FFundamental · deel F3 · Krachten, beweging en constructies

Oplossingen · hoofdstuk 13Constructies: sterk en stabiel

Waarom een brug uit driehoeken bestaat, een balk een I-vorm heeft, en een kast omvalt als je de bovenste lade vult

Uitgewerkte oplossingen bij de 14 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen5× toepassen4× uitdagen± 347 min

KKrachten, beweging en constructies DOntwerpen en maken

Driehoek na driehoek: een vakwerkbrug draagt een trein met verrassend weinig staal.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

13.1

Welke belasting?

Oefenen1Begrijpen10 min

Kies telkens de belangrijkste belasting: trek, druk, buiging, afschuiving of torsie.

a
Vul in.
(a) trek. (b) druk. (c) buiging. (d) afschuiving (het papier wordt doorgesneden). (e) torsie. (f) trek. (g) buiging. (h) afschuiving.

13.2

Stijf of niet?

Oefenen2Begrijpen12 min

De vormen zijn gemaakt van stijve staven met scharnieren (splitpennen) in de hoeken.

Zes vormen A tot F.

a
Welke vormen zijn stijf, en welke kunnen vervormen zonder dat een staaf langer of korter wordt?
Stijf: B (driehoek), C (vierkant met diagonaal) en F (zeshoek verdeeld in vier driehoeken). Niet stijf: A (vierkant), D (vijfhoek) en E (huisje: het vierkante deel kan scheef zakken).
b
Teken in de figuur bij elke vorm die niet stijf is, zo weinig mogelijk extra staven om hem stijf te maken.
A: één diagonaal. D: twee diagonalen vanuit één hoek (drie driehoeken). E: één diagonaal in het vierkante deel.
c
Welke regel herken je?
Een vorm uit staven met scharnieren is stijf als hij helemaal uit driehoeken bestaat.

13.3

Profielen herkennen

Oefenen2Begrijpen10 min

Gebruik de figuur met de zes profielen uit het handboek.

a
Welk profiel kies je voor (a) een lange balk onder een vloer, (b) het kader van een fiets, (c) een hoekverbinding in een kast, (d) de as van een wiel die moet draaien? Leg telkens uit.
(a) I-profiel: wordt in één richting (van boven) belast, flenzen boven en onder. (b) buis: stijf in alle richtingen en tegen torsie, licht. (c) L-profiel: past in een hoek, makkelijk vast te schroeven. (d) buis (of een massieve as): rond, sterk tegen torsie.
b
Waarom zit het meeste materiaal van een I-profiel in de flenzen en niet in het lijf?
Bij buiging zijn trek en druk het grootst aan de boven- en onderkant. Materiaal daar draagt het meest bij aan de stijfheid; het lijf moet alleen de flenzen op afstand houden.
c
Waarom heeft een drankblikje ribbels op de bodem en is de wand zo dun?
De bodem moet de druk van het gas (bij frisdrank) opvangen: een gewelfde, geribbelde vorm is stijver dan een plat vlak. De wand is dun omdat een gesloten buis onder druk op trek werkt, en daar is aluminium sterk: vorm in plaats van materiaal.

13.4

Blijft het staan?

Oefenen2Tekenen12 min

Het rode punt is telkens het zwaartepunt.

A: hoge smalle kast; B en C: gekantelde dozen; D: een tafel met een zware bak op de rand (rood: het zwaartepunt van tafel en bak samen).

a
Teken bij elk voorwerp de loodlijn door het zwaartepunt en duid het steunvlak aan.
Een verticale lijn vanuit elk rood punt naar de grond; het steunvlak is het stuk grond tussen de buitenste steunpunten.
b
Welke voorwerpen blijven staan (of vallen terug), welke vallen om? Leg uit.
A blijft staan (loodlijn midden in het steunvlak). B valt terug: de loodlijn valt nog binnen het steunvlak (laag zwaartepunt). C valt om: de loodlijn valt voorbij de kantelrand (hoog zwaartepunt). D blijft staan: de loodlijn door het gezamenlijke zwaartepunt van tafel en bak valt nog net binnen de rechterpoot. De bak alleen hangt al voor een deel uit, maar de tafel zelf weegt ook mee.
c
Wat verandert er bij D als de bak nog verder naar buiten schuift?
Het gezamenlijke zwaartepunt schuift mee naar buiten. Komt het voorbij de rechterpoot, dan kantelt de tafel om die poot.

13.5

Waar ligt het zwaartepunt?

Oefenen1Begrijpen8 min

Beschrijf waar het zwaartepunt ongeveer ligt, en of het in het voorwerp ligt of erbuiten.

a
(a) een tennisbal, (b) een hamer, (c) een hoefijzer, (d) een lege mok, (e) een lege plantenbak van de meetkas, (f) dezelfde bak met potgrond.
(a) in het midden van de bal, in de lucht binnenin. (b) in de steel, dicht bij de ijzeren kop. (c) tussen de twee benen, in de lucht. (d) in de lucht in de mok, iets naar de bodem en naar het oor toe. (e) in de lucht in de bak, iets onder het midden (de bodem heeft materiaal, de bovenkant niet). (f) in de potgrond, lager: de zware grond zit onderaan.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

13.6

Trek of druk?

Toepassen3Analyseren15 min

Twee consoles houden elk een last aan het uiteinde. Bij A steunt een schuine staaf de plank van onderen, bij B hangt de plank aan een kabel.

Twee consoles tegen een muur met scharnieren in de knooppunten.

a
Werken staaf 1 en staaf 2 van console A op trek of op druk? Gebruik de denktruc (staaf weghalen).
Staaf 1 (bovenaan, horizontaal): haal ze weg en het uiteinde zou van de muur weg vallen: ze trekt het naar de muur, trek. Staaf 2 (schuin eronder): haal ze weg en het uiteinde zakt naar beneden: ze duwt het omhoog, druk.
b
Werken de kabel en de staaf van console B op trek of op druk?
Kabel: trek (hij houdt het uiteinde omhoog, naar de muur toe). Staaf onderaan: haal ze weg en het uiteinde zou naar de muur zwaaien: ze duwt het weg van de muur, druk.
c
Kan je staaf 2 van console A vervangen door een kabel? En de kabel van B door een staaf? Leg uit.
Staaf 2 van A niet: een kabel kan alleen trekken, geen druk opnemen; hij zou slap hangen. De kabel van B wel door een staaf: een staaf kan ook trek opnemen (maar ze is zwaarder dan nodig).

13.7

Op zijn kant

Toepassen3Rekenen15 min

Gebruik het stijfheidsgetal b · h³ (h in de richting van de belasting).

a
Een lat van 4 cm × 2 cm ligt plat en daarna op haar kant. Hoeveel keer stijver is ze op haar kant?
Plat: $4 \times 2^{3} = 32$ . Op haar kant: $2 \times 4^{3} = 128$ . $128/32 = 4$ keer zo stijf.
b
Het tafelblad van de meetkas is 58 cm breed en 1,8 cm dik. Je schroeft er in de lengte een lat van 4 × 2 cm op haar kant onder. Vergelijk het stijfheidsgetal van het blad met dat van de lat. Wat besluit je?
Blad: $58 \times 1, 8^{3} = 58 \times 5, 83 = 338$ . Lat op haar kant: $2 \times 4^{3} = 128$ . Eén smalle lat voegt al meer dan een derde toe aan de stijfheid van het hele blad (en het blad en de lat samen zijn nog stijver dan de som, omdat ze aan elkaar vastzitten). Een lat op haar kant is een goedkope manier om het doorbuigen uit hoofdstuk 11 te beperken.
c
Een I-profiel is 5 cm breed en 10 cm hoog, met flenzen van 1 cm dik en een lijf van 0,6 cm. Bereken zijn stijfheidsgetal (buitenrechthoek min de twee lege stukken naast het lijf). Vergelijk met een massieve balk van 5 cm breed en dezelfde doorsnede (14,8 cm²).
I-profiel: $5 \times 1 0^{3} - 2 \times 2, 2 \times 8^{3} = 5000 - 2253 = 2747$ . Massieve balk: $5 \times 2, 9 6^{3} = 130$ . Het I-profiel is ongeveer 21 keer zo stijf met dezelfde hoeveelheid materiaal.

13.8

Labo: de papieren brug

Toepassen3Labo50 min

Voer de proef 'Een papieren brug testen tot ze bezwijkt' uit. Bedenk daarna zelf een vijfde vorm die meer draagt dan de harmonica, met hetzelfde blad en zonder extra materiaal (plakband alleen om de vorm te houden).

a
Voorspel de volgorde van de vier vormen, van zwak naar sterk.
Meestal: plat, U-profiel, twee kokers, harmonica.
b
Meet.
Zie het voorbeeld in het handboek: van 0 g voor het platte blad tot enkele honderden gram voor de harmonica.
c
Beschrijf hoe elke vorm bezweek. Waar zat de zwakke plek?
U-profiel: de randen plooien opzij (knik van de dunne wand). Kokers: deuken in onder het bekertje (de last drukt op een klein stukje). Harmonica: de plooien worden platgedrukt waar het bekertje staat.
d
Teken je eigen vijfde vorm in doorsnede en leg uit waarom ze sterker zou moeten zijn.
Bijvoorbeeld: een harmonica met een vlak 'wegdek' eroverheen geplakt (de last wordt gespreid), een driehoekige koker, of een I-vorm uit gevouwen papier. Het idee: papier ver van de middenlaag, en de last spreiden.

Zo wordt dit beoordeeld

Eerlijke proef	Zelfde papier, overspanning, plaats van het bekertje; zand langzaam toegevoegd.
Metingen	Drie herhalingen per vorm, gemiddelde, verhouding tot de eigen massa.
Waarneming	Manier van bezwijken beschreven (plooien, knikken, indeuken).
Ontwerp	Eigen vorm met uitleg in termen van profiel en materiaal ver van de middenlaag.

13.9

Kantelen op schaal

Toepassen3Tekenen20 min

Een hoge kast is 0,50 m diep en 2,00 m hoog. Leeg ligt haar zwaartepunt in het midden, op 1,00 m. Je zet zware boeken op de onderste planken: het zwaartepunt zakt naar 0,70 m. Zet je ze op de bovenste planken, dan stijgt het naar 1,30 m.

a
Teken de kast in zijaanzicht op schaal 1:20 (2,5 cm × 10 cm) en duid de drie zwaartepunten aan.
Een rechthoek van 2,5 cm breed en 10 cm hoog; de zwaartepunten in het midden van de breedte op 3,5 cm, 5,0 cm en 6,5 cm hoogte.
b
Bepaal met je tekening de kantelhoek in de drie gevallen.
Z op 0,70 m: ongeveer 20°; op 1,00 m: ongeveer 14°; op 1,30 m: ongeveer 11°. (Controle met de tangens uit hoofdstuk I6: tan α = 0,25 / Z.)
c
Waar zet je de zware boeken, en waarom zet je zo'n kast vast aan de muur?
Onderaan: het zwaartepunt ligt dan laag en de kast kan verder kantelen voor ze valt. Een hoge, ondiepe kast heeft altijd een kleine kantelhoek: een kind dat eraan hangt of een lade die opengaat, kan ze doen omvallen. Vastschroeven voorkomt dat.

13.10

De Eiffeltoren in een blok

Toepassen3Rekenen15 min

Het metalen skelet van de Eiffeltoren weegt ongeveer 7300 ton (1 ton = 1000 kg). Het ijzer heeft een dichtheid van ongeveer 7,8 g/cm³ (hoofdstuk 7). De toren staat op een vierkante grondvlakte van 125 m × 125 m.

a
Wat is het volume van al het ijzer, in m³?
$7, 8 g/c m^{3} = 7800 kg/ m^{3}$ . $V = m / ρ = 7300 000/7800 \approx 936 m^{3}$ .
b
Je smelt al het ijzer om en giet het uit als een plaat over de hele grondvlakte. Hoe dik wordt die plaat?
Grondvlakte: $125 \times 125 = 15625 m^{2}$ . Dikte: $936/15 625 = 0, 060 m = 6, 0 cm$ .
c
De toren is 300 m hoog (zonder antennes). Wat zegt je antwoord over vakwerken?
Een plaat van maar 6 cm ijzer wordt, als vakwerk van driehoeken, een toren van 300 m hoog. Bijna alles is lucht: de staven liggen waar ze nodig zijn, en werken op trek of druk.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

13.11

Habitat: het kasframe verstevigen

Uitdagen4Habitat50 min

Het kasframe (12 ribben, aluminium koker 20 × 20 × 1,5 mm, 3,1 kg) moet stevig genoeg zijn tegen wind van opzij, en zo licht mogelijk blijven, zodat je de kas nog kan verplaatsen. De voorkant moet open kunnen, het dak heeft een dakraam op de rechterhelft (hoofdstuk 12).

a
Maak een schets van het frame (vooraanzicht en zijaanzicht, of in perspectief). Duid aan welke vlakken een diagonaal krijgen en waar je hoekplaatjes zet.
Diagonalen in de achterwand, de linker- en rechterzijwand en de bodem; hoekplaatjes aan de vier hoeken van de voorkant en aan de hoeken van het dak (waar het dakraam zit).
b
Kies een oplossing (koker, gekruiste stroken, gekruiste kabels, of een eigen idee) en bereken de extra massa.
Bijvoorbeeld gekruiste roestvast stalen kabels: 2 × 4,78 m × 0,025 kg/m = 0,24 kg, met spanners ongeveer 0,3 kg: frame ongeveer 3,4 kg. Of één koker per vlak: 1,4 kg extra, frame 4,5 kg.
c
Duid in je schets bij wind van links aan welke diagonalen op trek en welke op druk werken. Waarom moeten stroken en kabels gekruist zijn?
Duwt de wind van links, dan wordt het frame naar rechts scheef geduwd. De diagonaal die daardoor langer zou worden, staat op trek; de andere (in een X) op druk. Een kabel of strook op druk hangt slap of knikt, dus je hebt de tweede nodig voor wind van de andere kant.
d
Bouw een model op schaal (bijvoorbeeld met satéprikkers en plakband) en test het: duw tegen een bovenhoek, eerst zonder en dan met diagonalen. Beschrijf het verschil.
Zonder diagonalen zakt het model bij een zachte duw scheef; met diagonalen blijft het staan en voel je veel meer weerstand.
e
Portfolio: noteer je keuze, de totale massa van het frame en twee redenen.
Bijvoorbeeld: 'Gekruiste kabels van 2 mm in achterwand, zijwanden en bodem, hoekplaatjes aan de voorkant. Frame ± 3,4 kg. Redenen: het lichtst, en de kabels houden nauwelijks licht tegen.'

Zo wordt dit beoordeeld

Plaats van de diagonalen	In de vlakken die dicht mogen; stijve hoeken of hoekplaatjes waar het open moet.
Berekening	Lengtes van de diagonalen correct; massa per meter correct gebruikt; X telt dubbel.
Trek en druk	Correct aangeduid; begrijpt dat een kabel of strook alleen trek opneemt.
Test	Model met en zonder diagonalen vergeleken; waarneming beschreven.

13.12

Maak: de hoogste toren uit rietjes

Uitdagen4Maken60 min

Bouw met 30 rietjes en 1 m plakband een zo hoog mogelijke toren die 30 seconden lang een tennisbal (± 58 g) bovenaan kan dragen. De toren mag niet aan de tafel vastgeplakt worden.

a
Maak een schets van je ontwerp. Waar gebruik je driehoeken? Hoe breed maak je het steunvlak?
Bijvoorbeeld een smalle piramide of een driehoekige toren met diagonalen in elke wand, met een brede voet.
b
Bouw, test en noteer de hoogte. Wat bezweek er als eerste, of wat wiebelde?
Typisch: lange rechte rietjes knikken onder de bal, of de toren zwaait en kantelt omdat het steunvlak te smal is.
c
Verbeter je ontwerp één keer en test opnieuw. Wat veranderde je, en wat leverde het op?
Bijvoorbeeld: kortere rietjes voor de drukstaven onderaan (minder knik), extra diagonalen, een bredere voet.
d
Bereken de hoogte per rietje voor je beste toren, en vergelijk met de andere groepen.
Hoogte in cm gedeeld door 30. Een goede toren haalt 1,5 à 3 cm per rietje.

Zo wordt dit beoordeeld

Ontwerp	Driehoeken in de wanden, breed steunvlak, zwaartepunt laag gehouden.
Bouw	Knooppunten stevig; bal ligt stabiel bovenaan.
Iteratie	Minstens één verbetering, gebaseerd op wat er misging.
Analyse	Uitleg in termen van knik, driehoeken, steunvlak en zwaartepunt.

13.13

Een veiligheidsfactor

Uitdagen4Rekenen20 min

Ingenieurs ontwerpen zo dat een constructie veel meer kan dragen dan ze normaal moet dragen. De veiligheidsfactor is de breuklast gedeeld door de last die je toelaat. Het tafelblad van de meetkas rust op twee steunen; met twaalf volle bakken draagt elke steun ongeveer 277 N (hoofdstuk 11). Een proefsteun van hetzelfde type bezwijkt in een test bij 900 N.

a
Welke last per steun laat je hoogstens toe met een veiligheidsfactor 3?
$900/3 = 300 N$ per steun.
b
Is de steun sterk genoeg voor 277 N? Hoe groot is de veiligheidsfactor echt?
Ja: 277 N is minder dan 300 N. De echte factor is $900/277 = 3, 2$ .
c
Na een grote gietbeurt is de potgrond verzadigd: 0,8 kg/L in plaats van 0,6 kg/L. Bereken de nieuwe kracht op elke steun (bakjes 0,30 kg, planten 0,10 kg, tafelblad 82 N) en de veiligheidsfactor.
Potgrond: $12 \times 6, 0 \times 0, 8 = 57, 6 kg$ ; met bakjes en planten $57, 6 + 12 \times 0, 40 = 62, 4 kg$ , dus $62, 4 \times 9, 81 = 612 N$ . Met het tafelblad: $612 + 82 = 694 N$ , per steun $347 N$ . Factor: $900/347 = 2, 6$ , minder dan 3.
d
Stel twee oplossingen voor. Waarom neemt men eigenlijk een veiligheidsfactor? Noem drie onzekerheden.
Oplossingen: een sterkere steun kiezen, of een derde steun onder het midden (die draagt dan een deel, en het tafelblad buigt ook minder door: hoofdstuk 11). Onzekerheden: niet elke steun is even sterk als de proefsteun (materiaal, schroeven, montage); de last kan groter worden dan verwacht (verzadigde grond, iemand die erop leunt); materialen verouderen in de vochtige kas; en elke berekening is een vereenvoudiging.

13.14

Onderzoek: knik in een papieren koker

Uitdagen4Onderzoeken50 min

Rol een A4-blad op tot een koker van 2 cm diameter en zet hem rechtop. Zet er een plankje op en leg er boeken op tot de koker bezwijkt. Hoe hangt de draagkracht af van de lengte van de koker?

a
Formuleer een onderzoeksvraag en een hypothese.
Bijvoorbeeld: 'Hoe hangt de massa die een papieren koker kan dragen af van zijn lengte?' Hypothese: kortere kokers dragen meer, omdat lange kokers sneller opzij buigen.
b
Welke variabele verander je, welke meet je en welke hou je gelijk?
Veranderen: de lengte (bladen op maat knippen voor het oprollen). Meten: de massa van de boeken bij bezwijken. Gelijk houden: papiersoort, diameter, aantal lagen, hoeveel plakband, hoe je de last oplegt (plankje in het midden).
c
Meet voor minstens vier lengtes (bijvoorbeeld 30, 20, 15 en 10 cm).
Typisch: lange kokers buigen opzij en knikken bij een kleinere last; korte kokers bezwijken doordat de wand plooit of indeukt, bij een grotere last.
d
Zet je resultaten in een grafiek en formuleer een besluit. Wat betekent dit voor drukstaven in een brug?
De draagkracht daalt duidelijk als de koker langer wordt. Lange drukstaven zijn gevoelig voor knik: in een brug maak je ze dikker, kort je ze in met extra knooppunten, of steun je ze opzij. Zo ging het mis bij de Quebecbrug.

Zo wordt dit beoordeeld

Vraag en hypothese	Toetsbaar, met voorspelling.
Eerlijke proef	Zelfde papier, diameter, rolwijze en plakband; alleen de lengte verandert; boeken voorzichtig bijleggen.
Metingen	Massa bij bezwijken gewogen; manier van bezwijken beschreven.
Besluit	Kortere kokers dragen meer; verband gelegd met knik en met drukstaven.