EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Handboek · hoofdstuk 10Rotatie

Van riemschijf tot vliegwiel en pirouette: wat een draaiende massa doet en bewaart

Bijna elke machine draait: een motor, een wiel, een riemschijf, een rotor. Voor draaien gelden dezelfde wetten als voor schuiven, met nieuwe grootheden: hoek, hoeksnelheid, traagheidsmoment en impulsmoment. Je leidt het traagheidsmoment af met een integraal, gebruikt τ = Iα om een dakraam en een dakmotor door te rekenen, ontdekt waarom een cilinder een ring verslaat op een helling, en rekent uit hoeveel energie een vliegwiel kan bewaren voor het uit elkaar vliegt. Voor Habitat volgt een eerlijk antwoord op de vraag of een vliegwiel een batterij kan helpen.

6× uitleg7× uitgewerkt voorbeeld2× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code17 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

KKrachten, beweging en constructies EEnergie WWiskundig modelleren

Een vliegwiel en een batterij bewaren allebei energie. Het ene houdt zich met staal bij elkaar, het andere met chemie.

Na dit hoofdstuk

Je kan hoek, hoeksnelheid en hoekversnelling in radialen gebruiken, omrekenen naar toerentallen en naar de snelheid en versnelling van een punt (v = ωr, tangentieel αr, centripetaal ω²r).
Je kan het traagheidsmoment definiëren vanuit de kinetische energie, het met een integraal afleiden voor een staaf, een ring en een schijf, en de verschuivingsstelling gebruiken.
Je kan τ = Iα afleiden en toepassen, ook op een aandrijving met een overbrenging (gereduceerd traagheidsmoment).
Je kan rotatie-energie, arbeid τθ en vermogen τω berekenen en verklaren welk voorwerp het snelst van een helling rolt.
Je kan de energie in een vliegwiel en de grens door de materiaalsterkte (σ = ρv² in een ring) berekenen, een vliegwiel simuleren en het eerlijk vergelijken met een batterij.
Je kan impulsmoment als L = Iω en als r × p gebruiken, dL/dt = τ toepassen en het behoud ervan verklaren bij een pirouette, een baan, een reactiewiel en een drone.

Verhaal · 10.1

Kepler, Newton en de perkenwet

1/20

Johannes Kepler had de beste waarnemingen van zijn tijd: twintig jaar metingen van de planeet Mars door de Deense sterrenkundige Tycho Brahe, bij wie hij in Praag werkte en wiens gegevens hij na Brahes dood in 1601 kon gebruiken. Jaren rekende Kepler aan cirkels en epicykels die er telkens een paar boogminuten naast zaten. In zijn Astronomia nova (1609) gaf hij het op en kwam met twee wetten: een planeet beweegt op een ellips met de zon in een brandpunt, en de lijn van de zon naar de planeet doorloopt in gelijke tijden gelijke oppervlakten. Dicht bij de zon gaat de planeet dus sneller, ver weg trager. Tien jaar later, in Harmonices mundi (1619), volgde de derde wet over omlooptijd en afstand.

Waarom gelijke oppervlakten? Kepler dacht aan een kracht vanuit de zon die de planeet voortduwt. Het antwoord kwam van Isaac Newton. De allereerste propositie van zijn Principia (1687) bewijst dat elk lichaam dat getrokken wordt naar één vast punt, gelijke oppervlakten in gelijke tijden doorloopt, welke vorm de kracht ook heeft. Vandaag lezen we het als een behoudswet: een kracht die langs de verbindingslijn werkt, geeft geen moment, dus het impulsmoment $m r \times v$ blijft behouden, en de oppervlakte per seconde is precies $∣ r \times v ∣/2$ (verderop in dit hoofdstuk).

Dezelfde wet stuurt een kunstschaatser die haar armen intrekt, een satelliet die zich omdraait zonder brandstof, en de aarde en de maan: getijdenwerking remt de draaiing van de aarde af (de dag wordt heel langzaam langer), en het impulsmoment dat de aarde verliest, gaat naar de maan, die zich ongeveer 3,8 cm per jaar verwijdert. Dat meten telescopen met laserpulsen op spiegels die sinds 1969 op de maan staan.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het station zit vol draaiende delen: de motor van het kasdak, de pompen, de rotoren van de drone, later de windturbine en de elektrische machines (hoofdstuk 24). Wie ze wil dimensioneren, moet weten hoe een moment een massa versnelt, hoeveel energie erin zit en wanneer een draaiend onderdeel uit elkaar vliegt. En het brein moet kunnen beslissen of een vliegwiel een batterij kan helpen.

Twee stukken baan die de planeet in dezelfde tijd aflegt: dicht bij de zon kort en breed, ver weg lang en smal. De oppervlakten zijn gelijk.

Uitleg · 10.2

Wat je al weet: draaien, nu met afgeleiden

2/20

wat je al kan	wat nu komt
overbrenging, toerental en draairichting (hoofdstuk 12 van F; hoofdstuk 33 van I)	hoek, hoeksnelheid en hoekversnelling als afgeleiden
moment $M = F \cdot d$ en evenwicht (hoofdstuk 10 van I); $M = r \times F$ (hoofdstuk 5)	wat een moment doet als er géén evenwicht is: een hoekversnelling
$F = ma$ , kinetische energie, vermogen (hoofdstuk 8 en 9 van I)	de draaiende tegenhangers: $τ = I α$ , $\frac{1}{2} I ω^{2}$ , $P = τ ω$
cirkelbeweging $v = ω R$ , $a = ω^{2} R$ (hoofdstuk 8); impuls (hoofdstuk 9)	een star lichaam als verzameling punten op cirkels; impulsmoment
integralen als som van kleine stukjes (hoofdstuk 3)	het traagheidsmoment van een staaf, ring, schijf en bol

Een star lichaam dat om een vaste as draait, beschrijf je met één getal: de hoek $θ (t)$ waarover het gedraaid is, in radialen. Een punt op afstand $r$ van de as legt dan een boog $s = r θ$ af. Afleiden (hoofdstuk 1) geeft de draaiende tegenhangers van snelheid en versnelling:

hoeksnelheid, hoekversnelling en een punt op afstand r

ω = \frac{d θ}{d t} α = \frac{d ω}{d t} v = r ω a_{t} = r α a_{c} = r ω^{2}

Alle punten van het lichaam hebben dezelfde

θ

ω

α

, maar een andere

v

: hoe verder van de as, hoe sneller.

a_{t}

verandert de snelheid van het punt,

a_{c}

houdt het op zijn cirkel (hoofdstuk 8). Een toerental

n

(toeren per minuut, tpm) is

ω = 2 π n /60

Waarom radialen? Omdat $s = r θ$ en $v = r ω$ alleen zonder omrekenfactor gelden als $θ$ in radialen staat; in graden zou overal een $π /180$ opduiken. Een radiaal is een verhouding van twee lengtes: rad/s is eigenlijk 1/s.

Constante hoekversnelling. Precies zoals bij de eenparig versnelde beweging (hoofdstuk 7 van I):

ω = ω_{0} + α t, θ = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}, ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α θ .

Alle punten draaien over dezelfde hoek θ; een punt op afstand r legt de boog s = rθ af met snelheid v = ωr.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.3

De riemschijf van het kasdak

3/20

De dakmotor van de klimaatmodule (hoofdstuk 26 van I) drijft een tandriemschijf met een steekdiameter van 31,8 mm aan via een wormwiel 1:50. Het schuifpaneel loopt 0,60 m, met 0,10 m/s, na 1 s aanlopen met 0,10 m/s² (hoofdstuk 7 van I). Bereken de hoeksnelheid en het toerental van de riemschijf en van de motor, de hoekversnelling bij het aanlopen, en hoeveel toeren de schijf maakt per sluiting.

Aanlopen, draaien met 6,3 rad/s en afremmen: de hoek (rechteras) is de oppervlakte onder de hoeksnelheid.

Gegeven

$r = 15, 9 mm$ , $v = 0, 10 m/s$ , $a = 0, 10 m/ s^{2}$ , slag 0,60 m
overbrenging 1:50

Gevraagd

$ω$ , $n$ , $α$ , aantal toeren

Oplossing

1
$ω = v / r = 0, 10/0, 0159 = 6, 29 rad/s$ , dus $n = 60 ω / (2 π) = 60, 1$ tpm. (Hoofdstuk 26 van I koos precies 60 tpm: 0,0999 m/s.)
2
Motor: 50 keer sneller: $ω_{m} = 314 rad/s$ , 3000 tpm.
3
Aanlopen: $α = a / r = 0, 10/0, 0159 = 6, 29 rad/ s^{2}$ ; in die seconde draait de schijf $\frac{1}{2} α t^{2} = 3, 14 rad$ .
4
Per sluiting: $θ = s / r = 0, 60/0, 0159 = 37, 7 rad = 6, 01$ toeren. Het wormwiel moet dus 300 motoromwentelingen per sluiting overbrengen.

Antwoord

De riemschijf draait 6,29 rad/s (60 tpm), de motor 3000 tpm; aanlopen met 6,3 rad/s²; één sluiting is 6,0 toeren van de riemschijf.

Klopt dit? In de grafiek is de oppervlakte onder

ω (t)

de hoek:

6, 29 \cdot (5 + 1) = 37, 7 rad

, net als

s / r

(hoofdstuk 3). De tanden van de riem: 20 tanden van 5 mm is 100 mm per toer,

6, 0 \cdot 100 mm = 0, 60 m

Uitleg · 10.4

Het traagheidsmoment

4/20

Hoeveel bewegingsenergie heeft een draaiend voorwerp? Elk stukje met massa $m_{i}$ op afstand $r_{i}$ van de as heeft snelheid $v_{i} = r_{i} ω$ . Tel op:

E_{k} = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} (\sum m_{i} r_{i}^{2}) ω^{2} = \frac{1}{2} I ω^{2} .

traagheidsmoment om een as

I = \sum m_{i} r_{i}^{2} = \int r^{2} d m

In kg·m². Het speelt voor draaien de rol van de massa: het bepaalt hoe moeilijk een voorwerp om die as te versnellen is. Massa ver van de as telt kwadratisch zwaarder; hetzelfde voorwerp heeft om elke as een ander

I

Drie integralen (hoofdstuk 3), telkens met massa $M$ :

Staaf (lengte $L$ , as loodrecht door het midden). Een stukje $d x$ op afstand $x$ heeft massa $d m = \frac{M}{L} d x$ : $I = \int_{- L /2}^{L /2} x^{2} \frac{M}{L} d x = \frac{M}{L} \cdot \frac{2}{3} (\frac{L}{2})^{3} = \frac{1}{12} M L^{2}$ .
Dunne ring (straal $R$ ): alle massa zit op afstand $R$ , dus $I = M R^{2}$ . Geen integraal nodig.
Volle schijf (straal $R$ ): snij ze in ringen met straal $r$ en breedte $d r$ . Een ring heeft massa $d m = \frac{M}{π R ^{2}} 2 π r d r$ en traagheidsmoment $r^{2} d m$ : $I = \int_{0}^{R} \frac{2 M}{R ^{2}} r^{3} d r = \frac{2 M}{R ^{2}} \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{1}{2} M R^{2}$ .

Een schijf heeft maar half zo veel traagheidsmoment als een ring met dezelfde massa en straal: veel van haar massa zit dicht bij de as. Een lengte in de richting van de as (de dikte van de schijf, de lengte van een cilinder) doet niet mee: een lange volle cilinder is ook $\frac{1}{2} M R^{2}$ .

voorwerp (massa $M$ )	as	$I$	$k = I / (M R^{2})$
puntmassa op afstand $R$	-	$M R^{2}$	1
dunne ring of dunwandige buis	symmetrieas	$M R^{2}$	1
volle schijf of cilinder	symmetrieas	$\frac{1}{2} M R^{2}$	0,5
dikwandige buis ( $R_{1}$ binnen, $R_{2}$ buiten)	symmetrieas	$\frac{1}{2} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$	tussen 0,5 en 1
volle bol	door het midden	$\frac{2}{5} M R^{2}$	0,4
dunne bolschil	door het midden	$\frac{2}{3} M R^{2}$	0,667
dunne staaf, lengte $L$	loodrecht, door het midden	$\frac{1}{12} M L^{2}$	-
dunne staaf, lengte $L$	loodrecht, door een uiteinde	$\frac{1}{3} M L^{2}$	-
rechthoekige plaat $a \times b$	loodrecht op de plaat, door het midden	$\frac{1}{12} M (a^{2} + b^{2})$	-

Verschuivingsstelling (Steiner). Draait een voorwerp om een as op afstand $d$ van een evenwijdige as door zijn zwaartepunt, dan is $I = I_{zw} + M d^{2}$ . Bewijs: schrijf de positie van elk stukje als $d + r^{'}$ met $r^{'}$ gemeten vanuit het zwaartepunt (loodrecht op de as). Dan $\sum m_{i} ∣ d + r_{i}^{'} ∣^{2} = M d^{2} + 2 d \cdot \sum m_{i} r_{i}^{'} + \sum m_{i} r_{i}^{'2}$ , en de middelste som is nul: dat is de definitie van het zwaartepunt. Voorbeeld: een staaf om een uiteinde: $\frac{1}{12} M L^{2} + M (L /2)^{2} = \frac{1}{3} M L^{2}$ .

Links: een staaf in stukjes dm = (M/L) dx op afstand x. Rechts: een schijf in dunne ringen, elk met al zijn massa op afstand r.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.5

Traagheidsmomenten in Habitat

5/20

Bereken het traagheidsmoment van (a) het dakraam van de meetkas (0,60 × 0,60 m, 1,2 kg) om zijn scharnier achteraan; (b) een propeller van de bevoorradingsdrone (0,56 m, 60 g, als dunne staaf) om de motoras; (c) een wiel van het inspectierobotje (Ø 65 mm, 30 g, als volle schijf).

Gegeven

massa's en maten hierboven

Gevraagd

$I_{raam}$ , $I_{prop}$ , $I_{wiel}$

Oplossing

1
(a) Het raam is een plaat die draait om een zijde. De afmeting langs het scharnier telt niet mee; loodrecht erop is het een 'staaf' van 0,60 m om een uiteinde. Om het zwaartepunt: $\frac{1}{12} \cdot 1, 2 \cdot 0, 6 0^{2} = 0, 036 kg m^{2}$ ; Steiner met $d = 0, 30 m$ : $0, 036 + 1, 2 \cdot 0, 3 0^{2} = 0, 144 kg m^{2}$ .
2
(b) Staaf om het midden: $\frac{1}{12} \cdot 0, 060 \cdot 0, 5 6^{2} = 1, 57 \cdot 1 0^{- 3} kg m^{2}$ . (Een echte propeller is naar de tip dunner: iets minder.)
3
(c) $\frac{1}{2} \cdot 0, 030 \cdot 0, 032 5^{2} = 15, 8 \cdot 1 0^{- 6} kg m^{2}$ .

Antwoord

I_{raam} = 0, 144 kg m^{2}

I_{prop} \approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 3} kg m^{2}

I_{wiel} \approx 16 \cdot 1 0^{- 6} kg m^{2}

Klopt dit? Het raam weegt 20 keer zoveel als de propeller, maar zijn traagheidsmoment is 92 keer zo groot: de massa zit gemiddeld verder van de as. Het wieltje is duizenden keren kleiner:

r^{2}

maakt het verschil. Bij een massief voorwerp is

I = M k^{2}

met

k

de gyratiestraal: de afstand waarop je alle massa zou kunnen samenbrengen. Voor het raam

k = 0, 144/1, 2 = 0, 346 m

Uitleg · 10.6

Moment en hoekversnelling: de tweede wet voor rotatie

6/20

Neem een massadeeltje $d m$ op afstand $r$ van de as. De kracht erop ontbindt in een radiale component (die houdt het op zijn cirkel) en een tangentiële $d F_{t}$ . Alleen die laatste versnelt het langs zijn cirkel: $d F_{t} = d m a_{t} = d m r α$ . Haar moment om de as is $r d F_{t} = r^{2} α d m$ . Tel op over het hele lichaam:

τ = \int r d F_{t} = α \int r^{2} d m = I α .

De inwendige krachten tussen de deeltjes vallen weg: ze komen in paren, even groot, tegengesteld en op dezelfde lijn, dus met tegengestelde momenten. Alleen de uitwendige momenten tellen.

tweede wet voor rotatie om een vaste as

\sum τ_{uitw} = I α τ = r \times F ∣ τ ∣ = r F sin φ = F d

τ

(N·m) is het moment van hoofdstuk 10 van I en 5: kracht maal arm

d

, of als vector

r \times F

(de component langs de as telt). Zonder hoekversnelling is

\sum τ = 0

: evenwicht.

Werkwijze bij een opgave: (1) teken de krachten waar ze aangrijpen; (2) kies een draaizin als positief; (3) schrijf $\sum τ = I α$ voor wat draait en $\sum F = ma$ voor wat schuift; (4) koppel ze met een voorwaarde zoals $a = r α$ (een touw dat niet slipt, een wiel dat rolt).

Een moment heeft een massa nodig die ver weg zit

Het moment hangt af van de kracht en haar arm. Het traagheidsmoment hangt af van de massa en haar afstand tot de as. Het zijn twee verschillende dingen: een lange sleutel geeft meer moment met dezelfde hand; een zware rand maakt een wiel trager om op gang te komen.

Alleen de tangentiële kracht op elk deeltje geeft een moment om de as; samen geven ze τ = Iα.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.7

Habitat: het dakraam valt dicht

7/20

Het dakraam van de meetkas (1,2 kg, 0,60 m diep, scharnier achteraan) staat 20° open. De pen van de duwstang schiet los. Bereken de hoekversnelling op dat ogenblik en de versnelling van de voorrand. Met welke snelheid slaat de voorrand op het frame, en hoe lang duurt de val?

Het gewicht grijpt aan in het midden van het raam; zijn arm om het scharnier is 0,30 · cos 20° m.

Gegeven

$I = 0, 144 kg m^{2}$ (vorig voorbeeld), zwaartepunt op 0,30 m
$θ_{0} = 2 0^{\circ}$

Gevraagd

$α$ , $a_{voorrand}$ , $v$ bij het sluiten, de tijd

Oplossing

1
Moment van het gewicht om het scharnier: arm $0, 30 cos 2 0^{\circ}$ , dus $τ = 1, 2 \cdot 9, 81 \cdot 0, 30 cos 2 0^{\circ} = 3, 32 N m$ .
2
$α = τ / I = 3, 32/0, 144 = 23, 0 rad/ s^{2}$ . De voorrand: $a = α L = 13, 8 m/ s^{2}$ , meer dan $g$ (1,41 $g$ ).
3
Energie: het zwaartepunt zakt $0, 30 sin 2 0^{\circ} = 0, 103 m$ : $\frac{1}{2} I ω^{2} = m g Δ h = 1, 21 J$ , dus $ω = 4, 10 rad/s$ en de voorrand $v = ω L = 2, 46 m/s$ .
4
De hoekversnelling verandert met de hoek ( $cos θ$ ): geen formule voor de tijd, wel een simulatie (Euler, stap 10 µs): $0, 173 s$ .

Antwoord

α \approx 23 rad/ s^{2}

; de voorrand versnelt met 13,8 m/s², sneller dan een vrij vallend voorwerp, en slaat na 0,17 s met 2,5 m/s op het frame.

Klopt dit? Waarom sneller dan

g

? Voor een homogene plaat om een zijde is

a_{voorrand} = \frac{3}{2} g cos θ

: het gewicht grijpt aan in het midden, maar het raam draait als geheel, en het deel dicht bij het scharnier 'duwt' de voorrand mee. Een steen op de voorrand zou even loskomen. Voor Habitat: 2,5 m/s op een polycarbonaatplaat is een harde klap. Een rubberen aanslag of een gasveertje (een demper) op het frame is een kleine ingreep; de regeling van het dakraam (hoofdstuk 25 van F) kan bovendien een stroomuitval opvangen door het raam gecontroleerd te sluiten.

Proef · 10.8

Een traagheidsmoment meten

8/20

Onderzoeksvraag

Klopt $I = \sum m r^{2}$ ? Je meet het traagheidsmoment van een draaischijf met een valgewicht, en daarna met twee blokjes op verschillende afstanden van de as.

Materiaal

houten draaischijf (Ø 30 cm) op een lager, met een as van 15 mm straal
touwtje rond de as over een katrolletje, valgewicht van 100 g
twee blokjes van 200 g
stopwatch, meetlint

Het traagheidsmoment stijgt lineair met het kwadraat van de afstand van de blokjes: de helling is hun massa.

Werkwijze

1Compenseer de wrijving: zoek het kleine extra gewichtje (een paperclip) waarmee de schijf na een zetje eenparig blijft draaien; laat het tijdens de metingen hangen.
2Wind het touwtje op, laat het gewicht vanuit rust 1,00 m vallen en meet de tijd. Drie keer.
3Zet de blokjes symmetrisch op 6, 10 en 14 cm van de as en herhaal.
4Bereken per opstelling de versnelling a = 2h/t² en het traagheidsmoment I = m r²(g/a − 1).
5Zet I uit tegen d² en vergelijk de helling met 2 · 0,200 kg.

Waarneming

Een voorbeeldmeting:

blokjes op $d$ (m)	$t$ (s), drie keer	$\overset{ˉ}{t}$ (s)	$I = m r^{2} (\frac{g t ˉ ^{2}}{2 h} - 1)$ (kg·m²)
zonder	10,30; 10,48; 10,42	10,40	0,01191
0,06	10,99; 11,12; 10,96	11,02	0,01339
0,10	12,11; 12,19; 11,99	12,10	0,01613
0,14	13,46; 13,42; 13,31	13,40	0,01978

De punten liggen op een rechte met helling 0,402 kg en snijpunt 0,0120 kg·m².

Verklaring

Waar komt de formule vandaan? Het gewicht: $m g - T = ma$ . De schijf: $T r = I α$ met $α = a / r$ . Samen: $m g = a (m + I / r^{2})$ , dus $I = m r^{2} (g / a - 1)$ , met $a = 2 h / t^{2}$ uit de valtijd.

Volgens $I = I_{0} + 2 m_{b} d^{2}$ (plus het kleine eigen traagheidsmoment van de blokjes) moet de helling $2 \cdot 0, 200 = 0, 400 kg$ zijn: de meting geeft 0,402 kg. Het snijpunt is het traagheidsmoment van de schijf zelf, 0,0120 kg·m²; een houten schijf van 1,07 kg en 15 cm straal zou $\frac{1}{2} \cdot 1, 07 \cdot 0, 1 5^{2} = 0, 0120 kg m^{2}$ hebben. Omdat $a$ hier klein is ( $I / r^{2}$ is ongeveer 500 keer $m$ ), is $g / a - 1 \approx g / a$ en weegt een fout in de tijd dubbel: 1 % op $t$ is 2 % op $I$ .

Uitgewerkt voorbeeld · 10.9

Habitat: wat moet de dakmotor versnellen?

9/20

De dakmotor moet bij het aanlopen niet alleen het paneel versnellen, maar ook zijn eigen rotor, die 50 keer sneller draait. Het traagheidsmoment van de rotor is ongeveer $3, 0 \cdot 1 0^{- 6} kg m^{2}$ (rekenwaarde voor een motortje van 20 à 30 W). Vergelijk het versnellen van rotor en paneel met de last van 60 N aan de riem, en bereken de motorstroom (motorconstante 0,030 N·m/A, nullast 0,25 A, wormwiel 1:50 met rendement 0,40).

Door het wormwiel telt de kleine rotor 2500 keer zwaarder: herleid naar de riemschijf weegt hij meer dan het paneel.

Gegeven

$m = 10 kg$ , $r = 15, 9 mm$ , $α = 6, 29 rad/ s^{2}$ aan de riemschijf
$I_{m} = 3, 0 \cdot 1 0^{- 6} kg m^{2}$ , $i = 50$ , $η = 0, 40$

Gevraagd

de momenten aan de motoras
de stroom met en zonder aanlopen

Oplossing

1
Het paneel beweegt met $v = r ω$ : zijn kinetische energie $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} (m r^{2}) ω^{2}$ . Voor de riemschijf gedraagt het zich als een traagheidsmoment $m r^{2} = 2, 53 \cdot 1 0^{- 3} kg m^{2}$ .
2
De rotor draait 50 keer sneller: zijn energie $\frac{1}{2} I_{m} (50 ω)^{2}$ is die van een traagheidsmoment $5 0^{2} I_{m} = 7, 5 \cdot 1 0^{- 3} kg m^{2}$ aan de riemschijf: drie keer het paneel. Een overbrenging vermenigvuldigt traagheidsmomenten met het kwadraat van de verhouding.
3
Momenten aan de motoras: rotor versnellen $I_{m} \cdot 50 α = 0, 94 mN m$ ; paneel versnellen $m r^{2} α / (50 \cdot 0, 40) = 0, 80 mN m$ ; de last van 60 N: $60 \cdot 0, 0159/ (50 \cdot 0, 40) = 47, 7 mN m$ .
4
Stroom: $I = τ / k + 0, 25$ : $1, 84 A$ bij constante snelheid (hoofdstuk 26 van I: 1,84 A), $1, 90 A$ tijdens het aanlopen.

Antwoord

Het versnellen kost 1,7 mN·m tegenover 47,7 mN·m voor de last: 3,6 % extra, en de rotor vraagt daarvan meer dan het paneel. Het zachte aanlopen van 1 s is dus niet nodig voor de motor, wel om het paneel en de riem te sparen.

Klopt dit? Mechanisch vermogen aan de riemschijf bij 60 N:

τ ω = 0, 954 \cdot 6, 28 = 6, 0 W

, hetzelfde als

F v = 60 \cdot 0, 10 = 6 W

(hoofdstuk 8 en 9 van I). Bij snelle servomotoren in robots is het omgekeerd: daar domineert het versnellen, en kiezen ontwerpers de overbrenging zo dat het gereduceerde traagheidsmoment van de last ongeveer gelijk is aan dat van de rotor.

Uitleg · 10.10

Rotatie-energie, arbeid en vermogen; rollen

10/20

Een moment dat een voorwerp over een hoek $d θ$ draait, levert de arbeid $τ d θ$ (de kracht $F$ op arm $r$ verplaatst haar aangrijpingspunt over $r d θ$ ). Per seconde:

rotatie-energie, arbeid en vermogen

E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2} W = \int τ d θ P = τ ω

Met

τ = I α

τ ω = I ω d ω / d t = d (\frac{1}{2} I ω^{2}) / d t

: het vermogen van het moment gaat in rotatie-energie. De dakmotor levert bij 60 N

0, 954 N m \cdot 6, 28 rad/s = 6 W

Rollen zonder slippen. Een wiel of bal met straal $R$ die rolt, heeft zijn zwaartepunt met snelheid $v = R ω$ (het contactpunt staat op elk ogenblik stil). Zijn kinetische energie is die van het zwaartepunt plus de rotatie eromheen:

E_{k} = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I_{zw} ω^{2} = \frac{1}{2} M v^{2} (1 + k), k = \frac{I _{zw}}{M R ^{2}} .

Laat het voorwerp van een helling rollen over een hoogte $h$ : $M g h = \frac{1}{2} M v^{2} (1 + k)$ , dus $v = 2 g h / (1 + k)$ en de versnelling langs de helling is $a = \frac{g sin β}{1 + k}$ . Massa en straal vallen weg; alleen de vorm ( $k$ ) telt. Een volle bol ( $k = 0, 4$ ) wint van een volle cilinder (0,5), die wint van een bolschil (0,67), die wint van een ring (1). Een blok dat zonder wrijving glijdt ( $k = 0$ ) is het snelst: niets van zijn energie gaat naar draaien.

De knikker van hoofdstuk 8 die over een goot rolt, krijgt zo $v = 2 g h /1, 4 = 10 g h /7$ : 85 % van de snelheid van een vallende knikker. Rolweerstand verwaarlozen we; de wrijving die het rollen mogelijk maakt, doet geen arbeid, want het contactpunt staat stil.

Het zwaarste voorwerp rolt het snelst naar beneden

Massa en straal vallen weg. Een grote en een kleine volle cilinder komen samen beneden, een zware en een lichte ook. Het verschil zit in hoe de massa verdeeld is: dicht bij de as (snel) of aan de rand (traag).

Rolrace over 1,50 m: de volle bol wint van de cilinder, de ring komt laatst; een blok dat zonder wrijving glijdt, is nog sneller.

Proef · 10.11

De rolrace

11/20

Onderzoeksvraag

Rolt een cilinder of een ring sneller? En wat doet een blik soep?

Materiaal

plank van 1,50 m met een lat als startlijn, onder 5° (blokken onder één kant)
knikker, houten cilinder, PVC-buis, een blik dunne soep, een blik bonen in dikke saus
stopwatch (of video)

Vijf voorwerpen, één helling: wie het eerst beneden is, hangt alleen af van hoe de massa verdeeld is.

Werkwijze

1Voorspel eerst met a = g sin β/(1 + k) de tijd voor elk voorwerp.
2Laat telkens twee voorwerpen tegelijk los aan de startlat en noteer wie wint; meet daarna elk voorwerp drie keer apart.
3Bereken uit de gemiddelde tijd de versnelling a = 2s/t² en daaruit k = g sin β/a − 1.

Waarneming

Een voorbeeldmeting (voorspelling met $g sin 5^{\circ} = 0, 855 m/ s^{2}$ ):

voorwerp	verwacht $k$	voorspelde tijd (s)	gemeten (s)	gemiddeld	$k$ uit de meting
knikker (volle bol)	0,40	2,22	2,20; 2,23; 2,16	2,20	0,38
houten cilinder	0,50	2,29	2,30; 2,34; 2,31	2,32	0,53
PVC-buis (wand 10 % van de straal)	0,91	2,59	2,57; 2,65; 2,64	2,62	0,96
blik soep (vloeibaar)	?	?	1,97; 1,95; 2,02	1,98	0,12
blik bonen in saus (vast)	0,50	2,29	2,22; 2,32; 2,29	2,28	0,48

Verklaring

Knikker, cilinder en buis komen aan in de volgorde van hun $k$ ; de gemeten $k$ -waarden liggen binnen enkele honderdsten van de theorie. De buis met zijn dunne wand gedraagt zich bijna als een ring.

Het blik soep verslaat alles, ook de knikker: de dunne soep draait nauwelijks mee met het blik. Alleen het blikje zelf (weinig massa, aan de rand) krijgt rotatie-energie; bijna alle massa schuift gewoon mee naar beneden, alsof ze glijdt. De gemeten $k \approx 0, 1$ . Het blik bonen in dikke saus draait als één geheel mee en gedraagt zich als een volle cilinder. Zo kan je met een rolproef zien of iets vloeibaar of vast is.

Uitleg · 10.12

Het vliegwiel als energieopslag

12/20

Een vliegwiel bewaart energie als $E = \frac{1}{2} I ω^{2}$ : hoe sneller, hoe meer, kwadratisch. Waarom draaien we het dan niet gewoon sneller? Omdat het materiaal de massa op haar cirkel moet houden. Bekijk een dunne ring met straal $R$ , doorsnede $A$ en dichtheid $ρ$ , met randsnelheid $v = ω R$ . Een stukje ring over een hoek $d θ$ heeft massa $ρ A R d θ$ en heeft een middelpuntzoekende kracht $ρ A R d θ \cdot v^{2} / R$ nodig (hoofdstuk 8). Die komt van de trekkracht $T$ in de ring aan beide uiteinden: samen wijzen ze met $T d θ$ naar het middelpunt. Dus $T = ρ A v^{2}$ , en de spanning in de ring is

spanning in een draaiende ring en specifieke energie

σ = \frac{T}{A} = ρ v^{2} v_{max} = \frac{σ _{toel}}{ρ} \frac{E}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = \frac{σ}{2 ρ} (dunne ring)

De straal valt weg: elke dunne ring van hetzelfde materiaal breekt bij dezelfde randsnelheid. De energie per kilogram hangt alleen af van sterkte gedeeld door dichtheid. Voor andere vormen is

E / m = K σ / ρ

, met de vormfactor

K

: 0,5 voor een ring,

2/ (3 + ν) \approx 0, 61

voor een volle schijf van een isotroop materiaal (waar de spanning het grootst is in het midden).

materiaal (rekenwaarde)	$σ_{toel}$ (MPa)	$ρ$ (kg/m³)	grootste randsnelheid $σ / ρ$	dunne ring: $σ / (2 ρ)$
staal	500	7850	252 m/s	8,8 Wh/kg
aluminium 7075	250	2810	298 m/s	12,4 Wh/kg
glasvezelcomposiet	500	2000	500 m/s	34,7 Wh/kg
koolstofvezelcomposiet	1000	1600	791 m/s	86,8 Wh/kg
LiFePO4-batterij van de module (ter vergelijking)	-	-	-	110 Wh/kg (nominaal)

Een licht, sterk materiaal wint: koolstofvezel slaat per kilogram tien keer meer op dan staal. Daarom hebben veel moderne vliegwielen een ring van koolstofvezel, gewikkeld in de omtreksrichting (radiaal zijn vezelcomposieten zwak, dus geen volle schijf), op een lichte naaf, in een vacuümbehuizing. Maar zelfs dan: dit zijn getallen voor de rotor alleen, tot de toelaatbare spanning en helemaal leeg. Behuizing, lagers, motor en elektronica komen erbij, en wie de generator onder de halve snelheid niet meer kan gebruiken, haalt maar 75 % van de energie eruit.

De gyrobus in Gent

Van 1956 tot 1959 reden tussen Gent en Merelbeke drie gyrobussen van het Zwitserse Oerlikon. In het midden van de bus lag een stalen vliegwiel van ongeveer 1,5 ton en 1,6 m, dat bij elke halte met een elektromotor tot 3000 tpm werd opgespind, in 30 s tot 3 min. Als volle schijf is dat $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 0, 8^{2} \cdot 31 4^{2} \approx 24 MJ = 6, 6 kWh$ , bij een randsnelheid van ongeveer 900 km/h, genoeg voor een paar kilometer. De bussen verbruikten 2,9 kWh per km, tegenover 2,0 à 2,4 voor een tram, stonden vaak in panne en beschadigden het wegdek door hun gewicht.

Hoogstens op te slaan energie per kg rotor (dunne ring, rekenwaarden) tegenover de LiFePO4-batterij van de module (per kg batterij).

Een stukje ring heeft een kracht naar het middelpunt nodig; de trekkracht T aan beide uiteinden levert T dθ. Zo volgt σ = ρv².

Code · 10.13

Een vliegwiel simuleren

13/20

Een stalen vliegwiel als 'demonstrator' voor het station: een schijf van 0,25 m straal en 5 cm dik, die tussen 3000 en 6000 tpm werkt (lager kan de generator niet nuttig leveren). Bij 6000 tpm is de randsnelheid 157 m/s en de grootste spanning (in het midden) $\frac{3 + ν}{8} ρ ω^{2} R^{2} = 80 MPa$ : ruim veilig voor staal. Het model:

I ω \frac{d ω}{d t} = η P_{laden} - \frac{P _{leveren}}{η} - P_{verlies} (ω),

want $d (\frac{1}{2} I ω^{2}) / d t = I ω d ω / d t$ . Het verlies in stilstand komt van de lagers (ongeveer evenredig met $ω$ ) en van de lucht (ongeveer met $ω^{3}$ ); de rekenwaarden, 5 W en 10 W bij 6000 tpm, gelden voor een behuizing met gedeeltelijk vacuüm. Twee scenario's: een wolk van drie minuten die 500 W weghaalt, en een dag stilstand.

Pythonvliegwiel.py61 regelsDownload

# vliegwiel.py - een stalen vliegwiel als buffer voor een wolk over de zonnepanelenimport math R, dikte, rho = 0.25, 0.05, 7850.0                  # stalen schijf: straal en dikte (m), dichtheid (kg/m³)m = math.pi * R**2 * dikte * rhoI = 0.5 * m * R**2w_max, w_min = 6000 * 2 * math.pi / 60, 3000 * 2 * math.pi / 60      # 6000 en 3000 toeren per minuut, in rad/seta = 0.90                                          # rendement motor/generator met elektronica, per richting  def E(w):    return 0.5 * I * w**2  def verlies(w):    """Stilstandsverlies (W): lagers (evenredig met w) + lucht (met w³); 5 W + 10 W bij 6000 tpm (rekenwaarden)."""    return 5.0 * (w / w_max) + 10.0 * (w / w_max)**3  def tekort(t):    """Vermogen (W) dat het vliegwiel moet leveren: een wolk van t = 60 s tot 240 s haalt 500 W weg."""    return 500.0 if 60.0 <= t < 240.0 else 0.0  def laden(t, w):    """Na de wolk laadt de zon het vliegwiel weer op met 400 W, tot 6000 tpm."""    return 400.0 if t >= 240.0 and w < w_max else 0.0  def wolk(dt=0.1, duur=900.0):    """Euler op I w dw/dt = eta P_laden - P_tekort / eta - P_verlies; geeft tijden en toerentallen (tpm)."""    w, t, ts, ns = w_max, 0.0, [0.0], [6000.0]    while t < duur:        P = eta * laden(t, w) - tekort(t) / eta - verlies(w)        w = min(w + dt * P / (I * w), w_max)        t += dt        ts.append(t)        ns.append(w * 60 / (2 * math.pi))    return ts, ns  def leeglopen(uren=24, dt=1.0):    """Het vliegwiel draait zonder last en verliest alleen door lagers en lucht; per uur het deel van de energie."""    w, deel = w_max, [1.0]    for uur in range(uren):        for _ in range(round(3600 / dt)):            w -= dt * verlies(w) / (I * w)        deel.append(E(w) / E(w_max))    return deel  if __name__ == "__main__":    print(f"schijf {m:.1f} kg, I = {I:.3f} kg m², vol {E(w_max) / 3600:.0f} Wh, bruikbaar tot 3000 tpm "          f"{(E(w_max) - E(w_min)) / 3600:.0f} Wh, randsnelheid {w_max * R:.0f} m/s")    ts, ns = wolk()    n_laag = min(ns)    print(f"wolk van 3 minuten (500 W): laagste toerental {n_laag:.0f} tpm, "          f"{100 * (1 - (n_laag / 6000)**2):.1f} % van de energie gebruikt")    deel = leeglopen()    for uur in (1, 2, 5, 10, 24):        print(f"stilstand, na {uur:2d} h: nog {100 * deel[uur]:5.1f} % van de energie")

Uitvoer:

schijf 77.1 kg, I = 2.408 kg m², vol 132 Wh, bruikbaar tot 3000 tpm 99 Wh, randsnelheid 157 m/s
wolk van 3 minuten (500 W): laagste toerental 5308 tpm, 21.7 % van de energie gebruikt
stilstand, na  1 h: nog  89.4 % van de energie
stilstand, na  2 h: nog  80.0 % van de energie
stilstand, na  5 h: nog  57.8 % van de energie
stilstand, na 10 h: nog  33.7 % van de energie
stilstand, na 24 h: nog   5.2 % van de energie

De wolk kost 25 Wh aan de verbruikers, en door het rendement meer uit het vliegwiel; het toerental zakt tot 5308 tpm. Dat lukt dus. Maar in stilstand verliest het vliegwiel in een uur al 11 % en na een dag is het bijna leeg. Een batterij verliest een paar procent per maand. Een vliegwiel is een kortetermijnbuffer: sterk in vermogen en in aantal cycli (honderdduizenden, zonder slijtage van de chemie), zwak in energie en in het bewaren ervan.

Tijdens de wolk zakt het toerental; daarna laadt de zon het vliegwiel weer op tot 6000 tpm.

Zonder last loopt het vliegwiel in een dag bijna leeg; de batterij verliest in die tijd een tiende procent.

Ontleed · 10.14

Een vliegwielopslag ontleed

14/20

Een moderne vliegwielopslag, schematisch in doorsnede. Elk onderdeel lost een probleem op dat uit dit hoofdstuk volgt.

Schematische doorsnede: rotor in vacuüm, op magnetische lagers, met een motor-generator op dezelfde as.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Rotor (ring)
Een ring van koolstofvezel, in de omtreksrichting gewikkeld: σ = ρv² beperkt de randsnelheid tot honderden m/s. De massa zit aan de rand, waar ze het meeste traagheidsmoment geeft.
2
Naaf
Verbindt de ring met de as. Ze moet meerekken met de ring (die bij hoge snelheid een beetje groter wordt), anders scheurt de verbinding.
3
Magnetische lagers
Houden de rotor zwevend zonder contact: bijna geen wrijving (het lagerverlies uit de simulatie) en geen slijtage bij tienduizenden tpm.
4
Motor-generator
Eén elektrische machine op de as: als motor spint ze de rotor op (laden), als generator remt ze hem af (leveren). Het vermogen P = τω bepaalt hoe snel dat kan.
5
Vacuümbehuizing en omhulling
Het vacuüm haalt het luchtverlies (∝ ω³) weg. De dikke wand moet een rotor opvangen die breekt: bij 6000 tpm zit er in de stalen demonstrator al 475 kJ, de energie van een auto van 1200 kg met 101 km/h.
6
Vacuümpomp
Houdt de druk laag; lekt de behuizing, dan stijgt het stilstandsverlies snel.
7
Omvormer
Zet de wisselspanning met een veranderlijke frequentie (het toerental verandert voortdurend) om naar het net; hoofdstuk 24.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.15

Habitat: een vliegwiel als kortstondige energiebuffer?

15/20

Iemand stelt voor een vliegwiel in de technische ruimte te zetten, 'voor de pieken'. Onderzoek drie taken: de aanloop van de drukpomp (hoofdstuk 7), een wolk over de panelen van de module, en een nacht overbruggen. Vergelijk met wat Habitat al heeft: twee LiFePO4-batterijen van 12,8 V en 120 Ah (2,46 kWh bruikbaar, ±28 kg) en een netomvormer die 8 kVA 5 s kan leveren.

Gegeven

stalen demonstrator: 77 kg, 99 Wh bruikbaar, ±11 % verlies per uur
LiFePO4: 110 Wh/kg nominaal, 80 % bruikbaar, een paar procent zelfontlading per maand

Gevraagd

per taak: is een vliegwiel zinvol?
een besluit voor Habitat

Oplossing

1
Massa voor dezelfde energie. 99 Wh uit LiFePO4 vraagt $99/ (110 \cdot 0, 8) = 1, 1 kg$ batterij, tegenover 77 kg staal (plus behuizing). Met een koolstofvezelring (87 Wh/kg rotor, systeem veel minder) wordt het beter, maar niet beter dan de batterij.

Per taak:

taak	wat er nodig is	wat Habitat al heeft	vliegwiel zinvol?
aanloop van de drukpomp (hoofdstuk 7)	±6,3 kVA gedurende een fractie van een seconde, ±1 à 3 kJ	netomvormer 8 kVA gedurende 5 s	nee: het probleem is vermogen, en dat is al opgelost
wolk over de panelen van de module	±500 W gedurende enkele minuten, ±25 Wh	2 × LiFePO4, 2,46 kWh bruikbaar	nee: 1 % van de batterij
een nacht overbruggen	±1,2 à 1,4 kWh (hoofdstuk 20 van I)	de batterijen	nee: zonder verlies al 13 stalen vliegwielen van 77 kg, en die verliezen in 12 h 73 % van hun energie
laden onder 0 °C	LiFePO4 mag dan niet laden	batterijen in de verwarmde module	alleen op een koude plek zonder verwarming (later, op een afgelegen site)

3
Waar een vliegwiel wel wint: heel veel korte, zware cycli (een kraan of lift die bij elke rit remenergie terugwint, de netfrequentie van een eiland regelen), een lange levensduur zonder dat de chemie veroudert, en werken in de kou. Geen van die taken speelt in het prototype op het proefterrein.

Antwoord

Geen vliegwiel. De batterijen dekken een wolk met 1 % van hun inhoud, de netomvormer dekt de aanloop van de pomp, en voor een nacht zou je tientallen stalen vliegwielen nodig hebben, omdat ze intussen leeglopen. Het besluit wordt heroverwogen als het station naar een koude, afgelegen plek verhuist waar de batterijen niet warm te houden zijn.

Klopt dit? Een eerlijke vergelijking gebruikt dezelfde grenzen: bruikbare energie (niet de volle), systeemmassa (niet alleen de rotor) en verlies over de tijd die de buffer moet overbruggen. Een vliegwiel dat een wolk van drie minuten opvangt, verliest in dezelfde drie minuten al 0,5 % aan stilstand; over een nacht is dat verlies groter dan de wolk zelf.

Uitleg · 10.16

Impulsmoment en zijn behoud

16/20

De draaiende tegenhanger van impuls is het impulsmoment. Voor een puntmassa met impuls $p$ op plaats $r$ (tegenover een gekozen punt) is het een vectorproduct (hoofdstuk 5); voor een star lichaam om een vaste as tel je alle deeltjes op, elk met $∣ r \times p ∣ = r \cdot m r ω$ :

impulsmoment

L = r \times p L = I ω τ = \frac{d L}{d t}

Afleiding van de laatste:

\frac{d}{d t} (r \times p) = v \times m v + r \times F = r \times F

, want een vector maal zichzelf is nul. Zonder uitwendig moment blijft

L

constant, in grootte én richting.

Kepler. Een centrale kracht ligt langs $r$ , dus $r \times F = 0$ en $L$ blijft behouden. De oppervlakte die $r$ in een tijdje $d t$ doorloopt, is een driehoekje $\frac{1}{2} ∣ r \times v d t ∣$ , dus $d A / d t = L / (2 m)$ : constant. Dat is de perkenwet van het verhaal.

Iets dat zijn vorm verandert. Trekt een schaatser haar armen in, dan daalt $I$ ; zonder uitwendig moment blijft $L = I ω$ behouden, dus stijgt $ω$ . Haar rotatie-energie $L^{2} / (2 I)$ stijgt ook: die arbeid leveren haar armen, die tegen de middelpuntvliedende neiging in naar binnen trekken.

Draaien zonder iets vast te pakken. Een quadcopter heeft twee rotoren die rechtsom en twee die linksom draaien: hun impulsmomenten en hun reactiemomenten heffen elkaar op. Om om zijn as te draaien, laat de drone het ene paar sneller en het andere trager draaien; het verschil in luchtweerstandsmoment en in impulsmoment van de rotoren draait het lichaam de andere kant op. Een satelliet doet hetzelfde met reactiewielen: de ruimtetelescoop Hubble heeft er vier. Een helikopter met één grote rotor heeft een staartrotor nodig die het reactiemoment tegenhoudt.

Een vector. Omdat $L$ ook zijn richting bewaart, blijft een snel draaiende tol of gyroscoop in dezelfde richting wijzen. Een moment loodrecht op $L$ draait alleen de richting van $L$ : de as beschrijft trage kegels, de precessie (opdracht 10.16).

Twee rotoren rechtsom, twee linksom: hun impulsmomenten heffen elkaar op. Wie één paar sneller laat draaien, draait de drone.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.17

De draaistoel met halters

17/20

Je zit op een draaistoel met in elke hand een halter van 2 kg, armen gestrekt. Samen met de stoel is het traagheidsmoment 4,0 kg·m²; met de armen ingetrokken 1,6 kg·m². Je draait met 1,0 toer per seconde en trekt je armen in. Hoe snel draai je dan, en hoeveel energie leverden je armen?

Bij constant impulsmoment is het toerental omgekeerd evenredig met I, en de energie ook: armen in, sneller en meer energie.

Gegeven

$I_{1} = 4, 0 kg m^{2}$ , $I_{2} = 1, 6 kg m^{2}$ , $n_{1} = 1, 0$ toer/s
wrijving van de stoel verwaarloosd

Gevraagd

$n_{2}$ , $E_{1}$ , $E_{2}$

Oplossing

1
Geen uitwendig moment om de as (de lagers van de stoel duwen door de as): $L$ behouden. $I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ geeft $n_{2} = n_{1} I_{1} / I_{2} = 2, 5$ toer/s.
2
$E_{1} = \frac{1}{2} I_{1} ω_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 4, 0 \cdot (2 π)^{2} = 79 J$ ; $E_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 6 \cdot (5 π)^{2} = 197 J$ .
3
Je armen leverden $118 J$ : bij het intrekken moeten ze de halters naar binnen trekken tegen hun neiging om rechtdoor te gaan, en dat is arbeid. Met $E = L^{2} / (2 I)$ : $E_{2} / E_{1} = I_{1} / I_{2} = 2, 5$ .

Antwoord

Je draait 2,5 toer per seconde; de energie stijgt van 79 J naar 197 J, geleverd door je armen.

Klopt dit? Strek je je armen weer, dan zak je terug naar 1,0 toer/s en duwen de halters je armen naar buiten: je armen remmen, en de 118 J wordt warmte in je spieren. Impulsmoment behouden, energie niet: net als bij een inelastische botsing (hoofdstuk 9).

Uitgewerkt voorbeeld · 10.18

Een reactiewiel draait een satelliet

18/20

Een kleine satelliet ( $I = 40 kg m^{2}$ om de draaias) moet zich in 60 s over 90° draaien, zonder brandstof: hij versnelt 30 s en remt 30 s met een constant moment. Hij heeft een reactiewiel met $I_{w} = 0, 050 kg m^{2}$ . Welk toerental moet het wiel halen, en welk moment moet de motor van het wiel leveren?

Gegeven

$I_{s} = 40 kg m^{2}$ , $I_{w} = 0, 050 kg m^{2}$
$θ = π /2$ in 60 s, halverwege de grootste hoeksnelheid

Gevraagd

$ω_{s,max}$ , toerental van het wiel, moment

Oplossing

1
Driehoekig profiel: de hoek is de oppervlakte onder $ω (t)$ : $\frac{1}{2} \cdot 60 s \cdot ω_{max} = π /2$ , dus $ω_{s,max} = 0, 0524 rad/s$ .
2
Impulsmoment van het geheel blijft nul: $I_{s} ω_{s} + I_{w} ω_{w} = 0$ , dus $ω_{w} = - \frac{40}{0 , 050} 0, 0524 = - 41, 9 rad/s$ , 400 tpm in tegengestelde zin.
3
Moment: de satelliet krijgt $α = 0, 0524/30 = 1, 75 \cdot 1 0^{- 3} rad/ s^{2}$ , dus $τ = I_{s} α = 70 mN m$ ; het wiel krijgt het tegengestelde moment.

Antwoord

Het wiel draait op zijn snelst 400 tpm, tegen de satelliet in; de motor levert 70 mN·m. Na de manoeuvre staan satelliet en wiel weer stil.

Klopt dit? Het wiel draait 800 keer sneller dan de satelliet omdat zijn traagheidsmoment 800 keer kleiner is. Uitwendige momenten (zonnedruk, het magneetveld van de aarde) laten het wiel langzaam steeds sneller draaien; af en toe moet de satelliet het 'ontladen' met magneetspoelen of kleine stuwraketten.

Naslag · 10.19

Rotatie: formules en werkwijze

19/20

Werkwijze: (1) kies de as en een positieve draaizin; (2) zoek $I$ in de tabel, met Steiner of met een integraal; (3) schrijf $\sum τ = I α$ en $\sum F = ma$ en koppel ze ( $a = r α$ ); (4) of gebruik energie ( $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}$ ) of impulsmoment als er geen uitwendig moment is. Elke formule voor schuiven heeft haar tegenhanger:

translatie	rotatie om een vaste as	verband
plaats $x$ (m)	hoek $θ$ (rad)	$s = r θ$
snelheid $v$ (m/s)	hoeksnelheid $ω$ (rad/s)	$v = r ω$
versnelling $a$ (m/s²)	hoekversnelling $α$ (rad/s²)	$a_{t} = r α$
massa $m$ (kg)	traagheidsmoment $I$ (kg·m²)	$I = \sum m r^{2}$
kracht $F$ (N)	moment $τ$ (N·m)	$τ = r \times F$
$F = ma$	$τ = I α$
$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$	$E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2}$
arbeid $F s$ , vermogen $F v$	arbeid $τ θ$ , vermogen $τ ω$
impuls $p = m v$	impulsmoment $L = I ω$	$L = r \times p$
$F = d p / d t$	$τ = d L / d t$

hoekgrootheden

ω = \frac{d θ}{d t}, α = \frac{d ω}{d t}, v = r ω, a_{t} = r α, a_{c} = r ω^{2}

symbool	betekenis	eenheid
$ω$	hoeksnelheid	rad/s
$α$	hoekversnelling	rad/s²

traagheidsmoment en Steiner

I = \int r^{2} d m, I = I_{zw} + M d^{2}

symbool	betekenis	eenheid
$I$	traagheidsmoment	kg·m²

tweede wet voor rotatie

\sum τ = I α, τ = r \times F

symbool	betekenis	eenheid
$τ$	moment (koppel)	N·m

energie en vermogen

E = \frac{1}{2} I ω^{2}, P = τ ω, W = \int τ d θ

rollen zonder slippen

a = \frac{g sin β}{1 + I / ( M R ^{2} )}, v = \frac{2 g h}{1 + I / ( M R ^{2} )}

gereduceerd traagheidsmoment

I_{gered} = i^{2} I_{motor}, m r^{2} voor een massa aan een riem of kabel

vliegwiel (K = 0,5 ring, 0,61 schijf)

σ = ρ v^{2}, \frac{E}{m} = K \frac{σ}{ρ}

impulsmoment

L = r \times p, L = I ω, τ = \frac{d L}{d t}

symbool	betekenis	eenheid
$L$	impulsmoment	kg·m²/s

voorwerp (massa $M$ )	as	$I$	$k = I / (M R^{2})$
puntmassa op afstand $R$	-	$M R^{2}$	1
dunne ring of dunwandige buis	symmetrieas	$M R^{2}$	1
volle schijf of cilinder	symmetrieas	$\frac{1}{2} M R^{2}$	0,5
dikwandige buis ( $R_{1}$ binnen, $R_{2}$ buiten)	symmetrieas	$\frac{1}{2} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$	tussen 0,5 en 1
volle bol	door het midden	$\frac{2}{5} M R^{2}$	0,4
dunne bolschil	door het midden	$\frac{2}{3} M R^{2}$	0,667
dunne staaf, lengte $L$	loodrecht, door het midden	$\frac{1}{12} M L^{2}$	-
dunne staaf, lengte $L$	loodrecht, door een uiteinde	$\frac{1}{3} M L^{2}$	-
rechthoekige plaat $a \times b$	loodrecht op de plaat, door het midden	$\frac{1}{12} M (a^{2} + b^{2})$	-

Het geheel · 10.20

Waar rotatie vandaan komt en waar ze heen gaat

20/20

Rotatie is de mechanica van hoofdstuk 8 en 9, toegepast op een lichaam dat als geheel draait: elk deeltje beschrijft een cirkel, en alles wat voor één deeltje geldt, tel je op met een integraal. Ze verbindt krachten (K) met energie (E), en in het station met elektrische machines (L), regelen (R) en ontwerpen (D).

F12 Hefbomen en mechanismen

Tandwielen, riemen en overbrengingsverhouding: hier met hoeksnelheid en gereduceerd traagheidsmoment.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Arbeid, energie en vermogen: nu τθ, ½Iω² en τω.

I10 Moment en evenwicht

Moment en evenwicht: τ = Iα is wat er gebeurt als het evenwicht ontbreekt.

I26 Motoren en actuatoren

De dakmotor, het wormwiel en de riemschijf, en het koppel k · I.

I16 Redox en batterijen

De LiFePO4-batterij waarmee het vliegwiel vergeleken wordt.

E3 Integralen: ophopen

Traagheidsmomenten als integralen; de hoek als oppervlakte onder ω(t).

E5 Vectoren en matrices

Moment en impulsmoment als vectorproducten.

E8 Beweging in twee dimensies

Cirkelbeweging, middelpuntzoekende kracht en de knikker die van de tafel rolt.

E9 Impuls en botsingen

Impuls en zijn behoud; de drone en zijn rotoren.

E11 Trillingen en resonantie

De fysische slinger: een traagheidsmoment dat om een as slingert; onbalans van draaiende machines.

E12 Sterkteleer

Spanning in een draaiende ring en schijf, veiligheidsfactor.

E24 Vermogenselektronica en elektrische machines

Elektrische machines: koppel, toerental en de motor-generator van een vliegwiel.

E27 Elektrochemie: batterijen, brandstofcellen en elektrolyse

Energieopslag vergeleken: batterij, waterstof, vliegwiel.

HabitatHabitat kent nu de traagheid van zijn draaiende delen: het dakraam van de meetkas (0,144 kg·m² om het scharnier) slaat bij een losgeschoten duwstang met 2,5 m/s dicht en krijgt een zachte aanslag; de dakmotor besteedt minder dan 4 % van zijn koppel aan versnellen. Het besluit over een vliegwiel is negatief: dezelfde energie zit in 1 kg LiFePO4 in plaats van 77 kg staal, en een vliegwiel loopt in een dag leeg. Opdracht 10.12 laat je het besluit zelf onderbouwen; hoofdstuk 24 en 27 vergelijken alle opslagtechnieken van het station.

Samenvatting

In het kort

Draaien om een vaste as: $θ$ (rad), $ω = d θ / d t$ , $α = d ω / d t$ ; een punt op afstand $r$ heeft $v = r ω$ , $a_{t} = r α$ en $a_{c} = r ω^{2}$ .
Het traagheidsmoment $I = \int r^{2} d m$ volgt uit de kinetische energie $\frac{1}{2} I ω^{2}$ : ring $M R^{2}$ , schijf $\frac{1}{2} M R^{2}$ , staaf $\frac{1}{12} M L^{2}$ ; Steiner: $I = I_{zw} + M d^{2}$ .
$\sum τ = I α$ , met $τ = r \times F$ ; een overbrenging $i$ vermenigvuldigt het traagheidsmoment met $i^{2}$ .
Rotatie-energie $\frac{1}{2} I ω^{2}$ , vermogen $τ ω$ . Rollen: $a = g sin β / (1 + k)$ met $k = I / (M R^{2})$ ; alleen de vorm telt: bol voor cilinder voor ring.
Een dunne draaiende ring heeft $σ = ρ v^{2}$ : de energie per kg is hoogstens $σ / (2 ρ)$ . Staal ±9 Wh/kg, koolstofvezel ±90 Wh/kg (rotor), LiFePO4 ±110 Wh/kg.
Een vliegwiel is sterk in vermogen en cycli, zwak in energie en in bewaren (procenten per uur). Voor Habitat: geen vliegwiel, de batterijen en de omvormer volstaan.
Impulsmoment $L = r \times p$ , $L = I ω$ , $τ = d L / d t$ ; zonder uitwendig moment behouden: perkenwet, pirouette, reactiewiel, drone.

Begrippen

Wat je nu kent

radiaal: Hoekmaat: de booglengte gedeeld door de straal, $θ = s / r$ . Een volle toer is $2 π$ rad; 1 rad ≈ 57,3°.
hoeksnelheid: $ω = d θ / d t$ (rad/s); een toerental $n$ in toeren per minuut geeft $ω = 2 π n /60$ .
hoekversnelling: $α = d ω / d t$ (rad/s²); een punt op afstand $r$ krijgt de tangentiële versnelling $r α$ .
traagheidsmoment: $I = \sum m_{i} r_{i}^{2} = \int r^{2} d m$ (kg·m²): hoe moeilijk een voorwerp om een as te versnellen is; hangt af van de massa én van hoe ver ze van de as zit.
verschuivingsstelling: $I = I_{zw} + M d^{2}$ (Steiner): het traagheidsmoment om een as op afstand $d$ van een evenwijdige as door het zwaartepunt.
tweede wet voor rotatie: $τ = I α$ : het resulterende moment om de as bepaalt de hoekversnelling.
rotatie-energie: $E = \frac{1}{2} I ω^{2}$ : de kinetische energie van alle delen van een draaiend voorwerp samen.
vliegwiel: Een draaiende massa die energie opslaat als $\frac{1}{2} I ω^{2}$ ; de materiaalsterkte begrenst de randsnelheid ( $σ = ρ v^{2}$ in een dunne ring).
impulsmoment: $L = r \times p$ ; voor een star lichaam om een vaste as $L = I ω$ . Het verandert alleen door een uitwendig moment: $τ = d L / d t$ .
precessie: De trage draaiing van de as van een tol of wiel, doordat een moment loodrecht op $L$ alleen de richting van $L$ verandert.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen