EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Handboek · hoofdstuk 7Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

Een sinus is een draaiende wijzer; met complexe getallen reken je ermee zoals met gewone getallen

Het stopcontact, een toon, een trillende ventilator, de stroom door een pomp: allemaal sinusoïden. Wie ze wil optellen, afleiden of door een schakeling sturen, verdrinkt snel in goniometrische formules. Er is een elegantere weg: zie een sinus als de schaduw van een draaiende wijzer, en schrijf die wijzer als een complex getal. Dan wordt optellen vectoren optellen en afleiden vermenigvuldigen met jω. Je bouwt de complexe getallen op, bewijst de formule van Euler, rekent met fasoren in Python en maakt de brug naar wisselstroom en trillingen. Aan het eind weet je wat de netomvormer van het station moet maken, en reken je de stroom uit die hij levert.

11× uitleg8× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code18 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

WWiskundig modelleren LElektriciteit en elektronica KKrachten, beweging en constructies

De omvormer maakt van 48 V gelijkspanning een sinus van 325 V piek, vijftig keer per seconde.

Na dit hoofdstuk

Je kan van een sinusoïdaal signaal amplitude, periode, frequentie, hoekfrequentie en fase bepalen, ook uit een oscilloscoopbeeld, en een tijdverschil omrekenen naar een faseverschil.
Je kan een sinus en een cosinus uitleggen als projecties van een draaiende wijzer, en afleiden als een draaiing over 90° met een factor ω.
Je kan twee sinusoïden van dezelfde frequentie optellen als vectoren en de amplitude en fase van de som berekenen.
Je kan rekenen met complexe getallen in de vorm a + bj en in poolvorm (optellen, vermenigvuldigen, delen, toegevoegde, modulus, argument met het juiste kwadrant).
Je kan de formule van Euler afleiden en gebruiken, en complexe getallen in Python (cmath, numpy) inzetten.
Je kan sinusoïden als fasoren voorstellen en er sommen en afgeleiden mee berekenen, en een fasor uit bemonsterde metingen halen.
Je kan zwevingen en aliasing verklaren met wijzers die met verschillende snelheden draaien.
Je kan de impedantie van R, L en C als complex getal afleiden en gebruiken voor een eenvoudige kring, en een gedwongen trilling met een fasor oplossen.
Je kan voor de netomvormer van het station amplitude, frequentie en fase vastleggen en de stroom bij een gemengde belasting met fasoren berekenen.

Verhaal · 7.1

Onmogelijke getallen die het net doen draaien

1/26

In 1545 publiceerde de Italiaanse arts en wiskundige Gerolamo Cardano in zijn Ars Magna een formule voor derdegraadsvergelijkingen. Bij sommige vergelijkingen kwam er een wortel uit een negatief getal in voor, en Cardano wist er geen raad mee: zulke getallen noemde hij spitsvondig en nutteloos. Zijn landgenoot Rafael Bombelli durfde in 1572 gewoon verder te rekenen. Voor $x^{3} = 15 x + 4$ gaf de formule $x = 3 2 + - 121 + 3 2 - - 121$ , terwijl $x = 4$ duidelijk een oplossing is. Bombelli merkte dat $(2 + - 1)^{3} = 2 + - 121$ : de twee derdemachtswortels zijn $2 + - 1$ en $2 - - 1$ , en hun som is precies 4. Het 'onmogelijke' deel viel weg, en er kwam een echt antwoord uit.

Descartes noemde ze in 1637 smalend 'denkbeeldig' (imaginair), en die naam bleef. Leonhard Euler rekende er vrij mee en vond in 1748 het verband $e^{j φ} = cos φ + j sin φ$ . Rond 1800 toonden de Noors-Deense landmeter Caspar Wessel en de Zwitserse amateurwiskundige Jean-Robert Argand, los van elkaar, dat je zo'n getal kan tekenen als een punt in een vlak, en Gauss maakte de voorstelling vanaf 1831 bekend onder de naam 'complexe getallen'.

De doorbraak in de techniek kwam in 1893. Op een internationaal elektrotechnisch congres in Chicago toonde de ingenieur Charles Proteus Steinmetz hoe je wisselstroomkringen oplost door elke sinusoïde als een complex getal te schrijven. Wat eerder pagina's differentiaalvergelijkingen vroeg, werd rekenen zoals met de wet van Ohm. Datzelfde jaar werd de wereldtentoonstelling in Chicago met wisselstroom verlicht: de 'stroomoorlog' tussen gelijkstroom en wisselstroom was zo goed als beslecht. Steinmetz' methode maakte het ontwerpen van wisselstroomnetten, transformatoren en motoren voor gewone ingenieurs haalbaar. Elektrotechnici schrijven de imaginaire eenheid als $j$ , omdat $i$ al bezet is door de stroom; wiskundigen en natuurkundigen schrijven $i$ . Python volgt de ingenieurs: 3 + 4j.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het station krijgt een netomvormer die van 48 V gelijkspanning 230 V wisselspanning maakt, en op het proefterrein kan het zelfs stroom aan het net leveren. Hoeveel stroom de omvormer levert bij een pomp en een verwarming samen, en waarom hij exact in de pas moet lopen met het net, reken je met fasoren uit. Dezelfde wiskunde draagt de trillingen (hoofdstuk 11), de wisselstroom (20), de filters (21) en de vermogenselektronica (24).

Rond 1890 werd wisselstroom de standaard; met complexe getallen werd het rekenen eraan haalbaar.

Uitleg · 7.2

Wat je al weet, en de vraag van dit hoofdstuk

2/26

wat je al kan	wat nu komt
sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek; vectoren optellen en ontbinden (hoofdstuk 6 van I)	sinus en cosinus als projecties van een draaiende vector; sinussen optellen als vectoren
bemonsteren, bemonsteringsfrequentie, PWM (hoofdstuk 25 van I)	bemonsteren als een wijzer in stapjes; zwevingen en aliasing
$(sin x)^{'} = cos x$ ; $i = C d u / d t$ bij een wisselspanning (hoofdstuk 1)	afleiden = de wijzer 90° draaien en met $ω$ rekken: vermenigvuldigen met $j ω$
effectieve waarde $\hat{U} / 2$ (hoofdstuk 3); de RC-kring als differentiaalvergelijking (hoofdstuk 4)	de RC-kring bij een sinus zonder differentiaalvergelijking, met impedanties
rotatiematrix, vectoren in het vlak (hoofdstuk 5)	complexe getallen: één getal voor een vector, vermenigvuldigen = draaien

Tot nu toe kwamen sinussen losse keren voor: de helling van $sin x$ (hoofdstuk 1), de effectieve waarde (hoofdstuk 3), een condensator aan het net (opdracht 1.13). In de techniek zijn ze overal, omdat elke draaiende machine ze maakt en omdat elk periodiek signaal een som van sinussen is (hoofdstuk 21). Dit hoofdstuk geeft je het gereedschap om er vlot mee te rekenen: de draaiende wijzer, de complexe getallen, en hun combinatie, de fasor.

De Habitat-vraag: het station krijgt een 48 V-net met een omvormer naar 230 V (de basisfiche). Wat moet die omvormer precies maken, en welke stroom levert hij als de noodverwarming en de drukpomp van het drinkwater tegelijk draaien? De tweede vraag lijkt een optelling, maar een pomp neemt haar stroom 'te laat': stromen van verschillende toestellen tel je als wijzers op, niet als getallen.

230 V is geen oefenmateriaal

Alles wat in dit hoofdstuk over het net gaat, reken je uit; je meet het niet zelf. Een oscilloscoop of een Arduino rechtstreeks aan het net is levensgevaarlijk (hoofdstuk 5 en 19 van F). Metingen aan 230 V doet een bevoegd elektricien met geïsoleerde tastkoppen. Oefen met een functiegenerator of een transformator met een lage spanning.

Uitleg · 7.3

De sinusoïde: amplitude, periode, frequentie en fase

3/26

Een sinusoïde is elk signaal van de vorm

sinusoïde

a (t) = \hat{A} cos (ω t + φ), ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}

\hat{A}

: amplitude (de piekwaarde).

T

: periode (s).

f = 1/ T

: frequentie (Hz).

ω

: hoekfrequentie (rad/s).

φ

: fase op

t = 0

(rad of graden).

We nemen de cosinus als referentie, zoals de elektrotechniek; een sinus is dan gewoon een cosinus met een fase van $- 9 0^{\circ}$ : $sin x = cos (x - 9 0^{\circ})$ . De fase verschuift het signaal in de tijd. De piek van $cos (ω t + φ)$ valt waar $ω t + φ = 0$ , dus op $t = - φ / ω$ . In de figuur heeft de netspanning $φ = - 6 0^{\circ}$ : ze bereikt haar piek $T /6 = 3, 33 ms$ later dan de referentie. Een negatieve fase betekent later (naijlen), een positieve eerder (voorijlen).

faseverschil en tijdverschil

Δ t = \frac{Δ φ}{ω} = \frac{Δ φ}{36 0 ^{\circ}} T

Bij 50 Hz is

1^{\circ}

gelijk aan

20 ms /360 = 55, 6 μ s

Echte signalen in en rond het station:

signaal	amplitude	$f$	$T$	$ω$
netspanning	325 V (230 V effectief)	50 Hz	20 ms	314,2 rad/s
stemtoon A (geluidsdruk)	0,1 Pa (ongeveer 71 dB)	440 Hz	2,273 ms	2765 rad/s
ventilator WTW-unit (1500 tpm), versnelling	0,5 m/s²	25 Hz	40 ms	157,1 rad/s
buitentemperatuur over een dag (ruwweg)	enkele °C	1 per dag	24 h	7,27·10⁻⁵ rad/s

Waarom zijn sinusoïden zo gewoon? Elke eenparige draaiing (een generator, een ventilator, de aarde) maakt ze, en elke trilling van een massa aan een veer ook (hoofdstuk 11). En een sinusoïde blijft een sinusoïde als je ze afleidt, integreert, vertraagt of optelt met een andere van dezelfde frequentie. Dat maakt ze tot de natuurlijke bouwstenen van signalen.

De netspanning met een fase van −60° (volle lijn) tegenover de referentie (stippellijn): dezelfde amplitude en periode, 3,33 ms later.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.4

Een oscilloscoopbeeld lezen

4/26

Een elektricien meet met een differentiaaltastkop en een stroomtang de spanning en de stroom van de drukpomp van het drinkwater. Het beeld staat hieronder (2 ms per hokje). Bepaal frequentie, amplitudes, effectieve waarden en het faseverschil. Welk signaal ijlt voor?

Spanning (links) en stroom (rechts) van de drukpomp: de stroompiek komt één hokje, 2 ms, na de spanningspiek.

Gegeven

het oscilloscoopbeeld: spanning (links, V) en stroom (rechts, A)

Gevraagd

$f$ , $\hat{U}$ , $\hat{I}$ , $U_{eff}$ , $I_{eff}$
$Δ t$ en $Δ φ$

Oplossing

1
Periode: de spanning heeft pieken op 0, 20 en 40 ms, dus $T = 20 ms$ en $f = 1/ T = 50 Hz$ .
2
Amplitudes: $\hat{U} \approx 325 V$ en $\hat{I} \approx 5, 7 A$ . Effectief: $U_{eff} = 325/ 2 = 230 V$ en $I_{eff} = 5, 7/ 2 = 4, 03 A$ (hoofdstuk 3).
3
De stroompiek valt $2, 0 ms$ (één hokje) na de spanningspiek. $Δ φ = \frac{2 , 0}{20} \cdot 36 0^{\circ} = 3 6^{\circ}$ .
4
De stroom komt later: hij ijlt $3 6^{\circ}$ na op de spanning. Met de spanning als referentie: $u = 325 cos (ω t)$ en $i = 5, 7 cos (ω t - 3 6^{\circ})$ .

Antwoord

f = 50 Hz

;

\hat{U} = 325 V

(230 V eff.),

\hat{I} = 5, 7 A

(4,03 A eff.); de stroom ijlt

3 6^{\circ}

na. Een motor gedraagt zich deels als een spoel: de stroom komt later dan de spanning.

Klopt dit? Het gemiddelde vermogen is

\frac{1}{2} \hat{U} \hat{I} cos Δ φ = \frac{1}{2} \cdot 325 \cdot 5, 7 \cdot cos 3 6^{\circ} = 750 W

(opdracht 7.18 bewijst die formule): het opgegeven vermogen van de pomp. Zonder faseverschil zou

U_{eff} I_{eff}

= 927 W

uitkomen: het faseverschil kost niets, maar de stroom is groter dan nodig.

Uitleg · 7.5

De sinus als schaduw van een draaiende wijzer

5/26

Laat een pijl (een wijzer) met lengte $\hat{A}$ eenparig rond de oorsprong draaien, tegen de klok in, met hoeksnelheid $ω$ . Op tijdstip $t$ maakt hij een hoek $ω t + φ$ met de horizontale as. Zijn horizontale projectie is $\hat{A} cos (ω t + φ)$ , zijn verticale $\hat{A} sin (ω t + φ)$ (hoofdstuk 6 van I: de componenten van een vector). Teken je de verticale projectie uit naar rechts tegen de tijd, dan krijg je een sinus; de horizontale naar onder, een cosinus. Eén omwenteling is één periode: daarom is $ω = 2 π / T$ in radialen per seconde.

Het beeld maakt drie dingen vanzelfsprekend. De amplitude is de lengte van de wijzer. De fase is de hoek waarmee hij op $t = 0$ vertrekt. En een faseverschil tussen twee sinusoïden van dezelfde frequentie is de hoek tussen hun wijzers; die blijft constant, want ze draaien samen rond.

Ook afleiden wordt een beeld. Uit hoofdstuk 1:

\frac{d}{d t} \hat{A} cos (ω t + φ) = - ω \hat{A} sin (ω t + φ) = ω \hat{A} cos (ω t + φ + 9 0^{\circ}) .

De afgeleide is een wijzer die $ω$ keer zo lang is en een kwartslag (90°) voorligt. Twee keer afleiden geeft $ω^{2}$ en 180°: precies tegengesteld. Integreren draait 90° terug en deelt door $ω$ .

Radialen

$ω t$ moet in radialen staan als je afleidt ( $(sin x)^{'} = cos x$ geldt alleen in radialen, hoofdstuk 1). Fasen mag je in graden noteren, zolang je bij het rekenen omzet: $1 rad = 57, 3^{\circ}$ . In Python: math.radians en math.degrees.

De wijzer staat op ωt = 60°. Zijn verticale projectie is de sinus rechts, zijn horizontale projectie de cosinus onder (met de tijd naar onder).

Uitgewerkt voorbeeld · 7.6

Hoe ver trilt de ventilator?

6/26

Een versnellingsmeter op de behuizing van de ventilatie-unit met warmteterugwinning meet een sinusoïdale trilling van 25 Hz (de ventilator draait 1500 toeren per minuut) met een amplitude van 0,5 m/s². Hoe groot zijn de snelheid en de uitwijking, en hoe liggen ze in fase tegenover de versnelling?

Gegeven

$a (t) = 0, 5 cos (ω t) m/ s^{2}$ , $f = 25 Hz$

Gevraagd

$\overset{v}{^}$ en $\overset{x}{^}$ , met hun fase

Oplossing

1
$ω = 2 π \cdot 25 = 157, 1 rad/s$ (1500 tpm $= 25$ omwentelingen per seconde).
2
Integreren deelt door $ω$ en draait $9 0^{\circ}$ terug: $\overset{v}{^} = 0, 5/157, 1 = 3, 18 mm/s$ , en $v (t) = 3, 18 cos (ω t - 9 0^{\circ}) mm/s$ .
3
Nog eens: $\overset{x}{^} = 0, 5/ ω^{2} = 20, 3 μ m$ , en $x (t) = 20, 3 cos (ω t - 18 0^{\circ}) μ m$ : de uitwijking is precies tegengesteld aan de versnelling.
4
Controle door af te leiden: $x = - X cos ω t$ geeft $\overset{x}{¨} = ω^{2} X cos ω t$ , en $ω^{2} X = 24674 \cdot 20, 3 \cdot 1 0^{- 6} = 0, 5 m/ s^{2}$ .

Antwoord

\overset{v}{^} = 3, 2 mm/s

(90° achter op

a

\overset{x}{^} = 20 μ m

(180°: tegengesteld). Een halve meter per seconde kwadraat klinkt veel, maar bij 25 Hz is het een trilling van twee honderdsten van een millimeter.

Klopt dit? Dimensies: m/s² gedeeld door rad/s geeft m/s, nog eens gedeeld: m. Een tegengestelde uitwijking en versnelling is precies wat een massa aan een veer doet (

m \overset{x}{¨} = - k x

): hoofdstuk 11 bouwt erop verder, en een trillingsnorm voor machines gebruikt net deze snelheid (mm/s).

Uitleg · 7.7

Twee sinussen van dezelfde frequentie optellen

7/26

Wat is $10 cos ω t + 6 cos (ω t + 6 0^{\circ})$ ? Met de somformule van de cosinus lukt het, maar het wordt snel een bladzijde. Met wijzers is het een vectorsom: beide wijzers draaien met dezelfde $ω$ rond, dus hun som is ook een wijzer die met $ω$ draait. En de projectie van een som is de som van de projecties. Dus: tel de wijzers op $t = 0$ op als vectoren (kop aan staart of met het parallellogram), en de somwijzer geeft amplitude en fase van de somsinusoïde.

In componenten (hoofdstuk 6 van I): $A_{1} = (10; 0)$ en $A_{2} = (6 cos 6 0^{\circ}; 6 sin 6 0^{\circ}) = (3; 5, 196)$ . Samen $(13; 5, 196)$ , met lengte $1 3^{2} + 5, 19 6^{2} = 14, 00$ en hoek $atan2 (5, 196; 13) = 21, 7 9^{\circ}$ :

10 cos ω t + 6 cos (ω t + 6 0^{\circ}) = 14, 0 cos (ω t + 21, 8^{\circ}) .

amplitude van een som (cosinusregel)

\hat{A}^{2} = \hat{A}_{1}^{2} + \hat{A}_{2}^{2} + 2 \hat{A}_{1} \hat{A}_{2} cos (φ_{2} - φ_{1})

In fase (

Δ φ = 0

): de amplitudes tellen op. In tegenfase (

18 0^{\circ}

): ze trekken af. Een kwartslag (

9 0^{\circ}

\hat{A} = \hat{A}_{1}^{2} + \hat{A}_{2}^{2}

, zoals bij Pythagoras.

Let op het gevolg: $10 + 6$ geeft hier geen 16 maar 14,0. Twee stromen van 10 A en 6 A in een knooppunt geven samen niet altijd 16 A. Dat zie je terug bij de omvormer van het station.

Boven de wijzers op t = 0: de som volgt uit het parallellogram. Onder dezelfde drie signalen in de tijd: de somkromme heeft amplitude 14 en ligt 21,8° voor op de eerste.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.8

Twee luidsprekers, één toon

8/26

Twee luidsprekers spelen dezelfde toon van 440 Hz, in fase. Op een luisterplek komt de geluidsgolf van de eerste met een amplitude van 0,10 Pa aan, die van de tweede (verder weg) met 0,09 Pa, en die tweede heeft een weg afgelegd die 0,26 m langer is. Hoe groot is de geluidsdruk op die plek? Waar zou het het stilst zijn? Geluidssnelheid 343 m/s.

Gegeven

$f = 440 Hz$ , $c = 343 m/s$
$\overset{p}{^}_{1} = 0, 10 Pa$ , $\overset{p}{^}_{2} = 0, 09 Pa$ , $Δ s = 0, 26 m$

Gevraagd

$\overset{p}{^}$ van de som
de weglengte voor de grootste uitdoving

Oplossing

1
Golflengte: $λ = c / f = 343/440 = 0, 780 m$ . Een omweg $Δ s$ komt $Δ s / c$ later aan: een faseachterstand $Δ φ = 36 0^{\circ} \cdot Δ s / λ = 120, 1^{\circ}$ .
2
Wijzers: $P_{1} = 0, 10∠ 0^{\circ}$ en $P_{2} = 0, 09∠ - 120, 1^{\circ} = - 0, 0451 - 0, 0779 j$ Pa.
3
Som: $0, 0549 - 0, 0779 j$ , met lengte $0, 0953 Pa$ . Cosinusregel ter controle: $0, 01 + 0, 0081 + 2 \cdot 0, 009 cos 120, 1^{\circ} = 0, 0953$ .
4
Het stilst is het bij $18 0^{\circ}$ : $Δ s = λ /2 = 0, 390 m$ (of $λ /2 + k λ$ ). Daar blijft $0, 10 - 0, 09 = 0, 01 Pa$ over.

Antwoord

\overset{p}{^} = 0, 095 Pa

: minder dan elke luidspreker afzonderlijk, tegenover 0,19 Pa op een plek zonder omweg. Bij een omweg van 39 cm is het bijna stil.

Klopt dit? Zo werkt ruisonderdrukking in een koptelefoon: een microfoon meet het omgevingsgeluid en een luidsprekertje speelt het in tegenfase. Voor lage tonen (grote

λ

) lukt dat goed; voor hoge tonen moet de fase veel nauwkeuriger kloppen.

Uitleg · 7.9

Complexe getallen: rekenen met j

9/26

Een wijzer is een vector in het vlak: twee getallen. Het wordt veel handiger als je er één getal van maakt. Voer een nieuw getal $j$ in met

complex getal

j^{2} = - 1, z = a + bj (a, b \in R)

a = Re z

is het reële deel,

b = Im z

het imaginaire deel (een reëel getal!). Wiskundigen schrijven

i

, elektrotechnici

j

Je rekent zoals met veeltermen in $j$ , en vervangt $j^{2}$ telkens door $- 1$ :

optellen per deel: $(3 + 4 j) + (1 - 2 j) = 4 + 2 j$ (vectoren optellen);
vermenigvuldigen: $(3 + 4 j) (1 - 2 j) = 3 - 6 j + 4 j - 8 j^{2} = 11 - 2 j$ ;
de toegevoegde $\overset{z}{ˉ} = a - bj$ spiegelt over de reële as, en $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ is reëel;
delen: vermenigvuldig teller en noemer met de toegevoegde van de noemer: $\frac{3 + 4 j}{1 - 2 j} = \frac{( 3 + 4 j ) ( 1 + 2 j )}{1 + 4} = \frac{- 5 + 10 j}{5} = - 1 + 2 j$ .

In het complexe vlak (Wessel en Argand) staat $a + bj$ op het punt $(a; b)$ . De modulus $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ is de lengte van de pijl, het argument $ar g z$ de hoek met de positieve reële as. Optellen is vectoren optellen; wat vermenigvuldigen betekent, zie je op het volgende blad.

Het argument is atan(b/a)

Alleen als $a > 0$ . De getallen $2 + 2 j$ en $- 2 - 2 j$ hebben dezelfde $b / a = 1$ , maar de eerste ligt op $4 5^{\circ}$ en de tweede op $- 13 5^{\circ}$ . Gebruik atan2 $(b, a)$ , die naar de tekens van beide kijkt (in Python math.atan2(b, a) of cmath.phase(z)), of teken het getal even.

Een complex getal is een punt of een pijl in het complexe vlak; optellen gaat met het parallellogram, net als bij wijzers.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.10

Rekenen met complexe getallen

10/26

Bereken voor $z_{1} = 3 + 4 j$ en $z_{2} = 1 - 2 j$ : $z_{1} z_{2}$ , $z_{1} / z_{2}$ , $∣ z_{1} ∣$ , $ar g z_{1}$ en $ar g z_{2}$ . Schrijf daarna $z_{3} = - 2 - 2 j$ in poolvorm, en los $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ op.

Gegeven

$z_{1} = 3 + 4 j$ , $z_{2} = 1 - 2 j$ , $z_{3} = - 2 - 2 j$

Gevraagd

product, quotiënt, moduli en argumenten
de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Oplossing

1
$z_{1} z_{2} = 3 - 6 j + 4 j - 8 j^{2} = 11 - 2 j$ en $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{( 3 + 4 j ) ( 1 + 2 j )}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{3 + 6 j + 4 j + 8 j ^{2}}{5} = - 1 + 2 j$ .
2
$∣ z_{1} ∣ = 9 + 16 = 5$ en $ar g z_{1} = atan2 (4, 3) = 53, 1 3^{\circ}$ ; $∣ z_{2} ∣ = 5 = 2, 236$ , $ar g z_{2} = - 63, 4 3^{\circ}$ (vierde kwadrant).
3
Controle met de poolvorm: $∣ z_{1} z_{2} ∣ = 5 \cdot 5 = 11, 180$ en $ar g (z_{1} z_{2}) = 53, 1 3^{\circ} + (- 63, 4 3^{\circ}) = - 10, 3 0^{\circ}$ : $11 - 2 j$ heeft modulus $125$ en ligt net onder de reële as. Klopt.
4
$z_{3} = - 2 - 2 j$ : $∣ z_{3} ∣ = 8 = 2, 828$ , derde kwadrant, dus $ar g z_{3} = - 13 5^{\circ}$ (of $22 5^{\circ}$ ). $z_{3} = 2, 828∠ - 13 5^{\circ}$ .
5
$z = \frac{- 2 \pm 4 - 20}{2} = \frac{- 2 \pm - 16}{2} = - 1 \pm 2 j$ . Controle: $(- 1 + 2 j)^{2} + 2 (- 1 + 2 j) + 5 = (1 - 4 j - 4) - 2 + 4 j + 5 = 0$ .

Antwoord

z_{1} z_{2} = 11 - 2 j

z_{1} / z_{2} = - 1 + 2 j

∣ z_{1} ∣ = 5

ar g z_{1} = 53, 1 3^{\circ}

ar g z_{2} = - 63, 4 3^{\circ}

;

z_{3} = 2, 828∠ - 13 5^{\circ}

;

z = - 1 \pm 2 j

Klopt dit? Een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten en een negatieve discriminant heeft twee toegevoegde oplossingen. Zulke paren duiken op bij elke gedempte trilling: de

- 1

geeft de demping, de

\pm 2 j

de trillingsfrequentie (verderop).

Uitleg · 7.11

Poolvorm: vermenigvuldigen is draaien en schalen

11/26

Een complex getal met modulus $r$ en argument $φ$ is

poolvorm

z = r (cos φ + j sin φ) = r ∠ φ a = r cos φ, b = r sin φ

r = ∣ z ∣

φ = ar g z = atan2 (b, a)

Vermenigvuldig twee getallen in poolvorm en gebruik de somformules $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ en $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ :

r_{1} (cos α + j sin α) \cdot r_{2} (cos β + j sin β) = r_{1} r_{2} (cos (α + β) + j sin (α + β)) .

vermenigvuldigen en delen in poolvorm

r_{1} ∠ α \cdot r_{2} ∠ β = r_{1} r_{2} ∠ (α + β) \frac{r _{1} ∠ α}{r _{2} ∠ β} = \frac{r _{1}}{r _{2}} ∠ (α - β)

De moduli vermenigvuldigen, de hoeken tellen op. Optellen doe je in de vorm

a + bj

, vermenigvuldigen en delen in poolvorm.

Vermenigvuldigen met $w = r ∠ β$ is dus: draaien over $β$ en schalen met $r$ . Vermenigvuldigen met $j = 1∠9 0^{\circ}$ is een kwartslag tegen de klok in, en $j \cdot j$ een halve slag: $- 1$ . Dat is de meetkundige betekenis van $j^{2} = - 1$ . Vermenigvuldigen met $1∠ β$ doet hetzelfde als de rotatiematrix van hoofdstuk 5:

(cos β + j sin β) (a + bj) = (a cos β - b sin β) + j (a sin β + b cos β) .

j · z is z een kwartslag gedraaid; z · w heeft lengte 2 · 1,5 = 3 en hoek 20° + 50° = 70°.

Uitleg · 7.12

De formule van Euler

12/26

Bekijk $f (φ) = cos φ + j sin φ$ , de wijzer met lengte 1 op hoek $φ$ . Leid af naar $φ$ : $f^{'} (φ) = - sin φ + j cos φ = j (cos φ + j sin φ) = j f (φ)$ . Dus $f^{'} = j f$ met $f (0) = 1$ . Dat is dezelfde differentiaalvergelijking als $y^{'} = k y$ uit hoofdstuk 4, met $k = j$ , en die heeft als oplossing $e^{k φ}$ . Een differentiaalvergelijking met een beginwaarde heeft maar één oplossing, dus:

formule van Euler

e^{j φ} = cos φ + j sin φ

Een complexe exponentiële is een wijzer met lengte 1 en hoek

φ

. Met

φ = π

e^{j π} + 1 = 0

, de vijf belangrijkste getallen van de wiskunde in één regel.

Een tweede weg, dezelfde conclusie: vul $x = j φ$ in de reeks $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots$ in. De machten van $j$ lopen rond: $1, j, - 1, - j, 1, \dots$ De reële termen vormen de reeks van $cos φ$ , de imaginaire die van $sin φ$ . De figuur tekent de partiële sommen voor $φ = 2 rad$ : elke term is een stukje dat een kwartslag draait tegenover het vorige en snel korter wordt, en het pad spiraalt naar het punt $cos 2 + j sin 2$ op de eenheidscirkel.

Drie gevolgen die je steeds gebruikt:

poolvorm kort: $z = r e^{j φ}$ , en $r_{1} e^{j α} \cdot r_{2} e^{j β} = r_{1} r_{2} e^{j (α + β)}$ (machten vermenigvuldigen: exponenten optellen);
$cos φ = \frac{e ^{j φ} + e ^{- j φ}}{2}$ en $sin φ = \frac{e ^{j φ} - e ^{- j φ}}{2 j}$ : een cosinus is de som van twee wijzers die in tegengestelde zin draaien;
de formule van De Moivre $(cos φ + j sin φ)^{n} = cos n φ + j sin n φ$ , waaruit elke verdubbelings- of verdrievoudigingsformule van de goniometrie volgt (opdracht 7.14).

De partiële sommen 1, 1 + 2j, −1 + 2j, ... draaien telkens een kwartslag en worden korter; na tien termen liggen ze op het punt e^(2j) = cos 2 + j sin 2.

Code · 7.13

Complexe getallen in Python

13/26

Python kent complexe getallen van huis uit: 3 + 4j is een complex. De module cmath heeft de complexe versies van exp, sqrt, ... en de omzettingen polar en rect; numpy rekent met hele reeksen complexe getallen tegelijk (np.abs, np.angle, np.exp(1j * ...)).

Pythoncomplex.py23 regelsDownload

# complex.py - rekenen met complexe getallen (Python schrijft j, net als de elektrotechniek)import cmathimport math z1, z2 = 3 + 4j, 1 - 2jprint("som      ", z1 + z2)print("product  ", z1 * z2)print("quotiënt ", z1 / z2)print("toegevoegde van z1:", z1.conjugate(), "  |z1| =", abs(z1))print("arg z1 = %.2f graden" % math.degrees(cmath.phase(z1))) r, phi = cmath.polar(-2 - 2j)                    # poolvorm: phase gebruikt atan2, dus het juiste kwadrantprint("-2-2j in poolvorm: r = %.4f, hoek = %.1f graden" % (r, math.degrees(phi)))print("naïef atan(b/a) zou %.1f graden geven" % math.degrees(math.atan(-2 / -2)))print("2 met hoek 30 graden:", cmath.rect(2, math.radians(30))) print("e^(j pi) =", cmath.exp(1j * math.pi))     # Euler: -1, op een afrondingsfout nas, term = 0, 1for k in range(12):                              # de reeks 1 + (j phi) + (j phi)^2/2! + ... voor phi = 2    s += term    term *= 2j / (k + 1)print("reeks tot k = 11:", s)print("cmath.exp(2j):   ", cmath.exp(2j))

Uitvoer:

som       (4+2j)
product   (11-2j)
quotiënt  (-1+2j)
toegevoegde van z1: (3-4j)   |z1| = 5.0
arg z1 = 53.13 graden
-2-2j in poolvorm: r = 2.8284, hoek = -135.0 graden
naïef atan(b/a) zou 45.0 graden geven
2 met hoek 30 graden: (1.7320508075688774+0.9999999999999999j)
e^(j pi) = (-1+1.2246467991473532e-16j)
reeks tot k = 11: (-0.4161552028218696+0.9092961359628027j)
cmath.exp(2j):    (-0.4161468365471424+0.9092974268256817j)

Drie dingen om op te letten. cmath.phase geeft $- 13 5^{\circ}$ voor $- 2 - 2 j$ , de naïeve arctangens $4 5^{\circ}$ : een fout van een halve slag. $e^{j π}$ geeft $- 1 + 1, 2 \cdot 1 0^{- 16} j$ : de imaginaire rest is een afrondingsfout, zoals in hoofdstuk 1. En na twaalf termen valt de reeks samen met cmath.exp(2j) tot op zes decimalen: de faculteit in de noemer wint het snel van $2^{k}$ .

Uitleg · 7.14

Fasoren: sinusoïden als complexe getallen

14/26

Nu komt alles samen. Met Euler is de draaiende wijzer $\hat{A} e^{j (ω t + φ)}$ , en de sinusoïde is zijn reële deel (de horizontale projectie):

fasor

a (t) = \hat{A} cos (ω t + φ) = Re (A e^{j ω t}), A = \hat{A} e^{j φ} = \hat{A} ∠ φ

De fasor

A

is de wijzer op

t = 0

. De factor

e^{j ω t}

is voor alle signalen met dezelfde frequentie dezelfde: je laat hem weg en rekent alleen met

A

Twee regels maken fasoren krachtig. Optellen: omdat $Re (A e^{j ω t}) + Re (B e^{j ω t}) = Re ((A + B) e^{j ω t})$ , is de fasor van een som de som van de fasoren. Afleiden: $\frac{d}{d t} (A e^{j ω t}) = j ω A e^{j ω t}$ , dus de fasor van de afgeleide is $j ω A$ : rekken met $ω$ en een kwartslag draaien, precies wat de wijzer liet zien. Een differentiaalvergelijking wordt zo een algebraïsche vergelijking.

in de tijd	als fasor	waarom
$\hat{A} cos (ω t + φ)$	$A = \hat{A} e^{j φ} = \hat{A} ∠ φ$	definitie: $Re (A e^{j ω t})$
$\hat{A} sin (ω t + φ)$	$\hat{A} ∠ (φ - 9 0^{\circ})$	$sin x = cos (x - 9 0^{\circ})$
$a (t) + b (t)$	$A + B$	$Re$ is lineair
$c a (t)$ ( $c$ reëel)	$c A$	idem
$\frac{d a}{d t}$	$j ω A$	$\frac{d}{d t} e^{j ω t} = j ω e^{j ω t}$
$\int a d t$ (zonder constante)	$\frac{A}{j ω}$	omgekeerd
$a (t) \cdot b (t)$	geen fasor	een product bevat $2 ω$ en een gelijkdeel

Alleen bij één frequentie

Fasoren tellen alleen sinusoïden van dezelfde frequentie op: de factor $e^{j ω t}$ moet voor allemaal dezelfde zijn. Twee frequenties geven een zweving (verderop); een product van twee sinusoïden (zoals het vermogen $p = u i$ ) bevat de dubbele frequentie en is geen fasor.

Amplitude of effectieve waarde?

Hier is de lengte van de fasor de amplitude. In de elektrotechniek (hoofdstuk 20) geeft men de fasor meestal de effectieve waarde: $U = 230∠ 0^{\circ} V$ in plaats van $325∠ 0^{\circ} V$ . Alle hoeken en verhoudingen blijven dezelfde; zeg er altijd bij welke je gebruikt. Het Habitat-voorbeeld verderop rekent met effectieve waarden.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.15

Het driefasige net: drie wijzers die samen nul zijn

15/26

Het openbare net levert drie fasen: drie spanningen van 230 V effectief tegenover de nulgeleider, 120° na elkaar. Toon met fasoren dat hun som op elk ogenblik nul is, en leg uit wat dat betekent voor de stroom in de nulgeleider als drie gelijke weerstanden elk op een fase hangen.

Drie wijzers van gelijke lengte, 120° uit elkaar; kop aan staart (stippellijnen) sluiten ze, dus hun som is nul.

Gegeven

$U_{1} = 325∠ 0^{\circ}$ , $U_{2} = 325∠ - 12 0^{\circ}$ , $U_{3} = 325∠12 0^{\circ}$ (V, amplitudes)

Gevraagd

$U_{1} + U_{2} + U_{3}$ en het gevolg voor de nulgeleider

Oplossing

1
In de vorm $a + bj$ : $U_{1} = 325$ , $U_{2} = 325 (cos 12 0^{\circ} - j sin 12 0^{\circ}) = - 162, 6 - 281, 6 j$ , $U_{3} = - 162, 6 + 281, 6 j$ .
2
Som: reëel $325 - 162, 6 - 162, 6 = 0$ , imaginair $- 281, 6 + 281, 6 = 0$ . Omdat de fasor van de som nul is, is de som in de tijd $Re (0 \cdot e^{j ω t}) = 0$ op elk ogenblik.
3
Meetkundig: kop aan staart vormen de drie wijzers een gelijkzijdige driehoek, die sluit.
4
Drie gelijke weerstanden $R$ : de stromen zijn $U_{k} / R$ , ook drie wijzers van gelijke lengte 120° uit elkaar. De stroom in de nulgeleider is hun som: nul. Bij een evenwichtige belasting draagt de nulgeleider niets.

Antwoord

U_{1} + U_{2} + U_{3} = 0

op elk ogenblik (numeriek kleiner dan

1 0^{- 12}

V: afrondingsruis). Bij een evenwichtige driefasige belasting loopt er geen stroom in de nulgeleider: daarom kan een net met drie fasen veel vermogen transporteren met weinig koper.

Klopt dit? Is de belasting niet in evenwicht (een fase zwaarder belast), dan is de som van de stromen niet nul en draagt de nulgeleider het verschil. De spanning tussen twee fasen is

U_{1} - U_{2}

, een wijzer met lengte

3 \cdot 325 = 563 V

amplitude, of 400 V effectief: de '400 V' van een driefasige aansluiting (hoofdstuk 20).

In de tijd: op elk ogenblik tellen de drie fasespanningen op tot nul (de vlakke lijn).

Code · 7.16

Een fasor uit metingen halen

16/26

Een energiemeter of de Pi van het station krijgt geen formule maar metingen: duizenden waarden van spanning en stroom. Hoe haal je daar amplitude en fase uit? Vermenigvuldig het signaal met $e^{- j ω t}$ en neem het gemiddelde over hele periodes. Voor $x (t) = \hat{A} cos (ω t + φ) = \frac{A ^}{2} (e^{j (ω t + φ)} + e^{- j (ω t + φ)})$ geeft dat

\overline{x (t) e^{- j ω t}} = \frac{A ^}{2} e^{j φ} + \frac{A ^}{2} \overline{e^{- j (2 ω t + φ)}} = \frac{A ^}{2} e^{j φ},

want een wijzer die rondgaat, is over hele periodes gemiddeld nul. Twee keer dat gemiddelde is de fasor. Ruis en andere frequenties vallen grotendeels weg. Het programma doet dat met gesimuleerde metingen van de drukpomp (via geïsoleerde sensoren, zoals in een energiemeter).

Pythonfasor_meten.py23 regelsDownload

# fasor_meten.py - amplitude en fase van 50 Hz uit bemonsterde spanning en stroomimport numpy as np fs, f = 5000, 50.0                        # 5000 metingen per seconde, netfrequentiet = np.arange(0, 0.2, 1 / fs)             # 0,2 s = precies tien periodesw = 2 * np.pi * frng = np.random.default_rng(1)u = 325.3 * np.cos(w * t) + rng.normal(0, 5.0, t.size)                    # spanning met ruis (V)i = 5.70 * np.cos(w * t - np.radians(36)) + rng.normal(0, 0.1, t.size)    # stroom van de pomp (A)  def fasor(x):    """Complexe amplitude: 2 * gemiddelde van x(t) * e^(-j w t) over hele periodes."""    return 2 * np.mean(x * np.exp(-1j * w * t))  U, I = fasor(u), fasor(i)for naam, X, eenheid in (("U", U, "V"), ("I", I, "A")):    print("%s = %7.2f %s  hoek %6.2f graden" % (naam, abs(X), eenheid, np.degrees(np.angle(X))))phi = np.angle(U) - np.angle(I)print("faseverschil u - i: %.2f graden, cos phi = %.3f" % (np.degrees(phi), np.cos(phi)))print("vermogen uit de fasoren  0,5 Re(U I*) = %.0f W" % (0.5 * (U * np.conj(I)).real))print("vermogen uit de samples  gemiddelde(u i) = %.0f W" % np.mean(u * i))

Uitvoer:

U =  325.12 V  hoek   0.02 graden
I =    5.70 A  hoek -36.00 graden
faseverschil u - i: 36.02 graden, cos phi = 0.809
vermogen uit de fasoren  0,5 Re(U I*) = 749 W
vermogen uit de samples  gemiddelde(u i) = 749 W

Uit 1000 metingen met ruis komt de fasor op enkele tienden van een procent en een graad nauwkeurig terug. Het vermogen uit de fasoren, $\frac{1}{2} Re (U \overset{ˉ}{I})$ , is gelijk aan het gemiddelde van $u i$ over de metingen: twee wegen naar dezelfde 750 W. Dit gemiddelde van $x (t) e^{- j ω t}$ is één 'bin' van de discrete Fouriertransformatie (hoofdstuk 21): doe het voor elke frequentie, en je hebt het spectrum.

Hele periodes

Het gemiddelde over $0, 2 s$ bevat precies tien periodes van 50 Hz. Neem je 9,5 periodes, dan middelt de wijzer met $2 ω$ niet helemaal weg en krijg je een fout. Meetapparaten bemonsteren daarom synchroon met het net, of gebruiken een venster (hoofdstuk 21).

Uitleg · 7.17

Verschillende frequenties: zwevingen en aliasing

17/26

In de technische ruimte draaien twee ventilatoren, een van 1500 en een van 1560 toeren per minuut (25 en 26 Hz). Samen maken ze een brom die aanzwelt en wegsterft, één keer per seconde. Met de formule van Euler, of de somformule van de cosinus:

zweving

cos (2 π f_{1} t) + cos (2 π f_{2} t) = 2 cos (2 π \frac{f _{2} - f _{1}}{2} t) cos (2 π \frac{f _{1} + f _{2}}{2} t)

Een trilling op de gemiddelde frequentie (25,5 Hz) met een langzaam veranderende amplitude. De luidheid piekt telkens als de omhullende

\pm 2

is:

∣ f_{2} - f_{1} ∣

keer per seconde.

Met wijzers: de twee wijzers draaien bijna even snel. Bekijk je ze vanuit de eerste, dan draait de tweede langzaam rond met $2 π (f_{2} - f_{1})$ : soms liggen ze samen (luid), soms tegengesteld (stil). Muzikanten stemmen zo: twee snaren die 440 en 442 Hz geven, zweven twee keer per seconde, en je draait tot de zweving verdwijnt.

Aliasing (hoofdstuk 25 van I) is hetzelfde verhaal. Bemonsteren is de wijzer alleen op de meetmomenten bekijken. Draait hij tussen twee metingen meer dan een halve slag, dan lijkt hij de andere kant op te draaien, zoals een wagenwiel in een film achteruit lijkt te draaien. Een signaal van 50 Hz, 60 keer per seconde bemonsterd, draait 300° per meting en lijkt $- 6 0^{\circ}$ per meting te draaien: een schijnbaar signaal van $- 10 Hz$ (opdracht 7.15). Daarom moet de bemonsteringsfrequentie meer dan twee keer de hoogste frequentie zijn (Nyquist, hoofdstuk 21).

De som van 25 en 26 Hz: een trilling van 25,5 Hz binnen een omhullende die één keer per seconde aanzwelt en wegsterft.

Proef · 7.18

Zwevingen horen en meten

18/26

Onderzoeksvraag

Klopt het dat twee tonen met een klein frequentieverschil zweven met precies dat verschil?

Materiaal

twee smartphones met een app die een zuivere sinustoon maakt (toongenerator)
stopwatch
optioneel: computer met een microfoon en Audacity of Python

VeiligheidHoud het volume matig en de luidsprekers niet tegen je oor.

Twee toongeneratoren van 440 en 443 Hz: je hoort drie zwellingen per seconde.

Werkwijze

1Stel de eerste telefoon in op 440 Hz, de tweede op 443 Hz, allebei op een matig volume. Leg ze naast elkaar.
2Luister: je hoort één toon die regelmatig aanzwelt en wegsterft. Tel het aantal zwellingen in 20 s.
3Herhaal met 441 Hz en met 446 Hz voor de tweede telefoon. Wat gebeurt er als beide op 440 Hz staan?
4Optioneel: neem 5 s op met een microfoon en bekijk de golfvorm. Meet de tijd tussen twee minima van de omhullende.
5Leg één telefoon een halve meter verder. Verandert de zwevingsfrequentie? Wat verandert er wel?

Waarneming

Voorbeeldresultaten: 440 en 443 Hz: 60 zwellingen in 20 s, dus 3,0 per seconde. 441 Hz: 1 per seconde; 446 Hz: 6 per seconde, al moeilijk te tellen. Bij gelijke frequenties geen zweving, maar een toon die luider of zachter is naargelang waar je hoofd zit. In de opname liggen de minima 0,33 s uit elkaar. Een telefoon verplaatsen verandert de zwevingsfrequentie niet, wel het moment waarop de minima vallen.

Verklaring

De zwevingsfrequentie is $∣ f_{2} - f_{1} ∣$ , onafhankelijk van waar je staat: de relatieve wijzer draait met het frequentieverschil rond. De plaats bepaalt alleen de beginfase (hoe ver de tweede golf moet reizen), dus wanneer de wijzers samenvallen. Bij gelijke frequenties staan de wijzers stil tegenover elkaar: dan geldt de cosinusregel van het vorige voorbeeld, en hangt de luidheid af van de plek. Boven ongeveer 15 zwevingen per seconde hoor je geen aanzwellen meer, maar een ruwe klank.

Uitleg · 7.19

De brug naar wisselstroom: impedantie

19/26

Een weerstand, een spoel en een condensator aan een sinusvormige spanning. In de tijd gelden $u = R i$ , $u = L d i / d t$ en $i = C d u / d t$ (hoofdstuk 1). Met fasoren wordt afleiden vermenigvuldigen met $j ω$ :

U = R I, U = j ω L I, I = j ω C U .

Alle drie hebben de vorm van de wet van Ohm, $U = Z I$ , met een complexe impedantie:

impedantie van R, L en C

Z_{R} = R Z_{L} = j ω L Z_{C} = \frac{1}{j ω C} = - \frac{j}{ω C}

Eenheid: ohm. Bij een spoel ijlt de stroom

9 0^{\circ}

na (deel door

j

), bij een condensator ijlt hij

9 0^{\circ}

voor.

∣ Z_{L} ∣ = ω L

groeit met de frequentie,

∣ Z_{C} ∣ = 1/ (ω C)

daalt.

Impedanties in serie tel je op, parallel neem je het omgekeerde van de som van de omgekeerden, net als weerstanden (hoofdstuk 21 van I), maar met complexe getallen. Een wisselstroomkring los je zo op met de wetten van Kirchhoff en complexe rekenkunde, zonder één differentiaalvergelijking; bij een groot net met de matrices van hoofdstuk 5. Alles wat daaruit volgt (resonantie, vermogen, arbeidsfactor, driefasige netten) is hoofdstuk 20.

Waarom een condensator gelijkstroom tegenhoudt

Bij gelijkspanning is $ω = 0$ en $∣ Z_{C} ∣ = 1/ (ω C)$ oneindig: er loopt geen stroom. Bij hoge frequentie wordt $∣ Z_{C} ∣$ klein: de condensator laat door. Voor een spoel is het net omgekeerd. Een ontstoringscondensator van 100 nF aan het net heeft $∣ Z_{C} ∣ = 31, 8 kΩ$ bij 50 Hz (een stroom van enkele mA, opdracht 1.13) maar maar $159 Ω$ bij 10 kHz: storing vloeit weg, het net niet.

Met de spanning als referentie: bij een weerstand valt de stroom samen met de spanning, bij een spoel ijlt hij 90° na, bij een condensator 90° voor.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.20

Het RC-filter aan de batterijdeler

20/26

Op pin A3 van de Mega meet de klimaatmodule de batterijspanning via een deler van 100 kΩ en 33 kΩ, met 100 nF van A3 naar de massa (hoofdstuk 22 van I). De groeilampen schakelen met PWM op 490 Hz, waardoor de 12,8 V-lijn rimpelt; neem een sinusvormige rimpel van 0,30 V amplitude. Hoeveel rimpel bereikt de ADC? En hoeveel een storing van 50 Hz? Los op met fasoren, en controleer met een simulatie in de tijd.

Gegeven

deler 100 kΩ / 33 kΩ, $C = 100 nF$
rimpel 0,30 V bij 490 Hz; ADC-stap 4,88 mV

Gevraagd

$H = U_{A 3} / U_{deler}$ bij 50 en 490 Hz
de rimpel aan de ADC

Oplossing

1
Vervangschema (Thévenin, hoofdstuk 21 van I): de deler gedraagt zich als een bron $\frac{33}{133} U_{bat}$ met inwendige weerstand $R = 100 ∥ 33 = 24, 81 kΩ$ in serie met $C$ naar de massa.
2
Spanningsdeler met impedanties: $H = \frac{Z _{C}}{R + Z _{C}} = \frac{1}{1 + j ω R C}$ . Met $R C = 2, 481 ms$ .
3
50 Hz: $ω R C = 0, 779$ , $H = 0, 789∠ - 37, 9^{\circ}$ : de storing wordt maar 21 % kleiner en loopt 38° achter.
4
490 Hz: $ω R C = 7, 64$ , $H = 0, 130∠ - 82, 5^{\circ}$ . De rimpel aan A3: $0, 30 \cdot \frac{33}{133} \cdot 0, 130 = 9, 7 mV$ , ongeveer 2 ADC-stappen.
5
Controle in de tijd (Euler zoals in hoofdstuk 4, stap 2 µs, twaalf periodes): een sinus van 1 V bij 490 Hz geeft na het inschakelverschijnsel een amplitude van $0, 130 V$ , tegenover $∣ H ∣ = 0, 130$ uit de fasor.

Antwoord

Het filter dempt 490 Hz tot 13 % (ongeveer 10 mV of twee ADC-stappen rimpel), maar 50 Hz nauwelijks (79 % blijft over). De kantelfrequentie

1/ (2 π R C) = 64 Hz

ligt tussen beide in: het filter is gemaakt tegen de PWM, niet tegen het net.

Klopt dit? Grensgevallen: bij

ω \to 0

H = 1

(de gelijkspanning, de batterijspanning zelf, komt ongedempt door); bij hoge

ω

gaat

H \approx 1/ (j ω R C)

: tien keer hogere frequentie, tien keer minder rimpel en

- 9 0^{\circ}

. De rimpel van de PWM is eigenlijk een blokgolf; de fasorberekening geldt voor zijn grondtoon, de hogere harmonischen worden nog sterker gedempt (hoofdstuk 21).

Uitleg · 7.21

De brug naar trillingen

21/26

Een massa $m$ aan een veer $k$ met demping $c$ volgt $m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = F (t)$ (hoofdstuk 11). Zonder kracht zoek je oplossingen $x = e^{s t}$ , zoals bij $y^{'} = k y$ in hoofdstuk 4. Invullen geeft de karakteristieke vergelijking $m s^{2} + cs + k = 0$ . Bij weinig demping is de discriminant negatief, en de oplossingen zijn toegevoegd complex: $s = - α \pm j ω_{d}$ . Dan is

x (t) = Re (X e^{(- α + j ω_{d}) t}) = ∣ X ∣ e^{- α t} cos (ω_{d} t + φ) :

een wijzer die draait én krimpt, een uitdovende trilling. Het reële deel van $s$ is de demping, het imaginaire de trillingsfrequentie. Zonder demping is $s = \pm j ω_{0}$ met $ω_{0} = k / m$ , de eigenfrequentie.

Duw je met een sinusoïdale kracht $F_{0} cos ω t$ , dan volgt de massa na een tijd met dezelfde frequentie. Met fasoren ( $\overset{x}{˙} \to j ω X$ , $\overset{x}{¨} \to - ω^{2} X$ ):

gedwongen trilling met een fasor

(k - m ω^{2} + j ω c) X = F_{0} \Rightarrow \frac{∣ X ∣}{F _{0} / k} = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}}, r = \frac{ω}{ω _{0}}, ζ = \frac{c}{2 k m}

Bij

r \approx 1

is de noemer klein: resonantie. Hoe kleiner de demping

ζ

, hoe hoger de piek.

Een voorbeeld: de ventilatie-unit (12 kg) op rubberen voeten (samen 30 kN/m) heeft een eigenfrequentie $f_{0} = \frac{1}{2 π} 30 000/12 = 7, 96 Hz$ . De ventilator duwt met 25 Hz, $r = 3, 14$ : met $ζ = 0, 1$ is de amplitude maar 0,11 keer de statische uitwijking. Ver boven de eigenfrequentie trilt een machine op zachte voeten weinig; hoeveel daarvan naar de vloer gaat, berekent hoofdstuk 11 voor de windturbine van het station.

Bij ω = ω₀ piekt de amplitude, des te hoger naarmate de demping kleiner is; ver erboven zakt ze onder de statische uitwijking.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.22

Habitat: wat moet de netomvormer maken?

22/26

Het station heeft een 48 V-batterij en een omvormer die er 230 V, 50 Hz van maakt voor de gewone toestellen. Leg vast wat de omvormer moet leveren (amplitude, frequentie, fase), welke spanningsverhouding hij moet overbruggen, en welke stroom hij levert als de noodverwarming (2,0 kW, zuiver resistief, hoofdstuk 39) en de drukpomp van het drinkwater (0,75 kW, $cos φ = 0, 81$ , stroom $3 6^{\circ}$ achter) tegelijk draaien. Reken met effectieve waarden.

Gegeven

$U = 230∠ 0^{\circ} V$ (effectief, referentie), $f = 50 Hz$
verwarming $P = 2000 W$ , $φ = 0$ ; pomp $P = 750 W$ , $φ = - 3 6^{\circ}$
batterij: rekenwaarde 44 tot 56 V

Gevraagd

$u (t)$ van de omvormer
de totale stroom $I$ als fasor en de schijnbare belasting $U ∣ I ∣$

Oplossing

1
Wat hij maakt. $u (t) = 325 cos (2 π \cdot 50 t + φ_{0})$ V met $\hat{U} = 2302 = 325, 3 V$ . In eilandbedrijf kiest de omvormer zelf $φ_{0}$ (een kristal bepaalt de 50 Hz); aan het net moet $φ_{0}$ die van het net volgen (volgend blad).
2
Spanningsverhouding. Een brug van schakelaars kan hoogstens de batterijspanning doorgeven, 44 tot 56 V. Om 325 V piek te maken, moet hij minstens $325/44 = 7, 4$ keer opwaarts: met een transformator of met een gelijkspanningsomzetter naar een tussenspanning van ongeveer 400 V. Hoe precies, is hoofdstuk 24.
3
Stromen. Verwarming: $I_{R} = 2000/230 = 8, 696∠ 0^{\circ} A$ . Pomp: $S = P / cos φ = 750/0, 809 = 927 VA$ , dus $∣ I_{M} ∣ = 927/230 = 4, 031 A$ en $I_{M} = 4, 031∠ - 3 6^{\circ} = 3, 261 - 2, 369 j A$ .
4
Som (Kirchhoff met fasoren). $I = I_{R} + I_{M} = 11, 957 - 2, 369 j A$ , $∣ I ∣ = 11, 95 7^{2} + 2, 36 9^{2} = 12, 19 A$ onder $- 11, 2^{\circ}$ .
5
Belasting. $U ∣ I ∣ = 230 \cdot 12, 19 = 2803 VA$ , voor 2750 W nuttig vermogen. De getallen gewoon optellen had $12, 73 A$ gegeven: 4 % te veel.

Antwoord

De omvormer maakt

325 cos (100 π t + φ_{0})

V uit 44 tot 56 V gelijkspanning (verhouding minstens 7,4). Bij verwarming en pomp samen levert hij

I = 12, 19∠ - 11, 2^{\circ} A

, ofwel 2803 VA. Met de koelkast en de rest erbij (opdracht 7.12) komt de ontwerpbelasting op 3,30 kVA. Dossierwaarde: omvormer 4,0 kVA continu, 8 kVA gedurende 5 s (de aanloopstroom van een pompmotor is enkele keren de nominale); aan de 48 V-kant is dat bij vol vermogen ongeveer 90 A.

Klopt dit? Het deel van

I

in fase met

U

11, 96 A

, en

230 \cdot 11, 96 = 2750 W

: precies het nuttige vermogen. Het deel loodrecht op

U

draagt geen gemiddeld vermogen maar belast wel de kabels en de omvormer. Die splitsing (actief en reactief vermogen, de arbeidsfactor) is het hart van hoofdstuk 20.

Ontleed · 7.23

Het fasordiagram van de omvormer

23/26

De stromen van het vorige blad als wijzers, met de spanning als referentie langs de reële as. Schaal: ampère; de spanningswijzer is niet op schaal.

De stroom van de pomp ijlt 36° na; opgeteld bij de stroom van de verwarming geeft ze een totale stroom die 11° achter de spanning ligt.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Referentie
De spanning van de omvormer, 230 V effectief, legt de hoek nul vast. Alle stromen worden tegenover haar gemeten.
2
Verwarming
Een weerstand: stroom in fase met de spanning, 8,70 A. Ze zet alle vermogen om in warmte.
3
Pomp
De motor neemt 4,03 A, 36° te laat. Een deel van haar stroom bouwt alleen het magnetisch veld op en brengt het terug.
4
Kop aan staart
De stippellijnen maken het parallellogram af: de pompstroom begint aan de kop van de verwarmingsstroom.
5
Totale stroom
12,19 A onder −11,2°: minder dan 8,70 + 4,03 = 12,73 A, omdat de twee wijzers niet dezelfde kant op wijzen.
6
Werkzaam en blind
De projectie op de spanning (11,96 A) draagt het vermogen van 2750 W; de verticale 2,37 A niet. Hoofdstuk 20 noemt ze actieve en reactieve stroom.

Uitgewerkt voorbeeld · 7.24

Habitat: in de pas lopen met het net

24/26

Op het proefterrein kan het station aan het openbare net hangen en er zonnestroom aan leveren. Tussen omvormer en net zit een koppelspoel van 2,0 mH (rekenwaarde). (a) Onder welke hoek $δ$ moet de omvormerspanning (230 V) voorlopen op het net (230 V) om 3,0 kW te leveren? (b) Hoe groot wordt de stroom als de omvormer inschakelt met een faseverschil van 30°?

Omvormer en net elk 230 V, maar 30° uit fase: het verschil van de wijzers (119 V) staat over de koppelspoel van 0,63 Ω.

Gegeven

$U_{net} = 230∠ 0^{\circ} V$ , $U_{omv} = 230∠ δ V$
$L = 2, 0 mH$ , $f = 50 Hz$

Gevraagd

$δ$ voor 3,0 kW
de stroom bij $δ = 3 0^{\circ}$

Oplossing

1
Impedantie van de spoel: $Z = j ω L = j \cdot 314, 2 \cdot 0, 002 = j 0, 628 Ω$ .
2
Stroom: $I = \frac{U _{omv} - U _{net}}{j X}$ . Geleverd vermogen aan het net: $P = Re (U_{net} \overset{ˉ}{I})$ . Uitwerken geeft $P = \frac{U ^{2}}{X} sin δ$ (opdracht 7.16).
3
(a) $sin δ = \frac{P X}{U ^{2}} = \frac{3000 \cdot 0 , 628}{23 0 ^{2}} = 0, 0356$ , dus $δ = 2, 0 4^{\circ}$ : een voorsprong van 113 µs.
4
Controle: $I = \frac{230∠2 , 0 4 ^{\circ} - 230}{j 0 , 628} = 13, 05∠1, 0 2^{\circ} A$ , bijna in fase met het net; $Re (230 \cdot \overset{ˉ}{I}) = 3000 W$ .
5
(b) $∣ U_{omv} - U_{net} ∣ = 2 \cdot 230 \cdot sin 1 5^{\circ} = 119 V$ over $0, 628 Ω$ : $I = 189 A$ , meer dan tien keer de nominale stroom.

Antwoord

Een voorsprong van 2,0° (113 µs) volstaat voor 3 kW. Inschakelen met 30° faseverschil geeft 189 A; zelfs 5° geeft al 32 A. Dossierwaarde: de omvormer schakelt pas op het net als frequentie, fase en spanning overeenkomen, en volgt daarna de fase van het net (een fasevolger, hoofdstuk 24).

Klopt dit? Het vermogen hangt aan

sin δ

: een kleine faseverschuiving stuurt veel vermogen, omdat

X

klein is. Zo werken ook de grote generatoren van het net: wie voorloopt, levert. Een frequentieverschil van 0,5 Hz laat de fase in één seconde 180° verschuiven: de stroom zwelt dan aan en af zoals een zweving, tot de beveiliging uitschakelt.

Naslag · 7.25

Sinusoïden, complexe getallen en fasoren: formules

25/26

Werkwijze bij een wisselstroomprobleem: kies een referentie (meestal de spanning), zet elke sinusoïde om in een fasor, reken met complexe getallen (optellen in $a + bj$ , vermenigvuldigen en delen in poolvorm), zet het resultaat terug naar de tijd, en controleer met een schets van het fasordiagram.

sinusoïde

a (t) = \hat{A} cos (ω t + φ) ω = 2 π f = \frac{2 π}{T} Δ t = \frac{Δ φ}{ω}

symbool	betekenis	eenheid
$\hat{A}$	amplitude	eenheid van a
$ω$	hoekfrequentie	rad/s
$φ$	fase	rad of °

som van twee sinusoïden

\hat{A}^{2} = \hat{A}_{1}^{2} + \hat{A}_{2}^{2} + 2 \hat{A}_{1} \hat{A}_{2} cos (φ_{2} - φ_{1})

complex getal

z = a + bj = r ∠ φ = r e^{j φ} r = a^{2} + b^{2}, φ = atan2 (b, a)

toegevoegde en delen

\overset{z}{ˉ} = a - bj z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z ˉ _{2}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}

vermenigvuldigen

r_{1} ∠ α \cdot r_{2} ∠ β = r_{1} r_{2} ∠ (α + β)

Euler

e^{j φ} = cos φ + j sin φ cos φ = \frac{e ^{j φ} + e ^{- j φ}}{2}

fasor

a (t) = Re (A e^{j ω t}) \frac{d a}{d t} \leftrightarrow j ω A

impedantie

Z_{R} = R Z_{L} = j ω L Z_{C} = \frac{1}{j ω C} U = Z I

zweving

cos 2 π f_{1} t + cos 2 π f_{2} t = 2 cos (π (f_{2} - f_{1}) t) cos (π (f_{1} + f_{2}) t)

in de tijd	als fasor	waarom
$\hat{A} cos (ω t + φ)$	$A = \hat{A} e^{j φ} = \hat{A} ∠ φ$	definitie: $Re (A e^{j ω t})$
$\hat{A} sin (ω t + φ)$	$\hat{A} ∠ (φ - 9 0^{\circ})$	$sin x = cos (x - 9 0^{\circ})$
$a (t) + b (t)$	$A + B$	$Re$ is lineair
$c a (t)$ ( $c$ reëel)	$c A$	idem
$\frac{d a}{d t}$	$j ω A$	$\frac{d}{d t} e^{j ω t} = j ω e^{j ω t}$
$\int a d t$ (zonder constante)	$\frac{A}{j ω}$	omgekeerd
$a (t) \cdot b (t)$	geen fasor	een product bevat $2 ω$ en een gelijkdeel

in Python	betekenis
`3 + 4j`, `complex(3, 4)`	een complex getal
`z.real`, `z.imag`, `z.conjugate()`, `abs(z)`	delen, toegevoegde, modulus
`cmath.phase(z)`, `cmath.polar(z)`, `cmath.rect(r, phi)`	argument (atan2), naar en van poolvorm (radialen)
`cmath.exp(1j * phi)`, `np.exp(1j * w * t)`	wijzer, reeks wijzers
`np.abs(Z)`, `np.angle(Z, deg=True)`	modulus en argument van een hele reeks

Het geheel · 7.26

Waar sinusoïden en fasoren vandaan komen en waar ze heen gaan

26/26

Dit hoofdstuk verbindt de goniometrie en de vectoren (W) met de elektrotechniek (L) en de mechanica (K). Complexe getallen lijken een wiskundig kunstje, maar ze zijn het natuurlijke getal voor alles wat draait of trilt: ze onthouden amplitude en fase in één keer, en maken van afleiden een vermenigvuldiging.

I6 Goniometrie en vectoren

Sinus, cosinus en vectoren in componenten: hier de projecties van een draaiende wijzer.

I25 Van analoog naar digitaal

Bemonsteren en PWM; aliasing als een wijzer die te grote stappen maakt.

I22 De spanningsdeler en sensoren

De batterijdeler met zijn condensator, hier als RC-filter met fasoren.

E1 Afgeleiden: verandering meten

De afgeleide van sin en cos, en i = C du/dt bij een wisselspanning.

E3 Integralen: ophopen

De effectieve waarde van een sinus; het gemiddelde vermogen als integraal (opdracht 7.18).

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

y' = ky met k = j geeft de formule van Euler; de RC-kring in de tijd.

E5 Vectoren en matrices

Vermenigvuldigen met e^(jφ) is de rotatiematrix; netwerken als stelsels, nu complex.

E11 Trillingen en resonantie

Eigenfrequentie, demping en resonantie, uitgewerkt met de fasor van een gedwongen trilling.

E19 Elektrische en magnetische velden, inductie

De generator en de transformator die de sinus maken en omzetten.

E20 Wisselstroom

Impedantie, RLC-kringen, actief en reactief vermogen, arbeidsfactor, driefasig net.

E21 Filters en signaalverwerking

Filters als H(jω), het Bode-diagram, Fourier en Nyquist.

E24 Vermogenselektronica en elektrische machines

Hoe de omvormer de sinus maakt (PWM, brug, opwaarts omzetten) en met het net synchroniseert.

HabitatDossier: de netomvormer maakt 230 V effectief (325 V piek), 50 Hz, een zuivere sinus, uit 48 V (rekenwaarde 44 tot 56 V; verhouding minstens 7,4); 4,0 kVA continu, 8 kVA gedurende 5 s, ontwerpbelasting 3,30 kVA (noodverwarming, drukpomp met cos φ = 0,81, koelkast, rest). Aan het net: koppelspoel 2,0 mH, 3 kW bij 2,0° voorsprong, inschakelen alleen gesynchroniseerd. Hoofdstuk 20 rekent de vermogens en de arbeidsfactor uit, hoofdstuk 24 bouwt de omvormer.

Samenvatting

In het kort

Een sinusoïde $\hat{A} cos (ω t + φ)$ heeft amplitude, hoekfrequentie $ω = 2 π f = 2 π / T$ en fase; een faseverschil $Δ φ$ is een tijdverschil $Δ φ / ω$ .
Een sinusoïde is de projectie van een draaiende wijzer; afleiden rekt hem met $ω$ en draait hem 90° vooruit.
Sinusoïden van dezelfde frequentie tel je op als vectoren: $\hat{A}^{2} = \hat{A}_{1}^{2} + \hat{A}_{2}^{2} + 2 \hat{A}_{1} \hat{A}_{2} cos Δ φ$ .
Complexe getallen $a + bj$ met $j^{2} = - 1$ : optellen per deel, vermenigvuldigen in poolvorm (moduli maal, hoeken plus), delen met de toegevoegde; het argument met atan2.
Euler: $e^{j φ} = cos φ + j sin φ$ ; een complexe exponentiële is een wijzer.
Fasor: $a (t) = Re (A e^{j ω t})$ ; som van signalen = som van fasoren, afgeleide = $j ω A$ ; alleen bij één frequentie. Verschillende frequenties geven zwevingen, bemonsteren kan aliasing geven.
Impedantie: $Z_{R} = R$ , $Z_{L} = j ω L$ , $Z_{C} = 1/ (j ω C)$ en $U = Z I$ ; een gedwongen trilling heeft $X = F_{0} / (k - m ω^{2} + j ω c)$ .
Habitat: de omvormer maakt 325 V piek bij 50 Hz uit 48 V; stromen van toestellen tellen als wijzers op; aan het net moet hij exact in fase inschakelen.

Begrippen

Wat je nu kent

sinusoïde: Signaal van de vorm $\hat{A} cos (ω t + φ)$ : amplitude $\hat{A}$ , hoekfrequentie $ω = 2 π f$ , fase $φ$ .
hoekfrequentie: $ω = 2 π f = 2 π / T$ , in rad/s: de hoeksnelheid van de wijzer die de sinusoïde maakt.
fase: De hoek $φ$ van de wijzer op $t = 0$ ; een faseverschil $Δ φ$ komt overeen met een tijdverschil $Δ t = Δ φ / ω$ .
complex getal: Getal $z = a + bj$ met $j^{2} = - 1$ (wiskundigen schrijven $i$ ); een punt of vector in het complexe vlak.
modulus en argument: De lengte $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ en de hoek $ar g z$ van een complex getal; bereken de hoek met atan2 (juiste kwadrant).
toegevoegde: $\overset{z}{ˉ} = a - bj$ , het spiegelbeeld tegenover de reële as; $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ .
formule van Euler: $e^{j φ} = cos φ + j sin φ$ : een complexe exponentiële is een wijzer met lengte 1 en hoek $φ$ .
fasor: De complexe amplitude $\hat{A} e^{j φ}$ van een sinusoïde $\hat{A} cos (ω t + φ)$ ; in de elektrotechniek vaak met de effectieve waarde.
zweving: Een omhullende die aanzwelt en wegsterft bij de som van twee trillingen met een klein frequentieverschil; de zwevingsfrequentie is het verschil.
impedantie: Complexe 'weerstand' $Z = U / I$ bij een sinusoïde: $Z_{R} = R$ , $Z_{L} = j ω L$ , $Z_{C} = 1/ (j ω C)$ .
synchroniseren: Een bron pas op het net schakelen als spanning, frequentie en fase overeenkomen.

Aan de slag in het werkboek18 opdrachten, van oefenen tot uitdagen