IIntermediate · deel I5 · Energie en warmte

Handboek · hoofdstuk 18Warmte berekenen

Hoeveel warmte een stof opslaat, waarom ijs smelten zoveel kost, en hoe groot een warmtebuffer moet zijn

In Fundamental rekende je met een vuistregel: 4,2 kJ om één liter water één graad warmer te maken. Maar hoeveel warmte slaat een aluminium frame op, of de lucht in een kas, of een blok ijs dat smelt? In dit hoofdstuk leer je warmte berekenen voor élke stof met $Q = m \cdot c \cdot Δ T$ , reken je met smelt- en verdampingswarmte, stel je een warmtebalans op als je stoffen mengt, en meet je in het labo de soortelijke warmtecapaciteit van een metaal, met een correctie voor het warmteverlies. Voor Habitat bereken je hoe groot een watervat moet zijn om de klimaatmodule 's nachts warm te houden zonder één wattuur uit de batterij.

7× uitleg8× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag2× verhaal1× het geheel1× code16 opdrachten in het werkboek± 8 lestijden

EEnergie WWiskundig modelleren MMaterie en chemie

Twee vaten water als warmtebuffer: overdag laden ze op, 's nachts geven ze hun warmte terug.

Na dit hoofdstuk

Je kan $Q = m \cdot c \cdot Δ T$ in alle richtingen gebruiken en uitleggen wat de soortelijke warmtecapaciteit zegt over een stof.
Je kan de warmtecapaciteit $C = m \cdot c$ van een voorwerp of een systeem berekenen en bepalen welk onderdeel de meeste warmte opslaat.
Je kan rekenen met smelt- en verdampingswarmte ( $Q = m \cdot L$ ) en een opwarmcurve met plateaus tekenen en verklaren.
Je kan een warmtebalans opstellen bij het mengen van stoffen, ook met ijs, en de eindtemperatuur berekenen.
Je kan de soortelijke warmtecapaciteit van een metaal meten met een calorimeter en corrigeren voor de warmtecapaciteit van de calorimeter en voor warmteverlies.
Je kan een warmtebuffer dimensioneren en water vergelijken met andere materialen, met een faseovergang en met elektrisch verwarmen.
Je kan een warmtebalans programmeren in Python en de uitkomst controleren.

Uitleg · 18.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/22

In hoofdstuk F16 leerde je het verschil tussen temperatuur (hoe snel de deeltjes gemiddeld bewegen) en warmte (energie die van warm naar koud stroomt). Je rekende met een vuistregel voor water: om 1 L water 1 °C warmer te maken, is ongeveer 4,2 kJ nodig. Met die regel vond je dat het reservoir van de meetkas, 24 L die 's nachts 5 °C afkoelt, ongeveer 504 kJ afgeeft.

uit Fundamental	in dit hoofdstuk
4,2 kJ per liter per graad, alleen voor water (F16)	$Q = m \cdot c \cdot Δ T$ voor elke stof, met $c$ uit een tabel
temperatuur tegenover warmte (F16)	de warmtecapaciteit $C = m \cdot c$ van een voorwerp: wat slaat het meeste op?
smelten, stollen, verdampen, condenseren (F6)	smelt- en verdampingswarmte: warmte zonder temperatuurstijging
de 504 kJ van het reservoir van de meetkas (F16)	een warmtebuffer voor de klimaatmodule berekenen
joule, wattuur, kilowattuur (F15, F21, hoofdstuk 9)	warmte omrekenen en vergelijken met de batterij (hoofdstuk 16)

Die vuistregel roept vragen op. Waarom zou 1 kg aluminium ook 4,2 kJ nodig hebben? (Het is maar 0,9 kJ.) En wat gebeurt er als een blok ijs smelt: waar gaat de warmte heen, als de temperatuur op 0 °C blijft staan? In dit hoofdstuk

leer je warmte berekenen voor elke stof, en voor een heel voorwerp;
reken je met de warmte die smelten en verdampen kosten;
voorspel je de eindtemperatuur als je warm en koud mengt, en meet je in het labo hoe goed die voorspelling klopt;
bereken je voor Habitat hoe groot een watervat moet zijn om de klimaatmodule 's nachts warm te houden.

Verhaal · 18.2

Een professor, een fles ijs en 139 verborgen graden

2/22

In de winter van 1761 liet Joseph Black, professor in Glasgow, twee gelijke flessen hangen in een grote zaal waar het 47 °F was (ongeveer 8 °C). In de ene zat ijs van 32 °F, in de andere evenveel ijskoud water van 33 °F. Beide kregen van de lucht in de zaal even snel warmte, want ze hingen er op dezelfde manier en verschilden bijna niet in temperatuur.

Het water warmde gewoon op, tot 40 °F: het had 7 'graden warmte' gekregen, zoals Black het noemde. Het ijs had 21 keer zo lang nodig om te smelten en tot dezelfde 40 °F te komen. Het had dus $21 \times 7 = 147$ graden warmte gekregen, waarvan maar 8 zichtbaar waren op de thermometer. De overige 139 graden waren 'verdwenen' in het smelten. Black noemde die warmte latent: verborgen.

Omgerekend vond Black dat het smelten van ijs evenveel warmte kost als dezelfde massa water 77 °C warmer maken: ongeveer 320 kJ per kilogram. De waarde van vandaag is 334 kJ per kilogram, 80 °C water of 143 °F. Met twee flessen, een thermometer en een klok zat hij er minder dan 4 % naast.

Black maakte als een van de eersten een scherp onderscheid tussen de hoeveelheid warmte en de temperatuur, en merkte op dat gelijke massa's van verschillende stoffen niet evenveel warmte nodig hebben om even warm te worden. Aan dezelfde universiteit werkte een jonge instrumentmaker met wie hij bevriend raakte: James Watt, die in 1765 de stoommachine veel zuiniger maakte met een afzonderlijke condensor.

Waarom dit verhaal ertoe doet

Black mat warmte zonder één joule te kennen: hij vergeleek tijden en temperaturen onder dezelfde omstandigheden. Dat is precies wat een calorimeter doet (verder in dit hoofdstuk). En de verborgen warmte van smelten en verdampen is geen curiositeit: ze beschermt bloesems tegen de vorst en koelt de kweekruimte van Habitat.

Twee flessen in dezelfde zaal: het ijs had 21 keer zo lang nodig om 40 °F te bereiken als het water.

Uitleg · 18.3

De soortelijke warmtecapaciteit

3/22

Hoeveel warmte $Q$ nodig is om een stof op te warmen, hangt af van drie dingen: hoeveel stof (de massa $m$ ), hoeveel graden warmer (de temperatuurstijging $Δ T$ ) en welke stof. Twee keer zoveel water vraagt twee keer zoveel warmte; twee keer zoveel graden ook. Het derde, de stofeigenschap, heet de soortelijke warmtecapaciteit $c$ :

warmte om een stof op te warmen (of warmte die vrijkomt bij afkoelen)

Q = m \cdot c \cdot Δ T

Q

in J,

m

in kg,

Δ T = T_{eind} - T_{begin}

in K (of °C: een verschil is in beide hetzelfde getal),

c

in J per kg per K, geschreven

J/ (kg \cdot K)

. Is

Δ T

negatief, dan is ook

Q

negatief: de stof geeft warmte af.

De soortelijke warmtecapaciteit is dus de warmte die 1 kg van de stof 1 K warmer maakt. Voor water is dat 4186 J: de 4,2 kJ van hoofdstuk F16, want 1 L water is 1 kg. Aluminium heeft maar 897 J nodig, koper 385 J. Een koperen pan van 1 kg wordt dus elf keer sneller heet dan 1 kg water op hetzelfde vuur.

stof	$c$ (J per kg per K)	stof	$c$ (J per kg per K)
water (vloeibaar)	4186	lucht (droog, constante druk)	1005
menselijk lichaam (gemiddeld)	± 3500	aluminium	897
ethanol	2440	beton	± 880 (800 à 1000)
ijs (−10 à 0 °C)	± 2100	glas	± 840
waterdamp (100 °C)	± 2000	zand (droog)	± 830
paraffine (vast)	± 2000	ijzer	449
polypropeen (PP)	± 1900	koper	385
hout (vuren)	± 1600	lood	129
polycarbonaat (PC)	± 1200

Waarden rond kamertemperatuur. Voor water verandert $c$ tussen 0 en 100 °C minder dan 1 %; de ronde waarde 4,2 kJ per kg per K is die van hoofdstuk F16.

Waarom heeft water zo'n grote $c$ ? Warmte die je toevoert, gaat naar de beweging van de deeltjes. In water trekken de moleculen elkaar sterk aan met waterstofbruggen (hoofdstuk 13): een deel van de toegevoerde energie gaat naar het rekken en breken van die bruggen, niet naar snellere beweging. Daardoor stijgt de temperatuur trager. Metalen hebben zware atomen: per kilogram zijn het er weinig, en dus is er per kilogram weinig energie nodig.

Een stof met een grote c wordt warmer

Het omgekeerde is waar. Een grote $c$ betekent dat de stof veel warmte nodig heeft voor één graad: ze warmt traag op en koelt traag af. Daarom is het strandzand 's middags gloeiend heet en de zee nog fris, terwijl ze dezelfde zon kregen. En daarom is water de beste warmtebuffer die je makkelijk kan krijgen.

Water springt eruit: per kilogram vier keer zoveel als lucht en bijna elf keer zoveel als koper.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.4

Water, aluminium en lucht opwarmen

4/22

(a) Hoeveel warmte is nodig om 1,5 L water van 15 °C aan de kook te brengen (100 °C)? (b) En voor de aluminium pan van 0,80 kg waarin het water zit? (c) De lucht in de kweekruimte van Habitat (binnen 2,40 m × 2,00 m × 2,40 m, dichtheid 1,20 kg/m³) wordt 10 °C warmer. Hoeveel warmte is dat, en hoeveel liter water kan je daarmee 10 °C opwarmen?

Gegeven

water: $m = 1, 5 kg$ , $c = 4186 J/ (kg \cdot K)$ , $Δ T = 85 K$
pan: $m = 0, 80 kg$ , $c = 897 J/ (kg \cdot K)$ , $Δ T = 85 K$
lucht: $V = 11, 52 m^{3}$ , $ρ = 1, 20 kg/ m^{3}$ , $c = 1005 J/ (kg \cdot K)$ , $Δ T = 10 K$

Gevraagd

$Q_{water}$ , $Q_{pan}$ , $Q_{lucht}$
gelijkwaardige hoeveelheid water

Oplossing

1
(a) $Q = m \cdot c \cdot Δ T = 1, 5 \cdot 4186 \cdot 85 = 533700 J \approx 534 kJ$ .
2
(b) $Q = 0, 80 \cdot 897 \cdot 85 = 61000 J = 61 kJ$ : ongeveer een negende van wat het water vraagt, hoewel de pan meer dan de helft zo zwaar is.
3
(c) Massa van de lucht: $m = ρ \cdot V = 1, 20 \cdot 11, 52 = 13, 8 kg$ . $Q = 13, 8 \cdot 1005 \cdot 10 = 139000 J = 139 kJ$ .
4
Dezelfde 139 kJ warmen $m = \frac{Q}{c \cdot Δ T} = \frac{139 000}{4186 \cdot 10} = 3, 3 kg$ water 10 °C op: een emmertje van 3,3 L.

Antwoord

(a) 534 kJ. (b) 61 kJ. (c) 139 kJ, evenveel als nodig is voor 3,3 L water. Alle lucht van een ruimte van 11,5 m³ slaat evenveel warmte op als een emmertje water.

Klopt dit? Per kubieke meter: water

1000 \cdot 4186 = 4, 19 MJ

per K, lucht

1, 20 \cdot 1005 = 1, 2 kJ

per K: water slaat per m³ ongeveer 3500 keer meer warmte op. Daarom koelt een kas zo snel af als de zon weg is, en daarom zet je er water in als buffer, geen extra lucht.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.5

Het rendement van een waterkoker

5/22

Een waterkoker van 2200 W brengt 1,5 L water van 15 °C aan de kook in 4 min 33 s. (a) Hoeveel elektrische energie nam hij op? (b) Hoeveel warmte ging naar het water? (c) Wat is het rendement, en waar bleef de rest? De kan is van polypropeen (0,25 kg, $c \approx 1900$ ), de bodem met het element van roestvast staal (0,20 kg, $c \approx 500$ ); ze warmen ongeveer even veel op als het water.

De breedte van elke band is evenredig met de energie; bijna negen tiende komt in het water terecht.

Gegeven

$P = 2200 W$ , $t = 273 s$
water $1, 5 kg$ , van 15 naar 100 °C
kan $0, 25 kg$ PP, bodem $0, 20 kg$ RVS

Gevraagd

$E_{el}$ , $Q_{water}$ , rendement, verliezen

Oplossing

1
(a) $E = P \cdot t = 2200 \cdot 273 = 600600 J \approx 601 kJ$ (hoofdstuk 9 en F21).
2
(b) $Q = 1, 5 \cdot 4186 \cdot 85 = 533, 7 kJ$ .
3
(c) Rendement: $η = 533, 7/600, 6 = 89 %$ .
4
De kan zelf: $C = 0, 25 \cdot 1900 + 0, 20 \cdot 500 = 575 J/K$ , dus $575 \cdot 85 = 48, 9 kJ$ . De rest, $600, 6 - 533, 7 - 48, 9 = 18, 0 kJ$ , ging naar de lucht rond de kan en met de eerste damp mee.

Antwoord

(a) 601 kJ. (b) 534 kJ. (c) Een rendement van 89 %: 49 kJ warmt de kan zelf op, 18 kJ verdwijnt naar de lucht.

Klopt dit? Een waterkoker is een van de efficiëntste manieren om water te verwarmen: het element zit in het water, en de opwarming duurt kort, zodat er weinig tijd is om warmte te verliezen. Een pan op een gaskookplaat haalt veel minder: de hete gassen stromen langs de pan omhoog. Kook alleen het water dat je nodig hebt: de warmte in de kan en in overtollig water is verloren.

Uitleg · 18.6

De warmtecapaciteit van een voorwerp

6/22

Voor een heel voorwerp of een heel systeem, zoals een kas, een pan of een huis, is het handig om $m \cdot c$ samen te nemen. Dat product heet de warmtecapaciteit $C$ van het voorwerp:

warmtecapaciteit

C = m \cdot c Q = C \cdot Δ T C_{totaal} = m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} + \dots

C

in J/K: hoeveel warmte het hele voorwerp nodig heeft voor één kelvin. Bestaat het uit verschillende stoffen die even warm zijn, dan tel je hun warmtecapaciteiten op.

Let op de twee woorden: de soortelijke warmtecapaciteit $c$ is een eigenschap van een stof (per kilogram), de warmtecapaciteit $C$ van een voorwerp (dit ene voorwerp). Een grote pan en een klein pannetje van hetzelfde staal hebben dezelfde $c$ , maar een verschillende $C$ .

Met $C$ zie je meteen welk onderdeel van een systeem de meeste warmte opslaat. Voor de meetkas van Fundamental ziet dat er zo uit (massa's uit hoofdstuk F7 en F10; van de vochtige potgrond telt hier alleen het water, 21 kg, want dat weegt het zwaarst door):

onderdeel	$m$ (kg)	$c$ (J per kg per K)	$C = m \cdot c$ (kJ per K)	aandeel
water in het reservoir	24,0	4186	100,5	46,6 %
water in de potgrond	21,0	4186	87,9	40,8 %
tafelblad (multiplex)	8,4	1600	13,4	6,2 %
bakjes (PP)	3,6	1900	6,8	3,2 %
platen (PC)	2,9	1200	3,5	1,6 %
frame (aluminium)	3,1	900	2,8	1,3 %
lucht	0,69	1005	0,7	0,3 %
samen			216	100 %

Water als maatstaf

Een warmtecapaciteit kan je ook uitdrukken als een hoeveelheid water: het waterequivalent. Het tafelblad van 13,4 kJ/K gedraagt zich als $13 440/4186 = 3, 2$ kg water. Bij een calorimeter heet dat de waterwaarde (verder in dit hoofdstuk).

Het water (in het reservoir en in de potgrond) slaat bijna 90 % van de warmte op; de lucht nog geen half procent.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.7

Habitat: de 504 kJ van de meetkas, nu exact

7/22

In hoofdstuk F16 gaf het reservoir van de meetkas (24 L die 's nachts 5 °C afkoelt) met de vuistregel 504 kJ. (a) Reken het exact met $Q = m \cdot c \cdot Δ T$ . (b) Hoe groot is de warmtecapaciteit van de hele meetkas volgens de tabel? Hoeveel warmte geeft ze af als ze 's nachts gemiddeld 5 °C afkoelt? (c) De platen verliezen 14 W per °C verschil met buiten (hoofdstuk F16). Stel dat er alleen lucht in de kas zat. Hoe snel zou ze afkoelen bij 5 °C verschil?

Gegeven

$m = 24 kg$ , $c = 4186 J/ (kg \cdot K)$ , $Δ T = - 5 K$
$C_{meetkas} = 216 kJ/K$ (tabel)
verlies $14 W$ per °C; lucht: $0, 69 kg$ , $c = 1005 J/ (kg \cdot K)$

Gevraagd

$Q_{reservoir}$
$Q_{meetkas}$
afkoelsnelheid van alleen de lucht

Oplossing

1
(a) $Q = 24 \cdot 4186 \cdot (- 5) = - 502000 J = - 502 kJ$ . Het minteken zegt: het water geeft 502 kJ af. De vuistregel gaf 504 kJ, want 4,2 is 4186 naar boven afgerond (0,3 %).
2
(b) $Q = C \cdot Δ T = 216 \cdot 5 \approx 1078 kJ$ (plus nog wat uit de droge stof van de grond). Twee keer zoveel als het reservoir alleen: het water in de potgrond is een tweede buffer.
3
(c) Bij 5 °C verschil verliest de kas $14 \cdot 5 = 70 W$ : 70 J per seconde. De lucht alleen heeft $C = 0, 69 \cdot 1005 = 693 J/K$ , dus ze zou $70/693 = 0, 10 K$ per seconde afkoelen: 6 °C per minuut.

Antwoord

(a) 502 kJ. (b) Ongeveer 1078 kJ voor de hele meetkas. (c) Alleen lucht zou 6 °C per minuut afkoelen; dankzij het water gaat het 300 keer trager.

Klopt dit? Het verschil tussen (c) en de werkelijkheid is de kern van dit hoofdstuk: wat een ruimte 's nachts warm houdt, is niet de lucht maar de massa water erin. De warmte stroomt van het water naar de lucht en van de lucht door de platen naar buiten. Hoe snel dat laatste gaat, bereken je in hoofdstuk 19.

Uitleg · 18.8

Smelten en verdampen: warmte zonder temperatuurstijging

8/22

Verwarm een blok ijs van −20 °C met een constant vermogen en meet de temperatuur. Eerst stijgt ze, tot 0 °C. Dan blijft ze staan, hoewel je blijft verwarmen: het ijs smelt. Pas als al het ijs gesmolten is, stijgt de temperatuur weer, tot 100 °C. Daar blijft ze opnieuw staan, veel langer: het water kookt weg. Zo'n grafiek heet een opwarmcurve; de horizontale stukken zijn de plateaus.

Waar gaat de warmte op een plateau heen? Niet naar snellere beweging (de temperatuur stijgt niet), maar naar het losmaken van de deeltjes (hoofdstuk F6). In ijs zitten de watermoleculen vast in een rooster; om ze los te krijgen, moeten veel waterstofbruggen breken. Bij verdampen moeten de moleculen helemaal van elkaar los, en dat kost nog veel meer:

smelt- en verdampingswarmte

Q = m \cdot L_{s} Q = m \cdot L_{v}

L_{s}

: smeltwarmte,

L_{v}

: verdampingswarmte, in J/kg (of kJ/kg). Voor water:

L_{s} = 334 kJ/kg

L_{v} = 2257 kJ/kg

bij 100 °C. Bij stollen en condenseren komt precies dezelfde warmte weer vrij.

smeltwarmte $L_{s}$	kJ/kg	verdampingswarmte $L_{v}$	kJ/kg
ijs (0 °C)	334	water bij 100 °C	2257
aluminium (660 °C)	397	water bij 20 °C	2454
ijzer (1538 °C)	247	water bij 0 °C	2501
koper (1085 °C)	205	ethanol bij 78 °C	± 850
paraffine (± 20 à 60 °C, naargelang de soort)	150 à 250
lood (327 °C)	23

Tussen haakjes het smeltpunt. Stollen en condenseren geven dezelfde hoeveelheid warmte terug.

Vergelijk de getallen voor water. Smelten kost evenveel als hetzelfde water 80 °C warmer maken. Verdampen kost bijna zeven keer zoveel als smelten, en meer dan vijf keer zoveel als het water van 0 tot 100 °C opwarmen. In de opwarmcurve is het verdampingsplateau het langste stuk: 73 % van alle warmte gaat daarnaar.

Verdampen gebeurt ook onder 100 °C

Water verdampt bij elke temperatuur, alleen trager (was die droogt, zweet dat opdroogt). Bij lagere temperatuur kost het zelfs iets meer warmte per kilogram: 2454 kJ bij 20 °C, 2501 kJ bij 0 °C. Bij 100 °C kookt het water: dan vormen er zich ook dampbellen in de vloeistof zelf.

Bij constante toevoer is de horizontale as ook een tijdas: het kookplateau duurt bijna zeven keer zo lang als het smeltplateau.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.9

Van ijsblok tot stoom

9/22

Een blok ijs van 1,0 kg en −20 °C wordt helemaal omgezet in stoom van 120 °C. (a) Bereken de warmte voor elke fase en de totale warmte. (b) Hoe lang duurt dat op een kookplaat die 1500 W aan de pan afgeeft? (c) Welke fase duurt het langst?

Gegeven

$m = 1, 0 kg$ ; $c_{ijs} = 2100$ , $c_{water} = 4186$ , $c_{stoom} \approx 2000 J/ (kg \cdot K)$
$L_{s} = 334 kJ/kg$ , $L_{v} = 2257 kJ/kg$
$P = 1500 W$

Gevraagd

warmte per fase
tijd
langste fase

Oplossing

1
Ijs opwarmen van −20 tot 0 °C: $Q_{1} = 1, 0 \cdot 2100 \cdot 20 = 42 kJ$ .
2
Smelten bij 0 °C: $Q_{2} = 1, 0 \cdot 334 = 334 kJ$ .
3
Water opwarmen van 0 tot 100 °C: $Q_{3} = 1, 0 \cdot 4186 \cdot 100 = 419 kJ$ .
4
Verdampen bij 100 °C: $Q_{4} = 1, 0 \cdot 2257 = 2257 kJ$ .
5
Stoom opwarmen van 100 tot 120 °C: $Q_{5} = 1, 0 \cdot 2000 \cdot 20 = 40 kJ$ .
6
Samen: $42 + 334 + 419 + 2257 + 40 = 3092 kJ \approx 3, 1 MJ$ . Tijd: $t = Q / P = 3092 000/1500 = 2061 s \approx 34 min$ , waarvan $2257 000/1500 = 1505 s$ (25 min) voor het verdampen.

Antwoord

(a) 42, 334, 419, 2257 en 40 kJ: samen 3,1 MJ (0,86 kWh). (b) Ongeveer 34 minuten. (c) Het verdampen: 25 van de 34 minuten.

Klopt dit? Wie ooit een pan water liet droogkoken, weet het: aan de kook brengen gaat snel, helemaal wegkoken duurt lang. De uitkomst in kWh is handig om te onthouden: 1 kg water verdampen kost ongeveer 0,63 kWh. Daarom is een droogkast of een wasdroger een grote verbruiker.

Verhaal · 18.10

IJs tegen de vorst: bloesems in Haspengouw

10/22

In april staan de fruitbomen van Haspengouw in bloei. Een heldere nacht met vorst kan dan een hele oogst vernietigen: bij enkele graden onder nul bevriest het vocht in de bloem, en ijskristallen scheuren de cellen. Sommige fruittelers doen daarom iets wat tegen elk gevoel ingaat: ze zetten in de vriesnacht de beregening aan en spuiten water over de bomen.

Het water bevriest op de takken en de bloesems. Bij het stollen komt de smeltwarmte vrij: 334 kJ per kilogram water. Zolang er vloeibaar water bij blijft komen dat bevriest, blijft het mengsel van water en ijs op 0 °C, en daarmee ook de bloem erin. Zo'n bloesem kan rond 0 °C blijven, ook als het in de boomgaard −5 à −6 °C wordt. Telers rekenen met ongeveer 30 000 liter water per hectare per uur: 3 mm per uur.

Reken na wat dat oplevert. Per uur bevriest op elke vierkante meter 3 kg water, dus komt er $3 \cdot 334 = 1002 kJ$ vrij: $1002000 J /3600 s = 278 W$ per vierkante meter. Evenveel als een straalkacheltje boven elke vierkante meter boomgaard, maar dan zonder brandstof.

Nooit halverwege stoppen

De beregening moet blijven draaien tot de zon het ijs heeft doen smelten. Stopt ze te vroeg, dan verdampt en sublimeert er water uit het ijs, en dat kost warmte: per kilogram ongeveer zeven keer meer dan het bevriezen opleverde. De bloesem wordt dan kouder dan zonder beregening. Om dezelfde reden werkt de techniek slecht als het hard waait (opdracht 18.13).

Bloesems in een laagje ijs: zolang er water bij komt dat bevriest, blijft de bloem rond 0 °C.

Uitleg · 18.11

Verdampen koelt, condenseren verwarmt

11/22

Als water verdampt, neemt het de verdampingswarmte mee uit zijn omgeving. Zo koelt je lichaam af als zweet opdroogt: per liter zweet 2,4 MJ, genoeg om 70 kg lichaam (± 3500 J per kg per K) bijna 10 °C af te koelen. En zo koelen planten hun bladeren: via de huidmondjes verdampt water (transpiratie, hoofdstuk F27).

In de kweekruimte van Habitat verdampen de slaplanten op een warme dag tot 6 L water (hoofdstuk 13). Bij ongeveer 20 °C kost dat $6 \cdot 2454 kJ = 14, 7 MJ$ , of 4,1 kWh: meer dan de lampen per dag aan elektrische energie opnemen (3,0 kWh, hoofdstuk 20). Die warmte komt uit het zonlicht op de bladeren en uit de lucht: verdampen is een airco.

Maar de energie is niet weg. Ze zit als latente warmte in de waterdamp, en komt vrij waar de damp condenseert. 's Nachts is dat vooral het koude kasdak: de druppels die je 's ochtends onder het dak ziet, hebben daar hun warmte afgegeven, en die lekt door het dak naar buiten. Wie de waterdamp met de ventilatie naar buiten blaast, blaast ook de warmte naar buiten. Die kringloop van water en warmte moet de klimaatregeling van de module beheren (hoofdstuk 31).

Koelen met verdamping

In droge, warme streken koelt men gebouwen en kassen met natte matten en een ventilator: de lucht wordt koeler doordat ze water verdampt. In een vochtige kas werkt dat slecht: lucht die al bijna verzadigd is, kan weinig water meer opnemen (hoofdstuk F6, dauwpunt).

Doorsnede van de kweekruimte (op schaal): de sla verdampt water, de damp condenseert tegen het koude kasdak en geeft daar zijn warmte af.

Uitleg · 18.12

De warmtebalans: wat de ene afgeeft, neemt de andere op

12/22

Giet warm water bij koud water, of laat een heet blokje metaal in koud water zakken. Warmte stroomt van warm naar koud, tot alles dezelfde eindtemperatuur $T_{e}$ heeft. Als er geen warmte naar buiten lekt (een goed geïsoleerd vat, of een snelle menging), dan gaat er ook geen warmte verloren: behoud van energie (hoofdstuk 9). Wat de warme stof afgeeft, neemt de koude op:

warmtebalans bij mengen (1 is warm, 2 is koud)

Q_{af} = Q_{op} ⟺ m_{1} c_{1} (T_{1} - T_{e}) = m_{2} c_{2} (T_{e} - T_{2})

Elke term is positief: de warme stof koelt af van

T_{1}

tot

T_{e}

, de koude warmt op van

T_{2}

tot

T_{e}

Los op naar $T_{e}$ en je krijgt een gewogen gemiddelde, waarin elke stof meetelt met haar warmtecapaciteit:

eindtemperatuur (zonder faseovergang)

T_{e} = \frac{m _{1} c _{1} T _{1} + m _{2} c _{2} T _{2} + \dots}{m _{1} c _{1} + m _{2} c _{2} + \dots}

Zelfde stof (

c

valt weg):

T_{e} = \frac{m _{1} T _{1} + m _{2} T _{2}}{m _{1} + m _{2}}

. Evenveel warm als koud water geeft precies het gemiddelde.

Twee gevolgen. De eindtemperatuur ligt altijd tussen de begintemperaturen, en dichter bij die van de stof met de grootste $m \cdot c$ . En de formule werkt voor meer dan twee stoffen: tel gewoon alle termen op, ook de calorimeter zelf.

Warm plus koud is altijd het gemiddelde

Alleen bij gelijke warmtecapaciteit. Een aluminium blokje van 250 g en 100 °C in 200 g water van 18 °C geeft geen 59 °C, maar ongeveer 35 °C: het water heeft vier keer de warmtecapaciteit van het blokje en 'trekt' de eindtemperatuur naar zich toe.

Bijvullen van het reservoir (voorbeeld hierna): elke liter warm water maakt het geheel ongeveer 0,7 °C warmer.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.13

Habitat: het reservoir bijvullen op 20 °C

13/22

In het voedingsreservoir van de klimaatmodule staat nog 24 L oplossing van 21 °C. Het moet worden bijgevuld tot 60 L met regenwater van 9 °C uit de opvangtank. Wortels houden niet van een koude douche: de oplossing moet rond 20 °C blijven. (a) Welke temperatuur krijg je met alleen regenwater? (b) Hoeveel liter van de 36 L moet je vervangen door warm water van 50 °C om op 20 °C uit te komen? (c) Hoeveel energie kost het om dat warme water op te warmen van 9 tot 50 °C?

Gegeven

24 L van 21 °C; aanvullen met 36 L
regenwater 9 °C, warm water 50 °C
1 L oplossing $\approx$ 1 kg, $c = 4186 J/ (kg \cdot K)$

Gevraagd

$T_{e}$ met alleen regenwater
liter warm water
energie voor het warme water

Oplossing

1
(a) Eén stof, dus $c$ valt weg: $T_{e} = \frac{24 \cdot 21 + 36 \cdot 9}{60} = \frac{504 + 324}{60} = 13, 8^{\circ} C$ . Te koud.
2
(b) Noem $x$ het aantal liter warm water. Dan komt er $36 - x$ liter regenwater bij: $24 \cdot 21 + 50 x + 9 (36 - x) = 60 \cdot 20$ .
3
Uitwerken: $504 + 50 x + 324 - 9 x = 1200$ , dus $41 x = 372$ en $x = 9, 1 L$ warm water en 26,9 L regenwater.
4
(c) $Q = m \cdot c \cdot Δ T = 9, 1 \cdot 4186 \cdot (50 - 9) = 1, 56 MJ$ , of $1560 000/3 600000 = 0, 43 kWh$ .

Antwoord

(a) 13,8 °C. (b) 9,1 L warm water van 50 °C en 26,9 L regenwater. (c) 1,56 MJ = 0,43 kWh, bijna een derde van de bruikbare batterij (1,2 kWh, hoofdstuk 16).

Klopt dit? Het resultaat past in de grafiek van het vorige blad (20 °C bij 9,1 L). En de energie: om 60 L van 13,8 naar 20 °C te brengen, is

60 \cdot 4186 \cdot 6, 2 = 1, 56 MJ

nodig, precies hetzelfde. Of je het water vooraf of achteraf opwarmt, de energie blijft dezelfde. Slimmer: laat het regenwater eerst een dag in de warme module op temperatuur komen.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.14

IJsblokjes in de limonade

14/22

Je doet twee ijsblokjes van samen 50 g, rechtstreeks uit de diepvries (−18 °C), in 0,30 kg limonade van 22 °C. Limonade is bijna water. (a) Smelt al het ijs? (b) Wat is de eindtemperatuur? (c) En als je er 200 g ijs in doet?

Gegeven

limonade: $0, 30 kg$ , 22 °C, $c = 4186 J/ (kg \cdot K)$
ijs: $0, 050 kg$ (of $0, 200 kg$ ), −18 °C, $c_{ijs} = 2100 J/ (kg \cdot K)$ , $L_{s} = 334 kJ/kg$

Gevraagd

smelt alles?
$T_{e}$

Oplossing

1
Werk met een boekhouding. Hoeveel warmte kan de limonade afgeven tot ze 0 °C is? $0, 30 \cdot 4186 \cdot 22 = 27630 J$ .
2
Hoeveel vraagt het ijs om op 0 °C te komen en te smelten? $0, 050 \cdot 2100 \cdot 18 + 0, 050 \cdot 334000 = 1890 + 16700 = 18590 J$ . Dat is minder dan 27 630 J: al het ijs smelt.
3
De rest, $27630 - 18590 = 9040 J$ , warmt al het water (nu 0,35 kg) op vanaf 0 °C: $T_{e} = \frac{9040}{0 , 35 \cdot 4186} = 6, 2^{\circ} C$ .
4
(c) Met 200 g ijs vraagt het ijs $0, 200 \cdot 2100 \cdot 18 + 0, 200 \cdot 334000 = 74360 J$ : veel meer dan de 27 630 J. Niet alles smelt, en het mengsel blijft op 0 °C. Na het opwarmen van het ijs ( $7560 J$ ) blijft $27630 - 7560 = 20070 J$ over om te smelten: $20 070/334 000 = 0, 060 kg$ . Er blijft 140 g ijs drijven.

Antwoord

(a) Ja. (b) 6,2 °C. (c) Met 200 g ijs: 0 °C, en 140 g ijs blijft over.

Klopt dit? Een faseovergang maakt een warmtebalans in stukken: controleer eerst wat de warmte 'kan kopen' tot 0 °C, en pas dan de formule toe. Wie meteen de formule voor

T_{e}

invult voor (c), vindt een temperatuur onder 0 °C met gesmolten ijs: onmogelijk. Het programma op het codeblad doet dezelfde controle.

Ontleed · 18.15

De calorimeter

15/22

Een calorimeter is een vat waarin je warmte-uitwisseling zo goed mogelijk afschermt van de omgeving, zodat de warmtebalans klopt. In het labo volstaan twee piepschuimbekers die in elkaar passen, met een deksel. Elk onderdeel heeft een taak.

Twee bekers met een luchtlaag, een deksel met gaatjes voor de thermometer, de roerder en de draad.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Deksel
Houdt de warme lucht en de waterdamp boven het water binnen. Zonder deksel verlies je vooral warmte door verdampen en stroming.
2
Thermometer
Een temperatuursensor met 0,1 °C resolutie, halverwege het water. Lees om de 30 s af, ook vóór het mengen: die meting heb je nodig voor de correctie.
3
Roerder
Een ring die je op en neer beweegt. Zonder roeren is het water bovenaan warmer dan onderaan, en meet de thermometer maar één plek.
4
Het blokje aan een draad
Van tevoren minstens tien minuten in kokend water: dan heeft het de temperatuur van dat water. Snel overbrengen, zonder water mee te nemen.
5
Twee bekers, een luchtlaag
Piepschuim geleidt slecht, en de stilstaande lucht tussen de bekers nog slechter (hoofdstuk 19). De binnenbeker neemt zelf toch wat warmte op: de waterwaarde.
6
Het water
Gewogen op de balans (0,1 g), niet afgemeten met een maatbeker: de massa telt in de balans, en een maatbeker is minder nauwkeurig.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.16

De waterwaarde van de calorimeter

16/22

Een calorimeter neemt zelf ook warmte op: de binnenbeker, de roerder, de sensor. Om die warmtecapaciteit $C_{cal}$ te meten, giet je 150 g water van 52,0 °C in de calorimeter waarin al 150 g water van 18,0 °C staat (en die dus ook 18,0 °C is). Na roeren lees je 34,6 °C. Bereken $C_{cal}$ en de waterwaarde.

Gegeven

koud: $m_{2} = 0, 150 kg$ water en de calorimeter, $T_{2} = 18, 0^{\circ} C$
warm: $m_{1} = 0, 150 kg$ , $T_{1} = 52, 0^{\circ} C$
$T_{e} = 34, 6^{\circ} C$

Gevraagd

$C_{cal}$ in J/K en als waterwaarde

Oplossing

1
Zonder calorimeter zou $T_{e}$ het gemiddelde zijn: 35,0 °C. Het is 0,4 °C minder: de calorimeter heeft warmte opgenomen.
2
Warmtebalans: $m_{1} c (T_{1} - T_{e}) = m_{2} c (T_{e} - T_{2}) + C_{cal} (T_{e} - T_{2})$ .
3
Afgegeven: $0, 150 \cdot 4186 \cdot 17, 4 = 10926 J$ . Opgenomen door het koude water: $0, 150 \cdot 4186 \cdot 16, 6 = 10423 J$ .
4
De calorimeter nam het verschil op: $10926 - 10423 = 503 J$ , voor een stijging van 16,6 °C: $C_{cal} = 503/16, 6 = 30 J/K$ .
5
Waterwaarde: $30/4186 = 0, 0072 kg$ : de calorimeter gedraagt zich als 7 g extra water.

Antwoord

C_{cal} \approx 30 J/K

, een waterwaarde van ongeveer 7 g.

Klopt dit? Klein, maar niet verwaarloosbaar: 7 g naast 150 g is 5 %. Eén meting heeft wel een grote onzekerheid, want 0,1 °C fout op

T_{e}

verandert

C_{cal}

met ongeveer 8 J/K (hoofdstuk 1). Herhaal dus drie keer en neem het gemiddelde. In de proef hierna rekenen we met

C_{cal} = 30 J/K

Proef · 18.17

De soortelijke warmtecapaciteit van aluminium meten

17/22

Onderzoeksvraag

Hoe groot is $c$ voor aluminium, en hoeveel scheelt het als je corrigeert voor de calorimeter en voor warmteverlies?

Materiaal

calorimeter van het vorige blad ( $C_{cal} = 30 J/K$ ), roerder, temperatuursensor
aluminium blokje van 250,0 g aan een draad
kookpot met water op een kookplaat
balans (0,1 g), stopwatch, keukenpapier

VeiligheidKokend water en een heet blokje: werk met de draad, niet met je vingers, en zet de kookpot achteraan op de kookplaat.

De stippellijn trekt de afkoeling na het mengen terug tot het moment van mengen: dat geeft een betere eindtemperatuur dan de hoogste meting.

Werkwijze

1Hang het blokje minstens tien minuten in kokend water. Noteer de temperatuur van het kokende water: dat is de begintemperatuur van het blokje.
2Weeg 200,0 g water van ongeveer 18 °C in de binnenbeker, zet het deksel erop en lees drie minuten lang om de 30 s de temperatuur af.
3Breng het blokje op $t = 3, 0$ min snel over (even afdeppen op keukenpapier) en sluit het deksel. Roer.
4Lees tot $t = 10$ min om de 30 s af. Zet alle metingen in een grafiek.
5Trek door de punten van na het mengen (vanaf 5 min, als alles gelijk verdeeld is) een rechte en verleng ze terug tot $t = 3, 0$ min.

Waarneming

Het kokende water was 99,5 °C (de luchtdruk was die dag iets lager dan normaal). Het water in de calorimeter was vlak voor het mengen 18,1 °C. De grafiek toont de metingen. De hoogste meting is 34,4 °C, bij 5 minuten; daarna daalt de temperatuur langzaam, 0,12 °C per minuut. De teruggetrokken rechte snijdt $t = 3, 0$ min bij 34,6 °C.

berekening met	$T_{e}$ (°C)	$C_{cal}$	$c_{Al}$ (J per kg per K)	afwijking van 897
alleen het water, hoogste meting	34,4	0	838	−6,5 %
met de calorimeter, hoogste meting	34,4	30 J/K	869	−3,2 %
met de calorimeter, gecorrigeerd	34,6	30 J/K	882	−1,7 %

Verklaring

De warmtebalans: het blokje geeft af wat het water en de calorimeter opnemen,

c_{Al} = \frac{( m _{w} c _{w} + C _{cal} ) ( T _{e} - T _{w} )}{m _{Al} ( T _{Al} - T _{e} )} = \frac{( 0 , 200 \cdot 4186 + 30 ) \cdot ( 34 , 6 - 18 , 1 )}{0 , 250 \cdot ( 99 , 5 - 34 , 6 )} = 882 J/ (kg \cdot K)

Waarom teruggerekend? Het mengen duurt een minuut of twee. In die tijd lekt er al warmte naar buiten, zodat de hoogste meting te laag is. Na het mengen daalt de temperatuur ongeveer lineair: dat is het lek. Door die rechte terug te trekken tot het moment van mengen, schat je de temperatuur die het water gehad zou hebben als het mengen ogenblikkelijk was gebeurd.

Waarom nog steeds te laag? Er blijft een systematische fout van ongeveer 2 %. Het blokje koelt af in de seconden tussen de kookpot en de calorimeter, zodat het met minder dan 99,5 °C in het water komt. Die fout kan je niet uit de grafiek halen: je verkleint ze door sneller over te brengen, of door een zwaarder blokje te nemen (dat relatief minder afkoelt).

Code · 18.18

Een warmtebalans in Python

18/22

Een warmtebalans is een optelsom, en met een faseovergang een optelsom met een keuze. Dat is werk voor een computer. De functie mengen berekent het gewogen gemiddelde voor zoveel stoffen als je wil; met_ijs maakt dezelfde boekhouding als in het voorbeeld van de limonade: eerst kijken wat de warmte kan 'kopen', dan pas rekenen.

Pythonmengen.py32 regelsDownload

# mengen.py - de eindtemperatuur van een mengsel, ook met ijs dat (gedeeltelijk) smeltC_WATER = 4186.0     # J/(kg K)C_IJS = 2100.0       # J/(kg K)L_SMELT = 334e3      # J/kg  def mengen(delen):    """delen: lijst van (massa in kg, c in J/(kg K), temperatuur in °C), zonder faseovergang."""    teller = sum(m * c * T for m, c, T in delen)    noemer = sum(m * c for m, c, T in delen)    return teller / noemer                              # een gewogen gemiddelde  def met_ijs(m_water, T_water, m_ijs, T_ijs):    """Water boven 0 °C met ijs van T_ijs (<= 0 °C). Geeft (eindtemperatuur, overgebleven ijs in kg)."""    q_beschikbaar = m_water * C_WATER * T_water        # het water afkoelen tot 0 °C    q_opwarmen = m_ijs * C_IJS * (0 - T_ijs)           # het ijs opwarmen tot 0 °C    q_smelten = m_ijs * L_SMELT                        # het ijs smelten    if q_beschikbaar < q_opwarmen:        return None, m_ijs                             # er bevriest water: valt buiten dit programma    if q_beschikbaar < q_opwarmen + q_smelten:         # niet alles smelt: het mengsel blijft op 0 °C        gesmolten = (q_beschikbaar - q_opwarmen) / L_SMELT        return 0.0, m_ijs - gesmolten    rest = q_beschikbaar - q_opwarmen - q_smelten     # alles gesmolten: de rest warmt al het water op    return rest / ((m_water + m_ijs) * C_WATER), 0.0  print("reservoir bijvullen:", round(mengen([(24, C_WATER, 21), (9.1, C_WATER, 50), (26.9, C_WATER, 9)]), 1), "°C")print("aluminium in de calorimeter:", round(mengen([(0.250, 897, 99.5), (0.200, C_WATER, 18.1), (1, 30, 18.1)]), 1), "°C")for m_ijs in (0.050, 0.200):    T, rest = met_ijs(0.30, 22.0, m_ijs, -18.0)    print(f"limonade + {m_ijs * 1000:.0f} g ijs: {T:.1f} °C, {rest * 1000:.0f} g ijs over")

Uitvoer (gedraaid bij het bouwen van deze pagina):

reservoir bijvullen: 20.0 °C
aluminium in de calorimeter: 34.8 °C
limonade + 50 g ijs: 6.2 °C, 0 g ijs over
limonade + 200 g ijs: 0.0 °C, 140 g ijs over

Drie controles tegelijk: het reservoir komt op 20 °C uit (voorbeeld hiervoor), de calorimeter met het aluminium blokje geeft de eindtemperatuur die je zou meten zonder warmteverlies en met een blokje dat echt 99,5 °C is, en de limonade klopt met het uitgewerkte voorbeeld. Merk op dat de calorimeter in mengen als een 'stof' van 1 kg met $c = 30$ meetelt: alleen het product $m \cdot c$ doet ertoe. In opdracht 18.11 breid je het programma uit.

Uitleg · 18.19

Water als warmtebuffer

19/22

Een warmtebuffer slaat warmte op wanneer er te veel is en geeft ze terug wanneer er te weinig is. De zonneboiler bewaart de zon van de middag in een vat voor de douche van 's avonds (hoofdstuk F17). Grote glastuinbouwbedrijven hebben naast hun kassen een geïsoleerde watertank van honderden kubieke meter: overdag slaan ze er de warmte in op die vrijkomt bij hun eigen stroomproductie, 's nachts verwarmen ze er de kas mee.

Hoeveel een buffer opslaat, volgt uit $Q = m \cdot c \cdot Δ T$ : je wil een grote $m \cdot c$ , en een temperatuurzwaai $Δ T$ die je mag toelaten. Water wint op bijna alle punten: de grootste $c$ van alle gewone stoffen, goedkoop, niet giftig, en het kan stromen, zodat je de warmte met een pomp verplaatst. Per kubieke meter wint beton het niet, ook al is het 2,4 keer zo zwaar.

Er is één manier om per kilogram meer op te slaan: een faseovergang. Een faseovergangsmateriaal (PCM, phase change material), zoals een paraffine of een zouthydraat dat smelt rond 20 à 30 °C, neemt bij het smelten 150 à 250 kJ per kg op, bij een bijna vaste temperatuur. Dat is zoveel als water dat 40 à 60 °C opwarmt. PCM is wel duurder, en het moet in dunne lagen zitten, want vast paraffine geleidt warmte slecht.

Een warmtebuffer is geen batterij

De warmte in een vat van 30 °C kan je gebruiken om iets van 16 °C warm te houden, maar je kan er geen lamp of pomp mee laten draaien. Warmte bij zo'n klein temperatuurverschil terug omzetten in elektrische energie gaat nauwelijks (hoofdstuk E15). Een warmtebuffer is dus goed voor warmte, een batterij voor elektriciteit.

Per m³ en bij 10 °C temperatuurzwaai; bij paraffine komt de smeltwarmte erbij (200 kJ/kg, 800 kg/m³). Lucht slaat bijna niets op.

Een warmtebuffer naast een glastuinbouwbedrijf: overdag laden, 's nachts de kas verwarmen.

Uitgewerkt voorbeeld · 18.20

Habitat: een watervat als nachtbuffer voor de klimaatmodule

20/22

Op een zonnige lentedag warmen de zon (door het kasdak) en de lampen de klimaatmodule op tot 26 °C. Om 22 uur gaan de lampen uit. Buiten is het die nacht gemiddeld 4 °C, en de module verliest ongeveer 20 W per °C verschil met buiten (hoofdstuk 19 rekent het na). De sla mag 's nachts niet onder 16 °C zakken. In de module staan al het voedingsreservoir (60 L) en 11,5 m³ lucht. (a) Hoeveel warmte verliest de module tussen 22 en 6 uur? (b) Hoe groot moet een extra watervat zijn om dat op te vangen? (c) Hoeveel elektrische energie zou een verwarming nodig hebben om zonder vat 16 °C te houden?

Lucht, reservoir en vat koelen samen af, zoals een kop thee (hoofdstuk 5): hoe groter de warmtecapaciteit, hoe trager.

Gegeven

verlies $20 W$ per °C, nacht $8 h$ , buiten $4^{\circ} C$
begin $26^{\circ} C$ , ondergrens $16^{\circ} C$
reservoir $60 kg$ water; lucht $13, 8 kg$ , $c = 1005 J/ (kg \cdot K)$

Gevraagd

warmteverlies per nacht
grootte van het vat
energie voor elektrisch verwarmen

Oplossing

1
(a) De temperatuur daalt van 26 naar 16 °C; reken met het gemiddelde, 21 °C: gemiddeld $21 - 4 = 17$ °C verschil, dus $20 \cdot 17 = 340 W$ . Per nacht: $Q = 340 W \cdot 8 \cdot 3600 s = 9, 79 MJ$ .
2
(b) Die warmte moet komen uit alles wat 10 °C afkoelt: $C = Q /Δ T = 9, 79 MJ /10 K = 979 kJ/K$ . Reservoir en lucht leveren al $60 \cdot 4186 + 13, 8 \cdot 1005 = 265 kJ/K$ .
3
Het vat moet de rest leveren: $979 - 265 = 714 kJ/K$ , dus $m = 714 000/4186 = 171 kg$ . Kies een vat van 200 L.
4
Controle met het afkoelmodel van hoofdstuk 5 (grafiek): met 200 L is de module om 6 uur nog 17,0 °C, met 100 L 13,5 °C, zonder vat 6,5 °C.
5
(c) Zonder vat moet een verwarming 16 °C houden: $20 \cdot (16 - 4) = 240 W$ , acht uur lang: $240 \cdot 8 = 1920 Wh = 1, 92 kWh$ .

Antwoord

(a) Ongeveer 9,8 MJ per nacht. (b) Een vat van 200 L water houdt de module boven 16 °C. (c) 1,92 kWh elektrisch per nacht: meer dan de hele bruikbare batterij van 1,2 kWh (hoofdstuk 16).

Klopt dit? Het vat moet overdag weer 'opladen':

200 \cdot 4186 \cdot 10 = 8, 4 MJ

(2,3 kWh). Dat doen de zon door het kasdak en de lampen, die hun 190 W volledig als warmte in de module achterlaten (hoofdstuk 20). Met een faseovergangsmateriaal dat bij 22 °C stolt (200 kJ/kg) zou ongeveer 36 kg volstaan in plaats van 171 kg water, maar het kost meer. Een donker vat in het zonlicht onder het kasdak laadt het snelst op.

Naslag · 18.21

Overzicht: warmte berekenen

21/22

warmte en temperatuurverandering

Q = m \cdot c \cdot Δ T

symbool	betekenis	eenheid
$Q$	warmte (negatief: afgegeven)	J
$m$	massa	kg
$c$	soortelijke warmtecapaciteit	J/(kg·K)
$Δ T$	temperatuurverandering	K of °C

warmtecapaciteit van een voorwerp

C = m \cdot c Q = C \cdot Δ T

symbool	betekenis	eenheid
$C$	warmtecapaciteit	J/K

smelten en verdampen (stollen en condenseren: zelfde warmte vrij)

Q = m \cdot L_{s} Q = m \cdot L_{v}

symbool	betekenis	eenheid
$L_{s}$	smeltwarmte (ijs: 334)	kJ/kg
$L_{v}$	verdampingswarmte (water, 100 °C: 2257)	kJ/kg

eindtemperatuur bij mengen (zonder faseovergang)

T_{e} = \frac{m _{1} c _{1} T _{1} + m _{2} c _{2} T _{2} + \dots}{m _{1} c _{1} + m _{2} c _{2} + \dots}

calorimetrie (mengmethode)

c_{metaal} = \frac{( m _{w} c _{w} + C _{cal} ) ( T _{e} - T _{w} )}{m _{m} ( T _{m} - T _{e} )}

symbool	betekenis	eenheid
$C_{cal}$	warmtecapaciteit van de calorimeter	J/K

stof	$c$ (J per kg per K)	stof	$c$ (J per kg per K)
water (vloeibaar)	4186	lucht (droog, constante druk)	1005
menselijk lichaam (gemiddeld)	± 3500	aluminium	897
ethanol	2440	beton	± 880 (800 à 1000)
ijs (−10 à 0 °C)	± 2100	glas	± 840
waterdamp (100 °C)	± 2000	zand (droog)	± 830
paraffine (vast)	± 2000	ijzer	449
polypropeen (PP)	± 1900	koper	385
hout (vuren)	± 1600	lood	129
polycarbonaat (PC)	± 1200

Waarden rond kamertemperatuur. Voor water verandert $c$ tussen 0 en 100 °C minder dan 1 %; de ronde waarde 4,2 kJ per kg per K is die van hoofdstuk F16.

smeltwarmte $L_{s}$	kJ/kg	verdampingswarmte $L_{v}$	kJ/kg
ijs (0 °C)	334	water bij 100 °C	2257
aluminium (660 °C)	397	water bij 20 °C	2454
ijzer (1538 °C)	247	water bij 0 °C	2501
koper (1085 °C)	205	ethanol bij 78 °C	± 850
paraffine (± 20 à 60 °C, naargelang de soort)	150 à 250
lood (327 °C)	23

Tussen haakjes het smeltpunt. Stollen en condenseren geven dezelfde hoeveelheid warmte terug.

omrekenen
1 kWh	3,6 MJ
1 kcal (voeding)	4,184 kJ
1 L water 1 °C warmer	4,19 kJ = 1,16 Wh
1 kg water verdampen (100 °C)	2,26 MJ = 0,63 kWh
1 kg ijs smelten	334 kJ = 0,093 kWh

Werkwijze warmtebalans met ijs: (1) warmte die het warme deel kan afgeven tot 0 °C; (2) warmte die het ijs nodig heeft tot 0 °C en om te smelten; (3) vergelijken: is (1) groter, dan smelt alles en warmt de rest het water op; is (1) kleiner, dan blijft het mengsel op 0 °C.

Het geheel · 18.22

Waar warmte berekenen naartoe leidt

22/22

Warmte berekenen is de brug tussen Energie en Materie en chemie: $c$ , $L_{s}$ en $L_{v}$ zijn stofeigenschappen die je met het deeltjesmodel en de bindingen verklaart. Met de calorimeter en de correctie voor warmteverlies zit je in Onderzoeken en meten, met de gewogen gemiddelden en de afkoelcurve in Wiskundig modelleren. En de warmtebuffer is een ontwerpbeslissing voor Habitat.

F6 Het deeltjesmodel

Faseovergangen en temperatuur als beweging van deeltjes: waar de latente warmte heen gaat.

F16 Warmte en temperatuur

De vuistregel 4,2 kJ per liter per graad en de 504 kJ van het reservoir van de meetkas.

F17 Energie uit zon, wind en water

De zonneboiler en de warmtebuffer als vorm van energieopslag.

I1 Meetfouten en nauwkeurigheid

Systematische fouten (het blokje dat afkoelt) tegenover toevallige, en de onzekerheid op $C_{cal}$ .

I5 Groei en verval: exponentiële modellen

Afkoelen als exponentieel verval: het nachtmodel van de module.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Behoud van energie en rendement: in een warmtebalans gaat geen energie verloren.

I13 Chemische bindingen en stofeigenschappen

Waterstofbruggen verklaren de grote $c$ en de grote verdampingswarmte van water.

I14 Reacties en stoichiometrie

Exotherme en endotherme reacties: warmte die bij een reactie vrijkomt of opgenomen wordt.

I19 Warmtetransport en isolatie

Hoe snel de warmte uit de module weglekt: het getal 20 W per °C nagerekend.

I20 Zonne-energie dimensioneren

Waarom de verwarming niet op de batterij kan, en de lampen die ook de module verwarmen.

E15 De hoofdwetten van de thermodynamica

Waarom je warmte van 30 °C nauwelijks terug omzet in arbeid.

E17 Warmteoverdracht kwantitatief

Het dynamische warmtemodel: warmtecapaciteit en warmteverlies samen geven een tijdconstante.

HabitatVoor Habitat leggen we vast: in de klimaatmodule komt naast het voedingsreservoir een donker watervat van 200 L als nachtbuffer, in het zonlicht onder het kasdak. Met het reservoir en de lucht erbij is de warmtecapaciteit van de module dan ongeveer 1,1 MJ per °C, en blijft ze in een lentenacht (4 °C buiten) boven 16 °C zonder verwarming. Elektrisch verwarmen zou ongeveer 1,9 kWh per nacht kosten, meer dan de bruikbare batterij. In opdracht 18.12 dimensioneer je de buffer voor een koudere nacht.

Samenvatting

In het kort

De warmte om een stof op te warmen is $Q = m \cdot c \cdot Δ T$ . De soortelijke warmtecapaciteit $c$ is een stofeigenschap: water 4186, aluminium 897, lucht 1005 J per kg per K.
De warmtecapaciteit van een voorwerp is $C = m \cdot c$ ; bij een systeem tel je de delen op. In een kas slaat het water bijna alle warmte op, de lucht bijna niets.
Bij smelten en verdampen stijgt de temperatuur niet: de warmte maakt de deeltjes los. $Q = m \cdot L$ , met $L_{s} = 334 kJ/kg$ en $L_{v} = 2257 kJ/kg$ (bij 100 °C) voor water. Stollen en condenseren geven dezelfde warmte terug.
Verdampen koelt (zweet, transpiratie), condenseren verwarmt (druppels op het kasdak); bevriezend water kan bloesems tegen vorst beschermen.
Bij mengen is de afgegeven warmte gelijk aan de opgenomen warmte; de eindtemperatuur is een gewogen gemiddelde met gewichten $m \cdot c$ . Met ijs: eerst de boekhouding tot 0 °C.
In een calorimeter tel je de waterwaarde mee en corrigeer je voor warmteverlies door de afkoelrechte terug te trekken tot het moment van mengen.
Water is de beste eenvoudige warmtebuffer; een faseovergangsmateriaal slaat per kg meer op. Voor Habitat houdt een vat van 200 L de module een lentenacht lang boven 16 °C.

Begrippen

Wat je nu kent

soortelijke warmtecapaciteit: De warmte die nodig is om 1 kg van een stof 1 K (of 1 °C) warmer te maken; symbool $c$ , in J per kg per K.
warmtecapaciteit: De warmte die nodig is om een heel voorwerp 1 K warmer te maken: $C = m \cdot c$ , in J per K.
smeltwarmte: De warmte die nodig is om 1 kg van een vaste stof op haar smeltpunt te laten smelten, zonder dat de temperatuur stijgt; bij stollen komt ze weer vrij.
verdampingswarmte: De warmte die nodig is om 1 kg vloeistof te laten verdampen; bij condenseren komt ze weer vrij. Voor water 2257 kJ/kg bij 100 °C.
latente warmte: Verzamelnaam voor smelt- en verdampingswarmte: warmte die een faseovergang veroorzaakt in plaats van een temperatuurstijging.
warmtebalans: In een geïsoleerd geheel is de warmte die de warmere delen afgeven gelijk aan de warmte die de koudere opnemen.
calorimeter: Een goed geïsoleerd vat waarin je warmte-uitwisseling meet, bijvoorbeeld twee piepschuimbekers met een deksel.
waterwaarde: De massa water die evenveel warmte opneemt als de calorimeter zelf; een andere manier om $C_{cal}$ uit te drukken.
warmtebuffer: Een massa (meestal water) die warmte opslaat wanneer er te veel is en ze afgeeft wanneer er te weinig is.

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen