IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Handboek · hoofdstuk 6Goniometrie en vectoren

Hoeken en pijlen: van de helling van een oprit tot de hoek van de zon op het zonnepaneel

Hoe steil is 22 %? Met welke kracht glijdt een kist van een helling? Hoe hoog staat de zon in december, en onder welke hoek zet je een zonnepaneel? Allemaal vragen over hoeken en richtingen. In dit hoofdstuk leer je rekenen met sinus, cosinus en tangens in de rechthoekige driehoek, en werk je met vectoren: grootheden met een grootte én een richting, zoals kracht en snelheid. Je telt ze op, je ontbindt ze in stukken, en je kiest met echte zonnedata de beste hellingshoek voor het zonnepaneel van Habitat.

9× uitleg7× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code16 opdrachten in het werkboek± 10 lestijden

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies EEnergie

In december staat de middagzon in België maar 15,6° boven de horizon: een steil paneel vangt haar het best.

Na dit hoofdstuk

Je kan in een rechthoekige driehoek de zijden benoemen ten opzichte van een hoek en sinus, cosinus en tangens als verhoudingen schrijven.
Je kan met sinus, cosinus en tangens een onbekende zijde of hoek berekenen, en de rekenmachine correct gebruiken (graden, inverse functies).
Je kan een helling omrekenen van procent naar graden en omgekeerd, en uitleggen waarom 100 % geen verticale wand is.
Je kan vectoren tekenen, optellen met de kop-staartmethode en de parallellogrammethode, en het verschil met gewone getallen uitleggen.
Je kan een vector ontbinden in componenten en vectoren optellen met componenten, met grootte en richting van de resultante.
Je kan de zwaartekracht op een helling ontbinden in een component langs en een component loodrecht op de helling.
Je kan de zonnehoogte op het middaguur berekenen uit de breedtegraad en de declinatie, en er schaduwlengtes en de invalshoek op een zonnepaneel mee bepalen.
Je kan een hellingshoek voor een zonnepaneel kiezen en verantwoorden met een afweging tussen jaaropbrengst en winteropbrengst.

Uitleg · 6.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/22

Uit de wiskundeles ken je de stelling van Pythagoras: in een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden. Je kent gelijkvormige driehoeken: dezelfde hoeken, dus dezelfde verhoudingen tussen de zijden. In hoofdstuk F11 tekende je een kracht als pijl, met een grootte, een richting en een aangrijpingspunt; in hoofdstuk F13 zag je dat een driehoek een stijve vorm is.

Pythagoras verbindt de drie zijden, maar zegt niets over de hoeken. Hoe steil is een oprit van 6,40 m lang die 40 cm stijgt? Onder welke hoek staat een ladder? Hoe hoog staat de zon als een stok van 1 m een schaduw van 1,23 m geeft? Daarvoor heb je de goniometrie nodig ('hoekmeting'): sinus, cosinus en tangens. In dit hoofdstuk

reken je zijden en hoeken uit in een rechthoekige driehoek;
zet je een helling om van procent naar graden en terug;
werk je met vectoren: optellen, en ontbinden in componenten;
pas je alles toe op de kracht op een helling en op de hoek van de zon.

Een helling is een rechthoekige driehoek. Pythagoras geeft de lengte, maar voor de steilheid heb je de hoek α nodig.

Verhaal · 6.2

Eratosthenes meet de aarde met een schaduw

2/22

Rond 240 voor onze tijdrekening was Eratosthenes hoofd van de beroemde bibliotheek van Alexandrië, in Egypte. Volgens de overlevering hoorde hij dat de zon in Syene (het huidige Aswan), ver naar het zuiden, op de langste dag van het jaar om 12 uur recht boven stond: een verticale stok gaf er geen schaduw, en de zon scheen tot op de bodem van een diepe put. In Alexandrië gaf een verticale stok op datzelfde moment wel een schaduw.

Eratosthenes redeneerde met twee aannames: de aarde is een bol, en de zon staat zo ver weg dat haar stralen evenwijdig invallen. Dan is de hoek tussen de stok in Alexandrië en de zonnestralen even groot als de hoek tussen de twee steden, gemeten vanuit het middelpunt van de aarde (evenwijdige lijnen, gesneden door dezelfde rechte: overeenkomstige hoeken zijn gelijk). Die hoek mat hij: $\frac{1}{50}$ van een volle cirkel, 7,2°. De afstand tussen de twee steden schatte men op 5000 stadiën. Dan is de omtrek van de aarde $50 \cdot 5000 = 250000$ stadiën.

Hoe goed was dat? Niemand weet precies welke stadie Eratosthenes gebruikte; met de waarden die historici voorstellen (tussen ongeveer 157 en 185 m) kom je uit tussen 39 000 en 46 000 km. De echte omtrek over de polen is 40 008 km. Zijn methode was juist; de onzekerheid zat in de afstand en in het feit dat Syene niet precies ten zuiden van Alexandrië ligt.

Wat je uit dit verhaal meeneemt

Met een stok, een schaduw en een hoek mat iemand zonder ruimtevaart de omvang van de hele planeet. Hetzelfde idee gebruik je verderop: de lengte van een schaduw geeft de zonnehoogte, en de zonnehoogte geeft de beste hoek voor een zonnepaneel. In opdracht 6.15 doe je de meting van Eratosthenes over met twee scholen.

Evenwijdige zonnestralen: de hoek van de schaduw in Alexandrië is de hoek tussen de steden in het middelpunt van de aarde.

Uitleg · 6.3

Sinus, cosinus en tangens

3/22

Neem een rechthoekige driehoek en kies een van de scherpe hoeken, $α$ . Ten opzichte van die hoek hebben de zijden een naam: de schuine zijde (tegenover de rechte hoek, de langste), de overstaande rechthoekszijde (tegenover $α$ ) en de aanliggende rechthoekszijde (die samen met de schuine zijde de hoek $α$ vormt).

Alle rechthoekige driehoeken met dezelfde hoek $α$ zijn gelijkvormig: groter of kleiner, maar met dezelfde verhoudingen tussen hun zijden. Die verhoudingen hangen dus alleen van $α$ af, en krijgen een naam:

sinus, cosinus en tangens

sin α = \frac{overstaande}{schuine} cos α = \frac{aanliggende}{schuine} tan α = \frac{overstaande}{aanliggende}

Ezelsbruggetje: SOS CAS TOA (Sinus = Overstaande / Schuine, ...). Sinus en cosinus liggen tussen 0 en 1, want de schuine zijde is de langste. De tangens kan elk positief getal zijn.

Drie handige verbanden volgen er meteen uit:

$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ (deel teller en noemer door de schuine zijde);
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (dat is Pythagoras, gedeeld door het kwadraat van de schuine zijde);
de twee scherpe hoeken zijn samen 90°, en $sin α = cos (9 0^{\circ} - α)$ : wat voor de ene hoek overstaand is, is voor de andere aanliggend.

Een zijde berekenen. Ken je een hoek en een zijde, dan kies je de verhouding waarin de gekende en de gezochte zijde voorkomen. Een dak van 5,0 m lang staat onder 35°: het hoogteverschil is $5, 0 \cdot sin 3 5^{\circ} = 2, 87 m$ en de horizontale overspanning $5, 0 \cdot cos 3 5^{\circ} = 4, 10 m$ .

De namen van de zijden hangen af van de hoek waarvan je vertrekt. De kleinere driehoek met dezelfde hoek heeft dezelfde verhoudingen.

Uitleg · 6.4

Een hoek terugrekenen, en exacte waarden

4/22

Ken je twee zijden, dan ken je een verhouding, en zoek je de hoek die erbij hoort. Daarvoor heeft je rekenmachine de inverse functies $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ en $tan^{- 1}$ (ook boogsinus, boogcosinus en boogtangens genoemd; op een rekenblad en in Python: ASIN, ACOS, ATAN). Een oprit die 40 cm stijgt over 6,40 m horizontaal: $tan α = 0, 40/6, 40 = 0, 0625$ , dus $α = tan^{- 1} (0, 0625) = 3, 5 8^{\circ}$ .

Graden of radialen?

Een rekenmachine kan hoeken meten in graden (DEG) of in radialen (RAD), een andere eenheid waarbij een volle cirkel $2 π$ is. Staat hij op RAD, dan is $sin 30$ gelijk aan $- 0, 988$ in plaats van $0, 5$ . Controleer vóór een toets: $sin 30 = 0, 5$ ? Python en rekenbladen werken altijd in radialen: gebruik math.radians() of RADIANS() (opdracht 6.12).

Voor 30°, 45° en 60° bestaan exacte waarden, die je uit twee eenvoudige driehoeken haalt. Een vierkant met zijde 1, doormidden gesneden langs de diagonaal, geeft een driehoek met twee hoeken van 45° en een schuine zijde $2$ . Een gelijkzijdige driehoek met zijde 2, doormidden gesneden, geeft hoeken van 30° en 60°, rechthoekszijden 1 en $3$ .

$α$	0°	30°	45°	60°	90°
$sin α$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2} \approx 0, 707$	$\frac{3}{2} \approx 0, 866$	1
$cos α$	1	$\frac{3}{2} \approx 0, 866$	$\frac{2}{2} \approx 0, 707$	$\frac{1}{2}$	0
$tan α$	0	$\frac{3}{3} \approx 0, 577$	1	$3 \approx 1, 732$	bestaat niet

Links een half vierkant (45°), rechts een halve gelijkzijdige driehoek (30° en 60°). Lees de exacte waarden af als verhoudingen.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.5

Een ladder veilig plaatsen

5/22

Een ladder staat veilig als de voet op een kwart van de werkhoogte van de muur staat: 1 m uit de muur per 4 m hoogte (de '1-op-4-regel'). Onder welke hoek met de grond staat de ladder dan? Een ladder van 4,0 m wordt zo tegen een muur gezet. Hoe hoog reikt hij, en hoe ver staat de voet van de muur?

Gegeven

verhouding hoogte : afstand = 4 : 1
ladderlengte $s = 4, 0 m$

Gevraagd

hoek $α$ met de grond
hoogte en afstand tot de muur

Oplossing

1
Muur, grond en ladder vormen een rechthoekige driehoek. Ten opzichte van de hoek $α$ aan de grond is de hoogte de overstaande en de afstand de aanliggende rechthoekszijde.
2
$tan α = \frac{4}{1} = 4$ , dus $α = tan^{- 1} 4 = 76, 0^{\circ}$ .
3
De hoek hangt niet af van de lengte van de ladder: elke ladder volgens de regel staat onder 76°.
4
Hoogte: $4, 0 \cdot sin 76, 0^{\circ} = 3, 88 m$ . Afstand: $4, 0 \cdot cos 76, 0^{\circ} = 0, 97 m$ .

Antwoord

De ladder staat onder ongeveer 76° met de grond; hij reikt tot 3,88 m hoogte, met de voet 0,97 m van de muur.

Klopt dit? Pythagoras:

3, 8 8^{2} + 0, 9 7^{2} = 15, 05 + 0, 94 = 15, 99 \approx 4, 0^{2}

. En de verhouding:

3, 88/0, 97 = 4, 0

. Veiligheidsregels vermelden vaak 'ongeveer 75°': flauwer schuift de voet weg, steiler kiept de ladder achterover. Waarom precies, zie je met krachten en momenten in hoofdstuk 10.

Uitleg · 6.6

Hellingen in procent en in graden

6/22

Een helling van 10 % betekent: 10 m stijgen per 100 m horizontaal. Dat is de tangens van de hellingshoek, maal 100:

helling in procent en in graden

p = 100 % \cdot tan α α = tan^{- 1} (\frac{p}{100 %})

Bij kleine hellingen maakt het weinig uit of je per 100 m horizontaal of per 100 m langs de weg meet (bij 10 % geeft de tweede manier 9,95 % in plaats van 10 %); bij steile hellingen wel.

helling	hoek	voorbeeld
2 %	1,1°	spoorlijn, riolering (vaak nog minder)
5 %	2,9°	grens voor een lange oprit voor rolstoelen
10 %	5,7°	steile weg; zwaar voor een fietser
22 %	12,4°	steilste stuk van de Koppenberg (Ronde van Vlaanderen)
48 %	25,6°	Pilatusbahn (Zwitserland), de steilste tandradbaan ter wereld
100 %	45°	even hoog als lang: een trap is vaak nog steiler

Gevaarsborden voor een steile helling of een gevaarlijke daling vermelden het hellingspercentage. Spoorwegen en rioleringen rekenen soms in promille (‰, per 1000): een rioolbuis van 5 ‰ daalt 5 mm per meter.

100 % is verticaal

100 % betekent 100 m stijgen per 100 m horizontaal: $tan α = 1$ , dus 45°. Een verticale wand heeft geen horizontale afstand: zijn helling in procent is oneindig groot. En een helling van 20 % is niet 'twee keer zo steil als 10 %' in graden: 11,3° tegenover 5,7°, bijna dubbel, maar bij grote hellingen wijkt het verband duidelijk af van evenredig (100 % is 45°, 200 % is 63,4°).

Vier hellingen op schaal: 10 %, 22 %, 48 % en 100 %. De hoek groeit trager dan het percentage.

Een gevaarsbord voor een steile helling: het getal is de helling in procent.

Op zo'n kasseienhelling voelen 22 % en 12,4° heel anders dan ze op papier lijken.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.7

Habitat: een toegankelijke oprit naar de module

7/22

De vloer van de klimaatmodule ligt 40 cm boven het terrein. Iedereen moet binnen kunnen, ook met een rolstoel of een zware kar. In Vlaanderen legt de verordening toegankelijkheid de grootste helling vast volgens het hoogteverschil (tabel). Hoe lang wordt de oprit, onder welke hoek, en is er een tussenbordes nodig?

te overbruggen hoogteverschil	helling hoogstens
tot 10 cm	10 %
10 tot 25 cm	8,3 %
25 tot 35 cm	7 %
35 tot 50 cm	6,25 %
meer dan 50 cm	5 %

Per 50 cm hoogteverschil, of na 10 m helling, komt er een vlak tussenbordes van minstens 1,50 m. (Vlaamse stedenbouwkundige verordening toegankelijkheid, artikel 19.)

Op schaal getekend is een helling van 6,25 % een bijna vlakke wig: 40 cm over 6,40 m.

Gegeven

hoogteverschil $0, 40 m$
de tabel met de toegelaten hellingen

Gevraagd

toegelaten helling, horizontale lengte, lengte langs de helling, hoek

Oplossing

1
40 cm valt in de klasse 35 tot 50 cm: hoogstens 6,25 %.
2
Horizontale lengte: $tan α = 0, 0625 = \frac{0 , 40 m}{x}$ , dus $x = \frac{0 , 40}{0 , 0625} = 6, 40 m$ .
3
Hoek: $α = tan^{- 1} (0, 0625) = 3, 5 8^{\circ}$ .
4
Lengte langs de helling: $\frac{0 , 40}{sin 3 , 5 8 ^{\circ}} = 6, 41 m$ (of met Pythagoras: $6, 4 0^{2} + 0, 4 0^{2} = 6, 41 m$ ).
5
Tussenbordes: het hoogteverschil is kleiner dan 50 cm en de helling korter dan 10 m: niet nodig. Wel een vlak bordes van minstens 1,50 m bovenaan, voor de deur, om te draaien.

Antwoord

Een oprit van 6,40 m horizontaal (6,41 m langs de helling) onder 3,6°, zonder tussenbordes, met een vlak bordes aan de deur.

Klopt dit? 3,6° lijkt weinig, maar voor iemand die zichzelf in een rolstoel omhoog duwt, is 6 % al zwaar werk: daarom wordt de grens strenger naarmate het hoogteverschil groter is. Hoeveel kracht er nodig is om een kar van 80 kg over deze oprit te duwen, reken je uit in het voorbeeld over de batterijkar.

Uitleg · 6.8

Vectoren: grootte en richting

8/22

Een massa van 5 kg, een temperatuur van 20 °C, een energie van 300 J: die grootheden liggen volledig vast met een getal en een eenheid. Het zijn scalairen. Een kracht van 50 N is niet volledig beschreven: omhoog of opzij? Een snelheid van 3 m/s: naar het noorden of naar het oosten? Zulke grootheden hebben een grootte en een richting. Het zijn vectoren.

Je tekent een vector als een pijl: de lengte is de grootte (op een gekozen schaal), de pijl wijst de richting. In tekst schrijf je een vector met een pijltje, $F$ , en de grootte zonder pijltje, $F$ (of $∣ F ∣$ ). Voorbeelden: kracht, snelheid, verplaatsing, versnelling, het elektrisch veld.

Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en dezelfde richting hebben, waar ze ook getekend staan. (Bij krachten telt ook het aangrijpingspunt voor het draaien, hoofdstuk 10.)
De tegengestelde vector $- a$ heeft dezelfde grootte en de omgekeerde richting.
Een vector maal een getal: $2 a$ is twee keer zo lang, zelfde richting; $- 2 a$ twee keer zo lang, omgekeerde richting.

Vectoren tel je op als getallen

Twee krachten van 30 N en 40 N geven samen niet altijd 70 N. In dezelfde richting wel; tegengesteld 10 N; loodrecht op elkaar 50 N (Pythagoras). De som van twee vectoren hangt af van hun richtingen, en ligt altijd tussen het verschil en de som van hun groottes.

De twee pijlen a zijn dezelfde vector; −a wijst de andere kant op, 2a is dubbel zo lang, b heeft een andere richting.

Uitleg · 6.9

Vectoren optellen: kop-staart en parallellogram

9/22

Loop 4 stappen naar rechts en 1 omhoog, en daarna 1 naar rechts en 3 omhoog. Waar kom je uit? De verplaatsingen tel je op door ze achter elkaar te zetten. Dat is de kop-staartmethode: zet de staart van $b$ aan de kop van $a$ . De resultante $a + b$ loopt van de staart van $a$ naar de kop van $b$ .

Bij krachten die in hetzelfde punt aangrijpen, is de parallellogrammethode natuurlijker: teken beide pijlen vanuit hetzelfde punt, vul aan tot een parallellogram, en de diagonaal vanuit dat punt is de som. Het is dezelfde constructie: de overstaande zijden van een parallellogram zijn gelijke vectoren.

De volgorde maakt niet uit: $a + b = b + a$ (de twee helften van het parallellogram).
Meer dan twee vectoren: blijf kop aan staart zetten. Komt de laatste kop terug bij de eerste staart, dan is de som nul: de krachten zijn in evenwicht (hoofdstuk 8).
Aftrekken is de tegengestelde optellen: $a - b = a + (- b)$ .

Op ruitjespapier met een goede schaal kan je de resultante meten (lengte met een lat, richting met een gradenboog). Nauwkeuriger is rekenen: staan de twee vectoren loodrecht op elkaar, dan geeft Pythagoras de grootte en de tangens de richting. Anders ontbind je ze eerst (twee bladen verder).

Links kop aan staart, rechts het parallellogram: dezelfde resultante a + b.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.10

Een boot steekt een rivier over

10/22

Een motorboot vaart ten opzichte van het water aan 3,0 m/s, met de neus loodrecht op de oever. De rivier is 60 m breed en stroomt aan 1,5 m/s. Wat is de snelheid van de boot ten opzichte van de oever, onder welke hoek beweegt hij, hoe lang duurt de oversteek, en hoe ver drijft hij af?

De snelheid van de boot en die van de stroming geven samen een schuine baan: 30 m afdrijven over 60 m breedte.

Gegeven

$v_{boot} = 3, 0 m/s$ loodrecht op de oever
$v_{stroom} = 1, 5 m/s$ langs de oever
breedte 60 m

Gevraagd

$v$ ten opzichte van de oever (grootte, hoek)
tijd en afdrijven

Oplossing

1
De snelheid ten opzichte van de oever is de som van de twee vectoren: $v = v_{boot} + v_{stroom}$ . Kop aan staart vormen ze een rechthoekige driehoek.
2
Grootte (Pythagoras): $v = 3, 0^{2} + 1, 5^{2} = 11, 25 = 3, 35 m/s$ .
3
Hoek met de loodlijn op de oever: $tan α = \frac{1 , 5}{3 , 0} = 0, 5$ , dus $α = 26, 6^{\circ}$ stroomafwaarts.
4
Tijd: de stroming draagt niets bij in de richting dwars op de oever. De boot overbrugt de 60 m aan 3,0 m/s: $t = 60/3, 0 = 20 s$ .
5
Afdrijven: in die 20 s neemt de stroming de boot mee over $1, 5 \cdot 20 = 30 m$ .

Antwoord

De boot beweegt aan 3,35 m/s onder 26,6° met de loodlijn, is na 20 s aan de overkant, en komt 30 m stroomafwaarts aan land.

Klopt dit? De lengte van de schuine baan is

6 0^{2} + 3 0^{2} = 67, 1 m

, en

67, 1/3, 35 = 20 s

: klopt. Wil de schipper recht naar de overkant, dan moet hij de neus schuin stroomopwaarts richten (opdracht 6.7).

Uitleg · 6.11

Ontbinden in componenten

11/22

Elke vector kan je schrijven als de som van twee loodrechte vectoren langs gekozen assen, meestal horizontaal en verticaal: zijn componenten. Maakt $F$ een hoek $α$ met de $x$ -as, dan vormen $F$ en zijn componenten een rechthoekige driehoek:

componenten van een vector

F_{x} = F cos α F_{y} = F sin α F = F_{x}^{2} + F_{y}^{2} tan α = \frac{F _{y}}{F _{x}}

Ontbinden (links) en terug samenstellen (rechts). Let bij

tan^{- 1}

op het kwadrant: wijst de vector naar links (

F_{x} < 0

), tel dan 180° bij de hoek die de rekenmachine geeft, of redeneer met een schets.

Het grote voordeel: vectoren optellen wordt getallen optellen. De $x$ -component van de som is de som van de $x$ -componenten, en zo ook voor $y$ . Daarna geeft Pythagoras de grootte van de resultante en de tangens haar richting. Zo tel je drie, vier of tien krachten op zonder te tekenen, en zo doen computers het ook.

Welke assen? Je mag ze vrij kiezen, zolang ze loodrecht staan. Kies ze slim: langs de beweging en loodrecht erop. Bij een voorwerp op een helling leg je de ene as langs de helling (volgende bladen).

De kracht F is de diagonaal van de rechthoek met zijden Fx en Fy.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.12

Twee sleepboten trekken aan een schip

12/22

Twee sleepboten trekken een schip de haven in. Sleepboot 1 trekt met 20 kN onder 30° boven de vaarrichting, sleepboot 2 met 15 kN onder 20° eronder. Bereken de resultante kracht: hoe groot, en in welke richting?

Het parallellogram van de twee krachten: de diagonaal is de resultante van 31,8 kN.

Gegeven

$F_{1} = 20 kN$ onder $+ 3 0^{\circ}$
$F_{2} = 15 kN$ onder $- 2 0^{\circ}$ (ten opzichte van de vaarrichting, de $x$ -as)

Gevraagd

grootte en richting van $R = F_{1} + F_{2}$

Oplossing

1
Componenten van $F_{1}$ : $F_{1 x} = 20 cos 3 0^{\circ} = 17, 32 kN$ ; $F_{1 y} = 20 sin 3 0^{\circ} = 10, 00 kN$ .
2
Componenten van $F_{2}$ : $F_{2 x} = 15 cos (- 2 0^{\circ}) = 14, 10 kN$ ; $F_{2 y} = 15 sin (- 2 0^{\circ}) = - 5, 13 kN$ .
3
Optellen per component: $R_{x} = 17, 32 + 14, 10 = 31, 42 kN$ ; $R_{y} = 10, 00 - 5, 13 = 4, 87 kN$ .
4
Grootte: $R = 31, 4 2^{2} + 4, 8 7^{2} = 31, 8 kN$ . Richting: $tan α = 4, 87/31, 42$ , dus $α = 8, 8^{\circ}$ boven de vaarrichting.

Antwoord

De resultante is 31,8 kN onder 8,8° boven de vaarrichting: minder dan 20 + 15 = 35 kN, omdat de sleepboten deels tegen elkaar in trekken.

Klopt dit? Van de 35 kN gaat 31,4 kN in de vaarrichting; de dwarscomponenten (

+ 10, 0

- 5, 1 kN

) heffen elkaar gedeeltelijk op. Wil de kapitein recht vooruit, dan moet sleepboot 2 de hoek vergroten of harder trekken tot

F_{2 y} = - 10, 0 kN

. Een tekening op schaal (10 px per kN) geeft dezelfde resultante, met een meetfout van een paar procent.

Uitleg · 6.13

De zwaartekracht op een helling

13/22

Op een blok op een helling werkt de zwaartekracht $F_{z} = m \cdot g$ , recht naar beneden. Voor de beweging langs de helling is het handig die kracht te ontbinden langs twee assen: langs de helling en loodrecht erop.

zwaartekracht op een helling, ontbonden

F_{∥} = m g sin α F_{⊥} = m g cos α

α

is de hellingshoek.

F_{∥}

trekt het blok langs de helling naar beneden,

F_{⊥}

drukt het tegen de helling.

Waarom staat hier $α$ ? De zwaartekracht staat loodrecht op de grond, en $F_{⊥}$ staat loodrecht op de helling. Twee hoeken waarvan de benen twee aan twee loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk: de hoek tussen $F_{z}$ en $F_{⊥}$ is dus de hellingshoek $α$ . Tegenover die hoek ligt $F_{∥}$ : $F_{∥} = F_{z} sin α$ .

Controleer met de uitersten. Bij $α = 0^{\circ}$ (vlak) is $F_{∥} = 0$ en drukt het hele gewicht op de grond. Bij $α = 9 0^{\circ}$ (verticale wand) is $F_{∥} = m g$ : vrije val langs de wand. Bij 45° zijn de twee even groot. Wie een formule met sin en cos niet vertrouwt, test haar zo op 0° en 90°.

Vooruitblik

$F_{⊥}$ wordt gecompenseerd door de normaalkracht van de helling op het blok, en $F_{∥}$ door wrijving, zolang het blok niet glijdt. Hoe groot de wrijving kan worden, en wat er gebeurt als $F_{∥}$ wint, is het onderwerp van hoofdstuk 8 (de wetten van Newton). Hoeveel arbeid je levert om iets langs een helling omhoog te duwen, zie je in hoofdstuk 9.

Fz ontbonden langs en loodrecht op de helling. De hoek tussen Fz en F⊥ is de hellingshoek α.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.14

Habitat: de batterijkar op de oprit

14/22

De batterijen van de klimaatmodule worden met een kar naar binnen gereden: kar en batterijen samen 80 kg. Met welke kracht (evenwijdig aan de helling) moet je minstens duwen om de kar met constante snelheid over de oprit van 6,25 % te krijgen, als je wrijving verwaarloost? Vergelijk met een oprit van 20 % en met recht omhoog tillen.

De kracht langs de helling groeit bijna evenredig met het hellingspercentage, zolang de helling klein is.

Gegeven

$m = 80 kg$ , $g = 9, 81 N/kg$
hellingen 6,25 % en 20 %

Gevraagd

$F_{∥}$ bij beide hellingen
vergelijking met tillen

Oplossing

1
Gewicht: $F_{z} = 80 \cdot 9, 81 = 785 N$ .
2
6,25 %: $α = tan^{- 1} (0, 0625) = 3, 5 8^{\circ}$ . $F_{∥} = 785 \cdot sin 3, 5 8^{\circ} = 49 N$ . $F_{⊥} = 785 \cdot cos 3, 5 8^{\circ} = 783 N$ : bijna het hele gewicht drukt op de oprit.
3
20 %: $α = tan^{- 1} (0, 20) = 11, 3^{\circ}$ . $F_{∥} = 785 \cdot sin 11, 3^{\circ} = 154 N$ .
4
Met constante snelheid en zonder wrijving moet je duwkracht de component $F_{∥}$ precies compenseren (hoofdstuk 8). Recht omhoog tillen vraagt 785 N.

Antwoord

Minstens 49 N op de oprit van 6,25 %, 154 N op een oprit van 20 %, tegenover 785 N om recht omhoog te tillen. Een flauwe helling deelt de kracht door 16.

Klopt dit? Er is geen gratis lunch: over de flauwe helling duw je 6,41 m ver, bij tillen hef je 0,40 m. Kracht maal weg is in beide gevallen ongeveer 314 J (49 N × 6,41 m en 785 N × 0,40 m): de arbeid is dezelfde, zoals je in hoofdstuk 9 leert. In werkelijkheid komt er rolweerstand bij, typisch enkele procenten van het gewicht: reken op ongeveer 70 N op de oprit.

Ontleed · 6.15

De zon en het zonnepaneel

15/22

Hoeveel zonlicht een paneel vangt, hangt af van de hoek waaronder de stralen invallen. De figuur toont de situatie op het middaguur rond 21 maart of 21 september in België: de zon staat 39° hoog in het zuiden, het paneel helt 39°. Wijs de nummers aan.

Zijaanzicht van zuid (links) naar noord (rechts), met de hoeken op schaal.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Evenwijdige stralen
De zon staat zo ver weg (150 miljoen km) dat haar stralen op een paneel, een stok of een gebouw evenwijdig invallen, zoals Eratosthenes aannam.
2
Zonnehoogte h
De hoek tussen de zonnestraal en de horizontale grond. Op het middaguur staat de zon in België in het zuiden, op zijn hoogst van die dag.
3
Hellingshoek β
De hoek tussen het paneel en de horizontale. Het paneel kijkt naar het zuiden; zijn lage rand ligt aan de zuidkant.
4
De normaal
De lijn loodrecht op het paneel. Ze maakt een hoek β met de verticale, dus een hoek 90° − β met de horizontale: hier 51°.
5
Invalshoek θ
De hoek tussen de zonnestraal en de normaal: $θ = ∣ (9 0^{\circ} - β) - h ∣ = ∣5 1^{\circ} - 3 9^{\circ} ∣ = 1 2^{\circ}$ . Het paneel vangt een fractie $cos θ = cos 1 2^{\circ} = 0, 98$ van wat een paneel loodrecht op de stralen zou vangen. Bij $θ = 0^{\circ}$ vangt het alles.
6
Schaduw
Achter het paneel ligt een schaduw. Een punt op hoogte $H$ werpt een schaduw tot op $H / tan h$ verder: hoe lager de zon, hoe langer de schaduw. Belangrijk als je rijen panelen achter elkaar zet.

Uitleg · 6.16

Hoe hoog staat de zon?

16/22

De aardas staat 23,44° schuin ten opzichte van de baan van de aarde rond de zon. Daardoor verschuift het punt waar de zon op het middaguur loodrecht boven staat in de loop van het jaar: rond 21 juni ligt het op 23,44° noorderbreedte (de Kreeftskeerkring), rond 21 december op 23,44° zuiderbreedte (de Steenbokskeerkring), en rond 21 maart en 23 september op de evenaar. Die breedtegraad heet de declinatie $δ$ van de zon. Ze ligt altijd tussen −23,44° en +23,44°.

zonnehoogte op het middaguur (noordelijk halfrond, buiten de tropen)

h = 9 0^{\circ} - φ + δ

φ

is de breedtegraad van de plaats,

δ

de declinatie van de zon op die dag. Op de evenaar (

φ = 0

) staat de zon bij de equinox loodrecht (

h = 9 0^{\circ}

Voor België ( $φ \approx 5 1^{\circ}$ ):

datum (ongeveer)	declinatie $δ$	zonnehoogte $h$	schaduw van een stok van 1 m
21 juni	+23,44°	62,4°	0,52 m
21 maart, 23 september	0°	39,0°	1,23 m
21 december	−23,44°	15,6°	3,59 m

De schaduw van een stok met hoogte $H$ is $H / tan h$ . Omgekeerd meet je de zonnehoogte met een stok en een rolmeter: $h = tan^{- 1} (H / schaduw)$ (volgende blad).

Middaguur is niet 12 uur

Het middaguur is het moment waarop de zon precies in het zuiden staat, op haar hoogst. In België valt dat niet om 12 uur op de klok: in de winter ongeveer tussen 12.25 en 13.00 uur, in de zomer (zomertijd) rond 13.30 à 13.50 uur. De verschuiving komt door de tijdzone, de zomertijd en de ellipsvormige baan van de aarde.

Wie de declinatie op elke dag wil, kan een benadering gebruiken: $δ \approx - 23, 4 4^{\circ} \cdot cos (\frac{36 0 ^{\circ}}{365} \cdot (N + 10))$ , met $N$ het dagnummer (1 januari = 1). Ze zit hoogstens ongeveer 1,3° naast de echte waarde. Hoe je een cosinus van een hoek groter dan 90° uitrekent, leer je later; de rekenmachine en Python doen het al.

De middagzon in België schommelt tussen 15,6° en 62,4°: een verschil van 47°, twee keer de schuine stand van de aardas.

Proef · 6.17

De zonnehoogte meten met een schaduwstok

17/22

Onderzoeksvraag

Hoe hoog staat de zon op het middaguur, en kan je uit je meting de breedtegraad van je school afleiden?

Materiaal

rechte stok of bezemsteel, precies 1,000 m boven de grond
schietlood of waterpas
rolmeter
krijt of piketten
een vlakke, horizontale ondergrond en een zonnige dag
klok

VeiligheidKijk nooit rechtstreeks in de zon, ook niet even: je meet de schaduw, niet de zon.

Stok, schaduw en zonnestraal vormen een rechthoekige driehoek: de tangens van h is stok gedeeld door schaduw.

Werkwijze

1Zet de stok verticaal op een vlakke ondergrond (controleer met het schietlood of de waterpas).
2Markeer vanaf ongeveer een half uur vóór het middaguur om de 5 minuten het uiteinde van de schaduw met krijt.
3De kortste schaduw hoort bij het middaguur (dan wijst de schaduw ook precies naar het noorden). Meet haar lengte.
4Bereken de zonnehoogte: $tan h = 1, 000 m / schaduw$ .
5Zoek de declinatie van die dag op (of bereken ze met de benadering) en bereken de breedtegraad: $φ = 9 0^{\circ} - h + δ$ .

Waarneming

Meting op 21 maart (declinatie ongeveer 0°): de kortste schaduw is 1,23 m, om 12.50 uur. $h = tan^{- 1} (1, 000/1, 23) = 39, 1^{\circ}$ .

Verklaring

$φ = 9 0^{\circ} - 39, 1^{\circ} + 0^{\circ} = 50, 9^{\circ}$ : de breedtegraad van Brussel (50,85°) tot op 0,1°. Een schaduwfout van 1 cm verandert $h$ met ongeveer 0,2°: nauwkeurig meten loont.

Foutenbronnen: een stok die niet verticaal staat, een grond die niet horizontaal ligt, de vage rand van de schaduw (de zon is geen punt, maar een schijf van een halve graad), en het moment van meten. Rond het middaguur verandert de schaduwlengte heel traag, dus een paar minuten ernaast geeft weinig fout.

De krijtstreepjes volgen het uiteinde van de schaduw; de kortste hoort bij het middaguur.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.18

Hoe ver moeten twee rijen zonnepanelen uit elkaar?

18/22

Op een plat dak komen twee rijen zonnepanelen achter elkaar, op het zuiden, met een hellingshoek van 60°. Elk paneel is 1,00 m lang in de hellingsrichting. Hoe ver moeten de rijen uit elkaar staan, zodat de voorste rij de achterste op 21 december om 12 uur zonnetijd niet beschaduwt?

De stippellijn is de laatste zonnestraal die de voorste rij net raakt; daar mag de volgende rij beginnen.

Gegeven

paneellengte $L = 1, 00 m$ , $β = 6 0^{\circ}$
zonnehoogte op 21 december $h = 15, 6^{\circ}$

Gevraagd

de rijafstand (van onderrand tot onderrand)

Oplossing

1
Hoogte van de bovenrand: $H = L sin β = 1, 00 \cdot sin 6 0^{\circ} = 0, 87 m$ .
2
Horizontale diepte van het paneel: $L cos β = 1, 00 \cdot cos 6 0^{\circ} = 0, 50 m$ .
3
Schaduw van de bovenrand, voorbij de bovenrand: $H / tan h = 0, 87/ tan 15, 6^{\circ} = 3, 11 m$ .
4
Rijafstand: $0, 50 + 3, 11 = 3, 61 m$ .

Antwoord

De rijen moeten minstens 3,61 m uit elkaar staan (onderrand tot onderrand). Bij een hellingshoek van 39° zou 3,04 m volstaan, maar het paneel vangt dan minder winterzon.

Klopt dit? De rest van de dag staat de zon lager dan op het middaguur, dus 's ochtends en 's avonds is er toch wat schaduw. Ontwerpers nemen daarom vaak het middaguur van 21 december als ondergrens, of aanvaarden wat schaduw in december. De ruimte tussen de rijen is de prijs voor steile panelen.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.19

Habitat: de beste hellingshoek van het zonnepaneel

19/22

De klimaatmodule draait op eigen zonnestroom, met een batterij. Welke hellingshoek geef je het paneel (op het zuiden)? Werk in twee stappen: eerst met de zonnehoogte op het middaguur, daarna met echte jaardata uit PVGIS, het rekenprogramma van het Joint Research Centre van de Europese Commissie (Brussel, per kWp geïnstalleerd vermogen).

hellingshoek	jaar (kWh/kWp)	december	januari	juni
0°	869	14,3	18,2	127,8
20°	998	26,4	30,9	129,1
39°	1041	34,9	39,6	122,1
60°	990	40,0	44,4	104,3
75°	891	40,7	44,7	85,6
90°	746	39,0	42,4	63,6

Maandopbrengst per kWp (PVGIS, Brussel): 60° levert minder in de zomer, maar meer van oktober tot februari dan 39°.

Gegeven

$φ = 5 1^{\circ}$ ; $h$ tussen 15,6° en 62,4°
maand- en jaaropbrengsten per hellingshoek (tabel)

Gevraagd

de hellingshoek voor de grootste jaaropbrengst
de hellingshoek voor de klimaatmodule, met verantwoording

Oplossing

1
Loodrecht op de middagzon staat een paneel als de normaal naar de zon wijst: $9 0^{\circ} - β = h$ , dus $β = 9 0^{\circ} - h = φ - δ$ . In juni is dat $27, 6^{\circ}$ , bij de equinoxen $5 1^{\circ}$ , in december $74, 4^{\circ}$ .
2
Een vast paneel moet dus een compromis kiezen. Omdat de dagen in de zomer lang en zonnig zijn, weegt de zomer zwaarder door: PVGIS geeft de grootste jaaropbrengst bij $3 9^{\circ}$ (1041 kWh per kWp), iets minder dan de breedtegraad. Een vuistregel voor België: breedtegraad min ongeveer 12°.
3
De klimaatmodule heeft een batterij die ook in de winter elke nacht moet volstaan. Vergelijk 60° met 39°: jaar $990/1041 = 0, 95$ (−5 %), december $40, 0/34, 9 = 1, 15$ (+15 %), januari $44, 4/39, 6 = 1, 12$ (+12 %).
4
Steiler dan 60° levert in de winter nauwelijks nog iets op (75°: december 40,7, +2 %), maar kost veel in de zomer (jaar −10 %). Een steil paneel heeft nog een voordeel: sneeuw glijdt er sneller af.

Antwoord

Voor de grootste jaaropbrengst: 39°. Voor de klimaatmodule, waar de donkerste maanden de batterij bepalen: 60°. Je verliest 5 % op een heel jaar, maar wint 12 à 15 % in december en januari, precies wanneer de energie het schaarst is.

Klopt dit? Het middaguurmodel (stap 1) en de PVGIS-data (stap 2) wijzen dezelfde kant op: steiler voor de winter, vlakker voor de zomer. Het model houdt geen rekening met bewolking, diffuus licht en de lengte van de dag; daarom kies je de hoek met de echte data en gebruik je het model om te begrijpen waarom. Hoeveel wattpiek en welke batterij de module nodig heeft, reken je uit in hoofdstuk 20.

Code · 6.20

De zonnestand in Python

20/22

Het programma berekent voor vier dagen de declinatie (met de benadering van het vorige blad), de zonnehoogte op het middaguur, en voor een paneel op 39° en op 60° de factor $cos θ$ : het deel van de rechtstreekse middagzon dat het paneel vangt. Let op math.radians(): Python rekent met radialen.

Pythonzonnestand.py21 regelsDownload

# zonnestand.py - zonnehoogte op het middaguur en de invalshoek op een schuin zonnepaneelimport math BREEDTE = 51.0                     # breedtegraad van België (graden noorderbreedte)DAGEN = {"21 maart": 80, "21 juni": 172, "21 september": 264, "21 december": 355}  def declinatie(dag):    """Benadering van de declinatie van de zon (in graden) op dag 1 tot 365 van het jaar."""    return -23.44 * math.cos(math.radians(360 / 365 * (dag + 10)))  for naam, dag in DAGEN.items():    delta = declinatie(dag)    hoogte = 90 - BREEDTE + delta                     # zonnehoogte op het middaguur (graden)    regel = f"{naam:13s} declinatie {delta:6.1f}  zonnehoogte {hoogte:5.1f}"    for kanteling in (39, 60):        invalshoek = abs(90 - kanteling - hoogte)      # hoek tussen zonnestraal en normaal van het paneel        factor = math.cos(math.radians(invalshoek))    # deel van de straling dat 'recht' invalt        regel += f"  paneel {kanteling}: {factor:.2f}"    print(regel)

De factor cos θ door het jaar, berekend met dezelfde formules: 60° wint van oktober tot februari, 39° de rest van het jaar.

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

21 maart      declinatie   -0.5  zonnehoogte  38.5  paneel 39: 0.98  paneel 60: 0.99
21 juni       declinatie   23.4  zonnehoogte  62.4  paneel 39: 0.98  paneel 60: 0.84
21 september  declinatie   -0.1  zonnehoogte  38.9  paneel 39: 0.98  paneel 60: 0.99
21 december   declinatie  -23.4  zonnehoogte  15.6  paneel 39: 0.81  paneel 60: 0.97

In december vangt het paneel op 60° 97 % van de middagzon, het paneel op 39° maar 81 %; in juni is het omgekeerd (84 % tegenover 98 %). Rond de equinoxen doen ze allebei bijna alles. De benadering geeft voor 21 maart een declinatie van −0,5° in plaats van ongeveer 0°: de fout van ongeveer een halve graad zie je in de zonnehoogte terug (38,5° in plaats van 39,0°).

Naslag · 6.21

Overzicht: goniometrie en vectoren

21/22

in de rechthoekige driehoek

sin α = \frac{o}{s} cos α = \frac{a}{s} tan α = \frac{o}{a}

symbool	betekenis	eenheid
$o$	overstaande rechthoekszijde	m
$a$	aanliggende rechthoekszijde	m
$s$	schuine zijde	m

verbanden

tan α = \frac{sin α}{cos α} sin^{2} α + cos^{2} α = 1 sin α = cos (9 0^{\circ} - α)

helling in procent

p = 100 % \cdot tan α

componenten van een vector

F_{x} = F cos α F_{y} = F sin α F = F_{x}^{2} + F_{y}^{2}

vectoren optellen met componenten

R_{x} = F_{1 x} + F_{2 x} R_{y} = F_{1 y} + F_{2 y} tan α_{R} = \frac{R _{y}}{R _{x}}

zwaartekracht op een helling

F_{∥} = m g sin α F_{⊥} = m g cos α

zonnehoogte op het middaguur

h = 9 0^{\circ} - φ + δ - 23, 4 4^{\circ} \leq δ \leq + 23, 4 4^{\circ}

symbool	betekenis	eenheid
$φ$	breedtegraad	°
$δ$	declinatie van de zon	°

schaduw en invalshoek (zon in het zuiden)

schaduw = \frac{H}{tan h} θ = ∣ (9 0^{\circ} - β) - h ∣ fractie = cos θ

symbool	betekenis	eenheid
$H$	hoogte van het voorwerp	m
$β$	hellingshoek van het paneel	°
$θ$	invalshoek	°

$α$	0°	30°	45°	60°	90°
$sin α$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2} \approx 0, 707$	$\frac{3}{2} \approx 0, 866$	1
$cos α$	1	$\frac{3}{2} \approx 0, 866$	$\frac{2}{2} \approx 0, 707$	$\frac{1}{2}$	0
$tan α$	0	$\frac{3}{3} \approx 0, 577$	1	$3 \approx 1, 732$	bestaat niet

helling	hoek	voorbeeld
2 %	1,1°	spoorlijn, riolering (vaak nog minder)
5 %	2,9°	grens voor een lange oprit voor rolstoelen
10 %	5,7°	steile weg; zwaar voor een fietser
22 %	12,4°	steilste stuk van de Koppenberg (Ronde van Vlaanderen)
48 %	25,6°	Pilatusbahn (Zwitserland), de steilste tandradbaan ter wereld
100 %	45°	even hoog als lang: een trap is vaak nog steiler

controlelijst
rekenmachine op DEG; in Python en rekenbladen graden omzetten naar radialen
schets met de hoek en de namen van de zijden ten opzichte van díe hoek
test op 0° en 90°: geeft de formule het verwachte uiterste?
vectoren: grootte én richting in het antwoord, met eenheid
bij tan⁻¹ het kwadrant controleren met een schets

Het geheel · 6.22

Waar hoeken en vectoren terugkomen

22/22

Goniometrie en vectoren zijn het gereedschap van de hele mechanica: zodra krachten en snelheden niet op één lijn liggen, ontbind je ze. Ze zijn ook het gereedschap van de zonne-energie: de hoek van de zon bepaalt hoeveel energie een paneel oogst. En de sinus komt terug als functie van de tijd, in trillingen en wisselstroom.

F11 Krachten

Kracht als pijl met grootte, richting en aangrijpingspunt: de eerste vector.

F13 Constructies: sterk en stabiel

De driehoek als stijf element; in een vakwerk ontbind je de staafkrachten met sinus en cosinus.

I7 Beweging beschrijven

Verplaatsing, snelheid en versnelling zijn vectoren; vallen en rijden langs een lijn is het eendimensionale geval.

I8 De wetten van Newton

Het vrijlichaamsdiagram en het voorwerp op een helling, met normaalkracht en wrijving.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Arbeid is kracht maal weg langs de kracht: een flauwe helling vraagt minder kracht over een langere weg.

I10 Moment en evenwicht

Evenwicht: de som van alle krachtvectoren is nul, en ook de som van de momenten.

I20 Zonne-energie dimensioneren

De invalshoek bepaalt de instraling op het paneel; daar kies je wattpiek en batterij.

E5 Vectoren en matrices

Vectoren in drie dimensies, het scalair product (arbeid) en het vectorproduct (moment).

E7 Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

Sinus en cosinus als functies van een draaiende hoek, en fasoren om sinussen op te tellen als vectoren.

E8 Beweging in twee dimensies

De schuine worp: de beginsnelheid ontbonden in een horizontale en een verticale component.

HabitatVoor Habitat leggen we vast: het zonnepaneel van de klimaatmodule staat op het zuiden onder een hellingshoek van 60°, gekozen voor de winteropbrengst (−5 % per jaar, +12 à 15 % in december en januari ten opzichte van het jaaroptimum van 39°). Twee rijen panelen van 1,00 m staan minstens 3,61 m uit elkaar. De oprit naar de module is 6,40 m lang (6,25 %). In opdracht 6.13 maak je de keuze zelf.

Samenvatting

In het kort

In een rechthoekige driehoek: $sin α = o / s$ , $cos α = a / s$ , $tan α = o / a$ . De verhoudingen hangen alleen van de hoek af (gelijkvormigheid).
Een hoek terugrekenen doe je met $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ of $tan^{- 1}$ , met de rekenmachine op graden. Exacte waarden bij 30°, 45° en 60° komen uit een half vierkant en een halve gelijkzijdige driehoek.
Een helling in procent is $100 % \cdot tan α$ : 10 % is 5,7°, 100 % is 45°, en een verticale wand heeft geen eindig percentage.
Vectoren hebben een grootte en een richting. Je telt ze op met kop-staart of met een parallellogram; de som hangt af van de richtingen.
Ontbinden: $F_{x} = F cos α$ , $F_{y} = F sin α$ . Met componenten tel je vectoren op als getallen, en Pythagoras en de tangens geven grootte en richting van de resultante.
Op een helling ontbind je de zwaartekracht in $F_{∥} = m g sin α$ langs en $F_{⊥} = m g cos α$ loodrecht op de helling.
De middagzon staat op $h = 9 0^{\circ} - φ + δ$ ; in België tussen 15,6° en 62,4°. Een schaduw is $H / tan h$ lang.
Een paneel vangt een fractie $cos θ$ van de rechtstreekse straling. De beste vaste hoek hangt af van wat je wil: 39° voor het jaar, 60° voor de winter.

Begrippen

Wat je nu kent

sinus: In een rechthoekige driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, $sin α = o / s$ .
cosinus: In een rechthoekige driehoek: aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, $cos α = a / s$ .
tangens: In een rechthoekige driehoek: overstaande gedeeld door aanliggende rechthoekszijde, $tan α = o / a$ .
helling in procent: Hoogteverschil per 100 horizontale afstand: $p = 100 \cdot tan α$ . 100 % is 45°.
vector: Grootheid met een grootte en een richting (kracht, snelheid, verplaatsing), getekend als pijl.
scalar: Grootheid die volledig bepaald is door een getal met eenheid (massa, temperatuur, energie).
resultante: De som van twee of meer vectoren: de ene vector die hetzelfde effect heeft.
componenten van een vector: De delen van een vector langs twee loodrechte richtingen: $F_{x} = F cos α$ , $F_{y} = F sin α$ .
zonnehoogte: De hoek tussen de richting van de zon en de horizon; op het middaguur $h = 9 0^{\circ} - φ + δ$ .
declinatie: De breedtegraad waar de zon op het middaguur loodrecht staat; ze schommelt tussen −23,44° en +23,44°.
invalshoek: De hoek $θ$ tussen een zonnestraal en de normaal op een vlak; het vlak vangt een fractie $cos θ$ van de rechtstreekse straling.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen