IIntermediate · deel I1 · Onderzoeken met data

Handboek · hoofdstuk 1Meetfouten en nauwkeurigheid

Waarom elke meting een marge heeft, en hoe je die eerlijk in een getal zet

Geen enkele meting is perfect: niet die van jouw lat, niet die van de sensoren in de meetkas en niet die van een ruimtetelescoop. In dit hoofdstuk leer je fouten herkennen, ze uitdrukken als waarde ± fout, rekenen met meetwaarden zonder schijnprecisie, en een meetreeks samenvatten met het gemiddelde en de standaardafwijking. Daarmee beantwoord je een echte vraag: hoe ver kan je een goedkope sensor vertrouwen?

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel15 opdrachten in het werkboek± 7 lestijden

OOnderzoeken en meten WWiskundig modelleren

Drie thermometers naast elkaar, drie verschillende antwoorden. Welke vertrouw je?

Na dit hoofdstuk

Je kan systematische en toevallige fouten herkennen, hun oorzaak benoemen en zeggen hoe je ze verkleint.
Je kan uitleggen wat nauwkeurig en precies betekenen, en waarom resolutie iets anders is dan nauwkeurigheid.
Je kan een meetresultaat correct noteren als (waarde ± fout) eenheid, correct afgerond.
Je kan de absolute en de relatieve fout berekenen en ermee instrumenten en metingen vergelijken.
Je kan beduidende cijfers tellen en de regels toepassen als je met meetwaarden rekent.
Je kan de fout op een berekende grootheid schatten met de regels voor som, verschil, product, quotiënt en macht.
Je kan gemiddelde, bereik, mediaan en standaardafwijking berekenen en uitleggen wat ze zeggen.
Je kan een uitschieter opsporen en onderbouwd beslissen wat je ermee doet.

Uitleg · 1.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/18

In Fundamental leerde je meten als een vakman. Een meetresultaat is een grootheid met een getal en een eenheid (hoofdstuk F3). Je koos het juiste instrument, las recht van voren af om parallax te vermijden en wist dat een lat met millimeterverdeling niet preciezer meet dan een halve millimeter. In hoofdstuk F2 herhaalde je een proef en nam je het gemiddelde, omdat één meting niets bewijst.

Nu maak je die onzekerheid zichtbaar in een getal. Niet 'ongeveer 73 mm', maar $l = (73, 5 \pm 0, 5) mm$ . Je leert in dit hoofdstuk

welke soorten fouten er bestaan en hoe je ze opspoort;
hoe je een fout absoluut en relatief uitdrukt en correct noteert;
hoeveel cijfers een resultaat verdient, ook na een berekening;
hoe fouten doorwerken als je met meetwaarden rekent;
hoe je een meetreeks samenvat met gemiddelde, bereik en standaardafwijking, en wat je met een uitschieter doet.

Een meetfout is geen vergissing

In de wetenschap betekent fout (beter: onzekerheid) niet dat je iets verkeerd deed. Elke meting heeft een marge, ook die van het beste labo ter wereld. Een vergissing is iets anders: een verkeerd overgeschreven cijfer, een verkeerde eenheid, een verkeerd ingestelde meter. Een vergissing spoor je op en verbeter je; een meetfout schat je en vermeld je.

De rand valt tussen 73 en 74 mm. Je schat 73,5 mm en noteert de afleesfout erbij: een halve schaalverdeling.

Uitleg · 1.2

Twee soorten fouten: systematisch en toevallig

2/18

Zet twee temperatuursensoren samen in een waterbad dat met een geijkte thermometer op precies 20,0 °C gehouden wordt, en lees ze zestien keer af. De twee sensoren falen op een heel verschillende manier (grafiek).

Sensor A springt heen en weer rond 20 °C: de ene keer 19,0 °C, een andere keer 21,3 °C. Dat is een toevallige fout: ze is bij elke meting anders, soms te groot en soms te klein, en je kan ze niet voorspellen. Oorzaken: elektrische ruis, kleine stromingen in het water, een aflezing die net tussen twee streepjes valt, je reactietijd bij een stopwatch.

Sensor B is opvallend rustig, maar zit er telkens ongeveer 1,2 °C naast, altijd in dezelfde richting. Dat is een systematische fout: ze duwt elke meting evenveel dezelfde kant op. Oorzaken: een instrument dat niet op nul staat, een slecht geijkte sensor, parallax die je altijd van dezelfde kant maakt, een sensor in de zon die vooral zijn eigen omhulsel meet.

	toevallige fout	systematische fout
richting	wisselt: soms +, soms −	altijd dezelfde kant
herken je door	te herhalen: de metingen spreiden	te vergelijken met een referentie of een andere methode
verklein je door	meer metingen, een fijner instrument, veel slingeringen samen timen	ijken, het nulpunt instellen, de methode verbeteren
verdwijnt door te middelen?	grotendeels	nee: het gemiddelde zit er even ver naast

Herhalen lost alles op

Het gemiddelde van honderd metingen met sensor B blijft 1,2 °C te hoog. Herhalen verkleint alleen de toevallige fout. Een systematische fout vind je enkel door te vergelijken met iets wat je vertrouwt: een geijkte thermometer, smeltend ijs in water (0 °C), een andere meetmethode.

Sensor A spreidt rond de echte waarde (gemiddeld 19,9 °C); sensor B ligt er strak naast (gemiddeld 21,2 °C).

Verhaal · 1.3

Een spiegel die perfect verkeerd was

3/18

In april 1990 bracht een spaceshuttle de Hubble-ruimtetelescoop in een baan om de aarde. Het hart ervan is een spiegel van 2,4 meter doorsnede, gepolijst met een precisie die toen ongezien was. Binnen enkele weken bleek dat de beelden wazig waren: het licht van een ster werd uitgesmeerd tot een vlekje met een waas errond.

De oorzaak was een systematische fout. Tijdens het polijsten werd de vorm van de spiegel gecontroleerd met een optisch meettoestel, een zogenoemde nulcorrector. Eén lens in dat toestel stond ongeveer 1,3 mm verkeerd. Het bedrijf polijstte de spiegel dus uiterst nauwgezet naar een verkeerde vorm: aan de rand was hij ongeveer 2,2 micrometer te vlak, zowat een vijftigste van de dikte van een haar. Elke controle met hetzelfde toestel bevestigde het resultaat, want het toestel zelf was de fout.

Er waren aanwijzingen. Andere, eenvoudigere testen tijdens de bouw wezen op een afwijking, maar ze werden opzijgeschoven omdat ze minder precies waren dan de nulcorrector. Achteraf bleken net die minder precieze metingen juist te zijn.

In december 1993 plaatsten astronauten tijdens ruimtewandelingen corrigerende optiek in de telescoop, een soort bril. Omdat de fout zo precies gekend was, kon de correctie even precies zijn. Sindsdien levert Hubble de scherpe beelden waarvoor hij beroemd is.

De les voor elke meter

Precisie bewijst geen juistheid. Een meting die zichzelf telkens herhaalt, kan telkens even fout zijn. Controleer een instrument daarom met een onafhankelijke referentie, en neem een afwijkend resultaat ernstig, ook als het van een minder fijn instrument komt.

Een telescoopspiegel wordt tot op een fractie van een micrometer gepolijst: precies, maar is hij ook juist?

Uitleg · 1.4

Nauwkeurig tegenover precies

4/18

De twee soorten fouten horen bij twee eigenschappen van een meetreeks. Een reeks is precies als de metingen dicht bij elkaar liggen: de toevallige fout is klein. Ze is nauwkeurig als ze gemiddeld dicht bij de echte waarde ligt: de systematische fout is klein. Op een dartbord zie je het verschil meteen.

Sensor B uit het vorige blad is precies maar niet nauwkeurig, net als de spiegel van Hubble. Sensor A is gemiddeld nauwkeurig, maar niet precies. Je wil beide. Precisie haal je met een goed instrument en herhaalde metingen, nauwkeurigheid met ijken tegenover een referentie.

Meer cijfers betekent nauwkeuriger

De DS18B20, een veelgebruikte digitale temperatuursensor, geeft de temperatuur in stapjes van 0,0625 °C. Toch belooft de fabrikant maar een nauwkeurigheid van ± 0,5 °C (tussen −10 °C en +85 °C). De resolutie, de kleinste stap die het toestel toont, zegt niets over de nauwkeurigheid, hoe ver het er gemiddeld naast kan zitten. Een scherm met vier decimalen kan vier decimalen lang fout zijn.

Woorden in de norm

In de officiële meettaal (de ISO-normen over meetmethoden) heet 'gemiddeld dicht bij de echte waarde' juistheid, en betekent nauwkeurigheid juist én precies samen. Lees je 'juistheid' in een handleiding, dan weet je wat bedoeld wordt.

Het kruisje is de echte waarde, elke rode cirkel een meting. De spreiding toont de toevallige fout, de verschuiving van het zwaartepunt (blauwe pijl) de systematische.

Uitleg · 1.5

Absolute en relatieve fout

5/18

Een meetresultaat noteer je als waarde ± fout, met de eenheid erachter:

een meetresultaat

x = x_{gemeten} \pm Δ x

Δ x

is de absolute fout, in dezelfde eenheid als de meting. Je bedoelt: de echte waarde ligt tussen

x - Δ x

x + Δ x

. Voor een afleesfout is dat vrijwel zeker; voor een fout uit de standaardafwijking (verderop) in ongeveer twee op de drie gevallen.

Hoe groot is $Δ x$ ? Dat hangt af van waar de fout vandaan komt:

Analoge schaal (lat, maatcilinder, wijzer): een halve kleinste schaalverdeling, tenzij je slechter kan aflezen (een trillende wijzer, een dikke meniscus).
Digitaal toestel: de specificatie van de fabrikant, vaak geschreven als ± (een percentage van de aflezing + een aantal eenheden van het laatste cijfer). Staat er niets, neem dan minstens één eenheid van het laatste cijfer.
Herhaalde metingen: de spreiding van de reeks, maar nooit kleiner dan de fout van het instrument.

Of een fout groot is, hangt af van wat je meet. Een halve millimeter op de lengte van een kas is niets; op de dikte van een draad is het enorm. Daarom bestaat de relatieve fout:

relatieve fout

relatieve fout = \frac{Δ x}{∣ x ∣}

Zonder eenheid, vaak in procent. Zo vergelijk je de kwaliteit van metingen van verschillende grootheden of met verschillende instrumenten.

instrument	kleinste stap	typische fout
lat met mm-verdeling	1 mm	± 0,5 mm
rolmeter	1 mm	± 0,5 mm tot ± 2 mm (lint dat doorhangt, haakje aan het begin)
schuifmaat met nonius	0,05 mm	± 0,05 mm
digitale balans	0,1 g	± 0,1 g (of volgens specificatie)
maatcilinder van 100 mL	1 mL	± 0,5 mL
stopwatch, met de hand bediend	0,01 s	± 0,1 à 0,2 s: je reactie, niet de klok
digitale thermometer	0,1 °C	volgens specificatie, vaak ± 0,5 °C of meer

Een meetresultaat is geen punt maar een interval: de echte waarde ligt ergens in de gekleurde band.

Ontleed · 1.6

Een meetresultaat ontleed

6/18

Zo noteert een onderzoeker het resultaat van de slingerproef verderop in dit hoofdstuk. Elk teken heeft een reden. Wie één onderdeel weglaat, laat de lezer raden.

De slingertijd uit tien keer tien slingeringen, correct genoteerd.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Grootheid
Het symbool van wat je meet: hier $T$ , de slingertijd (periode). Een getal zonder grootheid kan niemand controleren.
2
Waarde
De beste schatting, meestal het gemiddelde van je metingen. Ze krijgt evenveel decimalen als de fout: niet meer (schijnprecisie), niet minder (informatie weggooien).
3
Plus of min
Het interval: de echte waarde ligt tussen 1,782 s en 1,800 s. Een meetresultaat is een gebied, geen punt.
4
Fout
De absolute fout, afgerond op één beduidend cijfer (twee als dat cijfer een 1 is). Hier werd $0, 0085 s$ afgerond tot $0, 009 s$ .
5
Haakjes
Waarde en fout hebben dezelfde eenheid; de haakjes tonen dat de eenheid voor beide geldt. Zonder haakjes staat er een kaal getal 1,791 plus 0,009 seconde.
6
Eenheid
Altijd, als SI-eenheid of met een voorvoegsel. In een berekening reken je de eenheid mee.
7
Dezelfde decimaal
Waarde en fout eindigen op dezelfde decimaal, hier de duizendsten. Dat is de gouden regel van het afronden.
8
Relatieve fout
Zet ze erbij als je metingen wil vergelijken: $0, 009/1, 791 = 0, 005 = 0, 5 %$ .

Uitgewerkt voorbeeld · 1.7

Klein meten is moeilijk meten

7/18

Voor de meetkas noteert een leerling drie maten. Bereken telkens de relatieve fout en beoordeel of het instrument geschikt is.

(a) de lengte van de plantenbak: $120, 0 cm$ , met een rolmeter, $\pm 0, 2 cm$ ;
(b) de dikte van de polycarbonaatplaat van de wand: $4, 00 mm$ , met een schuifmaat, $\pm 0, 05 mm$ ;
(c) de diameter van een gaatje in de druppelslang: met een lat 'ongeveer 1 mm' ( $\pm 0, 5 mm$ ), met een schuifmaat $1, 20 mm$ ( $\pm 0, 05 mm$ ).

Voor kleine maten is een schuifmaat nodig: met een lat is de relatieve fout tientallen procenten.

Gegeven

de drie metingen en hun absolute fout

Gevraagd

de relatieve fout van elke meting
is het instrument geschikt?

Oplossing

1
(a) $\frac{Δ l}{l} = \frac{0 , 2 cm}{120 , 0 cm} = 0, 0017 = 0, 17 %$ .
2
(b) $\frac{0 , 05 mm}{4 , 00 mm} = 0, 0125 \approx 1, 3 %$ .
3
(c) Met de lat: $\frac{0 , 5 mm}{1 mm} = 0, 5 = 50 %$ . Met de schuifmaat: $\frac{0 , 05 mm}{1 , 20 mm} = 0, 042 \approx 4 %$ .
4
Beoordeel. De rolmeter is ruim goed genoeg voor de bak. Voor het gaatje is de lat onbruikbaar: bij 50 % fout weet je niet of het gaatje 0,5 mm of 1,5 mm is. En dat maakt uit: het water dat door een gaatje stroomt, hangt af van de oppervlakte van de opening, dus van het kwadraat van de diameter.

Antwoord

0,17 %, 1,3 % en 50 % (lat) of 4 % (schuifmaat). Hoe kleiner het voorwerp, hoe fijner het instrument moet zijn om dezelfde relatieve fout te halen.

Klopt dit? Een relatieve fout heeft geen eenheid: mm gedeeld door mm. Krijg je toch een eenheid, dan deelde je twee verschillende eenheden door elkaar (cm door mm) en moet je eerst omzetten.

Uitleg · 1.8

Beduidende cijfers

8/18

Staat er geen fout bij een getal, dan vertellen de cijfers zelf hoe precies het is. $12, 0 cm$ zegt iets anders dan $12 cm$ : bij het eerste heb je tot op de millimeter gemeten. De cijfers die zo informatie dragen, heten beduidende cijfers.

Alle cijfers die geen nul zijn, tellen: $3, 47$ heeft er 3.
Nullen tussen andere cijfers tellen: $3, 040$ heeft er 4.
Nullen vooraan tellen nooit: ze zetten alleen de komma op zijn plaats. $0, 00520$ heeft er 3.
Nullen achteraan na de komma tellen wel: de laatste 0 van $0, 00520$ is gemeten.
Nullen achteraan in een getal zonder komma zijn dubbelzinnig: is $1200 g$ tot op de gram of tot op 100 g gemeten? Schrijf daarom $1, 20 \cdot 1 0^{3} g$ (3 beduidende cijfers) of $1, 2 \cdot 1 0^{3} g$ (2).

Rekenen met meetwaarden volgt twee vuistregels:

Vermenigvuldigen en delen: het resultaat krijgt evenveel beduidende cijfers als de factor met de minste beduidende cijfers: $12, 5 cm \times 3, 3 cm = 41, 25 c m^{2} \to 41 c m^{2}$ .
Optellen en aftrekken: het resultaat krijgt evenveel decimalen als de term met de minste decimalen: $15, 42 g + 3, 1 g = 18, 52 g \to 18, 5 g$ .

Rond pas op het einde af: reken verder met alle cijfers van je rekenmachine, anders stapel je afrondingsfouten op. Exacte getallen beperken niets: de 2 in $2 π r$ , het aantal metingen, de 100 in $1 m = 100 cm$ .

De fout gaat voor

Beduidende cijfers zijn een vuistregel voor als je de fout niet kent. Ken je de fout wel, dan bepaalt de fout hoeveel cijfers je noteert: rond de fout af op één beduidend cijfer (twee als het eerste cijfer een 1 is) en rond de waarde af op dezelfde decimaal.

Blauw: beduidende cijfers. Grijs: nullen die alleen de komma op zijn plaats zetten, en de macht van tien.

Uitleg · 1.9

Hoe fouten doorwerken in een berekening

9/18

Vaak meet je een grootheid niet rechtstreeks maar bereken je ze: een oppervlakte uit twee lengtes, een dichtheid uit een massa en een volume, een debiet uit een volume en een tijd. Elke gemeten waarde brengt haar fout mee. Hoe groot wordt de fout op het resultaat?

De zekere manier: reken met de uitersten. Een bak meet $l = (42, 0 \pm 0, 1) cm$ bij $b = (28, 5 \pm 0, 1) cm$ . De grootst mogelijke oppervlakte is $42, 1 \times 28, 6 = 1204, 06 c m^{2}$ , de kleinst mogelijke $41, 9 \times 28, 4 = 1189, 96 c m^{2}$ . De halve breedte van dat interval is $7, 05 c m^{2}$ , dus $A = (1197 \pm 7) c m^{2}$ .

De snelle manier: regels. Voor kleine fouten geven ze (bijna) hetzelfde als de uitersten.

optellen en aftrekken

Δ (a + b) = Δ (a - b) = Δ a + Δ b

De absolute fouten tellen op, ook bij een verschil.

vermenigvuldigen en delen

\frac{Δ ( a \cdot b )}{∣ a \cdot b ∣} \approx \frac{Δ a}{∣ a ∣} + \frac{Δ b}{∣ b ∣}

De relatieve fouten tellen op; voor

a / b

geldt dezelfde regel. Bij een macht wordt de relatieve fout

n

keer zo groot:

\frac{Δ ( a ^{n} )}{∣ a ^{n} ∣} \approx n \cdot \frac{Δ a}{∣ a ∣}

Voor de bak: $\frac{0 , 1}{42 , 0} + \frac{0 , 1}{28 , 5} = 0, 24 % + 0, 35 % = 0, 59 %$ , en $0, 59 %$ van $1197 c m^{2}$ is $7 c m^{2}$ : hetzelfde resultaat met minder rekenwerk. De omtrek is een som: $2 (l + b) = 141, 0 cm$ , met fout $2 \times (0, 1 + 0, 1) = 0, 4 cm$ .

Aftrekken maakt de fout kleiner

Bij een verschil tellen de fouten op, ook al wordt het resultaat kleiner. Meet je het volume van een steen als verschil van twee aflezingen op een maatcilinder, 57,5 mL − 50,0 mL = 7,5 mL, met elk ± 0,5 mL, dan is de fout 1,0 mL: 13 % van het resultaat, terwijl elke aflezing apart maar 1 % fout had.

In Expert: slimmer optellen

Toevallige fouten zijn zelden allemaal tegelijk maximaal en in dezelfde richting. In hoofdstuk E6 leer je ze kwadratisch op te tellen, wat een kleinere, realistischere fout geeft. De regels hier geven de veilige bovengrens.

De verschillen zijn overdreven getekend. De gekleurde rand tussen de kleinste en de grootste rechthoek is de onzekerheid op de oppervlakte.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.10

Hoeveel water zit er in het reservoir?

10/18

Het waterreservoir van de meetkas is een rechthoekige bak. De binnenmaten, gemeten met een rolmeter: lengte $42, 0 cm$ en breedte $28, 5 cm$ , elk $\pm 0, 1 cm$ . Het water staat $15, 2 cm$ hoog; omdat het water tegen de wand opkruipt en de bodem niet helemaal vlak is, schat je die fout op $\pm 0, 2 cm$ . Hoeveel liter water zit erin?

Drie gemeten lengtes, elk met hun eigen fout: welke weegt het zwaarst door in het volume?

Gegeven

$l = (42, 0 \pm 0, 1) cm$
$b = (28, 5 \pm 0, 1) cm$
$h = (15, 2 \pm 0, 2) cm$

Gevraagd

$V \pm Δ V$ , in liter

Oplossing

1
Waarde: $V = l \cdot b \cdot h = 42, 0 \times 28, 5 \times 15, 2 = 18194, 4 c m^{3}$ . Nog niet afronden.
2
Relatieve fouten: $\frac{0 , 1}{42 , 0} = 0, 238 %$ , $\frac{0 , 1}{28 , 5} = 0, 351 %$ en $\frac{0 , 2}{15 , 2} = 1, 316 %$ . Een product, dus optellen: $1, 905 %$ .
3
Absolute fout: $Δ V = 0, 01905 \times 18194 c m^{3} \approx 347 c m^{3} = 0, 347 L$ .
4
Afronden: de fout op één beduidend cijfer, $0, 3 L$ ; de waarde op dezelfde decimaal, $18, 194 L \to 18, 2 L$ .
5
Controle met de uitersten: $42, 1 \times 28, 6 \times 15, 4 = 18543 c m^{3}$ en $41, 9 \times 28, 4 \times 15, 0 = 17849 c m^{3}$ . De halve breedte is $347 c m^{3}$ : klopt.

Antwoord

V = (18, 2 \pm 0, 3) L

, een relatieve fout van ongeveer 2 %. De waterhoogte levert

1, 316/1, 905 \approx 69 %

van die fout: wie beter wil meten, meet eerst de hoogte beter (op meerdere plaatsen, of met een peilstok met schaalverdeling).

Klopt dit? Ook de vuistregel van de beduidende cijfers geeft hier 18,2 L (drie factoren met drie beduidende cijfers). En de orde van grootte: een bak van ongeveer 40 × 30 × 15 cm bevat 18 dm³, dus 18 L.

Uitleg · 1.11

Gemiddelde, bereik en standaardafwijking

11/18

Herhaal je een meting, dan krijg je een reeks getallen. Drie getallen vatten die reeks samen. Als voorbeeld: tien keer de tijd van één slingering van dezelfde slinger, met de hand gemeten (de proef verderop): 1,74 · 1,64 · 1,84 · 1,85 · 1,77 · 1,82 · 1,92 · 1,87 · 1,85 · 1,85 (in s).

Het gemiddelde $\overset{x}{ˉ}$ is de beste schatting van de echte waarde. Hier $\overset{x}{ˉ} = 18, 15 s /10 = 1, 815 s$ .

gemiddelde

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Het bereik is het verschil tussen de grootste en de kleinste meting: $1, 92 - 1, 64 = 0, 28 s$ . Snel berekend, maar het hangt maar van twee metingen af, en net die twee zijn vaak de vreemdste.

De standaardafwijking $s$ gebruikt alle metingen. Je bepaalt hoe ver elke meting van het gemiddelde ligt, kwadrateert die afwijkingen (zodat plus en min elkaar niet opheffen), neemt er een soort gemiddelde van en trekt de wortel (zodat de eenheid weer klopt):

standaardafwijking van een meetreeks

s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}

Voor de slingertijden:

s = 0, 079 s

Heeft een reeks alleen toevallige fouten, dan geldt als vuistregel: ongeveer twee derde van de metingen ligt binnen één $s$ van het gemiddelde, ongeveer 95 % binnen twee $s$ . Hier liggen 8 van de 10 metingen tussen 1,736 s en 1,894 s.

In dit hoofdstuk noteer je een herhaalde meting als $\overset{x}{ˉ} \pm s$ : $T = (1, 82 \pm 0, 08) s$ . Dat is een voorzichtige keuze: $s$ zegt hoe ver één meting er typisch naast zit. Het gemiddelde van tien metingen is zelf preciezer. In Expert (hoofdstuk E6) leer je die kleinere fout te gebruiken, de standaardfout $s / n$ .

Waarom delen door n − 1?

Het gemiddelde komt uit dezelfde metingen en ligt daardoor altijd een beetje 'in het midden' van je reeks: de afwijkingen tot $\overset{x}{ˉ}$ zijn gemiddeld iets kleiner dan die tot de echte waarde. Delen door $n - 1$ in plaats van $n$ corrigeert dat. Op een rekenmachine heet deze versie $s_{x}$ of $σ_{n - 1}$ , in een rekenblad STDEV.S. De versie met $n$ ( $σ_{n}$ , STDEV.P) hoort bij een volledige populatie, niet bij een meetreeks.

Tien slingertijden, gestapeld per waarde (horizontaal: hoe vaak die waarde voorkwam). De stippellijnen tonen het gemiddelde en één standaardafwijking erboven en eronder.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.12

De standaardafwijking met de hand: het pompje

12/18

Hoeveel water levert het pompje van de meetkas per minuut? Een leerling meet zes keer hoe lang het pompje erover doet om een maatbeker tot de streep van 1,00 L te vullen: 41,8 s; 43,1 s; 42,4 s; 42,0 s; 43,5 s; 42,6 s. De maatbeker heeft een fout van ± 0,02 L. Bereken gemiddelde, bereik en standaardafwijking, en daarmee het debiet.

Gegeven

zes tijden (s)
$V = (1, 00 \pm 0, 02) L$

Gevraagd

$\overset{ˉ}{t}$ , bereik en $s$
debiet $Q$ in L/min, met fout

Oplossing

1
Gemiddelde: $\overset{ˉ}{t} = \frac{41 , 8 + 43 , 1 + 42 , 4 + 42 , 0 + 43 , 5 + 42 , 6}{6} = \frac{255 , 4}{6} = 42, 57 s$ .
2
Bereik: $43, 5 - 41, 8 = 1, 7 s$ .
3
Afwijkingen en hun kwadraten in een tabel. Controle: de som van de afwijkingen is op afronding na nul.
$t$ (s) $t - \overset{ˉ}{t}$ (s) $(t - \overset{ˉ}{t})^{2}$ (s²)
41,8 −0,77 0,5929
43,1 0,53 0,2809
42,4 −0,17 0,0289
42,0 −0,57 0,3249
43,5 0,93 0,8649
42,6 0,03 0,0009
som −0,02 2,0934
4
$s = \frac{2 , 0934 s ^{2}}{6 - 1} = 0, 4187 s^{2} = 0, 647 s$ , dus $\overset{ˉ}{t} = (42, 6 \pm 0, 6) s$ .
5
Debiet: $Q = \frac{V}{t} = \frac{1 , 00 L}{42 , 57 s} = 0, 02349 L/s = 1, 409 L/min$ .
6
Fout: een quotiënt, dus relatieve fouten optellen: $\frac{0 , 02}{1 , 00} + \frac{0 , 647}{42 , 57} = 2, 0 % + 1, 5 % = 3, 5 %$ . $Δ Q = 0, 035 \times 1, 409 = 0, 049 L/min$ .

Antwoord

\overset{ˉ}{t} = (42, 6 \pm 0, 6) s

Q = (1, 41 \pm 0, 05) L/min

Klopt dit? Voor zes metingen verwacht je een bereik van ongeveer 2,5 keer

s

; hier is het

1, 7/0, 647 = 2, 6

. Controleer

s

ook met de statistiekfunctie van je rekenmachine (

s_{x}

) of met STDEV.S in een rekenblad.

Proef · 1.13

Eén slingering of tien?

13/18

Onderzoeksvraag

Hoe meet je de slingertijd preciezer, met dezelfde stopwatch en dezelfde handen?

Materiaal

statief met klem
touw van ongeveer 1 m en een slingergewicht (moer of metalen kogel)
rolmeter
stopwatch of smartphone
rekenmachine of rekenblad

VeiligheidLaat het gewicht niet ver uitzwaaien en houd je hoofd buiten de baan van de slinger.

Blauw: één slingering, met de hand getimed. Rood: tien slingeringen gedeeld door tien. Zelfde handen, tien keer minder spreiding.

Werkwijze

1Hang het gewicht zo op dat de afstand van het ophangpunt tot het midden van het gewicht 0,80 m is.
2Trek het gewicht een kleine hoek opzij (hoogstens 10°) en laat los zonder duw.
3Meet tien keer de tijd van één volledige slingering (heen en terug). Start en stop telkens als het gewicht door het laagste punt gaat: daar is het het snelst, dus het moment het scherpst.
4Meet daarna tien keer de tijd van tien opeenvolgende slingeringen en deel elke tijd door tien.
5Bereken voor beide reeksen het gemiddelde en de standaardafwijking.

Waarneming

nr.	1 slingering (s)	10 slingeringen (s)	÷ 10 (s)
1	1,74	17,87	1,787
2	1,64	18,02	1,802
3	1,84	17,81	1,781
4	1,85	17,92	1,792
5	1,77	17,91	1,791
6	1,82	17,80	1,780
7	1,92	17,93	1,793
8	1,87	18,07	1,807
9	1,85	17,92	1,792
10	1,85	17,85	1,785
gem.	1,815	17,910	1,791
s	0,079	0,085	0,0085

Met één slingering: $T = (1, 82 \pm 0, 08) s$ , een relatieve fout van 4,4 %. Uit tien slingeringen: $T = (1, 791 \pm 0, 009) s$ , een relatieve fout van 0,5 %.

Verklaring

De grootste fout zit niet in de stopwatch maar in je reactie bij starten en stoppen: telkens ongeveer een tiende van een seconde. Die fout is even groot, of je nu één of tien slingeringen timet. Deel je de tijd van tien slingeringen door tien, dan deel je ook die fout door tien: $s$ daalt van 0,079 s naar 0,0085 s.

De theorie voorspelt voor een slinger van 0,80 m een slingertijd van $T = 2 π L / g = 1, 794 s$ . Beide resultaten zijn daarmee in overeenstemming, maar alleen het tweede is precies genoeg om er iets mee te doen, bijvoorbeeld $g$ bepalen (hoofdstuk 3). Een systematische fout, zoals altijd iets te laat stoppen, verdwijnt niet door tien slingeringen: die deel je ook door tien, maar ze blijft dezelfde kant op wijzen.

Uitleg · 1.14

Herhalen, en wat met een uitschieter?

14/18

Herhalen levert drie dingen op: je ziet de spreiding (de toevallige fout), het gemiddelde is betrouwbaarder dan één meting, en je ziet vergissingen.

Een uitschieter is een meting die opvallend ver van de andere ligt. Hij kan drie dingen betekenen: een vergissing (verkeerd afgelezen, verkeerd genoteerd), een storing (los contact, trilling, een pomp die aansloeg) of een echt verschijnsel dat je niet verwachtte. Dat laatste is soms het interessantste resultaat van je hele onderzoek. Daarom schrap je nooit zomaar.

Een werkwijze die in de meeste schoollabo's volstaat:

Zoek in je labojournaal of er bij die meting iets bijzonders gebeurde.
Bereken gemiddelde en standaardafwijking van de andere metingen.
Ligt de verdachte waarde meer dan drie standaardafwijkingen van dat gemiddelde, dan is ze een uitschieter. Met een gevonden oorzaak mag je ze weglaten; zonder oorzaak meet je liever opnieuw.
Laat je een meting weg, vermeld dat in je verslag, met de reden.

Een uitschieter ligt altijd meer dan 2s van het gemiddelde

Niet als je hem zelf meerekent: dan maakt hij $s$ groter en verstopt hij zich. Neem vier keer 10 en één keer 20. Het gemiddelde is 12, de standaardafwijking 4,47, en de 20 ligt maar $8/4, 47 = 1, 79$ standaardafwijkingen van het gemiddelde. Met vijf metingen kan een waarde wiskundig nooit verder dan 1,79 $s$ liggen. Daarom reken je $\overset{x}{ˉ}$ en $s$ zonder de verdachte waarde.

De mediaan

Sorteer de metingen en neem de middelste (bij een even aantal: het gemiddelde van de middelste twee). Eén uitschieter verschuift de mediaan nauwelijks, het gemiddelde wel. In een rekenblad: MEDIAAN (Engels: MEDIAN).

Eerst een oorzaak zoeken, dan pas rekenen: een uitschieter is ook informatie.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.15

De bodemvochtsensor die even hapert

15/18

De bodemvochtsensor in de meetkas wordt acht keer uitgelezen, met tien seconden ertussen: 41, 42, 40, 43, 41, 42, 58 en 41 (in %). In het logboek staat bij meting 7: 'pompje sprong net aan'. Welk bodemvocht rapporteer je?

De groene grenzen liggen drie standaardafwijkingen boven en onder het gemiddelde van de zeven andere metingen. Meting 7 valt er ver buiten.

Gegeven

acht metingen (%)
een notitie in het logboek bij meting 7

Gevraagd

het bodemvocht als waarde ± fout
wat doe je met meting 7?

Oplossing

1
Met alle acht metingen: $\overset{x}{ˉ} = 43, 5 %$ , $s = 5, 9 %$ , mediaan $41, 5 %$ .
2
Zonder meting 7: $\overset{x}{ˉ} = 41, 43 %$ en $s = 0, 98 %$ .
3
Afstand van 58 tot dat gemiddelde: $\frac{58 - 41 , 43}{0 , 98} = 17$ standaardafwijkingen, ver voorbij de grens van 3.
4
Oorzaak: het druppelwater kwam op dat moment vlak bij de sensor in de grond. De meting is niet fout, maar ze meet iets anders dan wat je zoekt: de vochtigheid van de bak vóór het water geven.
5
Merk op: het gemiddelde mét de uitschieter (43,5 %) ligt boven zeven van de acht metingen en beschrijft de reeks slecht. De mediaan (41,5 %) had je niet misleid.

Antwoord

Bodemvocht

= (41 \pm 1) %

, uit zeven metingen. Meting 7 is weggelaten omdat de pomp op dat moment water gaf; dat staat in het verslag.

Klopt dit? Kijk naar de grafiek: zeven punten liggen in een strook van drie procentpunten, één punt ligt 15 procentpunten boven de hoogste van de andere. Wat je met het oog ziet, moet je berekening bevestigen.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.16

Habitat: hoe betrouwbaar is een goedkope sensor?

16/18

In de meetkas hangen twee goedkope temperatuursensoren naast een geijkte referentiethermometer (fout ± 0,1 °C): een DHT11, die hele graden toont, en een DS18B20, die stapjes van 0,0625 °C toont. Een dag lang lees je ze elk uur af. Hoe groot is de systematische en de toevallige fout van elke sensor, en welke is goed genoeg om de klimaatmodule tot op 1 °C te regelen?

tijdstip	referentie (°C)	DHT11 (°C)	DS18B20 (°C)
7 h	12,6	14	12,44
8 h	13,4	14	13,19
9 h	14,7	16	14,31
10 h	16,6	18	16,38
11 h	19,4	20	19,19
12 h	22,4	24	22,19
13 h	25,2	26	24,88
14 h	27,0	28	26,75
15 h	26,7	27	26,44
16 h	25,1	26	24,81
17 h	22,6	23	22,50
18 h	19,5	21	19,25

De DHT11 ligt gemiddeld 1,0 °C te hoog en spreidt; de DS18B20 ligt 0,24 °C te laag maar heel regelmatig.

Gegeven

twaalf gelijktijdige aflezingen van de referentie en de twee sensoren

Gevraagd

systematische en toevallige fout van elke sensor
welke sensor is goed genoeg?

Oplossing

1
Idee: de referentie is (bijna) de echte waarde. Het verschil sensor − referentie is dus de fout van de sensor bij die meting.
2
Verschillen voor de DHT11: 1,4; 0,6; 1,3; 1,4; 0,6; 1,6; 0,8; 1,0; 0,3; 0,9; 0,4; 1,5 °C. Voor de DS18B20: −0,16; −0,21; −0,39; −0,22; −0,21; −0,21; −0,32; −0,25; −0,26; −0,29; −0,10; −0,25 °C.
3
Het gemiddelde verschil is de systematische fout: DHT11 $+ 0, 98^{\circ} C$ , DS18B20 $- 0, 24^{\circ} C$ .
4
De standaardafwijking van de verschillen is de toevallige fout: DHT11 $0, 45^{\circ} C$ , DS18B20 $0, 07^{\circ} C$ .
5
Hoe ver kan één aflezing ernaast zitten? Ongeveer 95 % valt binnen systematische fout + $2 s$ : DHT11 $0, 98 + 0, 90 \approx 1, 9^{\circ} C$ ; DS18B20 $0, 24 + 0, 15 \approx 0, 4^{\circ} C$ .
6
Trek je de systematische fout af (een correctie: DHT11-waarde min 1,0 °C), dan blijft voor de DHT11 nog $2 s \approx 0, 9^{\circ} C$ over.

Antwoord

DHT11: systematisch

+ 1, 0^{\circ} C

, toevallig

0, 45^{\circ} C

. DS18B20: systematisch

- 0, 24^{\circ} C

, toevallig

0, 07^{\circ} C

. Voor een regeling tot op 1 °C volstaat de DS18B20 zonder correctie; de DHT11 pas na correctie, en dan nog krap.

Klopt dit? Beide resultaten passen bij wat de fabrikanten beloven: ± 2 °C voor de DHT11, ± 0,5 °C voor de DS18B20. Let op het geldigheidsgebied: je vergeleek alleen tussen 12,6 en 27,0 °C, op één dag. Of de afwijking bij 5 °C of 35 °C even groot is, weet je niet. Dat onderzoek je in hoofdstuk 3 met een kalibratierechte.

Naslag · 1.17

Overzicht: meetfouten in formules en regels

17/18

meetresultaat

x = x_{gemeten} \pm Δ x

symbool	betekenis	eenheid
$Δ x$	absolute fout	eenheid van x

relatieve fout

relatieve fout = \frac{Δ x}{∣ x ∣}

symbool	betekenis	eenheid
$Δ x /∣ x ∣$	fout als deel van de waarde	geen (vaak in %)

gemiddelde

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

symbool	betekenis	eenheid
$n$	aantal metingen	–
$x_{i}$	de i-de meting	eenheid van x

standaardafwijking

s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}

symbool	betekenis	eenheid
$s$	spreiding van de meetreeks	eenheid van x

fout op een som of verschil

Δ (a \pm b) = Δ a + Δ b

fout op een product of quotiënt

\frac{Δ ( a \cdot b )}{∣ a \cdot b ∣} \approx \frac{Δ ( a / b )}{∣ a / b ∣} \approx \frac{Δ a}{∣ a ∣} + \frac{Δ b}{∣ b ∣}

fout op een macht

\frac{Δ ( a ^{n} )}{∣ a ^{n} ∣} \approx n \cdot \frac{Δ a}{∣ a ∣}

regel	voorbeeld
fout: 1 beduidend cijfer (2 als het eerste een 1 is)	0,0347 → 0,03; 0,0153 → 0,015
waarde: afronden op dezelfde decimaal als de fout	(18,194 ± 0,347) L → (18,2 ± 0,3) L
× en ÷: minste aantal beduidende cijfers	12,5 × 3,3 = 41
+ en −: minste aantal decimalen	15,42 + 3,1 = 18,5
pas op het einde afronden	tussenresultaten met alle cijfers bewaren
uitschieter: toets tegen de andere metingen	verder dan 3 s van hun gemiddelde én oorzaak gevonden

wat	rekenblad (Nederlands)	rekenblad (Engels)	rekenmachine
gemiddelde	`=GEMIDDELDE(B2:B11)`	`=AVERAGE(B2:B11)`	$\overset{x}{ˉ}$
standaardafwijking	`=STDEV.S(B2:B11)`	`=STDEV.S(B2:B11)`	$s_{x}$ of $σ_{n - 1}$
mediaan	`=MEDIAAN(B2:B11)`	`=MEDIAN(B2:B11)`	(sorteren)
bereik	`=MAX(B2:B11)-MIN(B2:B11)`	idem	max − min
aantal metingen	`=AANTAL(B2:B11)`	`=COUNT(B2:B11)`	$n$

In een Nederlandstalig rekenblad scheid je argumenten met een puntkomma, bijvoorbeeld =AFRONDEN(B2;2); in een Engelstalig met een komma: =ROUND(B2,2).

Het geheel · 1.18

Waar meetfouten terugkomen

18/18

Dit hoofdstuk opent Intermediate met de vraag die onder elke meting ligt: hoe zeker ben je? Elk volgend hoofdstuk dat meet, rekent of een sensor uitleest, bouwt erop verder. Je leert hier de taal (waarde ± fout, systematisch en toevallig, $\overset{x}{ˉ}$ en $s$ ) waarin je vanaf nu elk resultaat noteert.

F2 Onderzoeken: van vraag tot besluit

Herhalen en het gemiddelde nemen: hier krijgt de spreiding een getal, de standaardafwijking.

F3 Meten: grootheden en eenheden

Instrumenten, afleesfouten en zinvol afronden: hier worden het regels voor afronden en beduidende cijfers.

I2 Experimenten ontwerpen en rapporteren

Hoeveel herhalingen heb je nodig? Dat hangt af van de spreiding die je hier leerde meten.

I3 Verbanden in data

Een sensor kalibreren met een rechte haalt de systematische fout weg over het hele meetbereik.

I22 De spanningsdeler en sensoren

Een sensor uitlezen en ijken tegenover een referentie, nu met een microcontroller.

I28 Functies, lijsten en data in Python

Gemiddelde en standaardafwijking van een hele week sensordata, berekend in Python.

E6 Statistiek en meetonzekerheid

De normale verdeling, de standaardfout $s / n$ en fouten die kwadratisch optellen.

E40 Sensorfusie en schatten

Ruis en onzekerheid van meerdere sensoren slim combineren tot één betrouwbare meting.

HabitatDe meetkas uit Fundamental meet met goedkope sensoren. Voor de klimaat- en energiemodule moet je weten hoe ver je die metingen kan vertrouwen: een verwarming die bij 18 °C inschakelt met een sensor die 1 °C te hoog meet, houdt de kas op 17 °C. In opdracht 1.14 licht je twee sensoren door en stel je een correctie voor; in hoofdstuk 3 maak je daar een kalibratierechte van.

Samenvatting

In het kort

Elke meting heeft een onzekerheid. Je noteert ze als $(x \pm Δ x)$ eenheid, met de fout op één beduidend cijfer (twee als het een 1 is) en de waarde op dezelfde decimaal.
Een toevallige fout wisselt van teken en wordt kleiner door te herhalen; een systematische fout duwt altijd dezelfde kant op en vind je alleen door te vergelijken met een referentie.
Precies = weinig spreiding; nauwkeurig = gemiddeld dicht bij de echte waarde. Resolutie (aantal cijfers) is geen nauwkeurigheid.
De relatieve fout $Δ x /∣ x ∣$ vergelijkt metingen van verschillende grootte; kleine voorwerpen vragen fijne instrumenten.
Bij optellen en aftrekken tellen de absolute fouten op, bij vermenigvuldigen en delen de relatieve; bij een macht $a^{n}$ wordt de relatieve fout $n$ keer zo groot.
Een meetreeks vat je samen met het gemiddelde $\overset{x}{ˉ}$ en de standaardafwijking $s$ (delen door $n - 1$ ); het bereik en de mediaan zijn snelle aanvullingen.
Een uitschieter toets je tegen $\overset{x}{ˉ}$ en $s$ van de andere metingen, en je laat hem alleen weg met een oorzaak, die je vermeldt.

Begrippen

Wat je nu kent

meetfout (onzekerheid): Het verschil dat er kan zijn tussen de gemeten en de echte waarde. Geen vergissing: elke meting heeft er een.
systematische fout: Fout die elke meting evenveel dezelfde kant op duwt (een nulpunt dat niet klopt, een slecht geijkte sensor). Verdwijnt niet door te herhalen.
toevallige fout: Fout die bij elke meting anders is, soms te groot en soms te klein. Wordt kleiner door te herhalen en te middelen.
nauwkeurig: Gemiddeld dicht bij de echte waarde: de systematische fout is klein (in normtaal: juist).
precies: Herhaalde metingen liggen dicht bij elkaar: de toevallige fout is klein.
resolutie: De kleinste stap die een instrument kan tonen. Zegt niets over hoe juist die stap is.
absolute fout: De fout in dezelfde eenheid als de meting, genoteerd als $Δ x$ in $x \pm Δ x$ .
relatieve fout: De absolute fout gedeeld door de waarde, $Δ x /∣ x ∣$ , vaak in procent. Heeft geen eenheid.
beduidende cijfers: De cijfers van een getal die informatie over de meting dragen; nullen vooraan tellen niet mee.
gemiddelde: De som van de metingen gedeeld door hun aantal: de beste schatting van de echte waarde.
bereik: Het verschil tussen de grootste en de kleinste meting van een reeks.
standaardafwijking: Maat voor de spreiding van een meetreeks: $s = \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} / (n - 1)$ .
mediaan: De middelste waarde van een gesorteerde reeks; weinig gevoelig voor uitschieters.
uitschieter: Een meting die opvallend ver van de andere ligt; eerst de oorzaak zoeken, dan beslissen.

Aan de slag in het werkboek15 opdrachten, van oefenen tot uitdagen

$t$ (s)	$t - \overset{ˉ}{t}$ (s)	$(t - \overset{ˉ}{t})^{2}$ (s²)
41,8	−0,77	0,5929
43,1	0,53	0,2809
42,4	−0,17	0,0289
42,0	−0,57	0,3249
43,5	0,93	0,8649
42,6	0,03	0,0009
som	−0,02	2,0934