Handboek · hoofdstuk 17Warmteoverdracht kwantitatief

Je kende $Q=mc\Delta T$ en het stationverlies van 50 W/K. De eerste relatie gaat over energie opslaan; de tweede over energie per seconde verliezen. Schrijf daarom $C=mc$ in J/K en $H$ in W/K. Een groot $C$ houdt een ruimte tijdelijk warm, maar verandert het stationaire verlies niet.

Een temperatuurverschil van 1 °C is 1 K. In stralingsformules is de absolute temperatuur verplicht: $20{}^{\circ }\mathrm{C}=293,15\mathrm{K}$. Warmte is energie die door temperatuurverschil wordt overgedragen; een lichaam bevat inwendige energie, geen voorraad 'warmte'.

Voor een vlakke wand met constante geleidbaarheid $\lambda$ geldt $q_x=-\lambda \mathrm{d}T/\mathrm{d}x$. Het minteken stuurt warmte van hoog naar laag. $q_x$ is warmtestroomdichtheid in W/m²; $\dot{Q}=A{q}_x$ is vermogen in W.

In een stationaire, homogene laag zonder interne warmtebron is ${\mathrm{d}}^{2}T/\mathrm{d}{x}^2=0$: het temperatuurprofiel is recht. Integreren over dikte $d$ geeft $\dot{Q}=\lambda A(T_1-T_2)/d$. Die formule geldt niet zomaar voor een cylinder of een isolatielaag met een sterk temperatuurafhankelijke geleidbaarheid.

Een stilstaande luchtlaag geleidt; beweging transporteert energie verder. Newtons warmteovergangsmodel bundelt beide: $\dot{Q}=hA(T_s-T_{\infty })$ en $R_{\mathrm{conv}}=1/(hA)$. $h$ is geen universele materiaalconstante. Het hangt af van snelheid, vorm, oriëntatie, ruwheid en stromingsregime.

Natuurlijke convectie ontstaat door dichtheidsverschillen; gedwongen convectie door ventilator of pomp. Een ontwerp gebruikt een correlatie met haar toepassingsgebied of een gemeten $h$, geen willekeurig tabelgetal. Bijvoorbeeld: bij $h=8W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$, $A=2{\mathrm{m}}^2$ en 15 K verschil volgt 240 W.

In serie stroomt hetzelfde vermogen door elke laag. $T_i-T_{i+1}=\dot{Q}{R}_i$. Alle temperatuurvallen optellen geeft $\Delta T=\dot{Q}\sum R_i$. Bij een vlakke wand werk je vaak per vierkante meter: $R^{\prime }=1/h_i+\sum d_i/{\lambda }_i+1/h_o$ in m²K/W en $U=1/R^{\prime }$.

De binnen- en buitenfilms zijn hier rekenwaarden $R_i^{\prime }=0,13$ en $R_o^{\prime }=0,04{\mathrm{m}}^{2}K/W$. De opgegeven filmweerstanden kunnen effectieve straling bevatten. Daar nog een volledige stralingsstroom bovenop tellen zou hetzelfde verlies tweemaal tellen.

Bij volumestroom $\dot{V}$ verlaat lucht de ruimte met enthalpieverschil ongeveer $\rho c_p\Delta T$ per m³. Dus $H_{\mathrm{vent}}=\rho c_p\dot{V}$. Met warmteterugwinning is dat $(1-\eta )\rho c_p\dot{V}$. Een debiet in m³/h moet eerst door 3600.

De 100 m³/h van e14, met 85 % warmteterugwinning, $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$ en $c_p=1005J/(\mathrm{kgK})$, geeft $H_{\mathrm{vent}}=5,03W/K$. Zonder terugwinning is dat 33,5 W/K. Dit verlies zit al in de woonmodulewaarde; voeg het niet nogmaals toe aan de 50 W/K van het station.

Een zwart lichaam straalt $\sigma T^4$ per m² uit. Voor een grijs oppervlak in een grote isotherme omgeving, met zichtfactor ongeveer 1, is netto $\dot{Q}=ϵ\sigma A(T_s^4-T_{\mathrm{omg}}^4)$. De omgeving straalt terug. Voor twee eindige platen spelen zichtfactor en beide emissiviteiten mee.

$\sigma =5,670374419\cdot 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4)$ (afgeronde waarde uit NIST CODATA). Het product van een reflecterend metaaloppervlak en een luchtspleet kan straling beperken; een reflecterende folie zonder spleet is geen dikke isolatielaag.

Neem vaste $C$, $H$, buitenwaarde $T_b$ en ingaand vermogen $P$. Tijdens $\mathrm{d}t$ verandert de energie met $C\mathrm{d}T$; binnen komt $P\mathrm{d}t$, buiten gaat $H(T-T_b)\mathrm{d}t$. Delen door $\mathrm{d}t$ geeft $C\dot{T}=P-H(T-T_b)$.

Het evenwicht is $T_{\infty }=T_b+P/H$. Zet $z=T-T_{\infty }$. Dan $\dot{z}=-Hz/C$, zodat $\mathrm{d}z/z=-H\mathrm{d}t/C$ en $z=z_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ met $\tau =C/H$. De tijdconstante verandert de eindsituatie niet.

Een homogeen voorwerp is een redelijke knoop als interne temperatuurverschillen klein blijven. De verhouding $Bi=h{L}_c/\lambda$ vergelijkt interne geleidingsweerstand met oppervlakweerstand, met $L_c=V/A$. $Bi\ll 1$ is gunstig. Een gebouw is echter een samengesteld systeem; daar toets je een knoop vooral aan de tijdschalen en meetresiduen.

Lucht, meubels en een grote waterbuffer krijgen niet onmiddellijk dezelfde temperatuur. Bij verwarmen reageert de lucht eerst; bij uitschakelen kan warm water nog energie teruggeven. Het totaal $C_a+C_b$ zomaar in één knoop stoppen mist deze uitwisseling.

Voor de klimaatmodule nemen we $C_a=80kJ/K$, $C_b=1,10MJ/K$, $H=20,2W/K$ en $G=30W/K$ uit i31. De buffer verliest in dit model alleen warmte via de lucht. Het convectorvermogen wordt als netto warmte aan de lucht toegevoerd.

Optellen laat de interne overdracht wegvallen: $(C_a{\dot{T}}_a+C_b{\dot{T}}_{\mathrm{buf}})=P-H(T_a-T_b)$. Dat is een sterke controle op de tekens. Dezelfde koppelstroom is verlies voor de ene knoop en winst voor de andere.

Na uitschakelen uit 20 °C in 4 °C buitenlucht valt de lucht snel terug, terwijl de buffer relatief warm blijft. Daardoor blijft er $G(T_{\mathrm{buf}}-T_a)$ naar de lucht stromen. De éénknoopbenadering met 1,18 MJ/K heeft dezelfde totale energie bij een uniforme temperatuur, maar voorspelt het comfort in het eerste uur verkeerd.

Een regeling gebruikt dus $T_a$ als comfortvariabele en $T_{\mathrm{buf}}$ als energietoestand. Een digitale tweeling is pas nuttig wanneer de toestand betekenis heeft: alleen een gladde voorspelde lijn is onvoldoende.

In rust volgt $H=P/(T-T_b)$, mits zon en interne winsten bekend zijn. Tijdens afkoelen zonder bron volgt voor één knoop $\ln [(T-T_b)/(T_0-T_b)]=-t/\tau$. De helling van die rechte is $-1/\tau$; vervolgens $C=H\tau$.

Bij twee knopen kan je de luchtbalans herschrijven als $P=C_a{\dot{T}}_a+H(T_a-T_b)+G(T_a-T_{\mathrm{buf}})$. Meet beide temperaturen en vermogen. De bufferbalans voegt $C_b{\dot{T}}_{\mathrm{buf}}=G(T_a-T_{\mathrm{buf}})$ toe. Afgeleiden versterken ruis, zodat e36 rechtstreeks tijdreeksen zal fitten.

Een alleenstaande koelcurve bepaalt vooral verhoudingen; om $C$ en $H$ afzonderlijk te vinden heb je een gekend energie- of vermogenssignaal nodig. Bij vrijwel gelijke lucht- en buffertemperatuur is $G$ slecht identificeerbaar.

Het warmtemodel vraagt thermisch vermogen. De elektrische vraag van de R290-warmtepomp volgt pas na delen door haar COP en toevoegen van hulpenergie (e16). Een constante COP is alleen geldig binnen een beperkt bron- en aanvoergebied; een hoger waterniveau vergroot vaak het temperatuurverschil en verlaagt COP.

Voor het hele station zonder interne winst is bij −8 °C buiten 50·28 = 1400 W nodig; bij −15 °C 1750 W. Dat zijn dezelfde waarden als e39. Voor de module apart is bij −8 °C 20,2·28 = 565,6 W; de woonmodule levert afgerond de resterende 29,8 W/K. Buffers leveren tijdelijk energie, geen permanent extra vermogen.

i40 rekent de werkende module met scherm en interne winst op 525 W en 1,09 MJ/K; dat is een andere bedrijfstoestand dan de onbeschermde 20,2 W/K-ontwerpbalans hier. De stationreferentie blijft op 50 W/K. Een 100 L-warmtepompbuffer en de 200 L-modulebuffer zijn bovendien afzonderlijke onderdelen.