EExpert · deel E4 · Elektrotechniek en elektronica

Handboek · hoofdstuk 20Wisselstroom

Impedantie, resonantie en vermogen: rekenen aan het net en aan de omvormer van het station

Het stopcontact levert geen constante spanning maar een sinus van 325 V piek die vijftig keer per seconde omkeert. Met de fasoren van hoofdstuk 7 reken je daar even vlot mee als met gelijkstroom: een spoel en een condensator worden complexe weerstanden, en samen kunnen ze resoneren. Je leert waarom een motor meer stroom neemt dan zijn vermogen doet vermoeden, wat reactief vermogen is en wanneer je het compenseert, en waarom het net drie fasen heeft. Aan het eind reken je de omvormer van het station door: welke stroom de 48 V-batterij levert, wat er gebeurt als de pomp aanslaat, en of een condensator iets oplevert.

8× uitleg9× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code18 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

LElektriciteit en elektronica WWiskundig modelleren EEnergie

Drie fasen, vijftig keer per seconde omgekeerd: zo reist energie door Europa.

Na dit hoofdstuk

Je kan de effectieve waarde van een periodieke spanning afleiden met een integraal, en uitleggen wat verschillende meters bij een niet-sinusvormige spanning aanwijzen.
Je kan de impedantie van R, L en C en van combinaties ervan berekenen met complexe getallen, en een toestel als vervangschema met R en L voorstellen.
Je kan een serie- en een parallelle RLC-kring doorrekenen: resonantiefrequentie, kwaliteitsfactor, bandbreedte, spanningsoverhoging, en het verloop van |Z| en de fase tegenover de frequentie.
Je kan een resonantiekromme meten met een functiegenerator en een oscilloscoop, en de meting vergelijken met een model in Python.
Je kan het momentane vermogen afleiden en actief, reactief en schijnbaar vermogen berekenen (S = U I*), ook voor een samengestelde belasting (vermogensdriehoek).
Je kan de arbeidsfactor berekenen, een compensatiecondensator dimensioneren en beoordelen of compensatie zinvol is.
Je kan fase- en lijnspanning in een driefasig net berekenen, ster- en driehoekschakeling toepassen, en uitleggen waarom het net drie fasen heeft.
Je kan voor de omvormer van het station de stroom aan de 48 V-kant, de 100 Hz-rimpel en het effect van een aanlopende motor berekenen, en een onderbouwde beslissing over compensatie nemen.

Verhaal · 20.1

De stroomoorlog

1/24

Op 4 september 1882 zette Thomas Edison in New York de centrale van Pearl Street aan: gelijkstroom van 110 V voor 82 klanten en 400 lampen. Gelijkstroom had één groot probleem. Bij een vaste spanning is het verlies in de kabels $I^{2} R$ , en de stroom kan alleen omlaag als de spanning omhoog gaat. Gelijkspanning kon je toen niet omzetten: de centrale mocht niet verder dan ongeveer 800 m van de klanten staan. Een stad vroeg een centrale per wijk.

Wisselspanning kan je wel omzetten, met een transformator (hoofdstuk 19). Lucien Gaulard en John Gibbs toonden er een in 1884 in Turijn; bij Ganz in Boedapest bouwden Zipernowsky, Bláthy en Déri in 1885 de eerste met een gesloten ijzerkern (Bláthy bedacht het woord transformator), en in maart 1886 verlichtte William Stanley, voor George Westinghouse, de hoofdstraat van het stadje Great Barrington met wisselstroom. Op 16 mei 1888 stelde Nikola Tesla aan de American Institute of Electrical Engineers zijn meerfasige motor voor, die zonder borstels draaide op een draaiend magnetisch veld. Westinghouse kocht in juli de licenties.

Wat volgde, heet de stroomoorlog. Edisons kamp wees op de gevaren van hoge wisselspanning, en de ingenieur Harold Brown, met stille steun van Edisons bedrijf, doodde in 1888 publiek dieren met wisselstroom. De eerste terechtstelling op de elektrische stoel, op 6 augustus 1890, gebeurde met wisselstroom van een generator van Westinghouse. Maar de techniek won. In 1891 bracht Michail Dolivo-Dobrovolski (AEG) met Oskar von Miller en Charles Brown driefasige stroom van Lauffen naar Frankfurt: 175 km, 15 kV, met ongeveer 75 % rendement. In 1893 verlichtte Westinghouse de wereldtentoonstelling in Chicago, en vanaf november 1896 stuurde de centrale aan de Niagarawatervallen, met generatoren van 5000 pk op 25 Hz, stroom naar de stad Buffalo. Europa koos uiteindelijk 50 Hz, Noord-Amerika 60 Hz.

Het einde van het verhaal is minder zwart-wit. Met vermogenselektronica kan je gelijkspanning vandaag wel omzetten, en voor lange afstanden en zeekabels is gelijkstroom weer de beste keuze: de Nemo Link tussen Zeebrugge en Engeland brengt sinds 2019 1000 MW over 140 km als gelijkstroom. Ook het station is een mengvorm: een 48 V-net op gelijkspanning en een omvormer die er de wisselspanning van het stopcontact van maakt.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

De omvormer van het station (hoofdstuk 7) moet de pomp, de koelkast en de noodverwarming voeden. Of 4,0 kVA volstaat, hoeveel stroom de batterij levert en of een condensator bij de pomp zin heeft, hangt af van actief en reactief vermogen. Resonantie verklaart het filter aan de uitgang van de omvormer, en het driefasige net verklaart waarom de windturbine (hoofdstuk 19) drie fasen heeft.

Rond 1895 draaiden de eerste grote wisselstroomgeneratoren op waterkracht; hun stroom reisde tientallen kilometer ver.

Uitleg · 20.2

Wat je al weet, en de vraag van dit hoofdstuk

2/24

wat je al kan	wat nu komt
sinusoïde, fasor, $Z_{R}$ , $Z_{L}$ , $Z_{C}$ ; stromen optellen als wijzers (hoofdstuk 7)	kringen met R, L en C samen; resonantie
effectieve waarde van een sinus, gemiddelde als integraal (hoofdstuk 3)	effectieve waarde van elke golfvorm; wat een meter echt meet
de ontwerpbelasting van 3,30 kVA, $\frac{1}{2} Re (U \overset{ˉ}{I})$ (hoofdstuk 7, opdracht 7.18)	actief, reactief en schijnbaar vermogen; arbeidsfactor en compensatie
de generator met drie fasen, de spoel en de condensator als velden (hoofdstuk 19)	het driefasige net, 230 en 400 V; het LC-filter van de omvormer
RC-kring in de tijd, Euler (hoofdstuk 4); de RC-tijd (hoofdstuk 24 van I)	dezelfde kringen bij een sinus, zonder differentiaalvergelijking

Hoofdstuk 7 gaf het gereedschap: een sinus is een wijzer, een complex getal. Spoel en condensator werden impedanties, en stromen van toestellen tel je op als wijzers. Hier gebruik je het om echte kringen door te rekenen: RLC-kringen die resoneren, het vermogen dat een toestel werkelijk opneemt tegenover de stroom die het vraagt, en het driefasige net.

De Habitat-vraag: de omvormer maakt 230 V uit de 48 V-batterij (4,0 kVA continu, 8 kVA gedurende 5 s, rendement ±93 %). Welke stroom levert de batterij bij de ontwerpbelasting, en bij een lege batterij? Wat ziet de batterij van het feit dat het vermogen van een wisselstroomtoestel honderd keer per seconde schommelt? Wat gebeurt er als de drukpomp aanslaat terwijl de noodverwarming aan staat? En moet er een condensator bij de pomp?

Rekenen aan 230 V, meten aan laagspanning

Alle proeven van dit hoofdstuk doe je met een functiegenerator of een veiligheidstransformator. Meet nooit zelf aan het net (hoofdstuk 5 en 19 van F). Twee verrassingen uit dit hoofdstuk zijn ook veiligheidsregels: bij resonantie kan de spanning over een condensator of een spoel vele keren hoger zijn dan de bronspanning, en een condensator voor compensatie blijft na het uitschakelen geladen. Compensatiecondensatoren hebben daarom een ontlaadweerstand.

Uitleg · 20.3

Wisselspanning en effectieve waarde

3/24

De netspanning is $u (t) = \hat{U} sin ω t$ met $\hat{U} = 325 V$ en $f = 50 Hz$ . Toch zegt iedereen '230 V'. Dat is de effectieve waarde: de gelijkspanning die in een weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen geeft. Het vermogen in een weerstand is $p = u^{2} / R$ ; het gemiddelde over een periode (hoofdstuk 3) is

effectieve waarde (rms)

U_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2} d t \overset{p}{ˉ} = \frac{U _{eff}^{2}}{R}

De wortel uit het gemiddelde van het kwadraat, in het Engels root mean square. Geldt voor elke periodieke golfvorm, ook voor stromen.

Voor een sinus: $sin^{2} ω t = \frac{1}{2} (1 - cos 2 ω t)$ , en de cosinus heeft over een periode gemiddelde nul. Dus $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \hat{U}^{2} sin^{2} ω t d t = \frac{1}{2} \hat{U}^{2}$ en

U_{eff} = \frac{U ^}{2} = \frac{325 V}{2} = 230 V .

De figuur toont waarom: het vermogen in de noodverwarming schommelt tussen 0 en 4000 W, honderd keer per seconde, en het gemiddelde is precies de helft. Tenzij anders vermeld, bedoelt men bij wisselstroom altijd de effectieve waarde: 230 V, 14,3 A. Voor andere golfvormen geeft de integraal andere factoren:

golfvorm (piek $\hat{U}$ )	effectieve waarde	gemiddelde van $∣ u ∣$
sinus	$\hat{U} / 2 = 0, 707 \hat{U}$	$2 \hat{U} / π = 0, 637 \hat{U}$
blokgolf $\pm \hat{U}$	$\hat{U}$	$\hat{U}$
driehoek $\pm \hat{U}$	$\hat{U} / 3 = 0, 577 \hat{U}$	$\hat{U} /2$
enkelzijdig gelijkgerichte sinus	$\hat{U} /2$	$\hat{U} / π$
gemodificeerde sinus, $\hat{U}$ gedurende de helft van elke halve periode	$\hat{U} / 2$	$\hat{U} /2$

Een multimeter meet niet altijd de echte effectieve waarde. Goedkope toestellen richten gelijk, nemen het gemiddelde van $∣ u ∣$ en vermenigvuldigen met de vormfactor van een sinus, $π / (22) = 1, 111$ . Bij een zuivere sinus klopt dat; bij elke andere golfvorm niet. Een meter met het opschrift 'true rms' rekent de integraal echt uit.

Boven de netspanning met haar piek en haar effectieve waarde. Onder het vermogen in een weerstand van 26,45 Ω: het gemiddelde (stippellijn) is de helft van de piek, 2000 W.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.4

Een zuivere en een gemodificeerde sinus

4/24

Goedkope omvormers maken geen sinus maar een 'gemodificeerde sinus': gedurende een deel van elke halve periode $+ \hat{U}$ of $- \hat{U}$ , daartussen nul. Het dossier (hoofdstuk 7) eist voor het station een zuivere sinus. (a) Hoe lang moet een gemodificeerde sinus met $\hat{U} = 325 V$ 'aan' staan om 230 V effectief te geven? (b) Wat wijst een gemiddelde-meter dan aan? (c) Hoe groot is de grondgolf (de 50 Hz-sinus erin), en waarom is de rest een probleem voor de drukpomp?

Beide golfvormen hebben een piek van 325 V en een effectieve waarde van 230 V; alleen de sinus is zuiver 50 Hz.

Gegeven

$\hat{U} = 325 V$ , doel $U_{eff} = 230 V$
gemiddelde-meter: $1, 111 \cdot \overline{∣ u ∣}$

Gevraagd

het deel van de tijd 'aan'
de aflezing van de meter
de grondgolf

Oplossing

1
(a) Staat de spanning een fractie $D$ van de tijd op $\pm \hat{U}$ , dan is $\overline{u^{2}} = D \hat{U}^{2}$ en $U_{eff} = \hat{U} D$ . Voor 230 V: $D = (230/325)^{2} = 0, 50$ : de helft van elke halve periode, 5 ms aan en 5 ms af.
2
(b) $\overline{∣ u ∣} = D \hat{U} = 162, 6 V$ . De meter toont $1, 111 \cdot 162, 6 = 181 V$ : 21 % te weinig. Een true-rms-meter toont 230 V.
3
(c) De grondgolf volgt uit de Fourierreeks (hoofdstuk 21) of met de fasor uit metingen van hoofdstuk 7: voor een blok van 90° breed rond de top is haar amplitude $\frac{4 U ^}{π} sin 4 5^{\circ} = 293 V$ , of $207 V$ effectief.
4
De rest, $23 0^{2} - 20 7^{2} = 100 V$ effectief, zit in hogere frequenties (150, 250, 350 Hz, ...). Een motor zet die niet om in nuttig koppel, maar wel in warmte en gebrom; condensatoren in toestellen trekken er grote stromen door ( $∣ Z_{C} ∣$ daalt met de frequentie).

Antwoord

De gemodificeerde sinus staat de helft van de tijd aan; een gemiddelde-meter leest 181 V in plaats van 230 V. Hij bevat maar 207 V grondgolf; de rest is vervorming die motoren en voedingen belast. Daarom de zuivere sinus in het dossier.

Klopt dit? De piek is bij beide golfvormen 325 V, de effectieve waarde 230 V: toch zijn ze heel verschillend. Grondgolf en rest staan loodrecht op elkaar (hun product middelt weg), daarom tellen hun kwadraten op:

20 7^{2} + 10 0^{2} = 23 0^{2}

Uitleg · 20.5

Impedantie van R, L en C

5/24

In hoofdstuk 7 werd afleiden bij een sinus vermenigvuldigen met $j ω$ . Daarmee krijgen de drie basiselementen een wet van Ohm met een complexe weerstand, de impedantie:

impedantie

Z_{R} = R Z_{L} = j ω L Z_{C} = \frac{1}{j ω C} = - \frac{j}{ω C} U = Z I

Schrijf je

Z = R + j X

, dan is

R

de weerstand en

X

de reactantie:

X_{L} = ω L

X_{C} = - 1/ (ω C)

∣ Z ∣ = R^{2} + X^{2}

is de verhouding van de amplitudes (of effectieve waarden),

ar g Z

de hoek waarmee de spanning voorijlt op de stroom.

Impedanties combineer je zoals weerstanden (hoofdstuk 21 van I), maar met complexe getallen: in serie $Z = Z_{1} + Z_{2}$ , parallel $1/ Z = 1/ Z_{1} + 1/ Z_{2}$ (de omgekeerde $Y = 1/ Z$ heet admittantie). Alle wetten van Kirchhoff blijven gelden, voor fasoren. Wat je aan een kring moet onthouden, lees je af uit de frequentieafhankelijkheid:

een spoel is bij lage frequentie een kortsluiting en bij hoge een onderbreking;
een condensator omgekeerd: gelijkspanning blokkeert hij, hoge frequenties laat hij door;
waar $ω L = 1/ (ω C)$ heffen ze elkaar op: resonantie (volgende bladen).

Een echt toestel is zelden één element. Voor één frequentie kan je elk toestel voorstellen door een vervangschema: een weerstand en een reactantie die samen dezelfde stroom en dezelfde faseverschuiving geven. Dat is een model, geen bouwtekening: bij een andere frequentie of belasting verandert het.

Logaritmische assen: de weerstand is vlak, de spoel stijgt en de condensator daalt met een factor tien per decade. Bij 50 Hz: 46,3, 33,5 en 97,4 Ω.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.6

De drukpomp als R en L in serie

6/24

De drukpomp van het drinkwater neemt 750 W bij 230 V met $cos φ = 0, 81$ (hoofdstuk 7). Stel een vervangschema op met een weerstand en een spoel in serie. Welke spanningen staan over elk deel? Controleer met een simulatie in de tijd.

De spanning over de weerstand ligt in fase met de stroom, die over de spoel 90° ervoor; samen vormen ze de netspanning.

Gegeven

$P = 750 W$ , $U = 230 V$ , $cos φ = 0, 81$ , $f = 50 Hz$

Gevraagd

$R$ en $L$ van het vervangschema
$U_{R}$ en $U_{L}$

Oplossing

1
$φ = arccos 0, 81 = 35, 9^{\circ}$ ; $S = P / cos φ = 926 VA$ ; $I = S / U = 4, 026 A$ .
2
$∣ Z ∣ = U / I = 57, 1 Ω$ onder $+ 35, 9^{\circ}$ (de spanning ijlt voor op de stroom): $R = ∣ Z ∣ cos φ = 46, 3 Ω$ en $X = ∣ Z ∣ sin φ = 33, 5 Ω$ , dus $L = X / ω = 107 mH$ .
3
Met de stroom $I = 4, 026∠ - 35, 9^{\circ} A$ : $U_{R} = R I = 186, 3∠ - 35, 9^{\circ} V$ en $U_{L} = j X I = 134, 9∠54, 1^{\circ} V$ .
4
Controle: $U_{R} + U_{L} = 230, 0 V$ : de netspanning. Maar $∣ U_{R} ∣ + ∣ U_{L} ∣ = 321 V$ : een voltmeter over elk deel zou samen meer dan 230 V aanwijzen, omdat de twee spanningen 90° verschillen.
5
In de tijd (hoofdstuk 4): $L d i / d t = u - R i$ met Euler, stap 20 µs, twaalf periodes. Na het inschakelverschijnsel is de stroomamplitude $5, 70 A$ ( $5, 69$ uit de fasor) en ijlt ze $3 6^{\circ}$ na.

Antwoord

Vervangschema:

R = 46, 3 Ω

in serie met

L = 107 mH

. Over de weerstand 186 V, over de spoel 135 V, als wijzers samen 230 V.

Klopt dit? De weerstand is geen koperdraad van 46 Ω: ze staat voor alles wat vermogen omzet, vooral het mechanische werk van de pomp. De spoel staat voor het magnetisch veld van de motor. Een echte asynchrone motor heeft een vervangschema dat met de belasting verandert (hoofdstuk 24); voor het rekenen aan het net bij vollast volstaat dit.

Uitleg · 20.7

RLC in serie: resonantie

7/24

Een weerstand, een spoel en een condensator in serie aan een sinus met hoekfrequentie $ω$ :

Z = R + j (ω L - \frac{1}{ω C}), ∣ Z ∣ = R^{2} + (ω L - \frac{1}{ω C})^{2} .

Bij lage frequentie overheerst de condensator ( $Z$ groot, capacitief, fase naar $- 9 0^{\circ}$ ), bij hoge de spoel (inductief, naar $+ 9 0^{\circ}$ ). Daartussen is er één frequentie waar de twee reactanties even groot en tegengesteld zijn: dan is $Z = R$ , zuiver resistief en minimaal, en is de stroom maximaal. Dat is resonantie.

serieresonantie

ω_{0} = \frac{1}{L C} Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} Δ f = \frac{f _{0}}{Q} U_{C} = U_{L} = Q U bij f_{0}

Q

is de kwaliteitsfactor.

L / C

heet de karakteristieke impedantie: de reactantie van

L

en van

C

bij resonantie.

Δ f

is de bandbreedte tussen de halfvermogenpunten, waar de stroom

1/ 2

van zijn maximum is en de fase

\pm 4 5^{\circ}

Waarom $Δ f = f_{0} / Q$ ? De halfvermogenpunten liggen waar de reactantie even groot is als $R$ : $ω L - 1/ (ω C) = \pm R$ . Dat zijn twee vierkantsvergelijkingen in $ω$ ; het verschil van hun positieve wortels is precies $R / L$ , en $\frac{R / L}{ω _{0}} = \frac{R}{ω _{0} L} = \frac{1}{Q}$ . (Uitwerken: opdracht 20.7.)

De verrassing zit in de laatste formule. Bij resonantie loopt de stroom $U / R$ door de condensator, met $∣ Z_{C} ∣ = L / C$ : de spanning over de condensator is $Q$ keer de bronspanning. Spoel en condensator wisselen hun energie telkens uit, zoals een massa en een veer (hoofdstuk 11); de bron vult alleen aan wat de weerstand verbruikt. Hetzelfde verschijnsel als bij een brug of een wijnglas, nu met spanningen.

Hoe kleiner R, hoe dieper het dal van |Z| en hoe steiler de fasesprong bij f₀. Onder f₀ is de kring capacitief (fase negatief), erboven inductief.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.8

Een serie-RLC-kring op de functiegenerator

8/24

Een spoel van 10 mH (met 25 Ω draadweerstand), een condensator van 100 nF en een meetweerstand van 10 Ω staan in serie aan een functiegenerator. Die geeft 2,0 V amplitude zonder last en heeft een uitgangsweerstand van 50 Ω. Bereken $f_{0}$ , $Q$ , de bandbreedte, de stroom en de spanningen bij resonantie. Wat verandert er zonder de 50 Ω van de generator?

Gegeven

$L = 10 mH$ , $C = 100 nF$
$R = 25 + 10 + 50 = 85 Ω$ ; $\hat{U}_{g} = 2, 0 V$

Gevraagd

$f_{0}$ , $Q$ , $Δ f$
$\hat{I}$ , $\hat{U}_{R}$ , $\hat{U}_{C}$ bij $f_{0}$

Oplossing

1
$f_{0} = \frac{1}{2 π L C} = \frac{1}{2 π 1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 7}} = 5033 Hz$ ; $L / C = 316, 2 Ω$ .
2
$Q = 316, 2/85 = 3, 72$ ; $Δ f = f_{0} / Q = 1353 Hz$ (van ongeveer 4,40 tot 5,75 kHz).
3
Bij $f_{0}$ is $Z = 85 Ω$ : $\hat{I} = 2, 0/85 = 23, 5 mA$ , $\hat{U}_{R} = 10 \cdot \hat{I} = 235 mV$ over de meetweerstand, en $\hat{U}_{C} = \hat{I} \cdot 316, 2 = 7, 44 V$ .
4
Zonder de generatorweerstand zou $R = 35 Ω$ zijn en $Q = 9, 0$ : de resonantie is twee keer zo scherp. De inwendige weerstand van een meettoestel hoort bij de kring.

Antwoord

f_{0} = 5033 Hz

Q = 3, 7

Δ f \approx 1353 Hz

. Bij resonantie 23,5 mA; over de condensator 7,4 V amplitude, bijna vier keer de 2,0 V van de generator.

Klopt dit?

U_{C}

U_{L}

zijn bij resonantie even groot en tegengesteld, en heffen elkaar op; de generator ziet alleen de weerstanden. Dimensies:

H/F = Ω s / (s /Ω) = Ω

. Het programma twee bladen verder vindt dezelfde getallen numeriek.

Proef · 20.9

Resonantie meten

9/24

Onderzoeksvraag

Klopt het model van de serie-RLC-kring: waar ligt de resonantie, hoe breed is ze, en hoe hoog wordt de spanning over de condensator?

Materiaal

functiegenerator (sinus) en tweekanaalsoscilloscoop
spoel ±10 mH, foliecondensator 100 nF, weerstand 10 Ω, breadboard
een LCR-meter of multimeter om de draadweerstand van de spoel te meten

VeiligheidAlleen de functiegenerator als bron. Met een netvoeding zou de spanningsoverhoging over de condensator levensgevaarlijk kunnen worden.

Model van de proef: met de uitgangsweerstand van de generator (volle lijn) is de piek lager en breder dan met een ideale bron (stippellijn). De hulplijn ligt op 1/√2 van het maximum.

Werkwijze

1Meet eerst de weerstand van de spoel en de exacte waarden van L en C als dat kan. Bouw de kring: generator, spoel, condensator, 10 Ω naar de massa.
2Kanaal 1 over de generator, kanaal 2 over de 10 Ω (die spanning is evenredig met de stroom). Zet de generator op 2,0 V amplitude.
3Zoek de frequentie waarbij kanaal 2 maximaal is en de twee signalen in fase liggen (Lissajous-figuur: een rechte lijn).
4Meet de amplitude over de 10 Ω bij 15 frequenties van 1 tot 30 kHz, dichter bij elkaar rond het maximum. Zoek de twee frequenties waar ze 1/√2 van het maximum is.
5Meet bij resonantie (met één tastkop) de spanning over de condensator. Let op: de massa van de scoop ligt vast, meet dus met de condensator aan de massakant of met twee kanalen en het verschil.

Waarneming

Het model voorspelt een maximum van 235 mV over de 10 Ω bij 5033 Hz, halfvermogenpunten bij ongeveer 4,4 en 5,75 kHz, en 7,4 V over de condensator. Metingen liggen meestal iets lager en breder: de spoel verliest bij kHz meer dan haar gelijkstroomweerstand (wervelstromen in de kern, het skineffect), en de generatorspanning zakt bij resonantie, omdat de kring dan de meeste stroom trekt.

Verklaring

Bij resonantie heffen spoel en condensator elkaar op, en bepalen alleen de weerstanden de stroom. Ook de 50 Ω van de generator: meet de spanning over de generatorklemmen tijdens de meting, en je ziet ze dalen. De spanning over de condensator is groter dan die van de generator, omdat de energie heen en weer pendelt tussen spoel en condensator; per periode vult de generator alleen het verlies aan. De verhouding $U_{C} / U_{g}$ bij resonantie is een directe meting van $Q$ .

Code · 20.10

De frequentiekarakteristiek in Python

10/24

Met numpy reken je de impedantie in één keer uit voor dertigduizend frequenties, zoek je het maximum van de stroom en de halfvermogenpunten, en vergelijk je met de formules. Dezelfde functie Z tekent de grafieken van dit hoofdstuk; je kunt er je meetpunten naast zetten.

Pythonrlc.py27 regelsDownload

# rlc.py - frequentiekarakteristiek van de serie-RLC-kring van de proefimport numpy as np L, C = 10e-3, 100e-9                  # spoel (H) en condensator (F)R_L, R_m, R_g = 25.0, 10.0, 50.0      # weerstand van de spoel, meetweerstand, uitgang van de generator (ohm)U_g = 2.0                             # amplitude van de generator zonder last (V)R = R_L + R_m + R_g  def Z(f):    """Impedantie van de hele kring (ohm) bij frequentie f (Hz)."""    w = 2 * np.pi * f    return R + 1j * w * L + 1 / (1j * w * C)  f = np.logspace(2, 5, 30001)          # 100 Hz tot 100 kHzI = U_g / np.abs(Z(f))                # amplitude van de stroom (A)k = np.argmax(I)f0 = f[k]band = f[I >= I[k] / np.sqrt(2)]      # halfvermogenpuntenQ = np.sqrt(L / C) / Rprint(f"f0 = {f0:.0f} Hz (theorie {1 / (2 * np.pi * np.sqrt(L * C)):.0f} Hz), Q = {Q:.2f}")print(f"bandbreedte {band[-1] - band[0]:.0f} Hz, van {band[0]:.0f} tot {band[-1]:.0f} Hz (f0/Q = {f0 / Q:.0f} Hz)")print(f"bij f0: I = {1000 * I[k]:.1f} mA, U_R = {1000 * I[k] * R_m:.0f} mV, U_C = {I[k] / (2 * np.pi * f0 * C):.2f} V")for fx in (1000, 3000, 5000, 7000, 20000):    z = Z(fx)    print(f"{fx:6d} Hz: |Z| = {abs(z):6.0f} ohm, fase {np.degrees(np.angle(z)):+6.1f} graden")

Uitvoer:

f0 = 5033 Hz (theorie 5033 Hz), Q = 3.72
bandbreedte 1352 Hz, van 4403 tot 5754 Hz (f0/Q = 1353 Hz)
bij f0: I = 23.5 mA, U_R = 235 mV, U_C = 7.44 V
  1000 Hz: |Z| =   1531 ohm, fase  -86.8 graden
  3000 Hz: |Z| =    352 ohm, fase  -76.0 graden
  5000 Hz: |Z| =     85 ohm, fase   -2.8 graden
  7000 Hz: |Z| =    229 ohm, fase  +68.2 graden
 20000 Hz: |Z| =   1180 ohm, fase  +85.9 graden

De numerieke bandbreedte en $f_{0} / Q$ vallen samen: de formule is exact voor een serie-RLC (het resonantiepiekje is op een logaritmische as symmetrisch, op een lineaire niet: $f_{0}$ ligt iets dichter bij de onderste grens). Onder $f_{0}$ is de fase negatief (de condensator overheerst), erboven positief. Wie meetpunten heeft, zet ze in een lijst en tekent U_g / abs(Z(f)) * R_m erdoor: een afwijking toont meteen of de spoelweerstand of de capaciteit anders is dan gedacht.

Uitleg · 20.11

Parallelle resonantie

11/24

Zet je de spoel en de condensator parallel, dan draait alles om. Bij resonantie loopt er een grote stroom rond in de lus van spoel en condensator, maar de bron levert alleen het kleine verlies: de impedantie is maximaal. Met een echte spoel ( $R$ in serie met $L$ ) parallel aan $C$ :

parallelle kring

Z = \frac{( R + j ω L ) \cdot \frac{1}{j ω C}}{R + j ω L + \frac{1}{j ω C}} Z_{max} \approx \frac{L}{C R} = Q^{2} R (Q ≫ 1)

De resonantie ligt vrijwel bij

ω_{0} = 1/ L C

. Een kleine serieweerstand van de spoel wordt voor de bron een grote parallelweerstand.

Met de spoel en de condensator van de proef ( $R = 25 Ω$ ): $Z_{max} = 1 0^{- 2} / (1 0^{- 7} \cdot 25) = 4000 Ω$ bij 5033 $Hz$ , tegenover enkele honderden ohm ernaast. Zo'n parallelle kring kiest in een radio één zender uit, en vormt samen met een versterker een oscillator. Waar een serieresonantie een frequentie doorlaat (lage impedantie), blokkeert een parallelle ze.

Resonantie is niet altijd welkom. Elke kring met een spoel en een condensator heeft er een, ook als je ze niet zo bedoeld hebt: de kabel en de condensatoren van een voeding, of het filter van een omvormer (volgend blad). Valt een storing of een harmonische van een belasting op die frequentie, dan wordt ze versterkt in plaats van gedempt.

Bij resonantie is de parallelle kring een grote weerstand van 4000 Ω; ver ervan af een kleine impedantie.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.12

Habitat: het uitgangsfilter van de omvormer

12/24

De brug in de omvormer schakelt met 20 kHz tussen $+ 400 V$ en $- 400 V$ (hoofdstuk 24). Een filter met een spoel van 1,0 mH in serie en een condensator van 10 µF naar de uitgang houdt de 50 Hz over en maakt de schakelfrequentie onschadelijk (rekenwaarden). (a) Waar ligt de resonantie? (b) Hoeveel laat het filter door bij 50 Hz en bij 20 kHz? (c) Wat gebeurt er bij de resonantiefrequentie zonder last en bij 3,3 kW? (d) Welke stroom neemt de condensator altijd, ook zonder last?

De 50 Hz gaat ongehinderd door, de schakelfrequentie van 20 kHz wordt 150 keer verzwakt. Zonder last piekt de kring bij 1,6 kHz.

Gegeven

$L = 1, 0 mH$ (0,05 Ω), $C = 10 μ F$
last 3,3 kW bij 230 V: $R = 23 0^{2} /3300 = 16, 0 Ω$

Gevraagd

$f_{0}$
$∣ H ∣$ bij 50 Hz, 20 kHz en $f_{0}$
$I_{C}$ bij 50 Hz

Oplossing

1
(a) $f_{0} = 1/ (2 π 1 0^{- 3} \cdot 1 0^{- 5}) = 1592 Hz$ ; $L / C = 10 Ω$ .
2
(b) Een spanningsdeler met impedanties: $H = Z_{uit} / (Z_{uit} + j ω L)$ , met $Z_{uit}$ de condensator (parallel met de last). Zonder last: $H = \frac{1}{1 - ω ^{2} L C}$ . Bij 50 Hz: $∣ H ∣ = 1, 0010$ : de sinus komt ongehinderd door. Bij 20 kHz: $∣ H ∣ = 1/ ((20 000/1592)^{2} - 1) = 0, 0064$ , of $- 44 dB$ (hoofdstuk 21).
3
(c) Bij $f_{0}$ zonder last beperkt alleen de 0,05 Ω van de spoel: $∣ H ∣ = 200$ ( $Q = 10/0, 05$ ). Met 16 Ω last: $∣ H ∣ = 1, 59$ . De last dempt de resonantie; zonder last zou elke storing rond 1,6 kHz tweehonderd keer versterkt worden.
4
(d) $I_{C} = U ω C = 230 \cdot 314, 2 \cdot 1 0^{- 5} = 0, 72 A$ , capacitief: $166 var$ dat de omvormer altijd levert.

Antwoord

f_{0} = 1592 Hz

: ver boven 50 Hz (doorgelaten) en ver onder 20 kHz (−44 dB). Zonder last is de resonantie bijna ongedempt: een ontwerp voegt een dempweerstand toe (opdracht 20.16). De condensator neemt altijd 0,72 A capacitief.

Klopt dit? Het filter is een laagdoorlaatfilter van de tweede orde: boven

f_{0}

daalt

∣ H ∣

met

(f_{0} / f)^{2}

, een factor honderd per decade (hoofdstuk 21). Die 166 var van de condensator is een deel van het nullastverbruik van een omvormer: de brug moet die stroom leveren en verliest er iets aan, ook als er niets aangesloten is.

Uitleg · 20.13

Vermogen bij wisselstroom: actief, reactief, schijnbaar

13/24

Een toestel met $u = \hat{U} cos ω t$ neemt $i = \hat{I} cos (ω t - φ)$ . Het momentane vermogen, met de productformule $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ :

p (t) = u i = U I cos φ + U I cos (2 ω t - φ) (U, I effectief) .

Een constant deel en een deel dat met de dubbele frequentie schommelt. Het gemiddelde is het actief vermogen $P = U I cos φ$ : dat wordt werkelijk omgezet in warmte of arbeid. Schrijf je de tweede term uit als $U I cos φ cos 2 ω t + U I sin φ sin 2 ω t$ , dan zie je een deel dat heen en weer pendelt zonder gemiddelde, met amplitude $Q = U I sin φ$ : het reactief vermogen. Dat is de energie die het magnetisch veld van de motor elke kwartperiode opbouwt en teruggeeft. In de figuur: waar $p (t)$ onder nul gaat, stroomt energie terug naar de bron.

complex vermogen

S = U \overset{ˉ}{I} = P + j Q P = U I cos φ (W) Q = U I sin φ (var) ∣ S ∣ = U I = P^{2} + Q^{2} (VA)

\overset{ˉ}{I}

is de toegevoegde van de stroom (hoofdstuk 7).

Q > 0

voor een inductieve last (stroom naijlend),

Q < 0

voor een capacitieve. Drie eenheden voor hetzelfde product

U I

, om ze niet te verwarren: watt, var (volt-ampère reactief), VA.

Waarom telt $Q$ als het gemiddeld niets doet? Omdat de stroom er wel voor loopt. Kabels, transformatoren, generatoren en omvormers warmen op door de stroom, niet door het vermogen: ze worden gedimensioneerd op $S$ , in VA. Een omvormer van 4,0 kVA levert 17,4 A, of dat nu 4 kW verwarming is of 2,4 kW motor met $cos φ = 0, 6$ .

Bij een som van toestellen tel je de complexe vermogens op: $P$ bij $P$ en $Q$ bij $Q$ (behoud van energie). De grootten $∣ S ∣$ tel je niet zomaar op, net zoals de stromen in hoofdstuk 7.

De stroom van de pomp ijlt 36° na. Het vermogen schommelt met 100 Hz tussen −176 en 1676 W, rond een gemiddelde van 750 W; waar het onder nul gaat, stroomt energie terug naar de bron.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.14

De vermogensdriehoek van de ontwerpbelasting

14/24

De ontwerpbelasting van hoofdstuk 7: noodverwarming 2,0 kW ( $cos φ = 1$ ), drukpomp 0,75 kW (0,81), koelkast 0,15 kW (0,70) en de rest 0,30 kW (0,95). Bereken per toestel en samen $P$ , $Q$ en $S$ , en de arbeidsfactor van het geheel. Vergelijk met hoofdstuk 7, dat de stromen als fasoren optelde.

Elk toestel is een pijl (P, Q); kop aan staart geven ze het complexe vermogen van het geheel. Het blinde deel is klein naast de 2 kW verwarming.

Gegeven

$U = 230 V$ ; vier toestellen met $P$ en $cos φ$

Gevraagd

$P$ , $Q$ , $S$ per toestel en samen
de arbeidsfactor van het geheel

Oplossing

1
Per toestel: $S = P / cos φ$ en $Q = P tan φ$ . Pomp: $tan (arccos 0, 81) = 0, 724$ , dus $Q = 543 var$ en $S = 926 VA$ . Zo voor elk toestel:
toestel $P$ (W) $Q$ (var) $S$ (VA) $I$ (A)
noodverwarming 2000 0 2000 8,70
drukpomp 750 543 926 4,03
koelkast 150 153 214 0,93
rest 300 99 316 1,37
samen 3200 795 3297 14,34
gewoon opgeteld 3200 795 3456 15,03
2
Samen: $P = 3200 W$ , $Q = 795 var$ , $∣ S ∣ = 320 0^{2} + 79 5^{2} = 3297 VA$ .
3
Arbeidsfactor: $P /∣ S ∣ = 0, 971$ , $φ = 13, 9^{\circ}$ . Stroom: $∣ S ∣/ U = 14, 34 A$ .

Antwoord

P = 3200 W

Q = 795 var

S = 3297 VA

, arbeidsfactor 0,971. Hetzelfde als de fasorsom van hoofdstuk 7 (3,30 kVA, 14,3 A): optellen van

P

Q

is optellen van de stroomwijzers, maal

U

Klopt dit? De gewone som van de

∣ S ∣

geeft 3456 VA: te veel, net als de gewone som van de stromen (15,0 A). De verwarming overheerst en trekt de arbeidsfactor van het geheel naar 1, ook al hebben de motoren samen maar ongeveer 0,8.

Uitleg · 20.15

Arbeidsfactor en compensatie

15/24

De arbeidsfactor is $P / S$ : welk deel van de stroom nuttig werk doet. Bij sinussen is hij $cos φ$ . Een lage arbeidsfactor kost niets aan energie in het toestel zelf, maar wel elders: meer stroom voor hetzelfde vermogen, dus meer verlies $I^{2} R$ in de kabels, meer spanningsval, en grotere transformatoren, generatoren en omvormers. Netbeheerders rekenen grote verbruikers daarom blindenergie aan als hun arbeidsfactor te laag is.

Compensatie: zet een condensator parallel aan de inductieve last. Zijn reactief vermogen is negatief, $Q_{C} = - U^{2} ω C$ , en heft een deel van dat van de motor op. De energie pendelt dan tussen motor en condensator in plaats van door de hele kabel naar de bron. De motor zelf merkt er niets van.

compensatiecondensator

C = \frac{Q _{weg}}{U ^{2} ω} = \frac{P ( tan φ _{1} - tan φ _{2} )}{U ^{2} ω}

Van

cos φ_{1}

naar

cos φ_{2}

bij hetzelfde actief vermogen

P

. De condensator moet de wisselspanning verdragen (piek 325 V; motorcondensatoren hebben 400 à 450 V~) en een ontlaadweerstand hebben.

Drie grenzen. Wie overcompenseert, maakt het geheel capacitief en de stroom weer groter. Bij een motor met een vaste condensator ertussen dreigt zelfbekrachtiging: na het uitschakelen draait de motor uit, de condensator levert zijn magnetiseringsstroom, en hij werkt als generator met een gevaarlijke spanning. Vuistregel: de condensator mag hoogstens 90 % van de blindstroom van de motor zonder last leveren. En compensatie helpt alleen voor de faseverschuiving. Toestellen met een gelijkrichter (laders, ledvoedingen) nemen stroom in korte pieken; hun arbeidsfactor is laag door vervorming, en daar helpt een condensator niet (opdracht 20.18, en een filter in hoofdstuk 21).

De spanning ligt langs de reële as. De condensatorstroom staat 90° voor op de spanning en heft het blinde deel van de pompstroom op. Volledig: 3,26 A in fase; tot cos φ = 0,95 (een kleinere condensator): 3,43 A.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.16

Een condensator bij de drukpomp

16/24

Compenseer de drukpomp (750 W, $cos φ = 0, 81$ ) (a) volledig en (b) tot $cos φ = 0, 95$ . Bereken telkens de condensator en de stroom. (c) De pomp neemt zonder last ongeveer 2,0 A, bijna zuiver blind (rekenwaarde). Welke condensator mag er hoogstens vast aan de pomp hangen?

Gegeven

$P = 750 W$ , $cos φ_{1} = 0, 81$ , $U = 230 V$ , $f = 50 Hz$
nullaststroom $\approx 2, 0 A$

Gevraagd

$C$ en $I$ voor $cos φ_{2} = 1$ en $0, 95$
$C_{max}$ tegen zelfbekrachtiging

Oplossing

1
(a) $Q = 543 var$ moet weg: $C = \frac{543}{23 0 ^{2} \cdot 314 , 2} = 32, 7 μ F$ . Stroom daarna $750/230 = 3, 26 A$ in plaats van $4, 03 A$ .
2
(b) Bij 0,95 blijft $P tan φ_{2} = 750 \cdot 0, 329 = 247 var$ over; weg moet $296 var$ : $C = 17, 8 μ F$ en $I = 750/ (0, 95 \cdot 230) = 3, 43 A$ .
3
(c) Nullast-blindvermogen $\approx 230 \cdot 2, 0 = 460 var$ , 90 % daarvan 414 var: $C_{max} = 414/ (23 0^{2} ω) = 24, 9 μ F$ . Volledig compenseren (32,7 µF) mag dus niet vast aan de pomp; tot 0,95 (17,8 µF) wel.

Antwoord

Volledig: 32,7 µF, 3,26 A (19 % minder stroom, 34 % minder kabelverlies in die tak), maar te veel tegen zelfbekrachtiging. Tot 0,95: een condensator van 18 µF / 450 V~ bij de pomp, 3,43 A.

Klopt dit? Het actief vermogen blijft 750 W: de pomp krijgt dezelfde spanning en doet hetzelfde werk. Wat daalt, is alleen de stroom in de kabel tussen de bron en de condensator. De condensator hoort daarom zo dicht mogelijk bij de motor, achter zijn schakelaar, zodat hij mee uitgeschakeld wordt.

Uitleg · 20.17

Het driefasige net

17/24

Een driefasige generator (hoofdstuk 19) levert drie spanningen van dezelfde grootte, 120° na elkaar. In een sterschakeling komen de drie wikkelingen samen in het sterpunt, dat met de nulgeleider (N) naar de verbruikers gaat. Tussen een fase en de nul staat de fasespanning, 230 V. Tussen twee fasen de lijnspanning, het verschil van twee wijzers (hoofdstuk 7):

U_{12} = U_{1} - U_{2} = 230 (1 - e^{- j 12 0^{\circ}}) = 230 (1, 5 + 0, 866 j) = 2303 ∠3 0^{\circ} = 398∠3 0^{\circ} V .

driefasig (evenwichtig)

U_{lijn} = 3 U_{fase} P = 3 U_{lijn} I_{lijn} cos φ = 3 U_{fase} I_{fase} cos φ

Ster: elke belasting op de fasespanning, lijnstroom = fasestroom. Driehoek: elke belasting tussen twee fasen, op de lijnspanning; de lijnstroom is

3

keer de stroom in elke belasting.

Waarom drie fasen? Het vermogen staat stil. Drie gelijke weerstanden op de drie fasen: $sin^{2} x + sin^{2} (x - 12 0^{\circ}) + sin^{2} (x + 12 0^{\circ}) = \frac{3}{2}$ op elk ogenblik. Een driefasige motor of generator heeft een constant koppel, terwijl een eenfasig toestel met 100 Hz klopt. Minder koper: bij een evenwichtige belasting heffen de drie stromen elkaar in het sterpunt op, de nulgeleider voert niets, en drie draden brengen drie keer het vermogen van een eenfasige aansluiting met twee draden: de helft van het koper per kilowatt. En een draaiend veld: drie spoelen rond een motor, gevoed met drie fasen, maken een magnetisch veld dat vanzelf ronddraait. Dat was Tesla's idee, en elke asynchrone motor werkt ermee.

3N × 400 V of 3 × 230 V

De gewone driefasige aansluiting is 3N × 400 V: drie fasen en een nul, 400 V tussen de fasen en 230 V tussen fase en nul. In België hebben veel oudere wijken nog een net van 3 × 230 V zonder nulgeleider: 230 V tussen de fasen. Een 'gewoon' 230 V-toestel hangt daar tussen twee fasen. Toestellen voor 3N × 400 V (laadpalen, warmtepompen, sommige omvormers) passen daar niet zonder meer op.

Het verschil van twee fasespanningen van 230 V die 120° uit elkaar liggen, is een lijnspanning van 398 V, 30° voor op de eerste.

Elke fase levert een vermogen dat tussen 0 en 4000 W schommelt; de som is op elk ogenblik 6000 W.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.18

Habitat: de driefasige kabel van de windturbine

18/24

De generator van de windturbine (hoofdstuk 19) geeft bij 3,0 kW een lijnspanning van 165 V. De kabel van de gondel via de mast van 12 m naar de omzetter bij de module is ongeveer 30 m lang. Vergelijk het verlies (a) met drie geleiders van 4 mm² bij generatorspanning, en (b) als je de 3,0 kW al in de gondel naar 48 V gelijk zou omzetten, met twee geleiders van 16 mm² of 50 mm². Neem voor de generator met zijn diodebrug een arbeidsfactor van $3/ π = 0, 955$ .

Hetzelfde vermogen, dezelfde afstand: de driefasige kabel bij generatorspanning verliest het minst, met het minste koper.

Gegeven

$P = 3, 0 kW$ , $U_{lijn} = 165 V$ , $λ = 0, 955$
30 m koper, $ρ = 0, 0172 Ω m m^{2} /m$

Gevraagd

verlies en koper in elk geval

Oplossing

1
(a) $I = \frac{P}{3 U λ} = \frac{3000}{3 \cdot 165 \cdot 0 , 955} = 11, 0 A$ per geleider (hetzelfde als $2/3 I_{dc}$ in hoofdstuk 19). Weerstand per geleider $0, 0172 \cdot 30/4 = 0, 129 Ω$ . Verlies $3 I^{2} R = 47 W$ , of 1,6 %.
2
(b) Bij 48 V: $I = 3000/48 = 62, 5 A$ . Met 16 mm²: $2 I^{2} R = 2 \cdot 62, 5^{2} \cdot 0, 0323 = 252 W$ (8,4 %). Pas met 50 mm² zak je naar 81 W (2,7 %).
3
Koper: $3 \cdot 4 m m^{2} \cdot 30 m$ is 3,2 kg, $2 \cdot 50 m m^{2} \cdot 30 m$ is 26,9 kg.

Antwoord

Bij generatorspanning verlies je 47 W (1,6 %) in 3,2 kg koper; bij 48 V 252 W met 16 mm² of 81 W met 27 kg koper. De keuze van hoofdstuk 19 staat: de energie reist bij de spanning van de generator en wordt pas bij de batterij naar 48 V omgezet.

Klopt dit? Het verlies schaalt met

I^{2}

: de stroom bij 48 V is 5,7 keer groter, het verlies bij gelijke doorsnede 22 keer (twee draden in plaats van drie). Precies het argument van de stroomoorlog: hoge spanning, kleine stroom.

Ontleed · 20.19

De omvormer tussen batterij en 230 V

19/24

Een gangbare opbouw van een omvormer die een zuivere sinus maakt uit een batterij, in blokken. Hoe elk blok werkt (schakelende omzetters, PWM, regeling), is hoofdstuk 24; hier zie je welke rol de wisselstroomtheorie erin speelt. Getallen: rekenwaarden voor de omvormer van het station.

Van 48 V gelijk naar 230 V~: opwaarts omzetten, bufferen, hakken en filteren, geregeld door een microcontroller.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Batterij en zekering
44 tot 56 V. Bij de ontwerpbelasting ±72 A, bij het aanslaan van de pomp tot ±128 A gedurende enkele seconden. Een trage hoofdzekering dicht bij de batterij en kabels van 2 × 35 mm² (0,18 V spanningsval bij 90 A).
2
Opwaarts omzetten
Een brug hakt de 48 V met tientallen kHz; een kleine HF-transformator (hoofdstuk 19: bij hoge frequentie volstaat een kleine kern) en een gelijkrichter maken er ±400 V van.
3
Tussenkring
Condensatoren van ±1,3 mF op 400 V vangen de 100 Hz-schommeling van het vermogen op, zodat de batterij een bijna constante stroom levert.
4
H-brug
Vier transistors, zoals de H-brug van de dakmotor (hoofdstuk 26 van I), schakelen met 20 kHz tussen +400 en −400 V. De pulsbreedte volgt een sinus van 50 Hz: het gemiddelde is de gewenste spanning.
5
LC-filter
1,0 mH en 10 µF: resonantie bij 1,6 kHz. Laat 50 Hz door en dempt 20 kHz 44 dB. De condensator neemt altijd 0,72 A (166 var).
6
Uitgang
230 V, 50 Hz, zuivere sinus; 4,0 kVA continu (17,4 A), 8 kVA gedurende 5 s. De omvormer levert zowel actief als reactief vermogen; zijn grens is de stroom.
7
Regeling
Meet spanning en stroom, berekent elke periode de pulsbreedtes, volgt bij netkoppeling de fase van het net (hoofdstuk 7) en schakelt af bij overbelasting.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.20

Habitat: de omvormer bij de ontwerpbelasting

20/24

De omvormer (rendement 93 %) voedt de ontwerpbelasting: $P = 3200 W$ , $Q = 795 var$ . (a) Welke stroom levert de batterij bij 44, 48 en 56 V? (b) Het momentane vermogen van een eenfasige belasting schommelt met 100 Hz. Tussen welke waarden, en welke stroom zou de batterij dan leveren zonder buffer? (c) Hoe groot moet de tussenkringcondensator op 400 V zijn als zijn spanning hoogstens 20 V mag schommelen?

Zonder buffer zou de batterij een stroom leveren die met 100 Hz tussen 0 en 146 A schommelt; met de tussenkring is het een constante 71,7 A.

Gegeven

$P = 3200 W$ , $∣ S ∣ = 3297 VA$ , $η = 0, 93$
tussenkring 400 V, rimpel 20 V van top tot top

Gevraagd

$I_{bat}$
het bereik van $p (t)$
$C$ van de tussenkring

Oplossing

1
(a) De batterij levert het actief vermogen plus de verliezen: $P_{dc} = P / η = 3441 W$ . Het reactief vermogen pendelt tussen de uitgang en de condensatoren van de omvormer en komt niet uit de batterij. $I = 78, 2$ , $71, 7$ en $61, 4 A$ .
2
(b) $p (t) = P + ∣ S ∣ cos (2 ω t - φ)$ schommelt tussen $P - ∣ S ∣ = - 97 W$ en $P + ∣ S ∣ = 6497 W$ . Zonder buffer zou de batterijstroom bij 48 V tussen ongeveer 0 en $146 A$ heen en weer gaan, honderd keer per seconde: extra warmte in batterij en kabels.
3
(c) De schommeling $∣ S ∣ cos 2 ω t$ laat de energie in de condensator op en neer gaan: integreren (hoofdstuk 3) geeft een amplitude $∣ S ∣/ (2 ω)$ , dus van top tot top $Δ E = ∣ S ∣/ ω$ . Met $Δ E = C U Δ U$ : $C = \frac{∣ S ∣}{ω U Δ U} = \frac{3297}{314 , 2 \cdot 400 \cdot 20} = 1, 31 mF$ .

Antwoord

De batterij levert 72 A bij 48 V (78 A bij een bijna lege batterij). Het vermogen schommelt tussen −97 en 6497 W; een tussenkring van ±1,3 mF op 400 V vangt dat op. Dossier: batterijstroom bij de ontwerpbelasting 72 A (48 V), kabels 2 × 35 mm².

Klopt dit? De batterijstroom hangt af van

P

, niet van

S

: compensatie verlaagt hem niet (volgend blad). De reactieve stroom loopt wel door de brug en het filter en kost daar een beetje verlies. Een driefasige omvormer heeft dit probleem niet: zijn totale vermogen staat stil (zie het driefasige net), en hij heeft veel kleinere condensatoren nodig.

Uitgewerkt voorbeeld · 20.21

Habitat: de pomp slaat aan, en compenseren of niet?

21/24

Een pompmotor neemt bij het aanslaan kort ongeveer zes keer zijn stroom. Hoofdstuk 7 nam die aanloopstroom zuiver inductief en vond 6,3 kVA. Een kleine motor heeft bij stilstand echter ook een flink actief deel; neem als rekenwaarde $cos φ = 0, 5$ . (a) Hoeveel kVA en kW vraagt de ontwerpbelasting tijdens het aanslaan, en welke batterijstroom bij 44 V? (b) Wat zou compensatie van de hele belasting naar $cos φ = 1$ opleveren? (c) Beslis.

Gegeven

aanloop pomp: $6 \cdot 4, 03 A$ met $cos φ = 0, 5$
omvormer 4,0 kVA continu, 8 kVA gedurende 5 s

Gevraagd

$S$ , $P$ en $I_{bat}$ bij het aanslaan
effect van compensatie
de beslissing

Oplossing

1
(a) Pomp bij het aanslaan: $24, 2∠ - 6 0^{\circ} A$ . Met de andere toestellen (fasorsom): $∣ I ∣ = 31, 6 A$ , $S = 7, 28 kVA$ , $P = 5, 23 kW$ . Met het model van hoofdstuk 7 (zuiver inductief) was dat $6, 3 kVA$ maar slechts $2, 45 kW$ .
2
Batterij bij 44 V: $5228/ (0, 93 \cdot 44) = 128 A$ , zolang de pomp aanloopt (minder dan een seconde voor een pomp).
3
(b) Compensatie van alles: $C = 795/ (23 0^{2} ω) = 47, 8 μ F$ . De stroom daalt van $14, 34$ naar $13, 91 A$ (3 %); de batterijstroom en de energie blijven gelijk. Het filter van de omvormer levert al 166 var capacitief: aan de brug is de arbeidsfactor 0,981.
4
(c) Compensatie levert enkele procenten stroom op in kabels van enkele meter, en de omvormer heeft 21 % marge. Bij het aanslaan helpt een condensator nauwelijks (de piek is voor een groot deel actief), en een vaste condensator zou 's nachts, als alleen kleine toestellen draaien, het geheel capacitief maken. Beslissing: niet compenseren.

Antwoord

Het aanslaan vraagt 7,3 kVA en 5,2 kW: binnen de 8 kVA van de omvormer, met 9 % marge, maar de batterij levert dan 128 A. Dossier: geen compensatie; de 48 V-kant (batterij, BMS, zekering en kabel) moet ±130 A gedurende enkele seconden en ±100 A continu (4,0 kVA bij 44 V) aankunnen.

Klopt dit? Het model van hoofdstuk 7 onderschatte zowel de kVA als het batterijvermogen: een zuiver inductieve aanloop vraagt weinig actief vermogen (60 A bij 44 V in plaats van 128 A). Rekenwaarden bepalen welke kant veilig is: kies ze per vraag. Komen er later grotere motoren bij, dan is een zachte aanloop of een frequentieregelaar (hoofdstuk 24) beter dan een grotere omvormer.

Code · 20.22

Habitat: de omvormerrekening in Python

22/24

Alle getallen van de twee vorige bladen in één programma, met complexe getallen: stromen als fasoren, het complexe vermogen $S = U \overset{ˉ}{I}$ , en de batterijstroom uit het actief vermogen. Wie een toestel toevoegt of een rekenwaarde verandert, ziet meteen wat het betekent voor de omvormer en de batterij.

Pythonomvormer.py34 regelsDownload

# omvormer.py - de netomvormer van het station bij de ontwerpbelasting en bij het aanslaan van de pompimport cmathimport math U, F = 230.0, 50.0                    # V effectief (referentie), HzETA = 0.93                            # rendement van de omvormer (rekenwaarde)lasten = {"noodverwarming": (2000, 1.00), "drukpomp": (750, 0.81), "koelkast": (150, 0.70), "rest": (300, 0.95)}  def stroom(P, cos_phi):    """Stroom als fasor (A), naijlend (inductief)."""    return cmath.rect(P / (U * cos_phi), -math.acos(cos_phi))  def verslag(naam, I):    S = U * I.conjugate()             # complex vermogen P + jQ    print(f"{naam}: I = {abs(I):5.2f} A, P = {S.real:5.0f} W, Q = {S.imag:5.0f} var, "          f"S = {abs(S):5.0f} VA, cos phi = {S.real / abs(S):.3f}")    print("    aan de batterij: " + ", ".join(f"{S.real / ETA / u:5.1f} A bij {u} V" for u in (44, 48, 56)))    return S  I_n = sum(stroom(P, c) for P, c in lasten.values())S_n = verslag("ontwerpbelasting", I_n)print(f"    p(t) schommelt met 100 Hz tussen {S_n.real - abs(S_n):.0f} en {S_n.real + abs(S_n):.0f} W")C_bus = abs(S_n) / (2 * math.pi * F * 400 * 20)print(f"    buffer op een tussenkring van 400 V met 20 V rimpel: {1000 * C_bus:.2f} mF") I_pomp = stroom(*lasten["drukpomp"])  # aanloop: zes keer de stroom, cos phi = 0,5 (rekenwaarde)verslag("pomp slaat aan", I_n - I_pomp + cmath.rect(6 * abs(I_pomp), -math.acos(0.5))) C = S_n.imag / (U ** 2 * 2 * math.pi * F)   # alles compenseren naar cos phi = 1print(f"compensatie van alles: C = {1e6 * C:.1f} uF")verslag("gecompenseerd", I_n + 1j * U * 2 * math.pi * F * C)

Uitvoer:

ontwerpbelasting: I = 14.34 A, P =  3200 W, Q =   795 var, S =  3297 VA, cos phi = 0.971
    aan de batterij:  78.2 A bij 44 V,  71.7 A bij 48 V,  61.4 A bij 56 V
    p(t) schommelt met 100 Hz tussen -97 en 6497 W
    buffer op een tussenkring van 400 V met 20 V rimpel: 1.31 mF
pomp slaat aan: I = 31.64 A, P =  5228 W, Q =  5063 var, S =  7278 VA, cos phi = 0.718
    aan de batterij: 127.8 A bij 44 V, 117.1 A bij 48 V, 100.4 A bij 56 V
compensatie van alles: C = 47.8 uF
gecompenseerd: I = 13.91 A, P =  3200 W, Q =     0 var, S =  3200 VA, cos phi = 1.000
    aan de batterij:  78.2 A bij 44 V,  71.7 A bij 48 V,  61.4 A bij 56 V

Merk op dat compensatie de batterijstroom niet verandert: alleen $P$ komt uit de batterij. De functie verslag is het hart: $S = U \overset{ˉ}{I}$ geeft in één keer $P$ (reëel deel) en $Q$ (imaginair deel). Het programma kan zo in de digitale tweeling van het station (hoofdstuk 49): het energiebeheer vraagt voor elk toestel dat het wil inschakelen of de omvormer en de batterij het aankunnen.

Naslag · 20.23

Wisselstroom: formules

23/24

Werkwijze: kies een referentie (meestal de spanning), zet alles om in fasoren met effectieve waarden, reken met impedanties zoals met weerstanden, en bereken het vermogen met $S = U \overset{ˉ}{I}$ . Controleer met een fasordiagram of met een vermogensdriehoek.

effectieve waarde

U_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2} d t sinus: U_{eff} = \hat{U} / 2

impedantie

Z_{R} = R Z_{L} = j ω L Z_{C} = \frac{1}{j ω C} Z = R + j X U = Z I

symbool	betekenis	eenheid
$X$	reactantie	Ω

serieresonantie

ω_{0} = \frac{1}{L C} Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} Δ f = \frac{f _{0}}{Q} U_{C} = Q U

symbool	betekenis	eenheid
$Q$	kwaliteitsfactor	–

parallelle kring en LC-filter

Z_{max} \approx \frac{L}{C R} H_{L C} = \frac{1}{1 - ω ^{2} L C} (onbelast)

vermogen

p (t) = U I cos φ + U I cos (2 ω t - φ) S = U \overset{ˉ}{I} = P + j Q

symbool	betekenis	eenheid
$P$	actief vermogen	W
$Q$	reactief vermogen	var
$S$	schijnbaar vermogen	VA

arbeidsfactor en compensatie

λ = \frac{P}{S} C = \frac{P ( tan φ _{1} - tan φ _{2} )}{U ^{2} ω}

symbool	betekenis	eenheid
$λ$	arbeidsfactor	–

driefasig

U_{lijn} = 3 U_{fase} P = 3 U_{lijn} I_{lijn} cos φ

eenfasige omvormer

C_{tussenkring} = \frac{∣ S ∣}{ω U Δ U} I_{bat} = \frac{P}{η U _{bat}}

golfvorm (piek $\hat{U}$ )	effectieve waarde	gemiddelde van $∣ u ∣$
sinus	$\hat{U} / 2 = 0, 707 \hat{U}$	$2 \hat{U} / π = 0, 637 \hat{U}$
blokgolf $\pm \hat{U}$	$\hat{U}$	$\hat{U}$
driehoek $\pm \hat{U}$	$\hat{U} / 3 = 0, 577 \hat{U}$	$\hat{U} /2$
enkelzijdig gelijkgerichte sinus	$\hat{U} /2$	$\hat{U} / π$
gemodificeerde sinus, $\hat{U}$ gedurende de helft van elke halve periode	$\hat{U} / 2$	$\hat{U} /2$

Het geheel · 20.24

Waar wisselstroom vandaan komt en waar hij heen gaat

24/24

Dit hoofdstuk past de wiskunde van hoofdstuk 7 (W) toe op elektrische netten (L) en op energie (E). Resonantie is hetzelfde verschijnsel als in de mechanica (hoofdstuk 11), vermogen is energie per seconde (hoofdstuk 3), en het driefasige net is de brug tussen de generator en de motor.

F21 Elektrisch vermogen en energie

P = U · I bij gelijkstroom; hier P = UI cos φ en het verschil met S.

I24 Condensatoren en de RC-tijd

Laden en ontladen in de tijd; hier de condensator bij een sinus, als impedantie.

E3 Integralen: ophopen

Het gemiddelde van u² als integraal: de effectieve waarde; de energieschommeling in de tussenkring.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

De RL-kring in de tijd als controle van de fasorberekening.

E7 Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

Fasoren, impedanties en de ontwerpbelasting: hier resonantie, vermogen en compensatie.

E11 Trillingen en resonantie

Massa-veer en RLC: dezelfde vergelijking, dezelfde resonantiepiek, dezelfde Q.

E19 Elektrische en magnetische velden, inductie

Spoel, condensator en transformator als velden; de driefasige generator van de windturbine.

E21 Filters en signaalverwerking

Het LC-filter als Bode-diagram, harmonischen en Fourier, de vervormde stroom van een lader.

E24 Vermogenselektronica en elektrische machines

Hoe de omvormer, de MPPT-omzetter en de frequentieregelaar echt werken.

E49 Integratieproject: het brein van het station

De omvormerrekening als deel van het energiebeheer van de digitale tweeling.

HabitatDossier: bij de ontwerpbelasting

P = 3200 W

Q = 795 var

S = 3297 VA

, arbeidsfactor 0,97; batterijstroom 72 A bij 48 V, 78 A bij 44 V; 100 Hz-schommeling opgevangen in een tussenkring (±1,3 mF op 400 V). Aanslaan van de pomp (rekenwaarde cos φ = 0,5): 7,3 kVA, 5,2 kW, 128 A uit de batterij bij 44 V. Geen compensatie. Uitgangsfilter (rekenwaarden) 1,0 mH en 10 µF. Kabel van de windturbine: 3 × 4 mm², 1,6 % verlies bij 3,0 kW.

Samenvatting

In het kort

De effectieve waarde is $\overline{u^{2}}$ ; bij een sinus $\hat{U} / 2$ (325 V piek = 230 V). Een gemiddelde-meter klopt alleen bij een zuivere sinus.
Impedanties $Z_{R} = R$ , $Z_{L} = j ω L$ , $Z_{C} = 1/ (j ω C)$ combineer je als weerstanden; een toestel kan je bij één frequentie vervangen door R en X.
Serie-RLC: resonantie bij $ω_{0} = 1/ L C$ , dan $Z = R$ ; $Q = \frac{1}{R} L / C$ , bandbreedte $f_{0} / Q$ , spanning over C en L $Q$ keer de bron. Parallel: de impedantie piekt ( $L / (C R)$ ).
$p (t) = U I cos φ + U I cos (2 ω t - φ)$ : actief vermogen $P = U I cos φ$ (W), reactief $Q = U I sin φ$ (var), schijnbaar $S = U I$ (VA); $S = U \overset{ˉ}{I} = P + j Q$ .
De arbeidsfactor $P / S$ bepaalt hoeveel stroom per watt; een condensator $C = P (tan φ_{1} - tan φ_{2}) / (U^{2} ω)$ compenseert, maar niet meer dan 90 % van de nullast-blindstroom van een motor, en niet bij vervorming.
Driefasig: $U_{lijn} = 3 U_{fase}$ (400 en 230 V), constant vermogen, de helft minder koper, een draaiend veld; in België ook nog 3 × 230 V.
Habitat: de batterij levert $P / (η U)$ , 72 A bij de ontwerpbelasting en 128 A tijdens het aanslaan van de pomp (44 V); een tussenkring vangt de 100 Hz-schommeling op; compensatie is niet nodig.

Begrippen

Wat je nu kent

effectieve waarde: $U_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2} d t$ : de gelijkspanning die in een weerstand hetzelfde vermogen geeft; bij een sinus $\hat{U} / 2$ .
reactantie: Het imaginaire deel $X$ van een impedantie $Z = R + j X$ : $X_{L} = ω L$ (positief), $X_{C} = - 1/ (ω C)$ (negatief).
resonantie: Toestand waarin de reactanties van spoel en condensator elkaar opheffen: $ω_{0} = 1/ L C$ ; in serie is $∣ Z ∣$ dan minimaal, parallel maximaal.
kwaliteitsfactor: $Q = ω_{0} L / R = \frac{1}{R} L / C$ (serie): hoe scherp de resonantie is; de bandbreedte is $f_{0} / Q$ en de spanning over C wordt $Q$ keer de bronspanning.
bandbreedte: Het frequentiegebied tussen de twee punten waar het vermogen gehalveerd is (stroom 1/√2 van het maximum).
actief vermogen: $P = U I cos φ$ in watt: het gemiddelde vermogen dat werkelijk wordt omgezet.
reactief vermogen: $Q = U I sin φ$ in var: vermogen dat heen en weer pendelt tussen bron en de velden van spoelen en condensatoren.
schijnbaar vermogen: $S = U I$ in VA; complex $S = U \overset{ˉ}{I} = P + j Q$ . Bepaalt de stroom, dus de dikte van kabels en de grootte van omvormers.
arbeidsfactor: $P / S$ ; bij sinussen $cos φ$ . Bij vervormde stromen kleiner dan $cos φ$ van de grondgolf.
compensatie: Een condensator parallel aan een inductieve belasting levert het reactieve vermogen ter plaatse, zodat de stroom uit het net kleiner wordt.
lijnspanning: Spanning tussen twee fasen; in een sterschakeling $3$ keer de fasespanning: 400 V bij 230 V.
sterschakeling: Drie belastingen of wikkelingen met één uiteinde samen in het sterpunt (aan de nulgeleider), elk op de fasespanning.
driehoekschakeling: Drie belastingen tussen de fasen onderling, elk op de lijnspanning; geen nulgeleider.

Aan de slag in het werkboek18 opdrachten, van oefenen tot uitdagen

toestel	$P$ (W)	$Q$ (var)	$S$ (VA)	$I$ (A)
noodverwarming	2000	0	2000	8,70
drukpomp	750	543	926	4,03
koelkast	150	153	214	0,93
rest	300	99	316	1,37
samen	3200	795	3297	14,34
gewoon opgeteld	3200	795	3456	15,03