IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Handboek · hoofdstuk 5Groei en verval: exponentiële modellen

Vermenigvuldigen in plaats van optellen: van bacteriën en algen tot afkoelende thee en vervallende kernen

Sommige dingen groeien niet met een vaste hoeveelheid per stap, maar met een vaste factor: bacteriën, algen, het aantal transistoren op een chip. Andere dalen zo: de temperatuur van thee boven die van de kamer, de spanning over een condensator, het aantal radioactieve kernen. In dit hoofdstuk leer je rekenen met groeifactoren en procenten, verdubbelings- en halveringstijden afleiden met logaritmen, en een logaritmische schaal lezen. En je ontdekt waarom exponentiële groei onze intuïtie zo vaak te snel af is.

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code16 opdrachten in het werkboek± 9 lestijden

WWiskundig modelleren BLeven en systemen EEnergie

Zelfde voeding, zelfde warmte: in het doorzichtige reservoir verdubbelen de algen elke dag, in het lichtdichte niet.

Na dit hoofdstuk

Je kan een groeifactor omzetten in een procentuele groei of afname en omgekeerd, ook naar een andere tijdseenheid.
Je kan een exponentieel model N = N0 · g^t opstellen uit een beschrijving of uit twee metingen, en het herkennen aan constante verhoudingen.
Je kan met logaritmen een exponent terugrekenen en de formule voor de verdubbelingstijd t2 = log 2 / log g afleiden en gebruiken.
Je kan bacteriegroei, afkoeling, het ontladen van een condensator en radioactief verval met een exponentieel model beschrijven, met de juiste beginwaarde en eindwaarde.
Je kan uitleggen waarom exponentiële groei lineaire groei altijd inhaalt en waarom ze in het begin misleidt.
Je kan waarden aflezen op een logaritmische schaal en er een groeifactor en een verdubbelingstijd uit bepalen.
Je kan het geldigheidsgebied van een exponentieel model benoemen: waar groei begrensd wordt en waar de aannames niet meer gelden.

Uitleg · 5.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/18

Je rekent al lang met procenten: 20 % korting, 6 % btw, 3 % meer leerlingen dan vorig jaar. In hoofdstuk 4 leerde je een model kiezen: constante eerste verschillen wijzen op een lineaire functie, constante tweede verschillen op een kwadratische. En er bleef een meetreeks over, de bacteriën, waarin niet de verschillen maar de verhoudingen constant waren: 100, 160, 256, 410, 655, telkens × 1,60.

Dat is het kenmerk van dit hoofdstuk. Een lineaire functie telt per stap hetzelfde getal op, een exponentiële functie vermenigvuldigt met hetzelfde getal. In de grafiek lijkt dat onschuldig: een groei van 5 % per stap blijft 48 stappen lang achter bij een vaste groei van 20 per stap. Daarna is het voorbij. Je leert in dit hoofdstuk

rekenen met de groeifactor en met procenten, ook als de tijdseenheid verandert;
de verdubbelingstijd en de halveringstijd, en hoe je ze afleidt met logaritmen;
vier toepassingen: bacteriën, afkoelen, een condensator die ontlaadt, radioactief verval;
een logaritmische schaal lezen, waarop een exponentiële functie een rechte wordt.

Machten opfrissen

$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ; $g^{0} = 1$ voor elke $g$ ; $g^{- 1} = 1/ g$ ; $1 0^{- 3} = 0, 001$ ; $g^{1/2} = g$ ; $(g^{a})^{b} = g^{a \cdot b}$ . Die laatste regel gebruik je om een groeifactor per dag om te rekenen naar een groeifactor per uur.

Dezelfde start: de rechte krijgt er vast 20 bij, de exponentiële kromme 5 % van wat er al is. Na stap 48,6 is de kromme voorgoed voor.

Verhaal · 5.2

Een schaakbord vol rijst

2/18

Een oude legende, uit India of Perzië, vertelt over de uitvinder van het schaakspel. De koning is zo opgetogen over het spel dat de uitvinder zelf zijn beloning mag kiezen. Zijn vraag lijkt bescheiden: één rijstkorrel op het eerste veld van het schaakbord, twee op het tweede, vier op het derde, en zo telkens het dubbele, tot en met het 64ste veld. De koning lacht en laat een zak rijst brengen.

Reken mee, met 25 mg per korrel:

veld	korrels op dat veld	massa (bij 25 mg per korrel)
1	1	25 mg
10	$2^{9} = 512$	13 g, een klein handje
20	$2^{19} = 524288$	13 kg, een zak
32	$2^{31} \approx 2, 1 \cdot 1 0^{9}$	54 ton, twee vrachtwagens
40	$2^{39} \approx 5, 5 \cdot 1 0^{11}$	14 000 ton, een vrachtschip
64	$2^{63} \approx 9, 2 \cdot 1 0^{18}$	230 miljard ton
samen	$2^{64} - 1 \approx 1, 8 \cdot 1 0^{19}$	460 miljard ton

De eerste helft van het bord, tot veld 32, vraagt samen ongeveer 107 ton: veel, maar een koning kan dat betalen. De tweede helft is een ander verhaal. Alles samen is het ongeveer 460 miljard ton rijst. De hele wereld oogst vandaag ongeveer 520 miljoen ton (gepelde) rijst per jaar: het schaakbord vraagt bijna 900 jaar wereldoogst.

Het verhaal is verzonnen, de rekening niet. Elke grootheid die met een vaste factor groeit, gedraagt zich zo: lang onschuldig, dan onbetaalbaar. Het omgekeerde geldt ook: een grootheid die per stap halveert, is na 64 stappen nog maar $1/ 2^{64} \approx 5 \cdot 1 0^{- 20}$ van het begin.

Waarom dit verhaal ertoe doet

Op veld 64 liggen meer korrels dan op alle 63 vorige velden samen ( $2^{63}$ tegenover $2^{63} - 1$ ). Bij verdubbeling is de laatste stap altijd groter dan de hele geschiedenis ervoor. Dat is de reden waarom exponentiële problemen, van algen tot epidemieën, pas opvallen als het bijna te laat is.

Het eerste rijtje van het bord is een handvol korrels; de rest van het bord is een ander verhaal.

Uitleg · 5.3

Groeifactor en procentuele groei

3/18

Groeit een grootheid per tijdstap met $p$ procent, dan wordt ze per stap vermenigvuldigd met de groeifactor $g = 1 + p /100$ . Na $t$ stappen:

exponentieel model

N (t) = N_{0} \cdot g^{t} g = 1 + \frac{p}{100}

N_{0}

is de beginwaarde (bij

t = 0

g

de groeifactor per tijdstap. Groei:

g > 1

. Afname:

0 < g < 1

, met

p

negatief. De eenheid van

t

hoort bij

g

: 'per uur', 'per jaar'.

verandering per stap	groeifactor $g$
+3 %	1,03
+100 % (verdubbelen)	2
−20 %	0,80
−50 % (halveren)	0,5
+700 % (acht keer zoveel)	8

Andere tijdseenheid. Is de groeifactor per uur $g_{u}$ , dan is hij per dag $g_{d} = g_{u}^{24}$ . Omgekeerd: $g_{u} = g_{d}^{1/24}$ . Groeit iets met 10 % per dag, dan is de groeifactor per week $1, 1^{7} = 1, 95$ : bijna het dubbele, dus +95 %, niet +70 %.

Procenten mag je optellen

+10 % per dag is niet +70 % per week, want elke dag rekent de 10 % op een groter getal. En eerst +20 % en dan −20 % brengt je niet terug bij het begin: $1, 20 \cdot 0, 80 = 0, 96$ , dus 4 % minder. Werk altijd met groeifactoren: die vermenigvuldig je.

Herkennen doe je aan de verhoudingen: bij gelijke stappen in $t$ is $N (t + 1) / N (t)$ constant (en gelijk aan $g$ ). In een grafiek: een kromme die steeds steiler wordt (groei) of steeds trager daalt en nooit nul wordt (afname).

Na 10 stappen: 619 bij +20 %, 163 bij +5 %, en 10,7 bij −20 %. De dalende kromme nadert nul, maar raakt ze nooit.

Uitgewerkt voorbeeld · 5.4

Bacteriën in een voedingsbodem

4/18

Bij 37 °C, in een rijke voedingsbodem, verdubbelt de darmbacterie E. coli ongeveer elke 20 minuten. Een buisje bevat bij de start 1000 bacteriën per mL. Stel het model op met $t$ in uren. Hoeveel bacteriën zijn er na 3 uur en na 8 uur? Wat is de procentuele groei per uur en per minuut?

Gegeven

$N_{0} = 1000$ per mL
verdubbelingstijd $t_{2} = 20 min$

Gevraagd

$N (t)$ , $N (3 h)$ , $N (8 h)$
groei per uur en per minuut in procent

Oplossing

1
In één uur verdubbelt de populatie drie keer: $g_{u} = 2^{3} = 8$ per uur. Model: $N (t) = 1000 \cdot 8^{t}$ (per mL, $t$ in uren).
2
$N (3) = 1000 \cdot 8^{3} = 512000$ per mL.
3
$N (8) = 1000 \cdot 8^{8} = 1000 \cdot 2^{24} = 1, 7 \cdot 1 0^{10}$ per mL.
4
Per uur: $g = 8$ , dus $p = (8 - 1) \cdot 100 % = 700 %$ . Per minuut: $g = 2^{1/20} = 1, 0353$ , dus 3,5 % per minuut. (Controle: $1, 035 3^{60} = 8, 0$ .)

Antwoord

N (t) = 1000 \cdot 8^{t}

per mL: 512 000 na 3 uur,

1, 7 \cdot 1 0^{10}

na 8 uur. De groei is 700 % per uur, of 3,5 % per minuut: hetzelfde model in twee tijdseenheden.

Klopt dit? De uitkomst na 8 uur klopt niet met de werkelijkheid: in zo'n buisje stopt de groei rond een miljard bacteriën per mL, omdat de voeding opraakt en afvalstoffen zich ophopen. Het exponentiële model geldt alleen in de groeifase, tussen een aanloopfase en een stationaire fase (hoofdstuk 35). En bij 4 °C, in de koelkast, is de verdubbelingstijd vele uren tot dagen: daarom bewaar je melk koel.

Uitleg · 5.5

Verdubbelingstijd en halveringstijd

5/18

Vaak is het handiger om een exponentieel model te beschrijven met de tijd die nodig is om te verdubbelen of te halveren, in plaats van met een groeifactor.

met verdubbelingstijd en halveringstijd

N (t) = N_{0} \cdot 2^{t / t_{2}} N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}

Na één verdubbelingstijd

t_{2}

N

twee keer zo groot, na twee keer

t_{2}

vier keer, na drie keer acht keer. Na één halveringstijd

t_{1/2}

is de helft over, na twee een kwart, na tien ongeveer een duizendste (

1/1024

Het mooie: de verdubbelingstijd hangt niet af van de beginwaarde. Van 1000 naar 2000 duurt even lang als van een miljoen naar twee miljoen. Dat is precies wat 'exponentieel' betekent: in gelijke tijden, gelijke factoren.

De vuistregel van 70. Bij een kleine procentuele groei $p$ per tijdstap is de verdubbelingstijd ongeveer $70/ p$ tijdstappen. Bij 2 % per jaar: 35 jaar; bij 7 % per jaar: 10 jaar. De regel is een benadering; bij 20 % geeft hij 3,5 in plaats van 3,8. Waar hij vandaan komt, zie je in het voorbeeld 'Hoe lang tot het verdubbelt?'.

Halveringstijd is geen 'halve levensduur'

Na twee halveringstijden is niet alles weg, maar nog een kwart. Een exponentieel dalende grootheid wordt nooit precies nul. In de praktijk zeg je: na ongeveer tien halveringstijden is er nog 0,1 % over, en dat is vaak verwaarloosbaar.

Elke 5 dagen halveert wat er over is: 100 %, 50 %, 25 %, 12,5 % ... De stappen worden steeds kleiner.

Uitleg · 5.6

Logaritmen: de exponent terugvinden

6/18

Hoe lang duurt het tot een grootheid met 3 % per jaar verdubbelt? Je zoekt $t$ in $1, 0 3^{t} = 2$ . De onbekende staat in de exponent. Om ze eruit te halen, heb je de logaritme nodig, de omgekeerde bewerking van een macht:

logaritme (grondtal 10)

1 0^{x} = y \Leftrightarrow x = lo g y

lo g 1000 = 3

want

1 0^{3} = 1000

;

lo g 1 = 0

;

lo g 0, 01 = - 2

;

lo g 2 = 0, 301

want

1 0^{0, 301} = 2

. Een logaritme bestaat alleen voor positieve getallen.

Twee rekenregels zijn genoeg voor dit hoofdstuk:

rekenregels

lo g (a \cdot b) = lo g a + lo g b lo g (a^{n}) = n \cdot lo g a

De eerste regel maakt van vermenigvuldigen optellen: dat is het principe van de rekenlat, tot in de jaren 1970 het rekentoestel van elke ingenieur (figuur). De tweede regel haalt de exponent naar beneden. Daarmee los je elke exponentiële vergelijking op:

g^{t} = k \Rightarrow lo g (g^{t}) = lo g k \Rightarrow t \cdot lo g g = lo g k \Rightarrow t = \frac{lo g k}{lo g g}

Voor $1, 0 3^{t} = 2$ : $t = lo g 2/ lo g 1, 03 = 0, 30103/0, 012837 = 23, 4$ jaar.

log of ln?

Je rekenmachine heeft ook een ln-toets: de natuurlijke logaritme, met als grondtal het getal $e \approx 2, 718$ (dat verschijnt bij de condensator). Voor $t = lo g k / lo g g$ maakt het niet uit welke je gebruikt, zolang je in teller en noemer dezelfde neemt: $ln 2/ ln 1, 03$ geeft ook 23,4.

Op een logaritmische schaal staat elk getal op een afstand log n van 1. Twee lengtes achter elkaar leggen is de getallen vermenigvuldigen.

Uitgewerkt voorbeeld · 5.7

Hoe lang tot het verdubbelt? De formule afgeleid

7/18

Leid een formule af voor de verdubbelingstijd $t_{2}$ en de halveringstijd $t_{1/2}$ bij een groeifactor $g$ . Pas ze toe op drie gevallen: (a) een waterverbruik dat groeit met 3 % per jaar; (b) de 'wet van Moore', een verdubbeling om de twee jaar: welke groeifactor per jaar is dat? (c) het radioactieve jodium-131, met een halveringstijd van 8,02 dagen: met hoeveel procent daalt het per dag?

Gegeven

$N (t) = N_{0} \cdot g^{t}$
(a) $g = 1, 03$ per jaar; (b) $t_{2} = 2$ jaar; (c) $t_{1/2} = 8, 02$ dagen

Gevraagd

$t_{2} (g)$ en $t_{1/2} (g)$
(a) $t_{2}$ ; (b) $g$ per jaar; (c) $p$ per dag

Oplossing

1
Verdubbeld betekent $N (t_{2}) = 2 N_{0}$ : $N_{0} \cdot g^{t_{2}} = 2 N_{0}$ , dus $g^{t_{2}} = 2$ .
2
Neem de logaritme van beide kanten: $lo g (g^{t_{2}}) = lo g 2$ , dus $t_{2} \cdot lo g g = lo g 2$ en $t_{2} = \frac{lo g 2}{lo g g}$ . Op dezelfde manier: $t_{1/2} = \frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g g} = - \frac{lo g 2}{lo g g}$ (positief, want bij afname is $lo g g < 0$ ).
3
(a) $t_{2} = \frac{0 , 30103}{lo g 1 , 03} = \frac{0 , 30103}{0 , 012837} = 23, 4$ jaar. De vuistregel gaf $70/3 = 23, 3$ .
4
(b) Omgekeerd: $g^{t_{2}} = 2$ geeft $g = 2^{1/ t_{2}} = 2^{1/2} = 1, 414$ per jaar: +41 % per jaar.
5
(c) $g = (\frac{1}{2})^{1/ t_{1/2}} = 0, 5^{1/8, 02} = 0, 9172$ per dag: een daling van 8,3 % per dag.

Antwoord

t_{2} = lo g 2/ lo g g

t_{1/2} = - lo g 2/ lo g g

. (a) 23,4 jaar; (b)

g = 1, 41

, +41 % per jaar; (c) −8,3 % per dag.

Klopt dit? Waar komt de vuistregel van 70 vandaan? Voor kleine

p

ln (1 + p /100) \approx p /100

, en

ln 2 = 0, 693

. Dan is

t_{2} = ln 2/ ln g \approx 0, 693/ (p /100) = 69, 3/ p

. Men rondt af naar 70 omdat dat makkelijker deelt, en omdat de benadering voor groeicijfers van enkele procenten dan net iets beter uitkomt.

Uitleg · 5.8

Afkoelen: het verschil valt exponentieel

8/18

Een kop thee van 90 °C staat in een kamer van 20 °C. Ze koelt eerst snel af, dan steeds trager, en komt nooit onder 20 °C. Het is niet de temperatuur zelf die exponentieel daalt, maar het verschil met de omgeving. Isaac Newton beschreef dit verband in 1701: hoe groter het verschil, hoe sneller de warmte wegstroomt, dus hoe sneller het verschil kleiner wordt.

afkoelingsmodel

T (t) = T_{omg} + (T_{0} - T_{omg}) \cdot g^{t}

T_{0}

is de begintemperatuur,

T_{omg}

de omgevingstemperatuur (de eindwaarde),

g

de groeifactor van het verschil per tijdstap (

0 < g < 1

). Opwarmen naar een warmere omgeving gaat met dezelfde formule: dan is

T_{0} - T_{omg}

negatief.

In de grafiek halveert het verschil elke 15 minuten: van 70 °C naar 35 °C (de thee is dan 55 °C), naar 17,5 °C (37,5 °C), enzovoort. Elke halveringstijd komt de thee de helft van de resterende afstand dichter bij de kamertemperatuur.

Geldigheidsgebied. Het model veronderstelt een constante omgevingstemperatuur en een warmteverlies evenredig met het verschil. Dat klopt goed voor geleiding en voor stroming bij kleine verschillen. Bij een open beker koelt de thee in het begin sneller af dan het model zegt, door verdamping; en een grote watertank in een kas die 's nachts afkoelt, ziet de omgeving zelf ook kouder worden.

Vooruitblik

In Expert (hoofdstuk E4) schrijf je dit model als een differentiaalvergelijking: de snelheid van afkoelen is evenredig met het verschil, $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{omg})$ . De exponentiële functie is daar de oplossing van. Het warmtemodel van het station in hoofdstuk E39 is hetzelfde idee, met een verwarming erbij.

De temperatuur (rood) nadert de kamertemperatuur; het verschil (blauw, stippel) halveert elke 15 minuten.

Proef · 5.9

Hoe koelt een beker thee af?

9/18

Onderzoeksvraag

Daalt het temperatuurverschil tussen een beker heet water en de kamer exponentieel? Zo ja, wat is de halveringstijd van het verschil?

Materiaal

beker (liefst dezelfde voor alle groepen), waterkoker
digitale thermometer of temperatuursensor met datalogger
thermometer voor de kamertemperatuur
stopwatch
rekenblad

VeiligheidHeet water: zet de beker stevig neer, niet aan de rand van de tafel, en giet niet boven je handen.

De metingen (punten) volgen het exponentiële model naar de kamertemperatuur.

Werkwijze

1Meet de kamertemperatuur, uit de buurt van ramen en verwarming.
2Vul de beker met water van ongeveer 85 °C. Zet de sensor in het midden van het water, niet tegen de wand.
3Roer zacht en noteer elke 4 minuten de temperatuur, 40 minuten lang. Laat de beker staan zonder deksel.
4Bereken het verschil $T - T_{omg}$ en de verhouding van twee opeenvolgende verschillen.
5Zet het verschil uit tegen de tijd, op een gewone en op een logaritmische as.

Waarneming

$t$ (min)	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
$T$ (°C)	85,0	75,0	66,1	59,2	53,0	47,9	43,9	40,1	37,0	34,6	32,5
$T - T_{omg}$ (°C)	64,0	54,0	45,1	38,2	32,0	26,9	22,9	19,1	16,0	13,6	11,5
verhouding per 4 min		0,844	0,835	0,847	0,838	0,841	0,851	0,834	0,838	0,850	0,846

Kamertemperatuur 21,0 °C. De verhoudingen liggen allemaal tussen 0,834 en 0,851, zonder trend: gemiddeld 0,842 per 4 minuten. Op een logaritmische as liggen de verschillen op een rechte.

Verklaring

Constante verhoudingen bij gelijke tijdstappen: het verschil daalt exponentieel, met $g = 0, 842$ per 4 min. Per minuut is dat $0, 84 2^{1/4} = 0, 958$ : het verschil wordt elke minuut 4,2 % kleiner. Halveringstijd van het verschil: $t_{1/2} = 4 min \cdot \frac{lo g 0 , 5}{lo g 0 , 842} = 16 min$ . Het model: $T (t) = 21, 0 + 64, 0 \cdot 0, 5^{t /16}$ (°C, $t$ in min).

De halveringstijd hangt af van de beker, de hoeveelheid water en de luchtstroming: een dunne plastic beker of een ventilator maakt ze korter, een geïsoleerde beker veel langer. Precies dat getal gebruik je later om een warmtebuffer voor de klimaatmodule te ontwerpen (hoofdstukken 18 en 19).

Op een logaritmische as wordt het verschil een rechte: het bewijs dat het exponentieel daalt. Het halveert van 64 naar 32 °C in 16 minuten.

Uitgewerkt voorbeeld · 5.10

Een condensator ontlaadt

10/18

Een condensator van 470 µF is opgeladen tot 5,0 V en ontlaadt over een weerstand van 22 kΩ. De spanning volgt $U (t) = U_{0} \cdot e^{- t / τ}$ met $τ = R \cdot C$ . Bereken de tijdconstante, de halveringstijd, de groeifactor per seconde, en de tijd tot de spanning onder 1,0 V zakt.

Na één tijdconstante (10,3 s) is nog 37 % over, na twee 13,5 %. De halveringstijd is 7,2 s.

Gegeven

$C = 470 μ F = 470 \cdot 1 0^{- 6} F$ , $R = 22 kΩ$
$U_{0} = 5, 0 V$

Gevraagd

$τ$ , $t_{1/2}$ , $g$ per seconde
$t$ waarbij $U = 1, 0 V$

Oplossing

1
$τ = R \cdot C = 22 \cdot 1 0^{3} Ω \cdot 470 \cdot 1 0^{- 6} F = 10, 3 s$ (ohm maal farad is seconde).
2
$e^{- t / τ}$ is een gewone exponentiële functie: $e^{- t / τ} = (e^{- 1/ τ})^{t}$ , dus $g = e^{- 1/10, 34} = 0, 908$ per seconde: de spanning daalt elke seconde 9,2 %.
3
Na één tijdconstante is $U = 5, 0 \cdot e^{- 1} = 1, 84 V$ : nog 37 %. Na $2 τ$ nog 13,5 %, na $5 τ$ nog 0,7 %.
4
Halveringstijd: $e^{- t / τ} = \frac{1}{2}$ geeft $t / τ = ln 2$ , dus $t_{1/2} = τ ln 2 = 0, 693 \cdot 10, 34 = 7, 2 s$ .
5
Onder 1,0 V: $5, 0 \cdot e^{- t / τ} = 1, 0$ , dus $e^{- t / τ} = 0, 20$ en $t = - τ ln 0, 20 = τ ln 5 = 16, 6 s$ .

Antwoord

τ = 10, 3 s

t_{1/2} = 7, 2 s

g = 0, 908

per seconde; na 16,6 s is de spanning onder 1,0 V.

Klopt dit? Het getal

e \approx 2, 718

is een grondtal zoals 2 of 10; natuurkundigen kiezen het omdat

τ

dan een eenvoudige betekenis krijgt: de tijd tot

1/ e

over is. Met

lo g

in plaats van

ln

vind je hetzelfde:

t = τ \cdot lo g 5/ lo g e = 10, 34 \cdot 0, 699/0, 434 = 16, 6 s

. Waarom condensatoren zo ontladen, leer je in hoofdstuk 24; in hoofdstuk E4 leid je de formule af.

Uitleg · 5.11

Radioactief verval

11/18

Sommige atoomkernen zijn instabiel. Ze vallen vanzelf uiteen en zenden daarbij straling uit. Wanneer één bepaalde kern vervalt, is volledig toevallig: je kan het niet voorspellen. Maar elke kern heeft per tijdseenheid dezelfde kans om te vervallen. In een grote groep vervalt daardoor per tijdseenheid een vaste fractie van de kernen die er nog zijn: exponentieel verval.

radioactief verval

N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}} A (t) = A_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}

N

: het aantal kernen dat nog niet vervallen is.

A

: de activiteit, het aantal vervallen per seconde, in becquerel (1 Bq = 1 verval per seconde). Omdat

A

evenredig is met

N

, halveert ze in dezelfde tijd.

De halveringstijd is een eigenschap van de isotoop, en loopt van fracties van een seconde tot miljarden jaren:

isotoop	halveringstijd	waar je het tegenkomt
technetium-99m	6,0 uur	medische beeldvorming (scan van botten, hart)
radon-222	3,8 dagen	radioactief gas uit de bodem, onder meer in delen van de Ardennen
jodium-131	8,0 dagen	behandeling van de schildklier; vrijgekomen bij kernongevallen
cesium-137	30 jaar	splijtingsproduct uit kerncentrales; bron in meettoestellen
koolstof-14	5730 jaar	ouderdomsbepaling van hout, bot en textiel
kalium-40	1,25 miljard jaar	in bananen, in je eigen lichaam, in gesteenten
uranium-238	4,47 miljard jaar	ouderdom van gesteenten en van de aarde

Koolstof-14. Planten nemen koolstof op uit de lucht, met een vaste kleine fractie radioactief koolstof-14. Zolang een organisme leeft, blijft die fractie gelijk; na zijn dood vervalt de koolstof-14 zonder aanvulling. Meet je hoeveel er nog over is, dan ken je de ouderdom. De Amerikaanse chemicus Willard Libby ontwikkelde deze methode rond 1949 en kreeg er in 1960 de Nobelprijs voor.

Na twee halveringstijden is alles weg

Na één halveringstijd is de helft over, na twee een kwart, na drie een achtste. Een monster jodium-131 is na 8 dagen niet 'half op' in de zin van een half lege batterij: elke overblijvende kern heeft nog precies dezelfde kans om te vervallen als op dag één.

Elke 5730 jaar halveert de hoeveelheid koolstof-14. Na 50 000 jaar is nog 0,2 % over: de grens van de methode.

Code · 5.12

Verval met dobbelstenen, gesimuleerd

12/18

Een dobbelsteen is een goed model voor een radioactieve kern: bij elke worp is er een kans van 1/6 op een zes ('verval'), en de steen onthoudt niet hoe vaak hij al gegooid is. Gooi 1000 stenen, haal de zessen eruit, gooi de rest opnieuw. Het model voorspelt $N = 1000 \cdot (5/6)^{n}$ na $n$ worpen, met een halveringstijd van $lo g 0, 5/ lo g (5/6) = 3, 80$ worpen. De computer gooit sneller dan jij.

Pythonverval.py18 regelsDownload

# verval.py - radioactief verval nabootsen met dobbelstenenimport mathimport random random.seed(159)               # vaste startwaarde: elke keer dezelfde 'toevallige' worpenN0 = 1000                      # aantal dobbelstenen ('kernen') bij de startp = 1 / 6                      # kans dat een steen een zes gooit ('vervalt') per worp over = N0print("worp  over  model")for worp in range(1, 16):    vervallen = sum(1 for _ in range(over) if random.randint(1, 6) == 6)    over = over - vervallen    model = N0 * (1 - p) ** worp    print(f"{worp:4d} {over:5d} {model:6.1f}") T_half = math.log(0.5) / math.log(1 - p)print(f"halveringstijd volgens het model: {T_half:.2f} worpen")

Na 3,80 worpen is volgens het model de helft over; de simulatie zit dan tussen 574 en 488.

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

worp  over  model
   1   824  833.3
   2   696  694.4
   3   574  578.7
   4   488  482.3
   5   402  401.9
   6   328  334.9
   7   281  279.1
   8   230  232.6
   9   182  193.8
  10   149  161.5
  11   128  134.6
  12   110  112.2
  13    97   93.5
  14    77   77.9
  15    66   64.9
halveringstijd volgens het model: 3.80 worpen

De simulatie schommelt rond het model, soms erboven, soms eronder: toeval. Hoe kleiner de groep, hoe groter die schommelingen in verhouding (bij 1000 stenen enkele procenten, bij de laatste 66 stenen al meer). Dat is ook bij echte straling zo: een geigerteller tikt onregelmatig, maar gemiddeld over veel kernen geldt de halveringstijd heel precies. Met random.seed(159) krijg je elke keer dezelfde worpen; verander het getal en je krijgt een andere, even toevallige reeks. In opdracht 5.10 gooi je zelf.

Uitleg · 5.13

Exponentieel tegenover lineair: waarom je intuïtie faalt

13/18

Onze intuïtie is lineair: wat gisteren een beetje groeide, groeit morgen een beetje meer. Bij exponentiële groei klopt dat niet, om drie redenen.

1. Lang is er niets te zien. In een vijver verdubbelt een laag algen elke dag. Op dag 30 is de vijver volledig bedekt. Wanneer was hij half bedekt? Op dag 29, één dag eerder. Op dag 25 was nog maar 3 % bedekt: wie dan naar de vijver keek, zag vooral water. Vier dagen later was er geen water meer te zien.

2. Kleine getallen worden snel astronomisch. Een blad papier van 0,1 mm dik, 42 keer dubbel gevouwen, zou $0, 1 mm \cdot 2^{42} = 440000 km$ dik zijn: verder dan de maan (gemiddeld 384 400 km). In werkelijkheid lukt het vouwen maar enkele keren, maar de rekening klopt.

3. Wachten is duur. Verdubbelt iets om de 3 dagen, dan betekent een week later ingrijpen $2^{7/3} = 5$ keer zoveel werk. Bij een groeiend probleem, van algen in een reservoir tot een besmettelijke ziekte, is de goedkoopste dag om in te grijpen altijd vandaag.

En op lange termijn wint exponentiële groei altijd van lineaire groei, en zelfs van elke kwadratische of hogere macht: 5 % per stap haalt '+20 per stap' in na 48,6 stappen (eerste blad), en $1, 0 1^{t}$ haalt $t^{2}$ ook in, alleen later.

Geen groei is eeuwig exponentieel

Algen raken hun licht of hun voeding kwijt, bacteriën hun suiker, een epidemie de mensen die nog niet ziek of immuun zijn. Dan vlakt de groei af tot een grens: de draagkracht. Zo'n S-vormige kromme heet logistische groei (hoofdstuk E32). Het exponentiële model is dus het begin van het verhaal, maar vaak precies het deel waar je nog kan ingrijpen.

Bedekking in procent: 25 dagen lijkt er niets te gebeuren, de laatste vijf dagen gebeurt alles.

Uitleg · 5.14

De logaritmische schaal lezen

14/18

Hoe teken je iets dat groeit van 2300 tot 16 miljard? Op een gewone as zie je alleen het laatste punt. Op een logaritmische schaal staan 1, 10, 100, 1000 ... op gelijke afstanden: elke stap is een factor 10, een decade. Wat je uitzet, is eigenlijk $lo g N$ .

Gelijke afstanden zijn gelijke factoren. Van 10 naar 100 is even ver als van 10⁶ naar 10⁷.
Tussenwaarden staan niet in het midden: 2 staat op 30 % van een decade ( $lo g 2 = 0, 30$ ), 3 op 48 %, 5 op 70 %. Halverwege tussen 10 en 100 staat 32 ( $1 0^{1, 5}$ ), niet 55.
Een exponentiële functie wordt een rechte, want $lo g N = lo g N_{0} + t \cdot lo g g$ : lineair in $t$ , met helling $lo g g$ . Zo trek je een exponentieel verband recht, zoals je in hoofdstuk 3 krommen rechttrok.
De helling is de groeifactor. Stijgt de rechte één decade in een tijd $t_{10}$ , dan is $g^{t_{10}} = 10$ en de verdubbelingstijd $t_{2} = t_{10} \cdot lo g 2 = 0, 30 \cdot t_{10}$ .
Nul bestaat niet op een logaritmische as: $lo g 0$ is niet gedefinieerd. De as begint bij een macht van tien die je kiest.

De grafiek toont de wet van Moore. In 1965 voorspelde Gordon Moore, later medeoprichter van Intel, dat het aantal onderdelen op een chip elk jaar zou verdubbelen; in 1975 stelde hij dat bij tot elke twee jaar. Vijftig jaar lang bleven de punten verrassend dicht bij één rechte: een exponentiële groei met een factor van ongeveer 1,38 per jaar.

Andere logaritmische schalen

De pH-schaal (hoofdstuk 15): pH 5 is tien keer zo zuur als pH 6. De decibel voor geluid: +10 dB is tien keer zoveel geluidsvermogen. De magnitude van een aardbeving: één punt meer is tien keer zo grote uitslag op de seismometer. Telkens zijn gelijke stappen gelijke factoren.

Acht processoren van 1971 tot 2020, van 2300 tot 16 miljard transistoren. Op de logaritmische as liggen ze op een rechte.

Een siliciumschijf met honderden chips: elk ervan bevat vandaag miljarden transistoren.

Uitgewerkt voorbeeld · 5.15

De wet van Moore narekenen

15/18

De Intel 4004 (1971) had ongeveer 2300 transistoren, de Apple M1 (2020) 16 miljard. Bereken uit deze twee punten de groeifactor per jaar en de verdubbelingstijd. Hoe lang duurt een tienvoud? Wat voorspelt het model voor 2000, en hoe ver zit de Pentium 4 (42 miljoen) ernaast?

Op de trendlijn stijgt het aantal transistoren een decade (× 10) in 7,1 jaar.

Gegeven

$N (1971) = 2, 3 \cdot 1 0^{3}$
$N (2020) = 1, 6 \cdot 1 0^{10}$

Gevraagd

$g$ per jaar, $t_{2}$ , $t_{10}$
$N (2000)$ volgens het model

Oplossing

1
Groeifactor over 49 jaar: $\frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{10}}{2300} = 6, 96 \cdot 1 0^{6}$ . Dus $g^{49} = 6, 96 \cdot 1 0^{6}$ .
2
Met logaritmen: $49 lo g g = lo g (6, 96 \cdot 1 0^{6}) = 6, 842$ , dus $lo g g = 0, 1396$ en $g = 1 0^{0, 1396} = 1, 379$ per jaar: +38 % per jaar.
3
Verdubbelingstijd: $t_{2} = \frac{lo g 2}{lo g g} = \frac{0 , 3010}{0 , 1396} = 2, 16$ jaar. Tienvoud: $t_{10} = \frac{lo g 10}{lo g g} = \frac{1}{0 , 1396} = 7, 2$ jaar.
4
Model voor 2000: $N = 2300 \cdot 1, 37 9^{29} = 2, 6 \cdot 1 0^{7}$ . De Pentium 4 had $4, 2 \cdot 1 0^{7}$ : 1,6 keer meer dan het model, op een logaritmische schaal maar een klein stukje boven de rechte ( $lo g 1, 6 = 0, 2$ decade).

Antwoord

g = 1, 38

per jaar, verdubbeling om de 2,2 jaar, tienvoud om de 7,2 jaar. Moore's bijgestelde voorspelling van 1975 (verdubbeling om de twee jaar) klopt dus opmerkelijk goed.

Klopt dit? Een kleinste-kwadratenrechte door log(N) van alle acht processoren (zoals in hoofdstuk 3, maar dan op log N) geeft g = 1,38 per jaar en 7,1 jaar per decade: bijna hetzelfde. Een verschil van een factor 1,6 lijkt groot, maar op deze schaal is het klein: de chips van elk jaar verschillen onderling meer dan dat. En de rechte kan niet eeuwig doorgaan: transistoren zijn nu nog enkele tientallen atomen breed.

Uitgewerkt voorbeeld · 5.16

Habitat: wanneer wordt het reservoir groen?

16/18

Het voedingsreservoir van de klimaatmodule (60 L) is doorschijnend. Je meet de algen in het water met een sensor: $2, 0 \cdot 1 0^{3}$ cellen per mL bij het vullen, $1, 6 \cdot 1 0^{4}$ drie dagen later. Het team legt de alarmgrens op $5 \cdot 1 0^{5}$ cellen per mL, waar het water groenig begint te kleuren. Wanneer gaat het alarm af? Wat levert het op als je het reservoir bij elke vulling zo grondig reinigt dat je met tien keer minder algen start?

Een factor 10 minder bij de start schuift de rechte een decade omlaag: 3,3 dagen later alarm, niet meer.

Gegeven

$N (0) = 2, 0 \cdot 1 0^{3}$ /mL, $N (3 d) = 1, 6 \cdot 1 0^{4}$ /mL
alarmgrens $5 \cdot 1 0^{5}$ /mL

Gevraagd

$g$ per dag en $t_{2}$
tijd tot de alarmgrens, met en zonder grondige reiniging

Oplossing

1
In 3 dagen een factor $1, 6 \cdot 1 0^{4} /2, 0 \cdot 1 0^{3} = 8$ : $g^{3} = 8$ , dus $g = 2$ per dag. De algen verdubbelen elke dag: $t_{2} = 1$ dag.
2
Alarm: $2, 0 \cdot 1 0^{3} \cdot 2^{t} = 5 \cdot 1 0^{5}$ geeft $2^{t} = 250$ en $t = \frac{lo g 250}{lo g 2} = \frac{2 , 398}{0 , 301} = 8, 0$ dagen.
3
Met tien keer minder algen bij de start: $2^{t} = 2500$ , $t = lo g 2500/ lo g 2 = 11, 3$ dagen.
4
Tien keer minder algen levert dus maar $lo g 10/ lo g 2 = 3, 3$ dagen uitstel op: er zijn 3,3 verdubbelingen nodig om een factor 10 in te halen.

Antwoord

De algen verdubbelen elke dag; het alarm gaat af na 8 dagen. Grondiger reinigen geeft 3,3 dagen uitstel, niet tien keer zoveel tijd. Wie de algen wil tegenhouden, moet de groeifactor verlagen, niet de beginwaarde: een lichtdicht reservoir neemt de algen hun licht af.

Klopt dit? Op de logaritmische grafiek zijn beide modellen evenwijdige rechten: dezelfde helling (dezelfde g), een decade uit elkaar. Het model geldt tot het licht of de voeding de groei begrenst; voor een alarmgrens ver onder die grens is het een goede, voorzichtige schatting. Opdracht 5.13 gaat verder met echte meetreeksen.

Naslag · 5.17

Overzicht: exponentiële modellen

17/18

exponentieel model

N (t) = N_{0} \cdot g^{t} g = 1 + \frac{p}{100}

symbool	betekenis	eenheid
$N_{0}$	beginwaarde	eenheid van N
$g$	groeifactor per tijdstap	–
$p$	procentuele verandering per tijdstap	%

andere tijdseenheid (n korte stappen in één lange)

g_{lang} = g_{kort}^{n} g_{kort} = g_{lang}^{1/ n}

verdubbelings- en halveringstijd, vuistregel van 70

t_{2} = \frac{lo g 2}{lo g g} t_{1/2} = - \frac{lo g 2}{lo g g} t_{2} \approx \frac{70}{p}

met verdubbelings- of halveringstijd

N (t) = N_{0} \cdot 2^{t / t_{2}} = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}

logaritmen

1 0^{x} = y \Leftrightarrow x = lo g y lo g (ab) = lo g a + lo g b lo g (a^{n}) = n lo g a

een exponent terugrekenen

g^{t} = k \Rightarrow t = \frac{lo g k}{lo g g}

afkoelen of opwarmen naar de omgeving

T (t) = T_{omg} + (T_{0} - T_{omg}) \cdot g^{t}

symbool	betekenis	eenheid
$T_{omg}$	omgevingstemperatuur (eindwaarde)	°C
$T_{0}$	begintemperatuur	°C

ontladen van een condensator

U (t) = U_{0} \cdot e^{- t / τ} τ = R C t_{1/2} = τ ln 2

symbool	betekenis	eenheid
$τ$	tijdconstante: na τ is nog 37 % over	s
$R$	weerstand	Ω
$C$	capaciteit	F

	lineair	exponentieel
per stap	zelfde getal erbij	zelfde factor maal
in een tabel constant	verschillen	verhoudingen
formule	$N = N_{0} + a t$	$N = N_{0} \cdot g^{t}$
rechte op	gewoon papier	papier met logaritmische verticale as
op lange termijn	blijft achter	wint altijd (bij $g > 1$ )

isotoop	halveringstijd	waar je het tegenkomt
technetium-99m	6,0 uur	medische beeldvorming (scan van botten, hart)
radon-222	3,8 dagen	radioactief gas uit de bodem, onder meer in delen van de Ardennen
jodium-131	8,0 dagen	behandeling van de schildklier; vrijgekomen bij kernongevallen
cesium-137	30 jaar	splijtingsproduct uit kerncentrales; bron in meettoestellen
koolstof-14	5730 jaar	ouderdomsbepaling van hout, bot en textiel
kalium-40	1,25 miljard jaar	in bananen, in je eigen lichaam, in gesteenten
uranium-238	4,47 miljard jaar	ouderdom van gesteenten en van de aarde

na ... halveringstijden	1	2	3	5	7	10
nog over	50 %	25 %	12,5 %	3,1 %	0,8 %	0,1 %

Het geheel · 5.18

Waar exponentiële modellen terugkomen

18/18

Exponentiële functies duiken op overal waar de verandering evenredig is met wat er al is: hoe meer bacteriën, hoe meer er bijkomen; hoe groter het temperatuurverschil, hoe sneller het kleiner wordt. Dat idee, 'de snelheid is evenredig met de grootte', wordt in Expert een differentiaalvergelijking, en verbindt biologie, energie en elektronica.

I3 Verbanden in data

Lineariseren: een exponentieel verband trek je recht met een logaritmische as.

I4 Functies als modellen

Modellen kiezen met verschillen en verhoudingen; domein en geldigheidsgebied.

I15 Zuren, basen en pH

De pH-schaal is logaritmisch: elke stap een factor 10 in zuurgraad.

I18 Warmte berekenen

Een watervat als warmtebuffer: hoe snel koelt het 's nachts af?

I24 Condensatoren en de RC-tijd

Laden en ontladen van een condensator, met de tijdconstante τ = R · C.

I35 Micro-organismen en biotechnologie

De groeicurve van een bacteriecultuur: aanloop, exponentiële groei, stationaire fase.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Afkoelingswet van Newton en RC-kring als dy/dt = −k · y: de exponentiële functie als oplossing.

E30 Biotechnologie en genetische technieken

PCR verdubbelt DNA bij elke cyclus: 30 cycli geven een factor van een miljard.

E32 Ecologische modellen

Logistische groei: waar exponentiële groei tegen de draagkracht botst.

HabitatAlgen in het voedingsreservoir zijn het schoolvoorbeeld van exponentiële groei in de klimaatmodule: ze verdubbelen onder licht en met voeding ongeveer elke dag. In opdracht 5.13 analyseer je een meetreeks en kies je tussen reinigen, afdekken en lichtdicht maken. Voor Habitat leggen we vast: het reservoir van de klimaatmodule (60 L) is lichtdicht.

Samenvatting

In het kort

Exponentieel: per tijdstap vermenigvuldigen met dezelfde groeifactor $g$ : $N (t) = N_{0} \cdot g^{t}$ , met $g = 1 + p /100$ . Herken het aan constante verhoudingen.
Procenten tel je niet op, groeifactoren vermenigvuldig je: +10 % per dag is +95 % per week. Een andere tijdseenheid: $g_{lang} = g_{kort}^{n}$ .
De verdubbelingstijd $t_{2} = lo g 2/ lo g g$ en de halveringstijd $t_{1/2} = - lo g 2/ lo g g$ hangen niet af van de beginwaarde. Vuistregel: $t_{2} \approx 70/ p$ .
Met logaritmen haal je een onbekende uit de exponent: $g^{t} = k$ geeft $t = lo g k / lo g g$ .
Bij afkoelen daalt het verschil met de omgeving exponentieel; een condensator ontlaadt met $e^{- t / R C}$ ; radioactieve kernen vervallen met een vaste halveringstijd.
Exponentiële groei wint altijd van lineaire, maar lijkt lang onschuldig: de laatste verdubbeling is groter dan alles ervoor.
Op een logaritmische schaal zijn gelijke afstanden gelijke factoren en wordt een exponentiële functie een rechte; uit de helling lees je de groeifactor.
Geen groei is eeuwig exponentieel: voeding, licht of ruimte begrenzen ze. Het model geldt in de groeifase.

Begrippen

Wat je nu kent

exponentiële functie: Functie $N (t) = N_{0} \cdot g^{t}$ : per tijdstap wordt de grootheid met dezelfde factor $g$ vermenigvuldigd.
groeifactor: De factor $g$ waarmee een grootheid per tijdstap vermenigvuldigd wordt; $g > 1$ is groei, $0 < g < 1$ is afname.
procentuele groei: De groei per tijdstap in procent van de vorige waarde: $p = (g - 1) \cdot 100 %$ .
verdubbelingstijd: De tijd $t_{2}$ waarin een exponentieel groeiende grootheid verdubbelt; $t_{2} = lo g 2/ lo g g$ .
halveringstijd: De tijd $t_{1/2}$ waarin een exponentieel afnemende grootheid halveert; $t_{1/2} = lo g \frac{1}{2} / lo g g$ .
logaritme: De exponent: $lo g y$ is het getal $x$ waarvoor $1 0^{x} = y$ . Met logaritmen reken je een exponent terug.
logaritmische schaal: As waarop gelijke afstanden gelijke factoren zijn (1, 10, 100 ...); een exponentiële functie wordt er een rechte.
tijdconstante: Bij $e^{- t / τ}$ de tijd $τ$ waarna nog $1/ e \approx 37 %$ over is; bij een RC-kring $τ = R \cdot C$ .
radioactief verval: Het willekeurig uiteenvallen van instabiele atoomkernen; per halveringstijd vervalt de helft van de overblijvende kernen.
becquerel: Eenheid van activiteit: één verval per seconde (Bq).

Aan de slag in het werkboek16 opdrachten, van oefenen tot uitdagen