EExpert · deel E3 · Thermodynamica en stroming

Handboek · hoofdstuk 15De hoofdwetten van de thermodynamica

Energie verdwijnt nooit, maar ze verliest wel aan waarde: wat dat betekent voor motoren, centrales en het station

Een motor zet warmte om in arbeid, maar nooit helemaal: een deel moet hij kwijt aan de omgeving. Waarom is dat zo, en hoeveel moet het minstens zijn? De eerste hoofdwet is energiebehoud met warmte en arbeid als twee manieren om energie door te geven; de tweede hoofdwet zegt welke kant het vanzelf uit gaat, met entropie als maat. Je rekent aan gassen in pV-diagrammen, aan de Carnot-cyclus en een benzinemotor, en je begrijpt waarom een centrale een koeltoren heeft. Tot slot volg je elke kilowattuur van het station over een heel jaar, van zon en wind tot de warmte die door de wanden verdwijnt.

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code18 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

EEnergie WWiskundig modelleren

Wat uit een koeltoren opstijgt, is geen rook maar waterdamp: de warmte die een centrale moet lozen omdat de tweede hoofdwet het zo wil.

Na dit hoofdstuk

Je kan inwendige energie, warmte en arbeid onderscheiden en de eerste hoofdwet ΔU = Q − W met de juiste tekens toepassen.
Je kan de arbeid van een gas berekenen als W = ∫p dV en ze aflezen als oppervlakte in een pV-diagram, en uitleggen waarom Q en W van het pad afhangen.
Je kan de vier processen (isochoor, isobaar, isotherm, adiabatisch) berekenen en de adiabaat pV^γ = constant afleiden.
Je kan het rendement van een kringproces berekenen, het Carnot-rendement afleiden en een echte cyclus (Otto, Stirling) ermee vergelijken.
Je kan de tweede hoofdwet in woorden en met entropie formuleren en entropieveranderingen berekenen voor eenvoudige gevallen.
Je kan uitleggen waarom een centrale warmte moet lozen, en de ordes van grootte van rendement en koelwater schatten.
Je kan een jaarlijkse energiebalans opstellen en als Sankey-diagram tonen, en er ontwerpbeslissingen uit afleiden.

Verhaal · 15.1

Vuur, stoom en een vergeten boekje

1/20

In 1824 verscheen in Parijs een dun boekje van een jonge legeringenieur: Réflexions sur la puissance motrice du feu, 'beschouwingen over de beweegkracht van het vuur'. Sadi Carnot was 28. Hij wilde weten waarom de Engelse stoommachines Frankrijk zo voorbij liepen, en hoeveel arbeid je uit een hoeveelheid warmte kon halen. Zijn antwoord was verrassend algemeen: het hangt niet af van de stof in de machine (stoom, lucht of alcohol), maar alleen van de temperatuur van de bron en van de koude kant. Een machine levert arbeid zoals een waterrad: niet door warmte te verbruiken, maar door ze van hoog naar laag te laten 'vallen'. Het boekje werd nauwelijks gelezen; Carnot stierf in 1832 aan cholera, 36 jaar oud.

Émile Clapeyron redde het idee in 1834. Hij gaf de kringloop van Carnot een tekening: het pV-diagram, dat James Watt en zijn assistent John Southern al rond 1796 met een 'indicator' uit hun stoommachines lieten schrijven. De oppervlakte van de lus is de arbeid per slag.

Carnot dacht nog dat warmte een stof was die bewaard bleef. In de jaren 1840 toonden de Duitse arts Julius Robert Mayer (1842), de Engelse brouwerszoon James Prescott Joule (metingen van 1843 tot 1850, met een schoepenrad dat water opwarmde door een vallend gewicht) en Hermann von Helmholtz (1847) dat warmte en arbeid in elkaar omzetbaar zijn: 1 calorie is ongeveer 4,2 joule. Rudolf Clausius (1850) en William Thomson, de latere Lord Kelvin (1851), verzoenden beide ideeën: energie blijft behouden (de eerste hoofdwet), maar warmte stroomt vanzelf alleen van warm naar koud en laat zich nooit volledig in arbeid omzetten (de tweede). In 1865 gaf Clausius de maat daarvoor een naam: entropie. Ludwig Boltzmann legde uit wat entropie met atomen te maken heeft; zijn formule $S = k lo g W$ staat op zijn graf in Wenen.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Elke centrale, motor, koelkast en warmtepomp gehoorzaamt aan deze twee wetten. Voor het station betekenen ze: elke kilowattuur die binnenkomt, verlaat het station uiteindelijk als warmte, en warmte uit de buitenlucht kan je alleen naar binnen pompen als je er arbeid voor betaalt (hoofdstuk 16).

Een indicator tekent tijdens de werking het pV-diagram van een stoommachine: de oppervlakte van de lus is de arbeid per slag.

Uitleg · 15.2

Wat je al weet: energie, warmte en arbeid

2/20

wat je al kan	wat nu komt
energievormen, energiebehoud, rendement, Sankey-diagram (hoofdstuk 15 van F)	energiebehoud met warmte en arbeid als twee manieren om energie over te dragen: de eerste hoofdwet
warmte en temperatuur, warmte stroomt van warm naar koud (hoofdstuk 16 van F)	waarom dat altijd zo is: de tweede hoofdwet en entropie
arbeid $W = F \cdot s$ , vermogen (hoofdstuk 9 van I); $Q = m c Δ T$ en $C = m c$ (hoofdstuk 18 van I)	arbeid van een gas $W = \int p d V$ , $c_{v}$ en $c_{p}$
integralen als oppervlakte (hoofdstuk 3); de ideale gaswet en de kinetische gastheorie (hoofdstuk 14)	arbeid als oppervlakte in het pV-diagram; inwendige energie als bewegingsenergie van moleculen

De thermodynamica werkt met een systeem (het gas in een cilinder, de lucht van de woonmodule, het koudemiddel in een warmtepomp) en zijn omgeving. De toestand van het systeem beschrijf je met toestandsgrootheden zoals $p$ , $V$ , $T$ en de inwendige energie $U$ : de totale energie van alle deeltjes samen. Ze hangen alleen af van de toestand, niet van hoe het systeem daar gekomen is.

Energie kan op twee manieren over de grens van het systeem gaan:

warmte $Q$ : door een temperatuurverschil (geleiding, stroming, straling);
arbeid $W$ : door een kracht die iets verplaatst, bv. een zuiger, een schoepenrad, een elektrische stroom.

Warmte en arbeid zijn geen toestandsgrootheden: ze bestaan alleen onderweg. Een systeem 'bevat' geen warmte, net zoals een rekening geen 'stortingen' bevat, maar een saldo.

Tekenafspraak in dit hoofdstuk (die van de ingenieurs): $Q > 0$ als er warmte naar het systeem gaat, $W > 0$ als het systeem arbeid levert (een gas dat uitzet en een zuiger duwt). Sommige boeken tellen de arbeid op het systeem positief; dan staat er $Δ U = Q + W$ . Controleer altijd welke afspraak een bron gebruikt.

Warmte en temperatuur zijn hetzelfde

Temperatuur is een toestand (hoe snel de deeltjes gemiddeld bewegen, hoofdstuk 14); warmte is energie die stroomt. Een vonk van 1000 °C op je hand verbrandt je niet: ze bevat te weinig inwendige energie om veel warmte af te geven. Water van 60 °C is veel minder heet, maar kan je wel verbranden.

Uitleg · 15.3

Arbeid van een gas: de oppervlakte onder de kromme

3/20

Een gas duwt met druk $p$ op een zuiger met oppervlakte $A$ . Schuift de zuiger een stukje $d x$ op, dan levert het gas de arbeid $d W = F d x = p A d x = p d V$ . Over een heel proces tel je al die stukjes op (hoofdstuk 3):

arbeid door een gas

W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V

Positief als het gas uitzet (

V_{2} > V_{1}

), negatief als het wordt samengeperst (dan levert de omgeving arbeid aan het gas). In een pV-diagram is

∣ W ∣

de oppervlakte onder de kromme.

De arbeid hangt van de weg af. Neem $1, 23$ mol lucht in toestand A (1 bar, 30 L, 20 °C) en druk het samen tot B (3 bar, 10 L). A en B hebben dezelfde $p V$ , dus dezelfde temperatuur. Drie wegen:

pad 1: eerst bij 1 bar samenpersen tot 10 L, dan bij 10 L opwarmen tot 3 bar: arbeid op het gas $1 \cdot 1 0^{5} \cdot 0, 020 = 2000 J$ ;
pad 2: eerst bij 30 L opwarmen tot 3 bar, dan bij 3 bar samenpersen: $6000 J$ ;
pad 3: langs de isotherm: $p V ln 3 = 3000 \cdot 1, 0986 = 3296 J$ .

Omdat begin- en eindtoestand dezelfde temperatuur hebben, is $Δ U$ langs elk pad nul. De warmte die het gas afgeeft, is dus even groot als de arbeid erop, en verschilt ook per pad. Daarom schrijft men soms $δ Q$ en $δ W$ voor kleine hoeveelheden: het zijn geen veranderingen van iets, alleen hoeveelheden onderweg.

Drie wegen van A naar B: de oppervlakte onder elk pad is de arbeid. Onder de isotherm is ze gearceerd; pad 2 vraagt drie keer zoveel arbeid als pad 1.

Proef · 15.4

Loodhagel: arbeid wordt warmte

4/20

Onderzoeksvraag

Hoeveel warmer wordt loodhagel als je het honderd keer een meter laat vallen? Wordt alle arbeid warmte van het lood?

Materiaal

kartonnen of PVC-buis van 1,00 m met twee stoppen
1,0 kg loodhagel (of koperhagel), in een zakje van dun plastic
thermometer of temperatuursensor (±0,1 °C)
handschoenen, een stopwatch

VeiligheidLood is giftig: werk met handschoenen, gebruik de hagel in een gesloten zakje, eet en drink niet tijdens de proef en was je handen. Koperhagel is een veiliger alternatief (c = 385 J/(kg·K): kleinere stijging).

De hagel warmt op met elke val, maar minder snel dan wanneer alle zwaarte-energie in het lood zou blijven.

Werkwijze

1Laat de hagel een uur op kamertemperatuur komen. Meet de temperatuur (sensor in het midden van de hagel).
2Doe de hagel in de buis, sluit af en keer de buis snel om, rechtop, zodat de hagel telkens over bijna de hele lengte valt. Tel.
3Meet na 25, 50, 75 en 100 keer omkeren snel de temperatuur (buis open, sensor erin, dicht).
4Bereken de temperatuurstijging als alle zwaarte-energie warmte van het lood zou worden.

Waarneming

Een voorbeeldmeting (valhoogte 0,95 m: de laag hagel is 5 cm dik): na 0 keer 20,4 °C, na 25 keer 22,0 °C, na 50 keer 23,4 °C, na 75 keer 24,8 °C, na 100 keer 26,1 °C. De temperatuur stijgt ongeveer lineair.

Verklaring

Per val wordt de zwaarte-energie $m g h$ omgezet in bewegingsenergie, en bij de landing in inwendige energie van het lood (en een beetje van de buis en de lucht). Als alles in het lood bleef: $m c Δ T = N m g h$ , dus $Δ T = \frac{N g h}{c} = \frac{100 \cdot 9 , 81 \cdot 0 , 95}{129} = 7, 2 K$ , onafhankelijk van de massa. Gemeten: 5,7 K, 79 % daarvan. De rest ging naar de buis en de lucht, en tijdens het meten koelt de hagel al af.

Rekende je andersom de soortelijke warmte uit de meting, dan vond je $c = N g h /Δ T = 163 J/ (kg K)$ : te veel, omdat je de verliezen vergeet. Joule ging veel zorgvuldiger te werk, met een schoepenrad in een goed geïsoleerd vat water en duizenden herhalingen, en vond in 1850 772 voetpond per Britse warmte-eenheid: 4,16 J per calorie, tegenover 4,19 vandaag.

Uitleg · 15.5

De eerste hoofdwet

5/20

eerste hoofdwet van de thermodynamica

Δ U = Q - W d U = δ Q - p d V

De inwendige energie stijgt met de warmte die erin gaat en daalt met de arbeid die het systeem levert. Voor een kringproces (terug naar het begin) is

Δ U = 0

, dus

W = Q_{netto}

: een machine die arbeid levert zonder energietoevoer, een perpetuum mobile van de eerste soort, kan niet.

De inwendige energie van een ideaal gas. Uit hoofdstuk 14: elke molecule heeft gemiddeld $\frac{3}{2} k T$ bewegingsenergie. Een eenatomig gas (helium, argon) heeft niets anders: $U = \frac{3}{2} n R T$ . Een tweeatomige molecule (N₂, O₂) kan ook draaien rond twee assen; per 'vrijheidsgraad' komt er gemiddeld $\frac{1}{2} k T$ bij (equipartitie): $U = \frac{5}{2} n R T$ . Trillen van de binding komt pas bij veel hogere temperaturen op gang. Belangrijk: $U$ hangt alleen van $T$ af, niet van $p$ of $V$ .

Twee warmtecapaciteiten. Verwarm je $n$ mol bij constant volume, dan gaat alle warmte naar $U$ : $Q = n c_{v} Δ T$ . Bij constante druk zet het gas uit en levert het ook arbeid $p Δ V = n R Δ T$ :

relatie van Mayer

n c_{p} Δ T = n c_{v} Δ T + n R Δ T \Rightarrow c_{p} = c_{v} + R γ = \frac{c _{p}}{c _{v}}

Per mol:

c_{v} = \frac{5}{2} R = 20, 8 J/ (mol K)

c_{p} = \frac{7}{2} R = 29, 1 J/ (mol K)

voor lucht,

γ = 1, 4

. Per kilogram lucht:

c_{p} = 1005 J/ (kg K)

(hoofdstuk 18 van I).

gas	$c_{v}$ (per mol)	$c_{p}$ (per mol)	$γ = c_{p} / c_{v}$
helium, argon	3/2 R	5/2 R	1,67
stikstof, zuurstof, lucht	5/2 R	7/2 R	1,40
koolstofdioxide	±3,4 R	±4,4 R	1,29

Mayer gebruikte precies dit verschil in 1842 om de arbeid te berekenen die met een calorie overeenkomt: het verschil tussen $c_{p}$ en $c_{v}$ van lucht is de arbeid van het uitzetten.

Uitgewerkt voorbeeld · 15.6

Waarom stoken we eigenlijk? De lucht van de woonmodule opwarmen

6/20

Na een koude nacht is het in de woonmodule 15 °C; de verwarming brengt de lucht op 20 °C. De module is niet luchtdicht: de druk blijft 1013 hPa. Bereken de warmte, de verandering van de inwendige energie van de lucht in de module en de arbeid. Vergelijk met de warmtecapaciteit van het hele station (540 kJ/K). Wat is er vreemd aan de inwendige energie?

Gegeven

$V = 62, 4 m^{3}$ , $p = 101325 Pa$
lucht: $c_{v} = \frac{5}{2} R$ , $c_{p} = \frac{7}{2} R$

Gevraagd

$Q$ , $Δ U$ en $W$ voor de lucht
vergelijking met het station
wat er met U gebeurt

Oplossing

1
Bij 20 °C: $n = p V / (R T) = 2594 mol$ (hoofdstuk 14). Rekenen we met deze lucht die opwarmt: $Q = n c_{p} Δ T = 2594 \cdot 29, 1 \cdot 5 = 377 kJ$ .
2
$Δ U = n c_{v} Δ T = 270 kJ$ en $W = n R Δ T = 108 kJ$ : $\frac{2}{7}$ van de warmte gaat naar het uitzetten, dat lucht door de kieren naar buiten duwt.
3
De lucht heeft een warmtecapaciteit van $n c_{p} = 75 kJ/K$ : maar 14 % van de 540 kJ/K van het station. De rest zit in wanden, vloer, meubels en water: daar gaat de meeste warmte naartoe.
4
Vreemd: de inwendige energie van de lucht in de module verandert niet. $U = n c_{v} T = c_{v} p V / R$ , en $p$ en $V$ blijven gelijk. Warmere lucht heeft meer energie per molecule, maar er zitten 1,7 % minder moleculen in de module: die zijn met hun energie naar buiten gegaan.

Antwoord

Q \approx 377 kJ

, waarvan

270 kJ

inwendige energie van de opgewarmde lucht en

108 kJ

arbeid van het uitzetten; toch blijft de inwendige energie van de lucht in de module gelijk.

Klopt dit? De astrofysicus Robert Emden stelde in 1938 in Nature de vraag 'waarom stoken we in de winter?' en gaf dit antwoord: niet om de energie van de kamerlucht te verhogen, maar om de temperatuur te verhogen, zodat wij minder warmte verliezen. De energie die we betalen, stroomt door de kamer heen naar buiten. Controle van de getallen:

c_{p} \cdot m = 1005 \cdot 75, 1 \cdot 5 = 378 kJ

Uitleg · 15.7

Vier processen

7/20

Vier eenvoudige processen van een ideaal gas komen overal terug. Telkens blijft iets constant:

proces	constant	arbeid door het gas $W$	$Δ U$	warmte $Q$
isochoor	$V$	$0$	$n c_{v} Δ T$	$n c_{v} Δ T$
isobaar	$p$	$p Δ V = n R Δ T$	$n c_{v} Δ T$	$n c_{p} Δ T$
isotherm	$T$	$n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}}$	$0$	$= W$
adiabatisch	$p V^{γ}$ , $T V^{γ - 1}$	$\frac{p _{1} V _{1} - p _{2} V _{2}}{γ - 1} = n c_{v} (T_{1} - T_{2})$	$- W$	$0$

Isotherm: de temperatuur blijft gelijk, dus $Δ U = 0$ en $Q = W = \int \frac{n R T}{V} d V = n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}}$ . Dat vraagt een langzaam proces met goed warmtecontact (de spuit van hoofdstuk 14, als je wacht).

Adiabatisch: er gaat geen warmte in of uit ( $Q = 0$ ), omdat het snel gaat of goed geïsoleerd is. Dan is $d U = - p d V$ :

n c_{v} d T = - \frac{n R T}{V} d V \Rightarrow \frac{d T}{T} = - \frac{R}{c _{v}} \frac{d V}{V} = - (γ - 1) \frac{d V}{V}

Integreren (hoofdstuk 3): $ln T = - (γ - 1) ln V + c$ , dus

adiabaat van een ideaal gas

T V^{γ - 1} = constant p V^{γ} = constant

De tweede vorm volgt met

T = p V / (n R)

. Omdat

γ > 1

daalt een adiabaat in het pV-diagram steiler dan een isotherm: bij uitzetten koelt het gas af, bij samenpersen warmt het op.

In de figuur vertrekt het gas telkens in A (0,2 L, 5 bar) en zet het uit tot 1,0 L. Bij de isobaar levert het de meeste arbeid (het moet dan wel verwarmd worden), bij de adiabaat de minste: het betaalt die arbeid uit zijn eigen inwendige energie en koelt af tot $T_{1} \cdot 5^{- 0, 4}$ , van 20 °C naar −119 °C.

Adiabatisch in het dagelijks leven

Een fietspomp wordt warm aan de onderkant. Lucht die opstijgt tegen een berg, zet uit en koelt af (ongeveer 1 °C per 100 m, zolang er geen wolk vormt): daarom liggen er sneeuw en ijs op bergtoppen. Een spuitbus wordt koud als je hem leegspuit. En in een dieselmotor ontsteekt de brandstof zonder bougie, alleen door de hete samengeperste lucht (volgend blad).

Vanuit dezelfde toestand: de adiabaat daalt steiler dan de isotherm, omdat het gas bij uitzetten ook afkoelt.

Uitgewerkt voorbeeld · 15.8

Samenpersen: fietspomp en dieselmotor

8/20

Eén liter lucht van 1 bar en 20 °C wordt samengeperst tot 0,2 L. Bereken druk, temperatuur en arbeid als dat (a) heel langzaam gebeurt (isotherm) en (b) heel snel (adiabatisch). In een dieselmotor is de compressieverhouding ongeveer 18. Hoe warm wordt de lucht daar, en waarom ontsteekt de diesel dan vanzelf?

Snel samenpersen kost meer arbeid dan langzaam: de adiabaat ligt boven de isotherm, want de lucht warmt op.

Gegeven

$p_{1} = 1, 0 bar$ , $V_{1} = 1, 0 L$ , $T_{1} = 293, 15 K$ , $V_{2} = 0, 2 L$ , $γ = 1, 4$
diesel: $V_{1} / V_{2} = 18$ ; zelfontbranding van diesel: ±250 °C (orde van grootte)

Gevraagd

druk, temperatuur en arbeid in beide gevallen
de temperatuur in de dieselmotor

Oplossing

1
Isotherm: $p_{2} = p_{1} \cdot 5 = 5, 0 bar$ , $T_{2} = T_{1}$ . Arbeid op het gas: $p_{1} V_{1} ln 5 = 100 J \cdot 1, 609 = 161 J$ ; evenveel warmte gaat naar buiten.
2
Adiabatisch: $p_{2} = p_{1} \cdot 5^{1, 4} = 9, 52 bar$ , $T_{2} = T_{1} \cdot 5^{0, 4} = 558 K = 285^{\circ} C$ . Arbeid op het gas: $\frac{p _{2} V _{2} - p _{1} V _{1}}{γ - 1} = \frac{190 , 4 - 100}{0 , 4} = 226 J$ , allemaal inwendige energie.
3
Adiabatisch kost meer arbeid: de opwarming duwt de druk onderweg hoger. In het pV-diagram ligt de adiabaat boven de isotherm.
4
Diesel: $T_{2} = 293 \cdot 1 8^{0, 4} = 932 K$ , ongeveer 658 °C, bij $1 8^{1, 4} = 57$ bar. Ver boven de zelfontbrandingstemperatuur: de ingespoten diesel ontsteekt vanzelf.

Antwoord

Isotherm: 5,0 bar, 20 °C, 161 J. Adiabatisch: 9,5 bar, 285 °C, 226 J. In een dieselmotor wordt de lucht ongeveer 658 °C.

Klopt dit? In een echte motor verliest de lucht tijdens het samenpersen al wat warmte aan de wand, en is

γ

bij hoge temperatuur iets kleiner: dieselmotoren halen ongeveer 500 à 600 °C. Een 'vuurspuit' (een glazen cilinder met een snelle zuiger) doet hetzelfde in de klas: een plukje watten vat vlam.

Een vuurspuit: de zuiger snel indrukken is bijna adiabatisch, de lucht wordt heet genoeg om watten te laten ontbranden.

Uitleg · 15.9

Kringprocessen en warmtemotoren

9/20

Een motor moet steeds opnieuw arbeid leveren. Daarom doorloopt het werkgas een kringproces: het komt telkens terug in dezelfde toestand. Na één ronde is $Δ U = 0$ , dus volgens de eerste hoofdwet is de netto arbeid gelijk aan de netto warmte. In het pV-diagram is die netto arbeid de ingesloten oppervlakte: uitzetten bij hoge druk levert meer op dan samenpersen bij lage druk kost. Loopt de lus met de klok mee, dan levert het gas arbeid (een motor); tegen de klok in kost het arbeid (een koelmachine of warmtepomp).

Elke warmtemotor neemt warmte $Q_{h}$ op van een hete bron, levert arbeid $W$ en geeft warmte $Q_{c}$ af aan een koude omgeving:

rendement van een warmtemotor

W = Q_{h} - Q_{c} η = \frac{W}{Q _{h}} = 1 - \frac{Q _{c}}{Q _{h}}

Dat de motor

Q_{c}

moet lozen, volgt niet uit de eerste hoofdwet. Het is de kern van de tweede: een machine die warmte uit één bron volledig in arbeid omzet (een schip dat varend de oceaan afkoelt), een perpetuum mobile van de tweede soort, bestaat niet (Kelvin en Planck).

Een warmtepomp of koelkast is dezelfde machine achterstevoren: ze krijgt arbeid en pompt warmte van koud naar warm. Dat kan wel, maar niet vanzelf (Clausius). Hoofdstuk 16 werkt dat uit.

Links haalt een motor arbeid uit een warmtestroom van heet naar koud; rechts duwt een warmtepomp met arbeid warmte van koud naar warm.

Uitleg · 15.10

De Carnot-cyclus en het hoogste rendement

10/20

Carnot bedacht de meest zuinige motor die er kan bestaan: een motor die nergens warmte laat stromen over een temperatuurverschil, want zo'n stroom levert niets op en kan niet terug. Hij neemt warmte op bij $T_{h}$ en geeft af bij $T_{c}$ , en daartussen verandert hij zijn temperatuur zonder warmte-uitwisseling. Met een ideaal gas als werkstof: twee isothermen en twee adiabaten.

1 → 2: isotherm uitzetten bij $T_{h}$ : $Q_{h} = n R T_{h} ln (V_{2} / V_{1})$ .
2 → 3: adiabatisch uitzetten tot $T_{c}$ : $T_{h} V_{2}^{γ - 1} = T_{c} V_{3}^{γ - 1}$ .
3 → 4: isotherm samenpersen bij $T_{c}$ : $Q_{c} = n R T_{c} ln (V_{3} / V_{4})$ .
4 → 1: adiabatisch samenpersen tot $T_{h}$ : $T_{h} V_{1}^{γ - 1} = T_{c} V_{4}^{γ - 1}$ .

Deel de twee adiabaten door elkaar: $(V_{2} / V_{1})^{γ - 1} = (V_{3} / V_{4})^{γ - 1}$ , dus $V_{2} / V_{1} = V_{3} / V_{4}$ en de logaritmen vallen weg:

Carnot-rendement

\frac{Q _{c}}{Q _{h}} = \frac{T _{c}}{T _{h}} \Rightarrow η_{C} = 1 - \frac{T _{c}}{T _{h}}

Temperaturen in kelvin. Geen enkele motor tussen dezelfde twee temperaturen doet beter (dat volgt uit de tweede hoofdwet, ook voor andere werkstoffen). Wil je een hoger rendement: maak de bron heter of de koude kant kouder.

Het voorbeeld in de figuur: $0, 2005$ mol lucht tussen 600 K en 300 K, $V$ van 1 naar 2 L op de hete isotherm. $Q_{h} = 693 J$ , $Q_{c} = 347 J$ , $W = 4186 J$ per cyclus: precies 50 %. De lus is wel erg smal: de netto arbeid per liter is klein. Een echte Carnot-motor zou bovendien oneindig traag moeten draaien (isotherme warmteoverdracht zonder temperatuurverschil). Carnot geeft dus een grens, geen bouwplan.

Merk op: $Q_{h} / T_{h} = Q_{c} / T_{c}$ . De grootheid $Q / T$ die de motor bij $T_{h}$ opneemt, geeft hij bij $T_{c}$ weer af. Clausius noemde die grootheid entropie.

De Carnot-cyclus: twee isothermen, verbonden door twee steilere adiabaten. De gevulde oppervlakte is de netto arbeid per cyclus.

Uitgewerkt voorbeeld · 15.11

De Otto-cyclus: hoe zuinig kan een benzinemotor zijn?

11/20

Een benzinemotor wordt benaderd door de ideale Otto-cyclus: adiabatisch samenpersen (1 → 2), verbranden bij constant volume (2 → 3), adiabatisch uitzetten (3 → 4) en afkoelen bij constant volume (4 → 1, in werkelijkheid de uitlaat en een nieuwe lading). Toon dat het rendement alleen van de compressieverhouding $r = V_{1} / V_{2}$ afhangt. Bereken het voor $r = 10$ en vergelijk met Carnot tussen de laagste (300 K) en hoogste temperatuur (2500 K).

De Otto-cyclus in het pV-diagram. De verbranding (2 → 3) duwt de druk in een oogwenk van 25 naar 83 bar; de gevulde lus is de arbeid per cyclus.

Gegeven

$r = 10$ , $γ = 1, 4$ , $T_{1} = 300 K$ , $p_{1} = 1 bar$ , $T_{3} = 2500 K$
cilinder van 0,556 L (500 cm³ slagvolume)

Gevraagd

$η$ als functie van $r$
de temperaturen en drukken in de hoekpunten
vergelijking met Carnot

Oplossing

1
Warmte in (bij constant volume): $Q_{in} = n c_{v} (T_{3} - T_{2})$ ; warmte uit: $Q_{uit} = n c_{v} (T_{4} - T_{1})$ . Dus $η = 1 - \frac{T _{4} - T _{1}}{T _{3} - T _{2}}$ .
2
Adiabaten: $T_{2} = T_{1} r^{γ - 1}$ en $T_{3} = T_{4} r^{γ - 1}$ . Dus $T_{3} - T_{2} = (T_{4} - T_{1}) r^{γ - 1}$ en $η = 1 - r^{1 - γ} = 1 - 1 0^{- 0, 4} = 0, 602$ .
3
Hoekpunten: $T_{2} = 754 K$ , $p_{2} = 1 0^{1, 4} = 25, 1 bar$ ; $p_{3} = p_{2} T_{3} / T_{2} = 83 bar$ ; $p_{4} = 3, 32 bar$ , $T_{4} = 995 K$ .
4
Per cyclus: $n = 22, 3 mmol$ , $Q_{in} = 809 J$ , $W = 487 J$ . Carnot tussen 300 en 2500 K: $0, 88$ .

Antwoord

η = 1 - r^{1 - γ} = 60 %

voor

r = 10

, tegenover 88 % voor Carnot. Echte benzinemotoren halen 30 à 38 %.

Klopt dit? De Otto-cyclus haalt Carnot niet, omdat de warmte binnenkomt bij temperaturen tussen

T_{2}

T_{3}

, niet allemaal bij

T_{3}

, en buitengaat tussen

T_{4}

T_{1}

. Een echte motor verliest nog meer: warmte naar de cilinderwand (koelwater), wrijving, pompen van de lucht, een

γ

die bij hoge temperatuur zakt. Een hogere

r

helpt, maar benzine ontsteekt dan te vroeg ('pingelen'): daarom blijft

r

rond 10 à 12. Een diesel mag tot 20 en is zuiniger.

Code · 15.12

Een kringproces numeriek integreren

12/20

In een echte motor meet je $p$ en $V$ (een indicatordiagram) en integreer je numeriek: $W = \oint p d V$ , met de trapeziumregel over elke tak (hoofdstuk 3). Het programma doet dat voor drie ideale kringen en vergelijkt met de formules. De derde is de Stirling-motor (Robert Stirling, 1816): twee isothermen en twee isochoren. Zonder hulpmiddel moet het gas bij het isochore opwarmen extra warmte uit de bron krijgen; met een regenerator (een prop metaalgaas die warmte even bewaart) komt die warmte uit de vorige cyclus terug.

Pythonkring.py49 regelsDownload

# kring.py - arbeid en rendement van kringprocessen: numeriek W = ∮ p dV, en de formuleimport numpy as np R, g = 8.314, 1.4                       # J/(mol K); lucht: cp/cv  def arbeid(takken):    """Som van de trapeziumregel over alle takken: elke tak is (V, p) in m³ en Pa, in volgorde doorlopen."""    return sum(np.trapezoid(p, V) for V, p in takken)  def isotherm(n, T, Va, Vb):    V = np.geomspace(Va, Vb, 2000)    return V, n * R * T / V  def adiabaat(p0, V0, Vb):    V = np.geomspace(V0, Vb, 2000)    return V, p0 * (V0 / V) ** g  # Carnot: 0,2005 mol tussen 600 en 300 K, V van 1 naar 2 liter op de hete isothermn, Th, Tc, V1, V2 = 0.2005, 600.0, 300.0, 1e-3, 2e-3V3, V4 = V2 * (Th / Tc) ** (1 / (g - 1)), V1 * (Th / Tc) ** (1 / (g - 1))t1 = isotherm(n, Th, V1, V2)t2 = adiabaat(n * R * Th / V2, V2, V3)t3 = isotherm(n, Tc, V3, V4)t4 = adiabaat(n * R * Tc / V4, V4, V1)W = arbeid([t1, t2, t3, t4])Qh = n * R * Th * np.log(V2 / V1)print(f"Carnot:  W = {W:6.1f} J, Qh = {Qh:6.1f} J, rendement {W / Qh:.4f} (formule {1 - Tc / Th:.4f})") # Otto: r = 10, 1 bar en 300 K in, 2500 K na de verbrandingr, Vmax, T1, T3 = 10.0, 0.5556e-3, 300.0, 2500.0n = 1e5 * Vmax / (R * T1)V2 = Vmax / rT2 = T1 * r ** (g - 1)p2, p3 = n * R * T2 / V2, n * R * T3 / V2W = arbeid([adiabaat(1e5, Vmax, V2), adiabaat(p3, V2, Vmax)])      # de isochoren leveren geen arbeidQin = n * 2.5 * R * (T3 - T2)print(f"Otto:    W = {W:6.1f} J, Qin = {Qin:6.1f} J, rendement {W / Qin:.4f} (formule {1 - r ** (1 - g):.4f})") # Stirling: twee isothermen en twee isochoren, 0,2005 mol tussen 600 en 300 K, V van 1 naar 2 litern, V1, V2 = 0.2005, 1e-3, 2e-3W = arbeid([isotherm(n, Th, V1, V2), isotherm(n, Tc, V2, V1)])Qiso = n * R * Th * np.log(V2 / V1)Qv = n * 2.5 * R * (Th - Tc)                  # opwarmen bij constant volumeprint(f"Stirling zonder regenerator: rendement {W / (Qiso + Qv):.4f}")print(f"Stirling met regenerator:    rendement {W / Qiso:.4f}")

Ook te downloadenindicator.csv36 metingen (V in L, p in bar) van één omwenteling van een kleine compressor (opdracht 15.10) · 37 regels

Uitvoer:

Carnot:  W =  346.6 J, Qh =  693.3 J, rendement 0.5000 (formule 0.5000)
Otto:    W =  486.7 J, Qin =  808.6 J, rendement 0.6019 (formule 0.6019)
Stirling zonder regenerator: rendement 0.1784
Stirling met regenerator:    rendement 0.5000

De numerieke integraal klopt met de formules tot op een fractie van een promille. De Stirling-motor met regenerator haalt het Carnot-rendement (hij neemt alle warmte van buiten op bij $T_{h}$ en geeft ze af bij $T_{c}$ ); zonder regenerator zakt hij sterk. Daarom zit in elke echte Stirling-motor een regenerator. Echte Stirling-motoren halen door warmteoverdracht en wrijving veel minder; ze worden gebruikt waar een stille, externe warmtebron telt: een zonneschotel, een onderzeeboot, een cryokoeler (achterstevoren).

Uitleg · 15.13

De tweede hoofdwet en entropie

13/20

Een kop thee koelt af in een koude kamer, nooit omgekeerd, hoewel beide richtingen energie behouden. De tweede hoofdwet zegt welke richting vanzelf gaat. Clausius zei het zo: warmte stroomt niet vanzelf van een koud naar een warm lichaam. Kelvin en Planck: geen kringproces zet warmte uit één bron volledig in arbeid om. Beide uitspraken zijn gelijkwaardig (zou de ene fout zijn, dan kon je met een Carnot-motor ook de andere breken).

entropie en de tweede hoofdwet

d S = \frac{δ Q _{rev}}{T} Δ S_{systeem} + Δ S_{omgeving} \geq 0

S

is een toestandsgrootheid (J/K). Bereken

Δ S

langs een omkeerbare weg tussen dezelfde toestanden. De totale entropie blijft gelijk bij omkeerbare processen en stijgt bij alle echte.

Waarom kan een motor Carnot niet verslaan? Hij neemt $Q_{h}$ op bij $T_{h}$ (de bron verliest entropie $Q_{h} / T_{h}$ ) en geeft $Q_{c}$ af bij $T_{c}$ (de omgeving wint $Q_{c} / T_{c}$ ). De motor zelf komt terug in zijn begintoestand. De tweede hoofdwet eist $Q_{c} / T_{c} \geq Q_{h} / T_{h}$ , dus $Q_{c} \geq Q_{h} T_{c} / T_{h}$ : wat de motor moet lozen, is minstens het Carnot-deel. Dat is de entropie die hij met de warmte binnenkreeg en ergens kwijt moet.

Entropie als aantal mogelijkheden. Boltzmann: $S = k ln W$ , met $W$ het aantal manieren (microtoestanden) om de moleculen te schikken bij dezelfde totale energie. Een doos met twee helften: één molecule kan links of rechts zitten. Bij $N$ moleculen zijn er $2^{N}$ schikkingen, en bijna allemaal hebben ze ongeveer de helft links. De kans dat alle 100 moleculen links zitten, is $2^{- 100} \approx 1 0^{- 30}$ ; voor een mol ( $6 \cdot 1 0^{23}$ ) is het onvoorstelbaar veel kleiner. Laat je een gas uitzetten van één helft naar de hele doos, dan wordt $W$ $2^{N}$ keer groter: $Δ S = N k ln 2 = n R ln 2 = 5, 76 J/K$ per mol. Dezelfde uitkomst geeft de thermodynamica: het gas isotherm en omkeerbaar laten uitzetten kost $Q = n R T ln 2$ , en $Q / T = n R ln 2$ . Twee totaal verschillende wegen, één getal.

Entropie is wanorde

Het is een handig beeld, maar het kan misleiden. Entropie telt mogelijkheden, ook voor de energie. Als water bevriest, ontstaan geordende kristallen en daalt de entropie van het water; maar de warmte die vrijkomt vergroot de entropie van de omgeving meer. Levende wezens bouwen orde op, en lozen daarvoor warmte.

Hoe meer moleculen, hoe scherper de verdeling rond de helft: bij een mol gas is 'ongeveer de helft links' een zekerheid.

Uitgewerkt voorbeeld · 15.14

Entropie tellen: ijs, warm water en een warmtelek

14/20

Bereken de verandering van de totale entropie in drie gevallen en toon dat ze positief is: (a) 1,0 kg ijs van 0 °C smelt in een kamer van 20 °C; (b) 1,0 kg water van 80 °C wordt gemengd met 1,0 kg water van 20 °C (geïsoleerd); (c) het station (20 °C) verliest bij −8 °C een uur lang 50 W/K · 28 K aan de buitenlucht.

Gegeven

smeltwarmte ijs 334 kJ/kg; $c_{water} = 4186 J/ (kg K)$
station: $50 \cdot 28 = 1400 W$ gedurende 3600 s

Gevraagd

$Δ S$ van elk deel en van het geheel

Oplossing

1
(a) Het ijs smelt bij constante temperatuur: $Δ S_{ijs} = Q / T = 334 000/273, 15 = 1223 J/K$ . De kamer geeft die warmte af bij 293,15 K: $Δ S_{kamer} = - 334 000/293, 15 = - 1139 J/K$ . Samen $+ 83 J/K$ .
2
(b) Eindtemperatuur 50 °C. Opwarmen gaat niet bij één temperatuur: $d S = m c d T / T$ , dus $Δ S = m c ln (T_{2} / T_{1})$ . Het hete water: $4186 ln (323, 15/353, 15) = - 371, 6 J/K$ ; het koude: $4186 ln (323, 15/293, 15) = + 407, 9 J/K$ . Samen $+ 36, 2 J/K$ .
3
(c) $Q = 1400 \cdot 3600 = 5, 04 MJ$ gaat van 293,15 K naar 265,15 K: $Δ S = Q (\frac{1}{265 , 15} - \frac{1}{293 , 15}) = + 1816 J/K$ per uur.

Antwoord

(a)

+ 83 J/K

, (b)

+ 36, 2 J/K

, (c)

+ 1816 J/K

per uur: telkens positief, zoals de tweede hoofdwet eist.

Klopt dit? Wat betekent zo'n getal? Vermenigvuldig met de omgevingstemperatuur:

T_{0} Δ S

is de arbeid die je had kunnen winnen en die voorgoed verloren is. Bij het mengen (b):

293 \cdot 36, 2 = 10, 6 kJ

, van de

4186 \cdot 30 = 126 kJ

die het hete water afgaf. Een motor tussen het hete en het koude water had dat kunnen leveren; mengen gooit het weg. Die 'kwaliteit' van energie heet exergie.

Uitleg · 15.15

Waarom een centrale warmte moet lozen

15/20

Een stoomcentrale is een warmtemotor: een brandstof of een kernreactor verhit water tot stoom, de stoom drijft een turbine aan en condenseert daarna in een condensor, gekoeld door rivierwater of een koeltoren. Zonder condensor geen kringloop: de stoom moet terug vloeibaar worden om opnieuw naar de ketel gepompt te worden, en daarvoor moet de warmte weg. De tweede hoofdwet bepaalt het minimum: bij een stoomtemperatuur van 285 °C en koeling op 25 °C is Carnot $1 - 298/558 = 47 %$ . Meer dan de helft van de reactorwarmte moet dus sowieso weg, hoe goed de turbine ook is.

centrale	stoom- of gastemperatuur	Carnot	Curzon-Ahlborn	echt (orde)
kerncentrale	±285 °C	47 %	27 %	±33 %
steenkool	±600 °C	66 %	42 %	±45 %
STEG	±1400 °C	82 %	58 %	±60 %

Echte centrales halen minder dan Carnot, omdat warmte met een eindig temperatuurverschil moet stromen om een eindig vermogen te leveren. François Curzon en Boye Ahlborn toonden in 1975 dat een motor die zoveel mogelijk vermogen levert (in plaats van zoveel mogelijk rendement), uitkomt op $η = 1 - T_{c} / T_{h}$ (opdracht 15.15). Dat getal ligt verrassend dicht bij wat echte centrales halen.

Wat kan je met die warmte doen? Ze is er, maar ze is 'laagwaardig': water van 25 à 35 °C. Een warmtekrachtkoppeling (WKK) laat de stoom condenseren bij een hogere temperatuur, bv. 90 °C, zodat het koelwater een warmtenet of een serre kan verwarmen. De elektriciteit daalt een beetje, maar van de brandstof wordt 80 à 90 % nuttig gebruikt. Glastuinbouwers doen dat met aardgas, en gebruiken ook de CO₂ uit de rookgassen (hoofdstuk 14 van I).

In het station

Ook het station 'loost' warmte, maar daar is dat geen verlies: de omvormer en de batterijen staan in de technische ruimte, binnen de gebouwschil. Hun omzetverlies verwarmt in de winter de woonmodule mee. In de zomer moet die warmte wel weggeventileerd worden.

Het Carnot-rendement stijgt met de brontemperatuur; de grens van Curzon en Ahlborn voor maximaal vermogen volgt de echte centrales beter.

Uitgewerkt voorbeeld · 15.16

Een kerncentrale en haar koeltoren

16/20

Een kerncentrale levert 1000 MW elektrisch aan het net met een rendement van 33 %; haar eigen verbruik is ongeveer 50 MW. Hoeveel warmte moet de condensor lozen? Hoeveel water verdampt er per seconde in een koeltoren als alle warmte via verdamping weggaat? En hoeveel rivierwater zou nodig zijn als het koelwater 8 °C mag opwarmen?

Twee derde van de reactorwarmte gaat naar de condensor: de dikste band in het diagram is geen fout van de ingenieurs, maar de tweede hoofdwet.

Gegeven

$P_{el} = 1000 MW$ , $η = 0, 33$ , eigen verbruik 50 MW
verdampingswarmte water ±2430 kJ/kg bij 30 °C; $c_{water} = 4186 J/ (kg K)$

Gevraagd

warmte naar de condensor
verdamping in de koeltoren
debiet rivierwater

Oplossing

1
Warmte uit de reactor: $1000/0, 33 = 3030 MW$ . Naar de condensor: $3030 - 1000 - 50 = 1980 MW$ .
2
Verdamping: $\overset{m}{˙} = P / L = 1980 \cdot 1 0^{6} /2, 43 \cdot 1 0^{6} = 815 kg/s$ , bijna een kubieke meter water per seconde. In werkelijkheid gaat een deel van de warmte weg als opgewarmde lucht; de verdamping is ruwweg driekwart.
3
Rivier: $\overset{m}{˙} = P / (c Δ T) = 1980 \cdot 1 0^{6} / (4186 \cdot 8) = 59 \cdot 1 0^{3} kg/s$ , ongeveer 59 m³ per seconde.

Antwoord

De condensor loost ongeveer 1980 MW, twee keer zoveel als de centrale aan elektriciteit levert. Een koeltoren verdampt daarvoor tot ±0,8 m³ water per seconde; een doorstroomkoeling vraagt ±59 m³/s rivierwater.

Klopt dit? Het Carnot-rendement bij 285 °C stoom is 47 %: zelfs een perfecte turbine zou meer dan de helft moeten lozen. Rivierwater mag in de zomer niet te warm worden voor vissen; daarom beperken vergunningen de opwarming, en daarom hebben veel centrales aan kleinere rivieren een koeltoren.

Naslag · 15.17

Thermodynamica: formules en werkwijze

17/20

Werkwijze: (1) kies het systeem en de tekenafspraak; (2) welk proces (wat blijft constant)? (3) bereken $W$ uit $\int p d V$ of de tabel, $Δ U$ uit $n c_{v} Δ T$ , en $Q$ uit de eerste hoofdwet; (4) bij een kringproces: netto arbeid = ingesloten oppervlakte, $η = W / Q_{h}$ ; (5) toets aan Carnot en aan de entropiebalans.

eerste hoofdwet

Δ U = Q - W

symbool	betekenis	eenheid
$Q$	warmte naar het systeem	J
$W$	arbeid door het systeem	J

arbeid van een gas

W = \int p d V

ideaal gas

U = n c_{v} T c_{p} - c_{v} = R γ = c_{p} / c_{v}

symbool	betekenis	eenheid
$c_{v}$	molaire warmtecapaciteit bij constant volume	J/(mol·K)

adiabatisch

p V^{γ} = c T V^{γ - 1} = c W = \frac{p _{1} V _{1} - p _{2} V _{2}}{γ - 1}

isotherm

W = n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}}

warmtemotor en Carnot

η = \frac{W}{Q _{h}} \leq 1 - \frac{T _{c}}{T _{h}}

symbool	betekenis	eenheid
$T$	temperatuur	K

Otto

η_{Otto} = 1 - r^{1 - γ}

symbool	betekenis	eenheid
$r$	compressieverhouding	-

rendement bij maximaal vermogen

η_{CA} = 1 - T_{c} / T_{h}

entropie

d S = \frac{δ Q _{rev}}{T} Δ S = m c ln \frac{T _{2}}{T _{1}} Δ S = n R ln \frac{V _{2}}{V _{1}} S = k ln W

proces	constant	arbeid door het gas $W$	$Δ U$	warmte $Q$
isochoor	$V$	$0$	$n c_{v} Δ T$	$n c_{v} Δ T$
isobaar	$p$	$p Δ V = n R Δ T$	$n c_{v} Δ T$	$n c_{p} Δ T$
isotherm	$T$	$n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}}$	$0$	$= W$
adiabatisch	$p V^{γ}$ , $T V^{γ - 1}$	$\frac{p _{1} V _{1} - p _{2} V _{2}}{γ - 1} = n c_{v} (T_{1} - T_{2})$	$- W$	$0$

Code · 15.18

Habitat: de jaarbalans van het station

18/20

Nu de hoofdwetten op het station. Een jaarbalans vraagt twee soorten gegevens: wat het klimaat vraagt en wat de bronnen leveren.

Het klimaat. Een rekenjaar voor Ukkel: 8760 uurtemperaturen, gemaakt uit de maandgemiddelden van het KMI (1991-2020), een dag-nachtschommeling en toevallig weer (hoofdstuk 6), zo dat elke maand precies haar normale gemiddelde heeft. Het jaar telt 2193 graaddagen (basis 16,5 °C); Synergrid geeft voor een normaal jaar in Ukkel 2187 (1996-2025). Het koudste uur is −8,7 °C, dicht bij de ontwerptemperatuur van −8 °C.
De warmtevraag. Het station verliest 50 W/K en wordt op 20 °C gehouden. Bewoners en toestellen leveren samen gemiddeld 533 W warmte binnen (rekenwaarde: 200 W van de bewoners, 80 % van de 10 kWh per dag van de toestellen). Verwarmen hoeft dus pas onder 9,3 °C buiten. Uur per uur: $Q = max (0, 50 (20 - T) - 533)$ . Dat geeft 897 kWh per jaar. De eenvoudige graaddagenmethode ( $50 \cdot 24 \cdot 2193$ ) zou 2632 kWh geven: die veronderstelt een gewone woning met weinig winst (basis 16,5 °C). Een goed geïsoleerd station met veel interne winst heeft een veel lagere basistemperatuur.
De bronnen (rekenwaarden tot hoofdstuk 19 tot 24 het echte zonnepark en de turbine dimensioneren): 5,60 kWp zonnepanelen aan 60° zuid (de 1,40 kWp van de module en 4,20 kWp voor het 48 V-net), met het PVGIS-profiel van het dossier; de windturbine van hoofdstuk 11 bij gemiddeld 4,0 m/s op naafhoogte, 2304 kWh per jaar, in de winter sterker. Van wat de toestellen en de verwarming vragen, gaat 10 % extra verloren in laadregelaars, batterijen en omvormer. Een tekort komt van het net van het proefterrein; een overschot gaat ernaar toe of wordt afgeknepen. De batterijen verschuiven energie tussen dag en nacht, niet tussen maanden.

In dit hoofdstuk verwarmt het station nog elektrisch (de noodverwarming); hoofdstuk 16 vervangt ze door een warmtepomp.

Pythonjaar.py18 regelsDownload

# jaar.py - de energiebalans van het station over een rekenjaar (maand per maand)import numpy as np DAGEN = [31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31]warmte = np.array([224.9, 175.5, 106.3, 42.8, 14.5, 0.0, 0.0, 0.0, 8.2, 24.8, 104.0, 195.8])                                # kWh warmtevraag per maand (uurmodel van het rekenjaar)zon_per_Wp = [1.41, 2.11, 2.99, 3.69, 3.58, 3.54, 3.45, 3.31, 3.29, 2.50, 1.66, 1.25]   # Wh per Wp per dagzon = np.array([z * d for z, d in zip(zon_per_Wp, DAGEN)]) * 5.60        # 5,60 kWp -> kWh per maandwind = np.array([264.6, 230.7, 230.3, 189.7, 161.7, 132.2, 127.4, 136.6, 156.5, 196.0, 222.9, 255.4])                                  # kWh per maand (Rayleigh, 4,0 m/s, winter sterker)verbruik = 10.0 * np.array(DAGEN)              # kWh: toestellen, lampen, pompen (zonder verwarming) vraag = (verbruik + warmte) / 0.90             # 10 % omzetverlies in laadregelaars, batterij en omvormeraanbod = zon + windnet = np.clip(vraag - aanbod, 0, None)         # tekort: van het netover = np.clip(aanbod - vraag, 0, None)        # overschot: afgeknepen of naar het netfor m, naam in enumerate("jan feb mrt apr mei jun jul aug sep okt nov dec".split()):    print(f"{naam}: zon {zon[m]:5.0f}  wind {wind[m]:4.0f}  vraag {vraag[m]:4.0f}  net {net[m]:4.0f}  over {over[m]:4.0f} kWh")print(f"jaar: zon {zon.sum():.0f}, wind {wind.sum():.0f}, verwarming {warmte.sum():.0f}, "      f"net {net.sum():.0f}, overschot {over.sum():.0f}, omzetverlies {0.1 * vraag.sum():.0f} kWh")

Uitvoer:

jan: zon   245  wind  265  vraag  594  net   85  over    0 kWh
feb: zon   331  wind  231  vraag  506  net    0  over   55 kWh
mrt: zon   519  wind  230  vraag  463  net    0  over  287 kWh
apr: zon   620  wind  190  vraag  381  net    0  over  429 kWh
mei: zon   621  wind  162  vraag  361  net    0  over  423 kWh
jun: zon   595  wind  132  vraag  333  net    0  over  394 kWh
jul: zon   599  wind  127  vraag  344  net    0  over  382 kWh
aug: zon   575  wind  137  vraag  344  net    0  over  367 kWh
sep: zon   553  wind  156  vraag  342  net    0  over  367 kWh
okt: zon   434  wind  196  vraag  372  net    0  over  258 kWh
nov: zon   279  wind  223  vraag  449  net    0  over   53 kWh
dec: zon   217  wind  255  vraag  562  net   90  over    0 kWh
jaar: zon 5587, wind 2304, verwarming 897, net 175, overschot 3014, omzetverlies 505 kWh

stroom	kWh per jaar	bron van het getal
zon (5,60 kWp aan 60°)	5587	PVGIS-profiel van het dossier, 998 kWh per kWp
wind (3 kW, Ø 4,0 m)	2304	vermogenscurve × Rayleigh, gemiddeld 4,0 m/s
net (tekort in de winter)	175	maandbalans
verbruik toestellen	3650	10 kWh per dag (rekenwaarde)
verwarming (elektrisch)	897	uurmodel: 50 W/K, 20 °C, 533 W winst
omzetverlies	505	10 % van wat de toestellen en de verwarming vragen
overschot	3014	maandbalans (vooral april tot september)
bewoners (warmte)	1752	2 × 116 W, ±20 h per dag binnen

Over het jaar levert het station veel meer dan het vraagt, maar niet op het juiste moment: van april tot september is er een groot overschot, in december en januari een tekort, net wanneer de verwarming het meeste vraagt. Het Sankey-diagram hieronder (met het gereedschap van hoofdstuk 15 van F) toont de elektriciteitsketen; het volgende blad volgt de energie verder tot ze als warmte het station verlaat.

Zon en wind leveren in de zomer ruim twee keer wat het station vraagt; in december en januari schiet het aanbod tekort.

De elektriciteitsketen over een jaar: meer dan een derde van de productie is overschot, 10 % van het verbruik gaat op aan omzetten.

Ontleed · 15.19

Habitat: de energiestromen van het station op een Sankey-diagram

19/20

Alle energie van het station over een rekenjaar, in kWh. Van links naar rechts: de bronnen, het elektrische net van het station, waar de elektriciteit terechtkomt, de warmte in het station, en hoe die warmte eruit gaat. De breedte van elke band is evenredig met de energie. Links komt er 9818 kWh binnen (met de bewoners); rechts gaat er evenveel buiten. Dat is de eerste hoofdwet: over een jaar verandert de inwendige energie van het station niet, dus wat erin gaat, moet eruit.

Elke kilowattuur die het station binnenkomt, verlaat het als warmte of als overschot; de verwarming is maar een smal bandje, het overschot van de zomer een brede.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Zon
5587 kWh uit 5,60 kWp: de grootste bron, maar in december bijna drie keer minder per dag dan in april.
2
Wind
2304 kWh: minder dan de zon, maar in de winter sterker. Wind en zon vullen elkaar aan.
3
Net
175 kWh, allemaal in december en januari. Op een afgelegen plek zonder net moet dat uit een grotere batterij, meer panelen of een zuiniger verwarming komen (hoofdstuk 16).
4
Overschot
3014 kWh die in de zomer niemand nodig heeft: afgeknepen of aan het net geleverd. Opslag van zomer naar winter (waterstof, hoofdstuk 27) zou het kunnen benutten.
5
Omzetverlies
505 kWh warmte in laadregelaars, batterijen en omvormer. Ze staan binnen: in de winter helpt die warmte mee verwarmen.
6
Verwarming
897 kWh elektrisch, vooral van november tot februari. Een warmtepomp haalt de meeste van die warmte uit de buitenlucht (hoofdstuk 16).
7
Bewoners
1752 kWh: twee mensen zijn samen een kachel van ongeveer 200 W. Meer dan de verwarming zelf!
8
Wanden en ventilatie
3959 kWh: 50 W/K maal het temperatuurverschil, opgeteld over het jaar. Uiteindelijk verlaat alle energie het station als warmte.
9
Zomer: weggeventileerd
1610 kWh interne winst die in de warme maanden te veel is: extra ventileren (of de zon weren) om niet boven 25 °C te komen.

Het geheel · 15.20

Waar de hoofdwetten vandaan komen en waar ze heen gaan

20/20

De eerste hoofdwet is het energiebehoud uit Fundamental, uitgebreid met warmte; de tweede is nieuw en gaat over richting en kwaliteit. Samen vormen ze de ruggengraat van de hele energielijn (E): elke motor, centrale, warmtepomp en batterij valt eronder. De wiskunde (W) is die van de integraal ( $\int p d V$ ) en de logaritme (adiabaat, entropie).

F15 Energie: vormen en omzettingen

Energievormen, energiebehoud, rendement en het Sankey-diagram.

F16 Warmte en temperatuur

Warmte en temperatuur, warmte stroomt van warm naar koud.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Arbeid als kracht maal verplaatsing, vermogen.

I18 Warmte berekenen

Q = m c ΔT, warmtecapaciteit, smelt- en verdampingswarmte.

E3 Integralen: ophopen

Arbeid als integraal en als oppervlakte; de trapeziumregel voor een gemeten kring.

E14 Gassen en de gaswetten

Ideale gaswet en kinetische gastheorie: U = n cv T komt daaruit.

E16 Warmtepompen en koelen

De warmtemotor achterstevoren: COP en het koelkringproces.

E17 Warmteoverdracht kwantitatief

Hoe snel warmte door wanden stroomt: het tweeknoopsmodel van het station.

E25 Thermochemie en reactiesnelheid

Reactie-enthalpie: de eerste hoofdwet voor chemische reacties.

E27 Elektrochemie: batterijen, brandstofcellen en elektrolyse

Opslag van zomer naar winter: waterstof en het rendement van de hele keten.

E24 Vermogenselektronica en elektrische machines

Het echte zonnepark en de omvormer van het station.

E47 Duurzaamheid en levenscyclusanalyse

Energie en CO₂ over de hele levensduur van het station.

HabitatHet station heeft een jaarbalans op een rekenjaar voor Ukkel (2193 graaddagen): elektrisch verwarmen kost 897 kWh per jaar (evenwichtstemperatuur 9,3 °C dankzij 533 W interne winst), zon (5,60 kWp, rekenwaarde) en wind leveren 7891 kWh, in de zomer 3014 kWh te veel en in december en januari 175 kWh te weinig. Het Sankey-diagram toont dat alle energie het station uiteindelijk als warmte verlaat. Hoofdstuk 16 vervangt de elektrische verwarming door een warmtepomp; hoofdstuk 17 maakt het warmtemodel fijner.

Samenvatting

In het kort

Energie gaat over als warmte (door een temperatuurverschil) of als arbeid; $U$ is een toestandsgrootheid, $Q$ en $W$ niet.
Eerste hoofdwet: $Δ U = Q - W$ . De arbeid van een gas is $W = \int p d V$ , de oppervlakte in het pV-diagram, en hangt van de weg af.
Een ideaal gas heeft $U = n c_{v} T$ ; $c_{p} = c_{v} + R$ (Mayer); lucht: $c_{v} = \frac{5}{2} R$ , $γ = 1, 4$ .
Isochoor, isobaar, isotherm ( $W = n R T ln V_{2} / V_{1}$ ) en adiabatisch ( $p V^{γ}$ = c, $T V^{γ - 1}$ = c): snel samenpersen maakt lucht heet (diesel).
Een warmtemotor levert $W = Q_{h} - Q_{c}$ ; het rendement is hoogstens $1 - T_{c} / T_{h}$ (Carnot). Otto: $1 - r^{1 - γ}$ .
Tweede hoofdwet: warmte stroomt niet vanzelf van koud naar warm; de totale entropie ( $d S = δ Q_{rev} / T$ , $S = k ln W$ ) neemt nooit af.
Een centrale moet minstens het Carnot-deel van haar warmte lozen; echte centrales halen 33 tot 60 %, dicht bij $1 - T_{c} / T_{h}$ .
Over een jaar verlaat alle energie het station als warmte; zon en wind leveren genoeg, maar niet in december en januari.

Begrippen

Wat je nu kent

inwendige energie: De totale energie van de deeltjes van een systeem (beweging, draaien, trillen, binding); een toestandsgrootheid $U$ . Voor een ideaal gas alleen afhankelijk van $T$ : $U = n c_{v} T$ .
warmte: Energie die van een systeem naar een ander gaat door een temperatuurverschil. Een systeem 'bevat' geen warmte, wel inwendige energie.
arbeid van een gas: Energie die een gas overdraagt door een wand te verplaatsen: $W = \int p d V$ , de oppervlakte onder de kromme in het pV-diagram.
eerste hoofdwet: $Δ U = Q - W$ : de inwendige energie verandert met de toegevoerde warmte min de arbeid die het systeem levert. Energie gaat niet verloren en ontstaat niet.
adiabatisch: Zonder warmte-uitwisseling ( $Q = 0$ ), bv. omdat het snel gaat of goed geïsoleerd is. Voor een ideaal gas geldt dan $p V^{γ}$ = constant.
kringproces: Een reeks processen die terugkeert naar de begintoestand. De netto arbeid is de ingesloten oppervlakte in het pV-diagram.
Carnot-rendement: Het hoogst mogelijke rendement van een warmtemotor tussen twee temperaturen: $η_{C} = 1 - T_{c} / T_{h}$ (kelvin).
tweede hoofdwet: Warmte stroomt nooit vanzelf van koud naar warm (Clausius); geen machine zet warmte volledig om in arbeid zonder ook warmte af te geven (Kelvin-Planck). Samen: de totale entropie neemt nooit af.
entropie: Toestandsgrootheid $S$ met $d S = δ Q_{rev} / T$ ; statistisch $S = k ln W$ , met $W$ het aantal microtoestanden. Een maat voor hoe 'verspreid' energie is.
warmtekrachtkoppeling: Een centrale die tegelijk elektriciteit en nuttige warmte levert: de warmte die ze toch moet lozen, verwarmt gebouwen of een proces.
graaddagen: Som over de dagen van het verschil tussen een basistemperatuur (in België vaak 16,5 °C) en de gemiddelde buitentemperatuur, als die lager is: een maat voor hoe koud een winter is.

Aan de slag in het werkboek18 opdrachten, van oefenen tot uitdagen