FFundamental · deel F3 · Krachten, beweging en constructies

Handboek · hoofdstuk 13Constructies: sterk en stabiel

Waarom een brug uit driehoeken bestaat, een balk een I-vorm heeft, en een kast omvalt als je de bovenste lade vult

Een constructie moet twee dingen: sterk zijn (niet breken en niet te ver vervormen) en stabiel zijn (niet omvallen). In dit hoofdstuk leer je hoe een onderdeel belast kan worden: op trek, druk, buiging, afschuiving of torsie. Je ontdekt waarom de driehoek de basis is van bruggen, torens en fietskaders, en waarom de vorm van een profiel vaak meer telt dan het materiaal. Daarna zoek je het zwaartepunt en bepaal je wanneer iets kantelt. Je test een brug tot ze bezwijkt, en je maakt het frame van de meetkas stevig zonder het veel zwaarder te maken.

6× uitleg3× uitgewerkt voorbeeld3× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel14 opdrachten in het werkboek± 7 lestijden

KKrachten, beweging en constructies DOntwerpen en maken

Driehoek na driehoek: een vakwerkbrug draagt een trein met verrassend weinig staal.

Na dit hoofdstuk

Je kan trek, druk, buiging, afschuiving en torsie herkennen en met een voorbeeld uitleggen.
Je kan uitleggen dat een balk die doorbuigt aan de ene kant op druk en aan de andere kant op trek belast wordt.
Je kan uitleggen waarom een driehoek uit staven stijf is en een vierkant niet, en een vorm stijf maken met diagonalen.
Je kan in een eenvoudig vakwerk trekstaven en drukstaven aanwijzen.
Je kan profielen (I, U, L, T, koker, buis) herkennen en uitleggen waarom vorm meer telt dan materiaal.
Je kan met het stijfheidsgetal b · h³ vergelijken hoe stijf een plank of een koker is.
Je kan het zwaartepunt van een vlakke figuur bepalen en uitleggen wanneer een voorwerp kantelt.
Je kan een constructie eerlijk testen tot ze bezwijkt en het resultaat vergelijken met haar eigen massa.
Je kan het kasframe van de meetkas verstevigen met diagonalen en hoekplaatjes, en de extra massa berekenen.

Verhaal · 13.1

De brug die knikte

1/16

Aan het begin van de twintigste eeuw wilde Canada bij de stad Quebec een spoorbrug over de Sint-Laurensrivier bouwen: de langste brug van haar soort ter wereld. Om kosten te sparen werd de middelste overspanning tijdens het ontwerp verlengd tot ongeveer 550 meter. Dat maakte de brug zwaarder, en de staven onderaan, die het meeste gewicht op druk moesten dragen, kregen enorme krachten te verwerken.

In de zomer van 1907 zagen ingenieurs op de werf dat enkele van die drukstaven een beetje krom stonden. Ze meldden het, er werd overlegd, maar het werk ging door. Op 29 augustus 1907, aan het eind van een werkdag, knikte een drukstaaf. In enkele seconden stortte de half gebouwde brug in de rivier. Van de 86 arbeiders op de brug kwamen er 75 om het leven.

De brug werd opnieuw ontworpen, veel steviger, en in 1917 afgewerkt, na nog een ongeval in 1916 waarbij de middenoverspanning bij het ophijsen in de rivier viel. Ze staat er nog altijd. Het onderzoek naar de ramp veranderde de manier waarop ingenieurs rekenen, controleren en waarschuwingen ernstig nemen.

Waarom dit verhaal ertoe doet

Een staaf die op trek belast wordt, kan je dun maken: een kabel volstaat. Een staaf die op druk belast wordt, gedraagt zich anders: als ze te slank is, buigt ze plots opzij en bezwijkt ze, lang voor het materiaal zelf kapotgaat. Dat heet knik. Wie een constructie ontwerpt, moet dus weten welke onderdelen op trek en welke op druk werken. Dat leer je in dit hoofdstuk.

Reconstructie: het wrak van de Quebecbrug na het instorten in 1907.

Uitleg · 13.2

Vijf manieren om te belasten

2/16

Elke kracht op een onderdeel is een belasting. Hoe het onderdeel reageert, hangt af van hoe de krachten erop werken. Er zijn vijf basisvormen:

belasting	wat gebeurt er?	voorbeelden	zwakke plek
trek	het onderdeel wordt uitgerekt	touw van een schommel, kabel van een hangbrug, spaken van een fietswiel	scheuren, doorbreken
druk	het onderdeel wordt samengedrukt	pilaar, tafelpoot, muur, zijkant van een blikje	verpletteren; lange dunne staven knikken opzij
buiging	het onderdeel buigt door: boven druk, onder trek	plank met boeken, balk van een brug, duikplank	te ver doorbuigen, breken aan de trekkant
afschuiving	twee delen schuiven langs elkaar	bout tussen twee platen, nagel, papier tussen de messen van een schaar	afknippen langs een vlak
torsie	het onderdeel wordt verdraaid	as van een motor, schroevendraaier, handdoek uitwringen	scheuren in een spiraal, afbreken

Veel onderdelen krijgen meerdere belastingen tegelijk. Een fietstrapper wordt gebogen én verdraaid, een tafelpoot gedrukt én, als je tegen de tafel duwt, gebogen. Welk materiaal je kiest, hangt af van de belasting: beton is sterk op druk maar zwak op trek, staal is sterk op allebei, een touw kan alleen trek opnemen (hoofdstuk 10).

Knik: gevaar bij druk

Druk op een rauwe spaghetti van boven: ze buigt opzij en breekt, lang voor ze zou verpletteren. Hoe langer en dunner een drukstaaf, hoe sneller ze knikt. Een even lange spaghetti kan wel een flinke trekkracht verdragen. Daarom zijn drukstaven in een brug dikker dan trekstaven, en kan een schoor die op druk werkt, niet zomaar door een kabel vervangen worden.

De rode pijlen tonen de krachten; de stippellijnen bij trek en druk tonen de vorm zonder belasting.

Proef · 13.3

Buigen is trekken en drukken tegelijk

3/16

Onderzoeksvraag

Wat gebeurt er binnen in een balk die doorbuigt?

Materiaal

een lange spons of een blok schuimrubber (± 30 cm)
een stift
twee boeken als steunen

Boven komen de streepjes dichter bij elkaar, onder gaan ze uit elkaar. De middenlijn verandert niet van lengte.

Werkwijze

1Teken met de stift verticale streepjes op de zijkant van de spons, om de 2 cm, en een horizontale lijn in het midden van de dikte.
2Leg de spons met haar uiteinden op de twee boeken.
3Druk met je hand in het midden naar beneden en kijk naar de streepjes.
4Meet (of schat) de afstand tussen twee streepjes aan de bovenkant, in het midden en aan de onderkant.

Waarneming

Aan de bovenkant komen de streepjes dichter bij elkaar, aan de onderkant gaan ze verder uit elkaar. Op de middenlijn blijft de afstand gelijk. De streepjes blijven recht, maar ze wijzen allemaal schuin naar een punt boven de spons.

Verklaring

Een balk die doorbuigt, wordt aan de bovenkant samengedrukt (druk) en aan de onderkant uitgerekt (trek). In het midden ligt een laag die niet langer en niet korter wordt. Hoe verder van die middenlaag, hoe groter de druk of de trek. Dat verklaart twee dingen uit dit hoofdstuk: waarom beton onderaan wapening nodig heeft (hoofdstuk 10) en waarom een I-profiel zijn materiaal bovenaan en onderaan heeft, waar het het meeste werk doet.

Uitleg · 13.4

De driehoek: de stijfste vorm

4/16

Maak een vierkant uit vier stroken karton met splitpennen in de hoeken, en duw tegen een hoek: het vierkant zakt scheef tot een ruit. De staven zelf blijven even lang, alleen de hoeken veranderen. Doe hetzelfde met een driehoek: die kan niet vervormen zonder dat een staaf langer of korter wordt. Bij drie gegeven lengtes hoort maar één driehoek.

Wil je een vierkant stijf maken, dan heb je twee mogelijkheden:

een diagonaal (een schoor): het vierkant wordt twee driehoeken;
stijve hoeken: de staven zo vastmaken dat de hoek niet kan veranderen, met een hoekplaatje of een lasnaad. Dat werkt, maar de hoeken moeten dan grote krachten opvangen.

Driehoeken zie je overal waar iets licht en stijf moet zijn: in dakspanten, in hoogspanningsmasten, in de arm van een kraan en in het kader van een fiets, dat uit twee driehoeken bestaat.

Probeer het met je handen

Neem een rechthoekig boekenrek zonder achterwand: het wiebelt opzij. Schroef er een dunne achterwand tegen, of een schuin latje, en het staat stijf. Een dunne plaat werkt hier als een hele reeks diagonalen tegelijk.

Dezelfde duw: het vierkant zakt scheef (stippellijn), de driehoek en het vierkant met een diagonaal niet.

Uitleg · 13.5

Vakwerken: bruggen en torens uit driehoeken

5/16

Een vakwerk is een constructie uit rechte staven die in knooppunten met elkaar verbonden zijn, zodat ze driehoeken vormen. Grijpen de lasten aan in de knooppunten, dan wordt elke staaf alleen op trek of op druk belast, niet op buiging. Dat is precies waar een staaf het sterkst is. Daarom is een vakwerk licht en toch stijf.

Hoe weet je of een staaf op trek of op druk werkt? Een handige denktruc: stel je voor dat je de staaf wegneemt. Zouden de twee knooppunten dan uit elkaar gaan, dan hield de staaf ze bij elkaar: trek. Zouden ze naar elkaar toe vallen, dan hield de staaf ze uit elkaar: druk. Bij een brug die in het midden belast wordt, is de onderrand daardoor op trek belast en de bovenrand op druk, zoals bij de spons.

Vakwerken zie je in spoorbruggen, dakspanten, hoogspanningsmasten, torenkranen en de Eiffeltoren. Die toren van 1889 heeft een metalen skelet van ongeveer 7300 ton. Dat lijkt veel, maar in opdracht 13.10 reken je uit hoe dun een plaat zou zijn als je al dat ijzer over de grondvlakte van de toren zou uitgieten.

Rekenen aan vakwerken

Hoe groot de kracht in elke staaf is, bereken je in Expert (hoofdstuk E13) met de knooppuntenmethode: in elk knooppunt moeten de krachten elkaar opheffen. De kleuren in de figuur van het volgende blad komen uit zo'n berekening.

Binnen in een poot van de Eiffeltoren: overal driehoeken, overal lucht.

Ontleed · 13.6

Een vakwerkbrug

6/16

Een eenvoudige vakwerkbrug met vier vakken, belast met een gewicht in het midden. De kleuren tonen welke staven op druk (blauw) en welke op trek (rood) werken.

Warren-vakwerk: de diagonalen vormen een reeks W's. Onderrand trek, bovenrand druk, diagonalen om beurten.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Bovenrand
Op druk, zoals de bovenkant van de spons. In het midden het zwaarst belast. Drukstaven moeten stevig genoeg zijn om niet te knikken.
2
Onderrand
Op trek. Hier kan een slankere staaf of zelfs een kabel volstaan.
3
Diagonaal op druk
De diagonaal bij de oplegging duwt het gewicht naar beneden, naar de steun.
4
Diagonaal op trek
De volgende diagonaal wordt uitgerekt. Denktruc: haal hem weg, en de knooppunten zouden uit elkaar gaan.
5
Knooppunt
Hier komen de staven samen, vastgezet met bouten, klinknagels of een las, vaak via een knoopplaat.
6
Vaste oplegging
Een scharnier op de pijler: de brug kan hier draaien maar niet verschuiven.
7
Rol-oplegging
Aan de andere kant kan de brug schuiven. Staal zet uit als het warm wordt (hoofdstuk 6): zonder rol zou de brug zichzelf klemmen.
8
Last
Het gewicht van een trein of een vrachtwagen, via het wegdek naar de knooppunten van de onderrand.

Uitleg · 13.7

Profielen: vorm telt meer dan materiaal

7/16

Leg een lat plat over twee boeken en druk erop: ze buigt ver door. Zet dezelfde lat op haar kant: ze is veel stijver. Het materiaal en de massa zijn dezelfde, alleen de vorm van de doorsnede is anders. Bij buiging telt vooral hoe ver het materiaal van de middenlaag af ligt: daar werken de grootste trek en druk (de spons).

Voor een rechthoekige doorsnede met breedte $b$ en hoogte $h$ (in de richting van de belasting) groeit de stijfheid met $b \cdot h^{3}$ . De hoogte telt tot de derde macht mee: twee keer zo hoog is acht keer zo stijf. We noemen $b \cdot h^{3}$ hier het stijfheidsgetal. Het is handig om vormen van hetzelfde materiaal te vergelijken. (Voor een koker trek je het stijfheidsgetal van het gat af.)

rechthoekige doorsnede, belasting in de richting van h

stijfheidsgetal = b \cdot h^{3}

Hoe groter, hoe stijver bij buiging (voor hetzelfde materiaal). In Expert (hoofdstuk E12) wordt dit het traagheidsmoment van de doorsnede,

b h^{3} /12

Daarom hebben balken en liggers speciale profielen: vormen die het materiaal ver van de middenlaag leggen.

Het I-profiel heeft brede flenzen boven en onder (waar trek en druk het grootst zijn) en een dun lijf ertussen. Ideaal voor een balk die in één richting belast wordt.
Een koker of buis is in alle richtingen stijf en ook sterk tegen torsie. Daarom is een fietskader van buizen, en het kasframe van kokers.
U-, L- en T-profielen zijn makkelijk aan elkaar te zetten en worden veel gebruikt voor kaders, randen en hoeken.

Sterker materiaal is altijd beter

Een massieve staaf aluminium is minder stijf dan een aluminium koker met dezelfde massa. En een blad papier dat je in een harmonica plooit, draagt honderd keer meer dan een plat blad. Vaak win je meer met een slimme vorm dan met een duurder materiaal.

Doorsneden: het blauwe materiaal ligt zo ver mogelijk van het midden.

Op zijn kant is dezelfde plank 25 keer zo stijf: 2000 tegenover 80.

Uitgewerkt voorbeeld · 13.8

Hoeveel stijver is een koker?

8/16

(a) Een plank van 10 cm breed en 2 cm dik ligt eerst plat en dan op haar kant. Hoeveel keer stijver is ze op haar kant? (b) Het frame van de meetkas is gemaakt van een aluminium koker van 20 × 20 × 1,5 mm (doorsnede 1,11 cm², hoofdstuk 10). Vergelijk met een massieve vierkante staaf met dezelfde doorsnede, dus dezelfde massa per meter.

Gegeven

plank: b = 10 cm, h = 2 cm
koker: buitenkant 2,0 × 2,0 cm, gat 1,7 × 1,7 cm, doorsnede 1,11 cm²

Gevraagd

verhouding van de stijfheidsgetallen

Oplossing

1
(a) Plat: $b \cdot h^{3} = 10 \times 2^{3} = 80$ . Op haar kant ( $b = 2$ , $h = 10$ ): $2 \times 1 0^{3} = 2000$ . $2000/80 = 25$ .
2
(b) Koker: buitenkant min het gat: $2, 0 \times 2, 0^{3} - 1, 7 \times 1, 7^{3} = 16, 0 - 8, 35 = 7, 65$ .
3
Massieve staaf met 1,11 cm² doorsnede: zijde $1, 11 = 1, 054 cm$ , dus $1, 054 \times 1, 05 4^{3} = 1, 23$ .
4
Verhouding: $7, 65/1, 23 \approx 6, 2$ .

Antwoord

(a) 25 keer zo stijf op haar kant. (b) De koker is ongeveer 6 keer zo stijf als een massieve staaf van dezelfde massa.

Klopt dit? Het getal bij (a) hangt niet af van het materiaal: voor grenen en voor staal is de plank op haar kant 25 keer zo stijf. Welk materiaal stijver is (staal of aluminium), telt daar nog bovenop (hoofdstuk 10). Ook het tafelblad van 18 mm uit hoofdstuk 11 volgt deze regel: een blad van 22 mm is

(22/18)^{3} \approx 1, 8

keer zo stijf.

Uitleg · 13.9

Het zwaartepunt

9/16

De zwaartekracht trekt aan elk stukje van een voorwerp. Voor het geheel mag je doen alsof ze in één punt aangrijpt: het zwaartepunt $Z$ . Ondersteun je een voorwerp recht onder zijn zwaartepunt, dan blijft het in evenwicht: zo balanceer je een liniaal op je vinger.

Bij een symmetrisch voorwerp uit één materiaal ligt $Z$ in het midden: een bal, een baksteen, een liniaal.
Is een kant zwaarder, dan schuift $Z$ die kant op: een hamer heeft zijn zwaartepunt dicht bij de kop.
$Z$ kan buiten het voorwerp liggen: in het gat van een ring, naast het hout van een boemerang.

Een hangend voorwerp draait altijd tot zijn zwaartepunt recht onder het ophangpunt hangt. Dat gebruik je om $Z$ van een vlakke figuur te vinden (de proef op het volgende blad).

Rekenen met het zwaartepunt

Het zwaartepunt van een samengestelde vorm (een L, of de hele meetkas met water, grond en frame) kan je ook berekenen uit de massa's en hun plaats. Dat leer je in hoofdstuk I10. Hier zoek je het met een proef.

Bij de L-vorm snijden twee loodlijnen elkaar in Z. Bij de ring en de boemerang ligt Z in de lucht.

Proef · 13.10

Het zwaartepunt van een vlakke figuur vinden

10/16

Onderzoeksvraag

Waar ligt het zwaartepunt van een grillig stuk karton?

Materiaal

een stuk karton in een vrije vorm (bv. een L, een landkaart van België)
een punaise of spijker in een kurk of een statief
een touwtje met een gewichtje (schietlood)
potlood en lat

VeiligheidLet op met de punaise; prik niet naar je hand toe.

Twee loodlijnen, één snijpunt: het zwaartepunt.

Werkwijze

1Prik drie gaatjes dicht bij de rand van het karton, ver uit elkaar.
2Hang het karton aan het eerste gaatje op de punaise, zodat het vrij kan draaien. Hang het schietlood aan dezelfde punaise.
3Wacht tot alles stilhangt en trek een lijn langs het touwtje.
4Herhaal met het tweede en het derde gaatje.
5Controle: leg het karton met het snijpunt op de punt van een potlood. Blijft het in evenwicht?

Waarneming

De drie lijnen snijden elkaar (bijna) in één punt. Op dat punt balanceert het karton op de punt van een potlood. Bij een L-vorm ligt het punt soms net naast het karton, in de binnenhoek.

Verklaring

Een hangend voorwerp komt tot rust met zijn zwaartepunt recht onder het ophangpunt: dan kan de zwaartekracht het niet meer doen draaien. Het zwaartepunt ligt dus altijd op de loodlijn door het ophangpunt. Twee lijnen volstaan om het te vinden; de derde is een controle. Dat de lijnen niet precies in één punt samenkomen, komt door de dikte van het touwtje en het tekenen.

Uitleg · 13.11

Steunvlak en stabiliteit: wanneer kantelt iets?

11/16

Een voorwerp op de grond steunt op een steunvlak: het vlak binnen zijn buitenste steunpunten. Bij een stoel is dat de rechthoek tussen de vier poten, bij jou het vlak rond je twee voeten.

De regel is eenvoudig: trek een verticale lijn (een loodlijn) door het zwaartepunt.

Valt ze binnen het steunvlak, dan blijft het voorwerp staan. Kantel je het een beetje, dan valt het terug.
Valt ze precies op de kantelrand, dan staat het op een wankel evenwicht.
Valt ze buiten het steunvlak, dan valt het om.

Hoe ver je iets kan kantelen voor het omvalt, hangt af van de hoogte van het zwaartepunt en van de breedte van het steunvlak. Een laag zwaartepunt en een breed steunvlak geven een grote kantelhoek: het voorwerp is stabiel.

meer stabiel als	voorbeeld
het zwaartepunt lager ligt	zware spullen onderaan in een kast; een raceauto ligt laag
het steunvlak groter is	wijd staande voeten; de uitschuifbare steunpoten van een kraanwagen
het voorwerp zwaarder is (bij een duw of wind van opzij)	het tegengewicht van een torenkraan; zandzakken op een tentvoet
het vastzit aan de grond	verankeren met pinnen of bouten

Kasten en rekken

Vul een kast of rek altijd van onder naar boven, en trek niet alle bovenste laden tegelijk open: dan schuift het zwaartepunt naar voren en naar boven, en kan de kast op je vallen. Hoge kasten schroef je vast aan de muur.

Links en in het midden valt de loodlijn door Z binnen het steunvlak: de doos blijft staan of valt terug. Rechts valt ze voorbij de kantelrand: de doos valt om.

Uitgewerkt voorbeeld · 13.12

Habitat: kantelt de meetkas?

12/16

De meetkas is 0,60 m diep en 0,80 m hoog. Met water en natte potgrond heeft ze een massa van ongeveer 87 kg en ligt haar zwaartepunt 0,28 m boven de grond (berekend met de massa's uit hoofdstukken 7 en 10; in hoofdstuk I10 leer je hoe). Een lege kas (zonder water, grond en planten) heeft maar 19 kg, met het zwaartepunt op 0,36 m. (a) Over welke hoek kan je de volle kas opzij kantelen voor ze omvalt? (b) En de lege? (c) Welke kas waait het makkelijkst om, en waarom?

Hoe hoger Z, hoe steiler de lijn naar de kantelrand en hoe kleiner de kantelhoek.

Gegeven

diepte (steunvlak opzij): 0,60 m; zwaartepunt in het midden
vol: 87 kg, Z op 0,28 m
leeg: 19 kg, Z op 0,36 m

Gevraagd

kantelhoek vol en leeg
welke kas het makkelijkst omwaait

Oplossing

1
Teken de kas in zijaanzicht op schaal, bijvoorbeeld 1:10: een rechthoek van 6,0 cm breed en 8,0 cm hoog. Zet het zwaartepunt in het midden van de breedte, op 2,8 cm hoogte.
2
De kas valt om zodra het zwaartepunt recht boven de kantelrand komt. Trek een lijn van de kantelrand (rechtsonder) naar Z. De hoek tussen die lijn en de verticaal door de kantelrand is de kantelhoek. Meet hem met je geodriehoek: ongeveer 47°.
3
Voor de lege kas ligt Z op 3,6 cm in je tekening: de lijn staat steiler, de hoek is ongeveer 40°.
4
De lege kas heeft niet alleen een kleinere kantelhoek, ze is ook vier à vijf keer lichter. Een windstoot die tegen de grote zijwand duwt, moet de hele kas rond de kantelrand doen draaien. Bij een lichte kas is daarvoor veel minder kracht nodig.

Antwoord

(a) Ongeveer 47°. (b) Ongeveer 40°. (c) De lege kas: hoger zwaartepunt én veel lichter. Een lege kas buiten zet je daarom vast.

Klopt dit? Wie de goniometrie van hoofdstuk I6 kent, kan de hoek ook uitrekenen:

tan α = 0, 30/0, 28

, dus

α \approx 4 7^{\circ}

. Hoeveel windkracht nodig is om de kas om te duwen, bereken je in hoofdstuk I10. Tot dan: zet de kas vast met pinnen of houd het reservoir gevuld, want het water ligt laag en maakt de kas zwaar.

Proef · 13.13

Een papieren brug testen tot ze bezwijkt

13/16

Onderzoeksvraag

Hoeveel kan één blad papier dragen als brug, en hoe hangt dat af van de vorm?

Materiaal

A4-bladen van 80 g/m² (elk ± 5 g)
twee even hoge stapels boeken, 20 cm uit elkaar
plastic bekertje (± 8 g), droog zand, lepel
keukenweegschaal
plakband (alleen om de vorm vast te houden)

Links de opstelling, rechts de vier vormen in doorsnede.

Werkwijze

1Leg een blad plat over de opening. Zet het bekertje in het midden en giet er met een lepel zand in, tot de brug bezwijkt: ze plooit, zakt in of het bekertje valt.
2Weeg het bekertje met het zand: dat is de massa bij bezwijken.
3Herhaal met nieuwe bladen in een andere vorm: randen van 2 cm omgeplooid (U-profiel), twee opgerolde kokers naast elkaar, en een harmonica met plooien van 1 cm.
4Test elke vorm drie keer en neem het gemiddelde. De overspanning, het papier en de plaats van het bekertje blijven telkens gelijk.

Waarneming

vorm	massa bij bezwijken (g)	hoe bezweek ze?	draagt × eigen massa
plat blad	0	zakt al door onder het lege bekertje	–
U-profiel (randen 2 cm)	± 90	de randen plooien opzij	± 18
twee kokers	± 350	de kokers deuken in onder het bekertje	± 70
harmonica (plooien 1 cm)	± 600	de plooien duwen plat	± 120

Voorbeeld van waarnemingen. Jouw getallen hangen af van het papier, van hoe netjes je plooit en van hoe voorzichtig je het zand toevoegt; de volgorde komt bijna altijd terug.

Verklaring

Hetzelfde blad, dezelfde massa, maar een verschil van niets tot meer dan een halve kilogram. Plat ligt al het papier in de middenlaag: het stijfheidsgetal is bijna nul. Plooien en rollen leggen papier ver van het midden, zoals een I-profiel of een koker. De harmonica werkt bovendien als een rij kleine balkjes op hun kant.

Een constructie testen tot ze bezwijkt is geen vernieling om de vernieling: zo leer je waar de zwakke plek zit, en hoeveel reserve een ontwerp heeft. Ingenieurs vergelijken ontwerpen met de verhouding tussen wat ze dragen en wat ze zelf wegen. En ze bouwen nooit zo dat de verwachte last net onder de breuklast ligt: ze nemen een veiligheidsfactor, bijvoorbeeld 2 of 3 (opdracht 13.13).

Uitgewerkt voorbeeld · 13.14

Habitat: een stevig en licht kasframe

14/16

Het frame van de meetkas (hoofdstuk 10) bestaat uit de twaalf ribben van een doos van 1,20 × 0,60 × 0,80 m, in aluminium koker van 20 × 20 × 1,5 mm (0,30 kg/m): 10,4 m of 3,1 kg. Duwt de wind tegen de zijkant, dan kunnen de rechthoekige vlakken scheef zakken, net als het vierkant uit staven. Waar zet je diagonalen, en hoeveel zwaarder wordt het frame? Vergelijk drie oplossingen: diagonalen in koker, gekruiste stroken aluminium van 20 × 2 mm (0,108 kg/m) en gekruiste roestvast stalen kabels van 2 mm (0,025 kg/m) met kleine spanners.

Het kasframe met diagonalen (rood) in de dichte vlakken en hoekplaatjes (paars) aan de open voorkant.

Gegeven

kas 1,20 × 0,60 × 0,80 m; koker 0,30 kg/m; strook 0,108 kg/m; kabel 0,025 kg/m
de voorkant moet open kunnen (planten verzorgen), het dak heeft een dakraam

Gevraagd

waar de diagonalen komen
extra massa van de drie oplossingen

Oplossing

1
Waar? In elk vlak dat dicht mag blijven: de achterwand, de twee zijwanden en de bodem. De voorkant moet open kunnen en het dak heeft een dakraam: daar gebruik je stijve hoeken met hoekplaatjes (zie het blad over de driehoek), en de geschroefde kanaalplaten helpen ook een beetje mee.
2
Lengtes (de diagonaal van elke rechthoek, met de stelling van Pythagoras of opgemeten op een tekening op schaal): achterwand $1, 20 \times 0, 80$ : 1,44 m; zijwanden $0, 60 \times 0, 80$ : 2 × 1,00 m; bodem $1, 20 \times 0, 60$ : 1,34 m. Samen $1, 44 + 2, 00 + 1, 34 = 4, 78 m$ .
3
Koker: één diagonaal per vlak volstaat, want een koker kan zowel trek als druk opnemen: $4, 78 \times 0, 30 = 1, 4 kg$ extra.
4
Strook of kabel: een dunne strook of een kabel knikt of hangt slap als ze op druk belast wordt. Ze kan alleen trek opnemen. Daarom zet je ze gekruist (een X): welke kant de wind ook duwt, één van de twee staat op trek. Dus dubbele lengte: strook $2 \times 4, 78 \times 0, 108 = 1, 0 kg$ ; kabel $2 \times 4, 78 \times 0, 025 = 0, 24 kg$ plus de spanners.

Antwoord

Diagonalen in achterwand, zijwanden en bodem; hoekplaatjes aan de voorkant en het dak. Extra massa: koker 1,4 kg (frame 4,5 kg), gekruiste stroken 1,0 kg (4,1 kg), gekruiste kabels ongeveer 0,3 kg (± 3,4 kg). De kabels zijn het lichtst, maar moeten gespannen blijven.

Klopt dit? Kijk wat de keuze nog meer bepaalt: kabels en stroken laten meer licht door dan een koker en zijn goedkoop, maar kabels rekken na en moeten opnieuw gespannen worden. In opdracht 13.11 maak je je eigen keuze en bewaar je ze in je portfolio. En let op: roestvast staal en aluminium raken elkaar niet rechtstreeks (hoofdstuk 10): gebruik een kunststof ringetje.

Naslag · 13.15

Overzicht: constructies

15/16

Belastingen, vormen en stabiliteit op één blad.

vergelijken van rechthoekige doorsneden (zelfde materiaal)

stijfheidsgetal = b \cdot h^{3}

symbool	betekenis	eenheid
$b$	breedte van de doorsnede	cm
$h$	hoogte, in de richting van de belasting	cm

belasting	wat gebeurt er?	voorbeelden	zwakke plek
trek	het onderdeel wordt uitgerekt	touw van een schommel, kabel van een hangbrug, spaken van een fietswiel	scheuren, doorbreken
druk	het onderdeel wordt samengedrukt	pilaar, tafelpoot, muur, zijkant van een blikje	verpletteren; lange dunne staven knikken opzij
buiging	het onderdeel buigt door: boven druk, onder trek	plank met boeken, balk van een brug, duikplank	te ver doorbuigen, breken aan de trekkant
afschuiving	twee delen schuiven langs elkaar	bout tussen twee platen, nagel, papier tussen de messen van een schaar	afknippen langs een vlak
torsie	het onderdeel wordt verdraaid	as van een motor, schroevendraaier, handdoek uitwringen	scheuren in een spiraal, afbreken

vorm	stijf?	hoe maak je het stijf?
driehoek uit staven	ja	–
vierkant of rechthoek uit staven	nee, zakt scheef	diagonaal (schoor), stijve hoeken of een plaat
vakwerk	ja, als het uit driehoeken bestaat	lasten in de knooppunten: staven op trek of druk
dunne strook of kabel als diagonaal	alleen op trek	gekruist plaatsen (X)

meer stabiel als	voorbeeld
het zwaartepunt lager ligt	zware spullen onderaan in een kast; een raceauto ligt laag
het steunvlak groter is	wijd staande voeten; de uitschuifbare steunpoten van een kraanwagen
het voorwerp zwaarder is (bij een duw of wind van opzij)	het tegengewicht van een torenkraan; zandzakken op een tentvoet
het vastzit aan de grond	verankeren met pinnen of bouten

zwaartepunt vinden
symmetrisch en uit één materiaal: in het midden
vlakke figuur: twee keer ophangen, loodlijnen trekken, snijpunt
balanceren: het punt waar het voorwerp op één steunpunt in evenwicht blijft

De zes profielen.

Het geheel · 13.16

Waar constructies naartoe leiden

16/16

Constructies brengen de leerlijnen krachten en ontwerpen en maken samen: wat je hier kwalitatief leert (trek of druk, driehoek of vierkant, hoog of laag zwaartepunt), wordt in Intermediate en Expert kwantitatief. Dan bereken je de krachten in de steunen van een balk, het zwaartepunt van een samengestelde vorm, de spanning in een staaf en de kracht in elke staaf van een vakwerk.

F6 Het deeltjesmodel

Uitzetten bij warmte: waarom een brug een rol-oplegging heeft.

F10 Materialen en hun eigenschappen

Sterk op trek of op druk; stijfheid; gewapend beton; het materiaal van het kasframe.

F11 Krachten

Krachten tekenen, zwaartekracht, doorbuiging die evenredig is met de last.

F12 Hefbomen en mechanismen

Kantelen is draaien rond de kantelrand, zoals een hefboom rond zijn draaipunt.

F30 De ontwerpcyclus

Ontwerpen, testen tot het bezwijkt, verbeteren: iteratie.

F31 Technisch tekenen

Een frame tekenen in aanzichten en op schaal.

F33 Integratieproject: de meetkas

Het frame, de tafel en het dakraam komen samen in het integratieproject.

I6 Goniometrie en vectoren

De kantelhoek en de krachten in een schuine staaf uitrekenen.

I10 Moment en evenwicht

Steunpuntsreacties, zwaartepunt berekenen en kantelveiligheid in getallen.

E12 Sterkteleer

Spanning, rek, traagheidsmoment van een doorsnede en knik (Euler).

E13 Vakwerken en constructieanalyse

De kracht in elke staaf van een vakwerk berekenen met de knooppuntenmethode.

HabitatHet kasframe krijgt diagonalen in de achterwand, de zijwanden en de bodem, en hoekplaatjes aan de open voorkant en aan het dak. Met gekruiste kabels weegt het frame ongeveer 3,4 kg, met kokers 4,5 kg. De volle kas kan ongeveer 47° kantelen voor ze omvalt; een lege kas is lichter en valt sneller om, dus zet je ze vast. Opdracht 13.11 is je ontwerpkeuze voor het portfolio.

Samenvatting

In het kort

Onderdelen worden belast op trek, druk, buiging, afschuiving of torsie, vaak op meerdere tegelijk.
Een balk die doorbuigt, wordt aan de ene kant samengedrukt en aan de andere kant uitgerekt; de middenlaag verandert niet van lengte.
Lange, dunne drukstaven knikken; trekstaven mogen dun zijn. Een kabel kan alleen trek opnemen.
Een driehoek uit staven is stijf, een vierkant niet. Met een diagonaal of stijve hoeken maak je een rechthoek stijf.
Een vakwerk bestaat uit driehoeken; als de lasten in de knooppunten aangrijpen, werken de staven op trek of druk.
Vorm telt meer dan materiaal: de stijfheid groeit met $b \cdot h^{3}$ . Profielen zoals I, koker en buis leggen het materiaal ver van het midden.
Het zwaartepunt is het punt waarin je de zwaartekracht kan denken. Een vlakke figuur hang je twee keer op en je trekt loodlijnen.
Een voorwerp blijft staan zolang de loodlijn door zijn zwaartepunt binnen het steunvlak valt. Laag zwaartepunt en breed steunvlak: stabiel.
Testen tot iets bezwijkt toont de zwakke plek; ontwerpers houden een veiligheidsfactor aan.

Begrippen

Wat je nu kent

trek: Belasting die een onderdeel uitrekt, zoals bij een touw of een kabel.
druk: Belasting die een onderdeel samendrukt, zoals bij een pilaar of een tafelpoot.
buiging: Belasting waarbij een onderdeel doorbuigt: de ene kant wordt samengedrukt, de andere uitgerekt.
afschuiving: Belasting waarbij twee delen langs elkaar willen schuiven, zoals een bout tussen twee platen.
torsie: Belasting waarbij een onderdeel verdraaid wordt, zoals een as of een schroevendraaier.
knik: Een lange, dunne staaf die op druk belast wordt, buigt plots opzij en bezwijkt.
vakwerk: Constructie uit staven die in knooppunten verbonden zijn en driehoeken vormen; de staven krijgen vooral trek of druk.
profiel: De vorm van de doorsnede van een balk of staaf, zoals een I, U, L, koker of buis.
zwaartepunt: Het punt waarin je je de zwaartekracht op een voorwerp kan denken; het kan ook buiten het voorwerp liggen.
steunvlak: Het vlak binnen de buitenste steunpunten van een voorwerp op de grond.
stabiel: Een voorwerp is stabiel zolang de verticale lijn door zijn zwaartepunt binnen het steunvlak valt.
bezwijken: Het moment waarop een constructie breekt, knikt of zo ver vervormt dat ze haar taak niet meer vervult.

Aan de slag in het werkboek14 opdrachten, van oefenen tot uitdagen