EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Handboek · hoofdstuk 13Vakwerken en constructieanalyse

Driehoek na driehoek: de kracht in elke staaf, met de hand, als matrix en als eindige elementen

Een vakwerk draagt grote lasten met weinig materiaal, omdat elke staaf alleen trek of druk krijgt. Om het te ontwerpen, moet je weten hoe groot die krachten zijn. Je leert wanneer evenwicht alleen volstaat (statisch bepaald), rekent staafkrachten uit met de knooppuntenmethode en de snedemethode, herkent trek- en drukstaven zonder te rekenen, en schrijft een programma dat elk vakwerk oplost. Tot slot bouw je hetzelfde vakwerk op als een stijfheidsmodel: het idee achter de eindige-elementenmethode, die ook rekent waar evenwicht alleen niet volstaat. Voor Habitat reken je het dakvakwerk van de woonmodule door en kies je de doorsneden.

5× uitleg3× uitgewerkt voorbeeld1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code16 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Acht spanten, ongeveer om de 0,60 m, dragen het dak van de woonmodule. Elke staaf is een lat van 45 mm dik: genoeg, omdat ze alleen trek of druk krijgt.

Na dit hoofdstuk

Je kan nagaan of een vakwerk statisch bepaald is (m + r = 2k en een regelmatige matrix) en een mechanisme, een overtallig vakwerk en een kritische vorm herkennen.
Je kan staafkrachten berekenen met de knooppuntenmethode, nulstaven herkennen en het resultaat controleren.
Je kan met de snedemethode de kracht in één staaf berekenen en ze interpreteren als M/h en V/sin θ.
Je kan zonder te rekenen voorspellen welke staven trek en welke druk dragen, en dat vertalen naar de vorm van de staven.
Je kan een vakwerk algemeen oplossen met een programma en een dakspant doorrekenen met lasten volgens de Eurocode, tot en met de keuze van de doorsneden.
Je kan het idee van de eindige-elementenmethode uitleggen (element, assembleren, randvoorwaarden, oplossen, nabewerken) en toepassen op een staaf en een vakwerk, ook als dat statisch onbepaald is.

Verhaal · 13.1

De Forth Bridge: trek en druk om te zien

1/14

Op 28 december 1879 stortte in Schotland in een storm een deel van de Tay Bridge in, met een trein erop. Dezelfde ingenieur, Thomas Bouch, was begonnen aan een hangbrug over de Firth of Forth, iets zuidelijker. Na de ramp werd zijn ontwerp geschrapt. John Fowler en Benjamin Baker kregen de opdracht. Na de ramp wilde men een brug die vooral stijf was en er ook stevig uitzag.

Ze bouwden een uitkragende vakwerkbrug van 2467 m, met twee hoofdoverspanningen van ongeveer 520 m, uit ongeveer 55 000 ton staal en 6,5 miljoen klinknagels. Ze ging open op 4 maart 1890. Wat haar bijzonder maakt: je ziet welke staven trek en welke druk dragen. De drukstaven zijn reusachtige buizen, tot 3,66 m (12 voet) doorsnede, want een drukstaaf moet een grote $I$ hebben om niet te knikken (hoofdstuk 12). De trekstaven zijn lichte vakwerkliggers: een trekstaaf kan niet knikken, en materiaal ver van de as is daar nutteloos.

Baker legde het principe in 1887 uit met een menselijk model: twee mannen op een stoel, de armen gestrekt naar stokken die schuin tegen de stoelen steunden, en tussen hen, op een plank, de Japanse ingenieur Kaichi Watanabe, die toen in Schotland studeerde. De armen van de mannen waren de trekstaven, de stokken de drukstaven, de stoelen de pijlers en de gewichten aan de buitenkant de ankers. Wie in de armen van de mannen de kracht voelde, begreep de brug. Sinds 5 juli 2015 is de Forth Bridge werelderfgoed.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het dak van de woonmodule wordt gedragen door lichte houten spanten: vakwerken uit latten van 45 mm, met metalen nagelplaten in de knopen. Of ze sneeuw dragen, welke staven kunnen knikken en of een tussenwand eronder mag komen, volgt uit de staafkrachten. En de methode waarmee je een vakwerk als stijfheidsmodel oplost, is de kern van elk programma voor constructieberekening.

Schematisch: de drukstaven (dik) lopen van de voet van elke toren naar de uiteinden van de armen; de trekstaven (dun) hangen die uiteinden aan de toren op. De middenligger hangt aan de twee uitkragingen.

De Forth Bridge: dikke buizen voor druk, lichte vakwerkliggers voor trek.

Uitleg · 13.2

Het ideale vakwerk en statisch bepaald

2/14

wat je al kan	wat nu komt
de driehoek als stijf element, trek- en drukstaven aanwijzen (hoofdstuk 13 van F)	de kracht in elke staaf berekenen
evenwicht: som van de krachten en van de momenten nul; statisch bepaald (hoofdstuk 10 van I)	evenwicht per knoop (knooppuntenmethode) en per deel (snedemethode)
een vakwerk als stelsel $A s = - F$ (hoofdstuk 5)	een algemeen programma, en de stijfheidsmethode: het idee van de eindige elementen
spanning, knik en doorsneden (hoofdstuk 12)	van staafkracht naar profiel

Een ideaal vakwerk steunt op drie afspraken: (1) de staven zijn recht, (2) ze zijn in de knopen scharnierend verbonden, en (3) de lasten grijpen alleen in de knopen aan. Een staaf met een scharnier aan elk uiteinde en geen last ertussen, kan dan alleen een kracht langs haar as dragen: momentenevenwicht om het ene scharnier laat geen dwarskracht toe. Die staafkracht $S$ noemen we positief bij trek.

Echte vakwerken hebben geklonken, gelaste of genagelde knopen en lasten tussen de knopen (het eigen gewicht, een dak op de bovenrand). Toch is het ideale model meestal goed, omdat de staven slank zijn: de momenten door stijve knopen blijven klein. Lasten tussen de knopen reken je apart als buiging van die ene staaf (verderop, bij het dakspant).

voorwaarde voor een statisch bepaald vlak vakwerk

m + r = 2 k

k

knopen geven

2 k

evenwichtsvergelijkingen (

\sum F_{x} = 0

\sum F_{y} = 0

per knoop); de onbekenden zijn de

m

staafkrachten en de

r

reacties. Tellen is nodig, maar niet voldoende: de matrix

A

van hoofdstuk 5 moet ook regelmatig zijn (

det A \neq = 0

Vier gevallen (figuur). Een driehoek op een scharnier (2 reacties) en een rol (1): $3 + 3 = 6 = 2 \cdot 3$ , bepaald. Een vierkant zonder diagonaal: te weinig staven, een mechanisme dat scheef zakt. Een vierkant met twee diagonalen: één staaf te veel, statisch onbepaald (overtallig): de krachten hangen dan af van hoe stijf de staven zijn, en evenwicht alleen volstaat niet meer. Twee staven op één rechte lijn tussen twee scharnieren, met een last in de middelste knoop, tellen goed ( $2 + 4 = 6 = 2 \cdot 3$ ), maar geen van beide staven kan een verticale kracht in die knoop opnemen: de vergelijking $\sum F_{y} = 0$ wordt $0 = F$ . Dat is een kritische vorm: $det A = 0$ . In werkelijkheid zakt de knoop tot de staven genoeg uitrekken, met enorme krachten (opdracht 13.15). Zo'n fout zie je aan een programma dat een singuliere matrix meldt.

Overtallige staven zijn in de praktijk niet slecht: een tweede diagonaal maakt een constructie robuuster (als er één bezwijkt, neemt de andere over). Alleen vraagt ze een andere rekenmethode: de stijfheidsmethode aan het eind van dit hoofdstuk.

Tellen (m + r tegenover 2k) toont het mechanisme en het overtallige vakwerk. Het laatste telt goed, maar twee staven op één lijn kunnen geen verticale last in hun middelste knoop dragen.

Uitleg · 13.3

De knooppuntenmethode

3/14

Snij één knoop los uit het vakwerk. Op die knoop werken de staafkrachten van alle staven die er samenkomen, de lasten en eventueel reacties. In evenwicht is hun som nul, in $x$ en in $y$ . Werkwijze:

Bereken eerst de reacties met het evenwicht van het hele vakwerk (hoofdstuk 10 van I).
Teken elke onbekende staafkracht als trek: een pijl die van de knoop wegwijst, langs de staaf. Komt er een negatief getal uit, dan is de staaf op druk belast. Zo hoef je nooit vooraf te raden.
Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekenden (meestal een oplegging) en ga knoop na knoop verder.
Controleer met de laatste knoop: daar zijn alle krachten al bekend, en de vergelijkingen moeten vanzelf kloppen.

Nulstaven zie je zonder te rekenen: (a) komen in een onbelaste knoop twee staven samen die niet op één lijn liggen, dan zijn beide nul; (b) komen in een onbelaste knoop drie staven samen waarvan er twee op één lijn liggen, dan is de derde nul. Een nulstaaf is niet overbodig: ze houdt een lange drukstaaf halverwege vast tegen knik, of draagt bij een ander lastgeval wel.

Met de hand of met de computer

Knoop na knoop rekenen is het gereedschap om een resultaat te begrijpen en te controleren. Voor een vakwerk met honderd staven schrijf je alle knopen samen als één stelsel (hoofdstuk 5); de computer lost het in een fractie van een seconde op. De vergelijkingen zijn dezelfde.

Knoop L0 van de brug op het volgende blad, los getekend. Met alle staafkrachten als trek volgen twee vergelijkingen voor twee onbekenden.

Uitgewerkt voorbeeld · 13.4

De vakwerkbrug van F13, nu met getallen

4/14

In hoofdstuk 13 van F kleurde je de trek- en drukstaven van een vakwerkbrug met een last in het midden. Bereken nu de staafkrachten: vier vakken van 2,0 m, 1,5 m hoog (de bovenknopen liggen boven het midden van elk vak), 10 kN in de middelste onderknoop L2.

De krachten in kN: blauw druk, rood trek. De bovenrand wordt naar het midden toe zwaarder belast.

Gegeven

knopen L0 ... L4 op $y = 0$ , U0 ... U3 op $y = 1, 5 m$ ; scharnier in L0, rol in L4
schuine staven: lengte $1, 0^{2} + 1, 5^{2} = 1, 803 m$ , $sin θ = 0, 832$ , $cos θ = 0, 555$

Gevraagd

alle staafkrachten; trek of druk

Oplossing

1
Tellen. $k = 9$ , $m = 15$ , $r = 3$ : $15 + 3 = 18 = 2 \cdot 9$ . Reacties: symmetrisch, $A_{y} = B_{y} = 5 kN$ , $A_{x} = 0$ .
2
Knoop L0 (figuur vorig blad): $\sum F_{y}$ : $S_{L0U0} sin θ + 5 = 0$ , dus $S_{L0U0} = - 5/0, 832 = - 6, 01 kN$ (druk). $\sum F_{x}$ : $S_{L0L1} + S_{L0U0} cos θ = 0$ , dus $S_{L0L1} = 3, 33 kN$ (trek).
3
Knoop U0: de schuine staaf van L0 duwt ( $- 6, 01$ ), de staaf naar L1 en de bovenrand zijn onbekend. $\sum F_{y}$ : de twee schuine staven moeten elkaars verticale deel opheffen, dus $S_{U0L1} = + 6, 01 kN$ (trek). $\sum F_{x}$ : $S_{U0U1} = - 2 \cdot 6, 01 \cdot 0, 555 = - 6, 67 kN$ (druk).
4
Zo verder over L1, U1 en L2; de rechterhelft volgt uit de symmetrie. Alle krachten (het programma van verderop geeft dezelfde):
staaf L0L1 L1L2 L2L3 L3L4 U0U1 U1U2 U2U3
kracht (kN) +3,33 +10,00 +10,00 +3,33 −6,67 −13,33 −6,67
staaf L0U0 U0L1 L1U1 U1L2 L2U2 U2L3 L3U3 U3L4
kracht (kN) −6,01 +6,01 −6,01 +6,01 +6,01 −6,01 +6,01 −6,01
5
Controle in L2: twee schuine staven met elk $+ 6, 01 kN$ trekken samen $2 \cdot 6, 01 \cdot 0, 832 = 10, 0 kN$ omhoog: precies de last. De onderranden links en rechts ( $+ 10, 0$ ) heffen elkaar op.

Antwoord

Onderrand trek (3,3 en 10 kN), bovenrand druk (6,7 en 13,3 kN), de schuine staven afwisselend druk en trek (6,01 kN), zoals de kleuren in hoofdstuk 13 van F.

Klopt dit? De grootste randkracht zit in het midden: het moment is daar

5 kN \cdot 4 m = 20 kN m

, en de randen vormen samen een koppel met arm 1,5 m:

20/1, 5 = 13, 3 kN

, precies de kracht in de bovenrand U1U2 erboven. De onderrand in het midden draagt 10,0 kN: het moment om de bovenknoop U1 (

x = 3 m

) is

5 \cdot 3 = 15 kN m

, en

15/1, 5 = 10

. Een vakwerk is een balk waarvan de randen het moment dragen en de diagonalen de dwarskracht (blad 'Trek en druk herkennen').

Uitleg · 13.5

De snedemethode

5/14

Wie maar één staafkracht nodig heeft, bijvoorbeeld de zwaarst belaste staaf midden in een lange brug, hoeft niet alle knopen door te rekenen. Snij het vakwerk door langs een lijn die hoogstens drie staven met onbekende kracht snijdt, en schrijf het evenwicht van één deel (links of rechts) op: drie vergelijkingen, drie onbekenden.

De truc van August Ritter (1862): neem de momenten om het punt waar twee van de drie staven elkaar snijden. Die twee hebben geen arm, en de derde volgt meteen. Voor een brug met evenwijdige randen op hoogte $h$ geeft dat:

snedemethode bij een vakwerk met evenwijdige randen

S_{boven} = - \frac{M _{onderknoop}}{h} S_{onder} = \frac{M _{bovenknoop}}{h} S_{diag} sin θ = V_{vak}

M

is het buigmoment van het hele vakwerk (als balk) om de knoop waar de andere twee staven samenkomen;

V

de dwarskracht in het doorgesneden vak. De randen dragen het moment, de diagonalen de dwarskracht.

De Pratt-brug van de figuur is 12 m lang, zes vakken van 2,0 m, 1,5 m hoog, met 10 kN in elke onderknoop (reacties 25 kN). Snij door het derde vak: bovenrand U2U3, diagonaal U2L3 en onderrand L2L3.

Momenten om L3 (daar komen diagonaal en onderrand samen): $M_{L3} = 25 \cdot 6 - 10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 = 90 kN m$ , dus $S_{U2U3} = - 90/1, 5 = - 60, 0 kN$ (druk).
Momenten om U2: $M_{U2} = 25 \cdot 4 - 10 \cdot 2 = 80 kN m$ , dus $S_{L2L3} = 80/1, 5 = 53, 3 kN$ (trek).
Verticaal evenwicht: $V = 25 - 10 - 10 = 5 kN$ ; de diagonaal loopt omlaag naar het midden met $sin θ = 1, 5/2, 5 = 0, 6$ : $S_{U2L3} = 5/0, 6 = 8, 33 kN$ (trek).

Invloedslijnen. Rijdt een last over de brug, dan verandert de kracht in elke staaf met de plaats van de last. Een grafiek daarvan heet een invloedslijn (hoofdstuk 10 van I noemde ze al). Bruggenbouwers zoeken er de ongunstigste plaats van een vrachtwagen mee; een diagonaal kan zelfs van teken wisselen (opdracht 13.8).

Tekenen in plaats van rekenen: Maxwell en Cremona

Voor er computers waren, tekenden ingenieurs de krachten. James Clerk Maxwell toonde in 1864 dat bij elk vakwerk een 'wederkerige figuur' hoort waarin elke staafkracht een lijnstuk is; Luigi Cremona maakte er in 1872 een werkwijze van. Met passer en lat toonde zo'n krachtenplan snel alle staafkrachten van een dakspant. De Eiffeltoren en de spoorbruggen van de negentiende eeuw zijn zo berekend.

Een snede door drie staven. Momenten om L3 geven de bovenrand, om U2 de onderrand; verticaal evenwicht geeft de diagonaal.

Uitleg · 13.6

Trek en druk herkennen

6/14

Een ervaren ontwerper ziet de tekens van de staafkrachten voor hij rekent. Vier redeneringen:

Een vakwerk is een balk. Onder zwaartekracht, op twee steunen, buigt het als een balk door: de bovenrand wordt samengedrukt, de onderrand uitgerekt (hoofdstuk 12: druk boven, trek onder). De randkracht is ongeveer $M / h$ , het grootst waar het moment het grootst is. Bij een uitkraging (een balkon, de armen van de Forth Bridge) is het omgekeerd: boven trek, onder druk.
De diagonalen dragen de dwarskracht naar de steunen. Hangt een diagonaal vanaf de kant van de steun naar beneden, zoals een touw waaraan de last hangt, dan is ze op trek belast; staat ze vanaf die kant omhoog, als een schoor, dan is ze op druk belast. In een Pratt-vakwerk dalen de diagonalen naar het midden: trek, en de verticalen druk. In een Howe is het omgekeerd (figuur).
Een knoop met weinig staven verraadt zich: een onbelaste knoop met twee staven op een lijn en een derde ernaast, geeft een nulstaaf (U3L3 in de Pratt).
Kijk wat er zou gebeuren als je de staaf wegneemt. Zouden de knopen uit elkaar gaan, dan hield de staaf ze samen: trek. Zouden ze naar elkaar toe komen, dan hield de staaf ze uit elkaar: druk.

Vorm volgt kracht. Trekstaven mogen slank zijn: een staaf, een kabel, een strip. Drukstaven moeten tegen knik een grote $I$ hebben, en worden kort, dik of hol gemaakt. Daarom kozen bruggenbouwers vaak een Pratt voor staal (de lange diagonalen op trek, de korte verticalen op druk) en een Howe voor hout met ijzeren trekstangen (de houten diagonalen op druk, de verticalen als stangen op trek). En daarom zijn de drukstaven van de Forth Bridge buizen.

Dezelfde brug, dezelfde lasten: in de Pratt staan de diagonalen op trek en de verticalen op druk, in de Howe omgekeerd. De randen veranderen niet.

Code · 13.7

Een programma voor elk vakwerk

7/14

Hoofdstuk 5 loste de steun van het zonnepaneel op als stelsel $A s = - F$ . Hier wordt dat een algemene functie: je geeft knopen, staven, steunen en lasten, en ze controleert eerst of het vakwerk statisch bepaald is (tellen én de rang van de matrix) voor ze oplost. Elke kolom van $A$ is een staaf: haar eenheidsvector staat in de rijen van haar twee knopen, met tegengestelde tekens.

We passen ze meteen toe op het dakspant van de woonmodule (volgende bladen): een Fink-spant van 6,0 m met een helling van 30°. De bovenrand heeft een knoop halverwege elk dakvlak (D en E), de onderrand knopen op een derde (F en G), en de diagonalen vormen een W. Bij 30° staat DF precies loodrecht op de bovenrand.

Pythonvakwerk.py47 regelsDownload

# vakwerk.py - staafkrachten van een statisch bepaald vakwerk (evenwicht per knoop, als stelsel: hoofdstuk 5)import mathimport numpy as np  def vakwerk(knopen, staven, steunen, lasten):    """knopen {naam: (x, y)} in m; staven [(p, q)]; steunen [(knoop, richting)]; lasten {knoop: (Fx, Fy)} in kN.    Geeft de staafkrachten (trek positief) en de reacties."""    rij = {k: 2 * i for i, k in enumerate(knopen)}           # rij 2i: evenwicht in x, rij 2i+1: in y    m, r, k = len(staven), len(steunen), len(knopen)    if m + r != 2 * k:        raise ValueError(f"m + r = {m + r} en 2k = {2 * k}: niet statisch bepaald")    A = np.zeros((2 * k, m + r))    for j, (p, q) in enumerate(staven):        e = np.subtract(knopen[q], knopen[p])        e = e / np.linalg.norm(e)                             # eenheidsvector van p naar q        A[rij[p]:rij[p] + 2, j] += e                          # een trekkracht trekt p naar q ...        A[rij[q]:rij[q] + 2, j] -= e                          # ... en q naar p    for j, (knoop, richting) in enumerate(steunen):        A[rij[knoop]:rij[knoop] + 2, m + j] += richting    if np.linalg.matrix_rank(A) < 2 * k:        raise ValueError("singuliere matrix: een mechanisme of een kritische vorm")    F = np.zeros(2 * k)    for knoop, f in lasten.items():        F[rij[knoop]:rij[knoop] + 2] += f    x = np.linalg.solve(A, -F)                                # A x + F = 0 in elke knoop    return x[:m], x[m:]  # het dakspant van de woonmodule: Fink, 6,0 m, 30 graden, spanten om de 0,60 mh = math.tan(math.radians(30))knopen = {"A": (0, 0), "D": (1.5, 1.5 * h), "C": (3, 3 * h), "E": (4.5, 1.5 * h), "B": (6, 0), "F": (2, 0), "G": (4, 0)}staven = [("A", "D"), ("D", "C"), ("C", "E"), ("E", "B"), ("A", "F"), ("F", "G"), ("G", "B"),          ("D", "F"), ("F", "C"), ("C", "G"), ("G", "E")]steunen = [("A", (1, 0)), ("A", (0, 1)), ("B", (0, 1))]      # scharnier in A, rol in B # rekenwaarden 1,35 G + 1,5 S per spant, in kN per meter horizontaalq_boven = 1.35 * 0.60 / math.cos(math.radians(30)) * 0.60 + 1.5 * 0.40 * 0.60q_onder = 1.35 * 0.30 * 0.60lasten = {"D": (0, -1.5 * q_boven), "C": (0, -1.5 * q_boven), "E": (0, -1.5 * q_boven),          "F": (0, -2.0 * q_onder), "G": (0, -2.0 * q_onder),          "A": (0, -0.75 * q_boven - q_onder), "B": (0, -0.75 * q_boven - q_onder)} krachten, reacties = vakwerk(knopen, staven, steunen, lasten)for (p, q), s in zip(staven, krachten):    print(f"staaf {p}{q}: {s:6.2f} kN  {'trek' if s > 0 else 'druk'}")print(f"reacties: Ay = {reacties[1]:.2f} kN, By = {reacties[2]:.2f} kN (Ax = 0: geen horizontale last)")

De staafkrachten van het spant: de bovenrand draagt tot 5,1 kN druk, de onderrand tot 4,4 kN trek.

Uitvoer:

staaf AD:  -5.12 kN  druk
staaf DC:  -4.43 kN  druk
staaf CE:  -4.43 kN  druk
staaf EB:  -5.12 kN  druk
staaf AF:   4.43 kN  trek
staaf FG:   2.95 kN  trek
staaf GB:   4.43 kN  trek
staaf DF:  -1.20 kN  druk
staaf FC:   1.76 kN  trek
staaf CG:   1.76 kN  trek
staaf GE:  -1.20 kN  druk
reacties: Ay = 3.49 kN, By = 3.49 kN (Ax = 0: geen horizontale last)

De tekens volgen de regels van het vorige blad: bovenrand druk, onderrand trek, de korte diagonalen DF en GE (schoren die de bovenrand halverwege ondersteunen) druk, de lange FC en CG (die de onderrand aan de nok ophangen) trek. Wie een staaf vergeet of een steun verkeerd kiest, krijgt geen fout getal maar een duidelijke melding.

Uitgewerkt voorbeeld · 13.8

Habitat: de lasten op het dakspant

8/14

Het dak van de woonmodule (binnen 6,0 × 4,0 m) is een zadeldak met een helling van 30°. De spanten overspannen 6,0 m en staan om de 0,60 m (acht spanten over de 4,0 m); de nok loopt evenwijdig aan de korte zijde, zodat één dakvlak op het zuiden kijkt (later misschien zonnepanelen). Bepaal de knooplasten op één spant volgens de Eurocode, met eigengewicht en sneeuw.

Het Fink-spant met de knooplasten (rekenwaarden per spant). Bij 30° staan de korte diagonalen loodrecht op de bovenrand.

Gegeven

dakbedekking met latten, onderdak en spant: $0, 60 kN/ m^{2}$ dakvlak; plafond met isolatie: $0, 30 kN/ m^{2}$
sneeuw: $s_{k} = 0, 5 kN/ m^{2}$ (België, tot 100 m hoogte), vormfactor $μ_{1} = 0, 8$ tot 30°; per m² horizontaal
combinatie $1, 35 G + 1, 5 S$ ; h.o.h. 0,60 m

Gevraagd

lijnlasten per spant en de knooplasten

Oplossing

1
Eigengewicht dak per m horizontaal: een dakvlak van 1 m horizontaal is $1/ cos 3 0^{\circ} = 1, 155 m$ lang, dus $0, 60 \cdot 1, 155 \cdot 0, 60 = 0, 416 kN/m$ . Plafond: $0, 30 \cdot 0, 60 = 0, 18 kN/m$ . Sneeuw: $s = μ_{1} s_{k} = 0, 40 kN/ m^{2}$ horizontaal, $0, 40 \cdot 0, 60 = 0, 24 kN/m$ .
2
Rekenwaarden: bovenrand $q = 1, 35 \cdot 0, 416 + 1, 5 \cdot 0, 24 = 0, 921 kN/m$ ; onderrand $1, 35 \cdot 0, 18 = 0, 243 kN/m$ .
3
Naar de knopen: elke knoop krijgt de last van de halve vakken ernaast. Bovenrand (vakken van 1,5 m horizontaal): D, C en E elk $1, 5 \cdot 0, 921 = 1, 38 kN$ . Onderrand (vakken van 2,0 m): F en G elk $0, 49 kN$ . De rest gaat rechtstreeks in de opleggingen A en B.

Asymmetrische sneeuw. Wind blaast sneeuw van één dakvlak: de norm laat ook

0, 5 μ_{1}

op één vlak en

μ_{1}

op het andere nakijken. Beide gevallen (het tweede met de halve sneeuw op het noordvlak):

staaf	lengte (m)	symmetrische sneeuw (kN)	sneeuw half op het noordvlak (kN)
AD	1,732	−5,12	−4,58
DC	1,732	−4,43	−4,02
CE	1,732	−4,43	−4,16
EB	1,732	−5,12	−4,85
AF	2,000	+4,43	+3,96
FG	2,000	+2,95	+2,72
GB	2,000	+4,43	+4,20
DF	1,000	−1,20	−0,96
FC	2,000	+1,76	+1,52
CG	2,000	+1,76	+1,76
GE	1,000	−1,20	−1,20

Antwoord

Per spant: 1,38 kN in D, C en E, 0,49 kN in F en G (rekenwaarden). Symmetrische sneeuw is hier het zwaarste geval; de reacties zijn elk 3,49 kN.

Klopt dit? Totaal:

6, 0 \cdot (0, 921 + 0, 243) = 6, 99 kN

, en

2 \cdot 3, 493 = 6, 99 kN

. In België is sneeuw licht (in de bergen vaak tien keer zwaarder), maar ze telt hier toch voor bijna een derde van de rekenlast. De echte waarden (ook voor wind: zuiging kan de krachten omkeren, opdracht 13.9) geeft de nationale bijlage van de Eurocode.

Uitgewerkt voorbeeld · 13.9

Habitat: de doorsneden van het spant kiezen

9/14

Kies de doorsneden van het spant in vuren C24: de randen 45 × 95 mm, de diagonalen 45 × 70 mm. Controleer trek, druk met knik, en de bovenrand, die ook de dakbedekking tussen de knopen draagt (buiging, hoofdstuk 12).

Een nagelplaat in de nok: de knoop die het model een scharnier noemt.

Gegeven

staafkrachten van vakwerk.py (rekenwaarden)
C24: $f_{c,0,k} = 21$ , $f_{t,0,k} = 14, 5$ , $f_{m,k} = 24 MPa$ ; sneeuw is een korte last: $k_{mod} = 0, 9$ , $γ_{M} = 1, 3$ ; voor knik de lage waarde $E_{0, 05} = 7, 4 GPa$
de panlatten houden de bovenrand zijdelings vast; het plafond de onderrand

Gevraagd

een controle per staaftype

Oplossing

1
Rekenwaarden van de sterkte: $f_{c,0,d} = 0, 9 \cdot 21/1, 3 = 14, 5 MPa$ , $f_{t,0,d} = 10, 0 MPa$ , $f_{m,d} = 16, 6 MPa$ .
2
Buiging van de bovenrand: de last $q = 0, 921 kN/m$ (horizontaal gemeten) geeft loodrecht op de schuine rand $q cos^{2} 3 0^{\circ} = 0, 691 kN/m$ per m rand; over een vak van 1,732 m als balk op twee steunen $M = q L^{2} /8 = 0, 259 kN m$ (een doorlopende rand minder).

Alle controles:

staaf	kracht	doorsnede	controle	benutting
bovenrand AD (druk + buiging)	−5,12 kN; $M = 0, 259 kN m$	45 × 95	$(σ_{c} / f_{c,0,d})^{2} + σ_{m} / f_{m,d}$ : $(1, 20/14, 5)^{2} + 3, 83/16, 6$	0,24
bovenrand AD (knik in het vlak)	−5,12 kN	45 × 95, $L = 1, 73 m$	$F_{k} = π^{2} E_{0, 05} I / L^{2} = 78 kN$	0,07
onderrand AF (trek)	+4,43 kN	45 × 95	$σ_{t} = 1, 04 MPa \leq 10, 0 MPa$	0,10
diagonaal DF (druk, knik uit het vlak)	−1,20 kN	45 × 70, $L = 1, 00 m$	$F_{k} = 38, 8 kN$ (zwakke as)	0,03
diagonaal FC (trek)	+1,76 kN	45 × 70	$σ_{t} = 0, 56 MPa$	0,06

Antwoord

Randen 45 × 95 mm en diagonalen 45 × 70 mm in C24 voldoen ruim; de bovenrand is het zwaarst benut (0,24), vooral door de buiging tussen de knopen, niet door de staafkracht.

Klopt dit? Waarom dan niet dunner? Omdat de verbindingen beslissen: een nagelplaat heeft een minimale houtbreedte en -dikte nodig om zijn tanden in te drukken, en het spant moet het dragen en monteren overleven. Echte fabrieksspanten van deze overspanning zijn meestal 35 à 47 mm dik en 70 à 120 mm hoog: dezelfde orde. De doorbuiging volgt op het volgende blad.

Uitleg · 13.10

Het idee van de eindige-elementenmethode

10/14

De knooppunten- en snedemethode gebruiken alleen evenwicht. Voor een overtallig vakwerk, een schaal, een motorblok of een windturbineblad volstaat dat niet: dan moet je ook weten hoe elk deel vervormt. De eindige-elementenmethode (EEM, in het Engels FEM) doet dat in vijf stappen:

Opdelen in eenvoudige stukken (elementen), verbonden in knopen. De onbekenden zijn de verplaatsingen van de knopen (de vrijheidsgraden).
Elke element krijgt een stijfheidsmatrix: welke krachten horen bij welke verplaatsingen van zijn knopen. Voor een staaf op trek of druk is dat de veer van hoofdstuk 12: $k = E A / L$ .
Assembleren: tel alle elementmatrices op in één grote matrix $K$ , op de plaatsen van hun knopen.
Randvoorwaarden (steunen: verplaatsing nul) invullen en $K u = F$ oplossen.
Nabewerken: uit de verplaatsingen volgen de rek, de krachten en de spanningen in elk element.

Een voorbeeld in één dimensie: de mast van de windturbine (hoofdstuk 11 en 12) als drie staafelementen van 4,0 m die op druk werken, met het gewicht van de gondel bovenaan en het eigen gewicht van elk stuk half in elke knoop. Elk element geeft $[k - k - k k]$ met $k = E A / L = 197, 5 MN/m$ . Opgeteld en met knoop 0 vast ontstaat de matrix van de figuur. Oplossen geeft verplaatsingen van 22,1, 38,4 en 48,8 µm (naar beneden: staal is stijf), en de krachten in de elementen $k (u_{i} - u_{i - 1})$ : −4,37, −3,21 en −2,05 kN druk, precies het gewicht boven elk element. Voor een statisch bepaalde constructie geeft de EEM dus hetzelfde als evenwicht, plus de vervorming.

een staafelement in het vlak

k_{e} = \frac{E A}{L} b b^{T}, b = (- c, - s, c, s) K = e \sum k_{e} K u = F S = \frac{E A}{L} b \cdot u_{e}

(c, s)

is de eenheidsvector van de staaf. De verlenging is de verplaatsing van de ene knoop min die van de andere, geprojecteerd op de staaf:

b \cdot u_{e}

. Vermenigvuldigd met

E A / L

is dat de staafkracht.

Een echt EEM-programma gebruikt ook balkelementen (die buigen: zo vond hoofdstuk 11 de tweede eigenfrequentie van de mast), platen, schalen en volume-elementen, soms met miljoenen vrijheidsgraden. Het principe blijft: kleine stukken, één stelsel. Een fout in de invoer (een vergeten steun, een verkeerde eenheid) geeft vrolijk een verkeerd antwoord: controleer altijd met een handberekening zoals die van dit hoofdstuk.

Drie elementen, drie onbekende verplaatsingen: elke element voegt zijn stijfheid toe op de diagonaal van zijn twee knopen en −k ertussen.

Code · 13.11

Habitat: het spant als stijfheidsmodel

11/14

Hetzelfde spant, nu met de stijfheidsmethode. Elke staaf krijgt haar echte $E A$ (vuren, $E = 11 GPa$ gemiddeld; randen 45 × 95, diagonalen 45 × 70 mm). Het programma maakt de $14 \times 14$ -matrix $K$ , schrapt de drie vaste vrijheidsgraden (A in $x$ en $y$ , B in $y$ ) en lost op. Daarna een tweede geval: een dragende tussenwand onder knoop F, zoals iemand die zou voorstellen om het spant 'te helpen'. Dan zijn er vier reacties: statisch onbepaald, en evenwicht alleen volstaat niet meer.

Pythonfem_vakwerk.py55 regelsDownload

# fem_vakwerk.py - het dakspant als stijfheidsmodel: K u = F (het idee van de eindige-elementenmethode)import mathimport numpy as np h = math.tan(math.radians(30))knopen = {"A": (0, 0), "D": (1.5, 1.5 * h), "C": (3, 3 * h), "E": (4.5, 1.5 * h), "B": (6, 0), "F": (2, 0), "G": (4, 0)}staven = [("A", "D"), ("D", "C"), ("C", "E"), ("E", "B"), ("A", "F"), ("F", "G"), ("G", "B"),          ("D", "F"), ("F", "C"), ("C", "G"), ("G", "E")]E = 11e6                                                      # vuren C24, gemiddeld (kN/m2)EA = {st: E * (0.045 * 0.095 if i < 7 else 0.045 * 0.070) for i, st in enumerate(staven)}   # randen en diagonalen (kN)idx = {k: i for i, k in enumerate(knopen)}  def spantlasten(q_links, q_rechts, q_onder):    return {"D": (0, -1.5 * q_links), "C": (0, -0.75 * (q_links + q_rechts)), "E": (0, -1.5 * q_rechts),            "F": (0, -2.0 * q_onder), "G": (0, -2.0 * q_onder),            "A": (0, -0.75 * q_links - q_onder), "B": (0, -0.75 * q_rechts - q_onder)}  def element(p, q):    """Een staaf van p naar q: rek = b . (u_p, u_q) / L, dus stijfheid EA/L * b b^T met b = (-c, -s, c, s)."""    d = np.subtract(knopen[q], knopen[p])    L = np.linalg.norm(d)    b = np.concatenate([-d / L, d / L])    vg = [2 * idx[p], 2 * idx[p] + 1, 2 * idx[q], 2 * idx[q] + 1]   # de vier vrijheidsgraden van de staaf    return L, b, vg  def los(vaste_vg, lasten):    n = 2 * len(knopen)    K, F = np.zeros((n, n)), np.zeros(n)    for st in staven:                                         # 1. elementen maken en 2. assembleren        L, b, vg = element(*st)        K[np.ix_(vg, vg)] += EA[st] / L * np.outer(b, b)    for knoop, f in lasten.items():        F[2 * idx[knoop]:2 * idx[knoop] + 2] += f    vrij = [i for i in range(n) if i not in vaste_vg]         # 3. randvoorwaarden: vaste vrijheidsgraden weg    u = np.zeros(n)    u[vrij] = np.linalg.solve(K[np.ix_(vrij, vrij)], F[vrij])  # 4. oplossen    krachten = [EA[st] / element(*st)[0] * element(*st)[1] @ u[element(*st)[2]] for st in staven]   # 5. nabewerken    return u, np.array(krachten), K @ u - F  q_b = 0.60 / math.cos(math.radians(30)) * 0.60                # eigengewicht dak (kN/m, horizontaal)q_s, q_o = 0.40 * 0.60, 0.30 * 0.60                           # sneeuw en plafondsteunen = [0, 1, 2 * idx["B"] + 1]                            # A vast in x en y, B alleen in y u, s1, R = los(steunen, spantlasten(1.35 * q_b + 1.5 * q_s, 1.35 * q_b + 1.5 * q_s, 1.35 * q_o))print("rekenwaarden, twee steunen:  " + " ".join(f"{p}{q} {x:5.2f}" for (p, q), x in zip(staven, s1)))u_k, _, _ = los(steunen, spantlasten(q_b + q_s, q_b + q_s, q_o))print(f"doorbuiging (karakteristiek): nok {-1000 * u_k[2 * idx['C'] + 1]:.2f} mm, "      f"onderrand in F {-1000 * u_k[2 * idx['F'] + 1]:.2f} mm, rol B schuift {1000 * u_k[2 * idx['B']]:.2f} mm")u_w, s2, R2 = los(steunen + [2 * idx["F"] + 1], spantlasten(1.35 * q_b + 1.5 * q_s, 1.35 * q_b + 1.5 * q_s, 1.35 * q_o))print("met tussenwand onder F:      " + " ".join(f"{p}{q} {x:5.2f}" for (p, q), x in zip(staven, s2)))print(f"reacties met tussenwand: A {R2[1]:.2f}, F {R2[2 * idx['F'] + 1]:.2f}, B {R2[2 * idx['B'] + 1]:.2f} kN")

Boven: de vervorming met twee steunen, 150 keer vergroot (stippellijn: onvervormd; kleuren zoals ervoor). Onder: met een dragende tussenwand onder F wisselen diagonaal FC en bovenrand DC van teken (krachten in kN).

Uitvoer:

rekenwaarden, twee steunen:  AD -5.12 DC -4.43 CE -4.43 EB -5.12 AF  4.43 FG  2.95 GB  4.43 DF -1.20 FC  1.76 CG  1.76 GE -1.20
doorbuiging (karakteristiek): nok 0.82 mm, onderrand in F 0.88 mm, rol B schuift 0.36 mm
met tussenwand onder F:      AD -0.13 DC  0.56 CE -1.93 EB -2.62 AF  0.11 FG  0.79 GB  2.27 DF -1.20 FC -2.56 CG  1.76 GE -1.20
reacties met tussenwand: A 1.00, F 3.74, B 2.24 kN

Twee steunen: de krachten zijn dezelfde als die van vakwerk.py (de verschillen zijn afrondingsfouten van de computer). Nieuw is de vervorming: onder de karakteristieke lasten zakt de nok 0,82 mm en schuift de rol 0,36 mm weg, omdat de onderrand langer wordt. In werkelijkheid zakt een spant meer: de tanden van de nagelplaten geven wat mee (slip). Een doorbuiging van een paar millimeter over 6 m is ruim binnen $L /300 = 20 mm$ .

Met een tussenwand neemt de wand 3,74 kN op, meer dan de muren zelf (A 1,00, B 2,24 kN). Diagonaal FC slaat om van +1,76 kN trek naar −2,56 kN druk, en de bovenrand DC van druk naar trek. Die staven zijn daar niet voor ontworpen: een nagelplaatverbinding op trek die plots op druk werkt, of een trekstaaf die kan knikken. Daarom geldt voor spanten een eenvoudige regel: tussenwanden krijgen een speling van enkele millimeter onder de onderrand en dragen het dak niet (opdracht 13.13).

Ontleed · 13.12

Een nagelplaatspant ontleed

12/14

Een fabrieksspant voor het dak van de woonmodule: de staven van het model, en wat het model niet toont.

Schematisch: het spant (Fink, 6,0 m, 30°) op de muurplaten, met nagelplaten, panlatten en plafond.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Bovenrand
Druk (tot 5,1 kN) en buiging door de dakbedekking tussen de knopen. De panlatten houden hem zijdelings vast: uit het vlak knikt hij niet.
2
Onderrand
Trek (tot 4,4 kN): de trekband die de twee dakvlakken samenhoudt, zodat de muren geen spatkracht krijgen. Draagt ook het plafond.
3
Korte diagonaal
Druk: een schoor die de bovenrand halverwege ondersteunt en zijn kniklengte halveert.
4
Lange diagonaal
Trek: hangt de onderrand aan de nok op. Met een dragende tussenwand eronder zou ze op druk komen.
5
Nagelplaat
Een verzinkte stalen plaat met tanden, in beide zijden van de knoop geperst. De knoop is geen echt scharnier, maar slank hout maakt het verschil klein.
6
Oplegging op de muurplaat
Beide uiteinden worden vastgezet (tegen wind die het dak wil optillen). Omdat de onderrand de horizontale kracht zelf opneemt, duwt het spant niet tegen de muren.
7
Panlatten
Dragen de pannen naar de spanten en verbinden alle spanten in de lengte. Samen met een schuin windverband houden ze de spanten rechtop.
8
Plafond met isolatie
0,30 kN/m² op de onderrand; in de knopen F en G als last, ertussen als buiging van de onderrand.
9
Tussenwand met speling
Draagt het dak niet: enkele millimeter ruimte onder de onderrand, zodat het spant vrij kan doorbuigen (vorig blad).

Naslag · 13.13

Vakwerken: formules en werkwijze

13/14

Werkwijze: (1) tellen en de vorm nakijken (bepaald, mechanisme, overtallig, kritisch); (2) lasten naar de knopen brengen; (3) reacties; (4) krachten met de knooppuntenmethode (alles), de snedemethode (één staaf) of een programma; (5) tekens controleren met de regels (randen $\approx \pm M / h$ , diagonalen $\approx V / sin θ$ ); (6) doorsneden: trek op sterkte, druk op sterkte en knik, lasten tussen de knopen als buiging; (7) bij een overtallig vakwerk of als de vervorming telt: de stijfheidsmethode.

statisch bepaald vlak vakwerk

m + r = 2 k, det A \neq = 0

symbool	betekenis	eenheid
$m$	aantal staven	-
$r$	aantal reacties	-
$k$	aantal knopen	-

knooppuntenmethode

staven \sum S \overset{e}{^} + F + R = 0 per knoop

symbool	betekenis	eenheid
$S$	staafkracht (trek +)	kN

snedemethode (evenwijdige randen)

S_{rand} = \pm \frac{M}{h}, S_{diag} = \frac{V}{sin θ}

stijfheidsmethode

k_{e} = \frac{E A}{L} b b^{T}, K u = F, S = \frac{E A}{L} b \cdot u_{e}

sneeuw en lastcombinatie (Eurocode)

s = μ_{1} s_{k}, 1, 35 G + 1, 5 Q

Het geheel · 13.14

Waar vakwerken vandaan komen en waar ze heen gaan

14/14

Vakwerken brengen samen wat deel E2 opbouwde: evenwicht, vectoren en matrices, spanning en knik. De stijfheidsmethode is de brug naar de numerieke wiskunde (grote stelsels, conditie) en naar elk modern ontwerpprogramma. Ontwerpen (D) is hier letterlijk: de vorm van een constructie volgt de krachten.

F13 Constructies: sterk en stabiel

De driehoek, vakwerkbruggen en trek- en drukstaven aanwijzen: nu met getallen.

I10 Moment en evenwicht

Evenwicht, reacties en statisch bepaald; de invloedslijn van de vloerbalk.

E5 Vectoren en matrices

Het vakwerk als stelsel A s = −F, Gauss en numpy; conditie van een matrix.

E2 Optimaliseren

De hoogte van een brug met het minste materiaal (opdracht 13.14).

E11 Trillingen en resonantie

Het balkmodel van de mast met eindige elementen: de tweede eigenfrequentie.

E12 Sterkteleer

Van staafkracht naar doorsnede: trek, druk, knik en buiging van de bovenrand.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Grote stelsels oplossen en de nauwkeurigheid van numerieke modellen.

E28 Materiaalkunde

Hout, staal en composieten kiezen voor staven op trek en druk.

E45 Systems engineering en het V-model

Eisen (lasten, doorbuiging) en verificatie van een ontwerp met een model.

E47 Duurzaamheid en levenscyclusanalyse

Hout of staal voor het dak: de milieu-impact van de keuze.

HabitatHabitat heeft nu een dak: acht Fink-spanten van 6,0 m onder 30°, om de 0,60 m, uit vuren C24 (randen 45 × 95, diagonalen 45 × 70 mm) met nagelplaten. Bij de rekenlast van sneeuw en eigengewicht draagt de bovenrand hoogstens 5,1 kN druk en de onderrand 4,4 kN trek; de nok zakt minder dan een millimeter plus de slip van de verbindingen. Tussenwanden krijgen speling. Het zuidvlak kan zonnepanelen dragen (opdracht 13.11); hoofdstuk 24 dimensioneert het zonnepark van het station.

Samenvatting

In het kort

Een ideaal vakwerk heeft rechte staven, scharnierende knopen en lasten in de knopen: elke staaf draagt alleen trek of druk.
Statisch bepaald als $m + r = 2 k$ én de evenwichtsmatrix regelmatig is; anders een mechanisme, een kritische vorm of een overtallig vakwerk.
Knooppuntenmethode: evenwicht per knoop, onbekende krachten als trek getekend, beginnen bij een knoop met twee onbekenden; nulstaven zie je zonder rekenen.
Snedemethode: snij door drie staven en neem momenten om het snijpunt van twee ervan; randen $\approx M / h$ , diagonalen $V / sin θ$ .
Onder zwaartekracht op twee steunen: bovenrand druk, onderrand trek; diagonalen volgen de dwarskracht (Pratt trek, Howe druk). Trekstaven slank, drukstaven stijf.
De eindige-elementenmethode: elementen met stijfheid $E A / L$ , assembleren tot $K$ , randvoorwaarden, $K u = F$ oplossen, krachten nabewerken; ze werkt ook als evenwicht alleen niet volstaat.
Habitat: het Fink-spant (6,0 m, 30°) in C24 45 × 95 en 45 × 70 mm draagt de sneeuw ruim; een dragende tussenwand zou krachten doen omslaan.

Begrippen

Wat je nu kent

ideaal vakwerk: Rechte staven, scharnierend verbonden in knopen, met de lasten alleen in de knopen: elke staaf draagt dan alleen een kracht langs zichzelf.
statisch bepaald: Alle staafkrachten en reacties volgen uit evenwicht alleen: $m + r = 2 k$ en de evenwichtsmatrix is regelmatig.
mechanisme: Een constructie die kan bewegen zonder dat een staaf van lengte verandert: te weinig staven of steunen, of een ongelukkige schikking.
knooppuntenmethode: Evenwicht van de krachten in elke knoop, knoop na knoop of als één stelsel.
snedemethode: Het vakwerk in gedachten doorsnijden door hoogstens drie staven en het evenwicht van één deel gebruiken, vaak met een momentenvergelijking om het snijpunt van twee staven (Ritter).
nulstaaf: Een staaf die bij een bepaalde belasting geen kracht draagt; ze is er voor stabiliteit, andere lastgevallen of om knik te beletten.
invloedslijn: Grafiek van een kracht in één staaf (of een reactie) tegenover de plaats van een last die over de constructie beweegt.
eindige-elementenmethode: Een constructie opdelen in eenvoudige stukken (elementen) met een eigen stijfheidsmatrix, die samen één stelsel K u = F vormen; oplossen geeft verplaatsingen, daaruit volgen krachten en spanningen.
stijfheidsmatrix: $K$ in $K u = F$ : kolom $j$ geeft de krachten die nodig zijn om alleen vrijheidsgraad $j$ een eenheid te verplaatsen.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen