FFundamental · deel F1 · Denken en werken als STEM'er

Handboek · hoofdstuk 3Meten: grootheden en eenheden

Getal, eenheid en instrument: zo wordt een meting iets waar anderen op kunnen bouwen

Zonder eenheid is een getal niets waard, en met de verkeerde eenheid kan het zelfs gevaarlijk zijn. In dit hoofdstuk leer je hoe je een meetresultaat noteert als grootheid, getal en eenheid, wat het internationale SI is, hoe je met voorvoegsels en de eenhedentrap omzet, en hoe je oppervlakte en volume uitdrukt. Je leert meten met lat, schuifmaat, balans, maatcilinder, thermometer en stopwatch, afleesfouten vermijden en je resultaat zinvol afronden.

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag2× verhaal1× het geheel17 opdrachten in het werkboek± 7 lestijden

OOnderzoeken en meten WWiskundig modelleren

Meten tot op een tiende millimeter: het frame van de meetkas onder de schuifmaat.

Na dit hoofdstuk

Je kan in een meetresultaat de grootheid, het getal en de eenheid aanduiden, en een meetresultaat correct noteren.
Je kan de zeven SI-basisgrootheden met hun basiseenheid opnoemen en uitleggen waarom één stelsel van eenheden nodig is.
Je kan de voorvoegsels mega, kilo, hecto, deca, deci, centi en milli gebruiken, en eenheden van lengte, massa en inhoud omzetten met de eenhedentrap.
Je kan tijd omzetten tussen uren, minuten en seconden, en weet waarom dat niet tiendelig gaat.
Je kan oppervlakte en volume berekenen en omzetten tussen mm², cm², m² en tussen cm³, dm³, m³, mL en L.
Je kan meten met lat, schuifmaat, balans, maatcilinder, thermometer en stopwatch, en de kleinste stap van elk instrument benoemen.
Je kan parallax en de meniscus uitleggen en correct aflezen.
Je kan een meting en een berekend resultaat zinvol afronden.

Verhaal · 3.1

Verloren door een eenheid

1/19

Op 23 september 1999 moest de Amerikaanse ruimtesonde Mars Climate Orbiter in een baan rond Mars gaan. De sonde was negen maanden onderweg geweest. Ze dook achter de planeet weg en er kwam nooit meer een signaal terug. Ze was veel te dicht bij Mars gekomen: op ongeveer 57 kilometer boven het oppervlak in plaats van de geplande 226 kilometer, en ging vermoedelijk in de atmosfeer verloren.

Het onderzoek bracht de oorzaak aan het licht. Het team van de bouwer rekende de kleine stoten van de stuurraketjes uit in Engelse eenheden (pound-force seconds). Het navigatieteam van NASA verwachtte SI-eenheden (newtonseconden). Eén Engelse eenheid is 4,45 keer zo groot als één SI-eenheid. Niemand merkte het op: de getallen zagen er gewoon uit. Een missie van ruim 300 miljoen dollar ging verloren door een eenheid die niet vermeld of niet nagekeken werd.

Het is niet de enige keer. In 1983 kwam een Boeing 767 van Air Canada tijdens een vlucht zonder brandstof te zitten. De hoeveelheid brandstof was berekend in pond in plaats van in kilogram, zodat er minder dan de helft van de nodige brandstof in de tanks zat. De piloten zweefden met stilgevallen motoren naar een oude luchtmachtbasis in Gimli, in Canada, en landden. Alle 69 mensen aan boord overleefden (werkboekopdracht 3.16 rekent het na).

Waarom dit verhaal ertoe doet

Een getal zonder eenheid, of met de verkeerde eenheid, is erger dan geen getal: het ziet er betrouwbaar uit. Daarom schrijf je in StemExpert altijd de eenheid bij een getal, en werken we met één stelsel van eenheden: het SI.

Een sonde die te diep in de atmosfeer van Mars dook, door een verwisseling van eenheden.

Uitleg · 3.2

Grootheid, getal en eenheid

2/19

Alles wat je kan meten, heet een grootheid: lengte, massa, tijd, temperatuur, volume. Meten is vergelijken met een afgesproken maat: de eenheid. Als de kas 1,20 m lang is, past de eenheid meter er 1,20 keer in. Een meetresultaat bestaat dus altijd uit drie delen:

l = 1, 20 m

de grootheid, met een symbool in schuine letters: $l$ voor lengte, $m$ voor massa, $t$ voor tijd, $V$ voor volume;
het getal: hoeveel keer de eenheid erin past;
de eenheid, met een symbool in rechte letters: m, kg, s, L.

Tussen getal en eenheid staat een spatie: 1,20 m, niet 1,20m. Symbolen van eenheden krijgen geen meervoud en geen punt: 5 kg, niet 5 kgs of 5 kg. als afkorting. En let op hoofdletters: m is meter, M is mega; s is seconde, S is de siemens, een eenheid uit de elektronica.

grootheid	symbool	eenheid	symbool eenheid
lengte	$l$	meter	m
massa	$m$	kilogram	kg
tijd	$t$	seconde	s
oppervlakte	$A$	vierkante meter	m²
volume	$V$	kubieke meter, liter	m³, L
temperatuur	$t$ of $T$	graad Celsius, kelvin	°C, K

Massa of gewicht?

In de winkel zeg je dat boter 250 gram 'weegt'. Wat een weegschaal aangeeft, is de massa: hoeveel stof er in de boter zit, in kilogram of gram. Het gewicht is in de natuurwetenschappen een kracht, in newton, en dat is op de maan zes keer kleiner, terwijl de massa gelijk blijft. Meer daarover in hoofdstuk 11.

Symbool van de grootheid schuin, eenheid recht, en daartussen het getal met een spatie ervoor.

Verhaal · 3.3

Van een platina staaf naar natuurconstanten

3/19

Nog geen driehonderd jaar geleden had bijna elke stad haar eigen maten. Een el of een voet was in Brugge anders dan in Antwerpen of Brussel, en handelaars moesten voortdurend omrekenen. Tijdens de Franse Revolutie besloten Franse wetenschappers dat het anders moest: één maat voor iedereen, gebaseerd op de aarde zelf.

De meter werd één tienmiljoenste van de afstand van de Noordpool tot de evenaar, gemeten langs de meridiaan door Parijs. Twee astronomen maten jarenlang een deel van die meridiaan op, tussen Duinkerke en Barcelona. In 1799 werd een platina staaf van precies die lengte de officiële meter. De kilogram was oorspronkelijk de massa van een liter water.

In 1875 ondertekenden zeventien landen, waaronder België, de Meterconventie. Vanaf 1889 lagen in Sèvres bij Parijs een internationale standaardmeter en een standaardkilogram: een cilinder van platina en iridium van ongeveer 4 cm hoog. In 1960 kreeg het stelsel zijn naam: het Système International d'Unités, kortweg SI. Het heeft zeven basisgrootheden, elk met een basiseenheid:

grootheid	symbool	basiseenheid	symbool	vastgelegd via (sinds 2019)
lengte	$l$	meter	m	de lichtsnelheid
massa	$m$	kilogram	kg	de constante van Planck
tijd	$t$	seconde	s	de trilling van cesiumatomen
elektrische stroomsterkte	$I$	ampère	A	de lading van één elektron
temperatuur	$T$	kelvin	K	de constante van Boltzmann
hoeveelheid stof	$n$	mol	mol	het getal van Avogadro
lichtsterkte	$I_{v}$	candela	cd	de lichtopbrengst van een bepaald groen licht

Een metalen voorwerp als maat heeft een nadeel: het kan veranderen. De standaardkilogram en zijn kopieën groeiden in honderd jaar zowat 50 microgram uit elkaar. Daarom liggen sinds 20 mei 2019 alle zeven basiseenheden vast via natuurconstanten, getallen die overal en altijd hetzelfde zijn. De meter is bijvoorbeeld de afstand die licht in het luchtledige aflegt in 1/299 792 458 seconde, en de seconde is 9 192 631 770 trillingen van een cesiumatoom.

Alle andere eenheden zijn afgeleid van de basiseenheden: de vierkante meter (m²) voor oppervlakte, de kubieke meter (m³) voor volume, de meter per seconde (m/s) voor snelheid (hoofdstuk 14), de kilogram per kubieke meter (kg/m³) voor dichtheid (hoofdstuk 7). Enkele handige eenheden buiten het SI mag je ernaast gebruiken: de liter, de minuut, het uur, de ton (1 t = 1000 kg) en de hectare.

Van 1889 tot 2019 was de kilogram de massa van één cilinder van platina en iridium.

Uitleg · 3.4

Voorvoegsels: van nano tot giga

4/19

Een bacterie is 0,000 002 m lang, een windturbine levert 3 000 000 W. Zulke getallen zijn lastig te lezen. Daarom zet je een voorvoegsel voor de eenheid: 2 µm (micrometer) en 3 MW (megawatt). Het voorvoegsel betekent een vermenigvuldiging met een macht van tien.

voorvoegsel	symbool	betekenis	macht van 10	voorbeeld
giga	G	× 1 000 000 000	$1 0^{9}$	een grote kernreactor levert ongeveer 1 GW
mega	M	× 1 000 000	$1 0^{6}$	een grote windturbine op land: enkele MW
kilo	k	× 1000	$1 0^{3}$	kilometer, kilogram
hecto	h	× 100	$1 0^{2}$	hectoliter, hectare
deca	da	× 10	$1 0^{1}$	decameter (zelden gebruikt)
(geen)		× 1	$1 0^{0}$	meter, gram, liter, seconde
deci	d	× 0,1	$1 0^{- 1}$	deciliter
centi	c	× 0,01	$1 0^{- 2}$	centimeter, centiliter
milli	m	× 0,001	$1 0^{- 3}$	millimeter, milliliter, milliampère
micro	µ	× 0,000 001	$1 0^{- 6}$	micrometer: een bacterie is enkele µm lang
nano	n	× 0,000 000 001	$1 0^{- 9}$	nanometer: een DNA-streng is ongeveer 2 nm breed

Een macht van 10 is een korte schrijfwijze: $1 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000$ en $1 0^{- 3} = 1/1000 = 0, 001$ . De voorvoegsels in het vet gebruik je het meest; micro en nano kom je tegen bij heel kleine dingen (cellen, hoofdstuk 26).

Een voorvoegsel lees je als een vervanging: k betekent '× 1000'. Dus 3 km = 3 × 1000 m = 3000 m, en 250 mA = 250 × 0,001 A = 0,250 A.

Kleine en grote letters

m (milli) en M (mega) verschillen een factor 1 000 000 000. 1 mm is een millimeter, 1 Mm zou duizend kilometer zijn. En de k van kilo is altijd een kleine letter: km, kg, kW.

Elke grote streep is een factor 1000: van nanometer via micrometer en millimeter tot meter en kilometer. De afmetingen zijn ordes van grootte.

Uitleg · 3.5

De eenhedentrap

5/19

Bij lengte liggen de eenheden telkens een factor 10 uit elkaar: 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m, 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm. Zet ze op een trap, van groot naar klein:

Ga je een trede omlaag (naar een kleinere eenheid), dan heb je er meer van nodig: vermenigvuldig het getal met 10.
Ga je een trede omhoog (naar een grotere eenheid), dan heb je er minder van nodig: deel het getal door 10.

Vermenigvuldigen met 10 is de komma één plaats naar rechts schuiven; delen door 10 is één plaats naar links. Ontbreken er cijfers, dan vul je aan met nullen: 0,8 m = 8 dm = 80 cm = 800 mm.

Dezelfde trap werkt voor massa (kg, hg, dag, g, dg, cg, mg) en voor inhoud in liter (hL, daL, L, dL, cL, mL). Tussen kg en g zitten drie treden: 1 kg = 1000 g. Voor oppervlakte en volume zijn de treden groter (volgende bladen).

Tijd is niet tiendelig

1 uur = 60 minuten, 1 minuut = 60 seconden, 1 dag = 24 uur. Daarom is 1,5 uur geen 1 uur en 50 minuten, maar 1 uur en een half uur: 1 h 30 min = 90 min. En 0,1 uur is 6 minuten. Omzetten doe je hier met 60 en 24, niet met de trap.

De eenhedentrap voor lengte: omlaag × 10 per trede, omhoog ÷ 10 per trede. De meter is de basiseenheid.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.6

Omzetten met de trap

6/19

Zet om: (a) 2,35 km naar m; (b) 450 mg naar g; (c) 75 cL naar L; (d) 0,8 m naar mm; (e) 2 h 15 min naar min.

Gegeven

$2, 35 km$
$450 mg$
$75 cL$
$0, 8 m$
2 h 15 min

Gevraagd

dezelfde hoeveelheid in de nieuwe eenheid

Oplossing

1
(a) Van km naar m: drie treden omlaag (km, hm, dam, m), dus $\times 10 \times 10 \times 10 = \times 1000$ . De komma drie plaatsen naar rechts: $2, 35 km = 2350 m$ .
2
(b) Van mg naar g: drie treden omhoog (mg, cg, dg, g), dus $\div 1000$ . De komma drie plaatsen naar links: $450 mg = 0, 450 g$ .
3
(c) Van cL naar L: twee treden omhoog (cL, dL, L), dus $\div 100$ : $75 cL = 0, 75 L$ .
4
(d) Van m naar mm: drie treden omlaag, dus $\times 1000$ : $0, 8 m = 800 mm$ (nullen aanvullen).
5
(e) Tijd is niet tiendelig: 2 h = $2 \times 60 = 120$ min, plus 15 min: 135 min.

Antwoord

(a) 2350 m; (b) 0,450 g; (c) 0,75 L; (d) 800 mm; (e) 135 min.

Klopt dit? Naar een kleinere eenheid moet het getal groter worden (2350 is meer dan 2,35), naar een grotere eenheid kleiner (0,450 is minder dan 450). Klopt de richting niet, dan liep je de trap de verkeerde kant op.

Uitleg · 3.7

Oppervlakte: vierkante eenheden

7/19

De oppervlakte $A$ van een vlak zegt hoeveel vierkantjes van 1 bij 1 erop passen. Voor een rechthoek vermenigvuldig je lengte en breedte:

oppervlakte van een rechthoek

A = l \cdot b

l

b

in dezelfde eenheid; de eenheid van

A

is die eenheid in het kwadraat: cm

\times

cm = cm², m

\times

m = m².

Een vierkante decimeter is een vierkant van 10 cm op 10 cm. Daarin passen $10 \times 10 = 100$ vierkante centimeters. Bij oppervlakte is elke trede van de trap dus een factor 100:

1 m^{2} = 100 d m^{2} = 10000 c m^{2} = 1000000 m m^{2}

Voor grond gebruik je ook de are en de hectare: 1 a = 100 m² (een vierkant van 10 m op 10 m) en 1 ha = 10 000 m² (100 m op 100 m, iets groter dan een voetbalveld).

Eerst dezelfde eenheid

Een plank van 1,2 m op 30 cm? Zet eerst om: 1,2 m = 120 cm. Dan $A = 120 cm \times 30 cm = 3600 c m^{2}$ , of in meter: $1, 2 m \times 0, 30 m = 0, 36 m^{2}$ . Nooit 1,2 × 30 = 36 van 'iets'.

Tien rijen van tien hokjes: 1 dm² = 100 cm². Daarom is de trap voor oppervlakte een factor 100 per trede.

Uitleg · 3.8

Volume: kubieke eenheden, liter en milliliter

8/19

Het volume $V$ zegt hoeveel ruimte iets inneemt: hoeveel kubusjes van 1 bij 1 bij 1 erin passen. Voor een balk (een doos met rechte hoeken):

volume van een balk

V = l \cdot b \cdot h

l

b

h

in dezelfde eenheid; de eenheid van

V

is die eenheid tot de derde macht: cm³, dm³, m³.

Een kubieke decimeter is een kubus van 10 cm op 10 cm op 10 cm. Daarin passen $10 \times 10 \times 10 = 1000$ kubieke centimeters. Bij volume is elke trede een factor 1000:

1 m^{3} = 1000 d m^{3} = 1000000 c m^{3}

Voor vloeistoffen gebruik je de liter. De afspraak die alles verbindt:

1 L = 1 d m^{3} 1 mL = 1 c m^{3} 1 m^{3} = 1000 L

Een brik melk van 1 L past dus precies in een kubus van 10 cm, een lepel siroop van 5 mL is 5 cm³, en een kubieke meter water (een kuip van 1 m op 1 m op 1 m) is 1000 liter.

Welke trap?

Lengte: 10 per trede. Oppervlakte (²): 100 per trede. Volume (³): 1000 per trede. De liter-eenheden (L, dL, cL, mL) volgen weer de gewone trap van 10.

Tien lagen van honderd blokjes: 1 dm³ = 1000 cm³, en dat is precies één liter.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.9

De grondoppervlakte van de meetkas

9/19

Een eerste ontwerp van de meetkas heeft een grondvlak van 1,20 m op 0,60 m. (a) Bereken de grondoppervlakte in m² en in cm². (b) Hoeveel plantenbakjes van 30 cm op 20 cm passen er naast elkaar op de bodem?

Gegeven

$l = 1, 20 m$ , $b = 0, 60 m$
bakje: $30 cm \times 20 cm$

Gevraagd

$A$ in m² en cm²
aantal bakjes

Oplossing

1
(a) $A = l \cdot b = 1, 20 m \times 0, 60 m = 0, 72 m^{2}$ .
2
Naar cm²: van m² naar cm² zijn twee treden omlaag op de oppervlaktetrap, dus $\times 100 \times 100 = \times 10000$ : $0, 72 m^{2} = 7200 c m^{2}$ .
3
Controle langs een andere weg: $120 cm \times 60 cm = 7200 c m^{2}$ . Dezelfde uitkomst.
4
(b) Tel per richting. Leg de bakjes met hun korte kant langs de lengte van de kas: in de lengte passen $120/20 = 6$ bakjes, in de breedte $60/30 = 2$ bakjes. Samen $6 \times 2 = 12$ bakjes: twee rijen van zes. Andersom gelegd ( $120/30 = 4$ en $60/20 = 3$ ) passen er ook 12. De meetkas kiest twee rijen van zes, zodat er boven elke rij één ledstrip kan hangen (hoofdstuk 20).
5
Controle met de oppervlakte: één bakje is $30 \times 20 = 600 c m^{2}$ , en $12 \times 600 = 7200 c m^{2}$ : de bodem is precies vol.

Antwoord

(a)

0, 72 m^{2} = 7200 c m^{2}

. (b) 12 bakjes.

Klopt dit? Delen van de totale oppervlakte door de oppervlakte van één bakje geeft het maximum. Of dat ook echt past, hangt af van de vorm: tel daarom altijd per richting. Hier klopt het omdat 120 en 60 precies deelbaar zijn door 30 en 20.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.10

Hoeveel water past in het reservoir?

10/19

Het waterreservoir van de meetkas is een bak met binnenmaten 40 cm lang, 30 cm breed en 25 cm hoog. (a) Hoeveel liter past erin? (b) Je vult tot 20 cm hoog. Hoeveel liter is dat? (c) De planten gebruiken samen 1,8 L per dag. Hoeveel volle dagen kan de kas zonder bijvullen?

Gegeven

binnenmaten $40 cm \times 30 cm \times 25 cm$
waterhoogte $20 cm$
verbruik $1, 8 L$ per dag

Gevraagd

volume van de bak in L
volume van het water in L
aantal volle dagen

Oplossing

1
(a) $V = l \cdot b \cdot h = 40 cm \times 30 cm \times 25 cm = 30000 c m^{3}$ .
2
Naar liter: $1 L = 1 d m^{3} = 1000 c m^{3}$ , dus $30000 c m^{3} = 30 d m^{3} = 30 L$ .
3
(b) Alleen de hoogte verandert: $40 \times 30 \times 20 = 24000 c m^{3} = 24 L$ .
4
(c) $24 L /1, 8 L$ per dag $= 13, 3$ dagen. Volle dagen: 13.

Antwoord

(a) 30 L; (b) 24 L; (c) 13 volle dagen.

Klopt dit? Een emmer bevat ongeveer 10 L: de bak is zo groot als drie emmers, dat klinkt redelijk voor een bak van 40 bij 30 cm. En afronden naar beneden is hier de veilige keuze: op dag 14 is het water op.

Uitleg · 3.11

Meetinstrumenten en hun nauwkeurigheid

11/19

Elk instrument heeft een meetbereik (van hoe klein tot hoe groot je ermee kan meten) en een kleinste stap: het kleinste verschil dat je nog kan aflezen. Op een lat met millimeterstreepjes is dat 1 mm, op een digitale thermometer die 21,4 °C toont 0,1 °C. Die kleinste stap bepaalt de nauwkeurigheid van het instrument: hoe fijn je ermee kan meten.

instrument	grootheid	meetbereik (typisch)	kleinste stap (typisch)	let op
lat, meetlat	lengte	30 cm tot 1 m	1 mm	meet vanaf het nulstreepje, niet vanaf de rand van de lat
rolmeter	lengte	3 tot 5 m	1 mm	lint strak en recht; het haakje schuift bewust een klein beetje, om zijn eigen dikte te compenseren
schuifmaat	lengte, dikte, diameter, diepte	0 tot 150 mm	0,1 mm of 0,05 mm (digitaal 0,01 mm)	niet knijpen; bekken recht op het voorwerp
keukenweegschaal	massa	tot enkele kg	1 g	eerst op nul zetten (tarreren)
labobalans	massa	tot enkele honderden g	0,1 g of 0,01 g	geen tocht, niet tegen de tafel leunen
maatcilinder	volume van een vloeistof	10 mL tot 1 L	1 mL (bij een cilinder van 100 mL)	op ooghoogte, onderkant van de meniscus
thermometer	temperatuur	−10 tot 110 °C	1 °C (digitaal 0,1 °C)	wachten tot de waarde niet meer verandert
stopwatch (chronometer)	tijd	tot enkele uren	0,01 s op het scherm	je reactietijd is ongeveer 0,2 s

Kies het instrument dat bij je meting past. Wil je 5 mL afmeten, neem dan een maatcilinder van 10 mL en niet een van 250 mL: bij die grote zijn de streepjes 2 mL uit elkaar en is 5 mL amper af te lezen. Voor de dikte van een munt is een lat te grof; neem een schuifmaat.

Vóór je meet: controleer het nulpunt. Een weegschaal met een leeg bakje erop zet je op nul (tarreren), zodat je alleen de inhoud weegt. Een schuifmaat met gesloten bekken moet 0,0 mm aanwijzen.

Meer cijfers is niet altijd juister

Een stopwatch toont 12,47 s: twee cijfers na de komma. Maar jij drukt de knop in met een reactietijd van ongeveer 0,2 s, en dat is niet elke keer even lang. Het laatste cijfer betekent dus weinig. Ook een digitale thermometer kan een tiende van een graad tonen en toch een hele graad naast de werkelijke temperatuur zitten. Hoe je dat nagaat, leer je in Intermediate (meetfouten).

Thermometers

Vroeger zat er kwik in thermometers. Omdat kwik giftig is, gebruik je nu thermometers met gekleurde alcohol of digitale. Laat een glazen thermometer nooit rollen en hou hem niet in een vlam.

Zes instrumenten, zes grootheden: lengte, lengte tot op 0,1 mm, massa, volume, temperatuur en tijd.

Ontleed · 3.12

De schuifmaat

12/19

Met een schuifmaat (ook schuifpasser genoemd) meet je lengtes, diktes en diameters tot op 0,1 mm of zelfs 0,05 mm, tien of twintig keer fijner dan met een lat. Zo gebruik je hem:

Sluit de bekken en controleer dat de nul van de nonius precies bij de nul van de hoofdschaal staat.
Klem het voorwerp tussen de bekken, recht en zonder te knijpen.
Draai de klemschroef aan, neem de schuifmaat weg en lees af (volgend blad).

De bekken staan 20,0 mm open. De nonius op de schuif schuift mee langs de hoofdschaal.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Hoofdschaal
Een liniaal in millimeter op de vaste staaf. De cijfers staan meestal in centimeter: 1, 2, 3 ... betekent 10, 20, 30 mm.
2
Nonius
Een kleine schaal op de schuif: 10 streepjes over 9 mm (soms 20 streepjes over 39 mm). Hiermee lees je de tienden van een millimeter af.
3
Vaste bek
Zit vast aan de hoofdschaal. Het voorwerp rust tegen zijn binnenkant, het meetvlak.
4
Schuif met beweegbare bek
Schuift langs de hoofdschaal. De afstand tussen de twee meetvlakken is wat je afleest.
5
Klemschroef
Zet de schuif vast, zodat de meting niet verschuift als je de schuifmaat wegneemt om af te lezen.
6
Binnenbekken
Voor binnenmaten: steek ze in een gat of een buis en schuif ze uit elkaar tot ze de wand raken.
7
Dieptestaaf
Komt achteraan uit de staaf als je de schuif opent. Zet het uiteinde van de staaf op de rand van een gat en schuif tot de staaf de bodem raakt: zo meet je een diepte.
8
Voorwerp tussen de meetvlakken
Hou het voorwerp recht: schuin gemeten lees je een te grote waarde af. Meet een munt op een paar plaatsen.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.13

Een schuifmaat aflezen

13/19

Welke lengte wijst deze schuifmaat aan? De figuur toont de schalen sterk vergroot.

De nul van de nonius staat net voorbij 23 mm; streepje 4 van de nonius valt samen met een streepje van de hoofdschaal: 23,4 mm.

Gegeven

hoofdschaal in mm (de 2 en de 3 betekenen 20 en 30 mm)
nonius met 10 streepjes over 9 mm

Gevraagd

de lengte tot op 0,1 mm

Oplossing

1
Hele millimeters. Zoek de nul van de nonius. Kijk welk streepje van de hoofdschaal er net links van staat: 23 mm (drie streepjes na de 2). De nul staat iets verder: de lengte is 23 mm en nog een stukje.
2
Tienden. Zoek het streepje van de nonius dat precies samenvalt met een streepje van de hoofdschaal. Hier is dat streepje 4 (het valt samen met 27 mm). Dat betekent 0,4 mm.
3
Samen. 23 mm + 0,4 mm = 23,4 mm.
4
Waarom werkt dit? De nonius heeft 10 streepjes over 9 mm: elk nonius-deel is 0,9 mm, 0,1 mm korter dan een millimeter. Staat de nul 0,4 mm voorbij 23 mm, dan haalt elk volgend nonius-streepje 0,1 mm in, en na 4 streepjes vallen ze samen: 23,4 + 4 × 0,9 = 27,0 mm.

Antwoord

l = 23, 4 mm

Klopt dit? De nul van de nonius staat duidelijk tussen 23 en 24 mm, iets voor het midden: 23,4 mm past daarbij. Op een schuifmaat met 20 nonius-streepjes lees je op dezelfde manier af, maar telt elk streepje 0,05 mm.

Uitleg · 3.14

Aflezen zonder fouten: parallax en meniscus

14/19

Kijk je schuin naar een schaal, dan lees je een verkeerde waarde af. Die fout heet parallax. Je kent het effect: vanop de passagiersstoel lijkt de snelheidsmeter van een auto met een naald iets anders aan te wijzen dan voor de bestuurder.

Bij een maatcilinder komt er nog iets bij. Water 'kruipt' een beetje langs het glas omhoog, waardoor het oppervlak hol gebogen is: de meniscus. Afspraak: je leest de onderkant van de meniscus af.

Zo lees je correct af:

zet de maatcilinder op een vlakke tafel (niet in je hand);
breng je oog op dezelfde hoogte als het vloeistofoppervlak;
lees de onderkant van de meniscus af, tot op het kleinste streepje.

Kijk je van boven (oog A), dan lees je te veel af; van onder (oog C) te weinig. Hetzelfde geldt voor een thermometer, een lat die niet plat op het voorwerp ligt, of een meter met een wijzer. Sommige meters met een wijzer hebben daarom een spiegelstrookje achter de naald: zie je de naald en haar spiegelbeeld samenvallen, dan kijk je recht.

Thermometer aflezen

Laat het reservoir van de thermometer (het bolletje onderaan) volledig in de vloeistof en zonder de bodem of de wand te raken. Wacht tot het vloeistofdraadje niet meer beweegt, en lees af op ooghoogte, terwijl de thermometer nog in de vloeistof zit.

Alleen oog B, op de hoogte van de vloeistof, leest de juiste waarde: 50 mL.

Proef · 3.15

Hoe dik is één blad papier?

15/19

Onderzoeksvraag

Hoe meet je iets dat dunner is dan de kleinste stap van je instrument, zoals één blad papier?

Materiaal

pak printpapier (80 g/m², 500 vel)
lat van 30 cm met millimeterverdeling
schuifmaat

Te dun voor een lat? Meet er 250 samen en deel door 250.

Werkwijze

1Probeer de dikte van één blad te meten met de lat. Noteer wat je ziet.
2Tel 250 bladen af (een half pak). Leg ze als een nette stapel op tafel en druk ze licht samen.
3Meet de dikte van de stapel met de lat, op ooghoogte, tot op 1 mm.
4Meet de dikte van dezelfde stapel met de schuifmaat, zonder te knijpen, tot op 0,1 mm.
5Deel elke meting door 250.

Waarneming

Eén blad kan je met de lat niet meten: het is veel dunner dan 1 mm. Voor de stapel van 250 bladen meet een groep:

instrument	dikte van 250 bladen	dikte van 1 blad
lat	26 mm	26 mm / 250 = 0,104 mm
schuifmaat	25,8 mm	25,8 mm / 250 = 0,1032 mm

Verklaring

Eén blad printpapier van 80 g/m² is ongeveer 0,10 mm dik. Door veel bladen samen te meten, wordt de afleesfout mee gedeeld: zit je met de lat 1 mm naast de juiste dikte van de stapel, dan is dat per blad maar $1/250 = 0, 004 mm$ .

Dezelfde truc, veel meten en delen, gebruik je voor de massa van een rijstkorrel (weeg er 100), het volume van een druppel (tel er 20 in een maatcilinder), of de tijd van één schommeling van een slinger (meet er 10). Opgelet: druk je de stapel verschillend samen, dan verandert de dikte. Meet dus altijd op dezelfde manier.

Uitleg · 3.16

Zinvol afronden

16/19

Een meting is nooit perfect. Hoe precies ze is, toon je met het aantal cijfers dat je opschrijft. Daarom geldt:

Noteer een meting tot op de kleinste stap van het instrument. Het potlood in de figuur eindigt tussen 9,3 en 9,4 cm, het dichtst bij 9,3: met deze lat noteer je 9,3 cm (93 mm). Een liniaal kan geen 9,32 cm aflezen.
Nullen achteraan tellen. 1,20 m betekent: gemeten tot op de centimeter. 1,2 m betekent: tot op de decimeter. Laat een gemeten nul dus niet weg.
Een berekend resultaat krijgt niet meer cijfers dan je metingen. Een rekenmachine geeft acht cijfers, maar die zijn niet allemaal betekenisvol. Tel de cijfers van je metingen (vanaf het eerste cijfer dat geen nul is) en geef je uitkomst met ongeveer evenveel cijfers als de meting met de minste cijfers.

Afronden doe je zo: kijk naar het eerste cijfer dat je weglaat. Is dat 0, 1, 2, 3 of 4, dan blijft het laatste cijfer dat je houdt gelijk. Is het 5, 6, 7, 8 of 9, dan verhoog je het met één.

getal	afronden op	resultaat	waarom
2,346	2 decimalen	2,35	het weggelaten cijfer is 6
2,344	2 decimalen	2,34	het weggelaten cijfer is 4
7,95	1 decimaal	8,0	9 + 1 geeft 10: de nul blijft staan
13,333...	geheel getal	13	het weggelaten cijfer is 3

Rond pas op het einde af

Reken met de volledige tussenresultaten en rond alleen het eindresultaat af. Wie tussendoor afrondt, stapelt kleine fouten op.

Het potlood eindigt tussen 9,3 en 9,4 cm. Met een millimeterlat noteer je 9,3 cm: meer cijfers kan je niet betrouwbaar aflezen.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.17

Afronden na een berekening

17/19

(a) Je meet een plankje met een lat: 23,4 cm op 11,8 cm. De rekenmachine geeft voor de oppervlakte 276,12. Wat noteer je? (b) Een touw van 2,50 m wordt in drie gelijke stukken geknipt. Hoe lang is elk stuk?

Gegeven

(a) $l = 23, 4 cm$ , $b = 11, 8 cm$ (tot op 1 mm gemeten)
(b) $l = 2, 50 m$ , 3 stukken

Gevraagd

een zinvol afgerond resultaat, met eenheid

Oplossing

1
(a) $A = 23, 4 cm \times 11, 8 cm = 276, 12 c m^{2}$ (volgens de rekenmachine).
2
Beide metingen hebben drie cijfers. Geef de uitkomst dus met drie cijfers: $276 c m^{2}$ . Het weggelaten cijfer is een 1: niet naar boven afronden.
3
Waarom niet 276,12? Was de lengte 23,5 in plaats van 23,4 cm (een verschil van 1 mm, wat met een lat makkelijk kan), dan was de oppervlakte 277,3 cm². De cijfers na de komma zeggen dus niets.
4
(b) $2, 50 m /3 = 0, 8333 \dots m$ . De meting 2,50 heeft drie cijfers: $0, 833 m$ , of handiger in centimeter: $83, 3 cm$ .

Antwoord

(a)

A \approx 276 c m^{2}

; (b) elk stuk is

83, 3 cm

lang.

Klopt dit? Tel de cijfers: 23,4 en 11,8 hebben er drie, 276 ook. 2,50 heeft er drie, 83,3 ook. De nul in 2,50 telt mee: ze betekent dat het touw tot op de centimeter gemeten is.

Naslag · 3.18

Overzicht: eenheden, omzetten en afronden

18/19

oppervlakte van een rechthoek

A = l \cdot b

symbool	betekenis	eenheid
$A$	oppervlakte	m², cm² ...
$l$	lengte	m, cm ...
$b$	breedte	m, cm ...

volume van een balk

V = l \cdot b \cdot h

symbool	betekenis	eenheid
$V$	volume	m³, cm³, L ...
$l, b, h$	lengte, breedte, hoogte	m, cm ...

grootheid	trap	omzettingen
lengte	× 10 per trede	1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
massa	× 10 per trede	1 t = 1000 kg; 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg
inhoud (liter)	× 10 per trede	1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL; 1 hL = 100 L
oppervlakte	× 100 per trede	1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²; 1 cm² = 100 mm²; 1 a = 100 m²; 1 ha = 10 000 m²
volume	× 1000 per trede	1 m³ = 1000 dm³; 1 dm³ = 1000 cm³; 1 cm³ = 1000 mm³
volume en inhoud		1 L = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L
tijd	niet tiendelig	1 min = 60 s; 1 h = 60 min = 3600 s; 1 d = 24 h = 86 400 s
temperatuur		in het dagelijks leven °C; de SI-eenheid kelvin (K) volgt in hoofdstuk 16

voorvoegsel	M	k	h	da	d	c	m	µ
factor	1 000 000	1000	100	10	0,1	0,01	0,001	0,000 001

regel	voorbeeld
altijd een eenheid bij een getal, met een spatie ertussen	1,20 m; 18,5 °C
meting tot op de kleinste stap van het instrument	lat: 9,3 cm; schuifmaat: 23,4 mm
gemeten nullen achteraan blijven staan	1,20 m is niet hetzelfde als 1,2 m
uitkomst met ongeveer evenveel cijfers als de minst precieze meting	23,4 cm × 11,8 cm ≈ 276 cm²
afronden: weggelaten cijfer 5 of meer, dan naar boven	2,346 → 2,35; 2,344 → 2,34
op ooghoogte aflezen; bij water de onderkant van de meniscus	maatcilinder, thermometer

De eenhedentrap voor lengte. Voor oppervlakte wordt elke trede × 100, voor volume × 1000.

Het geheel · 3.19

Waar meten naartoe leidt

19/19

Meten is de basis van de hele leerlijn Onderzoeken en meten: elke proef in StemExpert begint met een goed genoteerde meting. Eenheden omzetten kom je overal tegen: milliampère en kilo-ohm in elektriciteit, km/h en m/s bij snelheid, kilowattuur op de energiefactuur. In Intermediate leer je hoe zeker een meting is (waarde ± fout, beduidende cijfers) en hoe je een sensor ijkt; in Expert reken je met meetonzekerheid en statistiek.

F2 Onderzoeken: van vraag tot besluit

Herhalen en het gemiddelde nemen: een meting wordt pas betrouwbaar als je ze herhaalt.

F4 Tabellen, grafieken en verbanden

Metingen in een tabel met grootheid en eenheid in de kop, en in een grafiek.

F7 Massa, volume en dichtheid

Massa en volume meten (ook door onderdompelen) en de dichtheid in g/cm³ en kg/m³.

F14 Beweging en snelheid

Snelheid als afgeleide eenheid, en omzetten tussen km/h en m/s.

F16 Warmte en temperatuur

De kelvin, de SI-eenheid van temperatuur, naast de graad Celsius.

F19 Spanning, stroom en weerstand

Voorvoegsels in de elektronica: mA, kΩ, MΩ, en een multimeter met meetbereiken.

F31 Technisch tekenen

Maten en schaal op een werktekening.

I1 Meetfouten en nauwkeurigheid

Nauwkeurig tegenover precies, absolute en relatieve fout, beduidende cijfers.

I22 De spanningsdeler en sensoren

Een sensor ijken met een referentie: de ijkproef van opdracht 3.15 op een hoger niveau.

HabitatDe meetkas krijgt haar eerste maten: grondvlak, wanden en het volume van het waterreservoir. In opdracht 3.14 kies je een reservoir dat groot genoeg is voor twee weken en dat onder de plantentafel past. Noteer de maten in je portfolio: in hoofdstuk 30 (programma van eisen) en 31 (werktekening) bouw je erop verder.

Samenvatting

In het kort

Een meetresultaat is grootheid = getal + eenheid, bv. $l = 1, 20 m$ . Zonder eenheid betekent een getal niets.
Het SI heeft zeven basisgrootheden: lengte (m), massa (kg), tijd (s), stroomsterkte (A), temperatuur (K), hoeveelheid stof (mol), lichtsterkte (cd).
Voorvoegsels vermenigvuldigen met een macht van 10: M = 1 000 000, k = 1000, c = 0,01, m = 0,001, µ = 0,000 001.
Eenhedentrap: omlaag vermenigvuldigen, omhoog delen; per trede 10 (lengte, massa, liter), 100 (oppervlakte) of 1000 (volume). Tijd gaat met 60 en 24.
$A = l \cdot b$ en $V = l \cdot b \cdot h$ ; 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1 m³ = 1000 L.
Kies een instrument waarvan de kleinste stap past bij de meting; controleer het nulpunt; lees af op ooghoogte, bij water de onderkant van de meniscus.
Noteer een meting tot op de kleinste stap; geef een berekend resultaat met ongeveer evenveel cijfers als je metingen, en rond pas op het einde af.

Begrippen

Wat je nu kent

grootheid: Een eigenschap die je kan meten, zoals lengte, massa, tijd of temperatuur; ze heeft een symbool, bv. $l$ voor lengte.
eenheid: De afgesproken maat waarmee je een grootheid vergelijkt, zoals de meter of de seconde.
meetresultaat: Een getal met een eenheid, bv. $l = 1, 20 m$ : 1,20 keer de eenheid meter.
SI: Het Internationale Stelsel van Eenheden, met zeven basisgrootheden en hun basiseenheden (meter, kilogram, seconde, ampère, kelvin, mol, candela).
voorvoegsel: Een woordje voor een eenheid dat ze met een macht van tien vermenigvuldigt, zoals kilo (× 1000) of milli (× 0,001).
eenhedentrap: Een schema om eenheden om te zetten: per trede omlaag vermenigvuldig je, per trede omhoog deel je (lengte: 10, oppervlakte: 100, volume: 1000).
oppervlakte: Hoe groot een vlak is; eenheid m² (en cm², mm² ...). Voor een rechthoek: lengte × breedte.
volume: Hoeveel ruimte iets inneemt; eenheid m³ (en dm³, cm³, L, mL). Voor een balk: lengte × breedte × hoogte.
liter: Een eenheid van volume: 1 L = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³.
nonius: Een hulpschaal op de schuif van een schuifmaat waarmee je tienden (of twintigsten) van een millimeter afleest.
meniscus: Het gebogen oppervlak van een vloeistof in een smalle buis; bij water lees je de onderkant af.
parallax: Een afleesfout doordat je schuin op een schaal kijkt; je voorkomt ze door loodrecht en op ooghoogte te kijken.
nauwkeurigheid van een instrument: Hoe fijn je met een instrument kan meten: de kleinste stap die je betrouwbaar kan aflezen.
afronden: Een getal inkorten tot een zinvol aantal cijfers: is het eerste weggelaten cijfer 5 of meer, dan rond je naar boven af.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen