EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Handboek · hoofdstuk 8Beweging in twee dimensies

Van een druppel uit de sproeier tot een drone in de wind: beweging als vector

Een druppel uit een sproeier, een pakket uit een drone, een robot in een bocht: ze bewegen niet langs een rechte lijn. Toch volstaat wat je al kent, als je plaats, snelheid en versnelling als vectoren schrijft en per component afleidt. Je leert de horizontale en de schuine worp exact, ziet waarom de lucht die mooie parabolen verknoeit en simuleert dan de echte baan in Python. Met relatieve beweging stuur je een drone door de wind, en de cirkelbeweging toont welke kracht iets in een bocht houdt. Habitat krijgt een sproeier voor de moestuin, met een bereik dat klopt.

8× uitleg6× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code18 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren

Elke druppel volgt zijn eigen baan: de grote vliegen het verst, de kleine remt de lucht af.

Na dit hoofdstuk

Je kan plaats, snelheid en versnelling als vectoren schrijven, v en a per component afleiden uit r(t), en de versnelling ontbinden in een tangentiële en een normale component (met de kromtestraal).
Je kan de horizontale en de schuine worp zonder luchtweerstand oplossen: baan, top, vliegtijd, bereik, landingssnelheid, en de twee hoeken die hetzelfde doel raken.
Je kan verklaren waarom luchtweerstand de twee componenten koppelt, een baan met kwadratische weerstand simuleren met Heun, en de eindsnelheid en de lengteschaal v²/g gebruiken om een resultaat te beoordelen.
Je kan uit een druk de uitstroomsnelheid en het debiet van een sproeier schatten en met een simulatie het bereik, de beste hoek en het effect van wind bepalen.
Je kan snelheden optellen en aftrekken bij relatieve beweging (snelheid tegenover de grond = snelheid tegenover de lucht + wind), onder meer om een drone of boot tegen wind of stroming in te sturen.
Je kan de eenparige cirkelbeweging beschrijven met ω, T en f, de middelpuntzoekende versnelling v²/R afleiden en de kracht aanwijzen die ze levert.

Verhaal · 8.1

Galilei en de parabool

1/20

Een kanonskogel vliegt eerst rechtdoor, tot zijn 'impetus' op is, en valt dan loodrecht naar beneden. Zo tekenden geleerden in de late middeleeuwen de baan van een projectiel. De Italiaanse wiskundige Niccolò Tartaglia vertrok in zijn Nova scientia (1537) nog van dat beeld, met een gebogen overgang tussen het rechte en het vallende stuk. Hij schreef wel al dat een kanon het verst draagt onder 45°.

Galileo Galilei (1564-1642) pakte het anders aan: hij liet kogels over hellende gootjes rollen, mat, en zocht een wiskundige wet. Op een werkblad uit de jaren rond 1608 laat hij een kogel van een helling rollen, over de rand van een tafel schieten en op de vloer neerkomen, voor verschillende starthoogtes. De afstanden passen bij een horizontale beweging die eenparig blijft en een val die eenparig versnelt. (De historicus Stillman Drake toonde in de jaren 1970 wat dit blad tussen Galilei's nagelaten papieren betekende.)

In zijn Dialogo (1632) verdedigde Galilei zo'n onafhankelijkheid met een schip: een steen die van de top van de mast valt, komt aan de voet van de mast terecht, of het schip nu stilligt of eenparig vaart. Wie benedendeks in een afgesloten kajuit zit, kan met geen enkele proef uitmaken of het schip vaart: vliegen, vissen in een kom, druppels die in een fles vallen, alles gebeurt zoals aan wal. Na zijn veroordeling in 1633 mocht Galilei in Italië niets meer publiceren. Zijn laatste boek, de Discorsi, verscheen in 1638 in Leiden, bij Elzevier. Op de vierde dag bewijst hij dat een horizontaal geworpen lichaam een halve parabool beschrijft, rekent hij tabellen voor schuine worpen uit, en toont hij dat 45° het verst draagt en dat hoeken die evenveel boven en onder 45° liggen, even ver dragen.

Galilei wist dat de lucht zijn parabool verstoort, en meer naarmate een voorwerp lichter en sneller is. Hij liet haar bewust weg om de wet te zien. In dit hoofdstuk doe je beide: eerst de parabool, dan de lucht erbij, met een computer die Galilei niet had.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het brein van het station moet weten waar dingen terechtkomen: hoe ver de sproeiers van de moestuin reiken, waar de drone een pakket moet loslaten, hoe snel het inspectierobotje een bocht mag nemen. Dat zijn bewegingen in twee dimensies, en meestal is de lucht niet te verwaarlozen. Met vectoren en een simulatie van twintig regels reken je ze uit.

Een kogel rolt van een helling over de tafelrand: Galilei mat waar hij neerkwam en vond de halve parabool.

Uitleg · 8.2

Wat je al weet: beweging, nu als vector

2/20

wat je al kan	wat nu komt
snelheid en versnelling langs een rechte lijn, (x,t)- en (v,t)-grafieken, vrije val (hoofdstuk 7 van I)	dezelfde grootheden als vectoren in het vlak, voor elke kromme baan
vectoren ontbinden in componenten en optellen (hoofdstuk 6 van I; hoofdstuk 5)	een beweging in twee componenten die elkaar niet storen; snelheden optellen bij relatieve beweging
de afgeleide als ogenblikkelijke verandering (hoofdstuk 1)	$v = d r / d t$ en $a = d v / d t$ , per component
$F = m a$ , wrijving (hoofdstuk 8 van I)	de middelpuntzoekende kracht: welke kracht houdt iets op een cirkel?
een stelsel met Euler en Heun simuleren; een vallend pakket met luchtweerstand (hoofdstuk 4)	een baan in twee dimensies simuleren: de sproeier en de drone

Kies een oorsprong en twee loodrechte assen. De plaats van een voorwerp is dan de plaatsvector $r (t) = (x (t); y (t))$ . Zijn afgeleide is de snelheidsvector, en die afgeleide opnieuw de versnellingsvector. Afleiden gebeurt per component (hoofdstuk 1 en 5):

plaats, snelheid en versnelling als vectoren

v = \frac{d r}{d t} = (\frac{d x}{d t}; \frac{d y}{d t}) a = \frac{d v}{d t} = (\frac{d v _{x}}{d t}; \frac{d v _{y}}{d t}) v = ∣ v ∣ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}

v

raakt altijd aan de baan (hij is de limiet van

Δ r /Δ t

, een koorde die een raaklijn wordt).

a

hoeft dat niet: zodra de baan buigt, wijst

a

naar de holle kant.

In de figuur vertrekt een drone vanop de grond met $r (t) = (0, 50 t^{2}; 2, 0 t)$ (in m, $t$ in s): hij stijgt met een constante 2,0 m/s en versnelt tegelijk horizontaal. Dan is $v = (t; 2, 0)$ en $a = (1, 0; 0)$ m/s². De versnelling is constant en horizontaal, maar de snelheid draait: de baan is een liggende parabool $x = y^{2} /8$ .

Twee soorten versnelling. Ontbind $a$ langs de snelheid en loodrecht erop. De component langs $v$ , de tangentiële versnelling $a_{t} = a \cdot \overset{v}{^}$ (hoofdstuk 5), verandert de grootte van de snelheid: $a_{t} = d v / d t$ . De component loodrecht erop, de normale versnelling $a_{n}$ , verandert alleen de richting. Hoe scherper de bocht, hoe groter $a_{n}$ bij dezelfde snelheid: $a_{n} = v^{2} / ρ$ , met $ρ$ de kromtestraal, de straal van de cirkel die de baan in dat punt het best volgt. Op een rechte is $ρ$ oneindig en $a_{n} = 0$ ; op een cirkel is $ρ = R$ (verderop in dit hoofdstuk).

De versnelling wijst in de richting van de beweging

Alleen op een rechte lijn. De drone vliegt schuin omhoog en versnelt horizontaal. Een druppel in de top van zijn baan beweegt horizontaal en versnelt naar beneden. Een voorwerp op een cirkel met constante snelheid versnelt naar het middelpunt, loodrecht op zijn beweging.

r wijst van de oorsprong naar de drone, v raakt aan de baan (0,8 m per m/s), a blijft horizontaal (1 m per m/s²): de baan buigt naar de kant van a.

Uitgewerkt voorbeeld · 8.3

De drone vertrekt: hoe scherp buigt zijn baan?

3/20

De drone van het vorige blad volgt $r (t) = (0, 50 t^{2}; 2, 0 t)$ (m, s). Bereken op $t = 2, 0$ s de snelheid (grootte en richting), de tangentiële en de normale versnelling, en de kromtestraal van de baan. Controleer de snelheid met de gemiddelde snelheid tussen $t = 1$ en $t = 3$ s.

Op t = 2 s: a ontbonden langs v (verandert de snelheid) en loodrecht erop (buigt de baan). De stippelcirkel volgt de baan in dat punt.

Gegeven

$r (t) = (0, 50 t^{2}; 2, 0 t)$
$t = 2, 0 s$

Gevraagd

$v$ , $v$ en de hoek met de horizontaal
$a_{t}$ , $a_{n}$ , $ρ$

Oplossing

1
Afleiden per component: $v = (t; 2, 0)$ , dus $v (2) = (2, 0; 2, 0)$ m/s, $v = 8 = 2, 83 m/s$ onder 45° met de horizontaal. Eenheidsvector $\overset{v}{^} = (0, 707; 0, 707)$ .
2
Opnieuw afleiden: $a = (1, 0; 0)$ m/s², voor elke $t$ .
3
Tangentieel: $a_{t} = a \cdot \overset{v}{^} = 1, 0 \cdot 0, 707 = 0, 707 m/ s^{2}$ . Controle: $v (t) = t^{2} + 4$ , dus $d v / d t = t / t^{2} + 4 = 2/ 8 = 0, 707$ . De snelheid neemt toe.
4
Normaal: $a_{n} = ∣ a ∣^{2} - a_{t}^{2} = 1 - 0, 5 = 0, 707 m/ s^{2}$ (of $∣ a_{x} v_{y} - a_{y} v_{x} ∣/ v$ , het vectorproduct van hoofdstuk 5).
5
Kromtestraal: $ρ = v^{2} / a_{n} = 8/0, 707 = 11, 3 m$ . Het middelpunt van de kromtecirkel ligt op die afstand aan de holle kant, in $(10, 0; - 4, 0)$ .
6
Gemiddelde snelheid: $\frac{r ( 3 ) - r ( 1 )}{2} = \frac{( 4 , 5 ; 6 , 0 ) - ( 0 , 5 ; 2 , 0 )}{2} = (2, 0; 2, 0)$ m/s: precies $v (2)$ . Bij een kwadratische $r (t)$ geeft de centrale differentie (hoofdstuk 1) de exacte snelheid.

Antwoord

v = (2, 0; 2, 0) m/s

v = 2, 83 m/s

onder 45°;

a_{t} = a_{n} = 0, 71 m/ s^{2}

; de baan buigt er met een kromtestraal van 11,3 m.

Klopt dit?

a_{t}^{2} + a_{n}^{2} = 0, 5 + 0, 5 = 1 = ∣ a ∣^{2}

. Later in de vlucht wordt

v

steeds meer horizontaal: dan ligt

a

bijna langs

v

a_{n}

daalt en de baan wordt rechter (op

t = 4

s is

ρ = 45 m

Uitleg · 8.4

De horizontale worp: twee bewegingen die elkaar niet storen

4/20

Zonder lucht is de enige kracht op een geworpen voorwerp zijn gewicht, en dat wijst loodrecht naar beneden. Dus $a = (0; - g)$ : horizontaal verandert de snelheid niet, verticaal valt het voorwerp vrij. Integreer twee keer per component (hoofdstuk 3) met de beginwaarden $r (0) = (0; h)$ en $v (0) = (v_{0}; 0)$ :

horizontale worp vanaf hoogte h

x = v_{0} t y = h - \frac{1}{2} g t^{2} v_{x} = v_{0} v_{y} = - g t

Val je

t = x / v_{0}

weg, dan krijg je de baan

y = h - \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2}

: een halve parabool. Valtijd

t_{v} = 2 h / g

(dezelfde als bij loslaten!), worpafstand

d = v_{0} 2 h / g

In de figuur vallen twee kogels vanaf 1,25 m: de ene wordt losgelaten, de andere met 2,0 m/s horizontaal weggeschoten. Op elk ogenblik zijn ze even hoog, en ze komen tegelijk neer, na $2 \cdot 1, 25/9, 81 = 0, 505 s$ . De horizontale snelheid verandert de val niet, en de val verandert de horizontale beweging niet. Dat is de kern van Galilei: de componenten zijn onafhankelijk, omdat de kracht geen horizontale component heeft en niet van de snelheid afhangt.

De landing. De snelheid bij de grond is $v = (v_{0}; - g t_{v})$ , met grootte $v_{0}^{2} + 2 g h$ . Dat volgt ook uit de energie (hoofdstuk 9 van I): $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g h$ . De hoek met de grond is $tan β = ∣ v_{y} ∣/ v_{x}$ .

Wat sneller vooruit gaat, blijft langer in de lucht

Een kogel die uit een geweer horizontaal wordt afgevuurd en een kogel die je op hetzelfde ogenblik uit je hand laat vallen, raken zonder lucht tegelijk de grond. De eerste landt alleen verder weg.

Om de 0,1 s: de geworpen kogel is op elk ogenblik even hoog als de losgelaten kogel; ze landen tegelijk.

Proef · 8.5

De knikker van de tafel

5/20

Onderzoeksvraag

Klopt $d = v_{0} 2 H / g$ ? Een knikker rolt over een goot, verlaat de tafel horizontaal en landt op de vloer. Kan je uit de metingen $g$ terugvinden?

Materiaal

tafel (H = 0,800 m tot de vloer), goot of helling met een horizontaal stukje aan de tafelrand
knikker van 16,0 mm
lichtpoort met timer aan de rand van de tafel (of slow motion met een meetlat in beeld)
schietlood, carbonpapier op wit papier, meetlint

VeiligheidKnikkers op de vloer zijn glad: raap ze meteen op.

Landingsafstand tegen beginsnelheid: een rechte door de oorsprong, met als helling de valtijd.

Werkwijze

1Hang een schietlood aan de tafelrand en markeer het punt onder de rand op de vloer.
2Laat de knikker van telkens een andere hoogte in de goot los, zodat hij met vijf verschillende snelheden van de tafel rolt.
3Lees de tijd af waarin de knikker de lichtpoort afdekt en bereken v₀ = diameter / Δt.
4Meet de afstand d van het punt onder de rand tot de afdruk op het carbonpapier (drie keer per hoogte, neem het gemiddelde).
5Zet d uit tegen v₀, trek de beste rechte door de oorsprong en bereken g uit de helling.

Waarneming

Een voorbeeldmeting:

poging	$Δ t$ lichtpoort (ms)	$v_{0} = d_{k} /Δ t$ (m/s)	voorspeld $v_{0} 2 H / g$ (m)	gemeten $d$ (m)
1	25,8	0,620	0,250	0,246
2	18,2	0,879	0,355	0,358
3	13,9	1,151	0,465	0,467
4	11,3	1,416	0,572	0,566
5	9,5	1,684	0,680	0,679

De punten liggen op een rechte door de oorsprong met helling 0,4028 s (kleinste kwadraten door 0: $\sum v_{0} d / \sum v_{0}^{2}$ ).

Verklaring

De valtijd hangt niet af van $v_{0}$ : de knikker valt altijd $H = 0, 800$ m. De helling van de rechte ís die valtijd: $d / v_{0} = t_{v} = 2 H / g$ . Dus $g = 2 H / t_{v}^{2} = 2 \cdot 0, 800/0, 402 8^{2} = 9, 86 m/ s^{2}$ , dicht bij 9,81. De voorspelde en gemeten afstanden verschillen hoogstens enkele millimeter: de onafhankelijkheid van Galilei klopt.

Kleine afwijkingen komen van de lichtpoort (0,1 ms op 10 à 25 ms is 0,4 tot 1 %), van de plaats van het schietlood en van de rand: een rollende knikker schiet niet perfect horizontaal weg. Luchtweerstand speelt hier geen rol: bij 1 à 2 m/s is ze honderden keren kleiner dan het gewicht van een knikker.

Uitgewerkt voorbeeld · 8.6

Waar laat de drone het pakket los?

6/20

De bevoorradingsdrone van het station (hoofdstuk 9) vliegt op 40 m hoogte met 8,0 m/s horizontaal naar het afzetpunt. Hoeveel meter vóór het afzetpunt moet hij het pakket loslaten, als je de lucht verwaarloost? Met welke snelheid en onder welke hoek komt het neer, en waar is de drone dan?

Zonder lucht blijft het pakket recht onder de drone: beide bewegen horizontaal even snel.

Gegeven

$h = 40 m$ , $v_{0} = (8, 0; 0) m/s$ (de snelheid van de drone)
$g = 9, 81 m/ s^{2}$ , geen lucht

Gevraagd

de valtijd en de afstand
landingssnelheid en hoek
de plaats van de drone

Oplossing

1
Het pakket krijgt bij het loslaten de snelheid van de drone mee: een horizontale worp met $v_{0} = 8, 0 m/s$ .
2
Valtijd: $t_{v} = 2 h / g = 80/9, 81 = 2, 856 s$ .
3
Afstand: $d = v_{0} t_{v} = 8, 0 \cdot 2, 856 = 22, 8 m$ vóór het afzetpunt loslaten.
4
Landing: $v = (8, 0; - 28, 0) m/s$ , $v = 29, 1 m/s$ , onder $tan^{- 1} (28, 0/8, 0) = 7 4^{\circ}$ met de grond.
5
De drone vliegt eenparig verder: na 2,86 s is hij ook 22,8 m verder, dus recht boven het pakket. Tegenover de drone valt het pakket gewoon loodrecht: het schip van Galilei.

Antwoord

Loslaten 23 m vóór het afzetpunt; het pakket landt na 2,9 s met 29 m/s onder 74°, recht onder de drone.

Klopt dit? Energie:

v = v_{0}^{2} + 2 g h = 64 + 785 = 29, 1 m/s

. Klopt. Maar een pakket van 2 kg met een doos van 30 cm heeft een eindsnelheid van ongeveer 19 m/s (hoofdstuk 4): het kan nooit met 29 m/s neerkomen. De lucht is hier niet te verwaarlozen; de simulatie verderop rekent ze mee, en hoofdstuk 9 geeft het pakket een parachute.

Uitleg · 8.7

De schuine worp

7/20

Vertrekt een voorwerp onder een hoek $α$ met de horizontaal, dan ontbind je de beginsnelheid: $v_{0 x} = v_{0} cos α$ , $v_{0 y} = v_{0} sin α$ . Verder verandert er niets: horizontaal eenparig, verticaal eenparig versneld.

schuine worp zonder luchtweerstand

x = v_{0} cos α t y = h + v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2} y = h + x tan α - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α}

Kenmerken bij vertrek en landing op dezelfde hoogte ( $h = 0$ ):

Top: waar $v_{y} = 0$ , na $t = v_{0} sin α / g$ , op hoogte $H = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}$ .
Vliegtijd: $T = \frac{2 v _{0} sin α}{g}$ , twee keer de tijd tot de top (symmetrie).
Bereik: $R = v_{0} cos α \cdot T = \frac{2 v _{0}^{2} sin α cos α}{g} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}$ . Het grootste bereik hoort bij $sin 2 α = 1$ : $α = 4 5^{\circ}$ , $R_{max} = v_{0}^{2} / g$ . Omdat $sin 2 α = sin (18 0^{\circ} - 2 α)$ , dragen $4 5^{\circ} + δ$ en $4 5^{\circ} - δ$ even ver (Galilei).

In de figuur vertrekken worpen met 10 m/s onder vijf hoeken. 15° en 75° landen op dezelfde plaats, net als 30° en 60°; 45° draagt 10,2 m. Alle banen blijven onder één stippellijn, de omhullende $y = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$ (opdracht 8.15): elk punt eronder kan je met 10 m/s bereiken, langs twee banen; op de omhullende langs één; erboven niet. Ze heet ook de 'veiligheidsparabool': wie erboven staat, kan met die beginsnelheid niet geraakt worden.

Eerst de componenten

Elk worpprobleem los je op dezelfde manier op: schrijf $x (t)$ en $y (t)$ op, zoek het tijdstip dat je nodig hebt uit één component (de top: $v_{y} = 0$ ; de landing: $y = 0$ ; een muur: $x = d$ ), en vul dat tijdstip in de andere in. Formules als $R = v_{0}^{2} sin 2 α / g$ gelden alleen op gelijke hoogte.

Vijf worpen met 10 m/s: 45° draagt het verst, 30° en 60° landen samen, en alle banen blijven onder de omhullende.

Uitgewerkt voorbeeld · 8.8

Twee hoeken voor hetzelfde doel

8/20

Met een tuinslang spoel je de nok van het kasdak van de klimaatmodule af. De straal verlaat het spuitstuk met 12 m/s; de nok ligt 5,0 m verder en 1,4 m hoger dan het spuitstuk. Onder welke hoeken moet je richten? Welke hoek is beter? Verwaarloos de lucht (een samenhangende straal over 5 m).

De vlakke en de steile baan raken hetzelfde doel; de steile doet er vijf keer zo lang over.

Gegeven

$v_{0} = 12 m/s$
doel: $x = 5, 0 m$ , $y = 1, 4 m$

Gevraagd

$α$
vliegtijd en top per oplossing

Oplossing

1
Vul het doel in de baanvergelijking in en gebruik $1/ cos^{2} α = 1 + tan^{2} α$ . Met $u = tan α$ : $y = x u - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} (1 + u^{2}) .$
2
$\frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} = \frac{9 , 81 \cdot 25}{2 \cdot 144} = 0, 8516$ , dus $0, 8516 u^{2} - 5, 0 u + (1, 4 + 0, 8516) = 0$ .
3
Discriminant $25 - 4 \cdot 0, 8516 \cdot 2, 2516 = 17, 33 > 0$ : twee oplossingen, $u = 0, 491$ en $u = 5, 380$ , dus $α = 26, 2^{\circ}$ en $α = 79, 5^{\circ}$ .
4
Vliegtijd $x / (v_{0} cos α)$ : 0,46 s voor de vlakke baan, 2,28 s voor de steile. De steile baan gaat eerst 7,1 m hoog en valt dan bijna loodrecht op de nok.

Antwoord

α = 2 6^{\circ}

(vlak, 0,46 s) of

α = 7 9^{\circ}

(steil, 2,3 s). De vlakke baan is beter: korter in de lucht, dus minder gevoelig voor wind, en ze spoelt schuin over het dak.

Klopt dit? Is een doel wel bereikbaar? Er zijn twee oplossingen zolang de discriminant positief is; bij de kleinste snelheid die het doel nog haalt,

v_{min} = g (y + x^{2} + y^{2}) = 8, 04 m/s

, vallen ze samen. Het doel ligt dan precies op de omhullende.

Uitleg · 8.9

Worpen met luchtweerstand: de componenten raken gekoppeld

9/20

Voor alles wat snel, licht of groot is, klopt de parabool niet: een druppel, een pakket, een badmintonshuttle. De luchtweerstand bij deze snelheden is ongeveer kwadratisch in de snelheid (hoofdstuk 4) en werkt tegen de snelheid tegenover de lucht in. Met $v_{rel} = v - w$ ( $w$ = de wind):

baan met kwadratische luchtweerstand

m \frac{d v}{d t} = m g - k ∣ v_{rel} ∣ v_{rel} k = \frac{1}{2} ρ c_{d} A v_{e} = \frac{m g}{k}

ρ

: dichtheid van de lucht,

c_{d}

: weerstandscoëfficiënt,

A

: frontale oppervlakte. Met de eindsnelheid wordt het

\frac{d v}{d t} = g - \frac{g}{v _{e}^{2}} ∣ v_{rel} ∣ v_{rel}

: alleen

v_{e}

telt.

Schrijf het uit per component (zonder wind):

\overset{v}{˙}_{x} = - \frac{g}{v _{e}^{2}} v_{x}^{2} + v_{y}^{2} v_{x}, \overset{v}{˙}_{y} = - g - \frac{g}{v _{e}^{2}} v_{x}^{2} + v_{y}^{2} v_{y} .

De wortel bevat beide componenten: de remming van de horizontale beweging hangt af van hoe snel het voorwerp valt, en omgekeerd. De onafhankelijkheid van Galilei is weg, en er bestaat geen formule meer voor de baan. Je lost het stelsel op zoals in hoofdstuk 4: toestand $(x; y; v_{x}; v_{y})$ , en stap voor stap.

Wat je zonder rekenen al weet.

Een voorwerp met eindsnelheid $v_{e}$ heeft een natuurlijke lengteschaal $L = v_{e}^{2} / g$ . Is de parabool veel korter dan $L$ , dan speelt de lucht nauwelijks; is ze langer, dan domineert de lucht. Een druppel van 3 mm heeft $L = 8, 0 6^{2} /9, 81 = 6, 6 m$ , een parabool van bijna 29 m: de lucht beslist.
Het bereik is geen symmetrische boog meer: het voorwerp remt af, bereikt zijn top eerder dan halverwege en valt aan het eind steil, naar een verticale eindsnelheid toe.
De beste hoek is kleiner dan 45°: hoe langer een voorwerp in de lucht hangt, hoe meer het afremt.
Grote druppels vliegen verder dan kleine: de massa groeit met $d^{3}$ , de weerstand maar met $d^{2}$ .

Dezelfde beginsnelheid, andere druppels: zonder lucht zou de straal pas op 28,8 m landen (buiten beeld); met lucht halen druppels van 1 tot 4 mm 3,6 tot 10 m.

Code · 8.10

Een baan simuleren in Python

10/20

Het programma lost de bewegingsvergelijking op met de methode van Heun uit hoofdstuk 4 (orde 2): per stap twee hellingen, gemiddeld. De toestand is een vector $s = (x; y; v_{x}; v_{y})$ en de functie f geeft zijn afgeleide. De luchtweerstand zit in één regel, met de snelheid tegenover de lucht. Raakt het voorwerp de grond tussen twee stappen, dan interpoleert het programma lineair tot $y = 0$ , zodat het bereik niet afhangt van waar de laatste stap toevallig eindigt.

Twee toepassingen: het pakket van het vorige voorbeeld, nu met zijn eindsnelheid van 18,6 m/s (hoofdstuk 4), en druppels uit de sproeier van de moestuin (volgend blad), met de gemeten eindsnelheden van regendruppels.

Pythonbaan.py50 regelsDownload

# baan.py - banen met en zonder luchtweerstand, met de methode van Heun (hoofdstuk 4)import mathimport numpy as np g = 9.81  def baan(v0, hoek, h0=0.0, vt=None, wind=0.0, dt=0.001):    """Worp vanaf hoogte h0 (m) met snelheid v0 (m/s) onder een hoek (graden) met de horizontaal.    vt = eindsnelheid (m/s) voor kwadratische luchtweerstand, None = zonder lucht; wind in m/s (+ = mee).    Geeft een array met rijen [t, x, y, vx, vy], tot het voorwerp de grond (y = 0) raakt."""    def f(s):                                       # s = [x, y, vx, vy]  ->  ds/dt        x, y, vx, vy = s        if vt is None:            return np.array([vx, vy, 0.0, -g])        rx, ry = vx - wind, vy                      # snelheid tegenover de lucht        k = g / vt**2 * math.hypot(rx, ry)          # |F_w| / m = g (v_rel / vt)^2        return np.array([vx, vy, -k * rx, -g - k * ry])     a = math.radians(hoek)    s = np.array([0.0, h0, v0 * math.cos(a), v0 * math.sin(a)])    t, rijen = 0.0, [[0.0, *s]]    while True:        k1 = f(s)        k2 = f(s + dt * k1)        s2 = s + dt / 2 * (k1 + k2)                 # Heun: gemiddelde van twee hellingen        if s2[1] < 0:                               # de grond ligt binnen deze stap: lineair interpoleren            q = s[1] / (s[1] - s2[1])            s2 = s + q * (s2 - s)            rijen.append([t + q * dt, *s2])            return np.array(rijen)        s, t = s2, t + dt        rijen.append([t, *s])  if __name__ == "__main__":    print("pakket uit de drone: 40 m hoog, 8,0 m/s horizontaal")    for naam, vt in (("zonder lucht", None), ("met lucht (vt = 18,6 m/s)", 18.6)):        t, x, y, vx, vy = baan(8.0, 0.0, 40.0, vt)[-1]        hoek = math.degrees(math.atan2(-vy, vx))        print(f"  {naam:26s} {t:5.2f} s  {x:5.1f} m verder  {math.hypot(vx, vy):5.1f} m/s onder {hoek:4.1f}°")     print("sproeier: 19,0 m/s onder 25°, mondje 0,30 m hoog")    for naam, vt in (("zonder lucht", None), ("druppel 1 mm", 4.03), ("druppel 2 mm", 6.49),                     ("druppel 3 mm", 8.06), ("druppel 4 mm", 8.83)):        b = baan(19.0, 25.0, 0.30, vt)        print(f"  {naam:13s} bereik {b[-1, 1]:5.2f} m  top {b[:, 2].max():4.2f} m  vliegtijd {b[-1, 0]:4.2f} s")     b1, b2 = baan(19.0, 25.0, 0.30, 8.06, dt=0.001), baan(19.0, 25.0, 0.30, 8.06, dt=0.002)    print(f"controle 3 mm: dt = 1 ms {b1[-1, 1]:.4f} m, dt = 2 ms {b2[-1, 1]:.4f} m")

Uitvoer:

pakket uit de drone: 40 m hoog, 8,0 m/s horizontaal
  zonder lucht                2.86 s   22.8 m verder   29.1 m/s onder 74.1°
  met lucht (vt = 18,6 m/s)   3.48 s   17.1 m verder   17.6 m/s onder 82.9°
sproeier: 19,0 m/s onder 25°, mondje 0,30 m hoog
  zonder lucht  bereik 28.82 m  top 3.59 m  vliegtijd 1.67 s
  druppel 1 mm  bereik  3.60 m  top 1.06 m  vliegtijd 0.85 s
  druppel 2 mm  bereik  6.91 m  top 1.59 m  vliegtijd 1.07 s
  druppel 3 mm  bereik  9.01 m  top 1.87 m  vliegtijd 1.17 s
  druppel 4 mm  bereik 10.00 m  top 2.00 m  vliegtijd 1.22 s
controle 3 mm: dt = 1 ms 9.0104 m, dt = 2 ms 9.0104 m

Het pakket valt met lucht 0,6 s langer en komt met 17,6 m/s neer in plaats van 29,1 m/s. Het landt maar 17,1 m verder: de lucht remt de horizontale snelheid, zodat het pakket achter de drone blijft hangen (figuur). Voor de druppels verandert alles: van 28,8 m zonder lucht naar 3,6 tot 10 m. De laatste regel controleert de stap: met 2 ms in plaats van 1 ms verschuift het bereik minder dan een tiende millimeter.

Een simulatie controleren

Drie tests die altijd kunnen: (1) zet de lucht uit (vt=None) en vergelijk met de formules van de parabool: 28,82 m hier, en exact $(v_{0} cos α / g) (v_{0} sin α + v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g h)$ geeft hetzelfde; (2) halveer de stap; (3) kijk of de valsnelheid naar $v_{e}$ gaat.

Met lucht blijft het pakket achter: bij de landing vliegt de drone al een eind verder.

Uitgewerkt voorbeeld · 8.11

Habitat: hoe ver sproeit de sproeier?

11/20

Naast de meetkas komt een moestuin van 9,0 × 9,0 m, beregend met regenwater. Een kleine sproeier heeft een spuitmondje van 2,0 mm en krijgt 2,0 bar overdruk; de straal vertrekt onder 25°, 0,30 m boven de grond. Schat de uitstroomsnelheid en het debiet, bereken het bereik zonder lucht en met de simulatie, en beslis hoeveel sproeiers de tuin nodig heeft.

Vier kwartcirkelsproeiers in de hoeken: elke sproeier reikt tot de volgende, alle water blijft in de tuin.

Gegeven

$Δ p = 2, 0 bar$ , $d = 2, 0 mm$ , $ρ = 1000 kg/ m^{3}$
$α = 2 5^{\circ}$ , $h = 0, 30 m$
eindsnelheden van druppels (Gunn en Kinzer, 1949): zie tabel

Gevraagd

$v_{0}$ , $Q$ en het hydraulisch vermogen
het bereik zonder en met lucht
de opstelling in de tuin

Oplossing

1
Snelheid uit de energie. Een kubieke meter water onder 2,0 bar overdruk heeft $Δ p \cdot 1 m^{3} = 2, 0 \cdot 1 0^{5} J$ 'drukenergie'. Wordt die volledig bewegingsenergie, dan is $\frac{1}{2} ρ v^{2} = Δ p$ , dus $v = 2Δ p / ρ = 400 = 20, 0 m/s$ (de wet van Bernoulli, hoofdstuk 18). Wrijving in het mondje kost wat: met een snelheidscoëfficiënt van 0,95 is $v_{0} = 19, 0 m/s$ .
2
Debiet. $Q = A v_{0} = \frac{π}{4} (2, 0 \cdot 1 0^{- 3})^{2} \cdot 19, 0 = 5, 97 \cdot 1 0^{- 5} m^{3} /s = 3, 58 L/min$ . Hydraulisch vermogen $Δ p Q = 11, 9 W$ .
3
Zonder lucht. Vanaf 0,30 m hoog: 28,8 m ver en 3,6 m hoog. Dat is onmogelijk: echte tuinsproeiers van deze grootte halen ongeveer 10 m.

Met lucht. De straal breekt kort na het mondje in druppels. De simulatie (baan.py) geeft per druppelgrootte:

druppel	eindsnelheid $v_{e}$	$v_{e}^{2} / g$	bereik (25°)	top	vliegtijd
0,5 mm	2,06 m/s	0,4 m	1,3 m	0,61 m	0,63 s
1 mm	4,03 m/s	1,7 m	3,6 m	1,06 m	0,85 s
2 mm	6,49 m/s	4,3 m	6,9 m	1,59 m	1,07 s
3 mm	8,06 m/s	6,6 m	9,0 m	1,87 m	1,17 s
4 mm	8,83 m/s	7,9 m	10,0 m	2,00 m	1,22 s
zonder lucht	-	-	28,8 m	3,59 m	1,67 s

5
Welke straal? De grootste druppels bepalen hoe ver de sproeier reikt. Rekenen we met druppels tot 3 mm, dan is de straal ongeveer 9 m. De tabellen van een fabrikant bevestigen de orde van grootte: een rotor met een iets groter mondstuk haalt bij 1,7 à 2,4 bar ongeveer 10 m met 4 à 5 L/min.
6
Opstelling. Vier kwartcirkelsproeiers in de hoeken, elk met een straal van 9 m (kop aan kop: elke sproeier reikt tot de volgende). Alle water valt in de tuin, en elk punt krijgt water van minstens twee sproeiers. Samen $4 Q = 14, 3 L/min$ op 81 m²: $10, 6 mm/h$ .

Antwoord

v_{0} \approx 19 m/s

Q \approx 3, 6 L/min

, 12 W hydraulisch per sproeier. Zonder lucht 29 m, met lucht ongeveer 9 m (druppels tot 3 mm). Vier kwartcirkelsproeiers in de hoeken geven 10,6 mm per uur; een droge zomerdag (5 mm, 405 L) vraagt 28 minuten.

Klopt dit? De sproeier stoot water uit met impuls: de reactiekracht

ρ Q v_{0} = 1, 13 N

laat sommige sproeiers draaien (hoofdstuk 9). Een neerslag van ongeveer 10 mm/h kan een leemgrond opnemen zonder plassen; zwaardere sproeiers zouden de tuin in twee beurten moeten beregenen.

Ontleed · 8.12

Habitat: de baan van een druppel ontleed

12/20

Een druppel van 3 mm uit de sproeier, om de 0,25 s met zijn snelheid $v$ (0,08 m per m/s) en zijn versnelling $a$ (0,02 m per m/s²), uit dezelfde simulatie.

In het begin remt de lucht de druppel veel harder af dan de zwaartekracht hem doet vallen; aan het eind valt hij bijna met zijn eindsnelheid.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Vertrek
19,0 m/s onder 25°. De luchtweerstand is dan g · (19,0/8,06)² = 55 m/s², meer dan vijf keer g: de druppel remt in het begin vooral af.
2
De versnelling bij vertrek
a = g + weerstand wijst schuin naar achteren en naar beneden (59 m/s²), bijna tegen v in. Ze verandert vooral de grootte van v (grote tangentiële component).
3
Na 0,25 s
De snelheid is al gezakt tot 10,5 m/s. Hoe trager, hoe kleiner de weerstand: de pijl van a krimpt en draait naar beneden.
4
De top
Na 0,49 s op 1,87 m hoogte, op 5,3 m van de sproeier: minder dan halverwege, anders dan bij een parabool.
5
Dalen
Op 1,0 s is a bijna gelijk aan g: de druppel valt en zijn snelheid gaat naar de eindsnelheid, die verticaal is.
6
Landing
Na 1,17 s, 9,0 m ver, met 6,3 m/s onder 52° met de grond: veel steiler dan de 25° van de parabool. Zo slaan druppels minder gronddeeltjes los.

Uitleg · 8.13

De beste hoek, en de wind

13/20

Zonder lucht draagt 45° het verst. Met lucht is een lagere hoek beter: een steile baan houdt de druppel langer in de lucht, waar hij afremt. De figuur toont het bereik tegen de straalhoek, telkens gedeeld door het grootste bereik, uit dezelfde simulatie. Hoe kleiner de druppel, hoe lager de beste hoek. Voor 3 mm ligt het optimum rond 34° (9,3 m), maar 25° haalt al 9,0 m: de kromme is vlak rond haar top.

Waarom kiezen sproeiers dan toch 20 à 25°? Om de wind. De weerstand hangt af van de snelheid tegenover de lucht. Blaast de wind mee, dan remt een druppel minder af en draagt hij verder; tegen de wind in omgekeerd. Met 3 m/s wind komt een druppel van 3 mm op 11,8 m (mee) of 6,3 m (tegen) in plaats van 9,0 m; een druppel van 1 mm op 6,0 of 1,4 m in plaats van 3,6 m. Kleine druppels waaien weg. Een lage baan is korter in de lucht en dus minder windgevoelig.

Habitat: sproeien bij weinig wind

Het brein van het station leest de windmeter op de weermast (hoofdstuk 5). Boven 3 m/s wordt de moestuin ongelijk nat en waait water weg; de sproeiers draaien daarom vroeg in de ochtend, als het meestal windstil is en er ook minder water verdampt.

Hoe kleiner de druppel, hoe lager de beste hoek (tussen haakjes). Zonder lucht ligt het optimum bij 45°.

Dezelfde druppel met 3 m/s wind mee, tegen of zonder wind: de wind verschuift de landing met 2 à 3 m.

Uitleg · 8.14

Relatieve beweging

14/20

Een snelheid heeft alleen betekenis tegenover iets: de kade, het water, de lucht. Beweegt A tegenover B en B tegenover C, dan tel je de snelheden op als vectoren:

snelheden optellen (Galilei)

v_{A C} = v_{A B} + v_{B C} v_{B A} = - v_{A B}

Lees de indices als een ketting: 'A tegenover B' plus 'B tegenover C' is 'A tegenover C'. Voor plaatsen geldt hetzelfde:

r_{A C} = r_{A B} + r_{B C}

. Afleiden geeft de formule voor de snelheden, en nog eens afleiden

a_{A C} = a_{A B} + a_{B C}

Het schip van Galilei. Een steen valt van een mast van 10 m op een schip dat met 3,0 m/s vaart. Voor een matroos valt hij recht naar beneden. Voor iemand op de kade heeft hij bij het loslaten al 3,0 m/s horizontaal: hij volgt een halve parabool en komt 4,3 m verder neer, precies waar de voet van de mast dan is. Beide beschrijvingen kloppen; ze verschillen alleen in het assenstelsel. Omdat het schip niet versnelt, is de versnelling van de steen in beide stelsels dezelfde, $g$ : dezelfde natuurwetten.

Waar het in de praktijk telt.

Een drone of een vliegtuig vliegt tegenover de lucht; de lucht beweegt tegenover de grond (de wind). $v_{grond} = v_{lucht} + w$ (volgend voorbeeld).
Een boot vaart tegenover het water, het water stroomt tegenover de oever (opdracht 8.5).
Luchtweerstand hangt af van $v - w$ : de druppel in de wind van het vorige blad.
Regen die loodrecht valt, maakt schuine strepen op het raam van een rijdende trein (opdracht 8.14).

Een losgelaten voorwerp valt recht naar beneden

Tegenover wie? Wie een pakket loslaat uit een vliegende drone, geeft het de snelheid van de drone mee. Tegenover de grond is dat een worp, geen val.

Gezien vanaf de kade: de steen beschrijft een halve parabool en blijft op elk ogenblik onder de top van de mast (stippellijnen om de 0,5 s).

Uitgewerkt voorbeeld · 8.15

De drone in de wind

15/20

Het bevoorradingsdepot ligt 6,0 km recht ten noorden van het station. De drone vliegt met 12 m/s tegenover de lucht. Er staat een westenwind van 6,0 m/s (de lucht beweegt naar het oosten). Welke koers moet de drone aanhouden om recht naar het noorden te vliegen, en hoe lang duurt de heen- en terugvlucht? Vergelijk met windstil weer en met 6,0 m/s tegenwind op de heenweg.

Kop aan staart: de snelheid tegenover de lucht (koers 30° ten westen van het noorden) plus de wind is de snelheid tegenover de grond, recht naar het noorden.

Gegeven

$∣ v_{lucht} ∣ = 12 m/s$ , $w = (6, 0; 0) m/s$ ( $x$ oost, $y$ noord)
afstand 6,0 km

Gevraagd

koers, $∣ v_{grond} ∣$ , tijden

Oplossing

1
Voorwaarde: $v_{grond} = v_{lucht} + w$ wijst naar het noorden, dus de $x$ -component is nul: $v_{lucht, x} = - 6, 0 m/s$ .
2
Koers: $sin β = 6, 0/12 = 0, 5$ , $β = 3 0^{\circ}$ ten westen van het noorden (de drone 'krabt' tegen de wind in).
3
Snelheid tegenover de grond: $v_{lucht, y} = 1 2^{2} - 6, 0^{2} = 10, 39 m/s$ , en dat is ook $∣ v_{grond} ∣$ . Heen: $6000/10, 39 = 577 s = 9, 6 min$ ; terug evenveel (de wind staat opnieuw dwars).
4
Windstil: 8,3 min per richting, samen 16,7 min. Met zijwind: 19,2 min.
5
Tegenwind heen, meewind terug: $6000/6, 0 + 6000/18 = 1000 + 333 s = 22, 2 min$ .

Antwoord

Koers 30° ten westen van het noorden, 10,4 m/s over de grond, 19,2 min heen en terug (windstil 16,7 min, met tegen- en meewind 22,2 min).

Klopt dit? Wind kost op een heen-en-terugvlucht altijd tijd: met tegen- en meewind is de totale tijd

\frac{2 d v}{v ^{2} - w ^{2}}

, met zijwind

\frac{2 d}{v ^{2} - w ^{2}}

, allebei groter dan

2 d / v

. De tijd die je met meewind wint, verlies je dubbel met tegenwind, want je vliegt langer tegen. Bij

w \geq v

komt de drone nooit aan: het energiebudget van de drone (hoofdstuk 9) moet dus met de wind rekenen.

Uitleg · 8.16

De eenparige cirkelbeweging

16/20

Een punt op een draaiend wiel, een robot in een bocht, een satelliet: ze bewegen op een cirkel met straal $R$ . De plaats beschrijf je met de hoek $θ (t)$ in radialen (booglengte gedeeld door straal, $s = R θ$ ). Bij een eenparige cirkelbeweging neemt $θ$ gelijkmatig toe met de hoeksnelheid $ω$ (rad/s):

θ = ω t, ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f, r (t) = R (cos ω t; sin ω t) .

Afleiding met de afgeleide. Leid $r (t)$ af met de kettingregel (hoofdstuk 1):

v = R ω (- sin ω t; cos ω t), a = - R ω^{2} (cos ω t; sin ω t) = - ω^{2} r .

De snelheid staat loodrecht op $r$ (hun scalair product is nul) en heeft grootte $v = ω R$ . De versnelling wijst tegen $r$ in, naar het middelpunt: de middelpuntzoekende of centripetale versnelling.

eenparige cirkelbeweging

v = ω R a_{c} = ω^{2} R = \frac{v ^{2}}{R} F_{c} = m \frac{v ^{2}}{R}

De snelheid blijft even groot (

a_{t} = 0

), maar haar richting draait voortdurend: dat vraagt een versnelling

a_{n} = v^{2} / R

, zoals op het tweede blad met

ρ = R

Afleiding met de meetkunde (Huygens en Newton deden het zo). In een korte tijd $Δ t$ draait de straal over $Δ θ = ω Δ t$ , en de snelheid draait mee over dezelfde hoek. Zet $v_{1}$ en $v_{2}$ met hun staart samen: $Δ v$ is de basis van een smalle gelijkbenige driehoek met benen $v$ en tophoek $Δ θ$ , dus $∣Δ v ∣ \approx v Δ θ$ , en hij wijst naar het middelpunt. Dan is $a = ∣Δ v ∣/Δ t = v ω = v^{2} / R$ .

Op drie plaatsen: r vanuit het middelpunt, v langs de raaklijn, a naar het middelpunt (schets, geen schaal).

Rechts twee posities op de cirkel; links hun snelheden met de staarten samen: Δv wijst naar het middelpunt.

Uitleg · 8.17

De middelpuntzoekende kracht

17/20

Volgens de tweede wet van Newton (hoofdstuk 8 van I) vraagt de versnelling $v^{2} / R$ naar het middelpunt een resulterende kracht $m v^{2} / R$ in die richting. Dat is geen nieuwe soort kracht: het is een rol die een gewone kracht speelt. Zoek dus altijd welke kracht naar het middelpunt wijst:

voorbeeld	$v$ , $R$	$a_{c} = v^{2} / R$	wie levert de kracht?
inspectierobot in de bocht van zijn lus (hoofdstuk 33 van I)	0,20 m/s; 0,15 m	0,27 m/s²	wrijving tussen banden en vloer; slippen pas boven 0,86 m/s (bij $μ = 0, 5$ )
auto in een vlakke bocht	$R = 50$ m	$\leq μg$	wrijving: hoogstens 71 km/h droog ( $μ = 0, 8$ ), 50 km/h nat ( $μ = 0, 4$ )
slacentrifuge (oogst van de klimaatmodule)	300 tpm; 0,12 m	118 m/s² = 12 $g$	de wand van de korf duwt de sla naar binnen; water gaat door de gaatjes rechtdoor
ISS rond de aarde	7,67 km/s; 6771 km	8,69 m/s²	de zwaartekracht van de aarde, helemaal

De auto in de bocht. In een vlakke bocht moet de wrijving tussen banden en weg de hele kracht leveren. Statische wrijving levert hoogstens $μ F_{N} = μ m g$ , dus $m v^{2} / R \leq μ m g$ : $v_{max} = μg R$ . De massa valt weg: een volle bus en een lege auto slippen bij dezelfde snelheid. Een nat wegdek halveert $μ$ en deelt $v_{max}$ door $2$ . Een hellende bocht laat de normaalkracht meehelpen (opdracht 8.12).

De slacentrifuge. De bladeren van de oogst worden door de wand van de korf naar binnen geduwd. Een waterdruppel van 0,2 g op een blad heeft bij 300 toeren per minuut 24 mN nodig om mee te draaien; zodra de hechting aan het blad dat niet meer levert, vliegt hij rechtdoor, langs de raaklijn, door de gaatjes van de korf.

Een middelpuntvliedende kracht duwt je naar buiten

In een auto die een bocht neemt, voel je je naar buiten geduwd. Er is geen kracht die dat doet: jouw lichaam wil rechtdoor (traagheid), en de auto draait onder je weg tot de deur of de gordel je naar het middelpunt duwt. Wie de beweging beschrijft vanuit de draaiende auto (een versnellend assenstelsel), mag een schijnkracht $m v^{2} / R$ naar buiten invoeren om de rekening te laten kloppen. Maar in een vrijlichaamsdiagram vanaf de grond staat alleen de kracht naar binnen.

In een vlakke bocht levert alleen de wrijving tussen banden en weg de kracht naar het middelpunt; G en de normaalkrachten heffen elkaar op.

Uitgewerkt voorbeeld · 8.18

Een baan om de aarde

18/20

Het internationale ruimtestation ISS draait op ongeveer 400 km hoogte rond de aarde. Hoe snel moet het gaan om op een cirkelbaan te blijven, hoe lang duurt een omloop, en hoe groot is de zwaartekracht daar? Waarom zweven de astronauten?

Gegeven

$G M_{aarde} = 3, 986 \cdot 1 0^{14} m^{3} / s^{2}$ , $R_{aarde} = 6371 km$
$h = 400 km$

Gevraagd

$v$ , $T$ en $g$ op die hoogte

Oplossing

1
De zwaartekracht $\frac{GM m}{r ^{2}}$ levert de middelpuntzoekende kracht: $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ , dus $v = GM / r$ . De massa van het station valt weg.
2
$r = 6371 + 400 = 6771 km$ : $v = 3, 986 \cdot 1 0^{14} /6, 771 \cdot 1 0^{6} = 7673 m/s$ , ongeveer 27 600 km/h.
3
Omlooptijd: $T = 2 π r / v = 5545 s = 92, 4 min$ .
4
Zwaartekracht: $g = GM / r^{2} = 8, 69 m/ s^{2}$ , nog 89 % van die aan de grond.

Antwoord

v \approx 7, 67 km/s

T \approx 92 min

(ongeveer 15,6 omlopen per dag),

g \approx 8, 7 m/ s^{2}

Klopt dit? De astronauten zweven niet omdat er geen zwaartekracht is, maar omdat ze samen met het station voortdurend vallen: hun hele versnelling is

g

, dezelfde als die van de wanden. Newton beschreef het al met een kanon op een hoge berg: hoe sneller de kogel, hoe verder hij valt, tot de aarde onder hem even snel wegbuigt als hij valt. Opdracht 8.17 zoekt de hoogte waarop een satelliet boven dezelfde plek blijft hangen.

Naslag · 8.19

Beweging in twee dimensies: formules en werkwijze

19/20

Werkwijze bij een worp: (1) kies assen en oorsprong; (2) ontbind de beginsnelheid; (3) schrijf $x (t)$ en $y (t)$ ; (4) zoek het tijdstip uit één component en vul in de andere in; (5) controleer met de energie. Met lucht: schat eerst $L = v_{e}^{2} / g$ tegenover de parabool, en simuleer als ze vergelijkbaar zijn.

kinematica in het vlak

v = \frac{d r}{d t}, a = \frac{d v}{d t}, a_{t} = \frac{d v}{d t} = a \cdot \overset{v}{^}, a_{n} = \frac{v ^{2}}{ρ}

symbool	betekenis	eenheid
$ρ$	kromtestraal	m

worp zonder lucht

x = v_{0} cos α t, y = h + v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2}

op gelijke hoogte

H = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}, T = \frac{2 v _{0} sin α}{g}, R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}

omhullende (bereikbaar gebied)

y = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}

met kwadratische luchtweerstand

\dot{v} = g - \frac{g}{v _{e}^{2}} ∣ v - w ∣ (v - w), v_{e} = m g / k

symbool	betekenis	eenheid
$w$	windsnelheid	m/s
$k = \frac{1}{2} ρ c_{d} A$	weerstandsconstante	kg/m

straal uit een spuitmond (orde van grootte)

v \approx 2Δ p / ρ, Q = A v

relatieve snelheid

v_{A C} = v_{A B} + v_{B C}

cirkelbeweging

ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f, v = ω R, a_{c} = \frac{v ^{2}}{R} = ω^{2} R

symbool	betekenis	eenheid
$ω$	hoeksnelheid	rad/s
$f$	frequentie	Hz

cirkelbaan om een planeet

v = \frac{GM}{r}, T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}

sproeier van de moestuin (Habitat)	waarde
overdruk aan het mondje, diameter, hoek, hoogte	2,0 bar; 2,0 mm; 25°; 0,30 m
uitstroomsnelheid, debiet	19,0 m/s; 3,58 L/min
bereik zonder lucht / met lucht (druppels tot 3 mm)	28,8 m / ±9 m
moestuin, opstelling, neerslag	9,0 × 9,0 m; 4 kwartcirkels in de hoeken; 10,6 mm/h
5 mm beregenen	405 L in 28 min

Het geheel · 8.20

Waar beweging in twee dimensies vandaan komt en waar ze heen gaat

20/20

Beweging in het vlak is de kinematica van hoofdstuk 7 van I, met de vectoren van hoofdstuk 5 en de afgeleiden van hoofdstuk 1. De simulatie is die van hoofdstuk 4, nu met een toestand van vier getallen. Samen met de wetten van Newton vormt ze de basis voor alles wat in de mechanica volgt: botsingen, rotatie, trillingen. Buiten de mechanica (K) raakt ze het modelleren (W) en het programmeren (P), en in het station het regelen (R): een drone of robot moet zijn baan kennen om ze te sturen.

F14 Beweging en snelheid

Snelheid als verplaatsing per tijd: hier een vector die raakt aan de baan.

I6 Goniometrie en vectoren

Vectoren ontbinden en optellen: de beginsnelheid ontbinden, snelheden optellen in de wind.

I7 Beweging beschrijven

ERB, EVRB en vrije val: de twee componenten van een worp.

I8 De wetten van Newton

F = m a: de middelpuntzoekende kracht is een resulterende kracht.

I33 Een mobiele robot

Het robotje in zijn bocht en de wielen: hier de versnelling en de grens van de wrijving.

E1 Afgeleiden: verandering meten

v en a als afgeleiden; de centrale differentie uit videodata.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Heun, stelsels en het vallende pakket: nu in twee dimensies.

E5 Vectoren en matrices

Scalair product voor de tangentiële versnelling, vectorproduct voor de normale.

E9 Impuls en botsingen

De drone dropt het pakket met een parachute; de sproeier en de rotor als straalkracht.

E10 Rotatie

Hoeksnelheid en hoekversnelling, de rollende knikker (waarom 10/7) en het impulsmoment van een baan.

E11 Trillingen en resonantie

Een cirkelbeweging geprojecteerd op een as is een harmonische trilling.

E18 Stroming van vloeistoffen en gassen

Bernoulli, drukverlies en de pomp achter de sproeiers.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Runge-Kutta en stapgrootteregeling voor banen.

HabitatHabitat krijgt een beregende moestuin van 9,0 × 9,0 m op het proefterrein: vier kwartcirkelsproeiers in de hoeken, spuitmond 2,0 mm op 2,0 bar, straal ongeveer 9 m, 10,6 mm per uur; een droge zomerdag vraagt 28 minuten en 405 L regenwater. Het brein sproeit bij weinig wind. De bevoorradingsdrone vliegt 12 m/s tegenover de lucht naar een depot op 6,0 km; wind kost altijd tijd. Opdracht 8.13 werkt het beregeningsplan uit; hoofdstuk 18 kiest de pomp en de leidingen.

Samenvatting

In het kort

Plaats, snelheid en versnelling zijn vectoren: $v = d r / d t$ en $a = d v / d t$ , per component. $v$ raakt aan de baan; $a$ ontbindt in $a_{t} = d v / d t$ en $a_{n} = v^{2} / ρ$ .
Zonder lucht zijn horizontale en verticale beweging onafhankelijk: $x = v_{0} cos α t$ , $y = h + v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2}$ , een parabool.
Op gelijke hoogte: $H = v_{0}^{2} sin^{2} α / (2 g)$ , $T = 2 v_{0} sin α / g$ , $R = v_{0}^{2} sin 2 α / g$ ; 45° draagt het verst; een bereikbaar doel heeft twee banen.
Luchtweerstand $\propto ∣ v_{rel} ∣ v_{rel}$ koppelt de componenten: geen formule, wel een simulatie. De lengteschaal $v_{e}^{2} / g$ zegt of de lucht telt; de beste hoek ligt dan onder 45°.
Een sproeier met 2,0 bar spuit ongeveer 19 m/s; zonder lucht zou hij 29 m ver reiken, echt ongeveer 9 m: de grootste druppels bepalen de straal, de wind verschuift ze.
Relatieve beweging: $v_{A C} = v_{A B} + v_{B C}$ . Een drone krabt tegen de wind in; op een heen-en-terugvlucht kost wind altijd tijd.
Eenparige cirkelbeweging: $v = ω R$ , $a_{c} = v^{2} / R = ω^{2} R$ naar het middelpunt. De kracht $m v^{2} / R$ komt van wrijving, spanning, normaalkracht of zwaartekracht; een baan om de aarde: $v = GM / r$ .

Begrippen

Wat je nu kent

plaatsvector: De vector $r (t) = (x (t); y (t))$ van de oorsprong naar het voorwerp; zijn afgeleide is de snelheid.
snelheidsvector: $v = d r / d t$ : raakt altijd aan de baan, lengte = de snelheid (in m/s).
versnellingsvector: $a = d v / d t$ : wijst naar de holle kant van de baan zodra de baan buigt; ontbindt in $a_{t} = d v / d t$ langs de baan en $a_{n} = v^{2} / ρ$ ernaar toe.
kromtestraal: De straal $ρ$ van de cirkel die een baan in een punt het best benadert: $ρ = v^{2} / a_{n}$ .
horizontale worp: Een worp met een horizontale beginsnelheid: zonder lucht eenparig horizontaal en vrij vallend verticaal, samen een halve parabool.
schuine worp: Een worp onder een hoek $α$ ; zonder lucht een parabool met bereik $v_{0}^{2} sin 2 α / g$ op gelijke hoogte.
eindsnelheid: De snelheid waarbij de luchtweerstand het gewicht opheft; bij kwadratische weerstand $v_{e} = m g / k$ .
relatieve beweging: Een beweging beschreven vanuit een ander, bewegend assenstelsel: $v_{A C} = v_{A B} + v_{B C}$ .
eenparige cirkelbeweging: Beweging op een cirkel met een constante snelheid; de snelheidsvector draait, dus er is een versnelling $v^{2} / R$ naar het middelpunt.
hoeksnelheid: $ω = d θ / d t$ in rad/s; bij een eenparige cirkelbeweging $ω = 2 π / T = 2 π f$ en $v = ω R$ .
middelpuntzoekende kracht: De resulterende kracht $m v^{2} / R$ naar het middelpunt die een voorwerp op een cirkel houdt; geen nieuwe soort kracht, maar een rol die wrijving, spanning, een normaalkracht of de zwaartekracht speelt.

Aan de slag in het werkboek18 opdrachten, van oefenen tot uitdagen