EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Handboek · hoofdstuk 12Sterkteleer

Wat er in een staaf, een balk en een mast gebeurt als je ze belast, en hoe dik ze moeten zijn

Een constructie moet drie dingen: niet breken, niet te ver doorbuigen en niet knikken. Sterkteleer rekent dat uit. Je leert spanning en rek kennen en wat een materiaal ermee doet in het spanning-rekdiagram, hoe ingenieurs met een veiligheidsfactor onzekerheid opvangen, hoe een balk buigt (moment, traagheidsmoment, doorbuiging) en waarom een slanke drukstaaf plots opzij springt (knik, Euler). Voor Habitat controleer je de vloerbalk onder het reservoir, het kasframe onder sneeuw en de weermast, en kies je de buis van de mast van de windturbine.

7× uitleg6× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code17 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

KKrachten, beweging en constructies MMaterie en chemie DOntwerpen en maken

Een trekproef: de staaf wordt langer, dunner in het midden, en breekt. Uit die ene proef haal je de getallen waarmee dit hoofdstuk rekent.

Na dit hoofdstuk

Je kan normaalspanning, rek en de elasticiteitsmodulus gebruiken om te berekenen hoeveel een staaf rekt en welke doorsnede ze nodig heeft.
Je kan een spanning-rekdiagram lezen (elastisch, vloeien, versteviging, insnoering, breuk) en taaie en brosse materialen onderscheiden.
Je kan een veiligheidsfactor, een toelaatbare spanning en de partiële factoren van de Eurocode verklaren en toepassen.
Je kan dwarskracht en buigmoment van een balk bepalen, de buigspanning My/I afleiden en traagheidsmomenten van doorsneden berekenen, ook met de verschuivingsstelling.
Je kan de doorbuiging van een balk berekenen met de elastische lijn, met formules voor standaardgevallen en numeriek in Python.
Je kan de kniklast van Euler afleiden en toepassen met de juiste kniklengte en slankheid, en een mast volledig dimensioneren.

Verhaal · 12.1

Euler en de knik

1/20

In 1742 schreef Daniel Bernoulli aan zijn vriend Leonhard Euler een idee: een gebogen elastische staaf neemt de vorm aan waarbij de som van de kwadraten van haar kromming zo klein mogelijk is. Euler werkte het uit met de variatierekening en publiceerde het in 1744, als bijlage De curvis elasticis bij een boek over krommen met een extreme eigenschap. Hij vond alle vormen die een gebogen staaf kan aannemen, en daartussen een merkwaardig resultaat: een rechte staaf die op druk belast wordt, blijft recht tot een bepaalde kracht, en daarboven bestaat er plots een gebogen evenwicht. In 1757 schreef hij er een apart stuk over, Sur la force des colonnes. Dat is de kniklast die nog altijd zijn naam draagt.

Euler rekende met een 'absolute elasticiteit' van de staaf. Pas later kon men die opsplitsen in een materiaaleigenschap (de elasticiteitsmodulus, Thomas Young, 1807) en een eigenschap van de vorm van de doorsnede (het traagheidsmoment, in de buigtheorie van Claude Navier, 1826): samen $E I$ . Ingenieurs vertrouwden de formule lang niet, want hun proeven op korte, dikke kolommen klopten er niet mee: die bezwijken door verbrijzelen of vloeien, niet door knik. Pas zorgvuldige proeven in de negentiende eeuw toonden dat Euler gelijk heeft voor slanke staven, en dat daartussen een overgangsgebied ligt.

Hoe duur het is om knik te vergeten, toonde de Quebec Bridge (hoofdstuk 13 van F). Op 29 augustus 1907 knikten de onderste drukstaven van de half gebouwde brug, en 75 van de 86 arbeiders kwamen om. Het onderzoek wees twee oorzaken aan. De overspanning was verlengd tot ongeveer 549 m zonder het eigengewicht opnieuw te berekenen, zodat de staven zwaarder belast waren dan ontworpen. En de reusachtige drukstaven bestonden uit vier platen die met een rooster van lichte strippen verbonden waren; dat rooster was te zwak, zodat de staaf zich niet als één geheel gedroeg maar als vier slanke platen. Knik hangt niet alleen af van hoeveel materiaal er is, maar van hoe het samenwerkt: van $I$ .

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Elk onderdeel van Habitat moet een getal krijgen: hoe dik, welk profiel, welk materiaal. De windturbine van hoofdstuk 11 staat op een mast van 12 m die een storm moet doorstaan zonder te breken, zonder te ver te wijken en zonder dat haar eigenfrequentie in de verkeerde band belandt. Dat vraagt spanningen, doorbuigingen en knik in één berekening.

Een staaf op druk blijft recht tot de kniklast van Euler; hogere knikvormen vragen 4, 9, ... keer meer kracht, maar een staaf kiest altijd de eerste.

Uitleg · 12.2

Spanning, rek en de elasticiteitsmodulus

2/20

wat je al kan	wat nu komt
trek, druk, buiging, knik als verschijnsel; het stijfheidsgetal $b h^{3}$ (hoofdstuk 13 van F)	spanning, rek, traagheidsmoment $b h^{3} /12$ en de kniklast in getallen
materiaaleigenschappen, de wet van Hooke voor een veer (hoofdstuk 10 en 11 van F)	de wet van Hooke voor een materiaal: $σ = E ε$
evenwicht, reacties en de vloerbalk onder het reservoir (hoofdstuk 10 van I)	wat er in de balk gebeurt: moment, spanning, doorbuiging
afgeleiden en integralen (hoofdstuk 1 en 3), staafkrachten van een vakwerk (hoofdstuk 5)	$d M / d x = V$ , de elastische lijn, en welke doorsnede een staafkracht aankan

Trek aan een staaf met een kracht $F$ . Een twee keer zo dikke staaf rekt half zoveel; een twee keer zo lange staaf rekt twee keer zoveel. Om over het materiaal te kunnen praten, los van de afmetingen, deel je de kracht door de doorsnede en de verlenging door de lengte:

normaalspanning, rek en de wet van Hooke voor een materiaal

σ = \frac{F}{A} ε = \frac{Δ L}{L} σ = E ε Δ L = \frac{F L}{E A}

σ

in N/mm² = MPa (1 MPa =

1 0^{6}

Pa);

ε

zonder eenheid.

E

is de elasticiteitsmodulus: de helling van het rechte begin van het spanning-rekdiagram.

E A / L

is de veerconstante van de staaf.

Druk is dezelfde formule met een minteken: $σ < 0$ , de staaf wordt korter. Terwijl een staaf langer wordt, wordt ze ook iets dunner: de dwarscontractie $ε_{dwars} = - ν ε$ , met $ν \approx 0, 3$ voor metalen (coëfficiënt van Poisson). Een kracht evenwijdig aan een doorsnede geeft een schuifspanning $τ = F / A$ : zo reken je een bout die op afschuiving belast wordt.

Een tank onder druk. Snij een dunwandige cilinder (straal $r$ , wanddikte $t$ , overdruk $p$ ) in gedachten in de lengte door. Op een stuk van lengte $L$ duwt de druk de helften uit elkaar met $p \cdot 2 r L$ ; twee wanden houden ze samen met $2 t L σ$ . Dus is de ringspanning $σ = p r / t$ . Voor de drinkwatertank van het station (hoofdstuk 2) is de druk onderaan $ρ g h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 1, 05 = 10, 3 kPa$ ; met $r = 0, 39 m$ en een wand van 8 mm (rekenwaarde) is $σ = 0, 50 MPa$ , ver onder wat HDPE op lange termijn verdraagt (enkele MPa). De wand is dus dik om andere redenen: stijfheid, hanteren, het gietproces. Bij grote stalen opslagtanks beslist de ringspanning wel, en daarom zijn die breed en laag (opdracht 2.13).

materiaal (rekenwaarden)	$E$ (GPa)	vloeigrens of $R_{p0,2}$ (MPa)	treksterkte $R_{m}$ (MPa)	rek bij breuk	$ρ$ (kg/m³)
staal S235	210	≥ 235	360 à 510	≥ 26 %	7850
staal S355	210	≥ 355	470 à 630	≥ 22 %	7850
aluminium 6063-T6 (profielen, kasframe)	70	≥ 170	≥ 215	±10 %	2700
vuren C24, langs de vezel (karakteristiek)	11 (gemiddeld)	-	trek 14,5; buiging 24; druk 21	klein	±420
beton C30/37	±33	-	druk 30; trek ±2,9	bros	2400
PETG, 3D-geprint (orde van grootte)	±2	-	±50 langs de lijnen, minder tussen de lagen	enkele %	1270

Let op de orde van grootte: een rek van $1 0^{- 3}$ (0,1 %) is voor staal al 210 MPa, bijna de vloeigrens. In het elastische gebied veranderen metalen onderdelen dus maar duizendsten van hun lengte. Hout is 19 keer soepeler dan staal, en ook 19 keer lichter.

Spanning is kracht per oppervlakte, rek is verlenging per lengte. Hun verhouding is een materiaaleigenschap: de elasticiteitsmodulus.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.3

Habitat: de staven van de paneelsteun

3/20

Hoofdstuk 5 rekende de staafkrachten van de steun van het zonnepaneel bij storm (wind en gewicht). We maken de steun uit aluminium kokers 30 × 30 × 2 mm (6063-T6) en verbinden de staven met bouten M8. Bereken voor elke staaf de spanning, de rek en de verlenging, en de schuifspanning in de bout van de zwaarst belaste staaf.

Gegeven

koker 30 × 30 × 2 mm: $A = 3 0^{2} - 2 6^{2} = 224 m m^{2}$ , $E = 70 GPa$
staafkrachten bij storm (hoofdstuk 5, trek positief); bout M8 in enkele afschuiving

Gevraagd

$σ$ , $ε$ , $Δ L$ per staaf; $τ$ in de bout

Oplossing

Per staaf

σ = F / A

ε = σ / E

Δ L = ε L

staaf	lengte (mm)	kracht (N)	$σ = F / A$ (MPa)	$ε = σ / E$	$Δ L$ (mm)
AC voorpaal	200	−542	−2,42	−35·10⁻⁶	−0,0069
CD paneelregel	1000	−429	−1,91	−27·10⁻⁶	−0,0273
BD achterpaal	1066	372	1,66	24·10⁻⁶	0,0253
AB grondregel	500	−429	−1,91	−27·10⁻⁶	−0,0137
BC diagonaal	538	462	2,06	29·10⁻⁶	0,0159

2
De voorpaal draagt het meest: $σ = - 541, 6/224 = - 2, 42 MPa$ . De bout die hem vasthoudt, wordt afgeschoven over zijn doorsnede $π \cdot 8^{2} /4 = 50, 3 m m^{2}$ : $τ = 541, 6/50, 3 = 10, 8 MPa$ (de schroefdraad buiten de snede gelaten).
3
Is een drukstaaf ook stabiel? De paneelregel is de langste drukstaaf (1,00 m, 429 N). Het verderop in dit hoofdstuk afgeleide knikgetal $π^{2} E I / L^{2}$ geeft met $I = (3 0^{4} - 2 6^{4}) /12 = 29419 m m^{4}$ : $F_{k} = 20, 3 kN$ , 47 keer de belasting.

Antwoord

De grootste spanning is 2,4 MPa, tegenover een vloeigrens van minstens 170 MPa: een factor 70. De staven worden hoogstens enkele honderdsten van een millimeter langer of korter.

Klopt dit? Zulke grote marges zijn normaal voor kleine constructies. Het profiel wordt gekozen om andere redenen: stijfheid (het paneel mag niet meetrillen), knik, ruimte voor bouten, stevigheid bij het monteren en tegen een klap, en de verbindingen. Dat de doorsnede hier 'te groot' is, is geen verspilling maar gezond verstand. Bij grote constructies (de mast verderop, een brug) is het anders: daar telt elke kilogram.

Uitleg · 12.4

Het spanning-rekdiagram

4/20

In een trekproef trekt een machine een proefstaaf langzaam uit tot ze breekt, en meet ze kracht en verlenging. Gedeeld door de oorspronkelijke doorsnede en lengte geeft dat het spanning-rekdiagram (volgend blad). Het begin, uitvergroot in de figuur, is een rechte met helling $E$ : het elastische gebied. Laat je daar los, dan keert de staaf terug naar haar lengte.

Bouwstaal (S235, S355) heeft daarna een scherpe vloeigrens: de staaf rekt verder zonder dat de kracht stijgt. Aluminium en de meeste andere metalen gaan geleidelijk over; daar kiest men als grens de spanning waarbij na ontlasten 0,2 % blijvende rek overblijft, $R_{p0,2}$ : het snijpunt van de kromme met een rechte met helling $E$ door 0,2 %. Daarna volgt versteviging: het materiaal wordt harder naarmate het vervormt, tot de treksterkte $R_{m}$ . Dan snoert de staaf plaatselijk in en breekt ze. De blijvende rek bij breuk heet de breukrek $A$ .

Taai en bros. Staal en aluminium zijn taai: ze vervormen zichtbaar voor ze breken, en ze waarschuwen. Glas, beton onder trek, gietijzer en een 3D-print tussen zijn lagen zijn bros: ze breken in het rechte stuk van het diagram. Een taai onderdeel verdeelt bovendien pieken: waar de spanning plaatselijk de vloeigrens haalt (rond een gat, in een hoek), vloeit het materiaal een beetje en neemt de omgeving over. Een bros onderdeel scheurt daar.

Energie. De oppervlakte onder het diagram is de arbeid per volume, $\int σ d ε$ (hoofdstuk 3). Tot aan de breuk is dat voor het staal van het model ongeveer 103 MJ/m³ (MPa maal rek): de reden waarom een kreukelzone (hoofdstuk 9) uit dun staal bestaat dat plooit en vloeit.

Een sterker staal is ook stijver

S355 is 50 % sterker dan S235, maar precies even stijf: $E = 210 GPa$ voor alle staalsoorten. Wie een mast of balk moet verstijven (minder doorbuiging, hogere eigenfrequentie), heeft niets aan een sterkere staalsoort; alleen een grotere $I$ helpt. Sterkte en stijfheid zijn verschillende dingen.

Het begin van het diagram: rechte lijnen met helling E. Staal vloeit bij een scherpe grens; bij aluminium neem je het snijpunt met een rechte die 0,2 % verschoven is.

Ontleed · 12.5

Het spanning-rekdiagram ontleed

5/20

De volledige diagrammen van een staaf S235 en een staaf aluminium 6063-T6. Het zijn modelkrommen met waarden zoals een echte trekproef ze geeft (een echte staaf ligt meestal boven de minimale waarden uit de norm).

Op deze schaal is het elastische stuk een bijna verticale lijn bij ε ≈ 0: de blijvende vervorming is honderd keer groter dan de elastische.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Elastisch gebied
Rechte met helling E = 210 GPa, tot een rek van ongeveer 0,13 %. Alles wat Habitat normaal belast, blijft hier.
2
Bovenste en onderste vloeigrens
Bouwstaal houdt eerst iets meer (280 MPa), springt dan terug naar een plateau (260 MPa). De norm eist voor S235 minstens 235 MPa.
3
Vloeiplateau
Tot ±1,5 % rekt de staaf verder bij dezelfde kracht: banden van vloeiend materiaal lopen door de staaf.
4
Versteviging
Het materiaal wordt harder naarmate het vervormt (roosterfouten raken in elkaar verstrikt, hoofdstuk 28).
5
Treksterkte Rm
De top: 420 MPa. Hier begint de staaf plaatselijk in te snoeren.
6
Insnoering
De doorsnede wordt plaatselijk kleiner; de kracht daalt, al stijgt de echte spanning in de hals nog.
7
Breuk
Na ±28 % rek (de norm eist voor S235 minstens 26 %): een taai materiaal dat ruim waarschuwt.
8
Ontlasten
Wie bij 12 % loslaat, zakt langs een rechte met helling E terug: bijna 12 % blijft. Opnieuw belasten gaat langs dezelfde rechte: het staal is sterker geworden (koud vervormd).
9
Aluminium 6063-T6
Geen vloeiplateau, Rp0,2 ±190 MPa, Rm ±230 MPa, breuk bij ±10 %: minder taai dan staal, en drie keer zo soepel (E = 70 GPa).

Uitleg · 12.6

Buiging: dwarskracht en buigmoment

6/20

Een balk draagt lasten dwars op zijn as. Snij hem in gedachten door op plaats $x$ : het linkerdeel oefent op het rechterdeel een dwarskracht $V (x)$ en een buigmoment $M (x)$ uit, precies genoeg om het rechterdeel in evenwicht te houden (hoofdstuk 10 van I). Evenwicht van een dun schijfje $d x$ met een verdeelde last $q$ geeft:

verband tussen last, dwarskracht en moment

\frac{d V}{d x} = - q \frac{d M}{d x} = V M (x) = \int_{0}^{x} V d x

Het moment is de oppervlakte onder de dwarskrachtlijn (hoofdstuk 3). Waar

V

door nul gaat, heeft

M

een extremum (hoofdstuk 1 en 2): daar zit de gevaarlijkste doorsnede. Een puntlast doet

V

verspringen en geeft een knik in

M

Voor de vloerbalk van de klimaatmodule (vuren 45 × 145 mm, 2,40 m, 75 N/m eigengewicht) met het reservoir (65 kg op 0,64 m, midden op 1,00 m van A, zoals hoofdstuk 10 van I aanraadde) en iemand van 80 kg op 1,40 m die het bijvult, geeft dat de figuur. De reacties zijn $R_{A} = 789 N$ en $R_{B} = 813 N$ ; $V$ daalt lineair onder de verdeelde lasten, verspringt onder de persoon en gaat daar door nul. Het grootste moment, 776 N·m, ligt dus onder de voeten van de persoon.

Boven: de dwarskracht daalt onder het reservoir en verspringt onder de persoon. Onder: het moment is de oppervlakte eronder en piekt waar V door nul gaat.

De lasten op de vloerbalk: eigengewicht, reservoir en een persoon die het bijvult.

Uitleg · 12.7

Buigspanning en het traagheidsmoment van een doorsnede

7/20

Wat doet een moment in een balk? Het idee van Navier: vlakke doorsneden blijven vlak en draaien ten opzichte van elkaar. Buigt de balk tot een boog met kromtestraal $ρ$ , dan wordt een vezel op afstand $y$ van de neutrale lijn langer of korter met rek $ε = y / ρ$ (aan de ene kant trek, aan de andere druk). Met Hooke: $σ = E y / ρ$ , lineair over de hoogte (figuur).

Twee voorwaarden leggen alles vast. (1) Er is geen trekkracht in de balk: $\int σ d A = \frac{E}{ρ} \int y d A = 0$ : de neutrale lijn gaat door het zwaartepunt van de doorsnede. (2) De spanningen geven samen het moment: $M = \int σ y d A = \frac{E}{ρ} \int y^{2} d A$ . Die laatste integraal is het traagheidsmoment van de doorsnede $I$ (niet te verwarren met het massatraagheidsmoment van hoofdstuk 10, al lijkt de integraal op elkaar). Dus $M = E I / ρ$ , en samen:

buigspanning, weerstandsmoment en kromming

σ = \frac{M y}{I} σ_{max} = \frac{M}{W}, W = \frac{I}{e _{max}} \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I} I = \int y^{2} d A

e_{max}

is de afstand van de neutrale lijn tot de verste vezel.

E I

heet de buigstijfheid.

Een rechthoek $b \times h$ : $I = \int_{- h /2}^{h /2} y^{2} b d y = \frac{b h ^{3}}{12}$ . Het stijfheidsgetal $b h^{3}$ van hoofdstuk 13 van F was dus twaalf keer het traagheidsmoment. Materiaal ver van de neutrale lijn telt met het kwadraat van zijn afstand: daarom zijn I-profielen, kokers en buizen zo efficiënt.

doorsnede	$I$ om de horizontale as	$W = I / e$
rechthoek $b \times h$	$b h^{3} /12$	$b h^{2} /6$
volle cirkel, diameter $d$	$π d^{4} /64$	$π d^{3} /32$
buis $D \times t$ ( $d = D - 2 t$ )	$π (D^{4} - d^{4}) /64$	$2 I / D$
vierkante koker $B \times t$ ( $b = B - 2 t$ )	$(B^{4} - b^{4}) /12$	$2 I / B$
samengesteld (I, T, U)	$\sum (I_{eigen} + A d^{2})$ (Steiner)	$I / e_{max}$

Samengestelde doorsneden reken je met de verschuivingsstelling, net als in hoofdstuk 10: $I = \sum (I_{eigen} + A d^{2})$ , met $d$ de afstand van het zwaartepunt van elk deel tot de neutrale lijn van het geheel.

Vlakke doorsneden blijven vlak: de rek, en dus de spanning, verandert lineair van druk boven naar trek onder, met nul op de neutrale lijn door het zwaartepunt.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.8

Traagheidsmomenten: plank, koker, I-profiel en buis

8/20

Bereken het traagheidsmoment van (a) een plank van 100 × 20 mm, plat en op zijn kant; (b) de koker van het kasframe, 20 × 20 × 1,5 mm, en een volle vierkante staaf met dezelfde doorsnede; (c) een I-profiel IPE 100 (hoogte 100, flensbreedte 55, flens 5,7, lijf 4,1 mm); (d) de buis van de mast, 244,5 × 5,0 mm.

Gegeven

afmetingen hierboven

Gevraagd

$I$ in mm⁴ of cm⁴ ( $1 c m^{4} = 1 0^{4} m m^{4}$ )

Oplossing

1
(a) Plat: $100 \cdot 2 0^{3} /12 = 66667 m m^{4}$ ; op zijn kant: $20 \cdot 10 0^{3} /12 = 1666667 m m^{4}$ , 25 keer meer (de verhouding $(h_{2} / h_{1})^{2} = 5^{2}$ ). Zo legt een timmerman een balk.
2
(b) Koker: $(2 0^{4} - 1 7^{4}) /12 = 6373 m m^{4}$ met $A = 2 0^{2} - 1 7^{2} = 111 m m^{2}$ . Een volle staaf met dezelfde $A$ heeft zijde $111 = 10, 5 mm$ en $I = 10, 5^{4} /12 = 1027 m m^{4}$ : de koker is 6,2 keer zo stijf met evenveel aluminium.
3
(c) Twee flenzen en een lijf, met Steiner: flens $55 \cdot 5, 7^{3} /12 + 55 \cdot 5, 7 \cdot 47, 1 5^{2}$ , twee keer, plus het lijf $4, 1 \cdot 88, 6^{3} /12$ : $I = 163 c m^{4}$ . De flenzen leveren 85 %. De tabel van de fabrikant geeft 171 cm⁴: de afrondingen tussen flens en lijf voegen nog 5 % toe.
4
(d) $π (244, 5^{4} - 234, 5^{4}) /64 = 2699 c m^{4}$ , met $W = 2 I / D = 221 c m^{3}$ en $A = 3762 m m^{2}$ (29,5 kg per meter).

Antwoord

Plank: 66 667 en 1 666 667 mm⁴; koker 6373 mm⁴ (6,2 keer een volle staaf); IPE 100: 163 cm⁴ zonder afrondingen (171 in de tabel); buis: 2699 cm⁴.

Klopt dit? De IPE 100 weegt 7,8 kg/m (tabel: 8,1 kg/m, met de afrondingen). Een volle staalstaaf van 100 mm hoog met dezelfde massa zou maar 9,9 mm breed zijn en

I = 83 c m^{4}

hebben: de I-vorm wint een factor twee, en is bovendien niet zo slap zijdelings. Vorm telt meer dan materiaal (hoofdstuk 13 van F).

Uitleg · 12.9

Veiligheidsfactor en toelaatbare spanning

9/20

Een berekening is nooit exact. Lasten spreiden (een storm is sterker dan gemiddeld), materialen spreiden (een staaf ligt boven of onder de gemiddelde sterkte), modellen vereenvoudigen, en de uitvoering is niet perfect. Daarom eist men een marge tussen wat een onderdeel kan dragen en wat het moet dragen.

veiligheidsfactor en toelaatbare spanning

n = \frac{sterkte}{belasting} σ \leq σ_{toel} = \frac{σ _{grens}}{n}

σ_{grens}

is de vloeigrens voor een taai materiaal (blijvende vervorming is al falen), de breuksterkte voor een bros materiaal (met een grotere

n

, want er is geen waarschuwing).

Een voorbeeld uit laag 1: een proefsteun van de plantentafel bezweek bij 900 N; in gebruik draagt elke steun ±277 N (hoofdstuk 13 van F). De veiligheidsfactor is $900/277 = 3, 2$ .

Waarom dan geen $n = 10$ overal? Omdat materiaal geld, gewicht en energie kost. Een vliegtuig vliegt met factoren rond 1,5, dankzij nauwkeurige lasten, gecontroleerd materiaal en inspecties; een hijskabel krijgt 5 of meer, omdat hij slijt en mensen eronder staan. De factor weerspiegelt dus hoe goed je de spreiding kent en hoe erg falen is.

Zo werkt de Eurocode. In plaats van één factor gebruikt ze partiële factoren. Elke last krijgt een karakteristieke waarde (voor wind en sneeuw: eens in de 50 jaar) en een factor ( $γ_{G} = 1, 35$ op het eigen gewicht, $γ_{Q} = 1, 5$ op veranderlijke lasten). Elk materiaal krijgt als karakteristieke sterkte het 5 %-fractiel: de waarde waar 95 % van de proefstukken boven ligt (hoofdstuk 6), en een eigen factor $γ_{M}$ (staal 1,0 op de vloeigrens, hout 1,3, met een factor $k_{mod}$ die rekening houdt met de duur van de last). De eis is: rekenwaarde van de belasting $\leq$ rekenwaarde van de sterkte.

werkwijze	wat je vergelijkt	typische factor
toelaatbare spanning (klassiek)	$σ \leq σ_{toel} = σ_{grens} / n$	taai staal op de vloeigrens $n \approx 1, 5$ ; brosse materialen op de breuksterkte $n = 3$ à 5; hijskabels 5 en meer
partiële factoren (Eurocode)	$γ_{G} G_{k} + γ_{Q} Q_{k}$ tegenover $f_{k} / γ_{M}$	$γ_{G} = 1, 35$ (eigen gewicht), $γ_{Q} = 1, 5$ (wind, sneeuw, personen); staal $γ_{M0} = 1, 0$ ; hout $γ_{M} = 1, 3$ met $k_{mod}$
betrouwbaarheid	faalkans $P (R < S)$	gewone gebouwen: $β = 3, 8$ over 50 jaar, $P_{f} \approx 7 \cdot 1 0^{- 5}$

De figuur toont waarom: belasting en sterkte zijn allebei verdelingen. Falen gebeurt waar ze overlappen. Zijn beide normaal verdeeld, dan is de faalkans $P (R < S) = Φ (- β)$ met $β = (μ_{R} - μ_{S}) / σ_{R}^{2} + σ_{S}^{2}$ . In de figuur is $β = 3, 8$ en $P_{f} = 7, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ : de overlap is te klein om te zien. Wie de spreiding kleiner maakt (betere metingen, gecontroleerd materiaal), mag de gemiddelden dichter bij elkaar leggen bij dezelfde faalkans.

Belasting en sterkte als normale verdelingen. De karakteristieke belasting (125 kN) wordt in 95 % van de gevallen niet overschreden, de karakteristieke sterkte (162 kN) door 95 % van de stukken gehaald.

Uitleg · 12.10

Doorbuiging: de elastische lijn

10/20

Voor een licht gebogen balk met doorbuiging $w (x)$ is de kromming $1/ ρ \approx w^{''}$ . Met het vorige blad:

de elastische lijn

E I w^{''} (x) = M (x)

Twee keer integreren (hoofdstuk 3) geeft de hoek

w^{'}

en de doorbuiging

w

; de twee integratieconstanten volgen uit de opleggingen (een inklemming:

w = 0

w^{'} = 0

; een steunpunt:

w = 0

). Het teken hangt af van de afspraak: hier is

w

positief in de richting waarin het moment de balk buigt.

Afleiding voor de mast. Een ingeklemde staaf van lengte $L$ met een kracht $F$ aan de top, met $z$ de hoogte boven de inklemming: $M (z) = F (L - z)$ . Integreren met $w (0) = 0$ en $w^{'} (0) = 0$ :

E I w^{'} = F (L z - \frac{z ^{2}}{2}), E I w = F (\frac{L z ^{2}}{2} - \frac{z ^{3}}{6}), w (L) = \frac{F L ^{3}}{3 E I} .

Dat is de veerconstante $k = 3 E I / L^{3}$ die hoofdstuk 11 met een trekproef mat. Voor een gelijkmatige last $q$ is $M = q (L - z)^{2} /2$ en $w (L) = q L^{4} / (8 E I)$ . Omdat de vergelijking lineair is, mag je lastgevallen optellen (superpositie).

geval	grootste moment	grootste doorbuiging
ingeklemd, kracht $F$ aan het vrije uiteinde	$F L$ (aan de inklemming)	$\frac{F L ^{3}}{3 E I}$
ingeklemd, verdeelde last $q$	$q L^{2} /2$	$\frac{q L ^{4}}{8 E I}$
twee steunpunten, kracht $F$ in het midden	$F L /4$	$\frac{F L ^{3}}{48 E I}$
twee steunpunten, verdeelde last $q$	$q L^{2} /8$	$\frac{5 q L ^{4}}{384 E I}$
beide uiteinden ingeklemd, kracht $F$ in het midden	$F L /8$	$\frac{F L ^{3}}{192 E I}$

Let op de macht van $L$ : een twee keer zo lange balk buigt acht (puntlast) of zestien keer (verdeelde last) zoveel door. Ook de opleggingen tellen: een balk die aan beide uiteinden ingeklemd is, buigt vier keer minder door dan een balk op twee steunpunten.

Hout kruipt. Onder een blijvende last buigt hout na jaren verder door. Eurocode 5 vermenigvuldigt de doorbuiging door blijvende lasten met $1 + k_{def}$ , met $k_{def} = 0, 6$ voor hout binnen in een verwarmd gebouw. De gebruikelijke eis voor een vloer is een doorbuiging van hoogstens $L /300$ .

De doorbuiging van de vloerbalk, berekend op het volgende blad; de stippellijn houdt rekening met de kruip van het hout.

Code · 12.11

Een balk numeriek doorrekenen

11/20

Met formules lukt het voor één last. Voor een echte balk met een verdeelde last op een stuk, een eigengewicht en een persoon is een numerieke aanpak eenvoudiger en algemener: tel alles op met de trapeziumregel. Het programma berekent de reacties (momentenevenwicht), $V$ als integraal van de last, $M$ als integraal van $V$ , en de doorbuiging door $M / (E I)$ twee keer te integreren. De integratieconstanten zijn nul in A; een rechte die we aftrekken, zorgt dat ook $w (L) = 0$ in B.

Pythonbalk.py36 regelsDownload

# balk.py - reacties, dwarskracht, moment en doorbuiging van een balk op twee steunpunten (numeriek)import numpy as np L, E, b, h = 2.40, 11000e6, 0.045, 0.145           # vloerbalk (m), vuren C24 (Pa), doorsnede (m)I, W = b * h**3 / 12, b * h**2 / 6x = np.linspace(0, L, 2401)                         # 1 mm per stap  def integreer(y):    """Trapeziumregel van 0 tot elke x (hoofdstuk 3)."""    return np.concatenate([[0.0], np.cumsum((y[1:] + y[:-1]) / 2 * np.diff(x))])  def balk(q, puntlasten):    """q: verdeelde last (N/m) in elk punt; puntlasten: [(F, a)]. Geeft RA, RB, V, M, w."""    F_tot = integreer(q)[-1] + sum(F for F, a in puntlasten)    M_A = integreer(q * x)[-1] + sum(F * a for F, a in puntlasten)    RB = M_A / L                                    # momenten om A    RA = F_tot - RB    V = RA - integreer(q) - sum(F * (x >= a) for F, a in puntlasten)    M = integreer(V)                                # dM/dx = V    hoek = integreer(M / (E * I))                   # w'' = M/(EI): twee keer integreren    w = integreer(hoek)    w = w - w[-1] * x / L                           # een rechte optellen zodat w(L) = 0 (steunpunt B)    return RA, RB, V, M, -w                         # doorbuiging naar beneden positief  reservoir = np.where(abs(x - 1.00) <= 0.32, 65 * 9.81 / 0.64, 0.0)       # 65 kg over 0,64 meigen = np.full_like(x, 75.0)persoon = [(80 * 9.81, 1.40)] for naam, gG, gQ in (("gebruik (karakteristiek)", 1.0, 1.0), ("rekenwaarde 1,35 G + 1,5 Q", 1.35, 1.5)):    RA, RB, V, M, w = balk(gG * (eigen + reservoir), [(gQ * F, a) for F, a in persoon])    i = np.argmax(M)    print(f"{naam}: RA = {RA:6.1f} N, RB = {RB:6.1f} N, Mmax = {M[i]:6.1f} N m op {x[i]:.2f} m, "          f"sigma = {M[i] / W / 1e6:4.2f} MPa, doorbuiging {1000 * w.max():4.2f} mm")

Uitvoer:

gebruik (karakteristiek): RA =  789.1 N, RB =  813.4 N, Mmax =  775.8 N m op 1.40 m, sigma = 4.92 MPa, doorbuiging 3.34 mm
rekenwaarde 1,35 G + 1,5 Q: RA = 1114.3 N, RB = 1166.7 N, Mmax = 1116.0 N m op 1.40 m, sigma = 7.08 MPa, doorbuiging 4.77 mm

De reacties kloppen met hoofdstuk 10 van I (met het reservoir op 1,00 m en de persoon op 1,40 m). Het volgende voorbeeld beoordeelt de getallen. In opdracht 12.13 laat je de persoon over de balk wandelen en zoek je de ongunstigste plaats.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.12

Habitat: is de vloerbalk sterk en stijf genoeg?

12/20

Beoordeel de vloerbalk onder het reservoir (vuren C24, 45 × 145 mm, 2,40 m) volgens de Eurocode: sterkte met en zonder de persoon, en de doorbuiging, ook na jaren kruip. Hoofdstuk 10 van I rekende alleen de reacties; nu kijken we in de balk.

Gegeven

$W = b h^{2} /6 = 157, 7 c m^{3}$ , $I = b h^{3} /12 = 1143 c m^{4}$ , $E = 11 GPa$
C24: $f_{m,k} = 24 MPa$ , $γ_{M} = 1, 3$ ; $k_{mod} = 0, 6$ (permanent), 0,9 (kort: een persoon)
uitvoer van balk.py

Gevraagd

$σ_{Ed}$ tegenover $f_{m,d}$ ; doorbuiging tegenover $L /300$

Oplossing

1
Met de persoon (1,35 G + 1,5 Q): $M_{Ed} = 1116 N m$ , $σ = M / W = 7, 08 MPa$ ; toelaatbaar $f_{m,d} = 0, 9 \cdot 24/1, 3 = 16, 6 MPa$ . Benutting 43 %.
2
Alleen blijvende lasten (1,35 G, hout houdt minder lang): $M = 507 N m$ , $σ = 3, 22 MPa$ tegenover $0, 6 \cdot 24/1, 3 = 11, 1 MPa$ : 29 %.
3
Doorbuiging (karakteristieke lasten): 1,6 mm door eigengewicht en reservoir, 3,3 mm met de persoon erbij. Na jaren kruip: $1, 62 \cdot 1, 6 + 1, 72 = 4, 3 mm$ , tegenover $L /300 = 8, 0 mm$ .

Antwoord

De balk is ruim sterk genoeg (43 % van wat toegelaten is) en stijf genoeg (4,3 mm na jaren, de eis is 8 mm), zelfs als hij alles alleen draagt. Het reservoir mag op 1,00 m van A blijven, zoals hoofdstuk 10 van I aanraadde; de balkdragers bleven daar de beperkende factor.

Klopt dit? Met de formule

5 q L^{4} / (384 E I)

voor alleen het eigengewicht (75 N/m):

5 \cdot 75 \cdot 2, 4^{4} / (384 \cdot 11 \cdot 1 0^{9} \cdot 11, 432 \cdot 1 0^{- 6}) = 0, 26 mm

; het programma geeft voor dat deel hetzelfde. Voor een woonvloer let men ook op trillingen: een vloer met een eigenfrequentie onder ±8 Hz voelt verend aan als je erover loopt (hoofdstuk 11).

Proef · 12.13

Een lat doorbuigen: E en het traagheidsmoment

13/20

Onderzoeksvraag

Klopt $δ = F L^{3} / (48 E I)$ ? Hoeveel stijver is een lat op haar kant dan plat? En welke $E$ heeft het hout?

Materiaal

een rechte houten lat, ±12 × 45 mm en 1,3 m lang (meet b en h met een schuifmaat)
twee steunen op 1,20 m
een haakje in het midden en gewichten tot 5 kg
een meetklok of schuifmaat en een vaste lat om van af te lezen

De doorbuiging stijgt lineair met de kracht (elastisch); op haar kant is de lat veertien keer stijver.

Werkwijze

1Leg de lat plat op de steunen en lees de hoogte van het midden af zonder last.
2Hang 0,5; 1,0; 1,5 en 2,0 kg in het midden en lees telkens de doorbuiging af. Haal de gewichten weg en controleer of de lat terugkomt.
3Leg de lat op haar kant en herhaal met 1 tot 5 kg.
4Zet de doorbuiging uit tegen de kracht; bereken E uit de helling met I = bh³/12.

Waarneming

Een voorbeeldmeting (lat 12,0 × 45,0 mm, overspanning 1200 mm):

massa (kg)	0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
plat: doorbuiging (mm)	0,0	2,5	5,2	7,7	10,4	-
op zijn kant: doorbuiging (mm)	0,00	0,30	0,74	1,18	1,39	1,85

Hellingen: plat 0,530 mm/N, op zijn kant 0,0377 mm/N: een verhouding van 14,0.

Verklaring

Uit $δ / F = L^{3} / (48 E I)$ : $E = L^{3} / (48 \cdot helling \cdot I)$ . Plat ( $I = 45 \cdot 1 2^{3} /12 = 6480 m m^{4}$ ): $E = 10481 MPa$ ; op zijn kant ( $I = 12 \cdot 4 5^{3} /12 = 91125 m m^{4}$ ): $E = 10466 MPa$ . Beide ±10,5 GPa, iets onder de 11 GPa van C24 (een lat is geen gesorteerde balk).

De verhouding van de hellingen is $(45/12)^{2} = 14, 1$ : zelfde hout, zelfde oppervlakte, veertien keer stijver. De kleine afwijking komt van de meetfout op de kleine doorbuigingen op zijn kant. Wie $h$ een tiende millimeter verkeerd meet, maakt op $h^{3}$ een fout van 2,5 %: meet de dikte op meerdere plaatsen.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.14

Habitat: het kasframe onder sneeuw

14/20

Het platte dak van de meetkas (1,20 × 0,60 m) draagt sneeuw. In België is de karakteristieke sneeuwlast op de grond $s_{k} = 0, 5 kN/ m^{2}$ (tot 100 m hoogte); op een plat dak telt de Eurocode daarvan 80 %. De polycarbonaatplaten overspannen de 0,60 m tussen de voorste en achterste bovenregel, twee aluminium kokers van 20 × 20 × 1,5 mm en 1,20 m. Bereken de spanning en de doorbuiging van een bovenregel.

Gegeven

$s = 0, 8 \cdot 0, 5 = 0, 40 kN/ m^{2}$ ; elke regel draagt een strook van 0,30 m
koker: $I = 6373 m m^{4}$ , $W = I /10 = 637 m m^{3}$ , $E = 70 GPa$ ; 6063-T6

Gevraagd

$σ_{max}$ , $δ_{max}$

Oplossing

1
Last op de regel: $q = 0, 40 kN/ m^{2} \cdot 0, 30 m = 120 N/m = 0, 12 N/mm$ .
2
Twee steunpunten (de hoekstijlen): $M = q L^{2} /8 = 0, 12 \cdot 120 0^{2} /8 = 21600 N mm$ ; $σ = M / W = 33, 9 MPa$ . Met $γ_{Q} = 1, 5$ : 51 MPa, tegenover $R_{p0,2} \geq 170 MPa$ : in orde.
3
$δ = \frac{5 q L ^{4}}{384 E I} = \frac{5 \cdot 0 , 12 \cdot 120 0 ^{4}}{384 \cdot 70 000 \cdot 6373} = 7, 3 mm$ , of $L /165$ .

Antwoord

De regel is sterk genoeg (34 MPa), maar buigt 7,3 mm door onder een volle sneeuwlast. Dat is zichtbaar, maar onschadelijk voor een kas; wie dat niet wil, zet een lichte middenstijl of legt een dwarsregel in het midden van het dak (de doorbuiging daalt dan met minstens een factor 16).

Klopt dit? Het is typisch voor aluminium: sterk genoeg, maar drie keer zo soepel als staal. Een stalen koker van dezelfde maat zou 2,4 mm doorbuigen. De sneeuwlast heeft een terugkeerperiode van 50 jaar; een gewone winter geeft veel minder.

Uitleg · 12.15

Knik: de formule van Euler

15/20

Een rechte staaf op druk is in evenwicht. Maar is dat evenwicht stabiel? Stel dat ze een beetje uitbuigt, met $w (x)$ . De drukkracht $F$ werkt dan met een arm $w$ : het moment $M = F w$ buigt de staaf verder. Met de elastische lijn, voor een staaf die aan beide uiteinden scharniert:

E I w^{''} = - F w ⟹ w^{''} + k^{2} w = 0, k^{2} = \frac{F}{E I} .

Dat is de vergelijking van de harmonische trilling uit hoofdstuk 11, met de plaats $x$ in de rol van de tijd. De oplossing is $w = A sin k x + B cos k x$ . Uit $w (0) = 0$ volgt $B = 0$ ; uit $w (L) = 0$ volgt $A sin k L = 0$ . Is $A = 0$ , dan is de staaf recht. Een uitgebogen evenwicht ( $A \neq = 0$ ) kan alleen als $k L = π, 2 π, 3 π, \dots$ De kleinste kracht waarbij dat kan, is de kniklast:

kniklast van Euler, kritische spanning en slankheid

F_{k} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}} σ_{k} = \frac{π ^{2} E}{λ ^{2}} λ = \frac{L _{k}}{i}, i = \frac{I}{A}

L_{k}

is de kniklengte (tabel),

I

het kleinste traagheidsmoment van de doorsnede (een staaf knikt in haar slapste richting),

i

de traagheidsstraal. De kniklast hangt af van de stijfheid

E

, niet van de sterkte.

opleggingen	kniklengte $L_{k}$	voorbeeld
onderaan ingeklemd, bovenaan vrij	$2 L$	vrijstaande mast, vlaggenstok
beide uiteinden scharnierend, zijdelings vastgehouden	$L$	staaf in een vakwerk, getuide mast
ingeklemd en scharnierend	$0, 7 L$	kolom op een fundering met een scharnierende ligger erop
beide uiteinden ingeklemd	$0, 5 L$	staander tussen twee stijve vloeren

Waar Euler ophoudt. Voor een korte, dikke staaf zou $σ_{k}$ boven de vloeigrens liggen: dan vloeit ze voor ze knikt. De grens ligt waar $π^{2} E / λ^{2} = f_{y}$ , bij $λ_{1} = π E / f_{y} = 93, 9$ voor S235. De relatieve slankheid is $\overset{ˉ}{λ} = λ / λ_{1}$ . Echte staven zijn nooit perfect recht en hebben restspanningen van het walsen of lassen; daardoor knikken ze al vroeger, vooral rond $\overset{ˉ}{λ} \approx 1$ . De Eurocode gebruikt daarom knikkrommen (figuur): het draagvermogen is $χ A f_{y}$ , met $χ$ uit $Φ = \frac{1}{2} [1 + α (\overset{ˉ}{λ} - 0, 2) + \overset{ˉ}{λ}^{2}]$ en $χ = 1/ (Φ + Φ^{2} - \overset{ˉ}{λ}^{2})$ ; $α$ is groter voor profielen met meer onvolkomenheden.

Knik is een sterkteprobleem

Knik is een stijfheidsprobleem. Een slanke staaf uit S355 knikt bij precies dezelfde kracht als een uit S235: $E$ is gelijk. Aluminium ( $E$ drie keer kleiner) knikt drie keer vroeger dan even dik staal. Wat helpt: een grotere $I$ (buis in plaats van staaf), een kortere kniklengte (een steun halverwege halveert $L_{k}$ en verviervoudigt $F_{k}$ ) of een stijver materiaal.

Voor slanke staven (λ̄ groot) geldt Euler; voor dikke begrenst de vloeigrens het draagvermogen. Daartussen liggen de knikkrommen lager dan beide, door onvolkomenheden.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.16

Habitat: knikt de weermast?

16/20

De weermast van het station (hoofdstuk 5) is 6,0 m hoog en wordt bovenaan door drie tuidraden met elk 400 N voorspanning naar ankers op 3,0 m getrokken. Hoofdstuk 5 vond dat de tuien de mast samen met 1073 N naar beneden duwen. Welke buis kies je: een aluminium buis Ø 50 × 2 mm of een stalen steigerbuis Ø 48,3 × 3,2 mm?

De weermast: een gewone steigerbuis, getuid met drie draden. Hij draagt bijna niets, maar moet niet knikken.

Gegeven

mast onderaan scharnierend, bovenaan zijdelings vastgehouden door de tuien: $L_{k} = L = 6, 0 m$
drukkracht: 1073 N (tuien) + eigengewicht + ±30 N instrumenten

Gevraagd

$F_{k}$ voor beide buizen; veiligheid; controle met de knikkromme

Oplossing

1
Staal 48,3 × 3,2: $I = π (48, 3^{4} - 41, 9^{4}) /64 = 115857 m m^{4}$ , $A = 453 m m^{2}$ (3,56 kg/m, 21 kg in totaal). $F_{k} = π^{2} \cdot 210000 \cdot 115 857/600 0^{2} = 6670 N$ .
2
Drukkracht onderaan: $1073 + 209 + 30 = 1313 N$ . Veiligheid tegen Euler: $6670/1313 = 5, 1$ .
3
Aluminium Ø 50 × 2: $I = 87010 m m^{4}$ , maar $E = 70 GPa$ : $F_{k} = 1670 N$ , veiligheid 1,27. Een windstoot die de tuien aan de windzijde strakker trekt, of een iets kromme buis, en de mast knikt.
4
Eurocode voor de stalen buis: $i = I / A = 16, 0 mm$ , $λ = 6000/16, 0 = 375$ , $\overset{ˉ}{λ} = 4, 00$ (zeer slank). Een steigerbuis is koudgevormd en gelast: knikkromme c, $χ = 0, 056$ , draagvermogen $χ A f_{y} = 5938 N$ tegenover $1, 35 \cdot 1313 = 1772 N$ : in orde.

Antwoord

De stalen steigerbuis: 5,1 keer veilig tegen knik. De aluminium buis zou maar 1,27 keer veilig zijn: afgewezen. De weermast wordt een steigerbuis 48,3 × 3,2 mm (S235), gegalvaniseerd.

Klopt dit? De spanning in de buis is maar

1313/453 = 2, 9 MPa

: sterkte speelt geen rol, alleen stijfheid. Een extra stel tuien halverwege zou de kniklengte halveren en

F_{k}

verviervoudigen. En de voorspanning van de tuien is niet gratis: elke newton trek in de tuien duwt de mast verder in elkaar. Meer spanning dan nodig is om de tuien strak te houden, is dus ongunstig.

Code · 12.17

Habitat: de buis voor de windturbinemast kiezen

17/20

De mast van de windturbine (hoofdstuk 11) is een ingeklemde stalen buis van 12,0 m. De lasten (karakteristiek):

op de mastkop 1,5 kN horizontaal. Dat is de stuwkracht van de rotor in bedrijf, $C_{T} \frac{1}{2} ρ A v^{2}$ met $C_{T} = 8/9$ (de optimale waarde van Betz) bij 15 m/s: 1539 N, net voor de rotor uit de wind draait. In een storm staat de rotor stil en uit de wind; dan duwt de wind op rotor, gondel en staart samen ongeveer evenveel ( $1, 0 kPa \times 1, 5 m^{2}$ );
wind op de mast zelf: $w = q_{p} c_{f} D$ , met piekstuwdruk $q_{p} = 1, 0 kPa$ (een orde van grootte voor 12 m hoogte in open terrein in België, waar de basiswindsnelheid volgens de plaats 23 tot 26 m/s is; de nationale bijlage van de Eurocode geeft de echte waarde) en vormfactor $c_{f} = 0, 7$ voor een ronde buis.

Het programma probeert gangbare buismaten en houdt drie eisen aan: sterkte met $γ_{Q} = 1, 5$ op de wind, geen plaatselijk plooien ( $D / t \leq 50$ : een dunnere wand deukt in voor het staal vloeit) en de trillingseis uit hoofdstuk 11 (eerste eigenfrequentie minstens 10 % onder 1P bij 80 tpm).

Een ontwerpberekening, geen vergunning

Dit is een leerrijke voorstudie met afgeronde lasten. Een echte mast wordt berekend met de Eurocode en de norm voor kleine windturbines (IEC 61400-2), door een ingenieur die tekent, en gecontroleerd op vermoeiing en op de fundering.

Pythonmast.py31 regelsDownload

# mast.py - de lichtste stalen buis voor de mast van de windturbineimport math L, E, rho, fy = 12.0, 210e9, 7850.0, 235e6          # mast (m), staal S235 (Pa, kg/m3, Pa)F_kop, q_p, c_f = 1500.0, 1000.0, 0.7               # kracht op de mastkop (N), piekstuwdruk (Pa), vormfactor buism_top, gamma = 150.0, 1.5                            # gondel + rotor (kg), belastingsfactor (wind)f_1P_min = 80 / 60                                   # 1P bij het laagste toerental in bedrijf (Hz)buizen = [(D, t) for D in (193.7, 219.1, 244.5, 273.0) for t in (4.0, 5.0, 6.3, 8.0)]   # mm  def controle(D_mm, t_mm):    D, t = D_mm / 1000, t_mm / 1000    I = math.pi / 64 * (D**4 - (D - 2 * t)**4)    A = math.pi / 4 * (D**2 - (D - 2 * t)**2)    M = F_kop * L + q_p * c_f * D * L**2 / 2        # buigmoment aan de voet (N m)    sigma = gamma * M / (I / (D / 2))               # rekenwaarde van de buigspanning (Pa)    massa = rho * A * L    f1 = math.sqrt(3 * E * I / L**3 / (m_top + 33 / 140 * massa)) / (2 * math.pi)    eisen = {"sterkte": sigma <= fy, "plooien": D / t <= 50, "trilling": f1 <= f_1P_min / 1.1}    return massa, sigma, f1, [naam for naam, ok in eisen.items() if not ok]  goed = []for D, t in buizen:    massa, sigma, f1, fout = controle(D, t)    if not fout:        goed.append((massa, D, t))    oordeel = "in orde" if not fout else "faalt: " + ", ".join(fout)    print(f"{D:5.1f} x {t:3.1f} mm: {massa:4.0f} kg, sigma {sigma / 1e6:4.0f} MPa, f1 {f1:4.2f} Hz  {oordeel}")massa, D, t = min(goed)print(f"lichtste buis die aan alle eisen voldoet: {D} x {t} mm ({massa:.0f} kg)")

De rekenwaarde van de buigspanning neemt van boven naar onder toe, sneller dan lineair door de wind op de mast.

Uitvoer:

193.7 x 4.0 mm:  225 kg, sigma  376 MPa, f1 0.70 Hz  faalt: sterkte
193.7 x 5.0 mm:  279 kg, sigma  305 MPa, f1 0.75 Hz  faalt: sterkte
193.7 x 6.3 mm:  349 kg, sigma  247 MPa, f1 0.80 Hz  faalt: sterkte
193.7 x 8.0 mm:  440 kg, sigma  200 MPa, f1 0.86 Hz  in orde
219.1 x 4.0 mm:  255 kg, sigma  305 MPa, f1 0.83 Hz  faalt: sterkte, plooien
219.1 x 5.0 mm:  317 kg, sigma  248 MPa, f1 0.89 Hz  faalt: sterkte
219.1 x 6.3 mm:  397 kg, sigma  200 MPa, f1 0.95 Hz  in orde
219.1 x 8.0 mm:  500 kg, sigma  161 MPa, f1 1.01 Hz  in orde
244.5 x 4.0 mm:  285 kg, sigma  254 MPa, f1 0.96 Hz  faalt: sterkte, plooien
244.5 x 5.0 mm:  354 kg, sigma  206 MPa, f1 1.03 Hz  in orde
244.5 x 6.3 mm:  444 kg, sigma  166 MPa, f1 1.10 Hz  in orde
244.5 x 8.0 mm:  560 kg, sigma  134 MPa, f1 1.17 Hz  in orde
273.0 x 4.0 mm:  318 kg, sigma  213 MPa, f1 1.12 Hz  faalt: plooien
273.0 x 5.0 mm:  397 kg, sigma  172 MPa, f1 1.20 Hz  faalt: plooien
273.0 x 6.3 mm:  497 kg, sigma  138 MPa, f1 1.27 Hz  faalt: trilling
273.0 x 8.0 mm:  627 kg, sigma  111 MPa, f1 1.35 Hz  faalt: trilling
lichtste buis die aan alle eisen voldoet: 244.5 x 5.0 mm (354 kg)

Dunne, brede buizen zijn het lichtst, maar plooien; smalle buizen met een dunne wand falen op sterkte; de buizen van 273 mm met een dikke wand zijn zo stijf dat ze in de 1P-band van de rotor komen. De buis van 244,5 × 5,0 mm is de lichtste die overblijft. De figuur toont de spanning langs de mast: onderaan het hoogst, bovenaan bijna nul. Een tapse mast (onder breed, boven smal) gebruikt het staal beter (opdracht 12.16).

Uitgewerkt voorbeeld · 12.18

Habitat: de mast van de windturbine, nagerekend

18/20

Controleer de gekozen buis 244,5 × 5,0 mm (S235) met de hand: momentenlijn, spanning, veiligheid, doorbuiging van de kop, knik door het eigen gewicht, plooien en eigenfrequentie. Welke controles horen er nog bij?

De kopkracht geeft een moment dat lineair toeneemt naar de voet; de wind op de mast voegt een parabool toe. Samen 30,3 kN·m aan de voet.

Gegeven

$L = 12, 0 m$ , $F = 1, 5 kN$ op de kop, $w = 1000 \cdot 0, 7 \cdot 0, 2445 = 171 N/m$
$I = 2699 c m^{4}$ , $W = 220, 7 c m^{3}$ , $A = 3762 m m^{2}$ , $E I = 5, 67 MN m^{2}$ ; gondel 150 kg, mast 354 kg

Gevraagd

alle controles in een tabel

Oplossing

1
Momentenlijn: $M (z) = F (L - z) + w (L - z)^{2} /2$ , aan de voet $1500 \cdot 12 + 171 \cdot 144/2 = 30323 N m$ (figuur). De dwarskracht aan de voet is $3554 N$ ; de schuifspanning die ze geeft (±2,8 MPa) is verwaarloosbaar.

Alle controles:

controle	berekening	eis	oordeel
sterkte aan de voet	$σ_{Ed} = 1, 5 \cdot 30, 3 kN m /221 c m^{3} = 206 MPa$ (+ 1,8 MPa druk van het gewicht)	$\leq 235 MPa$	0,88 van het toelaatbare
veiligheid (klassiek)	$n = 235/137 = 1, 71$ op de vloeigrens	$\geq 1, 5$	in orde
doorbuiging kop	$\frac{F L ^{3}}{3 E I} + \frac{w L ^{4}}{8 E I} = 231 mm$ , kanteling 1,6°	geen norm; rotor blijft vrij van de mast	aanvaardbaar (L/52)
knik door eigengewicht	veiligheid ±38 (Euler + Greenhill)	$≫ 1$	geen probleem
plaatselijk plooien	$D / t = 48, 9$	$\leq 50$	in orde
eigenfrequentie (hoofdstuk 11)	$f_{1} = 1, 03 Hz$	$\leq 1, 21 Hz$	in orde

3
Knik door het eigen gewicht. Een vrijstaande mast heeft $L_{k} = 2 L$ : voor de gondel alleen $π^{2} E I / (4 L^{2}) = 97, 1 kN$ . Voor het eigen gewicht van een staaf gaf Greenhill (1881) $(q L)_{k} = 7, 84 E I / L^{2} = 308 kN$ . Samen (regel van Dunkerley: de verhoudingen optellen) is de veiligheid $1/ (0, 0152 + 0, 0113) = 38$ . Knik speelt geen rol; het gewicht vergroot het moment door de uitwijking (het P-deltaeffect) met maar $1/ (1 - 1/38) = 1, 027$ .
4
Wat nog ontbreekt. (1) Vermoeiing: 1P en 3P geven de voet in twintig jaar honderden miljoenen kleine spanningswisselingen; lassen en boutgaten verdragen daarvan veel minder dan de vloeigrens (hoofdstuk 46). (2) De flens, de ankerbouten en de fundering (opdracht 12.12). (3) De dynamische vergroting door windstoten op een zachte mast; de Eurocode heeft daar een factor voor.

Antwoord

De buis 244,5 × 5,0 mm voldoet: rekenwaarde 206 MPa tegenover 235 MPa, de kop wijkt 231 mm uit in de ontwerpstorm, knik en plooien zijn geen probleem en de eigenfrequentie (1,03 Hz) blijft onder 1P. De mast weegt 354 kg zonder flens.

Klopt dit? De productfiche van een vergelijkbare kleine turbine (2,5 kW, rotor Ø 3,5 m) vermeldt een vrijstaande, tapse mast van 11 m die 445 kg weegt: dezelfde orde van grootte. Merk op hoe de eisen elkaar raken: sterkte vraagt een grote

W

, plooien een niet te dunne wand, en de trilling verbiedt een te stijve mast. Ontwerpen is het smalle venster vinden waar alle eisen tegelijk kloppen.

De voet van de mast: flens, ankerbouten en fundering. Hier is het buigmoment het grootst.

Naslag · 12.19

Sterkteleer: formules en werkwijze

19/20

Werkwijze: (1) lasten en hun karakteristieke waarden; (2) vrijlichaamsdiagram en reacties; (3) inwendige krachten: $N$ , $V$ , $M$ langs het onderdeel; (4) de doorsnede: $A$ , $I$ , $W$ , $i$ ; (5) controles: sterkte ( $σ \leq σ_{toel}$ , of rekenwaarden), stijfheid (doorbuiging), stabiliteit (knik, plooien), trilling; (6) wat het model niet zegt: verbindingen, vermoeiing, uitvoering.

trek en druk

σ = \frac{F}{A}, ε = \frac{Δ L}{L}, σ = E ε, Δ L = \frac{F L}{E A}

symbool	betekenis	eenheid
$σ$	normaalspanning	MPa
$ε$	rek	-
$E$	elasticiteitsmodulus	GPa

schuifspanning (bout)

τ = \frac{F}{A}

symbool	betekenis	eenheid
$τ$	schuifspanning	MPa

ringspanning in een dunwandige cilinder

σ = \frac{p r}{t}

symbool	betekenis	eenheid
$p$	overdruk	Pa
$r$	straal	m
$t$	wanddikte	m

veiligheid

σ \leq \frac{σ _{grens}}{n}, γ_{G} G_{k} + γ_{Q} Q_{k} \leq \frac{f _{k}}{γ _{M}}

moment en dwarskracht

\frac{d M}{d x} = V, \frac{d V}{d x} = - q

symbool	betekenis	eenheid
$M$	buigmoment	N·m
$V$	dwarskracht	N

buiging

σ = \frac{M y}{I}, σ_{max} = \frac{M}{W}, I = \int y^{2} d A, I = \sum (I_{eigen} + A d^{2})

symbool	betekenis	eenheid
$I$	traagheidsmoment van de doorsnede	mm⁴
$W$	weerstandsmoment	mm³

doorbuiging

E I w^{''} = M, \frac{F L ^{3}}{3 E I}, \frac{q L ^{4}}{8 E I}, \frac{F L ^{3}}{48 E I}, \frac{5 q L ^{4}}{384 E I}

knik (Euler, Greenhill)

F_{k} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}}, λ = \frac{L _{k}}{i}, λ_{1} = π E / f_{y}, (q L)_{k} = 7, 84 \frac{E I}{L ^{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$L_{k}$	kniklengte	m
$i$	traagheidsstraal $I / A$	mm

doorsnede	$I$ om de horizontale as	$W = I / e$
rechthoek $b \times h$	$b h^{3} /12$	$b h^{2} /6$
volle cirkel, diameter $d$	$π d^{4} /64$	$π d^{3} /32$
buis $D \times t$ ( $d = D - 2 t$ )	$π (D^{4} - d^{4}) /64$	$2 I / D$
vierkante koker $B \times t$ ( $b = B - 2 t$ )	$(B^{4} - b^{4}) /12$	$2 I / B$
samengesteld (I, T, U)	$\sum (I_{eigen} + A d^{2})$ (Steiner)	$I / e_{max}$

geval	grootste moment	grootste doorbuiging
ingeklemd, kracht $F$ aan het vrije uiteinde	$F L$ (aan de inklemming)	$\frac{F L ^{3}}{3 E I}$
ingeklemd, verdeelde last $q$	$q L^{2} /2$	$\frac{q L ^{4}}{8 E I}$
twee steunpunten, kracht $F$ in het midden	$F L /4$	$\frac{F L ^{3}}{48 E I}$
twee steunpunten, verdeelde last $q$	$q L^{2} /8$	$\frac{5 q L ^{4}}{384 E I}$
beide uiteinden ingeklemd, kracht $F$ in het midden	$F L /8$	$\frac{F L ^{3}}{192 E I}$

opleggingen	kniklengte $L_{k}$	voorbeeld
onderaan ingeklemd, bovenaan vrij	$2 L$	vrijstaande mast, vlaggenstok
beide uiteinden scharnierend, zijdelings vastgehouden	$L$	staaf in een vakwerk, getuide mast
ingeklemd en scharnierend	$0, 7 L$	kolom op een fundering met een scharnierende ligger erop
beide uiteinden ingeklemd	$0, 5 L$	staander tussen twee stijve vloeren

Het geheel · 12.20

Waar sterkteleer vandaan komt en waar ze heen gaat

20/20

Sterkteleer verbindt krachten (K) met materialen (M) en ontwerpen (D). Evenwicht vertelt welke krachten er werken; sterkteleer vertelt wat ze met het materiaal doen, en welke vorm en doorsnede nodig zijn. De wiskunde is die van de eerste hoofdstukken: integralen voor $I$ en voor de elastische lijn, een differentiaalvergelijking voor knik, en statistiek voor de veiligheid.

F10 Materialen en hun eigenschappen

Sterkte, stijfheid en taaiheid als begrip; nu in getallen.

F13 Constructies: sterk en stabiel

Trek, druk, buiging en knik; het stijfheidsgetal bh³ wordt bh³/12; de Quebecbrug.

I10 Moment en evenwicht

Reacties van de vloerbalk; nu het moment, de spanning en de doorbuiging erin.

I17 Polymeren en composieten

PETG en ASA voor geprinte onderdelen; de mengregel voor E.

E3 Integralen: ophopen

I = ∫y²dA, M = ∫V dx en de elastische lijn door twee keer te integreren.

E5 Vectoren en matrices

De staafkrachten van de paneelsteun en de tuien van de weermast.

E6 Statistiek en meetonzekerheid

Het 5 %-fractiel en de normale verdeling achter de veiligheid.

E9 Impuls en botsingen

Een kreukelzone neemt energie op door te vloeien: de oppervlakte onder het diagram.

E10 Rotatie

Steiner, en de spanning σ = ρv² in een draaiende ring.

E11 Trillingen en resonantie

k = 3EI/L³ van de mast; knik en trilling volgen dezelfde vergelijking.

E13 Vakwerken en constructieanalyse

De staafkrachten van het dakvakwerk, en welke doorsneden ze vragen (trek, druk, knik).

E28 Materiaalkunde

Waarom staal vloeit en verstevigt; materiaal kiezen met Ashby-diagrammen.

E46 Betrouwbaarheid en risico

Faalkans, vermoeiing en faalwijzen van onderdelen.

HabitatHabitat heeft nu gecontroleerde dragende delen: de vloerbalk onder het reservoir is sterk en stijf genoeg (4,3 mm na jaren, eis 8 mm); het kasframe draagt een volle sneeuwlast met 7,3 mm doorbuiging; de paneelsteun (kokers 30 × 30 × 2 mm) heeft ruime marges; de weermast wordt een stalen steigerbuis 48,3 × 3,2 mm (aluminium zou knikken). De mast van de windturbine is een stalen buis 244,5 × 5,0 mm (S235, 12,0 m, 354 kg) op een fundering van 2,5 × 2,5 × 1,0 m met 8 ankerbouten M20. Hoofdstuk 13 rekent het dakvakwerk van de woonmodule.

Samenvatting

In het kort

Spanning $σ = F / A$ en rek $ε = Δ L / L$ ; elastisch geldt $σ = E ε$ ( $E$ : staal 210, aluminium 70, hout ±11 GPa).
Het spanning-rekdiagram toont het elastische gebied, de vloeigrens (of $R_{p0,2}$ ), versteviging, treksterkte, insnoering en breuk; taaie materialen waarschuwen, brosse niet.
Een veiligheidsfactor vangt spreiding op: $σ \leq σ_{grens} / n$ , of in de Eurocode factoren op de lasten (1,35 en 1,5) en op het materiaal.
In een balk is $d M / d x = V$ ; de buigspanning is $M y / I$ , de grootste $M / W$ . Materiaal ver van de neutrale lijn telt kwadratisch: I-profielen, kokers, buizen.
De doorbuiging volgt uit $E I w^{''} = M$ ; standaardgevallen $F L^{3} / (3 E I)$ , $5 q L^{4} / (384 E I)$ ...; numeriek door twee keer te integreren. Hout kruipt.
Een drukstaaf knikt bij $F_{k} = π^{2} E I / L_{k}^{2}$ : een stijfheidsprobleem, geen sterkteprobleem; de Eurocode gebruikt knikkrommen.
Habitat: de windturbinemast is een stalen buis 244,5 × 5,0 mm; ontwerpen is het venster zoeken waar sterkte, plooien, knik en trilling samen kloppen.

Begrippen

Wat je nu kent

normaalspanning: $σ = F / A$ (Pa of N/mm² = MPa): kracht loodrecht op een doorsnede, gedeeld door die doorsnede.
rek: $ε = Δ L / L$ : de relatieve verlenging, zonder eenheid (vaak in % of in $1 0^{- 6}$ ).
elasticiteitsmodulus: $E = σ / ε$ in het elastische gebied: hoe stijf een materiaal is (staal 210 GPa, aluminium 70 GPa).
vloeigrens: De spanning waarbij een metaal blijvend begint te vervormen; zonder duidelijke grens neemt men $R_{p0,2}$ : de spanning met 0,2 % blijvende rek.
treksterkte: $R_{m}$ : de grootste spanning in een trekproef, betrokken op de oorspronkelijke doorsnede.
veiligheidsfactor: De verhouding tussen wat een onderdeel kan dragen en wat het moet dragen; ze vangt de spreiding van lasten, materiaal en model op.
buigmoment: Het moment $M (x)$ dat de ene kant van een balk op de andere uitoefent; $d M / d x = V$ (de dwarskracht).
traagheidsmoment van een doorsnede: $I = \int y^{2} d A$ (m⁴ of mm⁴): hoe ver het materiaal van de neutrale lijn ligt; rechthoek $b h^{3} /12$ .
weerstandsmoment: $W = I / e_{max}$ : de grootste buigspanning is $M / W$ .
knik: Het plots zijdelings uitwijken van een slanke drukstaaf; kniklast van Euler $F_{k} = π^{2} E I / L_{k}^{2}$ .
slankheid: $λ = L_{k} / i$ met $i = I / A$ : hoe slanker, hoe minder een drukstaaf draagt.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen