FFundamental · deel F1 · Denken en werken als STEM'er

Handboek · hoofdstuk 4Tabellen, grafieken en verbanden

Van een rij getallen naar een beeld dat een verband toont, en weten hoe ver je dat beeld mag vertrouwen

Meten levert getallen op. Pas als je ze ordent in een tabel en tekent in een grafiek, zie je wat ze vertellen: stijgt iets, daalt het, verdubbelt het samen met iets anders? In dit hoofdstuk leer je een tabel en een grafiek maken volgens de afspraken, een recht evenredig verband herkennen en zijn evenredigheidsconstante bepalen, aflezen tussen je metingen (interpoleren) en voorbij je metingen (extrapoleren, met de nodige voorzichtigheid), en voor elke soort data de juiste grafiek kiezen.

6× uitleg4× uitgewerkt voorbeeld1× proef2× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel16 opdrachten in het werkboek± 7 lestijden

WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten AData en AI

Een dag metingen uit de meetkas wordt één lijn op millimeterpapier.

Na dit hoofdstuk

Je kan meetresultaten ordenen in een tabel met grootheid en eenheid in de kop.
Je kan kiezen welke grootheid op de horizontale en welke op de verticale as komt.
Je kan een handige schaal kiezen en een grafiek tekenen met assen, punten en een trendlijn.
Je kan een recht evenredig verband herkennen in een tabel (vaste verhouding) en in een grafiek (rechte door de oorsprong).
Je kan de evenredigheidsconstante berekenen, met eenheid, en ermee rekenen.
Je kan interpoleren en extrapoleren, en uitleggen wanneer extrapoleren gevaarlijk is.
Je kan voor een reeks data kiezen tussen een lijngrafiek, staafdiagram, cirkeldiagram en spreidingsdiagram, en een cirkeldiagram tekenen.
Je kan een misleidende grafiek herkennen, onder meer een staafdiagram waarvan de as niet bij nul begint.

Verhaal · 4.1

Een Schot, een verpleegster en de uitvinding van de grafiek

1/16

Grafieken lijken zo gewoon dat je zou denken dat ze altijd hebben bestaan. Toch is de lijngrafiek nauwelijks tweehonderdveertig jaar oud. In 1786 gaf de Schotse ingenieur en econoom William Playfair in Londen een boek uit over de handel van Engeland, The Commercial and Political Atlas. In plaats van lange tabellen met getallen tekende hij de in- en uitvoer van jaar tot jaar als lijnen, en voor de handel van Schotland met andere landen in één jaar gebruikte hij staven. In 1801 voegde hij er in een volgend boek nog een vorm aan toe: de cirkel die in sectoren verdeeld is, het cirkeldiagram. Zijn argument: het oog ziet in één blik een patroon dat in een tabel verborgen blijft.

Ruim zeventig jaar later bewees de Britse verpleegster Florence Nightingale hoe krachtig dat is. Tijdens de Krimoorlog (1853-1856) verzorgde ze gewonde soldaten in een legerhospitaal bij Istanbul. Ze hield nauwkeurig bij waaraan de soldaten stierven. Haar cijfers toonden iets ontstellends: veel meer soldaten stierven aan infectieziekten, die met hygiëne, schoon water en verluchting te voorkomen waren, dan aan hun verwondingen. Omdat ze wist dat politici geen tabellen lezen, tekende ze die cijfers in 1858 als een rond diagram met één sector per maand, waarin de oppervlakte van elke gekleurde sector toonde hoeveel soldaten er die maand stierven, en waaraan. In één oogopslag zag je waar de doden vandaan kwamen. Haar grafieken hielpen om leger en regering te overtuigen de hygiëne in legerhospitalen en kazernes grondig te verbeteren. In datzelfde jaar werd Nightingale als eerste vrouw lid van de Statistical Society in Londen.

Waarom dit verhaal ertoe doet

Een goede grafiek maakt een patroon zichtbaar dat in een rij getallen verborgen zit, en overtuigt waar een tabel niet gelezen wordt. Een slechte grafiek verbergt het patroon, of erger: toont een patroon dat er niet is. In dit hoofdstuk leer je beide herkennen.

Lijnen, staven en sectoren: uitgevonden om getallen te laten spreken.

Uitleg · 4.2

Een goede tabel

2/16

Wie meet, noteert eerst in een tabel. Een leerling test het waterpompje van de meetkas: het pompt water door een dun slangetje in een maatbeker, en elke 5 seconden leest hij af hoeveel water erin zit. Zijn eerste notities zien er zo uit:

Tijd	Water
10 s	79 mL
0	0
5	41
20	0,16 L
15	121
30	241 mL
25	198,0

Alles staat erin, maar het is een puzzel: waar staan de eenheden, is 0,16 L meer of minder dan 121, en in welke volgorde is er gemeten? Dezelfde metingen in een goede tabel (figuur) lees je in één oogopslag. De afspraken:

Eén kolom per grootheid. Bij weinig metingen mag het ook in rijen (een liggende tabel).
In de kop: grootheid en eenheid, de eenheid tussen haakjes: $t$ (s), $V$ (mL). In de cellen staan dan alleen getallen.
Eén eenheid per kolom. Heb je 0,16 L genoteerd tussen milliliters, zet dan om: 160 mL (hoofdstuk 3).
De grootheid die je zelf kiest, de onafhankelijke variabele (hoofdstuk 2), komt in de eerste kolom, van klein naar groot. De grootheid die je meet, volgt erna.
Zoveel cijfers als je instrument toont, per kolom liefst op dezelfde manier: niet eens 198,0 en dan weer 121.
Een titel: wat is er gemeten, en waar.

Maak de tabel vóór je meet

Teken de lege tabel met de kop al ingevuld voor je aan de proef begint. Zo weet je welke eenheid je noteert, en vergeet je geen meting. Heb je een meting fout genoteerd, streep ze dan door in plaats van ze uit te gommen: wie later je notities leest, ziet wat er gebeurd is.

Dezelfde zeven metingen, nu volgens de afspraken: je ziet meteen dat het volume gelijkmatig stijgt.

Uitleg · 4.3

Van tabel naar grafiek in vijf stappen

3/16

Een tabel toont de getallen, een grafiek toont het verband. Zo teken je er een op millimeterpapier:

Kies de assen. De grootheid die je zelf kiest (onafhankelijke variabele) komt op de horizontale as, de grootheid die je meet (afhankelijke variabele) op de verticale as. Bij metingen in de tijd staat de tijd dus bijna altijd horizontaal.
Zet bij elke as de grootheid en de eenheid, net als in de kop van de tabel: $t$ (s) en $V$ (mL).
Kies een schaal. De stappen zijn overal even groot, en het zijn handige stappen: 1, 2 of 5 (of 10, 20, 50, en eventueel 2,5 of 25) per centimeter. De grafiek vult het grootste deel van het papier. Begin bij nul, tenzij je een goede reden hebt (zie het blad over misleidende grafieken).
Zet de punten, met een potlood, als een klein kruisje of een stip precies op de juiste plaats.
Teken een trendlijn. Meetpunten van een proef liggen nooit perfect op een lijn: elke meting heeft een kleine fout. Teken daarom een vloeiende lijn, vaak een rechte, die het verloop zo goed mogelijk volgt, met ongeveer evenveel punten erboven als eronder. Verbind de punten niet met een zigzag: die knikken zijn meetfouten, geen deel van het verband.

Er is één uitzondering op stap 5. Volg je iets in de tijd en telt elke meting (de temperatuur in de kas, elk uur), dan mag je de punten met rechte stukjes verbinden. Zo'n lijngrafiek toont het verloop, zonder te beweren dat er één eenvoudig verband achter zit.

Door de oorsprong of niet?

Laat de trendlijn door de oorsprong (0, 0) gaan als je weet dat ze erdoor moet: een bal die je van 0 cm laat vallen, botst 0 cm op. Weet je dat niet, dan trek je de lijn gewoon door de punten en kijk je waar ze uitkomt. Ook dat is informatie.

Fout: een bal botst op, en de knikken in de zigzag zijn alleen meetfouten.

Goed: één rechte tussen de punten toont het verband. Terugbotshoogte ≈ 0,63 × valhoogte.

Ontleed · 4.4

De onderdelen van een grafiek

4/16

Dit is de grafiek van de pompmetingen uit de tabel. Elk onderdeel heeft een taak: haal er één weg en de grafiek wordt onleesbaar of zelfs misleidend.

Het volume water uit het pompje tegenover de tijd: zeven metingen en één trendlijn.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Horizontale as
De grootheid die je zelf kiest (hier de tijd $t$ ), met haar eenheid tussen haakjes. Ook de x-as genoemd.
2
Verticale as
De grootheid die je meet (hier het volume $V$ ), met haar eenheid. Ook de y-as genoemd.
3
Schaalverdeling
Getallen op gelijke afstanden en in gelijke stappen: 0, 40, 80, 120 ... Ontbreken ze, dan zegt de grafiek niets over hoeveel.
4
Meetpunt
Eén rij uit de tabel: na 15 s zat er 121 mL in de maatbeker. Zoek het getal op elke as en ga recht omhoog en recht opzij.
5
Trendlijn
Een rechte die het verloop volgt, niet door elk punt, maar er zo dicht mogelijk langs. Ze toont het verband, zonder de kleine meetfouten.
6
Oorsprong
Het punt (0, 0). Na 0 s is er nog 0 mL gepompt: de trendlijn gaat hier door.
7
Legenda
Zegt wat elk teken betekent. Onmisbaar als er meer dan één reeks in de grafiek staat.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.5

Een schaal kiezen

5/16

Je tekent de pompmetingen op millimeterpapier. Je hebt 16 cm plaats in de breedte en 14 cm in de hoogte. De tijd loopt van 0 tot 30 s, het volume van 0 tot 241 mL. Welke schaal kies je voor elke as?

Gegeven

$t$ : van 0 tot 30 s; 16 cm breed
$V$ : van 0 tot 241 mL; 14 cm hoog

Gevraagd

een handige schaal voor de horizontale en de verticale as

Oplossing

1
Horizontale as. Deel de grootste waarde door de beschikbare lengte: $30 s /16 cm \approx 1, 9$ s per cm. Rond naar boven af naar een handige stap: 2 s per cm. Dan komt 30 s op $30/2 = 15$ cm: dat past.
2
Verticale as. $241 mL /14 cm \approx 17, 2$ mL per cm. De eerste handige stap erboven is 20 mL per cm. Dan komt 241 mL op $241/20 = 12, 05$ cm: dat past ook.
3
Waarom naar boven afronden? Met 10 mL per cm zou 241 mL op 24,1 cm komen: van het papier af. Naar boven afronden maakt de grafiek iets kleiner, maar ze past altijd.

Waarom een handige stap? Met 17,2 mL per cm moet je voor elk punt rekenen: 121 mL ligt dan op 7,03 cm. Met 20 mL per cm ligt 121 mL op

121/20 = 6, 05

cm, dus 60,5 mm: dat vind je meteen. Vergelijk de mogelijkheden:

schaal (verticale as)	241 mL komt op	oordeel
10 mL per cm	24,1 cm	past niet op 14 cm
17,2 mL per cm	14,0 cm	past net, maar geen enkel punt is vlot te zetten
20 mL per cm	12,05 cm	goed: handige stap, grafiek vult het blad
50 mL per cm	4,8 cm	te klein: de punten liggen op een hoopje

5
Getallen bij de as. Zet niet bij elke centimeter een getal, maar bijvoorbeeld om de 5 cm op de horizontale as (0, 10, 20, 30 s) en om de 2 cm op de verticale as (0, 40, 80 ... 280 mL).

Antwoord

Horizontaal 2 s per cm (30 s op 15 cm), verticaal 20 mL per cm (241 mL op 12,05 cm).

Klopt dit? De grafiek gebruikt 15 van de 16 cm en 12 van de 14 cm: ruim meer dan de helft in beide richtingen. Een grafiek die maar een hoekje van het blad vult, is even onnauwkeurig als een meting met een te grove lat.

Proef · 4.6

Omtrek en diameter: een verborgen constante

6/16

Onderzoeksvraag

Hoe hangt de omtrek van een rond voorwerp af van zijn diameter?

Materiaal

zes ronde voorwerpen van klein tot groot: een munt, een blikje, een mok, een bloempot, een bord, een emmerdeksel
stroken papier (of een naaimeter)
lat van 30 cm en een meetlint
potlood, millimeterpapier

Zes voorwerpen, van munt tot emmerdeksel, en toch één rechte:

O = 3, 14 \cdot d

Werkwijze

1Maak een lege tabel met drie kolommen: voorwerp, $d$ (cm) en $O$ (cm).
2Meet de diameter $d$ : de breedste afstand dwars door het midden. Meet in twee richtingen en neem het gemiddelde.
3Meet de omtrek $O$ : leg een strook papier strak rond het voorwerp, zet een streepje waar ze zichzelf raakt, rol af en meet.
4Bereken voor elk voorwerp de verhouding $O / d$ .
5Teken de grafiek: $d$ horizontaal, $O$ verticaal. Teken een trendlijn.

Waarneming

voorwerp	$d$ (cm)	$O$ (cm)	$O / d$
2-euromunt	2,6	8,2	3,15
frisdrankblikje	6,6	20,8	3,15
mok	8,2	25,6	3,12
bloempot	12,5	39,4	3,15
bord	24,0	75,1	3,13
deksel van een emmer	29,5	92,8	3,15

De punten liggen op een rechte door de oorsprong, en de verhouding $O / d$ is voor elk voorwerp ongeveer 3,1: gemiddeld 3,14.

Verklaring

Hoe groot of klein de cirkel ook is: de omtrek is altijd ongeveer 3,14 keer de diameter. Verdubbelt de diameter, dan verdubbelt de omtrek. Omtrek en diameter zijn recht evenredig, en de vaste verhouding is een van de beroemdste getallen uit de wiskunde: pi, met het symbool $π$ , dat begint met 3,14159 en eindeloos verder gaat. Al rond 250 voor Christus bewees de Griekse wiskundige Archimedes dat $π$ tussen $3 \frac{10}{71}$ en $3 \frac{1}{7}$ ligt.

Omdat omtrek en diameter allebei lengtes zijn, heeft deze constante geen eenheid: cm gedeeld door cm. De kleine verschillen (3,12 tot 3,15) zijn meetfouten: de strook papier ligt niet helemaal strak, of de lat ligt net niet door het midden.

Uitleg · 4.7

Recht evenredig verband

7/16

Bij het pompje en bij de cirkel zag je hetzelfde patroon: wordt de ene grootheid 2, 3 of 10 keer zo groot, dan wordt de andere ook 2, 3 of 10 keer zo groot. Zulke grootheden zijn recht evenredig. Hun verhouding is altijd hetzelfde getal, de evenredigheidsconstante $k$ :

recht evenredig verband

y = k \cdot x \Leftrightarrow k = \frac{y}{x}

x

staat op de horizontale as,

y

op de verticale. De eenheid van

k

is de eenheid van

y

gedeeld door die van

x

, bijvoorbeeld mL/s.

Je herkent een recht evenredig verband op twee manieren:

in de tabel: $y / x$ is (binnen de meetfout) voor elke rij hetzelfde;
in de grafiek: de punten liggen op een rechte door de oorsprong.

De constante $k$ heeft een betekenis: bij het pompje is het het aantal milliliter per seconde. Hoe groter $k$ , hoe steiler de rechte (eerste figuur). Recht evenredige verbanden kom je in StemExpert overal tegen:

verband	constante $k$	hoofdstuk
prijs = prijs per kg × massa	prijs per kg (€/kg)	dagelijks leven
omtrek $O = π \cdot d$	$π \approx 3, 14$ (geen eenheid)	dit hoofdstuk
massa $m = ρ \cdot V$	dichtheid (g/cm³)	7
uitrekking van een veer en de kracht	veerconstante	11
afstand $s = v \cdot t$ bij constante snelheid	snelheid (m/s)	14
spanning $U = R \cdot I$	weerstand (Ω)	19

Elke rechte is recht evenredig

Niet waar. Het reservoir van de meetkas bevat 24 L en de planten verbruiken 1,8 L per dag. Het verbruikte water is recht evenredig met de tijd: een rechte door de oorsprong. Het water dat nog in het reservoir zit, ligt ook op een rechte, maar die daalt en begint bij 24 L. Na 2 dagen zit er 20,4 L in, na 4 dagen niet het dubbele maar 16,8 L: de verhouding is niet constant. Een rechte die niet door de oorsprong gaat, heet een lineair verband; daar leer je in Intermediate mee rekenen.

Hoe groter de evenredigheidsconstante, hoe steiler de rechte door de oorsprong.

Verbruikt water: recht evenredig. Water in het reservoir: een rechte, maar niet door de oorsprong.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.8

De evenredigheidsconstante van het pompje

8/16

Gebruik de pompmetingen. (a) Is het volume recht evenredig met de tijd? (b) Bereken de evenredigheidsconstante, met eenheid. (c) De planten in de meetkas hebben samen 1,8 L water per dag nodig. Hoe lang moet het pompje per dag draaien? (d) Hoeveel water pompt het in één minuut?

Het pompje van de meetkas testen: stopwatch in de ene hand, potlood in de andere.

Gegeven

de metingen van $t$ (s) en $V$ (mL)
nodig: $1, 8 L$ per dag

Gevraagd

recht evenredig?
$k$ in mL/s
pomptijd per dag
volume per minuut

Oplossing

1
(a) Bereken voor elke meting $V / t$ :
$t$ (s) 5 10 15 20 25 30
$V$ (mL) 41 79 121 160 198 241
$V / t$ (mL/s) 8,2 7,9 8,1 8,0 7,9 8,0
De verhouding is telkens ongeveer 8, en de grafiek is een rechte door de oorsprong. Het volume is recht evenredig met de tijd. De kleine schommelingen (7,9 tot 8,2) zijn afleesfouten aan de maatbeker.
2
(b) Neem het gemiddelde van de verhoudingen: $k \approx 8, 0$ . Of lees een punt ver op de trendlijn af, bijvoorbeeld (30 s; 240 mL): $k = 240/30 = 8, 0$ . De eenheid is mL gedeeld door s: $k = 8, 0 mL/s$ . Het pompje pompt dus 8,0 mL per seconde.
3
(c) Zet eerst om: $1, 8 L = 1800 mL$ . Uit $V = k \cdot t$ volgt $t = V / k$ : $t = \frac{1800 mL}{8 , 0 mL/s} = 225 s$ , of 3 min 45 s.
4
(d) $V = k \cdot t = 8, 0 mL/s \times 60 s = 480 mL$ : bijna een halve liter per minuut.

Antwoord

(a) ja; (b)

k = 8, 0 mL/s

; (c) 225 s, of 3 min 45 s per dag; (d) 480 mL.

Klopt dit? Eenheden nakijken: mL gedeeld door mL/s geeft s, en mL/s maal s geeft mL. In (c) en (d) reken je verder dan de gemeten 30 s. Dat mag hier, omdat een pompje niet trager gaat werken zolang er water genoeg in het reservoir staat. Wanneer zo'n voorspelling wel misloopt, lees je op het volgende blad.

Uitleg · 4.9

Interpoleren en extrapoleren

9/16

Een grafiek laat je ook waarden aflezen die je niet gemeten hebt. Daarvoor bestaan twee woorden:

Interpoleren: een waarde aflezen tussen twee metingen in. Hoeveel water zat er na 12 s in de maatbeker? Je hebt 10 en 15 s gemeten; de trendlijn geeft ongeveer 96 mL. Omdat je aan weerszijden een meting hebt, is dat meestal betrouwbaar.
Extrapoleren: een waarde voorspellen buiten je metingen, door de lijn verder door te trekken. Het gebied dat je gemeten hebt, heet het meetbereik. Buiten het meetbereik weet je niet zeker of het verband nog geldt.

De figuur toont waarom extrapoleren gevaarlijk kan zijn. Een beker water op een kookplaat warmt elke minuut ongeveer 8 °C op: na 8 minuten 83 °C. Trek je die rechte door, dan voorspel je na 12 minuten ongeveer 116 °C. Maar water kookt bij ongeveer 100 °C, en dan stijgt de temperatuur niet meer: de extra energie gaat naar het verdampen (waarom, leer je in hoofdstuk 6). Het verband verandert buiten het meetbereik.

Wanneer mag je wel extrapoleren?

als je weet waarom het verband bestaat, en dat die reden blijft gelden (de omtrek is $π$ keer de diameter voor elke cirkel, ook een grote);
als je niet ver buiten het meetbereik gaat;
en als je nagaat of er niets verandert: water dat kookt, een reservoir dat leeg raakt, een veer die uitrekt tot ze vervormt, een plant die stopt met groeien.

Ook de oorsprong kan extrapolatie zijn

Trek je een trendlijn door naar nul terwijl je daar niet gemeten hebt, dan extrapoleer je ook. Laat een lijn alleen door de oorsprong gaan als je zeker weet dat ze erdoor moet (0 s pompen is 0 mL water).

Tot 8 minuten gemeten; de doorgetrokken trendlijn voorspelt meer dan 100 °C, maar kokend water blijft op 100 °C.

Ontleed · 4.10

Een dag in de meetkas

10/16

Een temperatuursensor in de meetkas en een tweede sensor buiten meten een hele zonnige dag in april elk uur de temperatuur. De punten van de kas zijn verbonden: elke meting telt, het is een verloop in de tijd. Wat vertelt deze grafiek?

Om het uur gemeten: de kas (rood) en buiten (blauw, gestippeld).

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Het koudste moment
Rond 5 à 6 uur: 7,7 °C in de kas. De hele nacht is er warmte weggelekt, en de zon is nog niet op.
2
Snelle opwarming
Zodra de zon op de kas schijnt, stijgt de temperatuur steil: tussen 8 en 12 uur gemiddeld meer dan 4 °C per uur. Hoe steiler de lijn, hoe sneller de verandering.
3
25 °C om 11 uur
Precies op een meetpunt. Wil je weten wanneer het 23 °C was, dan interpoleer je tussen 10 uur (20,5 °C) en 11 uur (25,0 °C).
4
Het warmste moment
Om 14 uur: 32,0 °C in de kas, terwijl het buiten 17,3 °C is. De kas houdt de zonnewarmte vast, zoals een auto in de zon (hoofdstuk 16).
5
De grens van 30 °C
Een hulplijn. Boven 30 °C lijden de meeste kasplanten onder de hitte. Tussen ongeveer 12:35 en 15:10 ligt de kas erboven: het dakraam moet open.
6
Afkoelen
Als de zon zakt, daalt de temperatuur bijna even snel als ze 's morgens steeg.
7
's Nachts
's Nachts is de kas maar ongeveer 1 °C warmer dan buiten: zonder zon houdt een dunne wand de warmte niet vast.
8
Buiten
De buitentemperatuur ter vergelijking. Ze bereikt haar maximum later dan de kas, rond 16 uur, en is veel vlakker.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.11

De kasgrafiek lezen

11/16

Gebruik de metingen van de kas (om het uur). (a) Hoe warm was het om 10:30? (b) Van wanneer tot wanneer was het in de kas warmer dan 30 °C? (c) Hoeveel warmer dan buiten was de kas om 14 uur en om 2 uur 's nachts? (d) Wat betekent dit voor het ontwerp van de meetkas?

Ingezoomd tussen 9 en 17 uur, met hulplijnen voor het aflezen.

Gegeven

kas: 10 h: 20,5 °C; 11 h: 25,0 °C; 12 h: 28,5 °C; 13 h: 31,0 °C; 14 h: 32,0 °C; 15 h: 30,5 °C; 16 h: 27,5 °C; 2 h: 8,6 °C
buiten: 14 h: 17,3 °C; 2 h: 7,6 °C

Gevraagd

temperatuur om 10:30
tijdstippen waarop 30 °C overschreden wordt
verschil met buiten
besluit voor het ontwerp

Oplossing

1
(a) 10:30 ligt precies halfweg tussen 10 en 11 uur. Interpoleren met een rechte tussen de twee meetpunten: halfweg tussen 20,5 en 25,0 °C, dus $(20, 5 + 25, 0) /2 = 22, 75$ , afgerond 22,8 °C. In de ingezoomde grafiek lees je hetzelfde af.
2
(b) Stijgend gaat de lijn door 30 °C tussen 12 uur (28,5 °C) en 13 uur (31,0 °C). In dat uur stijgt de temperatuur 2,5 °C, en er is 1,5 °C nodig om 30 °C te halen: dat is $1, 5/2, 5 = 0, 6$ van het uur, of 36 minuten. Dus om ongeveer 12:36.
3
Dalend gaat ze door 30 °C tussen 15 uur (30,5 °C) en 16 uur (27,5 °C): een daling van 3,0 °C, waarvan 0,5 °C nodig is: $0, 5/3, 0 = 1/6$ van het uur, 10 minuten. Dus om ongeveer 15:10. De kas is ongeveer 2 uur en 34 minuten te warm.
4
(c) Om 14 uur: $32, 0 - 17, 3 = 14, 7$ °C warmer. Om 2 uur: $8, 6 - 7, 6 = 1, 0$ °C warmer.
5
(d) Overdag moet de kas verlucht worden (een dakraam dat opengaat), anders lijden de planten onder de hitte. 's Nachts houdt ze bijna geen warmte vast: op een koude nacht is ze even koud als buiten. Warmte vasthouden en isoleren is het onderwerp van hoofdstuk 16.

Antwoord

(a) ongeveer 22,8 °C; (b) van ongeveer 12:36 tot 15:10; (c) 14,7 °C en 1,0 °C; (d) verluchten overdag, isoleren 's nachts.

Klopt dit? Interpoleren met een rechte tussen twee punten veronderstelt dat de temperatuur in dat uur gelijkmatig verandert. Dat is een benadering: meet je elke 10 minuten, dan worden de tijdstippen nauwkeuriger. Merk ook op dat de verticale as van de ingezoomde grafiek bij 15 °C begint: bij een lijngrafiek mag dat, als de getallen duidelijk op de as staan.

Uitleg · 4.12

Lijn, staaf, cirkel of spreiding?

12/16

Niet elke grafiek past bij elke soort data. De vraag is telkens: wat wil je tonen?

grafiek	gebruik je voor	voorbeeld	let op
lijngrafiek	hoe een grootheid verandert met de tijd, of met een grootheid die je zelf regelt	temperatuur in de kas per uur; volume uit het pompje	bij metingen van een proef een trendlijn
staafdiagram	hoeveelheden van aparte groepen vergelijken	aantal leerlingen per vervoermiddel; neerslag per maand	de as begint bij 0; de volgorde van de groepen mag je kiezen
cirkeldiagram	tonen hoe één geheel verdeeld is	samenstelling van de lucht; het afval van de school	alleen als de delen samen 100 % zijn; niet voor meer dan zes à zeven delen
spreidingsdiagram	per voorwerp of persoon twee gemeten grootheden: hangen ze samen?	lengte en armspanwijdte van leerlingen	punten niet verbinden; eventueel een trendlijn

In het spreidingsdiagram is elk punt één leerling. De punten liggen niet op één lijn, maar vormen een wolk rond de lijn 'spanwijdte = lengte': je armspanwijdte is ongeveer even groot als je lengte. Een spreidingsdiagram toont dus een trend, geen vaste regel. Met zo'n wolk punten voorspellen is precies wat computers doen die 'leren uit data' (leerlijn Data en AI).

Een lijn tussen groepen betekent niets

Verbind de toppen van een staafdiagram nooit met een lijn: tussen 'fiets' en 'bus' ligt geen tussenwaarde. Een lijn suggereert een verloop dat er niet is.

Staafdiagram: aparte groepen, de lengte van een staaf is het aantal.

Spreidingsdiagram: elk punt is één leerling. De punten liggen rond de lijn 'spanwijdte = lengte'.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.13

Van tabel naar cirkeldiagram

13/16

In klas 1B komen 24 leerlingen naar school: 11 met de fiets, 5 met de bus, 4 te voet, 3 met de auto en 1 met de trein. Teken een cirkeldiagram.

Start bovenaan, met de klok mee, de grootste sector eerst.

Gegeven

aantallen per vervoermiddel; totaal 24 leerlingen
een volle cirkel is 360°

Gevraagd

percentage en middelpuntshoek per vervoermiddel
het cirkeldiagram

Oplossing

1
Bereken per groep het deel van het geheel: aantal gedeeld door 24. Maal 100 geeft het percentage, maal 360° de hoek van de sector:
vervoermiddel aantal deel percentage hoek
fiets 11 11/24 45,8 % 165°
bus 5 5/24 20,8 % 75°
te voet 4 4/24 16,7 % 60°
auto 3 3/24 12,5 % 45°
trein 1 1/24 4,2 % 15°
samen 24 1 100 % 360°
2
Een snellere weg voor de hoek: één leerling is $36 0^{\circ} /24 = 1 5^{\circ}$ . De fietsers krijgen dus $11 \times 1 5^{\circ} = 16 5^{\circ}$ . Werk je met percentages, dan is 1 % gelijk aan $36 0^{\circ} /100 = 3, 6^{\circ}$ .
3
Controleer: $165 + 75 + 60 + 45 + 15 = 36 0^{\circ}$ . Klopt de som niet, dan heb je een rekenfout of een afrondingsfout.
4
Teken een cirkel en een straal naar boven. Zet de gradenboog op het middelpunt en teken de sectoren met de klok mee, de grootste eerst. Schrijf bij elke sector de naam en het percentage.

Antwoord

Sectoren van 165°, 75°, 60°, 45° en 15° (zie figuur).

Klopt dit? Een cirkeldiagram toont goed dat bijna de helft van de klas fietst. Maar het faalt bij heel kleine delen. Droge lucht bestaat voor 78,08 % uit stikstof, 20,95 % zuurstof, 0,93 % argon en ongeveer 0,04 % koolstofdioxide. De sector van CO₂ is dan

0, 04 \times 3, 6^{\circ} \approx 0, 1 4^{\circ}

: dunner dan een potloodstreep, terwijl net die kleine hoeveelheid de planten in de kas voedt (hoofdstuk 27).

Uitleg · 4.14

Grafieken die misleiden

14/16

Twee zaadhandelaars verkopen tomatenzaad. Van merk A kiemt 92 % van de zaadjes, van merk B 95 %. Handelaar B zet dat in een reclamegrafiek waarvan de as bij 90 % begint. Zijn staaf lijkt dan 2,5 keer zo hoog: $(95 - 90) / (92 - 90) = 2, 5$ . In werkelijkheid kiemen er per 100 zaadjes maar 3 meer. Met de as vanaf 0 % zie je dat de twee merken bijna even goed zijn.

Bij een staafdiagram moet de as bij nul beginnen, omdat je oog de lengte van de staven vergelijkt. Bij een lijngrafiek mag je wel inzoomen (zoals de kasgrafiek tussen 15 en 35 °C): daar lees je de positie van punten af, niet een lengte. Voorwaarde is dat de getallen duidelijk op de as staan. Sommigen tekenen een klein zigzagje onderaan de as om aan te geven dat er een stuk weggelaten is.

Andere trucs om op te letten:

een as zonder getallen of zonder eenheid: dan kan de lijn alles betekenen;
een ongelijke schaalverdeling: 0, 10, 20, 50, 100 op gelijke afstanden;
alleen het stukje data tonen dat het verhaal steunt, en de rest weglaten;
3D-effecten en schuin getekende cirkels: de sectoren vooraan lijken groter dan ze zijn.

Grafieken lezen als een onderzoeker

Kijk bij elke grafiek eerst naar de assen: welke grootheid, welke eenheid, waar begint de schaal? Pas dan naar de lijnen of de staven. In Intermediate (hoofdstuk 39) leer je meer misleidende grafieken ontmaskeren, en ook waarom twee dingen die samen stijgen elkaar niet per se veroorzaken.

Misleidend: de staaf van B lijkt 2,5 keer zo hoog.

Dezelfde getallen vanaf 0 %: de verschillen zijn klein.

Naslag · 4.15

Overzicht: tabellen, grafieken en verbanden

15/16

recht evenredig verband

y = k \cdot x k = \frac{y}{x}

symbool	betekenis	eenheid
$x$	grootheid op de horizontale as	bv. s
$y$	grootheid op de verticale as	bv. mL
$k$	evenredigheidsconstante	eenheid van y / eenheid van x, bv. mL/s

sector van een cirkeldiagram

hoek = \frac{deel}{geheel} \times 36 0^{\circ}

symbool	betekenis	eenheid
$hoek$	middelpuntshoek van de sector	°

onderdeel	afspraak
tabel	één kolom per grootheid; kop: grootheid (eenheid); alleen getallen in de cellen; onafhankelijke variabele eerst, van klein naar groot; titel
assen	onafhankelijke variabele horizontaal, afhankelijke verticaal; bij elke as grootheid en eenheid
schaal	grootste waarde ÷ beschikbare lengte, naar boven afronden naar 1, 2, 5 (of 2,5) × 10, 100 ...; gelijke stappen; de grafiek vult het papier
punten	klein kruisje of stip, met potlood, precies geplaatst
trendlijn	vloeiende lijn of rechte tussen de punten; geen zigzag; door de oorsprong alleen als het moet
recht evenredig	$y / x$ constant; rechte door de oorsprong; $k$ met eenheid
interpoleren	aflezen tussen metingen: meestal betrouwbaar
extrapoleren	voorspellen buiten het meetbereik: alleen als het verband blijft gelden, en niet te ver
staafdiagram	as altijd vanaf 0
cirkeldiagram	delen van één geheel; 1 % = 3,6°; controleer dat de hoeken samen 360° zijn

Vier vragen, vier grafieken. Past geen enkele vraag, dan is een tabel misschien de beste keuze.

Het geheel · 4.16

Waar grafieken naartoe leiden

16/16

Dit hoofdstuk is het begin van twee leerlijnen. In Wiskundig modelleren is het recht evenredig verband de eerste formule die een verschijnsel beschrijft: $y = k \cdot x$ , met een constante die een betekenis heeft. In Intermediate komen daar rechten die niet door de oorsprong gaan, krommen en exponentiële groei bij; in Expert wordt de steilheid van een grafiek de afgeleide. In Data en AI is een trendlijn door een wolk punten het eenvoudigste voorspellende model: wie later een computer leert voorspellen, doet in wezen hetzelfde, met veel meer data en dezelfde valkuil van het extrapoleren.

F2 Onderzoeken: van vraag tot besluit

Onafhankelijke en afhankelijke variabele: welke grootheid op welke as komt.

F3 Meten: grootheden en eenheden

Grootheid en eenheid in de kop, omzetten naar één eenheid, zinvol afronden.

F6 Het deeltjesmodel

Waarom kokend water op 100 °C blijft: de faseovergang achter de 'knik' in de opwarmgrafiek.

F7 Massa, volume en dichtheid

Massa is recht evenredig met volume; de constante is de dichtheid.

F14 Beweging en snelheid

De (s,t)-grafiek: hoe steiler de rechte, hoe groter de snelheid.

F19 Spanning, stroom en weerstand

De wet van Ohm als recht evenredig verband: de constante is de weerstand.

F25 Sensoren en automatisch regelen

Sensoren die elke minuut meten: hun data lees je als grafiek.

I3 Verbanden in data

Lineaire verbanden met snijpunt, de best passende rechte, rekenblad en lineariseren.

I39 Data visualiseren en eerste stappen in AI

Misleidende grafieken ontmaskeren, correlatie tegenover oorzaak, en een eerste voorspellend model.

E41 Van data naar model: regressie

De best passende lijn berekenen met de kleinste kwadraten, en voorspellen met een model.

HabitatDe meetkas meet voortdurend: temperatuur, licht, bodemvocht. Die metingen worden pas bruikbaar als grafiek. In opdracht 4.13 teken je een dag temperatuur in de kas en beslis je wanneer het dakraam open moet. Noteer ook de evenredigheidsconstante van het pompje (8,0 mL/s) in je portfolio: in hoofdstuk 25 bepaalt ze hoe lang de pomp aan moet.

Samenvatting

In het kort

Een tabel heeft één kolom per grootheid, met grootheid en eenheid in de kop en alleen getallen in de cellen; de onafhankelijke variabele staat eerst.
In een grafiek staat de onafhankelijke variabele horizontaal en de afhankelijke verticaal, elk met grootheid en eenheid.
Kies een schaal met handige, gelijke stappen (1, 2, 5 × ...) zodat de grafiek het papier vult.
Meetpunten van een proef krijgen een trendlijn, geen zigzag; een verloop in de tijd mag je verbinden.
Recht evenredig: $y / x$ is constant en de grafiek is een rechte door de oorsprong; $y = k \cdot x$ , met $k$ in de eenheid van $y$ gedeeld door die van $x$ .
Interpoleren (tussen metingen) is meestal betrouwbaar; extrapoleren (buiten het meetbereik) alleen als het verband blijft gelden.
Lijngrafiek voor een verloop, staafdiagram voor aparte groepen, cirkeldiagram voor delen van een geheel, spreidingsdiagram voor twee metingen per voorwerp.
Een staafdiagram waarvan de as niet bij nul begint, vergroot verschillen: kijk altijd eerst naar de assen.

Begrippen

Wat je nu kent

resultatentabel: Een tabel waarin je metingen ordent: één kolom per grootheid, met grootheid en eenheid in de kop en alleen getallen in de cellen.
grafiek: Een tekening van hoe een grootheid samenhangt met een andere, met twee assen die elk een grootheid, een eenheid en een schaalverdeling hebben.
schaal van een as: Hoeveel eenheden van een grootheid met één hokje of één centimeter op het papier overeenkomen, bv. 20 mL per cm.
trendlijn: Een vloeiende lijn (vaak een rechte) die het verloop van meetpunten zo goed mogelijk volgt, met ongeveer evenveel punten erboven als eronder.
oorsprong: Het punt waar beide assen nul zijn: (0, 0).
recht evenredig: Twee grootheden zijn recht evenredig als hun verhouding constant is: wordt de ene 2 of 3 keer zo groot, dan ook de andere. De grafiek is een rechte door de oorsprong.
evenredigheidsconstante: Het vaste getal $k$ in $y = k \cdot x$ bij een recht evenredig verband; $k = y / x$ , met als eenheid de eenheid van $y$ gedeeld door die van $x$ .
interpoleren: Een waarde aflezen of berekenen tussen twee metingen in, dus binnen het meetbereik.
extrapoleren: Een waarde voorspellen buiten het meetbereik, door het verband voorbij de laatste meting door te trekken.
meetbereik: Het gebied tussen de kleinste en de grootste waarde die je gemeten hebt.
lijngrafiek: Een grafiek met punten die met een lijn verbonden zijn of een trendlijn krijgen; toont hoe iets verandert.
staafdiagram: Een grafiek met staven waarvan de lengte een hoeveelheid voorstelt; om aparte groepen te vergelijken.
cirkeldiagram: Een cirkel verdeeld in sectoren die samen het geheel (100 %) vormen; elke procent is 3,6°.
spreidingsdiagram: Een grafiek met losse punten, één per voorwerp of persoon, om te zien of twee gemeten grootheden samenhangen.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen

$t$ (s)	5	10	15	20	25	30
$V$ (mL)	41	79	121	160	198	241
$V / t$ (mL/s)	8,2	7,9	8,1	8,0	7,9	8,0

vervoermiddel	aantal	deel	percentage	hoek
fiets	11	11/24	45,8 %	165°
bus	5	5/24	20,8 %	75°
te voet	4	4/24	16,7 %	60°
auto	3	3/24	12,5 %	45°
trein	1	1/24	4,2 %	15°
samen	24	1	100 %	360°