EExpert · deel E8 · Regeltechniek

Handboek · hoofdstuk 38Dynamische systemen modelleren

Toestanden en tijdschalen verklaren waarom een station nog beweegt nadat de knop omgaat

Een vermogeninstelling werkt niet onmiddellijk door in temperatuur. De snelle lucht, trage buffer en sensor hebben elk geheugen. Je leidt eerste- en tweedeordemodellen af, leest hun staprespons en onderzoekt welke parameters een proef werkelijk kan bepalen.

8× uitleg3× uitgewerkt voorbeeld1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code9 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

RRegelen en robotica WWiskundig modelleren EEnergie

Dezelfde input voedt toestanden die op minuten en uren reageren.

Na dit hoofdstuk

Je kan een warmtebalans naar een eersteordemodel en staprespons omzetten.
Je kan tweedeorde-respons, demping en doorschot kwantitatief beschrijven.
Je kan blokken verbinden en een overdrachtsfunctie met haar voorwaarden lezen.
Je kan toestanden, polen en stabiliteit van het tweeknoopsmodel bepalen.
Je kan een identificatieproef ontwerpen en een te eenvoudig model herkennen.

Uitleg · 38.1

Een dynamisch systeem bewaart het verleden

1/15

Een weerstand zet een spanning direct om in stroom volgens $I = U / R$ , zolang opwarming buiten het model blijft. Een condensator bewaart lading en een buffervat bewaart warmte: hun huidige toestand hangt van eerdere invoer af. Een dynamisch model beschrijft hoe die toestand verandert. Bij een station is niet alleen de huidige luchttemperatuur genoeg: een koude vloer veroorzaakt straks extra warmtevraag.

Kies systeemgrens, input, output en toestanden expliciet. Input kan vermogen zijn, output luchttemperatuur, toestand lucht- en buffertemperatuur. Storingen zoals buitenweer horen als aparte input. Een model met dezelfde vergelijking maar andere systeemgrens kan niet zomaar naast het eerste worden opgeteld: het éénknoopsmodel van e39 en het modulemodel van e17 zijn twee vereenvoudigingen van beschreven grenzen.

element	input	opgeslagen toestand
RC-kring	stroom of spanning	condensatorspanning
warmtemodule	vermogen, buitenweer	lucht en buffer
mechanisch systeem	kracht	positie en snelheid

Uitleg · 38.2

Eerste orde uit de warmtebalans

2/15

Voor één knoop geldt $C \dot{T} = P - H (T - T_{o})$ . Kies $y = T - T_{o}$ en houd buiten constant. Dan $τ \overset{y}{˙} + y = K P$ met $τ = C / H$ en $K = 1/ H$ . C heeft eenheid J/K, H W/K, dus τ is seconde en K K/W. Bij inputstap ΔP en start in het oorspronkelijke evenwicht:

eersteorde-staprespons

Δ y (t) = K Δ P (1 - e^{- t / τ})

Na τ is 63,2% van de totale verandering bereikt; na 3τ 95,0%; na 5τ 99,3%. Tijdconstante is geen wachttijd waarna de reactie begint. De beginhelling is ΔP/C. Een grotere C verlaagt de beginhelling; een grotere H verlaagt vooral de uiteindelijke stijging en verkort τ.

Uitgewerkt voorbeeld · 38.3

Een stationsstap lezen

3/15

Het vereenvoudigde station krijgt 750 W extra bij constant buiten.

Gegeven

C=540 kJ/K, H=50 W/K

Gevraagd

Eindstijging, beginhelling, t90 en 2%-insteltijd

Oplossing

1
K=0,020 K/W;Δy∞=15 K;τ=540000/50=10800 s=3 h.
2
Beginhelling 750/540000=0,00138889 K/s=5 K/h.
3
$0, 9 = 1 - e^{- t / τ}$ geeft $t_{90} = τ ln 10 = 6, 908 h$ .
4
Voor 2% restfout: $t_{s} = - τ ln 0, 02 = 11, 736 h$ .

Antwoord

De kamer reageert direct, maar blijft uren bewegen.

Klopt dit? Het extra vermogen en de extra temperatuur zijn stappen ten opzichte van een evenwicht; absolute setpoints zijn niet automatisch gelijk aan 15 °C.

Uitleg · 38.4

Sensorvertraging en dode tijd verschillen

4/15

Een sensor met tijdconstante 60 s is een dynamische eersteordeblok: hij reageert direct maar vertraagd. Een pure dode tijd L geeft vóór L helemaal geen nieuwe uitvoer. Een lang transportkanaal kan beide effecten hebben. Een proces met sensorvertraging kan een vroege warmtecapaciteit te groot doen lijken.

Bij twee achtereenvolgende eersteordeblokken ontstaat een tweedeordemodel. De respons begint vlakker dan bij één knoop. Een vertraging op de uitgang is niet hetzelfde als een lagere procesversterking: de evenwichtsuitvoer kan gelijk blijven. Kalibratie en plaatsing horen daarom bij identificatie. De sensorkast 60 s blijft een aparte toestand of bekende meetketen; zij is geen extra warmtebuffer voor het hele station.

effect	directe reactie	evenwichtsversterking
capaciteit	ja, geleidelijk	ongewijzigd bij zelfde H
dode tijd	pas na L	ongewijzigd
extra verlies	ja	kleiner

Uitleg · 38.5

Tweede orde: twee toestanden

5/15

Een massa-veer-demper voldoet aan $m \overset{x}{¨} + b \overset{x}{˙} + k x = F$ . Deel door m: $\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{n} \overset{x}{˙} + ω_{n}^{2} x = (1/ m) F$ , met $ω_{n} = k / m$ en $ζ = b / (2 k m)$ . Twee beginvoorwaarden zijn nodig: positie en snelheid.

De standaard overdracht met versterking K is $K ω_{n}^{2} / (s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2})$ . Bij 0<ζ<1 is de respons ondergedempt; bij ζ=1 kritisch gedempt; bij ζ>1 overgedempt. Een thermisch passief tweeknoopsysteem heeft doorgaans twee reële vervalmodes en hoeft niet te oscilleren. Een regelaar kan wel complexe gesloten-luspolen veroorzaken. ‘Tweede orde’ betekent dus niet automatisch slingeren.

Dezelfde eigenfrequentie geeft afhankelijk van demping doorschot, kritisch snelle monotone of tragere monotone respons.

Uitgewerkt voorbeeld · 38.6

Doorschot uit demping

6/15

Een genormaliseerd tweedeordesysteem heeft ζ=0,4 en ωₙ=0,01 rad/s.

Gegeven

stapuitvoer uiteindelijk 1

Gevraagd

Relatief doorschot, piektijd en benaderde 2%-insteltijd

Oplossing

1
$M_{p} = e^{- π ζ / 1 - ζ^{2}} = 0, 25383$ , dus 25,38%.
2
$t_{p} = π / (ω_{n} 1 - ζ^{2}) = 342, 78 s$ .
3
De gebruikelijke benadering $t_{s} \approx 4/ (ζ ω_{n}) = 1000 s$ geldt als ordeschatting voor voldoende gedempte ondergedempte respons; toets de werkelijke 2%-band in de simulatie.

Antwoord

Piek 1,2538 na 5,71 min; instellen circa 16,7 min.

Klopt dit? Bij ζ→0 wordt de insteltijd onbegrensd; bij ζ≥1 geldt deze doorschotformule niet.

Uitleg · 38.7

Blokdiagrammen rekenen met dezelfde signalen

7/15

Een serieverbinding heeft $G = G_{1} G_{2}$ ; parallel optellen geeft $G = G_{1} + G_{2}$ , mits inputs en outputs dezelfde betekenis hebben. Bij negatieve terugkoppeling geldt $y = G (r - H_{s} y)$ ; daaruit $y / r = G / (1 + G H_{s})$ . Het teken in de somknoop is een fysische keuze, geen decoratie.

Een blokschema toont signaalstromen, geen volledige energiestromen. De regelaaruitgang W gaat naar de actuator; een temperatuursensor levert°C. Het product van blokken moet dimensioneel kloppen. Verzadiging, pompschakelen en hysterese zijn niet-lineair: een eenvoudige overdrachtsfunctie beschrijft ze alleen lokaal of buiten de begrenzing. De Bode-analyse geldt dus niet onverkort tijdens volle 2 kW noodverwarming.

negatieve terugkoppeling

G_{gesloten} = \frac{G _{c} G _{p}}{1 + G _{c} G _{p} H _{s}}

r en y zijn temperatuurafwijkingen. De regelaar zet fout e om in vermogen u; Hs beschrijft de meetketen. De onderste pijl eindigt bij de min-ingang van de somknoop.

Uitleg · 38.8

Overdrachtsfunctie zonder toverwoord

8/15

In de Laplacetransformatie wordt afleiden bij nul beginvoorwaarden vermenigvuldigen met s. Zo wordt $τ \overset{y}{˙} + y = K u$ algebraïsch $(τ s + 1) Y = K U$ . Daarom $G (s) = Y / U = K / (τ s + 1)$ . De pool $s = - 1/ τ$ bepaalt het verval. De nulfrequentieversterking $G (0) = K$ bepaalt het evenwicht.

Een pool met negatief reëel deel sterft uit; positief reëel deel groeit; op de imaginaire as kunnen ongedempte modes blijven bestaan. Dit criterium betreft het continue lineaire model. Een numerieke integrator kan toch divergeren, zoals e36 toont. Niet-nul beginvoorwaarden leveren een extra term: de overdracht alleen beschrijft de vrije respons door opgeslagen beginenergie niet.

lineair tijdinvariant eersteordeblok

G (s) = \frac{K}{τ s + 1}

Code · 38.9

Polen en twee warmteknopen berekenen

9/15

De matrixexponentiële expm geeft hier een onafhankelijke exacte lineaire referentie voor de RK4-code van e36/e17. Beide knopen zijn moduletoestanden; de snelle stationsknoop wordt er niet bij opgeteld. De tweedeorderoutine gebruikt analytische responsen voor drie dempingen.

Pythondynamica.py34 regelsDownload

import numpy as npfrom scipy.linalg import expm C_a,C_b,H,G = 80000.0,1100000.0,20.2,30.0A=np.array([[-(H+G)/C_a,G/C_a],[G/C_b,-G/C_b]])B=np.array([1/C_a,0.0])evenwicht=np.linalg.solve(-A,B*600)+4t=np.linspace(0,24*3600,145)temp=np.array([evenwicht+expm(A*s)@(np.array([12.,12.])-evenwicht) for s in t])polen=np.linalg.eigvals(A)print("tijdschalen h",sorted(-1/polen/3600))print("na24h",*(f"{v:.6f}" for v in temp[-1]))print("evenwicht",evenwicht) def stap2(t,zeta,wn=1.0):    t=np.asarray(t)    if zeta<1:        wd=wn*np.sqrt(1-zeta*zeta)        return 1-np.exp(-zeta*wn*t)*(np.cos(wd*t)+zeta*wn/wd*np.sin(wd*t))    if zeta==1: return 1-(1+wn*t)*np.exp(-wn*t)    p1=-wn*(zeta-np.sqrt(zeta*zeta-1))    p2=-wn*(zeta+np.sqrt(zeta*zeta-1))    return 1+(p2*np.exp(p1*t)-p1*np.exp(p2*t))/(p1-p2) zeta=0.4mp=np.exp(-np.pi*zeta/np.sqrt(1-zeta*zeta))tp=np.pi/np.sqrt(1-zeta*zeta)print("zeta0.4 overshootpct",100*mp,"piekbij",tp)assert abs(temp[-1,0]-28.375973)<1e-6# Identificatie zonder ruis: bekende15K-evenwichtsverhoging.ti=np.array([1,2,3,4,5])*3600yi=15*(1-np.exp(-ti/10800))helling=np.polyfit(ti,np.log(1-yi/15),1)[0]print("geidentificeerde tau",-1/helling,"s")

tijdschalen h [np.float64(0.43127773520059204), np.float64(25.98053011225082)]
na24h 28.375973 24.941009
evenwicht [33.7029703 33.7029703]
zeta0.4 overshootpct 25.38267219801087 piekbij 3.4277586042362875
geidentificeerde tau 10799.999999999996 s

Rekenproef e17: start 12 °C, buiten 4 °C, 600 W; na 24 h is de buffer nog niet in het uiteindelijke evenwicht.

Uitleg · 38.10

De tweeknoops-overdracht afleiden

10/15

Voor afwijkingen ten opzichte van constant buiten is $C_{a} \dot{T}_{a} = P - H T_{a} - G (T_{a} - T_{b})$ en $C_{b} \dot{T}_{b} = G (T_{a} - T_{b})$ . Transformeer en elimineer $T_{b}$ : $(C_{b} s + G) T_{b} = G T_{a}$ . Vermenigvuldigen levert:

module-overdracht

\frac{T _{a} ( s )}{P ( s )} = \frac{C _{b} s + G}{C _{a} C _{b} s ^{2} + [ C _{a} G + C _{b} ( H + G )] s + H G}

Bij s=0 is de versterking 1/H. De nul op −G/Cb beïnvloedt de zichtbaarheid van de trage mode, maar maakt de buffer niet overbodig. De matrixpolen geven tijdschalen 0,4313 h en 25,9805 h. De snelle mode bepaalt de vroege luchtrespons; de trage mode beheerst langetermijnopslag. Na 24 h in de rekenproef is de lucht 28,375973 °C en de buffer 24,941009 °C; uiteindelijk gaan beide naar 33,702970 °C.

Uitgewerkt voorbeeld · 38.11

Een éénknoopfit uit een stap

11/15

Een gekalibreerde extra 750 W-stap geeft een uiteindelijke 15 K-stijging. Na 3 h is de stijging 9,4818 K.

Gegeven

start in evenwicht
sensorvertraging apart bepaald

Gevraagd

H,τ en C schatten

Oplossing

1
H=ΔP/Δy∞=750/15=50 W/K.
2
$ln (1 - 9, 4818/15) \approx - 1$ ; dus τ≈3 h=10800 s.
3
C=Hτ=540 kJ/K. Controleer de hele respons; niet enkel één 63,2%-punt.

Antwoord

De oorspronkelijke e39-rekenwaarden worden in deze ruisvrije identificatie teruggevonden.

Klopt dit? Bij een module met trage buffer kan een kort experiment een andere effectieve C geven. De juiste conclusie is dan een ontbrekende tijdschaal, geen vervanging van alle systeemgrenzen.

Uitleg · 38.12

Identificatie heeft een proefontwerp nodig

12/15

Een stap moet groot genoeg zijn tegenover ruis en klein genoeg om geen grenzen, ventilatieschakeling of veranderlijke COP te activeren. Leg het werkelijk afgegeven warmtevermogen vast: een elektrisch warmtepompverbruik is geen constant thermisch P. Meet buiten, buffertemperatuur en relevante verstoringen. Kies een lang genoeg experiment om de langzaamste mode te zien.

Een dode-tijd/τ-fit op het eerste stijgende deel kan handig zijn voor afregelen, maar geeft geen fysische unieke warmtecapaciteit. De modelorde hoort bij het doel. Voor snelle regeling kan een eenvoudiger lokaal model bruikbaar zijn; voor nachtelijke energieplanning is de trage buffer essentieel. Reserveer een andere inputproef voor validatie en rapporteer de band waarin de voorspelling voldoet.

doel	relevante tijd	bewijs
lokale PID	seconden tot uren	sensorvertraging, actuatorgrens
nachtplanning	uren tot dagen	bufferstaat en buitenweer
jaarbalans	seizoenen	bronnen, verliezen, gemiddeld klimaat

Verhaal · 38.13

Een gebouw reageert met meerdere herinneringen

13/15

In de e17-rekenproef warmt lucht snel op, terwijl de buffer een dag later nog achterloopt. Dat is de ontwerples voor een technisch operator: een fijne luchttemperatuurgrafiek aan het einde van de middag bewijst geen opgeladen warmtebuffer voor de nacht. Een model dat alleen de kamer ziet kan energie te vroeg wegplannen.

De berekende warmteproef is hier een fictief stationsscenario met exacte balans, geen gemeten gebouwrapport. Een echte proef vergelijkt beide sensorsignalen en de warmte-input. Juist het verschil tussen snelle bediening en trage opslag maakt een tweeling nuttig: zij bewaart toestanden die een dashboard met losse laatste waarden niet laat zien.

Rekenproef e17: start 12 °C, buiten 4 °C, 600 W; na 24 h is de buffer nog niet in het uiteindelijke evenwicht.

Naslag · 38.14

Stapresponsen in één naslag

14/15

ondergedempte tweede orde-doorschot, 0 < ζ < 1

M_{p} = e^{- π ζ / 1 - ζ^{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$M_{p}$	fractie doorschot	—
$ζ$	dempingsverhouding	—

piektijd

t_{p} = \frac{π}{ω _{n} 1 - ζ ^{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$ω_{n}$	ongedempte hoekfrequentie	rad/s

model	kenmerk	beperking
eerste orde	τ, statische K	één zichtbare opslagmode
tweede orde ondergedempt	ζ,ωn, piek	geen grote saturatie
passief twee warmteknopen	twee reële polen	parameters bij bekende grens

Het geheel · 38.15

Van dynamiek naar regeling

15/15

De regelwet verandert de gesloten-lusdynamiek. Goede afstelling begint daarom bij een model met duidelijke grens en bekende meetketen.

E17 Warmteoverdracht kwantitatief

De modulebalans en vaste knopen.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Fitten en integreren met foutcontrole.

E39 PID-regeling

De PI-regelaar verandert de polen.

E40 Sensorfusie en schatten

Meetkwaliteit en modelvoorspelling combineren.

Habitat

De tweeling bewaart lucht en buffer als afzonderlijke toestanden. Het e39-éénknoopsmodel blijft expliciet een regelvereenvoudiging, geen extra kamer naast de module.

Samenvatting

In het kort

Toestand is opgeslagen informatie; een staprespons maakt tijdschalen zichtbaar.
Een eersteordeproces bereikt 63,2% na τ en reageert zonder dode tijd.
Tweedeorde kan monotoon of oscillerend zijn; polen en demping bepalen dit.
Overdrachtsfuncties vragen lineariteit, tijdinvariantie en afgesproken beginvoorwaarden.
Identificatie vraagt bekende input, geijkte meetketen en een onafhankelijke proef.

Begrippen

Wat je nu kent

toestand: Informatie die met de toekomstige invoer voldoende is om de toekomstige systeemuitvoer te bepalen.
pool: Een karakteristieke waarde die groei, verval of oscillatie van een lineair systeem bepaalt.
statische versterking: De verhouding tussen verandering van evenwichtsuitvoer en een constante inputverandering.
doorschot: De relatieve piek boven de uiteindelijke stapwaarde.
overdrachtsfunctie: De verhouding van getransformeerde uitgang en ingang van een lineair tijdinvariant systeem bij nul beginvoorwaarden.

Aan de slag in het werkboek9 opdrachten, van oefenen tot uitdagen