IIntermediate · deel I3 · Mechanica

Handboek · hoofdstuk 9Arbeid, energie en vermogen

Kracht maal weg: hoe energie van vorm verandert, hoeveel ervan verloren gaat, en hoe snel

Een kar een oprit op duwen, water naar boven pompen, een auto afremmen: telkens wordt er energie omgezet. In Fundamental leerde je de energievormen en het behoud van energie. Nu reken je ermee. Arbeid koppelt energie aan kracht en weg, kinetische en potentiële energie krijgen een formule, en zonder wrijving blijft hun som behouden. Met vermogen en rendement bereken je hoeveel energie een pomp werkelijk nodig heeft, en je ontdekt waarom een waterreservoir in Habitat een slechte batterij zou zijn.

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code17 opdrachten in het werkboek± 10 lestijden

KKrachten, beweging en constructies EEnergie WWiskundig modelleren

Een batterij van water: 's nachts wordt het water omhoog gepompt, overdag stroomt het door turbines terug.

Na dit hoofdstuk

Je kan arbeid berekenen als kracht maal verplaatsing, ook als de kracht een hoek maakt met de verplaatsing, en het teken van de arbeid verklaren.
Je kan arbeid bepalen als oppervlakte onder een (F,s)-grafiek, ook bij een veranderlijke kracht.
Je kan kinetische en potentiële energie berekenen en de formule voor de kinetische energie afleiden uit de tweede wet.
Je kan met behoud van mechanische energie snelheden en hoogtes berekenen, zonder de tijd te kennen.
Je kan het energieverlies door wrijving berekenen als arbeid van de wrijvingskracht en in een energieboekhouding verwerken.
Je kan vermogen berekenen met $P = W / t$ en $P = F \cdot v$ , en omrekenen tussen joule, wattuur en kilowattuur.
Je kan het rendement van een machine berekenen en de verliezen voorstellen in een Sankey-diagram.
Je kan het energieverbruik van de pomp van Habitat berekenen en vergelijken met de energie in een batterij.

Uitleg · 9.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/19

In hoofdstuk F15 leerde je dat energie niet verloren gaat maar van vorm verandert, dat je ze meet in joule, dat een toestel altijd een deel 'verliest' als warmte (rendement), en dat een Sankey-diagram die stromen zichtbaar maakt. In hoofdstuk F21 berekende je elektrische energie als vermogen maal tijd.

uit Fundamental (F15)	in dit hoofdstuk
bewegingsenergie	kinetische energie $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$
zwaarte-energie	potentiële energie $E_{p} = m g h$
energie gaat niet verloren, ze wordt omgezet	behoud van mechanische energie, en wat wrijving ermee doet
de joule	$1 J = 1 N \cdot m$ : arbeid als overdracht van energie
rendement in procent, Sankey-diagram	rendement van een pomp en een motor, berekend
vermogen van een toestel (F21)	$P = W / t$ en $P = F \cdot v$

In hoofdstuk 6 viel je iets op: om de batterijkar over de oprit te duwen, is maar 49 N nodig over 6,41 m; om ze recht omhoog te tillen 785 N over 0,40 m. Maar $49 \cdot 6, 41 = 785 \cdot 0, 40 = 314$ . Toeval? Nee: dat product van kracht en weg is de arbeid, en het is de energie die in de kar gaat zitten, langs welke weg ook. In dit hoofdstuk

reken je arbeid uit, ook als kracht en weg niet in dezelfde richting liggen;
geef je bewegings- en zwaarte-energie een formule, en gebruik je het behoud ervan als rekenmethode;
volg je wat wrijving met energie doet;
reken je met vermogen en rendement aan de pomp en de dakmotor van Habitat.

Uitleg · 9.2

Arbeid: kracht maal weg

2/19

Een kracht die een voorwerp over een afstand verplaatst, draagt energie over. Die overgedragen energie heet arbeid. Werkt de kracht in de richting van de verplaatsing, dan is ze gewoon kracht maal afstand. Maakt de kracht een hoek $α$ met de verplaatsing, dan telt alleen de component langs de verplaatsing, $F cos α$ (hoofdstuk 6):

arbeid

W = F \cdot s \cdot cos α

F

in N,

s

(de verplaatsing) in m,

W

in joule:

1 J = 1 N \cdot m

. Bij

α = 0^{\circ}

W = F \cdot s

Het teken van de arbeid heeft een betekenis:

$W > 0$ ( $α < 9 0^{\circ}$ ): de kracht geeft energie aan het voorwerp. Je duwt de kar vooruit.
$W = 0$ ( $α = 9 0^{\circ}$ ): de kracht draagt geen energie over. Een boodschappentas horizontaal dragen: je tilt verticaal, de tas beweegt horizontaal. (Moe word je wel: je spieren verbruiken energie om te blijven aanspannen, maar die komt niet in de tas terecht.) Ook de normaalkracht op een horizontaal rijdende kar doet geen arbeid.
$W < 0$ ( $α > 9 0^{\circ}$ ): de kracht neemt energie weg. Wrijving werkt tegen de beweging ( $α = 18 0^{\circ}$ , $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ): ze zet bewegingsenergie om in warmte.

Arbeid is inspanning

In de natuurkunde is arbeid alleen wat een kracht langs een verplaatsing overdraagt. Een zware kist een uur lang stilhouden kost veel inspanning, maar de arbeid op de kist is nul: ze verplaatst niet. Een plank die de kist draagt, doet precies hetzelfde zonder moe te worden.

Mee met de beweging: positieve arbeid. Loodrecht: geen arbeid. Tegen de beweging in: negatieve arbeid.

Een schuin touw: alleen F · cos α trekt mee in de bewegingsrichting; F · sin α tilt en doet geen arbeid.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.3

Habitat: de arbeid van elke kracht op de batterijkar

3/19

De batterijkar (80 kg) wordt aan constante snelheid over de hele oprit geduwd: 6,41 m langs de helling, 0,40 m hoger. Uit hoofdstuk 8: duwkracht 68,6 N langs de helling, $F_{∥} = 49, 0 N$ , rolweerstand 19,6 N, normaalkracht 783 N. Bereken de arbeid van elke kracht en tel ze op.

Gegeven

$s = 6, 41 m$ langs de helling omhoog
$F_{duw} = 68, 6 N$ , $F_{∥} = 49, 0 N$ , $F_{r} = 19, 6 N$ , $F_{N} = 783 N$

Gevraagd

$W$ per kracht, en de som

Oplossing

1
Duwkracht, in de zin van de verplaatsing ( $α = 0^{\circ}$ ): $W = 68, 6 \cdot 6, 41 = + 440 J$ .
2
Zwaartekracht: haar component langs de helling wijst omlaag, tegen de verplaatsing: $W = - 49, 0 \cdot 6, 41 = - 314 J$ . (Of met de volle kracht en de hoek tussen verticaal omlaag en de verplaatsing, $93, 5 8^{\circ}$ : $785 \cdot 6, 41 \cdot cos 93, 5 8^{\circ} = - 314 J$ .)
3
Rolweerstand, tegen de beweging ( $α = 18 0^{\circ}$ ): $W = - 19, 6 \cdot 6, 41 = - 126 J$ .
4
Normaalkracht, loodrecht op de verplaatsing: $W = 0$ .
5
Som: $440 - 314 - 126 + 0 = 0 J$ .

Antwoord

Jij levert 440 J. Daarvan gaat 314 J naar hoogte (de zwaartekracht 'neemt' het op) en 126 J wordt warmte in de wielen en de vloer. De totale arbeid is nul.

Klopt dit? Dat de som nul is, is geen toeval: de kar gaat niet sneller of trager, dus haar bewegingsenergie verandert niet. De 314 J is precies m · g · h = 80 · 9,81 · 0,40: de zwaarte-energie die de kar bovenaan meer heeft (verderop). Zonder rolweerstand had je 314 J geleverd, zoals in hoofdstuk 6.

Uitleg · 9.4

Arbeid als oppervlakte

4/19

Teken de kracht in functie van de verplaatsing, een (F,s)-grafiek. Bij een constante kracht is de arbeid $F \cdot s$ de oppervlakte van een rechthoek, zoals de verplaatsing de oppervlakte was onder een (v,t)-grafiek (hoofdstuk 7). Dat blijft gelden als de kracht verandert: de arbeid is de oppervlakte onder de (F,s)-grafiek.

Een voorbeeld is een veer. Volgens de wet van Hooke (hoofdstuk F11) groeit de kracht evenredig met de uitrekking: $F = k \cdot s$ , met $k$ de veerconstante in N/m. Wie een veer uitrekt, begint met een kleine kracht en eindigt met een grote. De oppervlakte is een driehoek:

arbeid om een veer uit te rekken

W = \frac{1}{2} F_{eind} \cdot s = \frac{1}{2} k s^{2}

Een veer met

k = 200 N/m

30 cm uitrekken:

\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0, 3 0^{2} = 9, 0 J

. Die energie zit daarna als veerenergie in de veer.

Moet je een oppervlakte onder een kromme bepalen, dan tel je hokjes of splits je ze in stroken: precies wat een computer doet (hoofdstuk 7, en hoofdstuk E3 met integralen).

Constante kracht: de arbeid is een rechthoek, 440 J voor de kar op de oprit.

Veer: de kracht groeit met de uitrekking, de arbeid is een driehoek van 9,0 J.

Uitleg · 9.5

Kinetische energie

5/19

Hoeveel energie zit er in een bewegend voorwerp? Reken uit hoeveel arbeid nodig is om het vanuit stilstand op snelheid $v$ te brengen. Een constante resulterende kracht $F$ geeft een versnelling $a = F / m$ (tweede wet). De afstand die daarvoor nodig is, volgt uit de formule zonder tijd (hoofdstuk 7): $v^{2} = 2 a s$ , dus $s = \frac{v ^{2}}{2 a}$ . De arbeid is dan

W = F \cdot s = m a \cdot \frac{v ^{2}}{2 a} = \frac{1}{2} m v^{2}

De versnelling valt weg: hard duwen over een korte afstand of zacht duwen over een lange, het resultaat is hetzelfde. Die energie noemen we de kinetische energie (bewegingsenergie):

kinetische energie en de arbeid-energiestelling

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} W_{res} = Δ E_{k}

m

in kg,

v

in m/s,

E_{k}

in J. De arbeid van de resulterende kracht is de verandering van de kinetische energie: positief als het voorwerp sneller gaat, negatief als het trager gaat.

voorwerp	massa	snelheid	$E_{k}$
schuifpaneel van het kasdak	10 kg	0,10 m/s	0,05 J
wandelaar	70 kg	1,4 m/s	69 J
fietser met fiets	90 kg	18 km/h	1,1 kJ
auto in de bebouwde kom	1200 kg	50 km/h	116 kJ
auto op de autosnelweg	1200 kg	120 km/h	667 kJ

Omdat $v$ in het kwadraat staat, groeit de energie snel met de snelheid: twee keer zo snel is vier keer zoveel energie. Een auto aan 120 km/h heeft bijna zes keer de energie van dezelfde auto aan 50 km/h.

Een parabool: van 50 naar 100 km/h verviervoudigt de energie, van 116 naar 463 kJ.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.6

Waarom de remweg met het kwadraat groeit

6/19

In hoofdstuk 7 leidde je de remafstand $v^{2} / (2 a)$ af met oppervlaktes. Toon nu met energie aan waarom een auto van 1200 kg die remt met een remkracht van 8400 N (7,0 m/s²) bij 100 km/h vier keer zo ver remt als bij 50 km/h. Hoe hoog zou je dezelfde auto moeten laten vallen om evenveel kinetische energie te krijgen als bij 50 km/h?

Gegeven

$m = 1200 kg$ , $F_{rem} = 8400 N$
$v = 50 km/h = 13, 9 m/s$ en $100 km/h = 27, 8 m/s$

Gevraagd

remafstand bij beide snelheden
gelijkwaardige valhoogte

Oplossing

1
Tijdens het remmen is de remkracht de resulterende kracht, tegen de beweging in. Haar arbeid is $- F_{rem} \cdot d$ , en die moet alle kinetische energie wegnemen: $F_{rem} \cdot d = \frac{1}{2} m v^{2}$ .
2
50 km/h: $E_{k} = \frac{1}{2} \cdot 1200 \cdot 13, 9^{2} = 116 kJ$ ; $d = \frac{115 700}{8400} = 13, 8 m$ .
3
100 km/h: $E_{k} = 463 kJ$ (vier keer zoveel); $d = \frac{463 000}{8400} = 55, 1 m$ .
4
Valhoogte met dezelfde energie: $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ , dus $h = \frac{v ^{2}}{2 g} = \frac{13 , 9 ^{2}}{2 \cdot 9 , 81} = 9, 8 m$ .

Antwoord

Remafstand 13,8 m bij 50 km/h en 55,1 m bij 100 km/h: de remkracht moet vier keer zoveel energie omzetten, dus over een vier keer zo lange afstand. Een botsing aan 50 km/h is als een val van bijna 10 m hoog, van de derde verdieping.

Klopt dit? Dezelfde 13,8 m als in hoofdstuk 7 (

13, 9^{2} /14

): twee methoden, één antwoord. De remenergie (116 kJ) wordt warmte in de remschijven. Een elektrische auto kan een deel ervan terugwinnen door de motor als dynamo te gebruiken (opdracht 9.16).

Uitleg · 9.7

Potentiële energie: zwaarte-energie

7/19

Til een voorwerp met massa $m$ traag een hoogte $h$ op. Je kracht is even groot als de zwaartekracht, $m g$ , en je arbeid is $m g \cdot h$ . Die energie is niet weg: laat je het voorwerp los, dan krijg je ze terug als bewegingsenergie. Ze zit 'opgeslagen' in de hoogte, als potentiële energie of zwaarte-energie:

zwaarte-energie

E_{p} = m g h W_{zwaartekracht} = - Δ E_{p}

h

is de hoogte boven een referentieniveau dat je zelf kiest (de vloer, de grond, de bodem van het reservoir). Alleen verschillen van

E_{p}

tellen, dus de keuze maakt voor de uitkomst niets uit.

Belangrijk: de arbeid van de zwaartekracht hangt alleen af van het hoogteverschil, niet van de weg. Recht omhoog tillen of over een lange, flauwe oprit duwen: de zwaartekracht neemt telkens $m g h$ op. Een oprit verkleint de kracht, niet de energie. Dat is de 'gulden regel' van alle eenvoudige machines: hefboom, katrol, hellend vlak. Wat je wint aan kracht, verlies je aan weg (hoofdstuk F12).

Alleen bij kleine hoogtes

$E_{p} = m g h$ gaat ervan uit dat $g$ overal even groot is. Voor alles op aarde, tot vele kilometers hoog, klopt dat goed genoeg. Voor satellieten en raketten niet meer: daar neemt de zwaartekracht merkbaar af met de afstand tot het middelpunt van de aarde.

Tillen: grote kracht, korte weg. Duwen: kleine kracht, lange weg. Dezelfde 314 J (zonder wrijving).

Uitleg · 9.8

Behoud van mechanische energie

8/19

Laat een bal van 0,50 kg vallen van 10 m hoogte. Bovenaan heeft hij $E_{p} = 0, 50 \cdot 9, 81 \cdot 10 = 49, 05 J$ en geen $E_{k}$ . Onderweg wint hij snelheid en verliest hij hoogte. Zolang alleen de zwaartekracht arbeid doet, is wat de ene vorm verliest precies wat de andere wint:

behoud van mechanische energie (zonder wrijving)

E_{k, 1} + E_{p, 1} = E_{k, 2} + E_{p, 2} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}

Geldt als alleen de zwaartekracht (of een veer) arbeid doet. Normaalkrachten mogen, want ze staan loodrecht op de beweging. Wrijving en luchtweerstand niet.

Die wet is een krachtige rekenmethode, want ze vraagt de tijd niet en ook de vorm van de baan niet. Deel door $m$ en de massa valt weg. Voor een val vanuit rust over een hoogte $h$ geeft ze meteen $v = 2 g h$ : dezelfde formule als in hoofdstuk 7, zonder één keer $t$ te gebruiken. En ze geldt evengoed voor een glijbaan, een slinger of een achtbaan, waar de versnelling voortdurend verandert en de formules van de EVRB niet meer werken.

Waar blijft de energie bij wrijving?

Met wrijving daalt de mechanische energie. De energie is niet weg: ze wordt warmte (de deeltjes van de oppervlakken gaan sneller trillen, hoofdstuk F6). De totale energie blijft behouden: $E_{k} + E_{p} + Q$ is constant, met $Q$ de wrijvingswarmte, gelijk aan de arbeid tegen de wrijving, $F_{w} \cdot s$ .

Terwijl de bal valt (van 10 m naar 0 m), gaat Ep over in Ek. De som blijft 49,05 J.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.9

De bal uit hoofdstuk 4, nu met energie

9/19

In hoofdstuk 4 gooide je een bal recht omhoog: hij verliet je hand op 1,5 m hoogte met 10 m/s, en met een parabool vond je een top van 6,60 m. Bereken die top nu met behoud van energie. Met welke snelheid komt de bal op de grond, als je hem niet vangt? Luchtweerstand verwaarloos je.

Gegeven

$h_{1} = 1, 5 m$ , $v_{1} = 10 m/s$
top: $v = 0$ ; grond: $h = 0$

Gevraagd

$h_{top}$ en $v_{grond}$

Oplossing

1
Kies de grond als referentieniveau. Energie in de hand, per kg (deel door $m$ ): $\frac{1}{2} v_{1}^{2} + g h_{1} = 50 + 14, 7 = 64, 7 J/kg$ .
2
Top ( $v = 0$ ): $g h_{top} = 64, 7$ , dus $h_{top} = 64, 7/9, 81 = 6, 60 m$ .
3
Grond ( $h = 0$ ): $\frac{1}{2} v^{2} = 64, 7$ , dus $v = 129, 4 = 11, 4 m/s$ .

Antwoord

De top ligt op 6,60 m, precies wat de parabool gaf. De bal raakt de grond met 11,4 m/s: sneller dan hij vertrok, want hij valt 1,5 m dieper dan je hand.

Klopt dit? De massa van de bal kwam er niet aan te pas, en de tijd ook niet. Met de parabool had je eerst het tijdstip van de top moeten zoeken. Met energie vind je de snelheid op elke hoogte in één stap; wil je weten wannéér, dan heb je de bewegingsformules nodig. De twee methoden vullen elkaar aan.

Ontleed · 9.10

Energie in een achtbaan

10/19

Een achtbaan heeft geen motor in de karretjes. Een ketting trekt ze naar het hoogste punt, en daarna doet de zwaartekracht het werk. De figuur toont een baan zonder wrijving, met de energie in elk punt als staafje: groen de zwaarte-energie, blauw de bewegingsenergie. De hoogte van elk staafje is dezelfde.

Een achtbaan in zijaanzicht (hoogtes op schaal, 7 px per meter), met de energieverdeling in vijf punten.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
A: de top van de optakelheuvel
30 m hoog, (bijna) stil. Alle energie is zwaarte-energie. Voor een karretje van 500 kg heeft de ketting $500 \cdot 9, 81 \cdot 30 = 147 kJ$ arbeid geleverd: meer komt er daarna nooit bij.
2
B: het laagste punt
Alle zwaarte-energie is bewegingsenergie geworden: $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 30 = 24, 3 m/s$ , 87 km/h. Voor elk karretje, zwaar of licht.
3
C: de tweede heuvel is lager
Op 20 m is nog 10 m 'over': $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 10 = 14, 0 m/s$ . Een heuvel van meer dan 30 m haalt het karretje nooit: er is geen energie voor.
4
D: tweede dal
Op 8 m: $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 22 = 20, 8 m/s$ . De snelheid hangt alleen af van hoe diep het punt onder de start ligt, niet van de weg ernaartoe.
5
E: de remmen
Het station ligt op 5 m; het karretje komt aan met $2 \cdot 9, 81 \cdot 25 = 22, 1 m/s$ . Remmen (wrijving of wervelstroomremmen) zetten die bewegingsenergie om in warmte.
6
In werkelijkheid
Wrijving in de wielen en luchtweerstand nemen onderweg energie weg: elk staafje zou iets korter zijn dan het vorige, en de echte snelheden liggen enkele procenten lager. Daarom moet elke volgende heuvel duidelijk lager zijn dan de start.

Uitleg · 9.11

Wrijving, verlies en rendement

11/19

Geen enkele machine zet alle energie om in wat je wil. Een motor wordt warm, een pomp maakt het water wat warmer en draaikolken in de leidingen kosten energie. Het rendement $η$ (de Griekse letter èta) zegt welk deel nuttig is:

rendement

η = \frac{E _{nuttig}}{E _{toegevoerd}} = \frac{P _{nuttig}}{P _{toegevoerd}}

Een getal tussen 0 en 1, vaak in procent. Het verlies

E_{toegevoerd} - E_{nuttig}

wordt uiteindelijk warmte.

Het Sankey-diagram (hoofdstuk F15) toont waar de energie heen gaat, met de breedte van elke pijl evenredig met het vermogen. Het diagram hiernaast hoort bij de pomp van de waterkringloop van Habitat: een 12 V-dompelpomp die 12 W opneemt en 5,0 liter per minuut 1,5 m hoog pompt. Het nuttige vermogen is de zwaarte-energie die het water per seconde krijgt: $\frac{m}{t} g h = \frac{5 , 0 kg}{60 s} \cdot 9, 81 \cdot 1, 5 = 1, 2 W$ . Het rendement is dus maar 10 %.

Dat is typisch voor kleine pompen. Grote centrifugaalpompen halen 70 à 90 %, elektromotoren van enkele kilowatt 85 à 90 %. Hoe kleiner de machine, hoe groter het deel dat verloren gaat aan wrijving in lagers, lekstromen en draaikolken.

Behoud van energie en rendement zijn geen tegenspraak

De 10,8 W die 'verloren' gaat, is niet vernietigd. Ze zit als warmte in de motor, de pomp en het water. Voor de energiewet telt ze volledig mee; voor de gebruiker is ze waardeloos. Verlies betekent: omgezet in een vorm die je niet kan gebruiken.

Van 12 W elektrisch blijft 1,2 W over als zwaarte-energie van het water. De verdeling van de verliezen is een schatting.

Uitleg · 9.12

Vermogen: hoe snel energie omgezet wordt

12/19

Een lift en een trap brengen je naar dezelfde verdieping, met dezelfde zwaarte-energie. Het verschil is de tijd. Het vermogen is de arbeid (of de omgezette energie) per seconde:

vermogen

P = \frac{W}{t} = \frac{E}{t} P = F \cdot v

P

in watt:

1 W = 1 J/s

. De tweede vorm volgt uit de eerste:

\frac{F \cdot s}{t} = F \cdot \frac{s}{t} = F \cdot v

, met de kracht in de richting van de snelheid.

Energie in kilowattuur. Een vermogen van 1 kW gedurende 1 uur levert $1000 J/s \cdot 3600 s = 3, 6 MJ$ : dat is 1 kWh, de eenheid op je energiefactuur (hoofdstuk F21). Voor kleine toestellen reken je in wattuur: $1 Wh = 3600 J$ .

toestel of situatie	vermogen (orde van grootte)
schuifpaneel van het kasdak (mechanisch)	6 W
pomp van de waterkringloop (elektrisch)	12 W
mens, lang volgehouden (recreatief fietsen)	100 à 200 W
mens, enkele seconden (trap oplopen)	500 W à 1 kW
waterkoker	2 kW
gezinsauto (motor, maximaal)	50 à 150 kW
pompcentrale van Coo (alle turbines)	ruim 1 GW

De dakmotor. Bij het sluiten trekt de riem met ongeveer 59 N aan 0,10 m/s: $P = F \cdot v = 5, 9 W$ mechanisch. De grafiek toont $P = F \cdot v$ over de hele sluiting; de oppervlakte eronder is de arbeid, $59, 2 N \cdot 0, 60 m = 35, 5 J$ . Daarvan wordt 24,9 J zwaarte-energie van het paneel en 10,7 J warmte in de glijders.

Het vermogen stijgt tijdens het aanlopen tot 6,0 W en daalt tijdens het afremmen naar nul; de oppervlakte is 35,5 J.

Proef · 9.13

Je eigen vermogen op de trap

13/19

Onderzoeksvraag

Hoeveel vermogen levert je lichaam als je een trap oploopt, en als je hem rustig op stapt?

Materiaal

een trap met minstens 12 treden
rolmeter
stopwatch (of de stopwatch van een smartphone)
personenweegschaal

VeiligheidLoop niet sneller dan veilig kan, houd de leuning vast, en doe de proef niet als je een blessure of een hartprobleem hebt.

Zelfde trap, zelfde energie; wie sneller boven is, levert een groter vermogen.

Werkwijze

1Meet je massa. Meet de hoogte van één trede en tel de treden; bereken de totale hoogte $h$ .
2Een partner meet de tijd van de eerste tot de laatste trede terwijl je rustig naar boven stapt.
3Herhaal terwijl je zo snel als veilig kan naar boven loopt. Herhaal elke meting twee keer.
4Bereken telkens de zwaarte-energie $m g h$ en het vermogen $P = m g h / t$ .

Waarneming

Voorbeeld: 58 kg, 18 treden van 17,0 cm, dus $h = 3, 06 m$ . Rustig stappen: 9,0 s. Lopen: 3,4 s. $E_{p} = 58 \cdot 9, 81 \cdot 3, 06 = 1741 J$ .

	tijd	vermogen
rustig stappen	9,0 s	$1741/9, 0 = 193 W$
lopen	3,4 s	$1741/3, 4 = 512 W$

Verklaring

Dezelfde energie in minder tijd is een groter vermogen. Een halve kilowatt houdt een mens maar enkele seconden vol; lang volhouden lukt met ongeveer 100 à 200 W, een getrainde wielrenner haalt een uur lang ongeveer 300 à 400 W.

Wat je berekent, is alleen het nuttige vermogen: de zwaarte-energie per seconde. Je spieren hebben een rendement van ongeveer 20 à 25 %: om 512 W nuttig te leveren, verbruikt je lichaam er ruim 2 kW, en de rest wordt warmte. Daarom krijg je het warm op de trap. De beweging van armen en benen en de schokken bij elke stap tellen hier niet mee, dus je echte vermogen is nog iets groter.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.14

Habitat: water naar een hoger reservoir pompen

14/19

De pomp van de waterkringloop brengt de voedingsoplossing uit het reservoir van 60 L naar de bovenste kweekgoot, 1,5 m hoger, van waar ze door de goten terugstroomt. De pomp neemt 12 W op (12 V, 1,0 A) en verplaatst 5,0 L per minuut. Hoeveel zwaarte-energie krijgt het water als de pomp de hele 60 L één keer rondpompt? Hoe lang duurt dat, hoeveel elektrische energie kost het, en wat is het rendement?

De pomp duwt het water 1,5 m hoog; de zwaartekracht brengt het door de goten terug.

Gegeven

$V = 60 L$ , dus $m = 60 kg$ (de oplossing is bijna zuiver water, 1,00 kg per liter)
$h = 1, 5 m$
$P_{el} = 12 W$ , debiet 5,0 L/min

Gevraagd

$E_{p}$ , pomptijd, $E_{el}$ , $η$

Oplossing

1
Zwaarte-energie: $E_{p} = m g h = 60 \cdot 9, 81 \cdot 1, 5 = 883 J$ .
2
Pomptijd: $60 L /5, 0 L/min = 12 min = 720 s$ .
3
Elektrische energie: $E_{el} = P \cdot t = 12 W \cdot 720 s = 8640 J = 2, 4 Wh$ .
4
Rendement: $η = \frac{883}{8640} = 0, 102$ , ongeveer 10 %. Nuttig vermogen: $883/720 = 1, 2 W$ .

Antwoord

Het water krijgt 883 J zwaarte-energie; de pomp doet er 12 minuten over en verbruikt 8,6 kJ (2,4 Wh). Het rendement is ongeveer 10 %.

Klopt dit? Die 883 J blijft niet: het water stroomt terug naar het reservoir en zijn zwaarte-energie wordt onderweg warmte (wrijving in de goten, klateren in het reservoir). In een kringloop moet de pomp dus voortdurend energie blijven leveren. Hoeveel dat per dag is, hangt af van hoe lang de pomp draait (opdracht 9.13). Voor de keuze van de pomp en de leidingen komt de wrijving in de leidingen erbij (hoofdstuk 11).

Uitgewerkt voorbeeld · 9.15

Water als batterij?

15/19

Zou Habitat energie kunnen opslaan door water omhoog te pompen, en ze 's nachts terug te winnen met een turbine? Vergelijk met een batterij. Reken voorlopig met een batterij van 12 V en 100 Ah (hoofdstuk 16 en 20 kiezen de echte).

Gegeven

batterij: $12 V \cdot 100 Ah = 1200 Wh$
reservoir: 60 kg water, 1,5 m hoger: 883 J

Gevraagd

hoeveel water op 1,5 m evenveel energie bevat als de batterij
welk deel van de batterij één pompbeurt kost

Oplossing

1
Energie in de batterij: $1200 Wh \cdot 3600 J/Wh = 4, 32 MJ$ .
2
Massa water op 1,5 m met dezelfde energie: $m = \frac{E}{g h} = \frac{4 , 32 \cdot 1 0 ^{6}}{9 , 81 \cdot 1 , 5} = 294000 kg$ , dus ongeveer $290 m^{3}$ water: het volume van een klein zwembad.
3
Anders bekeken: de batterij bevat evenveel energie als $\frac{4 , 32 \cdot 1 0 ^{6}}{883} \approx 4900$ volle reservoirs van 60 L op 1,5 m. Of: ze kan dat ene reservoir 7,3 km hoog tillen.
4
Eén keer 60 L rondpompen kost 2,4 Wh elektrisch: $2, 4/1200 = 0, 2 %$ van de batterij.

Antwoord

Water opslaan op 1,5 m hoogte is voor Habitat zinloos: voor de energie van één batterij (een lithiumbatterij van 1,2 kWh weegt ongeveer 10 à 15 kg) heb je bijna 300 ton water nodig. Omgekeerd kost het pompen weinig: één pompbeurt is 0,2 % van de batterij.

Klopt dit? Zwaarte-energie is 'dunne' energie: 1 kg op 1 m hoogte is maar 9,81 J. Wil je er echt energie mee opslaan, dan heb je enorme massa's én grote hoogteverschillen nodig. Dat is precies wat een pompcentrale doet (volgend blad).

Verhaal · 9.16

Coo: een batterij van acht miljoen kubieke meter

16/19

In de Belgische Ardennen, bij Coo en Trois-Ponts, ligt de grootste energieopslag van België. Het is een pompcentrale, gebouwd tussen 1967 en 1979: twee kunstmatige meren op een heuvel, en een lager meer in de vallei van de Amblève, ongeveer 270 m lager. Samen kunnen de bovenbekkens ongeveer 8,5 miljoen kubieke meter water bevatten.

Als er veel goedkope stroom is (vroeger 's nachts, nu steeds vaker op zonnige, winderige dagen), pompen zes machines het water naar boven. Als er stroom tekort is, laten ze het terugstromen: dezelfde machines werken dan als turbines en generatoren. Samen leveren ze ruim 1 gigawatt, vijf à zes uur lang.

Reken na: $E_{p} = m g h = 8, 5 \cdot 1 0^{9} kg \cdot 9, 81 \cdot 270 m = 2, 3 \cdot 1 0^{13} J$ , ongeveer 6 GWh. Niet al dat water is bruikbaar en de omzetting kost energie; de centrale kan ongeveer 5 GWh leveren. Een volledige cyclus, oppompen en terug omzetten, heeft een rendement van ongeveer 75 %: voor elke 3 kWh die de centrale teruglevert, heeft ze er 4 verbruikt om te pompen.

Wat je uit dit verhaal meeneemt

Een pompcentrale werkt met precies dezelfde formule als het reservoir van Habitat. Het verschil zit in de getallen: 8,5 miljoen ton in plaats van 60 kg, 270 m in plaats van 1,5 m. Wie energie wil opslaan, moet eerst nagaan of de ordes van grootte kloppen. In 2021 werden de bovenbekkens uitgebreid met 600 000 m³: reken zelf na dat dat ruim 400 MWh extra is (opdracht 9.17).

In de machinezaal werkt dezelfde machine als pomp en als turbine, afhankelijk van de draairichting.

Code · 9.17

Python: een energieboekhouding

17/19

Hoofdstuk 8 liet de batterijkar van de oprit rollen. Het programma rekent die beweging stap voor stap uit met de tweede wet, en houdt tegelijk drie energieposten bij: de kinetische energie, de zwaarte-energie boven de voet van de oprit, en de warmte die de rolweerstand ontwikkelt ( $F_{r} \cdot Δ s$ per stap). Als de natuurkunde klopt, moet de som constant blijven.

Pythonenergie.py30 regelsDownload

# energie.py - de batterijkar rolt van de oprit: een energieboekhouding, stap voor stapimport math G = 9.81M = 80.0                               # kar met batterijen (kg)ALFA = math.atan(0.0625)               # hellingshoek van een oprit van 6,25 % (radialen)L = 6.41                               # lengte van de oprit (m)H0 = 0.40                              # hoogte van de bovenkant (m)MU_R = 0.025                           # rolweerstandscoefficientDT = 0.001                             # tijdstap (s) F_par = M * G * math.sin(ALFA)         # zwaartekracht langs de helling (N)F_r = MU_R * M * G * math.cos(ALFA)    # rolweerstand (N) s, v, warmte = 0.0, 0.0, 0.0           # weg langs de oprit (m), snelheid (m/s), wrijvingswarmte (J)print(" t (s)   s (m)   Ek (J)   Ep (J)   warmte (J)   som (J)")stap = 0while s < L:    if stap % 1000 == 0:                # elke seconde een regel        Ek = 0.5 * M * v ** 2        Ep = M * G * (H0 - s * math.sin(ALFA))        print(f"{stap * DT:5.1f}   {s:5.2f}   {Ek:6.1f}   {Ep:6.1f}   {warmte:10.1f}   {Ek + Ep + warmte:6.1f}")    a = (F_par - F_r) / M              # tweede wet langs de helling    ds = v * DT + 0.5 * a * DT ** 2    warmte = warmte + F_r * ds         # arbeid van de rolweerstand wordt warmte    s = s + ds    v = v + a * DT    stap = stap + 1Ek = 0.5 * M * v ** 2print(f"beneden na {stap * DT:.2f} s: v = {v:.2f} m/s, Ek = {Ek:.1f} J, warmte = {warmte:.1f} J")

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

 t (s)   s (m)   Ek (J)   Ep (J)   warmte (J)   som (J)
  0.0    0.00      0.0    313.9          0.0    313.9
  1.0    0.18      5.4    304.9          3.6    313.9
  2.0    0.73     21.6    278.0         14.4    313.9
  3.0    1.65     48.5    233.0         32.4    313.9
  4.0    2.94     86.3    170.1         57.5    313.9
  5.0    4.59    134.8     89.2         89.9    313.9
beneden na 5.91 s: v = 2.17 m/s, Ek = 188.3 J, warmte = 125.6 J

De som blijft 313,9 J: de zwaarte-energie bovenaan ( $80 \cdot 9, 81 \cdot 0, 40$ ). Beneden is 60 % bewegingsenergie geworden (188 J) en 40 % warmte (126 J). De kar komt aan met 2,17 m/s, zoals in opdracht 8.14. Zo'n controle, 'blijft de totale energie behouden?', gebruiken ingenieurs om een simulatie te testen: klopt de som niet, dan zit er een fout in het model of in de code.

Naslag · 9.18

Overzicht: arbeid, energie en vermogen

18/19

arbeid

W = F \cdot s \cdot cos α

symbool	betekenis	eenheid
$W$	arbeid	J = N·m
$F$	kracht	N
$s$	verplaatsing	m
$α$	hoek tussen kracht en verplaatsing	°

veranderlijke kracht

W = oppervlakte onder de (F, s) -grafiek W_{veer} = \frac{1}{2} k s^{2}

kinetische energie en arbeid-energiestelling

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} W_{res} = Δ E_{k}

zwaarte-energie

E_{p} = m g h W_{zw} = - Δ E_{p}

symbool	betekenis	eenheid
$h$	hoogte boven het referentieniveau	m

behoud van energie (Q: wrijvingswarmte,

F_{w} \cdot s

)

\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2} (+ Q)

vermogen en rendement

P = \frac{W}{t} P = F \cdot v η = \frac{P _{nuttig}}{P _{toegevoerd}}

symbool	betekenis	eenheid
$P$	vermogen	W = J/s
$η$	rendement	geen (of %)

eenheid	in joule
1 Wh (wattuur)	3600 J
1 kWh	3,6 MJ
1 kJ	1000 J
1 kcal (op voedingsverpakkingen)	4184 J

toestel of situatie	vermogen (orde van grootte)
schuifpaneel van het kasdak (mechanisch)	6 W
pomp van de waterkringloop (elektrisch)	12 W
mens, lang volgehouden (recreatief fietsen)	100 à 200 W
mens, enkele seconden (trap oplopen)	500 W à 1 kW
waterkoker	2 kW
gezinsauto (motor, maximaal)	50 à 150 kW
pompcentrale van Coo (alle turbines)	ruim 1 GW

Habitat: rekenwaarden uit dit hoofdstuk
pomp waterkringloop	12 V, 1,0 A (12 W), 5,0 L/min bij 1,5 m opvoerhoogte, rendement ongeveer 10 %
60 L één keer rondpompen	883 J zwaarte-energie, 12 min, 2,4 Wh elektrisch
kasdak sluiten	35,5 J per sluiting, 6 W mechanisch
batterij (voorlopig)	1,2 kWh = 4,32 MJ

Het geheel · 9.19

Waar energie terugkomt

19/19

Energie is de grootheid die alle leerlijnen verbindt: mechanisch, elektrisch, chemisch, warmte, licht. Dit hoofdstuk gaf haar de mechanische vorm, met kracht en weg. In de rest van Intermediate reken je ze om naar warmte, naar elektriciteit en naar de opbrengst van een zonnepaneel, en stel je voor de klimaatmodule een energiebudget op.

F15 Energie: vormen en omzettingen

Energievormen, behoud, rendement en het Sankey-diagram, nu met formules.

F21 Elektrisch vermogen en energie

Elektrisch vermogen P = U · I en energie in kWh: de pomp neemt 12 V · 1,0 A op.

I7 Beweging beschrijven

De formule zonder tijd, waaruit ½ m v² volgt; de remweg op twee manieren.

I8 De wetten van Newton

De krachten waarvan je hier de arbeid berekent, en de wrijving die energie in warmte omzet.

I11 Druk en hydraulica

Pompen en leidingen: opvoerhoogte, druk en de wrijving in de leidingen.

I16 Redox en batterijen

Wat er in een batterij gebeurt, en de capaciteit in Ah en Wh.

I18 Warmte berekenen

Waar de 'verloren' energie heen gaat: warmte en temperatuurstijging.

I20 Zonne-energie dimensioneren

Het energiebudget van de klimaatmodule, met de pomp als verbruiker.

E3 Integralen: ophopen

Arbeid bij een veranderlijke kracht als integraal van F over s.

E15 De hoofdwetten van de thermodynamica

Waarom je warmte nooit volledig terug in arbeid omzet: de tweede hoofdwet.

HabitatVoor Habitat leggen we vast: de pomp van de waterkringloop is een 12 V-dompelpomp die 12 W opneemt en 5,0 L per minuut 1,5 m hoog pompt (rendement ongeveer 10 %). De 60 L van het voedingsreservoir één keer rondpompen kost 2,4 Wh. Het kasdak sluiten kost 35,5 J mechanische arbeid. Als voorlopige batterij rekenen we met 1,2 kWh. In opdracht 9.13 maak je het energiebudget van de waterkringloop.

Samenvatting

In het kort

Arbeid is kracht maal verplaatsing langs de kracht: $W = F \cdot s \cdot cos α$ , in joule. Mee met de beweging positief, loodrecht nul, tegen de beweging negatief.
Bij een veranderlijke kracht is de arbeid de oppervlakte onder de (F,s)-grafiek; een veer uitrekken kost $\frac{1}{2} k s^{2}$ .
Kinetische energie $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ volgt uit $F = ma$ en de formule zonder tijd. De arbeid van de resulterende kracht is $Δ E_{k}$ .
Zwaarte-energie $E_{p} = m g h$ hangt alleen af van het hoogteverschil, niet van de weg: een oprit verkleint de kracht, niet de energie.
Zonder wrijving blijft $E_{k} + E_{p}$ constant. Zo reken je snelheden en hoogtes uit zonder de tijd te kennen.
Wrijving zet mechanische energie om in warmte, $Q = F_{w} \cdot s$ . De totale energie blijft behouden.
Vermogen is energie per seconde: $P = W / t = F \cdot v$ , in watt. $1 kWh = 3, 6 MJ$ .
Rendement is nuttig gedeeld door toegevoerd; de pomp van Habitat haalt ongeveer 10 %. Zwaarte-energie is 'dun': 60 L op 1,5 m is maar 883 J.

Begrippen

Wat je nu kent

arbeid: Energie die een kracht overdraagt langs een verplaatsing: $W = F \cdot s \cdot cos α$ , in joule.
joule: Eenheid van energie en arbeid: $1 J = 1 N \cdot m$ , de arbeid van 1 N over 1 m.
kinetische energie: Energie van een bewegend voorwerp: $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ .
potentiële energie: Hier: zwaarte-energie, $E_{p} = m g h$ , met $h$ de hoogte boven een gekozen referentieniveau.
mechanische energie: De som van kinetische en potentiële energie; zonder wrijving blijft ze constant.
arbeid-energiestelling: De arbeid van de resulterende kracht is gelijk aan de verandering van de kinetische energie.
vermogen: Energie (of arbeid) per tijdseenheid: $P = W / t$ , in watt ( $1 W = 1 J/s$ ); ook $P = F \cdot v$ .
kilowattuur: Energie die een vermogen van 1 kW in 1 uur levert: $1 kWh = 3, 6 MJ$ .
rendement: Het deel van de toegevoerde energie dat nuttig gebruikt wordt: $η = E_{nuttig} / E_{toegevoerd}$ .
opvoerhoogte: Het hoogteverschil waarover een pomp een vloeistof omhoog brengt.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen