt dit? Waarom geen generator die rechtstreeks 48 V geeft? Dan zou de gelijkspanning bij 300 tpm rond 56 V moeten liggen en bij de aanloop maar 15 V: de omzetter zou moeten opwaarts én neerwaarts omzetten, en de stroom in de lange kabel van de mast zou vier keer groter zijn (hoofdstuk 20 rekent het verlies uit; opdracht 19.19 weegt af). Het toerental volgt meteen uit de frequentie:

n = 60 f / p = 7, 5 f

. Het kritische toerental 62 tpm (hoofdstuk 11) ligt onder de aanloop; 163 tpm geeft 21,7 Hz.

Code · 19.25

Habitat: de gelijkrichter doorgerekend

25/28

Een brug van zes diodes (hoofdstuk 23 van I) verbindt op elk ogenblik de hoogste fase met de plus en de laagste met de min. De uitgang is dus het verschil tussen de bovenste en de onderste van de drie sinussen: zes toppen per periode. Het programma berekent de gemiddelde gelijkspanning en de rimpel over het hele werkgebied, en controleert de factor $32 / π$ . De functies fasen en brug tekenen ook de figuur.

Pythongelijkrichter.py27 regelsDownload

# gelijkrichter.py - generator van de windturbine met zes diodes: welke gelijkspanning, welke rimpel?import numpy as np P_POOL = 8          # poolparen (16 magneetpolen)K_E = 0.55          # emk: lijnspanning (effectief, V) per tpm, rekenwaarde  def fasen(t, n):    """De drie fasespanningen (V) van de generator op tijdstip t (s) bij n tpm."""    f = P_POOL * n / 60    amp = K_E * n / np.sqrt(3) * np.sqrt(2)              # amplitude van één fase    return np.array([amp * np.cos(2 * np.pi * f * t - k * 2 * np.pi / 3) for k in range(3)])  def brug(t, n):    """Ideale zespulsbrug: de hoogste fase min de laagste (diodes zonder spanningsval)."""    u = fasen(t, n)    return u.max(axis=0) - u.min(axis=0)  print(" tpm   f (Hz)  U_lijn  U_dc gem  rimpel  f_rimpel (Hz)")for n in (80, 120, 163, 200, 250, 300):    f = P_POOL * n / 60    t = np.linspace(0, 1 / f, 6000, endpoint=False)    # één periode    u = brug(t, n)    print(f"{n:4d} {f:7.1f} {K_E * n:8.1f} {u.mean():8.1f} {u.max() - u.min():7.1f} {6 * f:9.0f}")print(f"U_dc gem / U_lijn = {u.mean() / (K_E * 300):.4f}   (theorie 3·√2/π = {3 * np.sqrt(2) / np.pi:.4f})")

De drie fasen van de generator bij 300 tpm (40 Hz) en wat de zes diodes ervan maken: een gelijkspanning tussen 202 en 233 V.

Uitvoer:

 tpm   f (Hz)  U_lijn  U_dc gem  rimpel  f_rimpel (Hz)
  80    10.7     44.0     59.4     8.3        64
 120    16.0     66.0     89.1    12.5        96
 163    21.7     89.7    121.1    17.0       130
 200    26.7    110.0    148.6    20.8       160
 250    33.3    137.5    185.7    26.1       200
 300    40.0    165.0    222.8    31.3       240
U_dc gem / U_lijn = 1.3505   (theorie 3·√2/π = 1.3505)

De rimpel is 14,0 % van het gemiddelde ( $2 U (1 - cos 3 0^{\circ})$ ), altijd met zes keer de generatorfrequentie. Een condensator achter de brug vlakt hem verder af. De figuur toont 50 ms bij 300 tpm: twee periodes van de generator, twaalf toppen na de brug. In het echt komen er nog twee diodespanningen af (ongeveer 1,6 V) en een spanningsval over de spoelen van de generator onder last (hoofdstuk 20).

Code · 19.26

Habitat: het toerental meten zonder sensor

26/28

Hoofdstuk 11 vroeg dat de regelaar van de turbine weet hoe snel de rotor draait: rond 62 tpm mag hij niet blijven hangen, tussen 155 en 171 tpm moet hij snel door, en overtoeren moet hij zien. Een aparte toerentalsensor is niet nodig: de generator vertelt het zelf, want $n = 60 f / p$ . Een optocoupler (met een voorschakelweerstand, galvanisch gescheiden: het is geen zeer lage spanning) zet één lijnspanning om in een blokgolf op pin 2 van een microcontroller. pulseIn meet de hoge en de lage helft in microseconden.

C++ (Arduino)toerental.ino27 regelsDownload

// toerental.ino - toerental van de windturbine uit de frequentie van haar generator// Een optocoupler zet de lijnspanning U-V om in een blokgolf op pin 2 (hoog tijdens de positieve halve periode).const int PIN_GEN = 2;const int POOLPAREN = 8;                 // 16 magneetpolen: f = POOLPAREN * n / 60const unsigned long TIMEOUT = 250000UL;  // 0,25 s per halve periode: onder 2 Hz (15 tpm) geen meting void setup() {  Serial.begin(115200);  pinMode(PIN_GEN, INPUT);} void loop() {  unsigned long hoog = pulseIn(PIN_GEN, HIGH, TIMEOUT);   // duur van de hoge helft (µs)  unsigned long laag = pulseIn(PIN_GEN, LOW, TIMEOUT);    // duur van de lage helft (µs)  float tpm = 0;  if (hoog > 0 && laag > 0) {    float f = 1e6 / (float)(hoog + laag);                 // frequentie in Hz    tpm = 60.0 * f / POOLPAREN;  }  Serial.print("tpm ");  Serial.print(tpm, 1);  if (tpm > 55 && tpm < 70) Serial.print("  let op: 1P op de eerste mode van de mast");  if (tpm > 155 && tpm < 171) Serial.print("  let op: 3P op de tweede mode, snel doorlopen");  if (tpm > 330) Serial.print("  OVERTOEREN: dumpbelasting aan");  Serial.println();  delay(1000);}

Getest met een gesimuleerde generator bij 0, 62, 120, 163, 300 en 345 tpm (de schets gecompileerd met g++ tegen een nabootsing van de Arduino-functies). De seriële monitor toont:

tpm 0.0
tpm 62.0  let op: 1P op de eerste mode van de mast
tpm 120.0
tpm 163.0  let op: 3P op de tweede mode, snel doorlopen
tpm 300.0
tpm 345.0  OVERTOEREN: dumpbelasting aan

Bij 300 tpm duurt een periode 25 ms; pulseIn meet tot op enkele microseconden, dus tot op 0,02 %. Bij 80 tpm (10,7 Hz) blokkeert één meting bijna 0,2 s: voor een regelaar die ook nog andere dingen doet, meet je beter met een interrupt en een timer (hoofdstuk 37). De grenzen 155 en 171 tpm zijn de band van hoofdstuk 11; de grens voor overtoeren (330 tpm, 10 % boven nominaal) is een rekenwaarde.

Naslag · 19.27

Velden en inductie: formules

27/28

Werkwijze: kies een assenstelsel, bereken velden als vectorsommen (superpositie) of met een symmetrie (Gauss, Ampère), bepaal richtingen met het vectorproduct, en controleer dimensies en grensgevallen. Bij inductie: schrijf eerst de flux als functie van de tijd, leid dan af.

Coulomb en elektrisch veld

F = k \frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}} E = \frac{F}{q} E = \frac{k Q}{r ^{2}} k = \frac{1}{4 π ε _{0}} = 8, 99 \cdot 1 0^{9}

symbool	betekenis	eenheid
$E$	elektrisch veld	V/m
$ε_{0}$	permittiviteit van vacuüm, 8,854 · 10⁻¹²	F/m

potentiaal

V = \frac{k Q}{r} U_{A B} = V_{A} - V_{B} E_{x} = - \frac{d V}{d x} E = \frac{U}{d}

symbool	betekenis	eenheid
$V$	potentiaal	V

Gauss en condensator

\oint E \cdot d A = \frac{Q}{ε _{0}} C = ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d} W = \frac{1}{2} C U^{2}

symbool	betekenis	eenheid
$C$	capaciteit	F

Biot-Savart, Ampère, draad, spoel

d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}} \oint B \cdot d l = μ_{0} I B = \frac{μ _{0} I}{2 π a} B = μ_{0} n I

symbool	betekenis	eenheid
$B$	magnetisch veld	T
$μ_{0}$	4π · 10⁻⁷	T·m/A

Lorentzkracht en Hall

F = q (E + v \times B) F = I L \times B r = \frac{m v}{∣ q ∣ B} U_{H} = \frac{I B}{n q t}

Faraday

Φ = B A cos θ e = - N \frac{d Φ}{d t} e = B Lv e = N B A ω sin ω t

symbool	betekenis	eenheid
$Φ$	flux	Wb

zelfinductie

u = L \frac{d i}{d t} L = μ_{0} μ_{r} \frac{N ^{2} A}{l} W = \frac{1}{2} L I^{2} τ = \frac{L}{R}

symbool	betekenis	eenheid
$L$	zelfinductie	H

transformator

\frac{u _{1}}{u _{2}} = \frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{i _{2}}{i _{1}} Z_{1} = (\frac{N _{1}}{N _{2}})^{2} Z_{2} U = 4, 44 f N A \hat{B}

generator en zespulsbrug

f = \frac{p n}{60} E = 4, 44 f N \hat{Φ} U_{dc} = \frac{3 2}{π} U_{lijn} \approx 1, 35 U_{lijn}

symbool	betekenis	eenheid
$p$	poolparen	–
$n$	toerental	tpm

grootheid	orde van grootte
doorslag lucht	3 kV/mm
aardmagnetisch veld (België)	±50 µT
verzadiging transformatorijzer	1,5 tot 2 T
remanentie NdFeB-magneet	±1,2 T
dubbellaag supercondensator	10 tot 20 µF/cm²
ladingsdragers in koper	8,5 · 10²⁸ per m³

Het geheel · 19.28

Waar velden en inductie vandaan komen en waar ze heen gaan

28/28

Dit hoofdstuk maakt van elektriciteit (L) een veldentheorie, met de wiskunde (W) van integralen, vectorproducten en differentiaalvergelijkingen, en met krachten (K) als brug naar de mechanica. Faradays inductie verbindt beweging en elektriciteit: in de generator wordt koppel stroom, in de motor stroom koppel.

F19 Spanning, stroom en weerstand

Lading, stroom en spanning als duw: hier spanning als verschil in potentiaal.

I24 Condensatoren en de RC-tijd

Q = CU, de supercondensator en de RC-tijd: hier C = εA/d en de dubbellaag.

I26 Motoren en actuatoren

Veld rond een draad, F = BIl en de tegen-emk: hier exact, met vectorproduct en Faraday.

I23 Halfgeleiders: diode, led en transistor

De vrijloopdiode en de gelijkrichter, hier verklaard met zelfinductie en een zespulsbrug.

E3 Integralen: ophopen

Potentiaal, Biot-Savart en de energie in een spoel als integralen; de oppervlakte onder een inductiepuls.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

De uitschakelstroom van een spoel; veldlijnen als differentiaalvergelijking.

E5 Vectoren en matrices

Het vectorproduct in de Lorentzkracht en in Biot-Savart.

E7 Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

De sinus uit een draaiende spoel; drie fasen als drie wijzers; Z_L = jωL.

E11 Trillingen en resonantie

De windturbine en haar kritische toerentallen, die de generator nu zelf meet.

E20 Wisselstroom

Impedantie, vermogen en arbeidsfactor; het driefasige net en de kabel van de generator.

E21 Filters en signaalverwerking

De rimpel na de gelijkrichter en storing die via lussen binnenkomt, weggefilterd.

E24 Vermogenselektronica en elektrische machines

De MPPT-omzetter achter de generator, de omvormer, en de borstelloze motor als omgekeerde generator.

E37 Embedded systemen en IoT

Het toerental met een interrupt en een timer meten in plaats van met pulseIn.

HabitatDossier: de windturbine krijgt een direct aangedreven permanente-magneetgenerator met 16 polen (8 poolparen), driefasig: 10,7 tot 40 Hz en 44 tot 165 V lijnspanning (rekenwaarde 0,55 V per tpm); na een zespulsbrug 59 tot 223 V gelijk, via een MPPT-omzetter naar het 48 V-net (hoofdstuk 24). Bij 3,0 kW 13,5 A gelijk, 11,0 A per fase; de installatie is geen zeer lage spanning meer; dumpbelasting bij overtoeren; het toerental volgt uit de frequentie (

n = 7, 5 f

). Kabels in het station: plus en min altijd samen. Hoofdstuk 20 rekent de driefasige kabel van de turbine en de omvormer door.

Samenvatting

In het kort

Een lading maakt een elektrisch veld $E = F / q$ , van een puntlading $k Q / r^{2}$ ; velden van meer ladingen tel je op als vectoren. Veldlijnen volgen $E$ , equipotentiaallijnen staan er loodrecht op.
De potentiaal is energie per lading, $V = k Q / r$ bij een puntlading; spanning is een potentiaalverschil en $E_{x} = - d V / d x$ . Lucht slaat door bij ±3 kV/mm.
Met de wet van Gauss vind je tussen twee platen $E = σ / ε_{0}$ en $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ . Een supercondensator haalt farads met een dubbellaag van 0,5 nm op een enorm koolstofoppervlak, maar verdraagt maar ±2,7 V per cel.
Een stroom maakt een magnetisch veld: $B = μ_{0} I / (2 π a)$ rond een draad (Biot-Savart of Ampère), $B = μ_{0} n I$ in een lange spoel. Heen- en terugleiding samen: het veld valt met $1/ r^{2}$ .
De Lorentzkracht $F = q v \times B$ (op een draad $I L \times B$ ) staat loodrecht op beweging en veld; ze buigt banen tot cirkels en geeft de Hall-spanning $I B / (n q t)$ .
Faraday: $e = - N d Φ/ d t$ , met $Φ = B A cos θ$ . Een bewegende staaf geeft $B Lv$ , een draaiende spoel $N B A ω sin ω t$ . Lenz: de inductiestroom werkt de verandering tegen (energiebehoud, wervelstroomrem).
Zelfinductie $u = L d i / d t$ , energie $\frac{1}{2} L I^{2}$ ; uitschakelen vraagt een weg voor de stroom (vrijloopdiode, sneller met een zener).
Een transformator: $u_{1} / u_{2} = N_{1} / N_{2}$ , $i_{1} / i_{2} = N_{2} / N_{1}$ , $U = 4, 44 f N A \hat{B}$ ; alleen voor wisselstroom. Een generator: $f = p n /60$ , emk evenredig met het toerental.
Habitat: de windturbine krijgt een permanente-magneetgenerator met 8 poolparen, 10,7 tot 40 Hz en 44 tot 165 V; gelijkgericht 59 tot 223 V, via een MPPT-omzetter naar 48 V.

Begrippen

Wat je nu kent

elektrisch veld: De kracht per lading $E = F / q$ (V/m) in een punt; van een puntlading $E = k q / r^{2}$ , van meer ladingen de vectorsom.
potentiaal: De potentiële energie per lading $V = E_{p} / q$ (volt); spanning is een potentiaalverschil, en $E_{x} = - d V / d x$ .
equipotentiaallijn: Lijn (of vlak) waarop de potentiaal overal gelijk is; staat loodrecht op de veldlijnen, en verplaatsen erlangs kost geen arbeid.
elektronvolt: De energie die een elektron wint over 1 V: $1 eV = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} J$ .
wet van Gauss: De elektrische flux door een gesloten oppervlak is de ingesloten lading gedeeld door $ε_{0}$ .
permittiviteit: $ε = ε_{0} ε_{r}$ : hoe sterk een isolator het veld tussen de platen verzwakt en de capaciteit vergroot.
dubbellaag: Laag ionen die op minder dan een nanometer van een elektrode ligt en er een condensator mee vormt; de basis van de supercondensator.
wet van Biot-Savart: Elk stukje stroomdraad $I d l$ geeft een bijdrage $d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}}$ aan het magnetisch veld.
wet van Ampère: De kringintegraal van $B$ langs een gesloten lus is $μ_{0}$ maal de omsloten stroom.
Lorentzkracht: $F = q (E + v \times B)$ : de kracht op een bewegende lading; op een draad $F = I L \times B$ .
Hall-effect: Dwarsspanning $U_{H} = I B / (n q t)$ over een stroomvoerende plaat in een magnetisch veld; basis van contactloze stroomsensoren.
magnetische flux: $Φ = B \cdot A = B A cos θ$ , in weber (1 Wb = 1 T·m² = 1 V·s).
wet van Faraday: Een veranderende flux wekt een emk op: $e = - N d Φ/ d t$ .
wet van Lenz: De inductiestroom werkt de verandering tegen die hem veroorzaakt; het minteken in de wet van Faraday, en een gevolg van behoud van energie.
wervelstroom: Inductiestroom die rondloopt in een massief stuk metaal; remt beweging en verwarmt (wervelstroomrem, inductiekookplaat).
zelfinductie: Een spoel wekt in zichzelf een spanning op als haar stroom verandert: $u = L d i / d t$ , met $L$ in henry.
transformator: Twee spoelen rond één kern; ideaal $u_{1} / u_{2} = N_{1} / N_{2}$ en $i_{1} / i_{2} = N_{2} / N_{1}$ .
poolpaar: Eén noord- en één zuidpool van een draaiende machine; bij $p$ poolparen is $f = p n /60$ .

Aan de slag in het werkboek19 opdrachten, van oefenen tot uitdagen