FFundamental · deel F3 · Krachten, beweging en constructies

Handboek · hoofdstuk 11Krachten

Duwen, trekken, wegen en glijden: hoe je een kracht herkent, tekent en meet

Een kracht zie je niet, maar je ziet wel wat ze doet: een veer wordt langer, een bal vertrekt, een fiets remt, een moer draait los. In dit hoofdstuk leer je krachten herkennen, tekenen als een pijl en meten in newton. Je ontdekt waarom een meetkoffer op de maan zes keer lichter aanvoelt maar niet minder massa heeft, hoe een veer werkt als krachtmeter (de wet van Hooke), en waarom je zonder wrijving niet eens zou kunnen stappen. Voor de meetkas bereken je hoe hard de plantenbakken op de tafel duwen, en of die tafel dat aankan.

7× uitleg4× uitgewerkt voorbeeld3× proef2× ontleed1× naslag2× verhaal1× het geheel16 opdrachten in het werkboek± 7 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten

Hoe hard duwt een volle plantenbak op de tafel? Een krachtmeter geeft het antwoord in newton.

Na dit hoofdstuk

Je kan een kracht beschrijven als een duw of een trek tussen twee voorwerpen, en contactkrachten onderscheiden van krachten op afstand.
Je kan herkennen wat een kracht doet: vervormen, versnellen, afremmen, van richting doen veranderen of doen draaien.
Je kan een kracht tekenen als een pijl met de juiste grootte (op schaal), richting en aangrijpingspunt, en een krachtpijl aflezen.
Je kan een krachtmeter kiezen, op nul zetten en correct aflezen.
Je kan de zwaartekracht berekenen met $F_{z} = m \cdot g$ , op aarde en op andere hemellichamen.
Je kan massa, zwaartekracht en gewicht van elkaar onderscheiden.
Je kan de wet van Hooke gebruiken: de uitrekking van een veer is recht evenredig met de kracht, tot aan de elasticiteitsgrens.
Je kan uitleggen waar wrijving vandaan komt, wanneer ze nuttig of hinderlijk is, en hoe je ze groter of kleiner maakt.

Verhaal · 11.1

Een appel en de maan

1/20

In 1665 brak in Engeland de pest uit en ging de universiteit van Cambridge dicht. De jonge student Isaac Newton (1643-1727) keerde terug naar de boerderij van zijn familie in Woolsthorpe en werkte er anderhalf jaar alleen verder. Veel later, toen hij een oude man was, vertelde hij aan zijn vriend William Stukeley dat hij in die tijd in de tuin een appel had zien vallen, en dat dat hem aan het denken zette. (Dat de appel op zijn hoofd viel, is een versiering die later is bijgekomen.)

Zijn vraag was eenvoudig en groots tegelijk. Als de aarde een appel naar zich toe trekt, ook boven in de hoogste boom, reikt die trekkracht dan niet veel verder? Tot aan de maan? In 1687 publiceerde hij het antwoord in zijn boek Principia: dezelfde kracht die de appel doet vallen, houdt de maan in haar baan rond de aarde, en de aarde in haar baan rond de zon. Die kracht noemen we de zwaartekracht.

Newton beschreef ook in drie wetten hoe krachten een beweging veranderen. Die wetten leer je in Intermediate (hoofdstuk 8). Hier begin je bij het begin: wat is een kracht, hoe teken je ze, en hoe meet je ze? De eenheid waarin je dat doet, draagt vandaag zijn naam: de newton.

Waarom dit verhaal ertoe doet

Newton zag een verband dat niemand eerder zag: een vallende appel en een draaiende maan gehoorzamen aan dezelfde regel. Zo werkt wetenschap vaak. Eén goed idee verklaart plots heel veel verschillende dingen (hoofdstuk 1).

Een vallende appel en de maan boven de boom: volgens Newton trekt de aarde aan allebei.

Uitleg · 11.2

Kracht: duwen of trekken

2/20

Een kracht is een duw of een trek. Er zijn altijd twee voorwerpen bij betrokken: het ene oefent de kracht uit, het andere ondergaat ze. Stel daarom bij elke kracht de vraag: wie duwt of trekt, en op wie?

Contactkrachten werken alleen als de voorwerpen elkaar raken: je hand die een kar duwt, een touw dat trekt (de spankracht), een veer die terugduwt (de veerkracht), de vloer die je draagt, de wrijving tussen je schoen en de grond.
Krachten op afstand werken ook zonder contact: de zwaartekracht van de aarde, de magnetische kracht van een magneet, de elektrische kracht van een opgewreven ballon op je haar.

situatie	wie oefent de kracht uit?	op wie?	soort
je duwt een kar	je handen	de kar	contact
een touw houdt een schommel	het touw	de schommel	contact (spankracht)
een veer trekt een deur dicht	de veer	de deur	contact (veerkracht)
de vloer draagt je	de vloer	jou	contact
een slee glijdt uit	de sneeuw	de slee	contact (wrijving)
een appel valt	de aarde	de appel	op afstand (zwaartekracht)
een magneet trekt een paperclip	de magneet	de paperclip	op afstand (magnetisch)
een opgewreven ballon trekt je haar op	de ballon	je haar	op afstand (elektrisch)

Een gegooide bal heeft 'kracht in zich'

Veel mensen denken dat een bal die je gooit de kracht van je hand meeneemt, en stopt als die kracht 'op' is. Maar zodra de bal je hand verlaat, duwt je hand niet meer. Op de vliegende bal werken alleen nog de zwaartekracht en de luchtweerstand. Dat hij toch verder vliegt, komt doordat een bewegend voorwerp uit zichzelf blijft bewegen. Een kracht is dus geen voorraad in een voorwerp, maar iets wat het ene voorwerp op het andere doet, zolang het duwt of trekt (hoofdstuk I8).

De rode pijlen tonen de kracht op de doos, de slee, de paperclip en de appel. Magneet en aarde raken niets aan.

Uitleg · 11.3

Wat een kracht kan doen

3/20

Een kracht zie je niet. Je herkent ze aan wat ze doet. Een kracht kan een voorwerp

vervormen: een veer indrukken, een elastiek uitrekken, een plank doen doorbuigen. Veert het voorwerp terug als de kracht weg is, dan was de vervorming elastisch; blijft het vervormd, dan plastisch (hoofdstuk 10);
versnellen: de kracht werkt in de zin van de beweging, het voorwerp gaat sneller (een sprinter die zich afzet, een fietser die trapt);
afremmen: de kracht werkt tegen de beweging in, het voorwerp gaat trager (remmen, een bal die je opvangt);
van richting doen veranderen: de kracht werkt dwars op de beweging, het voorwerp buigt af (een bal die je met je hoofd opzij kopt, een auto in een bocht);
doen draaien: de kracht werkt naast het draaipunt, het voorwerp draait (een moersleutel, een deurklink, een trapper).

Vaak gebeuren er meerdere dingen tegelijk. Trap je tegen een bal, dan wordt hij even platgedrukt, vertrekt hij snel en verandert hij van richting.

Krachten die elkaar opheffen

Trekken twee even sterke ploegen aan een touw, elk naar hun kant, dan beweegt het touw niet: de twee krachten heffen elkaar op. Ze zijn in evenwicht. Er werken dan wel krachten (het touw staat strak gespannen), maar samen veranderen ze de beweging niet. Een boek dat stil op tafel ligt, is ook in evenwicht: de aarde trekt het omlaag, de tafel duwt het even hard omhoog.

Rood is telkens de kracht, blauw de snelheid. Waar de kracht staat tegenover de beweging, bepaalt wat er gebeurt.

Ontleed · 11.4

De krachtpijl

4/20

Een kracht heeft een grootte (hoeveel newton), een richting en een aangrijpingspunt (waar ze op het voorwerp werkt). Een pijl toont alle drie tegelijk. Een grootheid met een richting noem je een vector: in formules krijgt ze een pijltje, $F$ . Schrijf je alleen de grootte, dan laat je het pijltje weg: $F = 30 N$ . Met vectoren rekenen leer je in hoofdstuk I6.

Een kist wordt met een touw naar rechts getrokken. Het schaalstreepje zegt hoeveel newton één stukje pijl voorstelt.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Aangrijpingspunt
De pijl begint waar de kracht op het voorwerp werkt: hier waar het touw aan de kist vastzit. Bij de zwaartekracht is dat het zwaartepunt (hoofdstuk 13).
2
Pijlpunt: de zin
De punt wijst in de zin waarin geduwd of getrokken wordt: naar rechts, niet naar links.
3
Lengte: de grootte
Hoe langer de pijl, hoe groter de kracht. Deze pijl is drie schaalstreepjes lang: 3 × 10 N = 30 N.
4
Werklijn
De rechte waarop de pijl ligt (stippellijn). Richting en werklijn liggen vast door het touw: de kracht werkt langs het touw.
5
Schaal
Zonder schaal zegt een lengte niets. Op papier schrijf je bijvoorbeeld 1 cm ≙ 10 N (lees: 1 cm stelt 10 N voor).
6
Naam en waarde
Zet bij elke pijl een naam en een waarde met eenheid: F = 30 N, of F_z = 39 N voor een zwaartekracht.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.5

Krachtpijlen tekenen en aflezen

5/20

(a) Lisa trekt een kar horizontaal naar rechts met een kracht van 45 N. Het touw zit vast aan de voorkant van de kar. Teken de kracht op schaal: 1 cm ≙ 10 N.
(b) In een andere tekening met schaal 1 cm ≙ 50 N staat een krachtpijl van 3,2 cm. Hoe groot is die kracht?

De oplossing van (a). Hier is het schaalstreepje 10 N; de pijl is er vier en een half keer zo lang.

Gegeven

(a) $F = 45 N$ , horizontaal naar rechts, schaal 1 cm ≙ 10 N
(b) pijl van 3,2 cm, schaal 1 cm ≙ 50 N

Gevraagd

(a) de krachtpijl
(b) de grootte van de kracht

Oplossing

1
(a) Lengte: elke centimeter stelt 10 N voor, dus $45/10 = 4, 5 cm$ .
2
Aangrijpingspunt: het punt waar het touw aan de kar vastzit. Zet daar een stip.
3
Richting en zin: langs het touw, horizontaal, naar rechts. Teken vanaf de stip een pijl van 4,5 cm naar rechts en schrijf erbij: $F = 45 N$ .
4
(b) Elke centimeter is 50 N: $3, 2 \times 50 = 160 N$ .

Antwoord

(a) Een pijl van 4,5 cm naar rechts, vanaf de plaats waar het touw vastzit. (b)

F = 160 N

Klopt dit? Omgekeerd rekenen: 160 N gedeeld door 50 N per cm geeft 3,2 cm. Kies zelf een schaal zo dat de langste pijl in je tekening tussen 3 en 8 cm lang wordt: te kort lees je slecht af, te lang past niet.

Uitleg · 11.6

De newton en de krachtmeter

6/20

Krachten druk je uit in newton (N). Om er een gevoel voor te krijgen: houd een reep chocolade van 100 g op je vlakke hand. Die duwt met ongeveer 1 N op je hand. Grote krachten schrijf je in kilonewton: $1 kN = 1000 N$ .

voorwerp	massa	zwaartekracht (afgerond)
reep chocolade	100 g	1 N
pak melk van 1 L	1,0 kg	9,8 N
volle plantenbak van de meetkas	4,0 kg	39 N
leerling	50 kg	490 N
kleine auto	1200 kg	11 800 N = 11,8 kN

Een kracht meet je met een krachtmeter, ook veerunster of dynamometer genoemd. Binnenin zit een veer die langer wordt naarmate je harder trekt; een wijzer toont de kracht op een schaal in newton. Zo gebruik je hem:

Kies het bereik. Een meter van 1 N is nauwkeurig voor kleine krachten, maar gaat stuk bij 3 N. Schat eerst hoe groot de kracht ongeveer is.
Zet hem op nul, in de stand waarin je gaat meten: verticaal als je iets ophangt, horizontaal als je iets over de tafel trekt. De veer en de haak wegen zelf ook iets.
Trek in de richting van de kracht, langs de as van de meter, zonder dat de binnenbuis tegen de huls schuurt.
Lees af op ooghoogte, recht voor de wijzer (parallax, hoofdstuk 3), en schrijf de eenheid erbij.

Niet overbelasten

Trek je harder dan het bereik, dan rekt de veer voorbij haar elasticiteitsgrens: ze vervormt plastisch en komt niet meer terug op nul (hoofdstuk 10). De meter is dan onbruikbaar. Twijfel je, begin dan met de meter met het grootste bereik.

Krachtmeters met een verschillend bereik: hoe kleiner het bereik, hoe fijner de schaal.

Proef · 11.7

Hoeveel newton per kilogram?

7/20

Onderzoeksvraag

Hoe hangt de zwaartekracht op een voorwerp af van zijn massa?

Materiaal

krachtmeter met een bereik van 5 N (schaalverdeling 0,05 N)
vijf haakgewichten van 100 g
statief met klem
balans om de massa's te controleren

De trendlijn gaat door de oorsprong: geen massa, geen zwaartekracht. De helling is 9,8 N per kilogram.

Werkwijze

1Hang de krachtmeter verticaal aan het statief en zet hem op nul.
2Controleer met de balans dat elk haakgewicht 100 g is.
3Hang één haakgewicht aan de krachtmeter. Wacht tot de wijzer stilstaat en lees af op ooghoogte.
4Hang er telkens een haakgewicht bij, tot 500 g. Noteer telkens de massa en de kracht.
5Bereken voor elke meting de verhouding $F / m$ , met de massa in kilogram. Zet de metingen in een grafiek met $m$ horizontaal.

Waarneming

$m$ (g)	$m$ (kg)	$F$ (N)	$F / m$ (N/kg)
100	0,100	1,00	10,0
200	0,200	1,95	9,75
300	0,300	2,95	9,83
400	0,400	3,90	9,75
500	0,500	4,90	9,80

De punten liggen op een rechte door de oorsprong.

Verklaring

Dubbel zoveel massa geeft dubbel zoveel kracht: de zwaartekracht is recht evenredig met de massa (hoofdstuk 4). De verhouding $F / m$ is telkens ongeveer 9,8 N/kg: de evenredigheidsconstante. De kleine verschillen komen doordat je maar op 0,05 N nauwkeurig afleest; bij de grootste massa weegt die afleesfout het minst: $4, 90/0, 500 = 9, 80 N/kg$ . Met nauwkeurigere toestellen vind je in België $9, 81 N/kg$ . Die constante krijgt de letter $g$ .

Uitleg · 11.8

Zwaartekracht

8/20

Alles wat massa heeft, trekt aan alles wat massa heeft. Tussen twee appels is die kracht zo klein dat je ze nooit merkt, maar de aarde is zo groot dat ze alles om zich heen merkbaar naar zich toe trekt. Die kracht heet de zwaartekracht $F_{z}$ .

Richting: naar het middelpunt van de aarde. Dat noemen we 'verticaal naar beneden'; een schietlood (een gewichtje aan een draad) toont die richting.
Aangrijpingspunt: het zwaartepunt van het voorwerp (hoofdstuk 13).
Grootte: recht evenredig met de massa, zoals de proef toonde.

zwaartekracht

F_{z} = m \cdot g

F_{z}

in newton (N),

m

in kilogram (kg),

g

in newton per kilogram (N/kg). Op aarde, in België, is

g = 9, 81 N/kg

: elke kilogram wordt met 9,81 N aangetrokken.

Het getal $g$ heet de zwaarteveldsterkte. Het hangt af van waar je bent: een kleiner hemellichaam trekt minder hard. (In hoofdstuk I7 zie je dat hetzelfde getal ook zegt hoe snel een vallend voorwerp versnelt.)

plaats	$g$ (N/kg)	zwaartekracht op 1,0 kg
aarde, in België	9,81	9,81 N
aarde, aan de evenaar en aan de polen	9,78 en 9,83	9,78 N en 9,83 N
maan	1,62	1,62 N
Mars	3,71	3,71 N
Jupiter (bovenkant van de wolken)	24,8	24,8 N

Zonder lucht geen zwaartekracht

Sommige mensen denken dat de lucht ons op de grond drukt, en dat er daarom op de maan (zonder lucht) niets zou vallen. Maar de zwaartekracht heeft geen lucht nodig: de maan trekt voorwerpen naar zich toe, alleen zes keer minder hard dan de aarde. Astronauten liepen er, zij het met grote sprongen, en wat ze lieten vallen, viel.

Voor iedereen op aarde wijst 'naar beneden' naar hetzelfde punt: het middelpunt. Niet op schaal.

Uitleg · 11.9

Massa, zwaartekracht en gewicht

9/20

In het dagelijks leven zeg je 'ik weeg 50 kg'. In de natuurwetenschappen houden we drie begrippen uit elkaar:

	massa	zwaartekracht	gewicht
wat is het?	hoeveel stof er in een voorwerp zit	de kracht waarmee de aarde (of de maan) aan het voorwerp trekt	de kracht waarmee het voorwerp op zijn steun duwt of aan zijn ophanging trekt
symbool, eenheid	$m$ , kilogram (kg)	$F_{z}$ , newton (N)	$G$ , newton (N)
aangrijpingspunt	(geen kracht)	het zwaartepunt van het voorwerp	waar het voorwerp steunt of hangt
op de maan	hetzelfde	ongeveer 6 keer kleiner	ongeveer 6 keer kleiner
meten met	een balans	een krachtmeter (in rust even groot)

Het verschil tussen zwaartekracht en gewicht zit vooral in op wie de kracht werkt. De zwaartekracht werkt op het bakje; het gewicht werkt op de tafel waarop het bakje staat. Ligt of hangt iets stil, dan zijn ze even groot.

Een balans vergelijkt een massa met gekende massa's: op de maan worden beide kanten even veel lichter, dus ze toont overal dezelfde massa. Een krachtmeter meet een kracht: op de maan toont hij zes keer minder. Een personenweegschaal meet eigenlijk ook een kracht en rekent die om met 9,81 N/kg. Iemand van 50 kg zou er op de maan $50 \times 1, 62/9, 81 \approx 8, 3 kg$ op aflezen, terwijl zijn massa gewoon 50 kg blijft.

'Max. 25 kg' op een verpakking

Op een plankdrager staat 'draagvermogen 25 kg'. De fabrikant bedoelt: de plank mag hoogstens zo hard op de drager duwen als het gewicht van 25 kg op aarde, dus met $25 \times 9, 81 \approx 245 N$ . In het dagelijks leven zijn kilogrammen handiger; een ingenieur rekent in newton.

De balans blijft in evenwicht op aarde en op de maan: de massa is dezelfde. De veerunster toont op de maan 3,2 N in plaats van 19,6 N.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.10

Een meetkoffer naar de maan

10/20

Een onderzoeker van Habitat neemt een meetkoffer van 12 kg mee naar de maan. (a) Wat is de massa van de koffer op de maan? (b) Hoe groot is de zwaartekracht op de koffer op aarde en op de maan? (c) Hoeveel massa kan de onderzoeker op de maan optillen met dezelfde kracht waarmee ze op aarde de koffer optilt?

Gegeven

$m = 12 kg$
$g_{aarde} = 9, 81 N/kg$ , $g_{maan} = 1, 62 N/kg$

Gevraagd

$m$ op de maan
$F_{z}$ op aarde en op de maan
de massa die ze op de maan kan tillen

Oplossing

1
(a) Massa is hoeveel stof er is. Die verandert niet door de reis: op de maan is de massa ook $12 kg$ .
2
(b) Op aarde: $F_{z} = m \cdot g = 12 kg \times 9, 81 N/kg = 117, 7 N \approx 118 N$ . Op de maan: $F_{z} = 12 \times 1, 62 = 19, 4 N$ .
3
(c) Ze kan op de maan een zwaartekracht van 117,7 N overwinnen. Welke massa hoort daarbij? Vorm de formule om: $m = \frac{F _{z}}{g} = \frac{117 , 7 N}{1 , 62 N/kg} = 72, 7 kg$ .

Antwoord

(a) 12 kg. (b) 118 N op aarde, 19,4 N op de maan. (c) Ongeveer 73 kg.

Klopt dit? De maan trekt

9, 81/1, 62 \approx 6, 1

keer minder hard:

12 \times 6, 06 \approx 73

. Klopt. Let op: optillen gaat op de maan zes keer makkelijker, maar een zware koffer opzij duwen of afremmen niet. Daarvoor telt de massa, en die is niet veranderd (hoofdstuk I8).

Uitgewerkt voorbeeld · 11.11

Habitat: hoe hard duwen de plantenbakken op de tafel?

11/20

In de meetkas staan twaalf plantenbakjes op een tafelblad van watervast multiplex (1,18 m × 0,58 m, 18 mm dik). Elk bakje bevat 6,0 L vochtige potgrond (0,6 kg/L, hoofdstuk 7); het bakje zelf (PP) weegt 0,30 kg en de planten samen ongeveer 0,10 kg. (a) Bereken de massa, de zwaartekracht en het gewicht van één volle bak. (b) Hoe hard duwen de twaalf bakken samen op het tafelblad? (c) Het tafelblad zelf heeft een massa van 8,4 kg. Het rust met zijn twee korte kanten op twee steunen. Hoeveel kracht moet elke steun opvangen?

Links trekt de aarde aan een bak (in zijn zwaartepunt), rechts duwt een bak op de plank (waar hij steunt). Even groot, maar op een ander voorwerp.

Gegeven

potgrond: $6, 0 L \times 0, 6 kg/L$ ; bakje $0, 30 kg$ ; planten $0, 10 kg$
12 bakken; tafelblad $8, 4 kg$ ; twee steunen
$g = 9, 81 N/kg$

Gevraagd

massa, zwaartekracht en gewicht van één bak
kracht van alle bakken op de tafel
kracht op elke steun

Oplossing

1
(a) Massa van de potgrond: $6, 0 \times 0, 6 = 3, 6 kg$ . Eén volle bak: $3, 6 + 0, 30 + 0, 10 = 4, 0 kg$ .
2
Zwaartekracht: $F_{z} = 4, 0 kg \times 9, 81 N/kg = 39 N$ , in het zwaartepunt van de bak, naar beneden. Het gewicht is de kracht van de bak op het tafelblad: ook 39 N, want de bak staat stil.
3
(b) Twaalf bakken: $12 \times 4, 0 = 48 kg$ , dus $48 \times 9, 81 = 471 N$ op het tafelblad.
4
(c) Het tafelblad zelf: $8, 4 \times 9, 81 = 82 N$ . Samen: $471 + 82 = 553 N$ . De bakken staan gelijk verdeeld en de tafel is symmetrisch, dus elke steun draagt de helft: $553/2 \approx 277 N$ .

Antwoord

Eén bak: 4,0 kg, 39 N. Alle bakken samen: 471 N op het tafelblad. Elke steun: ongeveer 277 N.

Klopt dit? 277 N is de zwaartekracht op ongeveer 28 kg: een steun die 'max. 25 kg' draagt, is dus te zwak. Of het tafelblad zelf niet te ver doorbuigt, is een tweede vraag. Een plank gedraagt zich als een stijve veer: dat onderzoek je met de wet van Hooke in opdracht 11.13.

Verhaal · 11.12

Een geheim in veertien letters

12/20

In 1676 stond achteraan in een boekje van de Engelse wetenschapper Robert Hooke (1635-1703) een vreemde reeks letters: ceiiinosssttuv. Het was een anagram: de letters van een Latijnse zin, alfabetisch door elkaar gezet. Twee jaar later gaf Hooke de oplossing: ut tensio, sic vis, 'zoals de uitrekking, zo de kracht'.

Waarom die geheimzinnigheid? Hooke had ontdekt dat een veer twee keer zo ver uitrekt als je er twee keer zo hard aan trekt. Dat was belangrijk: hij werkte aan horloges die met een veertje de tijd bijhielden, en hij lag in een felle ruzie met de Nederlandse wetenschapper Christiaan Huygens over wie dat idee het eerst had. Met het anagram kon hij later bewijzen dat hij de regel al in 1676 kende, zonder hem meteen weg te geven. Wetenschappers gebruikten die truc in die tijd vaker.

Hooke was een duizendpoot. Hij bouwde luchtpompen en microscopen, en gaf in zijn boek Micrographia (1665) de cel haar naam (hoofdstuk 26). Toch bestaat er van hem geen enkel portret waarvan zeker is dat hij het is. Zijn regel voor veren kent wel iedereen: de wet van Hooke. Je ontdekt ze zelf in de volgende proef.

Veren, uurwerken en microscopen: de werktafel van iemand als Hooke.

Proef · 11.13

Een veer uitrekken

13/20

Onderzoeksvraag

Hoe hangt de uitrekking van een veer af van de kracht die eraan trekt?

Materiaal

schroefveer
statief met klem en een haakje
meetlat met millimeterverdeling, verticaal opgesteld
zeven haakgewichten van 50 g

VeiligheidZet het statief stevig en houd je voeten weg onder de gewichten.

Tot 300 g liggen de punten op een rechte door de oorsprong. Het rode punt (350 g) valt eronder: de veer rekt te ver uit.

Werkwijze

1Hang de veer aan het statief en meet haar lengte $l_{0}$ zonder gewicht (de beginlengte).
2Hang er 50 g aan. Wacht tot de veer stilhangt en meet de nieuwe lengte $l$ .
3Voeg telkens 50 g toe, tot 300 g. Meet telkens de lengte.
4Hang ten slotte 350 g aan de veer. Neem daarna alle gewichten weg en meet de lengte opnieuw.
5Bereken voor elke meting de kracht $F = m \cdot g$ en de uitrekking $Δ l = l - l_{0}$ (lees: delta l, het verschil in lengte).

Waarneming

massa (g)	$F$ (N)	lengte $l$ (cm)	uitrekking $Δ l$ (cm)	$F /Δ l$ (N/cm)
0	0,00	6,0	0,0	–
50	0,49	8,4	2,4	0,204
100	0,98	10,9	4,9	0,200
150	1,47	13,4	7,4	0,199
200	1,96	15,8	9,8	0,200
250	2,45	18,2	12,2	0,201
300	2,94	20,7	14,7	0,200
350	3,43	24,6	18,6	0,185

Na de meting met 350 g hangt de veer zonder gewicht op 6,8 cm in plaats van 6,0 cm.

Verklaring

Tot 300 g is de uitrekking recht evenredig met de kracht: dubbel zoveel kracht, dubbel zoveel uitrekking. De verhouding $F /Δ l$ is telkens ongeveer 0,20 N per cm, of 20 N per meter. Dat getal is de veerconstante van deze veer.

Met 350 g verwacht je een uitrekking van $3, 43/0, 20 \approx 17 cm$ , maar je meet 18,6 cm, en na het wegnemen blijft de veer 0,8 cm te lang. De veer is voorbij haar elasticiteitsgrens gegaan en plastisch vervormd (hoofdstuk 10). Voorbij die grens geldt het verband niet meer.

Uitleg · 11.14

De wet van Hooke

14/20

De proef toont wat Hooke vond: zolang een veer elastisch blijft, is haar uitrekking recht evenredig met de kracht erop.

wet van Hooke

F = k \cdot Δ l

F

in newton (N),

Δ l

(de uitrekking) in meter (m),

k

(de veerconstante) in newton per meter (N/m). Geldt alleen tot aan de elasticiteitsgrens.

De veerconstante zegt hoe stijf een veer is. Een slappe veer van een balpen heeft een kleine $k$ ; de veer in de schokdemper van een auto een heel grote. De veer uit de proef heeft $k = 20 N/m$ : voor elke meter uitrekking is 20 N nodig, of 0,20 N per centimeter.

In een grafiek met de uitrekking horizontaal en de kracht verticaal is de wet van Hooke een rechte door de oorsprong. Zo lees je $k$ af als de helling. (Je mag de assen ook omwisselen; dan is de helling $1/ k$ , het aantal centimeter per newton.)

Toepassingen. Een krachtmeter heeft een schaal met gelijke stappen, juist omdat de veer de wet van Hooke volgt. Ook een plank, een brug of een kasframe gedraagt zich als een heel stijve veer: de doorbuiging is evenredig met de last, zolang het materiaal elastisch blijft (hoofdstuk 10). Een elastiekje daarentegen volgt de wet van Hooke slecht: zijn grafiek is geen rechte.

Dubbel zoveel kracht, dubbel zo lang

Niet de lengte verdubbelt, maar de uitrekking. De veer uit de proef is zonder gewicht 6,0 cm lang en met 100 g 10,9 cm. Met 200 g is ze niet 21,8 cm, maar $6, 0 + 2 \times 4, 9 = 15, 8 cm$ lang. Trek altijd eerst de beginlengte af.

Elke 100 g extra rekt de veer evenveel verder uit. De beginlengte l₀ blijft erbij.

Ontleed · 11.15

De veerunster van binnen

15/20

Een veerunster is niets anders dan een veer met een schaal. Omdat de veer de wet van Hooke volgt, liggen de streepjes op gelijke afstanden.

Een veerunster met een bereik van 10 N die 4,0 N aanwijst.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Ophangoog
Hier houd je de meter vast of hang je hem aan een statief.
2
Nulsteller
Door aan deze dop te draaien, schuift de schaal op tot de wijzer op 0 staat. Doe dat telkens in de stand waarin je meet.
3
Veer
Het hart van de meter: ze rekt evenredig uit met de kracht (wet van Hooke). Een stijvere veer geeft een groter bereik.
4
Schaal
Streepjes op gelijke afstanden, in newton. Hier: kleine streepjes per 0,5 N, getallen per 2 N.
5
Wijzer
De streep op de binnenbuis. Lees af op ooghoogte, recht ervoor.
6
Bereik
De grootste kracht die je mag meten. Meer is plastische vervorming van de veer.
7
Haak
Hier komt de last. Trek altijd langs de as van de meter, niet schuin.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.16

Rekenen met de veerconstante

16/20

Een veer heeft een veerconstante van 25 N/m en is zonder last 8,0 cm lang. Haar elasticiteitsgrens ligt bij 5,0 N. (a) Hoe lang is de veer als er 1,5 N aan trekt? (b) Hoeveel kracht is nodig om de veer 20,0 cm lang te maken? (c) Iemand hangt er een zak appelsienen van 2,0 kg aan. Wat gebeurt er?

Gegeven

$k = 25 N/m$
$l_{0} = 8, 0 cm$
elasticiteitsgrens: $5, 0 N$

Gevraagd

(a) $l$ bij $1, 5 N$
(b) $F$ voor $l = 20, 0 cm$
(c) wat er gebeurt met 2,0 kg

Oplossing

1
(a) Uitrekking: $Δ l = \frac{F}{k} = \frac{1 , 5 N}{25 N/m} = 0, 060 m = 6, 0 cm$ . Lengte: $l = l_{0} + Δ l = 8, 0 + 6, 0 = 14, 0 cm$ .
2
(b) Uitrekking: $Δ l = 20, 0 - 8, 0 = 12, 0 cm = 0, 120 m$ . Kracht: $F = k \cdot Δ l = 25 \times 0, 120 = 3, 0 N$ . Dat is onder de 5,0 N: de wet van Hooke geldt.
3
(c) Zwaartekracht op de zak: $2, 0 \times 9, 81 = 19, 6 N$ , bijna vier keer de elasticiteitsgrens. De formule geldt niet meer: de veer rekt veel verder uit dan voorspeld, vervormt blijvend of breekt.

Antwoord

(a) 14,0 cm. (b) 3,0 N. (c) De veer wordt overbelast en is daarna onbruikbaar.

Klopt dit? Reken de eenheden mee: N gedeeld door N/m geeft m. Zet centimeter altijd eerst om naar meter als

k

in N/m staat. Een uitrekking van 12 cm voor 3 N past bij 25 N/m: 3 / 0,12 = 25.

Uitleg · 11.17

Wrijving: tegenwerken en vasthouden

17/20

Schuif een boek over de tafel en laat los: het stopt na enkele centimeters. Tussen het boek en de tafel werkt wrijving, een kracht die de beweging tegenwerkt. Ze ontstaat doordat geen enkel oppervlak echt glad is: onder een vergrootglas zijn het bergen en dalen die in elkaar haken en tegen elkaar schuren.

De wrijving werkt tegen de beweging in, of tegen de beweging die zou ontstaan: een kist op een helling glijdt niet weg omdat de wrijving haar tegenhoudt.
Ze is groter bij ruwere oppervlakken en als de oppervlakken harder tegen elkaar gedrukt worden (een zwaardere kist).
Om iets in beweging te krijgen, is meestal iets meer kracht nodig dan om het in beweging te houden.
Rollen geeft veel minder wrijving dan glijden: daarom zijn er wielen en kogellagers.
Lucht- en waterweerstand zijn wrijving met een gas of vloeistof. Ze worden groter naarmate je sneller gaat; een gestroomlijnde vorm maakt ze kleiner.

	voorbeelden	zo maak je ze groter of kleiner
nuttig	stappen zonder uit te schuiven; remmen; de grip van een band; een schroef, een spijker of een knoop die vastzit; iets vasthouden; schrijven met een potlood; een lucifer aanstrijken	groter: ruwe oppervlakken, profiel in zolen en banden, zand of zout op ijs, rubber, harder tegen elkaar drukken
hinderlijk	slijtage van schoenen, banden en tandwielen; machines die warm worden; energie die verloren gaat; een lade die klemt	kleiner: smeren met olie, vet of grafiet; kogellagers; wielen (rollen in plaats van glijden); gladde oppervlakken; stroomlijn tegen lucht- en waterweerstand

Rekenen met wrijving

In Intermediate (hoofdstuk 8) meet je hoe de wrijving afhangt van hoe hard een voorwerp op de ondergrond duwt, en reken je met een wrijvingscoëfficiënt. Zo bereken je bijvoorbeeld hoeveel kracht de motor van een schuivend kasdak moet leveren.

De trekkracht werkt naar rechts, de wrijving aan het grensvlak naar links. Sterk vergroot haken de oppervlakken in elkaar.

Profiel in zolen en banden: wrijving die je wil houden, ook als het nat is.

Proef · 11.18

Wrijving meten met een krachtmeter

18/20

Onderzoeksvraag

Waarvan hangt de wrijving tussen een blok en de ondergrond af: van de ruwheid, van de grootte van het contactvlak, van hoe zwaar het blok is? En wat doen rollen?

Materiaal

houten blok met een haakje (500 g)
krachtmeter van 5 N
gelakt tafelblad, schuurpapier
extra massa van 500 g
vier ronde potloden

Een blok over schuurpapier trekken: de krachtmeter horizontaal, de snelheid klein en constant.

Werkwijze

1Zet de krachtmeter horizontaal op nul en haak hem aan het blok.
2Trek horizontaal, eerst heel zacht en dan harder. Noteer de grootste kracht net voor het blok vertrekt.
3Trek het blok daarna met een kleine, constante snelheid verder en lees de kracht af tijdens het glijden. Bij een constante snelheid is je trekkracht even groot als de wrijving: ze zijn in evenwicht.
4Herhaal met het blok op zijn smalle zijde, met 500 g extra erop, op schuurpapier, en op vier ronde potloden. Verander telkens maar één ding.

Waarneming

ondergrond	blok ligt op	extra massa	kracht bij het vertrekken (N)	kracht bij glijden (N)
gelakt tafelblad	grote zijde	geen	2,0	1,5
gelakt tafelblad	smalle zijde	geen	2,0	1,5
gelakt tafelblad	grote zijde	500 g	3,9	3,0
schuurpapier	grote zijde	geen	4,0	3,4
ronde potloden als rollen	grote zijde	geen	0,2	0,2

Verklaring

Ruwheid: op schuurpapier is de wrijving ruim twee keer zo groot. Contactvlak: op de grote of de smalle zijde meet je dezelfde kracht. Dat verrast veel mensen: het kleinere vlak drukt harder per vierkante centimeter, en dat compenseert. Zwaarder: met dubbel zoveel massa is de wrijving ongeveer dubbel zo groot. Rollen: op de potloden is er bijna geen wrijving meer. En altijd is het vertrekken zwaarder dan het doorschuiven.

Om de meetkas te verplaatsen, zet je ze dus beter op wielen of rollen dan dat je ze over de vloer schuift.

Naslag · 11.19

Overzicht: krachten

19/20

De formules, de begrippen en de afspraken uit dit hoofdstuk op één blad.

zwaartekracht

F_{z} = m \cdot g

symbool	betekenis	eenheid
$F_{z}$	zwaartekracht	newton (N)
$m$	massa	kilogram (kg)
$g$	zwaarteveldsterkte (9,81 op aarde, 1,62 op de maan)	N/kg

wet van Hooke (tot de elasticiteitsgrens)

F = k \cdot Δ l

symbool	betekenis	eenheid
$F$	kracht op de veer	newton (N)
$k$	veerconstante	N/m
$Δ l$	uitrekking = lengte − beginlengte	meter (m)

	massa	zwaartekracht	gewicht
wat is het?	hoeveel stof er in een voorwerp zit	de kracht waarmee de aarde (of de maan) aan het voorwerp trekt	de kracht waarmee het voorwerp op zijn steun duwt of aan zijn ophanging trekt
symbool, eenheid	$m$ , kilogram (kg)	$F_{z}$ , newton (N)	$G$ , newton (N)
aangrijpingspunt	(geen kracht)	het zwaartepunt van het voorwerp	waar het voorwerp steunt of hangt
op de maan	hetzelfde	ongeveer 6 keer kleiner	ongeveer 6 keer kleiner
meten met	een balans	een krachtmeter (in rust even groot)

plaats	$g$ (N/kg)	zwaartekracht op 1,0 kg
aarde, in België	9,81	9,81 N
aarde, aan de evenaar en aan de polen	9,78 en 9,83	9,78 N en 9,83 N
maan	1,62	1,62 N
Mars	3,71	3,71 N
Jupiter (bovenkant van de wolken)	24,8	24,8 N

een krachtpijl	toont
beginpunt	het aangrijpingspunt
werklijn en punt	de richting en de zin
lengte	de grootte, op schaal (bv. 1 cm ≙ 10 N)
label	naam en waarde met eenheid: $F_{z} = 39 N$

een kracht kan	voorbeeld
vervormen	een veer rekt uit, een plank buigt door
versnellen	een sprinter zet zich af
afremmen	de remmen van een fiets
van richting doen veranderen	een bal opzij koppen
doen draaien	een moersleutel

	voorbeelden	zo maak je ze groter of kleiner
nuttig	stappen zonder uit te schuiven; remmen; de grip van een band; een schroef, een spijker of een knoop die vastzit; iets vasthouden; schrijven met een potlood; een lucifer aanstrijken	groter: ruwe oppervlakken, profiel in zolen en banden, zand of zout op ijs, rubber, harder tegen elkaar drukken
hinderlijk	slijtage van schoenen, banden en tandwielen; machines die warm worden; energie die verloren gaat; een lade die klemt	kleiner: smeren met olie, vet of grafiet; kogellagers; wielen (rollen in plaats van glijden); gladde oppervlakken; stroomlijn tegen lucht- en waterweerstand

Het geheel · 11.20

Waar krachten naartoe leiden

20/20

Met dit hoofdstuk begint de leerlijn krachten, beweging en constructies. Bijna alles wat volgt, bouwt erop verder: hefbomen doen draaien met een kracht, constructies dragen krachten, en in Intermediate verbinden de wetten van Newton kracht en beweging. De leerlijn wiskundig modelleren zit er ook in: zwaartekracht en veerkracht zijn allebei recht evenredige verbanden, met $g$ en $k$ als evenredigheidsconstanten.

F3 Meten: grootheden en eenheden

Massa meten met een balans, aflezen zonder parallax, en het verschil tussen massa en gewicht.

F4 Tabellen, grafieken en verbanden

Recht evenredig verband: de constante is hier $g$ (zwaartekracht) of $k$ (veer).

F7 Massa, volume en dichtheid

De massa's van water en potgrond in de meetkas, die je hier omrekent naar krachten.

F10 Materialen en hun eigenschappen

Elastisch en plastisch vervormen, stijfheid: een veer en een plank gedragen zich op dezelfde manier.

F12 Hefbomen en mechanismen

Een kracht die doet draaien: met een hefboom til je met een kleine kracht een grote last.

F13 Constructies: sterk en stabiel

Zwaartepunt en stabiliteit, en hoe een frame krachten draagt.

F14 Beweging en snelheid

Hoe je een beweging beschrijft, voor je leert wat krachten ermee doen.

F15 Energie: vormen en omzettingen

Een uitgerekte veer en een opgetild voorwerp bevatten energie.

I6 Goniometrie en vectoren

Krachten als vectoren optellen en ontbinden, ook op een helling.

I8 De wetten van Newton

Hoe krachten een beweging veranderen: $F = m \cdot a$ , en rekenen met een wrijvingscoëfficiënt.

I10 Moment en evenwicht

Krachten die doen draaien: moment en evenwicht van een balk.

E11 Trillingen en resonantie

Een massa aan een veer trilt: de veerconstante bepaalt hoe snel.

E12 Sterkteleer

De wet van Hooke voor materialen: spanning, rek en de elasticiteitsmodulus.

HabitatEen volle plantenbak van de meetkas heeft een massa van 4,0 kg: een zwaartekracht van 39 N. De twaalf bakken duwen met 471 N op het tafelblad, en elke steun van de tafel draagt ongeveer 277 N. In opdracht 11.13 onderzoek je met de wet van Hooke of het tafelblad niet te ver doorbuigt; noteer je besluit in je portfolio. In hoofdstuk 13 ontwerp je het frame dat al die krachten naar de grond brengt.

Samenvatting

In het kort

Een kracht is een duw of een trek van het ene voorwerp op het andere: met contact (duwen, trekken, veer, wrijving) of op afstand (zwaartekracht, magnetisme, elektrische kracht).
Een kracht kan vervormen, versnellen, afremmen, van richting doen veranderen of doen draaien.
Je tekent een kracht als een pijl: het beginpunt is het aangrijpingspunt, de pijl toont richting en zin, de lengte is de grootte op schaal.
Krachten meet je in newton (N) met een krachtmeter: kies het bereik, zet op nul in de meetstand, trek langs de as, lees af op ooghoogte.
De zwaartekracht is recht evenredig met de massa: $F_{z} = m \cdot g$ , met $g = 9, 81 N/kg$ op aarde en $1, 62 N/kg$ op de maan.
Massa (kg) is overal dezelfde; zwaartekracht en gewicht (N) hangen af van waar je bent. Gewicht is de kracht op de steun of de ophanging.
Wet van Hooke: de uitrekking van een veer is recht evenredig met de kracht, $F = k \cdot Δ l$ , tot aan de elasticiteitsgrens.
Wrijving werkt tegen de beweging in; ze is groter bij ruwe oppervlakken en als ze harder tegen elkaar drukken, en veel kleiner bij rollen. Soms nuttig, soms hinderlijk.

Begrippen

Wat je nu kent

kracht: Een duw of een trek van het ene voorwerp op het andere. Een kracht kan vervormen, versnellen, afremmen, van richting doen veranderen of doen draaien.
newton: De eenheid van kracht, symbool N. De zwaartekracht op een voorwerp van ongeveer 100 g is 1 N.
aangrijpingspunt: Het punt waar een kracht op een voorwerp inwerkt; daar begint de krachtpijl.
krachtmeter: Toestel dat een kracht meet met een veer die uitrekt: ook veerunster of dynamometer genoemd.
zwaartekracht: De kracht waarmee de aarde (of een ander hemellichaam) aan een voorwerp trekt: $F_{z} = m \cdot g$ , gericht naar het middelpunt.
gewicht: De kracht waarmee een voorwerp op zijn steun duwt of aan zijn ophanging trekt. In rust even groot als de zwaartekracht.
zwaarteveldsterkte: Het getal $g$ : het aantal newton zwaartekracht per kilogram: 9,81 N/kg in België, 1,62 N/kg op de maan.
wet van Hooke: De uitrekking van een veer is recht evenredig met de kracht erop: $F = k \cdot Δ l$ , zolang de veer elastisch blijft.
veerconstante: Het getal $k$ in de wet van Hooke: hoeveel newton er nodig is per meter (of centimeter) uitrekking. Een stijve veer heeft een grote $k$ .
elasticiteitsgrens: De grootste kracht waarbij een veer of materiaal nog helemaal terugveert; daarboven vervormt het blijvend.
wrijving: Kracht tussen twee oppervlakken die over elkaar schuiven (of willen schuiven), tegen de beweging in.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen