Van veer en slinger tot windturbine: waarom dingen trillen, hoe hard, en hoe je ze stilhoudt
Je oefent eerst eigenfrequenties, slingers, inzakking en demping, en je leest een Campbell-diagram. Daarna meet je zelf aan een veer en een slinger, reken je aan een wasmachine en een auto, simuleer je een resonantiekromme en maak je een trillingsplan voor het station (opdracht 11.11). De uitdagingen gaan over een gestemde massademper voor de mast, de slinger bij grote uitwijking, het ontwerp van een trillingsopnemer en voetgangers als negatieve demping.
De windturbine van het station staat op een eigen mast, vijftien meter van de woonmodule. In dit hoofdstuk ontdek je waarom.
Hoe lees je een opdracht?
Drie tredenOefenenToepassenUitdagen
Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).
De StemExpert-schaal5
Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
11.1
Een massa aan een veer
Oefenen6Rekenen15 min
Een massa van 0,40 kg hangt aan een veer met k = 60 N/m. Je trekt ze 3,0 cm onder haar evenwicht en laat los.
a
Bereken de eigenfrequentie, de periode en hoeveel de veer in evenwicht is uitgerekt.
b
Bereken de grootste snelheid, de grootste versnelling en de trillingsenergie.
c
Je hangt twee zulke veren onder elkaar (serie) en daarna naast elkaar (parallel). Wat wordt de frequentie telkens?
11.2
Slingers
Oefenen6Rekenen15 min
Gebruik g = 9,81 m/s² op aarde en 1,62 m/s² op de maan.
a
Hoe lang is een slinger met een periode van 2,0 s (één tik per seconde)?
b
Welke periode heeft diezelfde slinger op de maan?
c
Een meetlat van 1,00 m slingert om een uiteinde. Bereken de periode en de lengte van de 'gewone' slinger met dezelfde periode.
11.3
Inzakken en trillen
Oefenen6Rekenen15 min
Gebruik f0≈15,8/δ met δ de statische inzakking in mm.
a
Een koelkast zakt 2,0 mm in op haar rubberen voeten. Schat haar eigenfrequentie.
b
Een auto zakt 15 cm in als je hem op zijn wielen zet. Schat de eigenfrequentie van de carrosserie. Waarom kiezen autobouwers ongeveer deze waarde?
c
Hoeveel moet een machine inzakken voor een eigenfrequentie van 5 Hz? En voor 1 Hz?
d
Waarom mag je deze vuistregel niet gebruiken voor de mast van de windturbine?
11.4
Demping uit een meting
Oefenen6Analyseren20 min
Een sensorarm in de meetkas krijgt een tik en dooft uit. Opeenvolgende toppen van de uitwijking (mm): 12,0, 9,8, 8,0, 6,6, 5,4. De periode is 0,12 s.
a
Bereken het logaritmisch decrement over de vier perioden samen, en de dempingsverhouding ζ.
b
Bereken Q. Na hoeveel perioden is de amplitude gehalveerd?
c
Waarom neem je de verhouding over vier perioden in plaats van tussen twee opeenvolgende toppen?
11.5
Waar of niet waar?
Oefenen6Begrijpen15 min
Beoordeel elke uitspraak en verklaar in één of twee zinnen.
a
(a) De Tacoma Narrows Bridge stortte in omdat de wind precies op haar eigenfrequentie blies. (b) Een slinger met een zwaardere massa heeft een langere periode. (c) Bij resonantie loopt de beweging 90° achter op de kracht.
b
(d) Een machine isoleer je het best met zo stijf mogelijke rubberen voeten. (e) Meer demping verlaagt altijd de kracht die naar de vloer gaat. (f) Een stijvere mast is voor een windturbine altijd beter.
11.6
Een Campbell-diagram lezen
Oefenen6Rekenen20 min
Een andere turbine (Ø 5,6 m, drie bladen) draait van 60 tot 200 tpm. Haar mast heeft een eerste eigenfrequentie van 2,5 Hz en een tweede van 14 Hz.
a
Bereken de 1P- en 3P-banden in bedrijf.
b
Bij welke toerentallen raken 1P en 3P de twee eigenfrequenties? Welke liggen in het werkgebied?
f₁ = 2,5 Hz
f₂ = 14 Hz
c
Welke strategie (stijf-stijf, zacht-stijf, zacht-zacht) zou je kiezen, en tussen welke waarden moet f₁ dan liggen (10 % marge)?
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
11.7
Eigen meting: veer en slinger
Toepassen7Labo50 min
Meet de veerconstante van een schroefveer op twee manieren (uitrekken en trillen) en de periode van een slinger bij verschillende lengtes. Een smartphone met een app die de versnellingsmeter uitleest, geeft de periode heel nauwkeurig als je hem als massa gebruikt.
a
Veer: meet voor vijf massa's de verlenging in rust en de tijd voor 10 trillingen.
m (kg)
verlenging (mm)
10 T (s)
T (s)
T² (s²)
b
Bepaal k uit beide grafieken en de meebewegende massa van de veer uit het snijpunt. Vergelijk met de gewogen massa van de veer gedeeld door drie.
c
Slinger: meet T voor L = 0,25; 0,50; 0,75 en 1,00 m (kleine uitwijking) en bepaal g uit de helling van T² tegen L.
d
Meet bij L = 1,00 m ook T bij 10°, 30°, 60°. Vergelijk met de figuur van het handboek.
Zo wordt dit beoordeeld
Meting
Tien perioden per meting, start bij een doorgang door het evenwicht, eenheden in de tabel.
Verwerking
Twee grafieken met rechte en helling; k twee keer bepaald; snijpunt geïnterpreteerd als meebewegende massa.
Slinger
g uit de helling 4π²/g met een relatieve fout; effect van grote hoeken zichtbaar.
Besluit
Verschillen tussen de methoden verklaard (afleesfout, massa van de veer, luchtweerstand, amplitude).
11.8
Een wasmachine centrifugeert
Toepassen7Rekenen25 min
De trommel van een wasmachine (met kuip en motor 30 kg) hangt aan veren van samen 40 kN/m, met demping ζ = 0,1. Een prop natte was zorgt voor een onbalans van 0,5 kg op 0,25 m. De machine centrifugeert op 1400 tpm.
a
Bereken de eigenfrequentie van de kuip in Hz en in tpm.
b
Bereken de uitwijking van de kuip bij 1400 tpm, en bij het doorlopen van de resonantie als de trommel daar zou blijven draaien.
c
Hoe groot is de onbalanskracht bij 1400 tpm, en welk deel daarvan gaat naar de behuizing?
d
Waarom verdeelt een wasmachine eerst de was op een laag toerental voor ze versnelt?
11.9
Een resonantiekromme simuleren
Toepassen7Programmeren35 min
Een model van de mast met een extra demper: k=9839N/m, m=233,5kg, ζ=0,05, en een kracht van 100 N amplitude.
a
Schrijf een programma dat voor een reeks frequenties de beweging simuleert (Heun) tot de vrije trilling uitgestorven is, en de amplitude van de evenwichtstoestand bepaalt.
b
Vergelijk met de formule van het handboek. Hoe lang moet je minstens simuleren, en waarom?
c
Bepaal uit de kromme de breedte van de piek op 1/2 van de top. Toon dat ζ≈Δf/(2f0).
11.10
Een auto op een ribbelweg
Toepassen7Analyseren25 min
Een onverharde weg golft: ze gaat sinusvormig 1,0 cm op en neer rond haar gemiddelde, met een golflengte van 5,0 m. De carrosserie van een auto heeft een eigenfrequentie van 1,3 Hz op haar veren, met ζ = 0,3. De weg beweegt de wielen op en neer; de carrosserie volgt via de veren.
a
Bij welke snelheid rijdt de auto in resonantie? Hoe groot is de beweging van de carrosserie dan?
b
Hoe groot is ze bij 90 km/h?
c
Een chauffeur zegt: 'over zo'n weg moet je snel rijden, dan voel je het minder.' Klopt dat? Wat is het nadeel?
11.11
Habitat: een trillingsplan voor het station
Toepassen7Habitat60 min
Het team wil twee dingen vastleggen. (1) Iemand stelt voor de mast 'voor de zekerheid' te maken uit een dikkere buis van 273,0 × 6,3 mm (497 kg, I = 4696 cm⁴). (2) Het station krijgt misschien een warmtepomp (hoofdstuk 16). Neem als rekenwaarden: de buitenunit weegt 60 kg, staat op vier voeten naast de woonmodule en haar compressor draait met een frequentieregelaar tussen 30 en 90 Hz. Gebruik de catalogus van het handboek.
type (voorbeeldcatalogus)
stijfheid per voet
grootste last per voet
opbouw
A
25 kN/m
60 N
zacht rubber, drukbelast
B
40 kN/m
100 N
rubber, drukbelast
C
90 kN/m
250 N
rubber, drukbelast
D
250 kN/m
600 N
hard rubber, drukbelast
E
45 kN/m
250 N
rubber op afschuiving (duurder)
a
Bereken de eerste eigenfrequentie van de mast met de dikkere buis (gondel 150 kg, E = 210 GPa). Vergelijk met 1P bij 80 tpm. Wat besluit je?
b
Kies voeten voor de warmtepomp: bereken voor elk type fₙ, de inzakking, T bij 30 Hz en bij 90 Hz, en of de last per voet past.
type
fₙ (Hz)
inzakking (mm)
T bij 30 Hz
T bij 90 Hz
last past?
c
Welke eisen stel je aan de aansluitingen van de warmtepomp (leidingen, kabels) opdat de voeten hun werk kunnen doen?
d
Schrijf een trillingsplan van 6 à 8 regels voor het dossier: mast, regels voor de turbine, voeten voor pomp en warmtepomp, en wat het brein bewaakt.
Zo wordt dit beoordeeld
Mast
f₁ met k = 3EI/L³ en de meebewegende massa; vergelijking met 1P; besluit onderbouwd (marge 5 % is te klein).
Voeten
Alle types doorgerekend; overbelasting herkend; keuze met T bij de laagste frequentie.
Aansluitingen
Flexibele stukken in leidingen en kabels; geen stijve verbinding naast de voeten.
Plan
Kort, met getallen, en met een bewakingstaak voor het brein.
11.12
Door de resonantie
Toepassen7Rekenen25 min
De mast van de turbine: f1=1,033Hz, ζ=0,005, onbalans U=0,05kgm, k=9839N/m. In zwakke wind draait de rotor zonder last.
a
Na hoeveel seconden haalt de trilling de helft van haar evenwichtsamplitude als de rotor precies op het kritische toerental blijft draaien?
b
Hoe groot is die evenwichtsamplitude? Welke horizontale kracht moet de mast dan heen en weer leveren?
c
Welk buigmoment en welke spanning geeft dat aan de voet (W=221cm3, hoofdstuk 12)? Hoeveel wisselingen per dag? Waarom is dat een probleem, ook al is de spanning klein?
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
11.13
Een gestemde massademper voor de mast
Uitdagen8Analyseren45 min
Een gestemde massademper is een kleine massa md=μm aan een veer met demper, bovenin de mast. De regels van Den Hartog geven de beste afstemming: fd=f1/(1+μ) en ζd=3μ/(8(1+μ)3); de hoogste amplitude van de mast wordt dan ongeveer 1+2/μ keer de statische. De figuur is berekend met twee vrijheidsgraden (mast en demper).
Met de demper splitst de scherpe piek in twee lage bulten.
a
Kies μ=0,05. Bereken de massa, de frequentie en de veerconstante van de demper, en ζd.
b
Hoe hoog is de piek met en zonder demper? Met welke 'gelijkwaardige' demping ζ komt dat overeen?
c
Een slinger in de mast kan als demper dienen. Hoe lang moet hij zijn? Past dat?
d
Waarom werkt de demper alleen rond één frequentie, en waarom is dat voor deze mast toch nuttig?
11.14
Onderzoek: de slinger bij grote uitwijking
Uitdagen9Onderzoeken50 min
De vergelijking θ¨=−(g/L)sinθ heeft geen oplossing met elementaire functies.
a
Schrijf een programma dat met Heun de periode berekent voor een uitwijking θ₀ (tip: de tijd tot θ voor het eerst nul wordt, is een kwart periode).
b
Bereken T/T₀ voor 5° tot 90° en vergelijk met 1 + θ₀²/16. Tot welke hoek wijkt de reeks minder dan 0,1 % af?
c
Toon met energiebehoud dat T = 4∫ dθ/θ̇ van 0 tot θ₀, met θ̇ = √(2g(cos θ − cos θ₀)/L). Waarom is die integraal numeriek lastig?
d
Een slingeruurwerk loopt met 5° uitwijking goed. Hoeveel seconden per dag loopt het achter als de uitwijking 6° wordt?
Zo wordt dit beoordeeld
Programma
Heun correct voor een tweedeordesysteem; nulpunt geïnterpoleerd; kleine stap.
Resultaten
Tabel met T/T₀; vergelijking met de reeks; grens van 0,1 % gevonden.
Afleiding
Energiebehoud correct; de singulariteit bij θ = θ₀ benoemd.
Toepassing
Verschil in periode omgezet naar seconden per dag.
11.15
Ontwerp: een trillingsopnemer voor de gondel
Uitdagen8Ontwerpen50 min
Een trillingsopnemer is zelf een massa aan een veer in een behuizing. Beweegt de behuizing met y=Ycosωt, dan beweegt de massa ten opzichte van de behuizing met amplitude Z=Y(1−r2)2+(2ζr)2r2. De gondel trilt tussen 0,5 en 15 Hz.
a
Toon dat voor r≫1 geldt Z≈Y (de opnemer meet de uitwijking) en voor r≪1 geldt Z≈Yω2/ωn2 (hij meet de versnelling).
b
Welk type kies je voor de gondel? Met ζ = 0,7: hoe hoog moet fₙ minstens zijn opdat de fout onder 5 % blijft tot 15 Hz?
c
Waarom is ζ = 0,7 een gunstige keuze?
d
Een MEMS-versnellingsmeter heeft een eigenfrequentie van enkele kHz. Welke andere eisen stel je (bereik, bemonstering, montage)?
Zo wordt dit beoordeeld
Afleiding
Beide grensgevallen correct uit de formule.
Keuze
Versnellingsmeter gekozen; fₙ berekend met ζ = 0,7.
Demping
Vlakke amplitude en kleine faseverschuiving bij ζ ≈ 0,7 uitgelegd.
Na de sluiting van de Millennium Bridge mat men dat een voetganger op een zijwaarts bewegende brug een kracht geeft die evenredig is met de snelheid van het dek, in de richting van die snelheid: ongeveer cp=300Ns/m per persoon. Neem een (fictieve) voetgangersbrug met een zijwaartse mode van 0,80 Hz, een modale massa van 120 t en ζ=0,7%.
a
Schrijf de bewegingsvergelijking met N voetgangers als een extra demper −Ncp. Bij welk aantal wordt de totale demping nul?
b
Hoeveel voetgangers mogen er op na het plaatsen van dempers die ζ op 20 % brengen?
c
In werkelijkheid staat niet elke voetganger op de plaats waar de mode het grootst is. Leg uit waarom het kritische aantal voor een mode met de vorm van een halve sinus ongeveer het dubbele wordt.
d
Waarom is dit geen resonantie, maar zelfexcitatie, net als bij Tacoma Narrows?
ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet
Ik kan de bewegingsvergelijking van een massa-veersysteem opstellen, oplossen en de eigenfrequentie berekenen, ook uit een statische inzakking of een trekproef.
Ik kan de slinger (klein en groot, fysisch) beschrijven en uitleggen waarom elk stabiel evenwicht voor kleine uitwijkingen harmonisch trilt.
Ik kan demping beschrijven met de dempingsverhouding ζ, het logaritmisch decrement en de kwaliteitsfactor Q, en ze uit een meting halen, ook met Python.
Ik kan de gedwongen trilling analyseren (amplitude, fase, drie gebieden, opbouwtijd) en resonantie herkennen en vermijden.
Ik kan een Campbell-diagram opstellen en lezen voor een draaiende machine (1P, 3P) en er ontwerpregels uit afleiden.
Ik kan trillingsisolatie ontwerpen met de transmissibiliteit (r > √2, fₙ ≤ f/3) en dempers kiezen uit een catalogus.
