Oplossingen · hoofdstuk 7Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

$\hat{U}=12\mathrm{V}$, $\omega =2000\pi =6283rad/s$, $f=1000\mathrm{Hz}$, $T=1\mathrm{ms}$.

$\sin x=\cos (x-90^{\circ })$ en $\pi /6=30^{\circ }$: $u=12\cos (\omega t+30^{\circ }-90^{\circ })=12\cos (\omega t-60^{\circ })$ V.

Maximum als $\omega t-60^{\circ }=0$: $t=\frac{60}{360}\cdot 1\mathrm{ms}=0,167\mathrm{ms}$. Controle: $\sin (2000\pi \cdot 1,667\cdot 10^{-4}+\pi /6)=\sin (\pi /3+\pi /6)=\sin (\pi /2)=1$.

$z_a+z_b=1+1j$; $z_a-z_b=3-7j$; $z_a{z}_b=-2+8j+3j-12j^2=10+11j$; ${\bar{z}}_a=2+3j$.

$\frac{(2-3j)(-1-4j)}{(-1{)}^2+4^2}=\frac{-2-8j+3j+12j^2}{17}=\frac{-14-5j}{17}=-0,824-0,294j$.

$|z_b|=\sqrt{17}=4,123$; tweede kwadrant ($a<0$, $b>0$): $\arg z_b=atan2(4,-1)=104,04^{\circ }$ (niet $\arctan (-4)=-75,96^{\circ }$).

$r=\sqrt{18}=4,243$, tweede kwadrant: $135^{\circ }$. $-3+3j=4,243\angle 135^{\circ }$.

$5(\cos (-120^{\circ })+j\sin (-120^{\circ }))=-2,500-4,330j$.

Product: $21,21\angle 15^{\circ }$ ($135-120$). Quotiënt: $\frac{5}{4,243}\angle (-120^{\circ }-135^{\circ })=1,179\angle -255^{\circ }=1,179\angle 105^{\circ }$.

$U_1=10\angle -30^{\circ }=8,66-5,00j$; $U_2=4\angle -90^{\circ }=-4j$; $U_3=6\angle 180^{\circ }=-6$.

$3j=3\angle 90^{\circ }$: $3\cos (\omega t+90^{\circ })=-3\sin \omega t$. $2-2j=2,83\angle -45^{\circ }$: $2,83\cos (\omega t-45^{\circ })$.

$j\omega U_1=100\pi \cdot 10\angle (-30^{\circ }+90^{\circ })=3142\angle 60^{\circ }$, dus $\frac{\mathrm{d}{u}_1}{\mathrm{d}t}=3142\cos (\omega t+60^{\circ })$ (V/s). Controle: $-10\omega \sin (\omega t-30^{\circ })=10\omega \cos (\omega t-30^{\circ }+90^{\circ })$.

i₂ ligt 75° voor op u (tegen de draaizin in verder), i₁ ijlt 50° na.

i₁: $\frac{50}{360}\cdot 20\mathrm{ms}=2,78\mathrm{ms}$ later. i₂: $\frac{75}{360}\cdot 20=4,17\mathrm{ms}$ vroeger (of 15,83 ms later, bij de volgende piek).

i₂: een capacitieve belasting (een condensator met wat weerstand, of een toestel met een ingangsfilter). i₁: een inductieve belasting, zoals een motor of een spoel met weerstand.

${\mathrm{e}}^{j\pi /2}=j$; ${\mathrm{e}}^{j\pi }=-1$; ${\mathrm{e}}^{j2\pi }=1$; ${\mathrm{e}}^{-j\pi /3}=\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}=0,5-0,866j$.

${\mathrm{e}}^{j\phi }+{\mathrm{e}}^{-j\phi }=(\cos \phi +j\sin \phi )+(\cos \phi -j\sin \phi )=2\cos \phi$ (cos is even, sin oneven).

$j^j=({\mathrm{e}}^{j\pi /2}{)}^j={\mathrm{e}}^{j^2\pi /2}={\mathrm{e}}^{-\pi /2}=0,2079$: een imaginair getal tot een imaginaire macht geeft een reëel getal. (Strikt genomen zijn er meer waarden, ${\mathrm{e}}^{-\pi /2-2k\pi }$, omdat $j$ ook ${\mathrm{e}}^{j(\pi /2+2k\pi )}$ is; $0,2079$ is de hoofdwaarde die Python geeft.)

$U=20-15j$, $|U|=25$, $\arg U=-36,87^{\circ }$: $u=25\cos (\omega t-36,87^{\circ })$ V.

$t=0$: $u_1+u_2=20+0=20$ en $25\cos (-36,87^{\circ })=20$. $t=5\mathrm{ms}$ ($\omega t=90^{\circ }$): $0+15=15$ en $25\cos (53,13^{\circ })=15$. Klopt.

$20/\sqrt{2}=14,1\mathrm{V}$, $15/\sqrt{2}=10,6\mathrm{V}$ en $25/\sqrt{2}=17,7\mathrm{V}$: niet $14,1+10,6=24,7\mathrm{V}$. Spanningen over onderdelen in serie tel je bij wisselstroom als wijzers op.

Kop aan staart: $3$ naar rechts, $2$ omhoog, $2$ onder $-150^{\circ }$ (naar links onder). De som komt uit op ongeveer $(1,27;1,00)$: lengte ongeveer 1,6 A onder ongeveer 38°.

$3+2j+2(\cos (-150^{\circ })+j\sin (-150^{\circ }))=3+2j-1,732-j=1,268+1,000j$, $|I|=1,615\mathrm{A}$ onder $38,3^{\circ }$.

Vier cosinussen met amplitudes 3, 2, 2 en 1,61: de som piekt bij $\omega t=-38^{\circ }$, dus op $322^{\circ }$, en gaat door nul bij $52^{\circ }$ en $232^{\circ }$. Controle op $\omega t=0$: $3+0+2\cos (-150^{\circ })=1,27$ en $1,62\cos (38^{\circ })=1,27$.

$\omega =157,1rad/s$. $V=A/(j\omega )=\frac{0,8}{157,1}\angle -90^{\circ }=5,09mm/s\angle -90^{\circ }$; $X=A/(j\omega {)}^2=-A/{\omega }^2=32,4\mu \mathrm{m}\angle 180^{\circ }$.

Effectief $5,09/\sqrt{2}=3,60mm/s$: onder 1,8 mm/s, dus in de categorie 'goed' (de juiste grenzen per machineklasse staan in de norm; hoofdstuk 11).

Bijvoorbeeld:

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
fs, f = 2000, 50.0
t = np.arange(0, 0.1, 1 / fs)
x = 2.5 * np.cos(2 * np.pi * f * t + np.radians(40)) + rng.normal(0, 0.3, t.size)

def fasor(x, t, f):
    return 2 * np.mean(x * np.exp(-1j * 2 * np.pi * f * t))

X = fasor(x, t, f)
print(abs(X), np.degrees(np.angle(X)))

Je vindt ongeveer 2,5 en 40°, tot op enkele honderdsten en enkele tienden van een graad (de ruis middelt over 200 metingen).

Met 0,105 s bevat het venster 5,25 periodes: de wijzer met 2ω middelt niet meer weg, en er komt een fout bij die van de fase afhangt (enkele procenten). Oplossing: altijd over hele periodes middelen, of een venster gebruiken (hoofdstuk 21).

Bereken U = fasor(u, t, f) en I = fasor(i, t, f) over dezelfde metingen; het faseverschil is np.angle(U) − np.angle(I) (of np.angle(U / I)). De gemeenschappelijke tijdsoorsprong valt weg.

$1450\mathrm{tpm}=24,17\mathrm{Hz}$ en $1500\mathrm{tpm}=25\mathrm{Hz}$: zweving $0,83\mathrm{Hz}$, één aanzwelling per $1,2\mathrm{s}$.

Bekeken vanuit de ene wijzer draait de andere langzaam rond met het verschil van de frequenties. Liggen ze samen, dan tellen de trillingen op (luid); een halve omwenteling later liggen ze tegengesteld (stil).

De toerentallen ver uit elkaar leggen (zweving sneller dan ongeveer 15 per seconde klinkt als een vaste ruwheid in plaats van een deining), of de ventilatoren trillingsvrij ophangen (rubber, hoofdstuk 11) zodat het rek niet meetrilt. Exact gelijke toerentallen helpen alleen als ze ook in fase blijven, en dat gebeurt niet vanzelf.

$Z_C(50\mathrm{Hz})=-j31,8\mathrm{k\Omega }$; $Z_C(10\mathrm{kHz})=-j159\mathrm{\Omega }$; $Z_L(50\mathrm{Hz})=j3,14\mathrm{\Omega }$.

$Z=1000-j1592\mathrm{\Omega }=1880\angle -57,9^{\circ }\mathrm{\Omega }$. $I=5/Z=2,66\angle 57,9^{\circ }\mathrm{mA}$: de stroom ijlt 57,9° voor. $U_C=Z_{C}I=1592\angle -90^{\circ }\cdot 0,00266\angle 57,9^{\circ }=4,23\angle -32,1^{\circ }\mathrm{V}$. Controle: $|U_R{|}^2+|U_C{|}^2=2,66^2+4,23^2=25$.

${\mathrm{e}}^{j\alpha }{\mathrm{e}}^{j\beta }=(\cos \alpha +j\sin \alpha )(\cos \beta +j\sin \beta )=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+j(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )$, en dat is $\cos (\alpha +\beta )+j\sin (\alpha +\beta )$. Reële delen: $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$; imaginaire: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$.

$(c+js{)}^3=c^3+3c^2(js)+3c(js{)}^2+(js{)}^3=(c^3-3c{s}^2)+j(3c^{2}s-s^3)$ met $c=\cos \phi$, $s=\sin \phi$. Reëel deel: $\cos 3\phi =c^3-3c(1-c^2)=4c^3-3c$.

${\cos }^2\phi ={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{j\phi }+{\mathrm{e}}^{-j\phi }}{2}\right)}^2=\frac{{\mathrm{e}}^{2j\phi }+2+{\mathrm{e}}^{-2j\phi }}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\phi$. In een weerstand is $p=ui=\frac{{\hat{U}}^2}{R}{\cos }^2\omega t=\frac{{\hat{U}}^2}{2R}(1+\cos 2\omega t)$: een gemiddelde ${\hat{U}}^2/(2R)=U_{\text{eff}}^2/R$ plus een schommeling met $2\omega$ (100 Hz bij het net). Daarom brommen transformatoren op 100 Hz.

$360^{\circ }\cdot 50/60=300^{\circ }$ per meting; de logger ziet de kortste draai: $300^{\circ }-360^{\circ }=-60^{\circ }$. Dat is $-60^{\circ }\cdot 60/360=-10\mathrm{Hz}$: een signaal van 10 Hz dat 'achteruit' draait (voor een cosinus zie je gewoon 10 Hz).

Programma en echte uitvoer:

# alias.py - bemonsteren is de wijzer in stapjes bekijken
import numpy as np

f, fs = 50.0, 60.0                       # signaal van 50 Hz, 60 metingen per seconde
stap = 360 * f / fs                      # zoveel graden draait de wijzer tussen twee metingen
print("draai per meting: %.0f graden, dus schijnbaar %.0f graden" % (stap, (stap + 180) % 360 - 180))
k = np.arange(6)
z = np.exp(1j * 2 * np.pi * f * k / fs)  # de wijzer op de meetmomenten
print("hoeken (graden):", np.round(np.degrees(np.angle(z))).astype(int))
f_schijn = ((f + fs / 2) % fs) - fs / 2
print("schijnbare frequentie: %.0f Hz" % f_schijn)
t = k / fs
print("cos 50 Hz :", np.round(np.cos(2 * np.pi * f * t), 3))
print("cos -10 Hz:", np.round(np.cos(2 * np.pi * f_schijn * t), 3))

draai per meting: 300 graden, dus schijnbaar -60 graden
hoeken (graden): [   0  -60 -120  180  120   60]
schijnbare frequentie: -10 Hz
cos 50 Hz : [ 1.   0.5 -0.5 -1.  -0.5  0.5]
cos -10 Hz: [ 1.   0.5 -0.5 -1.  -0.5  0.5]

De metingen zijn identiek: uit de getallen alleen kan niemand zien of het 50 Hz of 10 Hz was.

Als de wijzer tussen twee metingen een geheel aantal omwentelingen draait: fs = 50, 25, 16,7, 12,5 Hz, ... Dan meet de logger elke keer dezelfde waarde, een schijnbaar constante spanning, die afhangt van het toevallige startmoment (tussen −325 en 325 V). Een filter vóór de ADC (hoofdstuk 21) of fs boven 100 Hz voorkomt dat.

$I=\frac{U_1{\mathrm{e}}^{j\delta }-U_2}{jX}$. Vermogen dat het net ontvangt: $P=\mathrm{Re}(U_2\bar{I})$ met $\bar{I}=\frac{U_1{\mathrm{e}}^{-j\delta }-U_2}{-jX}$. Dus $U_2\bar{I}=\frac{U_1{U}_2{\mathrm{e}}^{-j\delta }-U_2^2}{-jX}=\frac{j(U_1{U}_2\cos \delta -U_2^2)+U_1{U}_2\sin \delta }{X}$, en het reële deel is $\frac{U_1{U}_2\sin \delta }{X}$.

$|I|=2U\sin (\delta /2)/X\le 35\Rightarrow \sin (\delta /2)\le \frac{35\cdot 0,628}{460}=0,0478$, dus $\delta \le 5,5^{\circ }$. Bij $\delta =0$: $|U_1-U_2|\le 35\cdot 0,628=22\mathrm{V}$ (ongeveer 10 %).

Bijvoorbeeld: meet beide spanningen synchroon (enkele kHz) en bereken elke periode hun fasor (amplitude en fase, zoals in het handboek); frequentie uit de draaiing van de fasor per periode. Schakel in als het frequentieverschil < 0,1 Hz, het faseverschil < 3° (marge onder 5,5°) en het spanningsverschil < 5 % gedurende minstens 10 periodes na elkaar; anders niet inschakelen (veilige toestand). Na het inschakelen volgt een fasevolger (PLL) het net. De hardware moet zelf ook een beveiliging hebben (hoofdstuk 23: noodstop los van de software).

(a) Wat je meet, is altijd reëel: het reële deel van een fasor. j is een boekhoudkundig middel om amplitude en fase samen te dragen, en je kan alles ook met sinussen en cosinussen doen (alleen veel langer). (b) Een complex getal is een draaiing met schaling; die is in een wisselstroomnet, een trilling of een golf even echt als een lengte. De hoek van een impedantie of het imaginaire deel van een eigenwaarde (de trillingsfrequentie) meet je wel degelijk, en in de kwantummechanica is een complexe amplitude onvermijdelijk.

Ook negatieve getallen en irrationale getallen werden lang gewantrouwd (een negatief aantal schapen?). Ze werden aanvaard omdat ze een consistent systeem vormen dat de werkelijkheid goed beschrijft: een schuld, een temperatuur onder nul, de diagonaal van een vierkant. Het 'bestaan' van een getalsoort is een vraag over modellen, en met die maatstaf staan complexe getallen even sterk als negatieve.

$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$: $p=\frac{1}{2}\hat{U}\hat{I}[\cos \phi +\cos (2\omega t-\phi )]$. De tweede term heeft over een periode gemiddelde nul (hoofdstuk 3), dus $\bar{p}=\frac{1}{2}\hat{U}\hat{I}\cos \phi$.

$U\bar{I}=\hat{U}\hat{I}{\mathrm{e}}^{j\phi }$, reëel deel $\hat{U}\hat{I}\cos \phi$; de helft is $\bar{p}$. En $\frac{1}{2}\hat{U}\hat{I}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}\frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}=U_{\text{eff}}{I}_{\text{eff}}$.

$\frac{1}{2}\cdot 325,3\cdot 5,70\cdot \cos 36^{\circ }=750\mathrm{W}$: de 750 W van de pomp.