IIntermediate · deel I3 · Mechanica

Handboek · hoofdstuk 10Moment en evenwicht

Waarom een lange sleutel helpt, waar een balk op steunt, en wanneer iets omvalt

Een moer loskrijgen, een wip in evenwicht brengen, een vloerbalk die een vol reservoir draagt, een meetkas die de storm moet doorstaan: telkens gaat het niet alleen om hoe groot een kracht is, maar ook om waar ze aangrijpt. In hoofdstuk 8 was een voorwerp een punt. Nu kan het draaien. Het moment van een kracht zegt hoe sterk ze doet draaien. Met twee evenwichtsvoorwaarden bereken je de krachten op de steunpunten van een balk, met het zwaartepunt van samengestelde vormen vind je waar het gewicht aangrijpt, en met de kantelveiligheid beoordeel je of iets blijft staan.

8× uitleg7× uitgewerkt voorbeeld2× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code18 opdrachten in het werkboek± 10 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Een torenkraan is een reusachtige wip: het contragewicht houdt de last in evenwicht.

Na dit hoofdstuk

Je kan het moment van een kracht om een punt berekenen met $M = F \cdot d$ , met de loodrechte arm, ook bij een schuine kracht (arm of ontbinden).
Je kan de hefboomwet uitleggen als momentenevenwicht en uitbreiden naar meer dan twee krachten.
Je kan de twee evenwichtsvoorwaarden $\sum F = 0$ en $\sum M = 0$ opschrijven en uitleggen waarom je ze allebei nodig hebt (koppel).
Je kan een vrijlichaamsdiagram van een balk tekenen, steunpunten vervangen door reactiekrachten en die reactiekrachten berekenen.
Je kan een verdeelde belasting vervangen door haar resultante.
Je kan het zwaartepunt van een samengestelde vorm of een samengesteld voorwerp berekenen, ook met een gat, en het zwaartepunt experimenteel bepalen.
Je kan bepalen of een voorwerp kantelt, de kantelhoek berekenen en de kantelveiligheid van een ontwerp beoordelen.
Je kan de steunpuntsreacties van een balk met Python berekenen voor veel lastgevallen tegelijk.

Uitleg · 10.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/22

In F11 leerde je dat een kracht een voorwerp kan doen draaien, en dat een kracht een aangrijpingspunt heeft. In F12 vond je de hefboomwet, en in F13 zag je dat iets omvalt als zijn zwaartepunt niet meer boven het steunvlak ligt. In hoofdstuk 8 tekende je vrijlichaamsdiagrammen en stelde je de som van de krachten gelijk aan nul voor een voorwerp in rust.

begrip	formule of regel	waar
kracht als pijl: grootte, richting, aangrijpingspunt	$F$ in newton (N)	F11
hefboom, draaipunt, arm	hefboomwet $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$	F12
zwaartepunt, steunvlak, kantelen	staat zolang het zwaartepunt boven het steunvlak blijft	F13
krachten ontbinden	$F_{x} = F cos α$ , $F_{y} = F sin α$	hoofdstuk 6
evenwicht van krachten, vrijlichaamsdiagram	$\sum F_{x} = 0$ , $\sum F_{y} = 0$	hoofdstuk 8

Maar in hoofdstuk 8 tekende je alle krachten vanuit één punt: het voorwerp kon alleen schuiven, niet draaien. Een ladder, een balk of een kraan kan dat wel. Daarom telt nu ook waar een kracht aangrijpt. In dit hoofdstuk

reken je het moment van een kracht uit, ook als ze schuin staat;
leer je de twee evenwichtsvoorwaarden en pas je ze toe op een wip, een ladder en een balk;
bereken je de steunpuntsreacties van de vloerbalk onder het reservoir van Habitat;
zoek je het zwaartepunt van samengestelde vormen, met rekenwerk en met een schietlood;
beoordeel je of iets kantelt: een blok, een kast, de meetkas in de storm, een kraan.

Verhaal · 10.2

Een toren die al achthonderd jaar valt

2/22

In 1173 begonnen bouwers in Pisa aan een klokkentoren naast de kathedraal. Na drie verdiepingen, rond 1178, helde hij al over: de toren staat op een ondiepe fundering van zowat 3 m in zachte klei en zand. De bouw lag daarna bijna honderd jaar stil. Toen de bouwers verder gingen, maakten ze de hogere verdiepingen aan de lage kant iets hoger om de scheefstand te verbergen: de toren is daardoor licht gebogen, als een banaan. Pas in de veertiende eeuw was hij af: ongeveer 56 m hoog en naar schatting 14 500 ton zwaar.

In 1990 helde de toren 5,5° en werd hij voor bezoekers gesloten. Waarom viel hij niet gewoon om? Zolang de verticale lijn door het zwaartepunt binnen de voet valt, duwt het gewicht de toren terug (F13). De voet is 15,5 m breed, en de lijn door het zwaartepunt viel nog ruim binnen de rand. Het gevaar zat in de grond: hoe schever de toren, hoe harder hij op de zuidkant drukt; die zachte grond geeft mee, en de toren helt nog meer. Een kringloop die vanzelf versnelt.

De redding was een les in momenten. Eerst legden ingenieurs honderden ton lood op de noordkant, de hoge kant: een gewicht met een arm tot het midden van de toren levert een tegenmoment. Daarna haalden ze met schuine boringen voorzichtig grond weg onder de noordkant, in totaal zowat 70 ton, zodat die kant een beetje zakte. In 2001 ging de toren terug open. Hij helt nu ongeveer 4°, en de top staat zo'n 45 cm dichter bij het lood dan in 1990.

Wat je uit dit verhaal meeneemt

Of iets omvalt, hangt af van twee dingen: waar het zwaartepunt ligt ten opzichte van het steunvlak, en of de ondergrond de krachten kan dragen. Het eerste is dit hoofdstuk, het tweede komt terug in hoofdstuk 11 (druk op de grond).

De toren helt, maar de lijn door zijn zwaartepunt valt nog binnen zijn voet.

Uitleg · 10.3

Het moment van een kracht

3/22

Wie een moer probeert los te draaien, weet het uit ervaring: duw op het uiteinde van de sleutel, loodrecht, en het lukt het best. Hoe sterk een kracht een voorwerp rond een punt $O$ doet draaien, heet het moment van die kracht ten opzichte van $O$ :

moment van een kracht

M = F \cdot d

F

in N;

d

de arm: de loodrechte afstand van het draaipunt

O

tot de werklijn van de kracht (de lijn waarop de kracht ligt), in m.

M

in newtonmeter (N·m).

De figuur toont drie keer dezelfde kracht op dezelfde plaats. Loodrecht op de sleutel is de arm de hele lengte $r$ van de sleutel. Schuin is de arm kleiner: $d = r \cdot sin θ$ , met $θ$ de hoek tussen kracht en sleutel. Langs de sleutel gaat de werklijn door $O$ : de arm is nul en er gebeurt niets, hoe hard je ook trekt.

De draaizin telt. Een kracht die tegen de klok in doet draaien, geeft een positief moment; met de klok mee een negatief (dezelfde afspraak als voor hoeken in hoofdstuk 6). Werken er meerdere krachten, dan tel je hun momenten op met hun teken.

De arm is de afstand tot het aangrijpingspunt

Alleen als de kracht loodrecht staat op de lijn naar het draaipunt. In het algemeen is de arm de loodrechte afstand tot de werklijn. Een deur die je vlak naast de scharnieren openduwt, of schuin naar de scharnieren toe, gaat moeilijk open, ook al is je kracht groot.

Newtonmeter is geen joule

Ook arbeid (hoofdstuk 9) is kracht maal afstand, maar daar liggen kracht en verplaatsing langs elkaar. Bij een moment staan kracht en arm loodrecht op elkaar. Het zijn verschillende grootheden; een moment schrijf je daarom altijd in N·m, nooit in J. Het 'koppel' van een motor (hoofdstuk 26) is zo'n moment: een motor met een koppel van 2 N·m draait zijn as alsof je met 20 N aan een sleutel van 10 cm trekt.

Dezelfde kracht, drie armen: de hele sleutel, een deel ervan (d = r sin θ), en nul als de werklijn door O gaat.

Een momentsleutel klikt zodra het ingestelde moment bereikt is: niet te los, niet te vast.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.4

Een moer aandraaien met een schuine kracht

4/22

Je trekt met 150 N aan een moersleutel, 0,30 m van het midden van de moer, maar niet loodrecht: je kracht maakt een hoek van 60° met de sleutel. Hoe groot is het moment? De fabrikant schrijft voor deze bout een aanhaalmoment van 45 N·m voor. Welke kracht moet je dan uitoefenen, onder 60° en loodrecht?

Alleen F⊥ doet draaien; F∥ trekt langs de sleutel en duwt tegen de moer.

Gegeven

$F = 150 N$ , $r = 0, 30 m$ , $θ = 6 0^{\circ}$
gevraagd moment $45 N \cdot m$

Gevraagd

$M$
$F$ voor $45 N \cdot m$ onder 60° en loodrecht

Oplossing

1
Methode 1, met de arm. De loodrechte afstand van $O$ tot de werklijn is $d = r sin θ = 0, 30 \cdot sin 6 0^{\circ} = 0, 260 m$ . Dus $M = 150 \cdot 0, 260 = 39, 0 N \cdot m$ .
2
Methode 2, door te ontbinden (hoofdstuk 6). Loodrecht op de sleutel: $F_{⊥} = 150 sin 6 0^{\circ} = 129, 9 N$ , met arm 0,30 m: $129, 9 \cdot 0, 30 = 39, 0 N \cdot m$ . Langs de sleutel: $F_{∥} = 150 cos 6 0^{\circ} = 75 N$ ; die werklijn gaat door $O$ en geeft geen moment.
3
Voor 45 N·m onder 60°: $F = \frac{M}{d} = \frac{45}{0 , 260} = 173 N$ .
4
Loodrecht: $F = \frac{45}{0 , 30} = 150 N$ .

Antwoord

Het moment is 39,0 N·m: te weinig. Onder 60° moet je met 173 N trekken; loodrecht volstaat 150 N.

Klopt dit? De twee methoden geven hetzelfde, en dat is geen toeval:

F \cdot (r sin θ) = (F sin θ) \cdot r

. Kies de methode die het eenvoudigst is voor de figuur. En de uitersten kloppen: bij 90° is

sin θ = 1

(het grootste moment), bij 0° is het moment nul.

Uitleg · 10.5

Van hefboomwet naar momentenevenwicht

5/22

De hefboomwet uit F12, $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$ , is een uitspraak over momenten. Links van het draaipunt probeert $F_{1}$ de hefboom tegen de klok in te draaien, rechts probeert $F_{2}$ hem met de klok mee te draaien. Zijn die twee momenten even groot, dan draait de hefboom niet: $F_{1} a_{1} - F_{2} a_{2} = 0$ .

Zo geformuleerd werkt de wet voor elk aantal krachten: een voorwerp draait niet als de som van alle momenten nul is. Drie kinderen op een wip: Anna (30 kg) zit 1,5 m links van het draaipunt, Chloë (20 kg) zit 1,0 m rechts. Waar moet Bram (40 kg) gaan zitten? Tegen de klok in positief:

30 g \cdot 1, 5 - 20 g \cdot 1, 0 - 40 g \cdot x = 0 \Rightarrow x = \frac{45 - 20}{40} = 0, 625 m

De valversnelling valt weg: je mag hier rekenen met kilogram in plaats van newton. Het draaipunt zelf duwt de plank omhoog met het totale gewicht, $90 \cdot 9, 81 = 883 N$ : ook de som van de krachten moet nul zijn. Dat is de tweede voorwaarde voor evenwicht (volgend blad).

soort (F12)	wat zit in het midden?	voorbeelden
eerste soort	het draaipunt	wip, schaar, koevoet, tang
tweede soort	de last	kruiwagen, notenkraker, flesopener
derde soort	de kracht	pincet, je onderarm (biceps), bezem

In elke soort hefboom geldt hetzelfde momentenevenwicht. Bij de tweede en derde soort liggen kracht en last aan dezelfde kant van het draaipunt; ze draaien dan in tegengestelde zin omdat ze in tegengestelde richting werken.

Tegen de klok in: 294 N · 1,5 m = 441 N·m. Met de klok mee: 392 N · 0,625 m + 196 N · 1,0 m = 441 N·m.

Uitleg · 10.6

De twee evenwichtsvoorwaarden

6/22

In hoofdstuk 8 was een voorwerp in evenwicht als de resulterende kracht nul was. Dat is niet genoeg. Neem een plank en duw links met 60 N omhoog, rechts met 60 N omlaag. De som van de krachten is nul, de plank schuift niet weg, maar ze draait. Twee even grote, tegengestelde, evenwijdige krachten die niet op één lijn liggen, heten een koppel. Je draait zo aan een stuur of aan een waterkraan.

evenwicht van een voorwerp in een vlak

\sum F_{x} = 0 \sum F_{y} = 0 \sum M = 0

Een voorwerp is in evenwicht (het blijft in rust, schuift niet en draait niet) als de krachten elkaar opheffen in elke richting en de momenten elkaar opheffen.

Drie eigenschappen maken die voorwaarden tot een sterk gereedschap:

Het draaipunt mag je vrij kiezen. Is een voorwerp in evenwicht, dan is de som van de momenten nul om élk punt, ook om een punt waar geen as zit. Kies het punt waar een onbekende kracht aangrijpt: haar arm is nul, en ze verdwijnt uit de vergelijking.
Drie vergelijkingen, drie onbekenden. In een vlak heb je drie voorwaarden, dus kan je hoogstens drie onbekende krachten berekenen. Constructies waarvoor dat lukt, heten statisch bepaald (hoofdstuk E13).
Het moment van een koppel is $F \cdot d$ , met $d$ de afstand tussen de twee werklijnen, en dat om elk punt. Een koppel kan je alleen opheffen met een ander koppel.

Stappenplan voor een evenwichtsprobleem

1. Teken het vrijlichaamsdiagram, nu met elke kracht op haar echte aangrijpingspunt. 2. Kies assen en een positieve draaizin. 3. Kies een momentpunt waar zoveel mogelijk onbekenden aangrijpen, en schrijf $\sum M = 0$ . 4. Vul aan met $\sum F_{x} = 0$ en $\sum F_{y} = 0$ . 5. Controleer met de momenten om een ander punt.

Links heffen de krachten elkaar volledig op. Rechts is de resulterende kracht nul, maar het koppel draait de plank.

Proef · 10.7

Twee weegschalen onder een lat

7/22

Onderzoeksvraag

Een lat ligt met haar uiteinden op twee weegschalen. Hoe verdeelt het gewicht van een massa zich over de twee steunpunten als je de massa langs de lat verschuift?

Materiaal

meetlat van 1,00 m (200 g) of een lichte plank
twee houten blokjes
twee digitale keukenweegschalen
massa van 500 g
rolmeter

Met de massa op x = 30 cm draagt A 433 g en B 267 g.

Werkwijze

1Zet de blokjes op de weegschalen, 0,90 m uit elkaar, en zet beide weegschalen op nul (tarra).
2Leg de lat op de blokjes. Noteer wat elke weegschaal toont.
3Zet de massa op $x = 0$ (recht boven blokje A) en noteer beide aflezingen.
4Verschuif de massa telkens 15 cm naar B en noteer opnieuw, tot $x = 90 cm$ .
5Zet beide aflezingen uit tegen $x$ , en bereken telkens hun som.

Waarneming

$x$ (cm)	0	15	30	45	60	75	90
weegschaal A (g)	601	517	432	351	266	184	99
weegschaal B (g)	99	184	268	349	434	516	600
som (g)	700	701	700	700	700	700	699

Zonder massa toont elke weegschaal 100 g. De aflezingen veranderen lineair met $x$ , in tegengestelde zin; hun som blijft 700 g.

Verklaring

Op de lat werken vier krachten: haar eigen gewicht (in het midden), het gewicht van de massa, en de twee steunkrachten $R_{A}$ en $R_{B}$ die de weegschalen tonen. Momenten om A (tegen de klok in positief, B rechts): $R_{B} \cdot 0, 90 - m_{lat} g \cdot 0, 45 - m g \cdot x = 0$ , dus

R_{B} = \frac{0 , 200 g \cdot 0 , 45 + 0 , 500 g \cdot x}{0 , 90}

Een lineaire functie van $x$ : in grammen $100 + 500 \cdot x /0, 90$ . De som van de krachten geeft $R_{A} = 700 g - R_{B}$ . Staat de massa boven A, dan draagt A ze helemaal; in het midden dragen A en B elk de helft. Een weegschaal toont massa, geen kracht; omdat $g$ in elke term staat, mag je hier gewoon met gram rekenen. De afwijkingen van 1 à 2 g komen van de weegschalen (resolutie 1 g) en van het plaatsen van de massa.

Voorbeeldmetingen (punten) en het model uit het momentenevenwicht (stippellijnen).

Uitleg · 10.8

Steunpunten en steunpuntsreacties

8/22

Een balk, een brug of een plank rust op steunpunten (opleggingen). In een vrijlichaamsdiagram laat je de steunpunten weg en teken je in de plaats de krachten die ze op de balk uitoefenen: de steunpuntsreacties of reactiekrachten. Welke reacties een steunpunt kan leveren, hangt af van hoe het de balk vasthoudt:

Een rol (glijdende oplegging) laat de balk langs de ondergrond schuiven en draaien. Hij levert één kracht, loodrecht op de ondergrond.
Een scharnier (vaste oplegging) houdt het punt vast, maar laat de balk draaien. Hij levert een kracht in elke richting: twee componenten $R_{x}$ en $R_{y}$ .
Een inklemming (een balk die in een muur zit, een paal in de grond) houdt vast én belet het draaien: twee krachtcomponenten en een moment.

De klassieke balk heeft een scharnier aan één kant en een rol aan de andere. Dat zijn precies drie onbekenden, genoeg voor de drie evenwichtsvoorwaarden. De rol is ook praktisch: een balk zet uit als hij warm wordt, en de rol laat hem schuiven. Zo is het kasframe van de meetkas gemaakt: in het midden vast, met sleufgaten aan de uiteinden (F6). Bruggen hebben om dezelfde reden aan één kant rollagers.

Alleen verticale lasten? Dan is Rx nul

Werken alle lasten verticaal, dan zegt $\sum F_{x} = 0$ dat de horizontale reactie van het scharnier nul is. Er blijven twee onbekenden over, $R_{A}$ en $R_{B}$ : één momentenvergelijking en één krachtenvergelijking volstaan.

Symbool en reacties: een rol levert één kracht, een scharnier twee componenten, een inklemming ook nog een moment.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.9

Een balk op twee steunpunten

9/22

Een balk van 3,0 m ligt met een scharnier in A en een rol in B. Op 1,0 m van A hangt een last van 1,2 kN, op 2,0 m van A een last van 0,6 kN. Het eigen gewicht van de balk verwaarloos je. Bereken de steunpuntsreacties.

Boven de situatie, onder het vrijlichaamsdiagram: de steunpunten zijn vervangen door RA en RB (pijlen op schaal).

Gegeven

$L = 3, 0 m$
$F_{1} = 1200 N$ op $1, 0 m$ , $F_{2} = 600 N$ op $2, 0 m$ van A

Gevraagd

$R_{A}$ en $R_{B}$

Oplossing

1
Vrijlichaamsdiagram: de twee lasten omlaag, $R_{A}$ en $R_{B}$ omhoog. Alle krachten zijn verticaal, dus de horizontale reactie in A is nul.
2
Momenten om A (dan valt $R_{A}$ weg; tegen de klok in positief): $R_{B} \cdot 3, 0 - 1200 \cdot 1, 0 - 600 \cdot 2, 0 = 0$ , dus $R_{B} = \frac{1200 + 1200}{3 , 0} = 800 N$ .
3
Som van de verticale krachten: $R_{A} + R_{B} - 1200 - 600 = 0$ , dus $R_{A} = 1800 - 800 = 1000 N$ .
4
Controle met momenten om B: $- R_{A} \cdot 3, 0 + 1200 \cdot 2, 0 + 600 \cdot 1, 0 = - 3000 + 2400 + 600 = 0$ . Klopt.

Antwoord

R_{A} = 1000 N

R_{B} = 800 N

. Samen dragen ze de 1800 N van de lasten.

Klopt dit? De grootste last hangt dichter bij A, dus A moet het meest dragen: dat klopt. Voor één last

F

op afstand

a

van A en

b

van B vind je op dezelfde manier

R_{A} = F \cdot b / L

R_{B} = F \cdot a / L

: het steunpunt het dichtst bij de last draagt het meest. Bij meerdere lasten tel je de bijdragen op.

Uitleg · 10.10

Een verdeelde belasting vervangen door haar resultante

10/22

Niet elke last grijpt aan in één punt. Het eigen gewicht van een balk, een rij boeken op een plank, sneeuw op een dak of het water in een reservoir zijn over een lengte verdeeld. Zo'n last geef je aan met $q$ : de kracht per meter, in N/m.

resultante van een gelijkmatig verdeelde belasting

Q = q \cdot l in het midden van l

Voor het evenwicht van de hele balk mag je een verdeelde last vervangen door één kracht

Q

die even groot is als de totale last, en die aangrijpt in het zwaartepunt van het 'lastvlak': bij een gelijkmatige last in het midden.

Waarom mag dat? Denk de last opgedeeld in veel kleine stukjes. Hun krachten tellen op tot $q \cdot l$ , en hun momenten tellen op tot $q \cdot l$ maal de afstand tot het midden, net zoals bij het zwaartepunt verderop in dit hoofdstuk. Een driehoekige last, die gelijkmatig groeit van 0 tot $q_{max}$ , heeft als resultante de oppervlakte van de driehoek, $\frac{1}{2} q_{max} l$ , op een derde van de lengte aan de zware kant. Die vorm zie je terug bij de waterdruk op de wand van een reservoir (hoofdstuk 11).

Alleen voor het evenwicht van het geheel

De resultante vertelt je hoeveel elk steunpunt draagt. Ze zegt niets over wat er in de balk gebeurt: een balk met een gelijkmatige last buigt anders door dan een balk met dezelfde last in het midden. Hoe je de spanningen en de doorbuiging berekent, leer je in hoofdstuk E12.

Links: de resultante ligt in het midden. Rechts: ze ligt op een derde van de lengte, aan de kant van de grootste last.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.11

Habitat: de draagbalk onder het voedingsreservoir

11/22

De vloer van de klimaatmodule ligt 40 cm boven het terrein (hoofdstuk 6) en rust op vloerbalken van vuren hout (45 × 145 mm), om de 40 cm, die 2,40 m overspannen tussen twee liggers A en B. Het voedingsreservoir (60 L oplossing, samen met de bak, het deksel en de pomp 65 kg) staat met zijn lange zijde (0,64 m) langs een vloerbalk, met zijn midden op 0,50 m van ligger A. Balk en vloerstrook wegen samen 75 N per meter. Welke krachten moeten de liggers opvangen?

Het vrijlichaamsdiagram: twee verdeelde lasten en twee reactiekrachten (hoogtes van de lastpijlen niet op schaal).

Gegeven

$L = 2, 40 m$ ; eigengewicht $q = 75 N/m$ over de hele balk
reservoir: $65 kg$ over $0, 64 m$ , midden op $0, 50 m$ van A
aan de veilige kant: één balk draagt het hele reservoir

Gevraagd

$R_{A}$ en $R_{B}$

Oplossing

1
Lasten. Reservoir: $F = 65 \cdot 9, 81 = 637, 65 N$ , verdeeld over 0,64 m, dus $q_{res} = 637, 65/0, 64 = 996 N/m$ . Eigengewicht: $Q = 75 \cdot 2, 40 = 180 N$ .
2
Resultanten. De reservoirlast grijpt aan in het midden van het reservoir, op 0,50 m van A. Het eigengewicht in het midden van de balk, op 1,20 m van A.
3
Momenten om A: $R_{B} \cdot 2, 40 - 637, 65 \cdot 0, 50 - 180 \cdot 1, 20 = 0$ , dus $R_{B} = \frac{318 , 8 + 216}{2 , 40} = 222, 8 N$ .
4
Som van de krachten: $R_{A} = 637, 65 + 180 - 222, 8 = 594, 8 N$ .
5
Controle met momenten om B: $R_{A} = \frac{637 , 65 \cdot 1 , 90 + 180 \cdot 1 , 20}{2 , 40} = \frac{1211 , 5 + 216}{2 , 40} = 594, 8 N$ .

Antwoord

Ligger A moet 595 N opvangen, ligger B 223 N. A draagt het meest, omdat het reservoir dicht bij A staat.

Klopt dit? Of de liggers en de metalen balkdragers dat aankunnen, lees je in hun technische fiche; in opdracht 10.14 zet je er nog iemand bij die het reservoir bijvult. Of de balk zelf sterk genoeg is en hoeveel hij doorbuigt, hangt af van wat er binnenin gebeurt: dat is hoofdstuk E12. 'Aan de veilige kant' betekent: in werkelijkheid verdelen de vloerplaten het gewicht over twee of drie balken, dus elke balk krijgt minder dan we rekenden.

Vervangen door resultanten: 637,65 N op 0,50 m en 180 N op 1,20 m (pijlen op schaal).

Onder de vloer: vloerbalken op liggers. Het volle reservoir drukt vooral op de balk eronder.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.12

Een ladder tegen een gladde muur

12/22

In hoofdstuk 6 zette je een ladder volgens de 1-op-4-regel: onder 76° met de grond. Waarom schuift een ladder weg als hij te schuin staat? Een ladder van 4,0 m en 12 kg staat tegen een gladde muur (geen wrijving). Een persoon van 75 kg staat op 3,0 m langs de ladder. Hoe groot moet de wrijvingskracht aan de voet zijn? De wrijvingscoëfficiënt tussen voet en vloer is $μ_{s} = 0, 40$ . Staat de ladder veilig? En als hij onder 60° stond?

Links de situatie, rechts de ladder los van muur en vloer, met alle krachten op hun aangrijpingspunt.

Gegeven

$L = 4, 0 m$ , $α = 76, 0^{\circ}$ ( $tan α = 4$ )
ladder 12 kg (zwaartepunt in het midden), persoon 75 kg op 3,0 m
muur glad; $μ_{s} = 0, 40$ aan de voet

Gevraagd

$N_{muur}$ , $N_{vloer}$ , $F_{w}$ en of de ladder blijft staan

Oplossing

1
Vrijlichaamsdiagram. Twee gewichten omlaag (118 N in het midden, 736 N op 3,0 m). Aan de top alleen een normaalkracht van de muur, horizontaal (de muur is glad). Aan de voet een normaalkracht omhoog en een wrijvingskracht naar de muur toe. Drie onbekenden.
2
Verticaal: $N_{vloer} = (12 + 75) \cdot 9, 81 = 853, 5 N$ .
3
Momenten om de voet (daar grijpen twee onbekenden aan). De arm van een verticale kracht is haar horizontale afstand tot de voet, $s cos α$ ; de arm van de horizontale muurkracht is de hoogte van de top, $L sin α = 3, 88 m$ : $N_{muur} \cdot 3, 88 = 117, 7 \cdot 2, 0 cos 7 6^{\circ} + 735, 8 \cdot 3, 0 cos 7 6^{\circ}$ , dus $N_{muur} = \frac{57 , 1 + 535 , 4}{3 , 88} = 152, 7 N$ .
4
Horizontaal: $F_{w} = N_{muur} = 152, 7 N$ . Nodig is dus $μ \geq \frac{152 , 7}{853 , 5} = 0, 18$ .
5
Beschikbaar is $0, 40 \cdot 853, 5 = 341 N$ : ruim genoeg. Onder 60° wordt de arm van de gewichten groter en die van de muurkracht kleiner: met de persoon helemaal bovenaan is dan $F_{w} = 459 N$ nodig, meer dan 341 N. Onder 60° schuift de ladder weg zodra de persoon hoger komt dan 2,89 m.

Antwoord

Onder 76° is 153 N wrijving nodig, en de vloer kan er 341 N leveren: de ladder staat veilig, zelfs met de persoon bovenaan (199 N). Onder 60° glijdt de voet weg voor de persoon de top bereikt.

Klopt dit? Hoe hoger je klimt, hoe groter de arm van je gewicht en hoe meer wrijving nodig is: ladders schuiven daarom meestal weg als iemand bovenaan staat, niet bij de eerste sport. Een steile ladder verkleint die arm; te steil kiept hij achterover. Vandaar de 75 à 76° uit hoofdstuk 6.

Uitleg · 10.13

Het zwaartepunt

13/22

Elk stukje van een voorwerp heeft gewicht. Voor het evenwicht mag je al die kleine krachten vervangen door één kracht, het totale gewicht, die aangrijpt in het zwaartepunt $Z$ . Hang je een voorwerp op aan een punt, dan draait het tot het zwaartepunt recht onder dat punt hangt; ondersteun je het in het zwaartepunt, dan blijft het in elke stand in evenwicht.

Voor symmetrische vormen ligt $Z$ op de symmetrie-as: in het midden van een rechthoek, een cirkel of een balk. Een samengestelde vorm deel je op in stukken waarvan je het zwaartepunt kent. Het moment van het totale gewicht moet gelijk zijn aan de som van de momenten van de stukken. Voor platen van gelijke dikte is het gewicht evenredig met de oppervlakte, dus

zwaartepunt van een samengestelde vlakke figuur

x_{Z} = \frac{\sum A _{i} x _{i}}{\sum A _{i}} y_{Z} = \frac{\sum A _{i} y _{i}}{\sum A _{i}}

A_{i}

de oppervlakte en

(x_{i}; y_{i})

het zwaartepunt van stuk

i

. Voor een samengesteld voorwerp vervang je

A_{i}

door de massa

m_{i}

. Een gat tel je mee met een negatieve oppervlakte.

vorm	oppervlakte	zwaartepunt
rechthoek $b \times h$	$b \cdot h$	in het midden: $b /2$ en $h /2$
driehoek met basis $b$ en hoogte $h$	$\frac{1}{2} b \cdot h$	op $h /3$ boven de basis (snijpunt van de zwaartelijnen)
cirkel met straal $r$	$π r^{2}$	in het middelpunt
halve cirkel met straal $r$	$\frac{1}{2} π r^{2}$	op $\frac{4 r}{3 π} \approx 0, 42 r$ van de rechte rand

Het zwaartepunt ligt altijd in het voorwerp

Bij een L-vorm, een ring, een boemerang of een hoefijzer ligt het zwaartepunt in de lege ruimte. Een hoogspringer die met de Fosbury flop over de lat gaat, buigt zijn lichaam er als een boog omheen: zijn zwaartepunt kan net onder de lat door, terwijl zijn lichaam erover gaat.

Twee rechthoeken, twee zwaartepunten; het gezamenlijke zwaartepunt ligt op de verbindingslijn, buiten het materiaal.

Elke steen staat zo dat het zwaartepunt van alles erboven recht boven zijn kleine steunvlak ligt.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.14

Een bord met een venster aan één kabel

14/22

Bij de ingang van het station komt een informatiebord van aluminium (3 mm dik, 600 mm × 400 mm) met een rond venster van 200 mm diameter voor een scherm. Het midden van het venster ligt 450 mm van de linkerrand, op halve hoogte. Het bord hangt aan één kabel. Waar moet de kabel vast, zodat het bord horizontaal hangt? Hoeveel weegt het bord (aluminium: 2,70 g/cm³)?

De kabel hangt recht boven Z, 277 mm van links; de stippellijn is het midden van het bord.

Gegeven

rechthoek $600 \times 400 mm$ , zwaartepunt op $x = 300 mm$
gat: straal $100 mm$ , midden op $x = 450 mm$
dikte 3 mm, $ρ = 2, 70 g/c m^{3}$

Gevraagd

$x_{Z}$
massa

Oplossing

1
Het bord hangt horizontaal als de kabel recht boven het zwaartepunt zit. In de hoogte ligt $Z$ op halve hoogte (symmetrie); we zoeken $x_{Z}$ .
2
Oppervlaktes: rechthoek $A_{1} = 600 \cdot 400 = 240000 m m^{2}$ ; gat $A_{2} = - π \cdot 10 0^{2} = - 31416 m m^{2}$ (negatief). Samen $208584 m m^{2}$ .
3
$x_{Z} = \frac{240 000 \cdot 300 - 31 416 \cdot 450}{208 584} = \frac{72 000 000 - 14 137 000}{208 584} = 277 mm$ .
4
Massa: volume $208584 m m^{2} \cdot 3 mm = 625800 m m^{3} = 626 c m^{3}$ , dus $m = 626 \cdot 2, 70 = 1690 g \approx 1, 7 kg$ .

Antwoord

De kabel komt op 277 mm van de linkerrand, 23 mm links van het midden. Het bord weegt ongeveer 1,7 kg.

Klopt dit? Het gat haalt materiaal weg aan de rechterkant, dus het zwaartepunt schuift naar links: dat klopt. En de verschuiving is klein, omdat het gat maar 13 % van de oppervlakte is. Hang je het bord in het midden op, dan kantelt het tot Z recht onder de kabel hangt: de rechterkant komt omhoog.

Proef · 10.15

Het zwaartepunt van een karton zoeken met een schietlood

15/22

Onderzoeksvraag

Kan je het zwaartepunt van een vorm vinden zonder te rekenen? En klopt het met de berekening, ook als het buiten het karton ligt?

Materiaal

stevig karton, schaar, geodriehoek
een punaise en een stuk isomo of kurk om ze in te prikken
touwtje met een klein gewichtje (schietlood)
strookje doorzichtige folie, potlood

Twee schietloodlijnen door twee gaatjes; hun snijpunt is het zwaartepunt, op de folie naast het karton.

Werkwijze

1Knip een L-vorm uit karton: 160 mm breed, 240 mm hoog, benen van 40 mm breed (de L uit de figuur hiervoor, twee keer zo groot).
2Plak een strookje doorzichtige folie over de binnenhoek: daar verwacht je het zwaartepunt.
3Prik de punaise door een gaatje vlak bij een hoek, zodat het karton vrij kan draaien. Hang het schietlood aan dezelfde punaise.
4Wacht tot alles stilhangt en trek met potlood de lijn van het touwtje over karton en folie.
5Herhaal met een tweede gaatje ver van het eerste. Het snijpunt van de twee lijnen is het zwaartepunt. Controleer met een derde gaatje.
6Meet de afstand van het snijpunt tot de linker- en de onderrand.

Waarneming

De drie lijnen snijden elkaar (bijna) in één punt, op de folie, buiten het karton: ongeveer 47 mm van de linkerrand en 87 mm boven de onderrand. Een leerlingengroep mat 46 en 88 mm.

Verklaring

Een vrij hangend voorwerp is in evenwicht als het moment van zijn gewicht om het ophangpunt nul is: het zwaartepunt hangt dan recht onder het ophangpunt, op de lijn van het schietlood. Twee zulke lijnen snijden in het zwaartepunt. De berekening geeft voor de dubbele L precies twee keer de waarden van de figuur: $x_{Z} = 46, 7 mm$ en $y_{Z} = 86, 7 mm$ . Kleine afwijkingen komen van een scheef geknipte rand, de wrijving rond de punaise en de dikte van de potloodlijn.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.16

Hoe hoog ligt het zwaartepunt van de meetkas?

16/22

De meetkas uit Fundamental (1,20 × 0,60 × 0,80 m) staat buiten. Op de plantentafel (30 cm hoog) staan twaalf bakjes met vochtige potgrond; eronder staat het waterreservoir, 20 cm hoog gevuld. In F13 kreeg je de hoogte van het zwaartepunt gegeven; nu reken je ze zelf uit. Hoe hoog ligt het zwaartepunt van de volle kas, en van de lege? Gebruik de massa's uit F7, F10 en F11 en de hoogtes van de zwaartepunten van de delen in de tabel.

deel	massa $m$ (kg)	hoogte zwaartepunt $h$ (m)	$m \cdot h$ (kg·m)
12 bakjes (PP)	3,6	0,360	1,296
tafelblad	8,4	0,291	2,444
frame	3,1	0,400	1,240
wanden en dak	2,9	0,480	1,392
lucht in de kas	0,7	0,400	0,276
water (20 cm hoog)	24,0	0,100	2,400
vochtige potgrond	43,0	0,350	15,050
planten	1,2	0,450	0,540
totaal	86,9		24,638

Gegeven

acht delen met massa $m_{i}$ en hoogte $h_{i}$ van hun zwaartepunt (tabel)
leeg: zonder water, potgrond en planten (de eerste vijf rijen)

Gevraagd

$h_{Z}$ vol en leeg

Oplossing

1
De formule voor het zwaartepunt met massa's, in de verticale richting: $h_{Z} = \frac{\sum m _{i} h _{i}}{\sum m _{i}}$ .
2
Vol: $\sum m_{i} = 86, 9 kg$ en $\sum m_{i} h_{i} = 24, 64 kg \cdot m$ , dus $h_{Z} = \frac{24 , 64}{86 , 9} = 0, 284 m$ .
3
Leeg (de eerste vijf rijen): $\sum m_{i} = 18, 7 kg$ en $\sum m_{i} h_{i} = 6, 65 kg \cdot m$ , dus $h_{Z} = \frac{6 , 65}{18 , 7} = 0, 356 m$ .
4
Horizontaal ligt het zwaartepunt (bij benadering) in het midden: de kas is symmetrisch ingericht.

Antwoord

Het zwaartepunt van de volle kas ligt 0,28 m hoog, dat van de lege 0,36 m: dezelfde waarden als in F13. De volle kas weegt 86,9 kg, de lege 18,7 kg.

Klopt dit? Het water ligt laag (10 cm) en trekt het zwaartepunt omlaag, de potgrond ligt boven de tafel en trekt het omhoog. Het resultaat ligt tussen de laagste en de hoogste waarde in de tabel, dichter bij de zwaarste delen: zo hoort het. De lucht in de kas (0,69 kg) mag je eigenlijk weglaten: de buitenlucht duwt de kas met evenveel kracht omhoog (Archimedes, hoofdstuk 11). Laat je ze weg, dan verandert

h_{Z}

pas in de derde decimaal.

Uitleg · 10.17

Kantelen en kantelveiligheid

17/22

Een voorwerp dat op een vlak staat, blijft staan zolang de verticale lijn door zijn zwaartepunt binnen het steunvlak valt (F13). Kantel je het een beetje, dan draait het rond een kantelrand. Het gewicht heeft dan een moment om die rand dat het voorwerp terugduwt, zolang $Z$ nog aan de binnenkant van de rand ligt. Voorbij de kantelhoek ligt $Z$ aan de buitenkant en duwt het gewicht het voorwerp verder om.

kantelhoek, stabiliteitsmoment en kantelveiligheid

tan α_{k} = \frac{a}{h _{Z}} M_{stab} = m g a S = \frac{M _{stab}}{M _{kantel}}

a

de horizontale afstand van het zwaartepunt tot de kantelrand,

h_{Z}

de hoogte van het zwaartepunt.

M_{kantel}

is het moment van de krachten die het voorwerp willen omduwen (wind, iemand die trekt), om dezelfde rand.

Is de kantelveiligheid $S$ kleiner dan 1, dan valt het voorwerp om. Ontwerpers eisen meestal minstens $S = 1, 5$ , omdat krachten onzeker zijn en een windstoot of een duw groter kan uitvallen dan gerekend. Drie manieren om iets stabieler te maken:

Het zwaartepunt verlagen: zware delen onderaan (ballast), zoals het reservoir in de meetkas.
Het steunvlak vergroten: bredere poten, een bredere voet, uitschuifbare steunpoten bij een hoogtewerker.
Verankeren: een kracht toevoegen aan de andere kant van de kantelrand, met een grote arm: een grondanker, een muuranker bij een kast.

De grafiek toont het moment dat de meetkas terugduwt als je ze over haar lange rand kantelt, $M = m g (a cos θ - h_{Z} sin θ)$ met $a = 0, 30 m$ . Bij een hoek van 47° (vol) of 40° (leeg) wordt het nul: daar ligt het zwaartepunt recht boven de rand.

Zolang de lijn door Z binnen de kantelrand valt, draait het blok terug; daarbuiten valt het om.

De volle kas duwt veel harder terug en kantelt pas bij een grotere hoek: lager zwaartepunt, meer massa.

Uitgewerkt voorbeeld · 10.18

Habitat: kantelt de meetkas in een storm?

18/22

De meetkas staat los op een terras. Bij een storm met windstoten van 20 m/s (72 km/h) duwt de wind met ongeveer 300 Pa op de lange zijwand van 1,20 × 0,80 m (een rekenwaarde; hoe je die uit de windsnelheid haalt, zie je in hoofdstuk E18). Kantelt de volle kas? En de lege, bijvoorbeeld tijdens de bouw of na het schoonmaken? Hoeveel kracht moeten grondankers leveren om de lege kas een kantelveiligheid van 1,5 te geven?

De wind duwt op 0,40 m hoogte, het gewicht grijpt aan in Z; beide momenten om de kantelrand rechts onderaan.

Gegeven

winddruk $300 Pa$ op $1, 20 \times 0, 80 m$ , resultante op halve hoogte (0,40 m)
vol: 86,9 kg; leeg: 18,7 kg; zwaartepunt in het midden, $a = 0, 30 m$ van de kantelrand
ankers aan de windkant, 0,60 m van de kantelrand

Gevraagd

$S$ vol en leeg
ankerkracht voor $S = 1, 5$

Oplossing

1
Windkracht: druk maal oppervlakte (hoofdstuk 11), $F = 300 \cdot 1, 20 \cdot 0, 80 = 288 N$ . Om de kantelrand aan de lijzijde: $M_{kantel} = 288 \cdot 0, 40 = 115, 2 N \cdot m$ .
2
Vol: $M_{stab} = 86, 9 \cdot 9, 81 \cdot 0, 30 = 255, 7 N \cdot m$ , dus $S = 255, 7/115, 2 = 2, 2$ .
3
Leeg: $M_{stab} = 18, 7 \cdot 9, 81 \cdot 0, 30 = 55, 0 N \cdot m$ , dus $S = 0, 48$ : de lege kas kantelt.
4
De winddruk groeit met het kwadraat van de windsnelheid. De lege kas kantelt al vanaf $20 \cdot 55, 0/115, 2 = 13, 8 m/s$ (50 km/h), een gewone winderige dag.
5
Ankers aan de windkant trekken omlaag met arm 0,60 m: $55, 0 + F_{anker} \cdot 0, 60 \geq 1, 5 \cdot 115, 2$ , dus $F_{anker} \geq \frac{172 , 8 - 55 , 0}{0 , 60} = 196 N$ .

Antwoord

Vol staat de kas veilig (

S = 2, 2

), leeg niet (

S = 0, 48

): ze waait om vanaf ongeveer 14 m/s. Grondankers aan de windkant moeten samen minstens 196 N kunnen houden. Omdat de wind van beide kanten kan komen: twee ankers van elk 100 N aan elke lange zijde.

Klopt dit? Ook vol haalt de kas

S = 1, 5

maar tot ongeveer 24 m/s (88 km/h), en ze kantelt bij 30 m/s (107 km/h): zulke windstoten komen in België bij zware stormen voor. Verankeren is dus altijd verstandig. En het model is optimistisch: de wind zuigt ook aan het dak en tilt de kas een beetje op, wat de kantelveiligheid nog verlaagt.

Het kantelmoment groeit met v²; waar het een horizontale lijn snijdt, is de kantelveiligheid 1.

Twee ankers aan elke lange zijde: de lege kas staat pas dan veilig in de wind.

Ontleed · 10.19

De torenkraan: een wip van zestig meter

19/22

Een torenkraan is een reusachtig momentenevenwicht. Aan de ene kant van de mast hangt de last aan de giek, aan de andere kant ligt het contragewicht op de contragiek. Wat het niet opvangt, moet de mast dragen, en uiteindelijk de fundering. De grafiek eronder is een typische hijstabel.

Schematische torenkraan: giek met loopkat rechts, contragiek met contragewicht links.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Giek
Een lichte vakwerkarm van tientallen meters. Vakwerk (driehoeken, F13) geeft veel stijfheid voor weinig gewicht: elke kilogram giek ver van de mast kost veel moment.
2
Loopkat en vlucht
De loopkat rijdt over de giek. De horizontale afstand van de haak tot de as van de mast heet de vlucht: de arm van de last.
3
Last en lastmoment
Het lastmoment is last maal vlucht. Deze kraan mag 5,0 t heffen tot 16 m; verder weg beslist het lastmoment van 80 t·m: 4,0 t op 20 m, 2,0 t op 40 m, 1,6 t op 50 m (grafiek).
4
Contragewicht
Betonblokken op de contragiek. Ze compenseren de giek en ongeveer de helft van het grootste lastmoment. Te zwaar mag niet: zonder last zou de kraan dan achterover willen kantelen (opdracht 10.16).
5
Mast
De mast draagt het gewicht van alles en het moment dat het contragewicht niet opheft, afwisselend naar voor en naar achter. Daarom is ook de mast een vakwerk.
6
Fundering
Een betonblok of ballast onder een brede voet. Voor de kantelveiligheid telt de afstand van de mast tot de rand van de voet: dat is de arm van het stabiliserende gewicht.
7
Lastmomentbegrenzer
Een sensor meet de kracht in de kabel en de plaats van de loopkat, en rekent het lastmoment uit. Wordt het te groot, dan blokkeert de kraan het heffen en het uitrijden van de kat.

Code · 10.20

Python: steunpuntsreacties voor veel lastgevallen

20/22

Een ingenieur rekent zelden één lastgeval. Waar mag het reservoir staan, wat als er iemand bij staat, wat als er later een tweede reservoir komt? Het programma zet het rekenwerk van het voorbeeld in een functie: elke verdeelde last wordt een resultante in het midden, de som van de momenten om A geeft $R_{B}$ en de som van de krachten geeft $R_{A}$ . Daarna verschuift het het reservoir langs de balk.

Pythonsteunpuntsreacties.py23 regelsDownload

# steunpuntsreacties.py - een balk op twee steunpunten: A bij x = 0, B bij x = LL = 2.40                                    # overspanning van de vloerbalk (m)  def reacties(puntlasten, verdeeld):    """puntlasten: lijst van (F in N, x in m); verdeeld: lijst van (q in N/m, x1, x2)."""    krachten = list(puntlasten)    for q, x1, x2 in verdeeld:              # verdeelde last: resultante in het midden        krachten.append((q * (x2 - x1), (x1 + x2) / 2))    som_F = sum(F for F, x in krachten)    som_M_A = sum(F * x for F, x in krachten)   # moment van elke last om A    R_B = som_M_A / L                       # som van de momenten om A is nul    R_A = som_F - R_B                       # som van de verticale krachten is nul    return R_A, R_B  eigengewicht = [(75.0, 0.0, L)]             # balk en vloerstrook: 75 N/mprint(" x reservoir (m)   R_A (N)   R_B (N)")for i in range(5):    x = 0.40 + 0.40 * i                     # midden van het reservoir    reservoir = [(996.3, x - 0.32, x + 0.32)]   # 65 kg op 0,64 m balk    R_A, R_B = reacties([], eigengewicht + reservoir)    print(f"{x:10.2f}      {R_A:8.1f}  {R_B:8.1f}")

RA daalt en RB stijgt lineair als het reservoir van A naar B schuift; de punten zijn de uitvoer van het programma.

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

 x reservoir (m)   R_A (N)   R_B (N)
      0.40         621.4     196.3
      0.80         515.1     302.5
      1.20         408.8     408.8
      1.60         302.5     515.1
      2.00         196.3     621.4

Beide reacties veranderen lineair met de plaats van het reservoir, zoals bij de weegschalen in de proef. In het midden (1,20 m) dragen A en B elk 408,8 N; de som is altijd $637, 6 + 180 = 817, 6 N$ . Zo'n grafiek, 'hoe verandert een reactie als een last over de constructie rijdt', heet een invloedslijn; bruggenbouwers gebruiken ze om te bepalen waar een vrachtwagen het gevaarlijkst staat (hoofdstuk E13).

Naslag · 10.21

Overzicht: moment en evenwicht

21/22

moment (tegen de klok in positief)

M = F \cdot d = F \cdot r \cdot sin θ

symbool	betekenis	eenheid
$M$	moment	N·m
$F$	kracht	N
$d$	arm: loodrechte afstand tot de werklijn	m
$θ$	hoek tussen kracht en de lijn naar het draaipunt	°

evenwicht (momenten om een vrij te kiezen punt)

\sum F_{x} = 0 \sum F_{y} = 0 \sum M = 0

balk op twee steunpunten met één last op a van A en b van B

R_{A} = \frac{F \cdot b}{L} R_{B} = \frac{F \cdot a}{L}

resultante van een verdeelde last (in het midden, of op een derde aan de zware kant)

Q = q \cdot l Q_{△} = \frac{1}{2} q_{max} \cdot l

symbool	betekenis	eenheid
$q$	verdeelde belasting	N/m

zwaartepunt (gat: negatieve oppervlakte)

x_{Z} = \frac{\sum A _{i} x _{i}}{\sum A _{i}} = \frac{\sum m _{i} x _{i}}{\sum m _{i}}

kantelhoek en kantelveiligheid

tan α_{k} = \frac{a}{h _{Z}} S = \frac{M _{stab}}{M _{kantel}} \geq 1, 5

vorm	oppervlakte	zwaartepunt
rechthoek $b \times h$	$b \cdot h$	in het midden: $b /2$ en $h /2$
driehoek met basis $b$ en hoogte $h$	$\frac{1}{2} b \cdot h$	op $h /3$ boven de basis (snijpunt van de zwaartelijnen)
cirkel met straal $r$	$π r^{2}$	in het middelpunt
halve cirkel met straal $r$	$\frac{1}{2} π r^{2}$	op $\frac{4 r}{3 π} \approx 0, 42 r$ van de rechte rand

stappenplan evenwicht
1. Kies het voorwerp en teken het vrijlichaamsdiagram, met elke kracht op haar aangrijpingspunt. Vervang steunpunten door reacties (rol: 1, scharnier: 2, inklemming: 3 onbekenden).
2. Vervang verdeelde lasten door hun resultante; kies assen en een positieve draaizin.
3. Neem momenten om een punt waar onbekenden aangrijpen: $\sum M = 0$ .
4. Vul aan met $\sum F_{x} = 0$ en $\sum F_{y} = 0$ .
5. Controleer met momenten om een ander punt, en met gezond verstand: draagt het steunpunt het dichtst bij de last het meest?

Habitat: rekenwaarden uit dit hoofdstuk
vloerbalk module	vuren 45 × 145 mm, h.o.h. 40 cm, overspanning 2,40 m; balk + vloerstrook 75 N/m
reservoir op de vloer	65 kg (met bak, deksel en pomp), 0,64 × 0,44 m; midden op 0,50 m van A: $R_{A} = 595 N$ , $R_{B} = 223 N$
meetkas	leeg 18,7 kg, zwaartepunt 0,36 m; vol 86,9 kg, zwaartepunt 0,28 m; kantelhoek 40° en 47° (F13)
meetkas in de storm	300 Pa op de zijwand: 288 N, $S = 2, 2$ vol, 0,48 leeg; ankers 196 N aan de windkant

Het geheel · 10.22

Waar momenten terugkomen

22/22

Met dit hoofdstuk is de statica compleet: een voorwerp in rust voldoet aan $\sum F = 0$ en $\sum M = 0$ . Elke brug, elk dak, elke kraan en elke robotarm wordt daarmee doorgerekend. De momenten komen ook terug als iets wél draait: het koppel van een motor, de hoekversnelling van een vliegwiel. En het zwaartepunt is de sleutel tot alles wat moet blijven staan of drijven.

F11 Krachten

Een kracht kan doen draaien, en heeft een aangrijpingspunt: nu weet je hoeveel ze draait.

F12 Hefbomen en mechanismen

De hefboomwet is een momentenevenwicht met twee krachten; de drie soorten hefbomen komen hier terug.

F13 Constructies: sterk en stabiel

Zwaartepunt, steunvlak en kantelen, nu met getallen; de driehoek van het vakwerk in de giek van de kraan.

I6 Goniometrie en vectoren

Een schuine kracht ontbinden, en de arm $r sin θ$ uitrekenen; de 1-op-4-regel van de ladder.

I8 De wetten van Newton

Het vrijlichaamsdiagram en de wrijving aan de voet van de ladder; nu met de krachten op hun echte plaats.

I9 Arbeid, energie en vermogen

De gulden regel van de hefboom: wat je wint aan kracht, verlies je aan weg.

I11 Druk en hydraulica

Kracht verdeeld over een oppervlak; de waterdruk op de wand van het reservoir als driehoekige last; drijven en stabiliteit.

I26 Motoren en actuatoren

Het koppel van een motor in N·m, en hoeveel moment de dakmotor moet leveren.

E5 Vectoren en matrices

Het moment als vectorproduct $M = r \times F$ , ook in drie dimensies.

E10 Rotatie

Een moment dat niet nul is, geeft een hoekversnelling: de 'tweede wet' voor draaiende voorwerpen.

E12 Sterkteleer

Wat er ín de balk gebeurt: buigmoment, spanning en doorbuiging van de vloerbalk.

E13 Vakwerken en constructieanalyse

Evenwicht in elk knooppunt en de snedemethode: de krachten in de staven van een dak of een kraan.

HabitatVoor Habitat leggen we vast: de modulevloer rust op vuren vloerbalken 45 × 145 mm om de 40 cm, met een overspanning van 2,40 m; balk en vloerstrook wegen 75 N/m. Het voedingsreservoir weegt vol 65 kg en staat met zijn midden op 0,50 m van ligger A: A draagt 595 N, B 223 N. De meetkas (leeg 18,7 kg, zwaartepunt 0,36 m; vol 86,9 kg, 0,28 m, zoals in F13) waait leeg om vanaf ongeveer 14 m/s, dus komen er twee grondankers van minstens 100 N aan elke lange zijde. In opdracht 10.14 reken je de draagbalk na met iemand erbij, in opdracht 10.18 de ballast voor het zonnepaneel.

Samenvatting

In het kort

Het moment van een kracht om een punt is $M = F \cdot d$ , met $d$ de loodrechte afstand tot de werklijn. Een schuine kracht: $d = r sin θ$ , of ontbind en neem alleen $F_{⊥}$ .
Tegen de klok in is positief, met de klok mee negatief. Een moment schrijf je in N·m, nooit in J.
De hefboomwet is een momentenevenwicht. Een voorwerp is in evenwicht als $\sum F_{x} = 0$ , $\sum F_{y} = 0$ én $\sum M = 0$ ; een koppel toont waarom de krachten alleen niet volstaan.
De som van de momenten is nul om élk punt: kies het punt waar een onbekende aangrijpt.
Steunpunten vervang je door reacties: een rol levert één kracht, een scharnier twee, een inklemming ook nog een moment. Het steunpunt het dichtst bij de last draagt het meest.
Een verdeelde last $q$ (N/m) vervang je voor het evenwicht door $Q = q \cdot l$ in het zwaartepunt van het lastvlak.
Het zwaartepunt van een samengestelde vorm: $x_{Z} = \sum A_{i} x_{i} / \sum A_{i}$ , met een gat als negatieve oppervlakte. Het kan buiten het voorwerp liggen; je vindt het ook met een schietlood.
Een voorwerp kantelt als de lijn door zijn zwaartepunt buiten de kantelrand valt. Kantelveiligheid $S = M_{stab} / M_{kantel}$ , liefst minstens 1,5: laag zwaartepunt, breed steunvlak, of verankeren.

Begrippen

Wat je nu kent

moment (van een kracht): Maat voor hoe sterk een kracht een voorwerp rond een punt doet draaien: $M = F \cdot d$ , in N·m.
arm: De loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht.
werklijn: De rechte waarop een kracht ligt, door haar aangrijpingspunt en in haar richting.
koppel: Twee even grote, tegengestelde, evenwijdige krachten die niet op één lijn liggen: samen geen resulterende kracht, wel een moment.
evenwichtsvoorwaarden: Een voorwerp is in evenwicht als de som van de krachten nul is én de som van de momenten om elk punt nul is.
steunpuntsreactie: De kracht die een steunpunt (oplegging) op een balk of constructie uitoefent.
verdeelde belasting: Een last die over een lengte gespreid is, uitgedrukt in N/m; ze werkt voor het evenwicht als haar resultante in het zwaartepunt van het lastvlak.
zwaartepunt: Het punt waar je de hele zwaartekracht op een voorwerp mag laten aangrijpen.
kantelhoek: De hoek waarover je een voorwerp kan kantelen voor het uit zichzelf omvalt: de lijn door het zwaartepunt gaat dan net door de kantelrand.
kantelveiligheid: Stabiliteitsmoment gedeeld door kantelmoment; ontwerpers eisen meestal minstens 1,5.

Aan de slag in het werkboek18 opdrachten, van oefenen tot uitdagen