FFundamental · deel F3 · Krachten, beweging en constructies

Handboek · hoofdstuk 12Hefbomen en mechanismen

Hoe een plank, een touw of een tandwiel een kleine kracht groot maakt, en wat je daarvoor inlevert

Met een koevoet til je een steen op die je met je handen niet van zijn plaats krijgt. Met een takel hijs je een motor uit een auto, met de versnellingen van je fiets rijd je een helling op. Al die toestellen zijn mechanismen: ze veranderen de grootte, de richting of de snelheid van een beweging. In dit hoofdstuk leer je hoe een hefboom werkt en reken je met de hefboomwet. Je herkent drie soorten hefbomen, in je gereedschapskist en in je eigen lichaam. Daarna volgen katrollen, tandwielen, riemen en kettingen, en de fiets, die ze allemaal combineert. Voor de meetkas bereken je hoe je het dakraam opent.

7× uitleg7× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel16 opdrachten in het werkboek± 7 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Trapper, kettingblad, ketting, tandwielen, derailleur: een fiets is een verzameling mechanismen.

Na dit hoofdstuk

Je kan bij een hefboom het draaipunt, de kracht, de last en de armen aanduiden.
Je kan met de hefboomwet $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$ een kracht of een arm berekenen.
Je kan uitleggen dat je met een hefboom kracht wint ten koste van afstand, of afstand ten koste van kracht.
Je kan hefbomen van de eerste, tweede en derde soort herkennen in gereedschap en in het menselijk lichaam.
Je kan berekenen hoeveel kracht nodig is met een vaste katrol, een losse katrol en een takel.
Je kan bij tandwielen, riemen en kettingen de draairichting bepalen en de overbrengingsverhouding berekenen.
Je kan de mechanismen van een fiets benoemen en uitrekenen hoe ver je komt met één trapomwenteling.
Je kan berekenen hoeveel kracht nodig is om het dakraam van de meetkas te openen, en waar je het best duwt.

Verhaal · 12.1

De sjadoef en Archimedes

1/19

Langs de Nijl staan boeren al duizenden jaren voor hetzelfde probleem: het water zit in de rivier of in een put, en de gewassen staan hoger. Een volle emmer optillen, honderden keren per dag, is zwaar werk. De oplossing heet een sjadoef: een lange paal die op een paal of een muurtje kan kantelen. Aan het lange uiteinde hangt een emmer, aan het korte uiteinde een zware steen of een klomp gedroogde klei. De boer trekt de lege emmer omlaag in het water, en daarna tilt het tegengewicht de volle emmer bijna vanzelf omhoog.

Op een cilinderzegel uit Mesopotamië van ongeveer 2200 v.Chr. staat al een sjadoef afgebeeld; in Egyptische graven uit de tijd van de farao's zie je boeren die er het water mee over hun akkers verdelen. In delen van Egypte en Zuid-Azië wordt hij nog altijd gebruikt.

De sjadoef werkte al lang voor iemand kon uitleggen waarom. Dat deed de Griekse wiskundige Archimedes (ongeveer 287-212 v.Chr.) uit Syracuse: hij beschreef de regel van de hefboom in een wiskundig bewijs. Volgens de latere schrijver Pappus zou hij gezegd hebben: 'Geef me een plaats om te staan, en ik beweeg de aarde.' Met een lang genoeg hefboom kan een kleine kracht elke last verplaatsen. Maar zoals je in dit hoofdstuk ontdekt, betaal je daar een prijs voor.

Waarom dit verhaal ertoe doet

Techniek komt vaak vóór de wetenschap die ze verklaart. Boeren bouwden sjadoefs door te proberen en te verbeteren (de ontwerpcyclus, hoofdstuk 30). Archimedes maakte er een regel van waarmee je vooraf kan berekenen hoe groot het tegengewicht moet zijn. In opdracht 12.13 doe je dat zelf.

Een sjadoef: het tegengewicht aan het korte uiteinde doet het meeste werk.

Uitleg · 12.2

De hefboom

2/19

Een hefboom is een stijf voorwerp (een plank, een staaf, een bot) dat kan draaien rond een vast punt: het draaipunt. Op de hefboom werken twee krachten die elk de andere kant op willen draaien:

de kracht $F_{1}$ : wat jij (of een spier, een motor) levert;
de last $F_{2}$ : wat je wil verplaatsen of tegenhouden, zoals het gewicht van een steen.

De afstand van het draaipunt tot de plaats waar een kracht aangrijpt, heet de arm: de krachtarm $a_{1}$ en de lastarm $a_{2}$ . In dit hoofdstuk staan de krachten altijd loodrecht op de hefboom. Staat een kracht schuin, dan meet je de arm anders; dat leer je in hoofdstuk I10.

Probeer het met een liniaal op een potlood. Leg een gum op het ene uiteinde en druk met één vinger op het andere. Schuif het potlood (het draaipunt) dichter bij de gum: je vinger moet minder hard duwen. Hoe langer de krachtarm en hoe korter de lastarm, hoe kleiner de kracht die je nodig hebt.

Eerst het draaipunt zoeken

Bij elk mechanisme stel je eerst de vraag: rond welk punt draait het? Pas dan zie je welke arm bij welke kracht hoort. Bij een schaar is dat de schroef in het midden, bij een kruiwagen de as van het wiel, bij je onderarm de elleboog.

De hand duwt ver van het draaipunt (lange krachtarm), de steen ligt er dichtbij (korte lastarm). Daardoor is een kleine kracht genoeg.

Proef · 12.3

Wanneer is een hefboom in evenwicht?

3/19

Onderzoeksvraag

Welke regel verbindt de krachten en de armen als een hefboom in evenwicht is?

Materiaal

hefboomlat met gaatjes om de 5 cm, in het midden op een statief
haakgewichten van 100 g
krachtmeter van 5 N
meetlat

Twee gewichtjes op 10 cm links, de krachtmeter op 20 cm rechts: hij wijst ongeveer de helft van hun zwaartekracht aan.

Werkwijze

1Controleer dat de lat zonder gewichten horizontaal hangt.
2Hang links een aantal gewichtjes op een gekozen afstand $a_{1}$ van het draaipunt. De kracht $F_{1}$ is hun zwaartekracht: 0,98 N per 100 g.
3Haak rechts de krachtmeter in een gaatje op afstand $a_{2}$ en trek verticaal omlaag tot de lat horizontaal hangt. Lees $F_{2}$ af.
4Herhaal met andere gewichten en andere afstanden. Verander telkens maar één ding.
5Bereken voor elke meting de producten $F_{1} \cdot a_{1}$ en $F_{2} \cdot a_{2}$ .

Waarneming

links	$F_{1}$ (N)	$a_{1}$ (cm)	$F_{2}$ (N)	$a_{2}$ (cm)	$F_{1} \cdot a_{1}$ (N·cm)	$F_{2} \cdot a_{2}$ (N·cm)
2 × 100 g	1,96	10	1,00	20	19,6	20,0
2 × 100 g	1,96	30	2,95	20	58,8	59,0
3 × 100 g	2,94	20	1,95	30	58,8	58,5
1 × 100 g	0,98	40	3,90	10	39,2	39,0
4 × 100 g	3,92	5	0,65	30	19,6	19,5

Verklaring

De twee producten zijn telkens (bijna) gelijk. De verschillen zijn afleesfouten: de krachtmeter leest af op 0,05 N. Wordt de ene arm twee keer zo lang, dan is maar half zoveel kracht nodig. Kracht en arm zijn omgekeerd evenredig: hun product blijft gelijk.

Uitleg · 12.4

De hefboomwet

4/19

Wat de proef toont, schreef Archimedes als eerste op:

hefboomwet

F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}

F_{1}

= kracht,

a_{1}

= krachtarm;

F_{2}

= last,

a_{2}

= lastarm. Krachten in newton (N), armen in meter of in centimeter (maar aan beide kanten dezelfde eenheid).

Met de wet reken je één onbekende uit als je de drie andere kent. Voor de kracht: $F_{1} = \frac{F _{2} \cdot a _{2}}{a _{1}}$ . Is de krachtarm 6 keer zo lang als de lastarm, dan is 6 keer minder kracht nodig.

Maar er is een prijs. Draait de hefboom, dan maken beide uiteinden een boog. Het uiteinde met de lange arm legt een grotere afstand af: 6 keer zo lange arm, 6 keer zo ver. Til je met een koevoet een steen 2 cm op, dan zakt je hand 12 cm. Dat is de gulden regel van de mechanica: wat je wint aan kracht, verlies je aan afstand. Het geldt voor elk mechanisme in dit hoofdstuk: katrollen, tandwielen, fietsen.

Een hefboom geeft je gratis kracht

Een hefboom maakt de kracht kleiner, niet het werk. Kracht maal afstand is aan beide kanten hetzelfde: 100 N over 12 cm aan je hand, 600 N over 2 cm aan de steen. Je spaart dus geen inspanning uit, je verdeelt ze anders: minder hard, maar langer. (In hoofdstuk I9 heet dat product de arbeid.) Een machine die meer levert dan je erin stopt, bestaat niet.

De lastarm is 20 cm, de krachtarm 120 cm: zes keer minder kracht, maar de hand beweegt zes keer verder dan de last.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.5

Een steen optillen met een koevoet

5/19

Een tuinier wil een steen van 60 kg optillen om er een plantenbak onder te schuiven. Ze legt een koevoet over een blokje hout: het blokje (het draaipunt) ligt 15 cm van de steen, haar handen duwen 1,20 m van het blokje. (a) Hoeveel kracht moet ze uitoefenen? (b) Hoe ver moeten haar handen zakken om de steen 2,0 cm op te tillen?

Gegeven

last: $m = 60 kg$ , dus $F_{2} = 60 \times 9, 81 = 589 N$
$a_{2} = 0, 15 m$
$a_{1} = 1, 20 m$

Gevraagd

$F_{1}$
de afstand die de handen afleggen

Oplossing

1
Hefboomwet omgevormd naar de kracht: $F_{1} = \frac{F _{2} \cdot a _{2}}{a _{1}}$ .
2
Invullen: $F_{1} = \frac{589 N \times 0 , 15 m}{1 , 20 m} = 73, 6 N \approx 74 N$ .
3
De krachtarm is $1, 20/0, 15 = 8$ keer zo lang als de lastarm. Dus is de kracht 8 keer kleiner, en moeten de handen 8 keer verder bewegen: $8 \times 2, 0 cm = 16 cm$ .

Antwoord

(a) Ongeveer 74 N: de zwaartekracht op zo'n 7,5 kg. (b) De handen zakken 16 cm.

Klopt dit? Kracht maal afstand: 589 N × 0,020 m ≈ 11,8 en 73,6 N × 0,16 m ≈ 11,8. Aan beide kanten hetzelfde: de gulden regel klopt. Een koevoet over een blokje is een hefboom van de eerste soort: het draaipunt ligt tussen de last en de kracht.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.6

De wip in evenwicht

6/19

Op een wip zit Noor (30 kg) op 1,50 m van het draaipunt. Waar moet haar broer Lars (45 kg) aan de andere kant gaan zitten zodat de wip in evenwicht is?

Gegeven

$F_{1} = 30 \times 9, 81 = 294 N$ , $a_{1} = 1, 50 m$
$F_{2} = 45 \times 9, 81 = 441 N$

Gevraagd

$a_{2}$

Oplossing

1
Hefboomwet omgevormd naar de onbekende arm: $a_{2} = \frac{F _{1} \cdot a _{1}}{F _{2}}$ .
2
Invullen: $a_{2} = \frac{294 N \times 1 , 50 m}{441 N} = 1, 00 m$ .

Antwoord

Lars moet op 1,00 m van het draaipunt zitten: dichter bij het midden, omdat hij zwaarder is.

Klopt dit? Snelle controle zonder newton:

30 \times 1, 50 = 45

45 \times 1, 00 = 45

. Omdat aan beide kanten met dezelfde

g

vermenigvuldigd wordt, mag je bij een wip ook met de massa's rekenen.

Uitleg · 12.7

Drie soorten hefbomen

7/19

Hefbomen worden ingedeeld volgens wat er in het midden ligt: het draaipunt, de last of de kracht.

soort	wat staat in het midden?	voorbeelden	wat win je?
eerste soort	het draaipunt	wip, schaar, combinatietang, nijptang, koevoet over een blokje, balans	kracht als de krachtarm langer is, afstand als hij korter is; altijd ook een omgekeerde beweging
tweede soort	de last	kruiwagen, notenkraker, flesopener	altijd kracht: de krachtarm is altijd de langste
derde soort	de kracht	pincet, bezem, hengel, kolentang, je onderarm	altijd afstand en snelheid: de last beweegt verder en sneller dan je hand

Een hefboom van de tweede soort wint altijd kracht: de last ligt dichter bij het draaipunt dan je hand. Daarom kan je met een kruiwagen 70 kg potgrond verplaatsen. Een hefboom van de derde soort kost altijd kracht, maar wint afstand en snelheid: met een kleine beweging van je hand zwaai je het uiteinde van een hengel ver en snel. Een pincet is ook zo'n hefboom: je wil geen grote kracht, maar een fijne, gecontroleerde beweging.

Hoe deel je in?

Zoek eerst het draaipunt, dan de last (wat wordt er verplaatst, geknipt, gekraakt?), dan de kracht (waar duw je?). Kijk dan wat in het midden ligt. Bij een schaar is de schroef het draaipunt en ligt het papier aan de ene kant, je vingers aan de andere: eerste soort. Bij een notenkraker is het scharnier het draaipunt aan het uiteinde, ligt de noot in het midden en knijpen je handen aan de andere kant: tweede soort.

De lengte van de pijlen volgt de hefboomwet: bij de tweede soort is de kracht kleiner dan de last, bij de derde soort groter.

Uitleg · 12.8

Hefbomen in je lichaam

8/19

Je skelet zit vol hefbomen. De botten zijn de staven, de gewrichten de draaipunten, en de spieren leveren de kracht. Een spier kan alleen trekken, nooit duwen: daarom zitten er vaak twee spieren tegenover elkaar (de biceps buigt je arm, de triceps strekt hem).

beweging	draaipunt	kracht	last	soort
hoofd knikken	bovenste halswervel	nekspieren achteraan	gewicht van het hoofd, vooraan	eerste
op je tenen staan	de bal van je voet	kuitspier via de achillespees aan de hiel	je lichaam, via het scheenbeen in de enkel	tweede
iets in je hand optillen	de elleboog	biceps, enkele cm voor de elleboog	het voorwerp in je hand	derde

Opvallend: de meeste hefbomen in je lichaam zijn van de derde soort. De spier hecht dicht bij het gewricht aan en moet dus veel harder trekken dan de last die je hand draagt. Wat levert dat op? Snelheid en bereik. Als je biceps 1 cm korter wordt, beweegt je hand ongeveer 8 cm. Daardoor kan je snel gooien, slaan en grijpen met spieren die maar een paar centimeter kunnen samentrekken.

Je kaak

Ook je onderkaak is een hefboom: het kaakgewricht vlak voor je oor is het draaipunt, de kauwspieren trekken iets verder naar voren. Een harde noot kraak je met je kiezen, niet met je voortanden: de kiezen liggen dichter bij de spieren en het draaipunt, dus met dezelfde spierkracht bijt je daar harder.

Hoofd knikken (eerste soort), op je tenen staan (tweede soort) en een gewicht in je hand houden (derde soort).

Uitgewerkt voorbeeld · 12.9

Waarom je biceps zo sterk moet zijn

9/19

Je houdt je onderarm horizontaal en draagt een halter van 5,0 kg in je hand. De biceps hecht aan 4,0 cm van de elleboog, de halter hangt op 33 cm van de elleboog. Hoe hard moet je biceps trekken? (Het gewicht van je onderarm zelf laten we weg.)

Gegeven

last: $F_{2} = 5, 0 \times 9, 81 = 49, 1 N$ , $a_{2} = 33 cm$
$a_{1} = 4, 0 cm$

Gevraagd

de spierkracht $F_{1}$

Oplossing

1
Draaipunt: de elleboog. Kracht: de biceps, dicht bij de elleboog. Last: de halter, ver weg. Derde soort.
2
$F_{1} = \frac{F _{2} \cdot a _{2}}{a _{1}} = \frac{49 , 1 N \times 33 cm}{4 , 0 cm} = 405 N$ .
3
Je mag de armen in centimeter laten staan: ze staan boven en onder de breukstreep, de eenheid valt weg.

Antwoord

De biceps trekt met ongeveer 400 N: ruim acht keer de zwaartekracht op de halter.

Klopt dit? 405 N is de zwaartekracht op ongeveer 41 kg. Dat klinkt veel, maar spieren kunnen zulke krachten leveren. En de onderarm weegt zelf ook iets: in werkelijkheid moet de biceps nog wat harder trekken (opdracht 12.11).

Uitleg · 12.10

Katrollen en takels

10/19

Een katrol is een wiel met een groef waarover een touw loopt. We verwaarlozen de wrijving en de massa van de katrollen en het touw.

Een vaste katrol hangt vast aan het plafond. Ze verandert alleen de richting van de kracht: je trekt omlaag om iets omhoog te hijsen, wat makkelijker is, want je kan je eigen gewicht gebruiken. De kracht blijft even groot als de last.
Een losse katrol hangt in het touw en beweegt mee met de last. Nu dragen twee touwdelen de last, elk de helft. Je trekt met de helft van de kracht, maar je moet twee keer zoveel touw binnenhalen: tilt de last 1 m, dan worden beide touwdelen 1 m korter.
Een takel combineert vaste en losse katrollen. Tel het aantal touwdelen $n$ dat het onderste katrolblok draagt.

takel met n dragende touwdelen

F = \frac{F _{z}}{n} s_{touw} = n \cdot h

F

= trekkracht,

F_{z}

= zwaartekracht op de last,

n

= aantal touwdelen aan de losse katrollen,

h

= hoogte waarover de last stijgt,

s_{touw}

= hoeveel touw je binnenhaalt.

Tellen, niet raden

Tel alleen de touwdelen die de losse katrollen (en dus de last) dragen. Het stuk touw dat van de bovenste vaste katrol naar je hand loopt, telt niet mee als het naar beneden loopt: het verandert alleen de richting. Trek je aan een touw dat omhoog loopt vanaf de losse katrol, dan telt het wel.

Links draagt één touwdeel de last, in het midden twee, rechts vier. Rood is telkens de trekkracht, blauw de last.

Een kettingtakel: een paar kilo trekkracht aan de handketting tilt een motorblok.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.11

Een motor uittakelen

11/19

In een garage hangt een takel met vier dragende touwdelen. Een mecanicien hijst er een motor van 150 kg mee 0,50 m omhoog. (a) Met welke kracht moet ze trekken? (b) Hoeveel touw haalt ze binnen? (c) Het onderste katrolblok heeft zelf een massa van 2,0 kg. Hoeveel kracht is er dan echt nodig?

Gegeven

$m = 150 kg$ , $F_{z} = 150 \times 9, 81 = 1472 N$
$n = 4$
$h = 0, 50 m$
onderste katrolblok: $2, 0 kg$

Gevraagd

$F$
$s_{touw}$
$F$ met het katrolblok

Oplossing

1
(a) $F = \frac{F _{z}}{n} = \frac{1472 N}{4} = 368 N$ .
2
(b) $s_{touw} = n \cdot h = 4 \times 0, 50 m = 2, 0 m$ .
3
(c) De touwdelen dragen ook het katrolblok: $(150 + 2, 0) \times 9, 81 = 1491 N$ , gedeeld door 4: $373 N$ .

Antwoord

(a) 368 N. (b) 2,0 m touw. (c) 373 N, en door de wrijving in de katrollen nog wat meer.

Klopt dit? Kracht maal afstand: 368 N × 2,0 m = 736 en 1472 N × 0,50 m = 736. Dezelfde gulden regel als bij de hefboom. Een echte takel heeft wrijving; daarom meet je in opdracht 12.14 dat je iets harder moet trekken dan de formule zegt.

Uitleg · 12.12

Tandwielen: draaien doorgeven

12/19

Een tandwiel geeft een draaiende beweging door aan een ander tandwiel. De tanden grijpen in elkaar, dus aan de rand bewegen beide wielen even snel: per seconde passeren even veel tanden. Een klein wiel met 12 tanden moet daarom drie keer rondgaan om een groot wiel met 36 tanden één keer rond te krijgen.

Draairichting: twee tandwielen die in elkaar grijpen, draaien tegengesteld. Zet je er een tussenwiel tussen, dan draaien het eerste en het laatste wiel in dezelfde zin. Het tussenwiel verandert de snelheid van het laatste wiel niet.
Snelheid: het aantal omwentelingen per minuut ( $n$ ) is omgekeerd evenredig met het aantal tanden ( $z$ ).

overbrengingsverhouding

i = \frac{z _{2}}{z _{1}} = \frac{n _{1}}{n _{2}}

1 = het drijvende wiel (daar zit de motor of je trapper), 2 = het gedreven wiel.

z

= aantal tanden,

n

= omwentelingen per minuut.

i > 1

: het gedreven wiel draait trager.

Wat je wint aan snelheid, verlies je aan kracht, en omgekeerd: de gulden regel weer. Drijft een klein tandwiel een groot aan ( $i > 1$ , een vertraging), dan draait het grote trager, maar het kan harder duwen. Zo krijgt een snel draaiend motortje genoeg kracht om een pomp of een dakraam te bewegen. Drijft een groot tandwiel een klein aan ( $i < 1$ ), dan gaat het sneller, maar met minder kracht: zo werkt een handmixer of de versnelling van een fiets.

Het wormwiel

Een worm is een schroef die in een tandwiel grijpt. Bij elke omwenteling van de worm schuift het tandwiel één tand op: een wormwiel met 40 tanden geeft dus een overbrenging van 40 in één stap. Veel wormoverbrengingen werken bovendien maar in één richting: de worm kan het tandwiel draaien, maar het tandwiel kan de worm niet terugdraaien. Zo'n zelfremmende overbrenging houdt het schuifpaneel van de klimaatmodule dicht zonder dat de motor stroom verbruikt (hoofdstuk I8).

Links draait het grote wiel tegengesteld en drie keer trager. Rechts keert het tussenwiel de draairichting om; het grote wiel draait nog altijd drie keer trager.

Een uurwerk: tandwielen die de snelle beweging van een veer vertragen tot die van de wijzers.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.13

Hoe snel draait het grote tandwiel?

13/19

Een motortje draait 90 omwentelingen per minuut (omw/min). Op zijn as zit een tandwiel met 12 tanden, dat een tandwiel met 36 tanden aandrijft. (a) Bereken de overbrengingsverhouding. (b) Hoe snel draait het grote tandwiel, en in welke zin, als de motor met de klok mee draait? (c) Je zet er een tussenwiel met 20 tanden tussen. Wat verandert er?

Gegeven

$z_{1} = 12$ , $n_{1} = 90 omw/min$
$z_{2} = 36$
tussenwiel: 20 tanden

Gevraagd

$i$
$n_{2}$ en de draairichting
het effect van het tussenwiel

Oplossing

1
(a) $i = \frac{z _{2}}{z _{1}} = \frac{36}{12} = 3$ .
2
(b) $n_{2} = \frac{n _{1}}{i} = \frac{90}{3} = 30 omw/min$ , tegen de klok in (twee tandwielen draaien tegengesteld).
3
(c) Het tussenwiel draait tegen de klok in, het grote wiel dus weer met de klok mee. De snelheid blijft 30 omw/min: het kleine wiel duwt 12 tanden per omwenteling door, en die 12 tanden komen via het tussenwiel aan bij het grote wiel. De tanden van het tussenwiel tellen niet mee.

Antwoord

i = 3

; het grote wiel draait 30 omw/min tegen de klok in. Met een tussenwiel: 30 omw/min, met de klok mee.

Klopt dit? Per minuut passeren aan de rand van het kleine wiel 90 × 12 = 1080 tanden; bij het grote wiel 30 × 36 = 1080. Klopt.

Uitleg · 12.14

Riemen en kettingen

14/19

Liggen twee assen ver uit elkaar, dan verbind je ze met een riem over twee schijven, of met een ketting over twee tandwielen. Voor de overbrenging geldt dezelfde regel als bij tandwielen: bij een riem gebruik je de diameters ( $i = d_{2} / d_{1}$ ), bij een ketting de aantallen tanden.

Draairichting: bij een open riem en bij een ketting draaien beide wielen in dezelfde zin. Kruis je de riem, dan draaien ze tegengesteld.
Riem: stil, geen smering nodig, en hij kan slippen. Dat is soms een voordeel: loopt een machine vast, dan slipt de riem in plaats van dat er iets breekt. Moet de beweging precies kloppen, dan neem je een tandriem, met tanden aan de binnenkant.
Ketting: kan niet slippen en brengt grote krachten over, maar moet gesmeerd worden en slijt. Daarom zit er een ketting op een fiets en een motorfiets.

De draairichting bepalen

Volg met je vinger één tand of één stuk riem: waar het ene wiel naartoe duwt, beweegt de rand van het andere wiel mee. Bij tandwielen raken de wielen elkaar aan één kant, dus draaien ze tegengesteld. Een open riem loopt rond beide wielen aan dezelfde kant: zelfde zin.

Een open riem en een ketting laten beide wielen in dezelfde zin draaien; een gekruiste riem keert de zin om.

Ontleed · 12.15

De fiets als verzameling mechanismen

15/19

Een fiets zet de draaiende beweging van je benen om in een snelle rit. Onderweg passeer je bijna alles uit dit hoofdstuk. (Welke materialen waar zitten, zag je in hoofdstuk 10.)

De aandrijving, de remmen en de wielen van een fiets.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Trapper
De trapperarm is een hefboom rond de trapas, meestal 17 cm lang. Je voet duwt aan het uiteinde; hoe langer de arm, hoe kleiner de kracht die nodig is.
2
Kettingblad
Het drijvende tandwiel vooraan, vast aan de trapper. Een koersfiets heeft er vaak twee: bijvoorbeeld 50 en 34 tanden.
3
Ketting
Brengt de beweging over naar het achterwiel zonder te slippen. Voor en achter draaien in dezelfde zin.
4
Tandwiel achter
Het gedreven tandwiel, vast aan het achterwiel. Een kleiner tandwiel achteraan laat het wiel meer toeren per trapomwenteling maken: je rijdt sneller, maar trapt zwaarder.
5
Derailleur
Duwt de ketting naar een ander tandwiel: zo kies je de overbrenging. De twee wieltjes houden de ketting gespannen.
6
Remhendel
Een hefboom die kracht wint: je vingers trekken ver van het draaipunt, de remkabel zit er dichtbij.
7
Remblokjes
Knijpen de velg samen. Hier is wrijving net wat je wil: ze remt het wiel af (hoofdstuk 11).
8
Naaf met kogellagers
Kogeltjes tussen de as en de naaf laten het wiel rollen in plaats van glijden: heel weinig wrijving.
9
Band
Het wiel is zelf een hefboom: de ketting trekt aan een kleine straal, de band duwt tegen de weg aan een grote straal. Zo win je snelheid. De wrijving tussen band en weg duwt de fiets vooruit.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.16

Hoe ver kom je met één trapomwenteling?

16/19

Je fietst met het kettingblad van 44 tanden en het tandwiel achter van 16 tanden. Het achterwiel heeft een omtrek van 2,10 m. (a) Hoeveel keer draait het achterwiel rond per trapomwenteling? (b) Hoe ver kom je met één trapomwenteling? (c) Hoe snel rijd je als je 70 keer per minuut rondtrapt? (d) Bergop schakel je naar 34 tanden voor en 28 tanden achter. Hoe ver kom je nu per trapomwenteling, en waarom helpt dat?

Gegeven

$z_{voor} = 44$ , $z_{achter} = 16$
omtrek van het wiel: $2, 10 m$
70 trapomwentelingen per minuut
bergop: 34 en 28 tanden

Gevraagd

wielomwentelingen per trapomwenteling
afstand per trapomwenteling
snelheid
afstand bergop

Oplossing

1
(a) Eén trapomwenteling schuift 44 schakels van de ketting door. Het achtertandwiel moet dan $44/16 = 2, 75$ keer rond, en het wiel met hem.
2
(b) Elke wielomwenteling brengt je één omtrek verder: $2, 75 \times 2, 10 m = 5, 78 m$ .
3
(c) Per minuut: $70 \times 5, 78 m = 404 m$ . Per uur: $404 \times 60 = 24260 m$ , ongeveer $24 km/h$ (hoofdstuk 14).
4
(d) $34/28 = 1, 21$ wielomwentelingen, dus $1, 21 \times 2, 10 = 2, 55 m$ per trapomwenteling. Je komt minder ver per omwenteling, maar elke omwenteling vraagt minder kracht: de gulden regel.

Antwoord

(a) 2,75 keer. (b) 5,78 m. (c) Ongeveer 24 km/h. (d) 2,55 m per trapomwenteling: trager, maar lichter trappen.

Klopt dit? Met de overbrengingsverhouding: het kettingblad drijft (1), het achtertandwiel wordt gedreven (2):

i = 16/44 = 0, 36

, kleiner dan 1: een versnelling. Het wiel draait

1/0, 36 = 2, 75

keer sneller dan de trappers.

Uitgewerkt voorbeeld · 12.17

Habitat: het dakraam van de meetkas openen

17/19

Op warme dagen wordt het in de meetkas te heet (tot 32 °C, hoofdstuk 4). Daarom is de rechterhelft van het dak een dakraam van 0,60 m × 0,60 m, met een scharnier aan de achterkant. Het raam heeft een massa van 1,2 kg; zijn zwaartepunt ligt in het midden. (a) Met welke kracht til je het raam op aan de voorrand? (b) En als je het zou openduwen op 10 cm van het scharnier? (c) Hoe ver moet dat punt op 10 cm stijgen om de voorrand 15 cm te openen?

Dakraam of schuifpaneel?

In Intermediate (hoofdstukken I7 en I8) heeft het kasdak een schuifpaneel met een motor. Dat hoort bij de klimaatmodule, de tweede laag van Habitat. De meetkas is eenvoudiger: een dakraam met een scharnier, dat je met de hand opent en met een klemhendel dichtdrukt (opdracht 12.15). Een automatische opener ontwerp je in opdracht 12.12.

Het scharnier is het draaipunt. De zwaartekracht grijpt aan in het midden, je hand aan de voorrand. Stippellijn: het raam open, met de voorrand 15 cm hoger.

Gegeven

$m = 1, 2 kg$ , dus $F_{z} = 1, 2 \times 9, 81 = 11, 8 N$
zwaartepunt op $0, 30 m$ van het scharnier; voorrand op $0, 60 m$

Gevraagd

kracht aan de voorrand
kracht op 10 cm van het scharnier
hoe ver dat punt stijgt

Oplossing

1
Het scharnier is het draaipunt, de zwaartekracht op het raam is de last. Je hand tilt verder van het scharnier dan het zwaartepunt: een hefboom van de tweede soort.
2
(a) $F_{1} = \frac{F _{2} \cdot a _{2}}{a _{1}} = \frac{11 , 8 N \times 0 , 30 m}{0 , 60 m} = 5, 9 N$ .
3
(b) Nu is de krachtarm 0,10 m, korter dan de lastarm: een hefboom van de derde soort. $F_{1} = \frac{11 , 8 \times 0 , 30}{0 , 10} = 35 N$ , zes keer zoveel.
4
(c) Het punt op 0,10 m ligt zes keer dichter bij het scharnier dan de voorrand, dus het stijgt zes keer minder: $15/6 = 2, 5 cm$ .

Antwoord

(a) 5,9 N aan de voorrand. (b) 35 N op 10 cm van het scharnier. (c) Dat punt stijgt maar 2,5 cm.

Klopt dit? Kracht maal afstand: 5,9 N × 15 cm en 35 N × 2,5 cm geven allebei ongeveer 88 N·cm. Wie dicht bij het scharnier duwt, heeft meer kracht nodig maar maar een kleine beweging. Precies dat maakt het interessant voor een kleine motor met een korte slag (opdracht 12.12).

Naslag · 12.18

Overzicht: hefbomen en mechanismen

18/19

De rekenregels en de afspraken uit dit hoofdstuk. Wrijving en de massa van katrollen en touwen laten we weg.

hefboomwet

F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}

symbool	betekenis	eenheid
$F_{1}$	kracht	N
$a_{1}$	krachtarm	m of cm
$F_{2}$	last	N
$a_{2}$	lastarm	m of cm (zelfde eenheid als a₁)

takel

F = \frac{F _{z}}{n} s_{touw} = n \cdot h

symbool	betekenis	eenheid
$n$	aantal dragende touwdelen	–
$F_{z}$	zwaartekracht op de last	N
$h$	hoogte die de last stijgt	m

overbrengingsverhouding

i = \frac{z _{2}}{z _{1}} = \frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{n _{1}}{n _{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$z$	aantal tanden	–
$d$	diameter van een riemschijf	cm
$n$	omwentelingen per minuut	omw/min
$1, 2$	drijvend, gedreven

soort	wat staat in het midden?	voorbeelden	wat win je?
eerste soort	het draaipunt	wip, schaar, combinatietang, nijptang, koevoet over een blokje, balans	kracht als de krachtarm langer is, afstand als hij korter is; altijd ook een omgekeerde beweging
tweede soort	de last	kruiwagen, notenkraker, flesopener	altijd kracht: de krachtarm is altijd de langste
derde soort	de kracht	pincet, bezem, hengel, kolentang, je onderarm	altijd afstand en snelheid: de last beweegt verder en sneller dan je hand

mechanisme	draairichting	kenmerk
twee tandwielen	tegengesteld	geen slip, compact
met tussenwiel	zelfde zin	zelfde overbrenging als zonder tussenwiel
wormwiel	haaks	grote vertraging in één stap, vaak zelfremmend
open riem	zelfde zin	stil, kan slippen, grote afstand tussen de assen
gekruiste riem	tegengesteld	zoals de open riem
ketting	zelfde zin	geen slip, grote krachten, smeren

gulden regel van de mechanica
Wat je wint aan kracht, verlies je aan afstand (of snelheid), en omgekeerd. Kracht × afstand is aan beide kanten van een mechanisme even groot (zonder wrijving).

Het geheel · 12.19

Waar hefbomen naartoe leiden

19/19

Hefbomen en mechanismen zijn het scharnier tussen krachten (hoofdstuk 11) en ontwerpen en maken: elk toestel dat beweegt, gebruikt ze. De hefboomwet is ook een eerste voorbeeld van een omgekeerd evenredig verband (leerlijn wiskundig modelleren): het product blijft constant. In Intermediate wordt kracht maal arm het moment, en de gulden regel het behoud van arbeid en energie.

F11 Krachten

Krachten tekenen en meten in newton; de zwaartekracht als last.

F13 Constructies: sterk en stabiel

Zwaartepunt en kantelen: waar een voorwerp omvalt, draait het rond zijn kantelrand.

F14 Beweging en snelheid

Van omwentelingen per minuut naar kilometer per uur.

F15 Energie: vormen en omzettingen

Waarom geen enkel mechanisme energie maakt, en waar de wrijving de energie naartoe stuurt.

F25 Sensoren en automatisch regelen

Een servo of een pomp als actuator: een motor met een tandwielkast.

F30 De ontwerpcyclus

Een mechanisme ontwerpen, bouwen, testen en verbeteren.

I3 Verbanden in data

Omgekeerd evenredige verbanden in een grafiek herkennen.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Arbeid W = F · s: de gulden regel als behoud van arbeid, met rendement.

I10 Moment en evenwicht

Moment M = F · d, ook voor schuine krachten, en evenwicht van een balk met meerdere krachten.

I26 Motoren en actuatoren

De motor van het kasdak kiezen, met een tandwiel- of wormoverbrenging.

I33 Een mobiele robot

Overbrenging en snelheid van de wielen van een robot.

E10 Rotatie

Hoeksnelheid, traagheidsmoment en vermogen van draaiende assen.

HabitatHet dakraam van de meetkas (0,60 m × 0,60 m, 1,2 kg, scharnier achteraan) is een hefboom van de tweede soort: aan de voorrand til je het met 5,9 N op. In opdracht 12.12 kies je waar een duwstang moet aangrijpen zodat een kleine motor het raam ver genoeg opent, en in opdracht 12.15 reken je de klemhendel uit die het raam dichtdrukt. Noteer beide in je portfolio.

Samenvatting

In het kort

Een hefboom draait rond een draaipunt. De arm is de afstand van het draaipunt tot waar een kracht aangrijpt.
Hefboomwet: $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$ . Een lange krachtarm en een korte lastarm maken de nodige kracht klein.
Gulden regel van de mechanica: wat je wint aan kracht, verlies je aan afstand. Een mechanisme levert nooit meer dan je erin stopt.
Eerste soort: draaipunt in het midden (wip, schaar). Tweede soort: last in het midden (kruiwagen, notenkraker). Derde soort: kracht in het midden (pincet, onderarm).
De meeste hefbomen in je lichaam zijn van de derde soort: ze kosten kracht, maar winnen snelheid en bereik.
Een vaste katrol verandert de richting; een takel met $n$ dragende touwdelen deelt de kracht door $n$ , maar je haalt $n$ keer zoveel touw binnen.
Tandwielen die in elkaar grijpen, draaien tegengesteld; $i = z_{2} / z_{1} = n_{1} / n_{2}$ . Een tussenwiel keert de zin om zonder de snelheid te veranderen.
Een open riem en een ketting laten beide wielen in dezelfde zin draaien; een riem kan slippen, een ketting niet.
Een fiets combineert hefbomen (trapper, remhendel), een kettingoverbrenging met versnellingen en kogellagers.

Begrippen

Wat je nu kent

hefboom: Een stijf voorwerp dat kan draaien rond een vast punt, het draaipunt. Met een hefboom kan je een kleine kracht een grote last laten verplaatsen.
draaipunt: Het punt waarrond een hefboom draait.
arm: De afstand van het draaipunt tot de plaats waar een kracht aangrijpt (voor een kracht loodrecht op de hefboom).
hefboomwet: Een hefboom is in evenwicht als $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$ : kracht maal krachtarm is last maal lastarm.
gulden regel van de mechanica: Wat je met een mechanisme wint aan kracht, verlies je aan afstand (en omgekeerd).
katrol: Een wiel met een groef waarover een touw loopt. Een vaste katrol verandert de richting van de kracht; een losse katrol halveert de nodige kracht.
takel: Een combinatie van vaste en losse katrollen. Met $n$ touwdelen die de last dragen, is de nodige kracht $F_{z} / n$ .
overbrengingsverhouding: Hoe veel trager (of sneller) het gedreven wiel draait dan het drijvende: $i = z_{2} / z_{1} = n_{1} / n_{2}$ .
tussenwiel: Een tandwiel tussen het drijvende en het gedreven wiel: het keert de draairichting om, maar verandert de overbrengingsverhouding niet.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen