EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Handboek · hoofdstuk 6Statistiek en meetonzekerheid

Van ruis op één meting tot een onderbouwd besluit: hoe zeker weet je wat je gemeten hebt?

Elke meting in Habitat heeft ruis, elke proef heeft planten die toevallig groter of kleiner uitvallen. Wie daarover beslist (een alarm, een ijking, een nieuwe lamp), moet het toeval kunnen meten. Je leert het toeval beschrijven met kansverdelingen, uitrekenen hoe precies een gemiddelde is, onzekerheden door formules heen rekenen en toetsen of een verschil echt is. Je leert ook wat een p-waarde níet zegt, en waarom zoveel gepubliceerd onderzoek niet standhield. Aan het eind beslist het brein van het station of de nieuwe groeilamp echt beter is.

10× uitleg8× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag2× verhaal1× het geheel4× code17 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten AData en AI

Twaalf vakjes, twee lamptypes, één vraag: is de nieuwe lamp echt beter, of was het toeval?

Na dit hoofdstuk

Je kan een kansverdeling (discreet of continu) gebruiken om kansen, verwachting en standaardafwijking te berekenen, en een kans als oppervlakte onder een kansdichtheid lezen.
Je kan met de normale verdeling kansen berekenen (z-waarde, de 68-95-99,7-regel) en uitleggen waarom een zeldzame gebeurtenis bij veel metingen toch geregeld optreedt.
Je kan de standaardfout s/√n afleiden uit de variantie van een som, de centrale limietstelling met een simulatie tonen en beslissen hoeveel metingen je middelt.
Je kan een betrouwbaarheidsinterval met de z- en de t-verdeling berekenen en juist interpreteren.
Je kan onzekerheden door een formule heen rekenen met partiële afgeleiden (kwadratisch optellen, type A en B, uitgebreide onzekerheid) en het resultaat met een Monte Carlo-simulatie controleren.
Je kan een Welch-t-toets met de hand en in Python uitvoeren en de p-waarde, de fouten van type I en II en het onderscheidingsvermogen juist uitleggen.
Je kan uitleggen wat een p-waarde niet zegt, en effectgrootte, meervoudig toetsen, optional stopping, pseudoreplicatie en voorregistratie in een oordeel over onderzoek betrekken.
Je kan een vergelijkende proef ontwerpen (proefeenheid, steekproefgrootte, loting in blokken, blind meten) en uit de resultaten een onderbouwd besluit nemen.

Verhaal · 6.1

Een brouwer die Student heette

1/28

In 1899 ging de jonge scheikundige William Sealy Gosset aan de slag bij de brouwerij van Guinness in Dublin. Guinness wilde bier van altijd dezelfde kwaliteit en liet zijn brouwers proeven doen met gerst, hop en het brouwproces. Gosset botste op een probleem dat je in dit hoofdstuk vaak tegenkomt: hij had maar een handvol metingen per proef, soms vier of vijf. De statistiek van zijn tijd was gemaakt voor honderden metingen, en gaf bij zulke kleine reeksen te grote zekerheid.

Gosset studeerde een jaar bij de statisticus Karl Pearson in Londen en rekende uit hoe het gemiddelde van een kleine steekproef schommelt als je de spreiding zelf ook uit die steekproef moet schatten. Hij controleerde zijn formule met een simulatie avant la lettre: de lichaamslengtes van 3000 gedetineerden op kaartjes, geschud en getrokken in 750 groepjes van vier. De verdeling die hij vond, heeft bredere staarten dan de normale: wie weinig metingen heeft, moet voorzichtiger zijn.

Guinness liet zijn medewerkers niet onder eigen naam publiceren. Het artikel The probable error of a mean verscheen in 1908 in het tijdschrift Biometrika, ondertekend met 'Student'. Ronald Fisher gaf de grootheid later de naam $t$ , en zo heet ze vandaag nog: de t-verdeling van Student. Elke keer dat een rekenblad of Python een betrouwbaarheidsinterval uit een handvol metingen berekent, gebruikt het de rekensom van een bierbrouwer.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het brein van het station neemt voortdurend beslissingen op metingen met ruis: gaat het CO₂-alarm af, klopt de ijking van een sensor nog, is de nieuwe groeilamp beter dan de oude? Zonder statistiek beslist het toeval mee zonder dat iemand het merkt. Met statistiek weet je hoe groot de kans is dat je je vergist, en hoeveel metingen je nodig hebt om dat klein te maken. Dezelfde ideeën dragen de Kalman-filter (hoofdstuk 40), de regressie (41) en de evaluatie van een AI-model (42).

Kleine steekproeven van gerst en hop: het probleem waarvoor de t-verdeling werd uitgevonden.

Uitleg · 6.2

Wat je al weet, en de vraag van dit hoofdstuk

2/28

wat je al kan	wat nu komt
gemiddelde en standaardafwijking $s$ (delen door $n - 1$ ), systematische en toevallige fouten (hoofdstuk 1 van I)	kansverdelingen als model van het toeval; waarom $s$ zo gedefinieerd is
fouten doorrekenen met de uitersten: de absolute of relatieve fouten optellen (hoofdstuk 1 van I)	kwadratisch optellen met partiële afgeleiden, en controleren met Monte Carlo
controlegroep, loting, blind meten, de vuistregel $n \approx 16 (s / δ)^{2}$ (hoofdstuk 2 van I)	standaardfout, betrouwbaarheidsinterval, toets, p-waarde en waar die 16 vandaan komt
lineariseren $f (a + Δ x) \approx f (a) + f^{'} (a) Δ x$ ; ruis op een afgeleide (hoofdstuk 1)	foutenpropagatie als lineariseren; de variantie van een verschil
een kans als oppervlakte onder een kromme (hoofdstuk 3)	kansdichtheid, normale en t-verdeling

In hoofdstuk 1 van Intermediate noteerde je een herhaalde meting als $\overset{x}{ˉ} \pm s$ en telde je fouten op om een veilige bovengrens te krijgen. Dat was eerlijk, maar ruw. Drie vragen bleven open. Hoe precies is een gemiddelde van tien metingen, tegenover één meting? Waarom tellen toevallige fouten niet gewoon op? En hoe beslis je of een verschil tussen twee groepen echt is, of toeval?

Dit hoofdstuk beantwoordt ze in vier stappen: het toeval beschrijven (kansverdelingen, de normale verdeling), een schatting omringen met haar onzekerheid (standaardfout, betrouwbaarheidsinterval, foutenpropagatie), een verschil toetsen (t-toets, p-waarde) en beslissen, met alles wat daarbij mis kan gaan. De rode draad is een vraag uit de klimaatmodule: een leverancier biedt een groeilamp aan met extra verrood licht en belooft 15 % meer sla. Is de nieuwe lamp echt beter?

Toevallig en systematisch

Statistiek gaat over de toevallige fout: die verandert van meting tot meting en wordt kleiner als je middelt. Een systematische fout (een verkeerd geijkte sensor, een lamp die altijd op de warmste plank staat) verdwijnt niet door te middelen; ze verstopt zich zelfs achter een klein foutje. Tegen systematische fouten helpen ijken, loten en blind meten.

Uitleg · 6.3

Kansverdelingen: het toeval als model

3/28

Een grootheid waarvan de waarde van het toeval afhangt, heet een toevalsvariabele: de volgende ADC-waarde van een sensor, het versgewicht van een slaplant, de zonnestroom van morgen. Een kansverdeling zegt welke waarden mogelijk zijn en hoe waarschijnlijk.

Discreet. Een ADC geeft gehele getallen. De verdeling is een lijst kansen $p_{k} = P (X = x_{k})$ met $\sum p_{k} = 1$ . De verwachting en de variantie zijn

μ = k \sum x_{k} p_{k}, σ^{2} = k \sum (x_{k} - μ)^{2} p_{k} .

Continu. Een lengte of een energie kan elke waarde aannemen. De kans op precies 5,000… kWh is nul; zinvol is de kans op een interval. Die geeft een kansdichtheid $f (x)$ : de kans is de oppervlakte eronder (hoofdstuk 3).

kans als oppervlakte

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x, \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

Verwachting

μ = \int x f (x) d x

, variantie

σ^{2} = \int (x - μ)^{2} f (x) d x

. De eenheid van

f

is 'per eenheid van

x

' (hier per kWh), zodat

f d x

een getal is.

De figuur toont een model voor de dagopbrengst van de 1,40 kWp zonnepanelen van de klimaatmodule in april (hoofdstuk 20 van I). Een heldere dag geeft ongeveer 7,6 kWh, maar de meeste dagen hebben wat wolken, en af en toe is het grauw. De verwachting is 5,17 kWh (het PVGIS-gemiddelde), de standaardafwijking 1,72 kWh. De kans op een slechte dag, minder dan 2,5 kWh, is de gekleurde oppervlakte: 9,1 %, ongeveer drie dagen per maand. De verdeling is scheef: de staart naar links is lang, want een dag kan veel slechter maar niet veel beter dan gemiddeld zijn.

σ en s

$μ$ en $σ$ zijn eigenschappen van de verdeling (het 'echte' toeval). $\overset{x}{ˉ}$ en $s$ bereken je uit metingen en zijn schattingen ervan. Omdat $\overset{x}{ˉ}$ uit dezelfde metingen komt, liggen de metingen er gemiddeld iets dichter bij dan bij $μ$ ; delen door $n - 1$ in plaats van $n$ maakt $s^{2}$ gemiddeld precies gelijk aan $σ^{2}$ (hoofdstuk 1 van I).

Een scheve verdeling: veel goede dagen, een lange staart naar grauwe dagen. De gekleurde oppervlakte is de kans op minder dan 2,5 kWh.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.4

De afrondingsfout van een ADC

4/28

Een 10-bits ADC op 5 V rondt elke spanning af op een veelvoud van $q = 5/1024 V = 4, 88 mV$ . Verandert het signaal genoeg (of is er wat ruis), dan is de afrondingsfout $e$ even waarschijnlijk overal tussen $- q /2$ en $q /2$ : een uniforme verdeling. Bereken de verwachting en de standaardafwijking van $e$ , en pas toe op de TMP36 van de meetkas (10 mV/°C), op de logger van hoofdstuk 1 (afgerond op 0,1 °C) en op de NTC van het reservoir (0,087 K per ADC-stap bij 20 °C).

Gegeven

$f (e) = 1/ q$ voor $- q /2 \leq e \leq q /2$ , anders 0
$q = 4, 88 mV$

Gevraagd

$μ_{e}$ en $σ_{e}$
de afrondingsruis van drie sensoren in °C

Oplossing

1
Controle: de totale oppervlakte is $\frac{1}{q} \cdot q = 1$ . Verwachting: $μ_{e} = \int_{- q /2}^{q /2} e \frac{1}{q} d e = 0$ (symmetrisch).
2
Variantie: $σ_{e}^{2} = \int_{- q /2}^{q /2} e^{2} \frac{1}{q} d e = \frac{1}{q} [\frac{e ^{3}}{3}]_{- q /2}^{q /2} = \frac{1}{q} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{q ^{3}}{8} = \frac{q ^{2}}{12}$ , dus $σ_{e} = \frac{q}{12} \approx 0, 29 q$ .
3
TMP36: één stap is $4, 88 mV / (10 mV /^{\circ} C) = 0, 488^{\circ} C$ , dus $σ = 0, 141^{\circ} C$ .
4
Logger op 0,1 °C: $σ = 0, 1/ 12 = 0, 029^{\circ} C$ . Samen met ruis van 0,08 °C (hoofdstuk 1): $0, 0 8^{2} + 0, 02 9^{2} = 0, 085^{\circ} C$ . Onafhankelijke fouten tellen kwadratisch op; waarom, zie je verderop.
5
NTC: $σ = 0, 0873/ 12 = 0, 025 K$ : veel kleiner dan de ruis van ongeveer één ADC-stap die je in de proef verderop meet.

Antwoord

μ_{e} = 0

σ_{e} = q / 12

. Afrondingsruis: TMP36 0,14 °C, logger 0,029 °C, NTC 0,025 K.

Klopt dit? Een uniforme verdeling op een interval van breedte

w

heeft altijd

σ = w / 12

; een tolerantie

\pm a

(breedte

2 a

) geeft dus

a / 3

. Die regel gebruik je verderop voor een maatbeker en een weerstand. Let op: is het signaal constant en ruisvrij, dan is de afrondingsfout elke keer dezelfde. Dan is ze systematisch en helpt middelen niet; een beetje ruis maakt haar toevallig.

Uitleg · 6.5

De normale verdeling

5/28

Tel veel kleine, onafhankelijke toevallige effecten op (thermische ruis, een trillende referentiespanning, een plant die net iets meer licht kreeg) en je krijgt bijna altijd dezelfde klokvorm. Abraham de Moivre vond ze in 1733 als benadering voor het aantal kop bij veel muntworpen, Carl Friedrich Gauss gebruikte ze in 1809 voor meetfouten in de sterrenkunde: de normale verdeling.

normale verdeling en z-waarde

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}, z = \frac{x - μ}{σ}

Twee parameters:

μ

(plaats) en

σ

(breedte). De z-waarde telt hoeveel standaardafwijkingen

x

van

μ

ligt;

z

is standaardnormaal (

μ = 0

σ = 1

De functie $e^{- z^{2} /2}$ heeft geen primitieve in gewone functies (hoofdstuk 3). De kans $Φ (z) = P (Z \leq z)$ haal je uit een tabel, een rekenblad (NORM.S.DIST) of de foutfunctie: $Φ (z) = \frac{1}{2} (1 + erf (z / 2))$ , in Python math.erf. Zo volgt de 68-95-99,7-regel:

P (∣ Z ∣ \leq 1) = 0, 6827, P (∣ Z ∣ \leq 2) = 0, 9545, P (∣ Z ∣ \leq 3) = 0, 9973.

Handige grenzen: 90 % ligt binnen $\pm 1, 645 σ$ , 95 % binnen $\pm 1, 960 σ$ en 99 % binnen $\pm 2, 576 σ$ . Buiten $\pm 4 σ$ valt nog 6,3 op de 100 000.

Alles is normaal verdeeld

Niet de zonnestroom van één dag (scheef, begrensd), niet de tijd tot een pomp faalt, niet een reeks met uitschieters. De normale verdeling is een goed model voor een som of gemiddelde van veel onafhankelijke bijdragen, en daardoor voor veel meetruis. Kijk altijd eerst naar een histogram voor je met $\pm 2 σ$ rekent.

Binnen één σ van het gemiddelde valt 68,3 %, binnen twee σ 95,4 %, binnen drie σ 99,73 %; de laatste 0,27 % zit in de twee staarten.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.6

Waarom gaat het CO₂-alarm elke dag vals af?

6/28

In de woonmodule meet een CO₂-sensor om de 2 s (het ritme van hoofdstuk 29 van I). De waarschuwing staat op 1000 ppm (hoofdstuk 14 van I). Op een rustige dag is de echte waarde 900 ppm; de sensor ruist met $σ = 25 ppm$ per meting (rekenwaarde). Toch klagen de bewoners over een vals alarm per dag. Verklaar dat, en vergelijk twee remedies: het gemiddelde van 30 metingen (één minuut) of 'drie metingen op rij boven de grens'.

Gegeven

$μ = 900 ppm$ , $σ = 25 ppm$ , grens $1000 ppm$
$43200$ metingen per dag

Gevraagd

kans op een vals alarm per meting en per dag
hetzelfde met de twee remedies

Oplossing

1
$z = \frac{1000 - 900}{25} = 4, 0$ : de grens ligt vier standaardafwijkingen boven de echte waarde. $P (Z > 4) = 3, 17 \cdot 1 0^{- 5}$ .
2
Per dag: $43200 \cdot 3, 17 \cdot 1 0^{- 5} = 1, 37$ valse alarmen. Een kans van 1 op 30 000 per meting, maar met 43 200 metingen per dag gebeurt het gemiddeld meer dan eens per dag.
3
Minuutgemiddelde: $σ_{\overset{x}{ˉ}} = 25/ 30 = 4, 56 ppm$ (standaardfout, verderop afgeleid). Nu is $z = 100/4, 56 = 21, 9$ en $P \approx 1 0^{- 106}$ : nooit.
4
Drie op rij (als de metingen onafhankelijk zijn): $P^{3} = (3, 17 \cdot 1 0^{- 5})^{3} \approx 3, 2 \cdot 1 0^{- 14}$ per meting: ook praktisch nooit, en het alarm reageert al na 6 s.
5
Een echte stijging naar 1050 ppm wordt met het minuutgemiddelde binnen een minuut gezien, met drie-op-rij bijna meteen. Het minuutgemiddelde is ook eerlijker bij een waarde vlak onder de grens: bij 980 ppm zouden losse metingen het alarm nog ongeveer $9152$ keer per dag laten afgaan, het minuutgemiddelde bijna nooit.

Antwoord

Met losse metingen: ongeveer 1,4 vals alarm per dag. Met een minuutgemiddelde of drie-op-rij praktisch nul. Het station waarschuwt voortaan op het minuutgemiddelde; het alarm van 5000 ppm blijft op losse metingen (veiligheid gaat voor rust).

Klopt dit? Zeldzaam maal vaak is geregeld: een kans van

3 \cdot 1 0^{- 5}

lijkt verwaarloosbaar tot je ze 43 200 keer per dag neemt. De berekening veronderstelt onafhankelijke, normale ruis. Een sensor die intern filtert, geeft opeenvolgende metingen die op elkaar lijken; dan wint middelen minder dan

30

. Controleer dat met een opgenomen reeks (hoofdstuk 21 en 40).

Proef · 6.7

Hoe ruist een sensor?

7/28

Onderzoeksvraag

Is de ruis op de NTC-meting van het reservoir normaal verdeeld, en hoe groot is ze in kelvin?

Materiaal

Arduino met de NTC-deler van het reservoir (10 kΩ, A0, hoofdstuk 22 van I)
thermosfles met water op kamertemperatuur en een referentiethermometer
computer met Python (seriële poort uitlezen, hoofdstuk 30 van I)

VeiligheidAlleen 5 V; houd de Arduino en de computer uit de buurt van het water.

Elke staaf is één ADC-waarde. De normale kromme met hetzelfde gemiddelde en dezelfde s past goed: de ruis is ongeveer één ADC-stap, 0,1 K.

Werkwijze

1Hang de NTC en de referentiethermometer naast elkaar in het water. Sluit de thermosfles en wacht tien minuten.
2Lees 400 keer analogRead(A0), één keer per seconde, en stuur elke waarde naar de computer.
3Noteer de referentietemperatuur bij het begin en het eind: blijft ze gelijk, dan is elke spreiding ruis van de meting.
4Tel hoe vaak elke ADC-waarde voorkomt (elke waarde is een klasse) en teken het histogram.
5Bereken x̄ en s, teken de normale verdeling met die parameters over het histogram, en tel hoeveel metingen binnen x̄ ± s en x̄ ± 2s liggen.

Waarneming

ADC-waarde	443	444	445	446	447	448	449
aantal	9	48	110	132	70	27	4
normaal verwacht	10,6	46,9	107,1	126,9	77,9	24,8	4,1

Voorbeeldmeting (water op 20,0 °C, begin en eind gelijk): $\overset{ˉ}{N} = 445, 76$ , $s = 1, 20$ ADC-stap. Binnen $\overset{ˉ}{N} \pm s$ liggen 60,5 % van de metingen, binnen $\pm 2 s$ 96,8 %. Eerste 200 metingen: $445, 76$ , laatste 200: $445, 75$ .

Verklaring

Het histogram volgt de normale kromme goed: de ruis is de som van veel kleine bijdragen (thermische ruis van weerstanden, schommelingen van de 5 V-referentie, storing). Dat 'binnen $\pm s$ ' 60 % geeft in plaats van 68 %, komt door de gehele getallen: de grenzen $\overset{ˉ}{N} \pm s$ vallen tussen twee klassen in, zodat een klasse helemaal mee- of niet meetelt. Vergelijk daarom liever klasse per klasse met de verwachte aantallen in de tabel.

Omrekenen: rond 20 °C is één ADC-stap $0, 0873 K$ (de helling van $T (N)$ , hoofdstuk 1). De ruis op één meting is dus $1, 20 \cdot 0, 0873 = 0, 105 K$ , en het gemiddelde van 400 metingen is $20, 00$ °C. De twee helften verschillen maar 0,00 stap: geen drift van betekenis.

Uitleg · 6.8

Het gemiddelde van n metingen: de standaardfout

8/28

Waarom is een gemiddelde preciezer dan één meting? Voor twee onafhankelijke toevalsvariabelen $X$ en $Y$ is $E [X + Y] = μ_{X} + μ_{Y}$ en

Var (X + Y) = E [(X - μ_{X} + Y - μ_{Y})^{2}] = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] .

De laatste term, de covariantie, is nul als $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn: een positieve afwijking van $X$ komt even vaak samen met een positieve als met een negatieve afwijking van $Y$ . Dus varianties tellen op, niet standaardafwijkingen. Voor een verschil geldt hetzelfde: $Var (X - Y) = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ (daarom was de ruis op een centrale differentie in hoofdstuk 1 $2 σ$ ). Met $Var (c X) = c^{2} σ^{2}$ volgt voor het gemiddelde van $n$ onafhankelijke metingen met dezelfde $σ$ :

standaardfout van het gemiddelde

Var (\overset{x}{ˉ}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n} σ_{\overset{x}{ˉ}} = \frac{σ}{n} \approx \frac{s}{n}

Vier keer zoveel metingen maakt het gemiddelde twee keer preciezer; honderd keer zoveel, tien keer.

s

zegt hoe ver één meting van

μ

valt,

s / n

hoe ver het gemiddelde.

Er is meer: het gemiddelde wordt ook steeds normaler verdeeld, welke verdeling de metingen zelf ook hebben (als ze maar een eindige $σ$ hebben). Dat is de centrale limietstelling. De figuur toont het met het scheve model van de zonnestroom in april: één dag is scheef en breed; het gemiddelde van een week is smaller ( $σ / 7$ ) en bijna klokvormig; het gemiddelde van een maand is een smalle klok. Daarom werkt de normale verdeling zo vaak: veel meetwaarden zijn zelf al een gemiddelde of een som.

Onafhankelijk is een voorwaarde

Het weer van vandaag lijkt op dat van gisteren: grauwe dagen komen in reeksen. Echte weekgemiddelden spreiden daarom meer dan $σ / 7$ , en een batterij (hoofdstuk 20 van I) dimensioneer je op een slechte reeks dagen. Hetzelfde geldt voor een sensor die langzaam verloopt: middelen verkleint de ruis, niet de drift.

Histogrammen van 20 000 gesimuleerde dagen, weken en maanden (model); de stippellijn is de normale verdeling met σ/√n. Met elke factor vier in n halveert de breedte.

Code · 6.9

De centrale limietstelling in numpy

9/28

Een simulatie maakt de stelling tastbaar. Het programma trekt 20 000 maanden van 30 dagen uit het model van de zonnestroom en berekent voor $n = 1, 2, 7$ en $30$ het gemiddelde van de eerste $n$ dagen. Het vergelijkt de spreiding van die gemiddelden met $σ / n$ en schat de kans op een slechte week (gemiddeld minder dan 4 kWh per dag).

Pythonclt.py15 regelsDownload

# clt.py - hoe goed voorspelt het gemiddelde van n dagen? (model voor de zonnestroom in april)import numpy as np rng = np.random.default_rng(1)EMAX, A, B = 7.6, 2.2, 1.035               # heldere dag 7,6 kWh; vorm van de verdeling (scheef)mu = EMAX * A / (A + B)                   # verwachting: 5,17 kWh (PVGIS voor april)sigma = EMAX * np.sqrt(A * B / ((A + B) ** 2 * (A + B + 1)))dagen = EMAX * rng.beta(A, B, size=(20000, 30))   # 20 000 keer een maand van 30 dagen print("mu = %.2f kWh, sigma = %.2f kWh" % (mu, sigma))print(" n   gemiddelde   s van de gemiddelden   sigma/sqrt(n)   P(gem < 4 kWh)")for n in (1, 2, 7, 30):    gem = dagen[:, :n].mean(axis=1)       # het gemiddelde van de eerste n dagen van elke maand    print("%2d   %8.3f   %14.3f   %18.3f   %11.4f"          % (n, gem.mean(), gem.std(ddof=1), sigma / np.sqrt(n), np.mean(gem < 4.0)))

Uitvoer:

mu = 5.17 kWh, sigma = 1.72 kWh
 n   gemiddelde   s van de gemiddelden   sigma/sqrt(n)   P(gem < 4 kWh)
 1      5.152            1.720                1.723        0.2547
 2      5.159            1.221                1.218        0.1757
 7      5.168            0.651                0.651        0.0431
30      5.164            0.316                0.315        0.0001

De spreiding van de gemiddelden volgt $σ / n$ tot op enkele duizendsten. De staart is gevoeliger: volgens de normale verdeling heeft een week $3, 6 %$ kans om onder 4 kWh per dag te blijven, in de simulatie is dat $4, 3 %$ . Bij $n = 7$ zit er nog scheefheid in het gemiddelde: de lange linkerstaart van één dag sijpelt door. Voor het midden van een verdeling is de normale benadering snel goed, voor de staarten (en daar gaan alarmen en tekorten over) pas bij grotere $n$ .

Simuleren als controle

rng = np.random.default_rng(seed) geeft een reproduceerbare reeks: met dezelfde seed krijg je dezelfde getallen, zodat iemand anders je resultaat kan nagaan. Een formule die je afleidt, controleer je voortaan zo: simuleer het experiment duizenden keren en vergelijk.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.10

Hoeveel metingen middelt de klimaatmodule?

10/28

De Mega leest de NTC van het reservoir om de 2 s. Eén meting ruist 0,10 K (de proef). Voor de warmtebalans van het reservoir wil het brein de temperatuur met een standaardfout van 0,02 K. Hoeveel ADC-metingen moet de Mega per keer middelen, hoe lang duurt dat, en wat is de grens van die aanpak?

Gegeven

$σ_{1} = 0, 105 K$ per meting
doel $σ_{\overset{x}{ˉ}} = 0, 02 K$
analogRead duurt ongeveer 0,11 ms

Gevraagd

n
de meettijd
wat middelen niet oplost

Oplossing

1
$σ_{1} / n \leq 0, 02 \Rightarrow n \geq (0, 105/0, 02)^{2} = 27, 4$ , dus $n = 28$ metingen.
2
Meettijd: $28 \cdot 0, 11 ms \approx 3, 1 ms$ , niets tegenover de 2 s tussen twee rondes. Zo werkte hoofdstuk 25 van I ook: 100 metingen in 20,4 ms tegen de PWM-flikkering.
3
Periodieke storing (50 Hz van het net, 490 Hz van de PWM) is geen onafhankelijke ruis: middel over een hele periode (20 ms voor 50 Hz), dan valt ze weg; middel je over een willekeurige halve periode, dan blijft er een rest die $n$ niet wegneemt.
4
De ijking: de geijkte $R_{25}$ en $B$ hebben elk een onzekerheid die voor élke meting dezelfde is (verderop: samen ongeveer 0,07 K). Die blijft, hoe vaak je ook middelt.

Antwoord

Middel 28 metingen (een paar milliseconden). Veranderingen van de temperatuur ken je dan tot op 0,02 K; de absolute temperatuur tot op ongeveer 0,07 K, door de ijking.

Klopt dit? Uit de proef: 400 metingen gaven een standaardfout van

1, 20/ 400 = 0, 060

stap

= 0, 0052 K

, precies wat

σ / n

voorspelt. Wie meer wil, verbetert eerst de grootste bron: daar gaat foutenpropagatie verderop over.

Uitleg · 6.11

Betrouwbaarheidsintervallen

11/28

Een gemiddelde zonder onzekerheid is een half antwoord. Is $σ$ bekend, dan ligt $\overset{x}{ˉ}$ in 95 % van de proeven binnen $1, 96 σ / n$ van $μ$ . Draai de ongelijkheid om:

95 %-betrouwbaarheidsinterval (σ gekend)

\overset{x}{ˉ} - 1, 96 \frac{σ}{n} \leq μ \leq \overset{x}{ˉ} + 1, 96 \frac{σ}{n}

Voor 90 % of 99 %: 1,645 of 2,576 in plaats van 1,96. Een smaller interval vraagt meer metingen: halveren kost een factor vier.

Wat betekent '95 %'? Niet dat $μ$ met 95 % kans in dit interval ligt: $μ$ is een vast getal, het ligt erin of niet. De 95 % gaat over de methode: herhaal de proef vaak, en 95 % van de intervallen die je zo maakt, bevat $μ$ . De figuur simuleert dat met het pompje uit hoofdstuk 1 van I: veertig klassen meten elk zes keer de vultijd ( $μ = 42, 5 s$ , $σ = 0, 65 s$ ). Elk interval is $\overset{x}{ˉ} \pm 0, 52 s$ . 38 van de 40 bevatten $μ$ , 2 missen: gemiddeld verwacht je er twee.

Overlappende intervallen betekenen 'geen verschil'

Liggen de 95 %-intervallen van twee groepen uit elkaar, dan is het verschil zeker significant. Overlappen ze een beetje, dan kan het verschil toch significant zijn: het interval van een verschil is $2$ keer (niet 2 keer) zo breed als dat van één groep, omdat varianties optellen. Bereken bij een vergelijking altijd het interval van het verschil.

Elke lijn is het 95 %-interval van een proef met zes metingen. De methode vangt μ in ongeveer 38 van de 40 proeven; welke twee missen, weet je vooraf niet.

Uitleg · 6.12

De t-verdeling: weinig metingen, meer voorzichtigheid

12/28

Meestal ken je $σ$ niet en schat je ze met $s$ uit dezelfde metingen. Bij weinig metingen is $s$ zelf onzeker: soms toevallig te klein, en dan wordt het interval te smal. Gosset toonde dat $T = \frac{x ˉ - μ}{s / n}$ bij normale metingen een t-verdeling volgt met $ν = n - 1$ vrijheidsgraden (van de $n$ afwijkingen $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ zijn er maar $n - 1$ vrij, want hun som is nul).

t-verdeling en het interval met s

f (t) = \frac{Γ ( \frac{ν + 1}{2} )}{ν π Γ ( \frac{ν}{2} )} (1 + \frac{t ^{2}}{ν})^{- \frac{ν + 1}{2}} \overset{x}{ˉ} \pm t_{ν}^{*} \frac{s}{n}

Γ

is de gammafunctie (

Γ (k) = (k - 1)!

voor gehele

k

). Voor grote

ν

nadert

f

de normale verdeling en

t^{*}

de waarde 1,96.

$ν$	90 % ( $t_{0, 95}$ )	95 % ( $t_{0, 975}$ )	99 % ( $t_{0, 995}$ )
1	6,314	12,706	63,657
2	2,920	4,303	9,925
3	2,353	3,182	5,841
4	2,132	2,776	4,604
5	2,015	2,571	4,032
6	1,943	2,447	3,707
8	1,860	2,306	3,355
10	1,812	2,228	3,169
15	1,753	2,131	2,947
20	1,725	2,086	2,845
30	1,697	2,042	2,750
60	1,671	2,000	2,660
∞ (normaal, $z$ )	1,645	1,960	2,576

Met twee metingen ( $ν = 1$ ) moet je $12, 7$ keer de standaardfout nemen in plaats van 1,96 keer; met drie ( $ν = 2$ ) nog 4,3 keer. Vanaf ongeveer 30 metingen maakt het weinig uit. Een rekenblad geeft $t^{*}$ met T.INV.2T(0,05; ν), Python met scipy.stats.t.ppf(0.975, ν).

Hoe minder vrijheidsgraden, hoe meer kans in de staarten; bij ν = 10 ligt de t-verdeling al dicht bij de normale.

Code · 6.13

De t-waarden zelf berekenen

13/28

Een tabel geloof je beter als je hem zelf kan maken. De kritieke waarde $t^{*}$ voor 95 % is de $t$ waarvoor de oppervlakte links 0,975 is. Het programma integreert de dichtheid met de regel van Simpson (een verfijning van de trapeziumregel uit hoofdstuk 3) en zoekt $t^{*}$ door bisectie: halveer telkens het interval waarin de oplossing ligt (hoofdstuk 36 werkt dat uit).

Pythontwaarden.py36 regelsDownload

# twaarden.py - de kritieke t-waarden zelf berekenen, en controleren met scipyimport mathfrom scipy import stats  def t_dichtheid(t, nu):    """Kansdichtheid van Student-t met nu vrijheidsgraden."""    c = math.exp(math.lgamma((nu + 1) / 2) - math.lgamma(nu / 2)) / math.sqrt(nu * math.pi)    return c * (1 + t * t / nu) ** (-(nu + 1) / 2)  def kans_tot(t, nu, n=2000):    """P(T <= t) voor t >= 0: de helft plus de oppervlakte van 0 tot t (regel van Simpson, n even)."""    h = t / n    som = t_dichtheid(0, nu) + t_dichtheid(t, nu)    for i in range(1, n):        som += (4 if i % 2 else 2) * t_dichtheid(i * h, nu)    return 0.5 + som * h / 3  def t_kritiek(p, nu):    """Zoek t met P(T <= t) = p door bisectie (p > 0,5)."""    a, b = 0.0, 100.0    for _ in range(60):        m = (a + b) / 2        if kans_tot(m, nu) < p:            a = m        else:            b = m    return (a + b) / 2  print(" nu   t(95 %)  scipy     verschil")for nu in (1, 2, 5, 10, 30):    eigen = t_kritiek(0.975, nu)    print("%3d   %7.4f  %7.4f   %.1e" % (nu, eigen, stats.t.ppf(0.975, nu), abs(eigen - stats.t.ppf(0.975, nu))))

Uitvoer:

 nu   t(95 %)  scipy     verschil
  1   12.7062  12.7062   2.6e-10
  2    4.3027   4.3027   5.3e-11
  5    2.5706   2.5706   2.1e-14
 10    2.2281   2.2281   2.1e-11
 30    2.0423   2.0423   6.6e-14

Eigen rekenwerk en scipy verschillen pas in de achtste decimaal of verder: de tabel klopt. Twee details. math.lgamma geeft de logaritme van $Γ$ ; zo loopt de berekening voor grote $ν$ niet over. En voor $ν = 1$ zijn de staarten zo zwaar dat de bisectie tot $t = 12, 7$ moet gaan: daarom begint ze met het interval $[0, 100]$ .

Uitgewerkt voorbeeld · 6.14

De groeiproef van Fundamental: hoe zeker zijn drie bakjes?

14/28

In de groeiproef van hoofdstuk 27 van F woog de klas per bakje: bij 100 % licht 98, 106 en 101 g, bij 70 % licht 74, 69 en 78 g. Bereken voor beide groepen het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde. Wat zou een naïeve berekening met 1,96 geven?

Gegeven

100 %: 98, 106, 101 g
70 %: 74, 69, 78 g
$t_{2}^{*} = 4, 303$

Gevraagd

$\overset{x}{ˉ} \pm t^{*} s / 3$ voor beide groepen

Oplossing

1
100 %: $\overset{x}{ˉ} = 101, 67 g$ ; afwijkingen $- 3, 67$ , $4, 33$ , $- 0, 67$ ; $s = (13, 44 + 18, 78 + 0, 44) /2 = 4, 04 g$ .
2
Standaardfout $4, 04/ 3 = 2, 33 g$ ; halve breedte $4, 303 \cdot 2, 33 = 10, 0 g$ : interval $[91, 6; 111, 7] g$ .
3
70 %: $\overset{x}{ˉ} = 73, 67 g$ , $s = 4, 51 g$ , halve breedte $11, 2 g$ : $[62, 5; 84, 9] g$ .
4
Met 1,96 in plaats van 4,303 zou het eerste interval maar $\pm 4, 6 g$ zijn: meer dan twee keer te smal. Met drie metingen is de schatting $s$ zelf te onzeker om er 1,96 op te bouwen.

Antwoord

100 % licht:

(101, 7 \pm 10, 0) g

; 70 % licht:

(73, 7 \pm 11, 2) g

(95 %). De intervallen liggen ver uit elkaar: het verschil is geen toeval. Dat toets je verderop.

Klopt dit? Het interval is breed (

\pm 10 g

op 100 g) omdat

n = 3

klein is, niet omdat de bakjes slordig gewogen zijn:

s

is maar 4 g. Met zes bakjes per groep zou

t^{*} = 2, 571

n = 2, 45

het interval ruim twee keer smaller maken.

Uitleg · 6.15

Foutenpropagatie: onzekerheden door een formule heen

15/28

Een resultaat $y = f (x_{1}, x_{2}, \dots)$ uit gemeten grootheden, elk met een standaardonzekerheid $u (x_{i})$ (een standaardafwijking). Lineariseer (hoofdstuk 1) met partiële afgeleiden (hoofdstuk 2):

Δ y \approx \frac{\partial f}{\partial x _{1}} Δ x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x _{2}} Δ x_{2} + \dots

Dat is een som van onafhankelijke toevalsgrootheden, elk met een factor. Varianties tellen op, dus:

foutenpropagatie (onafhankelijke grootheden)

u (y)^{2} = i \sum (\frac{\partial f}{\partial x _{i}})^{2} u (x_{i})^{2}

Som of verschil:

u^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}

. Product of quotiënt:

(\frac{u ( y )}{y})^{2} = \sum (\frac{u ( x _{i} )}{x _{i}})^{2}

. Macht

x^{n}

: relatieve onzekerheid maal

∣ n ∣

In hoofdstuk 1 van I telde je de relatieve fouten van het reservoir gewoon op: 0,24 + 0,35 + 1,32 = 1,9 %. Dat is de bovengrens, als alle fouten tegelijk maximaal en in dezelfde richting uitvallen. Kwadratisch: $0, 2 4^{2} + 0, 3 5^{2} + 1, 3 2^{2} = 1, 38 %$ , dus $V = (18, 19 \pm 0, 25) L$ . De grootste bron domineert: de hoogte alleen al geeft 1,32 %.

Waar komen de $u (x_{i})$ vandaan? De GUM, de internationale gids voor meetonzekerheid, onderscheidt type A (statistisch, uit een reeks: $s / n$ ) en type B (uit andere kennis): een tolerantie $\pm a$ zonder verdere informatie wordt een uniforme verdeling, $u = a / 3$ ; een resolutie $q$ geeft $q / 12$ ; een ijkcertificaat geeft $u$ meestal zelf. Het eindresultaat noteer je met een uitgebreide onzekerheid $U = k u$ , met $k = 2$ voor ongeveer 95 %.

Afhankelijke fouten tellen lineair

Meet je lengte én breedte met dezelfde rolmeter die 0,3 % te lang is, dan zijn die fouten niet onafhankelijk: ze gaan samen. Dan tellen ze lineair op (de covariantie is niet nul). Kwadratisch optellen mag alleen voor onafhankelijke bronnen.

Een spreiding op N (verticale band, overdreven: ±60 stappen) wordt via de helling een spreiding op T (horizontale band). Zelfs over ±60 stappen wijkt de kromme maar enkele honderdsten van een graad af van de raaklijn: lineariseren is hier ruim goed genoeg.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.16

Het pompdebiet opnieuw, nu met onzekerheid

16/28

In hoofdstuk 1 van I vulde het pompje zes keer een maatbeker tot de streep van 1,00 L: 41,8; 43,1; 42,4; 42,0; 43,5 en 42,6 s. De streep heeft een tolerantie van $\pm 0, 02 L$ . Toen kwam er $Q = (1, 41 \pm 0, 05) L/min$ uit. Reken het opnieuw met standaardonzekerheden, en geef ook het 95 %-interval van de gemiddelde vultijd.

Gegeven

$\overset{ˉ}{t} = 42, 567 s$ , $s = 0, 647 s$ , $n = 6$
$V = 1, 00 L \pm 0, 02 L$ (tolerantie)

Gevraagd

interval voor $\overset{ˉ}{t}$
$Q \pm U$ met $k = 2$

Oplossing

1
Type A: $u (\overset{ˉ}{t}) = s / 6 = 0, 264 s$ . 95 %-interval: $42, 57 \pm 2, 571 \cdot 0, 264 = 42, 57 \pm 0, 68 s$ .
2
Type B: $u (V) = 0, 02/ 3 = 0, 0115 L$ (uniform: zonder meer informatie is elke waarde binnen de tolerantie even waarschijnlijk).
3
$Q = 60 V / \overset{ˉ}{t} = 1, 4096 L/min$ . Een quotiënt, dus relatief kwadratisch: $(0, 62 %)^{2} + (1, 15 %)^{2} = 1, 31 %$ .
4
$u (Q) = 0, 0131 \cdot 1, 410 = 0, 0185 L/min$ ; $U = 2 u = 0, 037 L/min$ .

Antwoord

\overset{ˉ}{t} = (42, 57 \pm 0, 68) s

(95 %) en

Q = (1, 410 \pm 0, 037) L/min

(

k = 2

). Het interval is 1,4 keer smaller dan in hoofdstuk 1 van I, omdat het nu de onzekerheid van het gemiddelde is en de bronnen kwadratisch optellen.

Klopt dit? De maatbeker levert 78 % van de variantie. Meer vultijden meten helpt dus weinig; het volume wegen (1,000 kg water op een balans van 1 g: 0,1 %) wel. Zo lees je een onzekerheidsbudget: verbeter de grootste term eerst.

Code · 6.17

Monte Carlo: de onzekerheid van een NTC-temperatuur

17/28

De temperatuur uit een NTC-meting is een kromme functie van drie onzekere grootheden: de ADC-waarde $N$ (ruis 1,2 stap, uit de proef), en de geijkte $R_{25}$ en $B$ uit hoofdstuk 22 van I. Twee manieren om de onzekerheid op $T$ te vinden: de formule met partiële afgeleiden (numeriek, met centrale differenties uit hoofdstuk 1), of Monte Carlo: trek duizenden keren een waarde voor elke invoer uit haar verdeling, reken telkens $T$ uit en kijk naar de verdeling van de uitkomsten.

Pythonmontecarlo.py37 regelsDownload

# montecarlo.py - de onzekerheid op een NTC-temperatuur: lineair en met Monte Carloimport numpy as np T25, RV = 298.15, 10000.0waarden = {"N": 446.0, "R25": 10370.0, "B": 3913.0}        # een ADC-waarde, geijkte R25 (ohm) en B (K)u = {"N": 1.2, "R25": 30.0, "B": 15.0}                      # standaardonzekerheden  def temperatuur(N, R25, B):    R = RV * (1024.0 - N) / N                               # spanningsdeler omgekeerd (NTC boven)    return 1.0 / (1.0 / T25 + np.log(R / R25) / B) - 273.15  T0 = temperatuur(**waarden)print("T = %.3f °C" % T0)som = 0.0for x in waarden:                                           # gevoeligheid = partiële afgeleide (centrale differentie)    h = 1e-4 * waarden[x]    plus, min_ = dict(waarden), dict(waarden)    plus[x] += h    min_[x] -= h    c = (temperatuur(**plus) - temperatuur(**min_)) / (2 * h)    print("  %-4s gevoeligheid %+.6f   bijdrage %.3f K" % (x, c, abs(c) * u[x]))    som += (c * u[x]) ** 2print("lineair:     u(T) = %.3f K" % np.sqrt(som)) rng = np.random.default_rng(7)M = 200_000Ts = temperatuur(rng.normal(446.0, 1.2, M), rng.normal(10370.0, 30.0, M), rng.normal(3913.0, 15.0, M))lo, hi = np.percentile(Ts, [2.5, 97.5])print("Monte Carlo: u(T) = %.3f K, gemiddelde %.3f °C, 95 %% tussen %.3f en %.3f °C" % (Ts.std(ddof=1), Ts.mean(), lo, hi)) # waar lineariseren faalt: y = 1/x met x = 2,0 +- 0,6 (30 %)x = rng.normal(2.0, 0.6, M)y = 1 / xprint("1/x lineair: 0,500 +- 0,150; Monte Carlo: gemiddelde %.3f, mediaan %.3f, 95 %% tussen %.3f en %.3f"      % (y.mean(), np.median(y), *np.percentile(y, [2.5, 97.5])))

Uitvoer:

T = 20.020 °C
  N    gevoeligheid +0.087250   bijdrage 0.105 K
  R25  gevoeligheid +0.002118   bijdrage 0.064 K
  B    gevoeligheid +0.001251   bijdrage 0.019 K
lineair:     u(T) = 0.124 K
Monte Carlo: u(T) = 0.124 K, gemiddelde 20.020 °C, 95 % tussen 19.777 en 20.264 °C
1/x lineair: 0,500 +- 0,150; Monte Carlo: gemiddelde 0.561, mediaan 0.500, 95 % tussen 0.315 en 1.211

bron	soort	$u (x_{i})$	gevoeligheid $\partial T / \partial x_{i}$	bijdrage (K)
ruis op één ADC-waarde $N$	A (uit de proef)	1,2 stap	0,0873 K per stap	0,105
geijkte $R_{25}$ (de vaste weerstand zit erin)	B (uit de ijking)	30 Ω	2,118 K per kΩ	0,064
geijkte $B$	B (uit de ijking)	15 K	0,00125	0,019
samen (kwadratisch)				0,124

Formule en simulatie geven dezelfde $u (T) = 0, 124 K$ : over een bereik van enkele stappen is $T (N)$ bijna recht, dus lineariseren mag. De ruis op één meting is de grootste bron; middel je 28 metingen, dan wordt $R_{25}$ de grootste. De vaste weerstand van 10 kΩ telt hier niet apart, omdat de ijking de hele keten ijkte ( $T$ hangt alleen af van de verhouding $R_{vast} / R_{25}$ ). Wie niet ijkt en met een weerstand van 1 % rekent, krijgt daar alleen al 0,13 K bij.

De laatste regel toont waar lineariseren faalt: bij $y = 1/ x$ met 30 % onzekerheid op $x$ is de verdeling van $y$ scheef. Het gemiddelde is 0,561 in plaats van 0,500, en het 95 %-gebied loopt van 0,31 tot 1,21, niet symmetrisch rond 0,5. Vuistregel: bij relatieve onzekerheden van meer dan ongeveer 10 % op een kromme functie, of bij grenzen (een kans, een wortel), controleer je met Monte Carlo.

Het histogram van 200 000 Monte Carlo-temperaturen valt samen met de normale verdeling die de formule voorspelt.

Uitleg · 6.18

Een verschil toetsen

18/28

Twee groepen, twee gemiddelden, een verschil. Is het echt, of toeval? Een hypothesetoets keert de vraag om. Stel dat er géén verschil is: de nulhypothese $H_{0} : μ_{1} = μ_{2}$ . Hoe verrassend zijn je gegevens dan? De maat voor die verrassing is de p-waarde: de kans om, als $H_{0}$ waar is, een resultaat te vinden dat minstens zo extreem is als het jouwe. Is $p$ kleiner dan of gelijk aan een vooraf gekozen significantieniveau $α$ (meestal 0,05), dan verwerp je $H_{0}$ .

Om 'extreem' te meten, deel je het verschil door zijn standaardfout. De standaardfout van een verschil volgt uit 'varianties tellen op':

Welch-toets voor twee groepen

t = \frac{x ˉ _{1} - x ˉ _{2}}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}} ν = \frac{( \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} ) ^{2}}{\frac{( s _{1}^{2} / n _{1} ) ^{2}}{n _{1} - 1} + \frac{( s _{2}^{2} / n _{2} ) ^{2}}{n _{2} - 1}}

Onder

H_{0}

volgt

t

bij benadering een t-verdeling met

ν

vrijheidsgraden (Welch en Satterthwaite, 1946-1947).

p = P (∣ T ∣ \geq ∣ t ∣)

: beide staarten, want een verschil in beide richtingen telt (tweezijdig).

De Welch-toets veronderstelt niet dat beide groepen dezelfde spreiding hebben; de oudere toets van Student doet dat wel. Welch kost weinig als de spreidingen gelijk zijn en beschermt als ze verschillen: gebruik hem standaard. Voor gepaarde metingen (twee sensoren op dezelfde ogenblikken, een plant voor en na) toets je de verschillen $d_{i}$ zelf: $t = \overset{ˉ}{d} / (s_{d} / n)$ met $ν = n - 1$ .

	H0 is waar (geen effect)	H1 is waar (er is een effect)
H0 verworpen ( $p \leq α$ )	fout van type I: vals alarm, kans $α$	juist: effect gevonden, kans $1 - β$ (onderscheidingsvermogen)
H0 niet verworpen	juist, kans $1 - α$	fout van type II: effect gemist, kans $β$

Een toets kan zich op twee manieren vergissen. Kies je $α = 0, 05$ , dan geeft hij in 5 % van de proeven zonder effect toch 'significant'. Het onderscheidingsvermogen $1 - β$ zegt hoe vaak hij een echt effect van een bepaalde grootte vindt; dat hangt af van de grootte van het effect, $σ$ en $n$ .

De toets van de lampproef verderop: onder H0 zou een t van minstens deze grootte (in één van beide richtingen) maar in 2,7 % van de proeven voorkomen.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.19

De Welch-toets met de hand: licht en sla

19/28

Toets met de gegevens van de groeiproef (hoofdstuk 27 van F) of 100 % licht meer sla geeft dan 70 % licht. Gebruik $α = 0, 05$ , tweezijdig, en controleer met Python.

Gegeven

100 %: $\overset{x}{ˉ}_{1} = 101, 67$ , $s_{1} = 4, 041$ , $n_{1} = 3$
70 %: $\overset{x}{ˉ}_{2} = 73, 67$ , $s_{2} = 4, 509$ , $n_{2} = 3$

Gevraagd

$t$ , $ν$ , $p$ en een besluit

Oplossing

1
Proefeenheid: het bakje. Elk bakje kreeg zijn behandeling onafhankelijk (eigen druppelaar, geloot over beide rijen), dus $n = 3$ per groep is eerlijk geteld.
2
$\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} = \frac{16 , 33}{3} = 5, 444$ en $\frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} = \frac{20 , 33}{3} = 6, 778$ ; standaardfout van het verschil $12, 222 = 3, 496 g$ .
3
$t = \frac{101 , 67 - 73 , 67}{3 , 496} = 8, 01$ .
4
$ν = \frac{12 , 22 2 ^{2}}{5 , 44 4 ^{2} /2 + 6 , 77 8 ^{2} /2} = 3, 95$ : bijna $2 + 2 = 4$ , omdat de spreidingen ongeveer gelijk zijn.
5
Kritieke waarde $t_{3, 95}^{*} = 2, 79$ . $∣ t ∣ = 8, 01$ ligt ver voorbij: $p = 0, 0014$ (scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False) geeft hetzelfde).

Antwoord

t = 8, 0

ν = 4, 0

p = 0, 0014

: 100 % licht geeft significant meer sla. Het verschil is

28, 0 g

met een 95 %-interval van

28, 0 \pm 9, 8 g

Klopt dit? Zelfs met drie bakjes per groep is het resultaat overtuigend, omdat het verschil (28 g) zeven keer zo groot is als de spreiding (4 g). Een klein effect in veel ruis vraagt veel meer herhalingen: dat is het probleem van de lampproef.

Verhaal · 6.20

De dame die thee proefde

20/28

Op het landbouwproefstation van Rothamsted, ten noorden van Londen, bood de statisticus Ronald Fisher in de jaren 1920 een collega een kop thee aan. De algenonderzoekster Muriel Bristol weigerde: hij had de melk na de thee in de kop gegoten, en ze proefde het verschil. Fisher maakte er later het openingsvoorbeeld van zijn boek The Design of Experiments (1935) van, want de vraag is precies die van dit hoofdstuk: hoe toon je aan dat iemand iets kan, en niet gewoon geluk heeft?

Zijn ontwerp: acht koppen, vier met eerst melk en vier met eerst thee, in een gelote volgorde. De proefster weet dat het vier en vier is en moet de vier 'melk eerst' aanwijzen. Stel dat ze niets proeft ( $H_{0}$ ): dan is elke keuze van vier uit acht even waarschijnlijk. Er zijn $(4 8) = 70$ zulke keuzes, en maar één ervan is helemaal juist. De figuur telt ze per aantal juiste:

P (4 juist ∣ H_{0}) = \frac{1}{70} = 0, 0143, P (minstens 3 ∣ H_{0}) = \frac{1 + 16}{70} = 0, 243.

Alle vier juist is dus overtuigend ( $p = 0, 014$ ), drie juist niet: dat haalt een gokker in bijna een kwart van de gevallen. Dat is een p-waarde in haar zuiverste vorm: tel alle uitkomsten die onder $H_{0}$ mogelijk waren, en kijk welk deel minstens zo extreem is als wat je zag. Het loten maakt die rekensom geldig: zonder loting kan de proefster bijvoorbeeld aan de kleur of de temperatuur raden.

Hoe het afliep, staat niet in Fisher's boek. Volgens een collega die erbij was, wees ze alle koppen juist aan. Fisher populariseerde ook de grens van 5 %, in zijn Statistical Methods for Research Workers (1925), als een handige vuistregel om te zien of een resultaat verder onderzoek waard is: geen heilige grens tussen waar en onwaar.

Onder H0 is elke keuze even waarschijnlijk. Alleen alle vier juist (1 van de 70) is zeldzaam genoeg om overtuigend te zijn.

Uitleg · 6.21

Wat een p-waarde niet zegt

21/28

De p-waarde is de meest gebruikte en meest verkeerd begrepen maat uit de wetenschap. In 2016 gaf de Amerikaanse statistiekvereniging (ASA) er een verklaring over uit. Vijf dingen die ze niet zegt:

Niet de kans dat $H_{0}$ waar is. $p$ is de kans op zulke gegevens als $H_{0}$ waar is. Of $H_{0}$ waar is, hangt ook af van hoe aannemelijk ze vooraf was: een 'significant' resultaat voor iets onwaarschijnlijks (een lamp die sla telepathisch laat groeien) is meestal toeval.
Niet hoe groot of belangrijk het effect is. Met genoeg metingen is 0,1 g extra sla 'significant'. Geef altijd het verschil met zijn interval, en een effectgrootte zoals Cohens $d = (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) / s$ (0,2 klein, 0,5 middel, 0,8 groot, als ruwe richtwaarden).
$p > 0, 05$ betekent niet 'geen effect'. Afwezigheid van bewijs is geen bewijs van afwezigheid: een te kleine proef ziet een echt effect vaak niet.
0,049 en 0,051 verschillen niet wezenlijk. De grens van 0,05 is een afspraak.
Niet de kans dat je resultaat 'door toeval' komt. Dat is dezelfde vergissing als de eerste.

De figuur toont waarom. Als $H_{0}$ waar is, is $p$ uniform verdeeld: elke waarde tussen 0 en 1 even waarschijnlijk, dus $p < 0, 05$ in 5 % van de proeven (de simulatie: 4,2 %; Welch is bij kleine groepen iets voorzichtig). Is er een echt effect, dan stapelen de p-waarden zich op bij 0, maar met zes vakjes per groep en een effect van 15 g haalt maar 55 % van de proeven de grens. En de proeven die de grens wél halen, overschatten het effect: gemiddeld 18,9 g in plaats van 15 g. Wie alleen significante resultaten publiceert, publiceert te grote effecten.

Meervoudig toetsen. Meet je 20 uitkomsten (versgewicht, drooggewicht, bladaantal, kleur, ...) bij een lamp die niets doet, dan is de kans op minstens één $p < 0, 05$ gelijk aan $1 - 0, 9 5^{20} = 64 %$ . Corrigeer (Bonferroni: toets elke uitkomst tegen $α / m = 0, 0025$ ), of leg vooraf één hoofduitkomst vast. Optional stopping is dezelfde val in de tijd: toets je na elke drie planten en stop je zodra $p < 0, 05$ , dan vind je bij een lamp die niets doet in 19 % van de proeven een 'effect' (opdracht 6.14). Al die keuzes achteraf heten samen p-hacking. Het medicijn is voorregistratie: vraag, uitkomst, $n$ en analyse vastleggen vóór je de gegevens ziet.

De replicatiecrisis

In 2015 herhaalde de Open Science Collaboration 100 psychologische studies. Van de originelen was 97 % significant, van de herhalingen 36 %, en de effecten waren gemiddeld half zo groot. In 2012 meldden onderzoekers van het biotechbedrijf Amgen dat ze maar 6 van 53 baanbrekende kankerstudies konden bevestigen. Oorzaken: kleine proeven, p-hacking, publiceren wat significant is. Sindsdien winnen voorregistratie, open data en herhalingsstudies terrein; in 2019 riepen meer dan 800 wetenschappers in Nature op om het woord 'significant' als ja-neegrens te laten vallen.

Boven: zonder effect is elke p-waarde even waarschijnlijk (5 % valt links van 0,05, de stippellijn). Onder: met een echt effect stapelen de p-waarden zich op bij 0, maar lang niet allemaal.

Uitleg · 6.22

Hoeveel herhalingen? Waar de 16 vandaan komt

22/28

Een proef ontwerp je zo dat ze een effect van de grootte die er voor jou toe doet, $δ$ , met grote kans vindt, meestal 80 %. De standaardfout van een verschil tussen twee groepen van $n$ is $σ 2/ n$ . De toets verwerpt $H_{0}$ als het gemeten verschil groter is dan $z_{0, 975} σ 2/ n$ . Is het echte verschil $δ$ , dan wil je dat het gemeten verschil in 80 % van de proeven boven die grens valt: $δ$ moet $z_{0, 80}$ standaardfouten boven de grens liggen.

steekproefgrootte per groep (α = 0,05, 80 %)

δ = (z_{0, 975} + z_{0, 80}) σ \frac{2}{n} \Rightarrow n = 2 (1, 960 + 0, 842)^{2} (\frac{σ}{δ})^{2} = 15, 7 (\frac{σ}{δ})^{2}

De vuistregel

n \approx 16 (s / δ)^{2}

uit hoofdstuk 2 van I. Voor 90 % vermogen wordt de factor 21. Bij kleine

n

geeft de t-verdeling nog een of twee extra.

De figuur geeft het onderscheidingsvermogen exact, met de t-verdeling. Een effect van een halve standaardafwijking vraagt meer dan 60 per groep; een effect van één $σ$ ongeveer 17. Voor de lampproef (verderop: $σ \approx 11 g$ tussen vakjes, $δ = 20 g$ ) geeft de formule $4, 75$ , dus 5; de t-verdeling geeft met 5 vakjes maar 71 % en met 6 81 %.

Te klein is niet 'voorzichtig'

Een proef met te weinig herhalingen is geen goedkope versie van een goede proef. Ze vindt echte effecten zelden, en als ze er een vindt, is dat vaak een overschatting (de vorige bladzijde). Reken $n$ uit vóór je begint, en zeg eerlijk welk effect je proef wel en niet kan zien.

Kans om een echt effect te vinden, per groepsgrootte. Hoe kleiner het effect tegenover de spreiding, hoe meer herhalingen: de benodigde n schaalt met (σ/δ)².

Uitgewerkt voorbeeld · 6.23

Habitat: de lampproef ontwerpen

23/28

Een leverancier biedt een groeilamp aan met extra verrood licht (rond 730 nm), en belooft bij hetzelfde PAR-licht 15 % meer versgewicht bij sla. De twee grote lampen boven het kweekbed (hoofdstuk 20 en 25 van I) verlichten samen het hele bed: daarmee kan je twee lamptypes niet eerlijk vergelijken. Het team heeft een proefrek met drie planken van vier vakjes, elk met een eigen klein ledpaneel, af te stellen met de PAR-meter. De leverancier levert beide spectra als klein paneel. Ontwerp de proef.

Het resultaat van de loting (numpy, seed 10): op elke plank twee vakjes met de nieuwe lamp, zodat een warmere of koelere plank beide lampen evenveel treft.

Gegeven

sla: ongeveer 200 g per krop na 35 dagen (hoofdstuk 14 van I); 6 planten per vakje
vooronderzoek (vorige teelten in het rek): vakjesgemiddelden spreiden $s \approx 11 g$
relevant is een winst van 10 % (20 g): kleiner is de omschakeling niet waard

Gevraagd

proefeenheid en aantal
loting en blind meten
wat je vooraf vastlegt

Oplossing

1
Proefeenheid. Het vakje, niet de plant: de zes planten in een vakje delen hetzelfde paneel en dezelfde plek. Een paneel dat iets feller brandt of een vakje dat warmer is, geeft alle zes hetzelfde voordeel. Planten tellen als herhalingen zou pseudoreplicatie zijn (Hurlbert, 1984; hoofdstuk 2 van I).
2
Aantal. $n = 15, 7 (11/20)^{2} = 4, 75$ volgens de formule; met de t-verdeling geeft $n = 5$ een vermogen van $71 %$ , $n = 6$ van $81 %$ . Dus 6 vakjes per lamptype: precies het rek.
3
Loting in blokken. De bovenste plank is warmer dan de onderste. Loot daarom per plank welke twee van de vier vakjes de nieuwe lamp krijgen: elke plank heeft er dan twee van elk. Ook welke zaailing in welk vakje komt, beslist het lot (alle planten uit één zaaiing).
4
Eerlijk licht. Elk paneel afstellen op 200 µmol/(m²·s) PAR op planthoogte, gemeten met dezelfde PAR-meter; de temperatuur per plank loggen. Het verrood valt buiten PAR (400-700 nm): dat is precies het verschil dat je test.
5
Blind wegen. Bij de oogst krijgt elke plant een code; wie weegt, kent de sleutel niet. De sleutel ligt bij iemand anders tot alle gewichten in het bestand staan.
6
Voorregistratie. Vóór het zaaien leggen we alles vast (tabel hieronder), ook de beslisregel.

Antwoord

12 vakjes, 6 per lamptype, geloot per plank, 72 planten blind gewogen; analyse op vakjesgemiddelden. Vooraf vastgelegd:

vooraf vastgelegd (15 maart, vóór het zaaien)	keuze
onderzoeksvraag	geeft het nieuwe lamptype bij hetzelfde PAR-licht meer versgewicht dan het oude?
proefeenheid en $n$	het vakje met zijn eigen paneel; 6 vakjes per lamptype, 6 planten per vakje
loting	per plank 2 van de 4 vakjes nieuw (numpy, seed 10); planten per vakje geloot uit één zaaiing
hoofduitkomst	gemiddeld versgewicht per vakje na 35 dagen, blind gewogen op code
analyse	Welch-toets op 6 + 6 vakjesgemiddelden, tweezijdig, $α = 0, 05$ , 95 %-interval voor het verschil
beslisregel	vervangen als het interval boven 0 ligt én het geschatte verschil minstens 20 g (10 %) is
bijkomend (verkennend)	drooggewicht, aantal bladeren, temperatuur per plank; niet om de beslissing te nemen

Klopt dit? Stel de vraag uit hoofdstuk 2 van I: 'als ik een verschil vind, kan ik dan nog een andere oorzaak bedenken?' Plaats (geloot en in blokken), paneelsterkte (afgesteld en gemeten), verwachtingen van wie weegt (blind), een gekozen analyse achteraf (vastgelegd). Wat overblijft, is de lamp of het toeval, en het toeval kan je uitrekenen.

Code · 6.24

Habitat: de lampproef analyseren

24/28

Na 35 dagen zijn de 72 planten blind gewogen. Het bestand lampproef.csv (na het openen van de sleutel) begint zo:

vakje,plank,lamp,plant,versgewicht_g
1,1,oud,1,222
1,1,oud,2,222
1,1,oud,3,215
1,1,oud,4,196
...

Het programma middelt eerst per vakje (de proefeenheid), voert de Welch-toets uit met eigen code en controleert met scipy. Daarna doet het, ter vergelijking, wat je niet mag doen: alle planten als onafhankelijke herhalingen tellen. Dit is een voorbeelddataset, gesimuleerd met realistische spreidingen (plant ±20 g, vakje ±8 g, planken ±4 g).

Pythonlampproef.py44 regelsDownload

# lampproef.py - is de nieuwe lamp echt beter? Analyse op het niveau van de proefeenheid (het vakje)import csvimport mathfrom collections import defaultdictfrom scipy import stats planten = defaultdict(list)                          # (vakje, lamp) -> versgewichten van de zes plantenwith open("lampproef.csv", newline="") as f:    for rij in csv.DictReader(f):        planten[(int(rij["vakje"]), rij["lamp"])].append(float(rij["versgewicht_g"]))  def gem(x):    return sum(x) / len(x)  def var(x):                                          # steekproefvariantie (delen door n - 1)    m = gem(x)    return sum((v - m) ** 2 for v in x) / (len(x) - 1)  def welch(a, b):    va, vb = var(a) / len(a), var(b) / len(b)    se = math.sqrt(va + vb)    t = (gem(a) - gem(b)) / se    nu = (va + vb) ** 2 / (va ** 2 / (len(a) - 1) + vb ** 2 / (len(b) - 1))    return gem(a) - gem(b), se, t, nu, 2 * stats.t.sf(abs(t), nu)  vak = {lamp: [gem(g) for (v, l), g in sorted(planten.items()) if l == lamp] for lamp in ("oud", "nieuw")}for lamp in ("oud", "nieuw"):    print("%-5s vakjes: %s  gem %.1f g, s %.1f g" % (lamp, " ".join("%.1f" % x for x in vak[lamp]),                                                 gem(vak[lamp]), math.sqrt(var(vak[lamp])))) d, se, t, nu, p = welch(vak["nieuw"], vak["oud"])tk = stats.t.ppf(0.975, nu)print("vakjes (n = 6 + 6): verschil %.1f g, se %.2f g, t = %.2f, nu = %.1f, p = %.3f" % (d, se, t, nu, p))print("   95 %%-interval: %.1f tot %.1f g   (scipy: p = %.3f)"      % (d - tk * se, d + tk * se, stats.ttest_ind(vak["nieuw"], vak["oud"], equal_var=False).pvalue)) # zo NIET: elke plant als onafhankelijke herhaling tellen (pseudoreplicatie)alle = {lamp: [x for (v, l), g in planten.items() if l == lamp for x in g] for lamp in ("oud", "nieuw")}d2, se2, t2, nu2, p2 = welch(alle["nieuw"], alle["oud"])print("planten (n = 36 + 36): verschil %.1f g, se %.2f g, t = %.2f, p = %.4f  <- te zelfzeker" % (d2, se2, t2, p2))

Uitvoer:

oud   vakjes: 205.7 188.3 199.3 185.5 175.5 190.3  gem 190.8 g, s 10.6 g
nieuw vakjes: 205.3 215.0 218.5 199.0 202.8 194.0  gem 205.8 g, s 9.4 g
vakjes (n = 6 + 6): verschil 15.0 g, se 5.78 g, t = 2.59, nu = 9.9, p = 0.027
   95 %-interval: 2.1 tot 27.9 g   (scipy: p = 0.027)
planten (n = 36 + 36): verschil 15.0 g, se 4.29 g, t = 3.50, p = 0.0008  <- te zelfzeker

Op het niveau van de vakjes: een verschil van 15,0 g, $p = 0, 027$ en een 95 %-interval van 2,1 tot 27,9 g. Met de planten als herhaling lijkt het resultaat veel sterker ( $p = 0, 0008$ ), maar dat is schijn: de standaardfout is te klein omdat de verschillen tussen vakjes (paneel, plek) niet meetellen, en het aantal vrijheidsgraden is opgeblazen van ongeveer 10 naar ongeveer 68. Het geschatte verschil is in beide gevallen hetzelfde; alleen de zekerheid verschilt.

Ook te downloadenlampproef.csvde 72 gewichten van de lampproef (voorbeelddataset) · 73 regels

Ontleed · 6.25

De lampproef in één figuur

25/28

Alle 72 planten (kleine punten), de 12 vakjesgemiddelden (groot) en de twee groepsgemiddelden (lijnen). Links de zes vakjes met de oude lamp, rechts de zes met de nieuwe, telkens gesorteerd per plank.

De spreiding tussen planten is groot (tientallen grammen); de toets kijkt naar de vakjesgemiddelden, die veel minder spreiden.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Eén plant zegt weinig
De lichtste plant weegt 146 g, de zwaarste 241 g. Planten in hetzelfde vakje verschillen tot 64 g: de natuurlijke spreiding (s ≈ 18 g per plant).
2
Het vakje is de proefeenheid
Elk groot punt is het gemiddelde van zes planten onder één paneel. Vakjesgemiddelden spreiden ongeveer 10 g: dat getal hoort in de toets.
3
Oude lamp
Gemiddelde van de zes vakjes: 190,8 g (s = 10,6 g).
4
Nieuwe lamp
Gemiddelde van de zes vakjes: 205,8 g (s = 9,4 g).
5
Het verschil
15,0 g, of 7,9 %, met een 95 %-interval van 2,1 tot 27,9 g. De belofte van de leverancier (15 %, 30 g) valt erbuiten.
6
Planken verschillen
De vakjes van de onderste plank liggen bij beide lampen wat lager (gemiddeld 191 g tegenover 204 g boven). Door de loting per plank treft dat beide lampen evenveel.

Uitgewerkt voorbeeld · 6.26

Habitat: is de nieuwe lamp echt beter?

26/28

Neem het besluit met de vooraf vastgelegde regel: vervangen als het 95 %-interval van het verschil boven 0 ligt én het geschatte verschil minstens 20 g is. Weeg ook de energie mee: bij hetzelfde PAR-licht verbruikt de nieuwe lamp 5 % meer stroom (de verrode leds). Wat besluit het team, en wat doet het daarna?

Gegeven

verschil 15,0 g, 95 %-interval [2,1; 27,9] g, $p = 0, 027$
lampen: 3,04 kWh per dag (93 % van 3,27 kWh, hoofdstuk 20 van I); 48 kroppen per 35 dagen

Gevraagd

statistisch en praktisch besluit
de volgende stap

Oplossing

1
Is er een effect? Het interval ligt helemaal boven 0 ( $p = 0, 027 < 0, 05$ ): waarschijnlijk geeft de nieuwe lamp iets meer sla.
2
Hoe groot? Geschat 15,0 g, of 7,9 %, onder de drempel van 20 g. Het interval loopt van 1,1 tot 14,6 %: een winst van 10 % is niet uitgesloten, maar ook niet aangetoond.
3
De belofte. 15 % (30 g) ligt buiten het interval: de gegevens passen slecht bij de claim van de leverancier.
4
Energie. 5 % van 3,04 kWh is 0,15 kWh per dag, 55 kWh per jaar (€ 17 aan € 0,30). In de winter, als de batterij al tekortschiet (hoofdstuk 20 van I), kost dat lichturen. Opbrengst: 7,9 % van 500 kroppen van 200 g is ongeveer 8 kg sla per jaar.
5
Regel toepassen. De eerste voorwaarde is voldaan, de tweede niet: niet vervangen. Effectgrootte per plant: Cohens $d = 0, 82$ , volgens de ruwe richtwaarden 'groot', omdat planten in een geregelde kweek weinig spreiden: een willekeurige plant onder de nieuwe lamp is in 72 % van de gevallen zwaarder dan een willekeurige onder de oude (zonder effect: 50 %). In gram en procent blijft de winst bescheiden; voor een besluit tellen de eenheden die ertoe doen.

Antwoord

De nieuwe lamp is waarschijnlijk iets beter (ongeveer 8 %), maar niet de beloofde 15 % en niet aantoonbaar de 10 % die de omschakeling waard is. Besluit: de huidige lampen blijven. Een tweede teelt met hetzelfde ontwerp maakt het interval smaller (opdracht 6.12); als de oude lampen aan vervanging toe zijn, weegt dit resultaat mee in de keuze.

Klopt dit? Wie de planten als herhalingen telt, vindt

p = 0, 0008

en voelt zich zeker, maar het geschatte verschil en dus het besluit volgens de regel blijven hetzelfde: 15,0 g is minder dan 20 g. Een kleine p-waarde maakt een klein effect niet groter. En het omgekeerde: met

p = 0, 2

had je niet mogen besluiten dat de lamp niets doet, alleen dat de proef het niet kon zien.

Naslag · 6.27

Statistiek en meetonzekerheid: formules en tabellen

27/28

Werkwijze bij een meting: bronnen oplijsten, $u$ per bron (type A of B), gevoeligheden, kwadratisch optellen, $U = 2 u$ . Bij een vergelijking: proefeenheid, $n$ , loting, blind, vooraf vastgelegde analyse; rapporteer het verschil met zijn interval.

verwachting en variantie

μ = \int x f (x) d x σ^{2} = \int (x - μ)^{2} f (x) d x

symbool	betekenis	eenheid
$f (x)$	kansdichtheid	per eenheid van x

gemiddelde, standaardafwijking, standaardfout

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i} s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1} \frac{s}{n}

normale verdeling

z = \frac{x - μ}{σ} Φ (z) = \frac{1}{2} (1 + erf \frac{z}{2})

varianties tellen op

Var (X \pm Y) = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} (onafhankelijk)

betrouwbaarheidsinterval

\overset{x}{ˉ} \pm t_{n - 1}^{*} \frac{s}{n}

symbool	betekenis	eenheid
$t^{*}$	kritieke t-waarde	–

foutenpropagatie en uitgebreide onzekerheid

u (y)^{2} = i \sum (\frac{\partial f}{\partial x _{i}})^{2} u (x_{i})^{2} U = k u

symbool	betekenis	eenheid
$u$	standaardonzekerheid	eenheid van de grootheid
$k$	dekkingsfactor, meestal 2	–

type B

u = \frac{a}{3} (tolerantie \pm a) u = \frac{q}{12} (resolutie q)

Welch-toets en gepaarde toets

t = \frac{x ˉ _{1} - x ˉ _{2}}{s _{1}^{2} / n _{1} + s _{2}^{2} / n _{2}} t = \frac{d ˉ}{s _{d} / n}

effectgrootte en steekproefgrootte (80 %, α = 0,05)

d = \frac{x ˉ _{1} - x ˉ _{2}}{s} n \approx 15, 7 (\frac{σ}{δ})^{2}

$ν$	90 % ( $t_{0, 95}$ )	95 % ( $t_{0, 975}$ )	99 % ( $t_{0, 995}$ )
1	6,314	12,706	63,657
2	2,920	4,303	9,925
3	2,353	3,182	5,841
4	2,132	2,776	4,604
5	2,015	2,571	4,032
6	1,943	2,447	3,707
8	1,860	2,306	3,355
10	1,812	2,228	3,169
15	1,753	2,131	2,947
20	1,725	2,086	2,845
30	1,697	2,042	2,750
60	1,671	2,000	2,660
∞ (normaal, $z$ )	1,645	1,960	2,576

situatie	gebruik
één reeks, $σ$ onbekend	$\overset{x}{ˉ} \pm t_{n - 1}^{*} s / n$
twee onafhankelijke groepen	Welch-toets, interval van het verschil
paren (zelfde plant, zelfde moment)	gepaarde t-toets op de verschillen
formule van onzekere grootheden	foutenpropagatie; bij grote of scheve onzekerheden Monte Carlo
veel uitkomsten	één hoofduitkomst vooraf, of Bonferroni ( $α / m$ )

Het geheel · 6.28

Waar statistiek vandaan komt en waar ze heen gaat

28/28

Statistiek is de wiskunde (W) van het onderzoeken en meten (O) en de basis van data en AI (A). Ze gebruikt de afgeleide (lineariseren, partiële afgeleiden) en de integraal (kans als oppervlakte), en ze keert terug in elk hoofdstuk waar gemeten, gefilterd, geschat of geleerd wordt. Het ontwerp van een eerlijke proef komt uit de biologie en de landbouw (Rothamsted, Guinness), maar geldt even goed voor een sensor of een algoritme.

F27 Planten: fotosynthese en groei

De groeiproef met schaduwdoek: hier getoetst en met intervallen omringd.

I1 Meetfouten en nauwkeurigheid

Gemiddelde, s, fouten optellen: hier de standaardfout en kwadratisch optellen.

I2 Experimenten ontwerpen en rapporteren

Controlegroep, loting, blind, pseudoreplicatie en de vuistregel met 16, hier afgeleid.

I22 De spanningsdeler en sensoren

De NTC-deler en haar ijking: de bron van het onzekerheidsbudget.

E1 Afgeleiden: verandering meten

Lineariseren is foutenpropagatie; ruis op een differentie is σ/(√2 h).

E2 Optimaliseren

Partiële afgeleiden als gevoeligheden.

E3 Integralen: ophopen

Een kans is een oppervlakte onder een kansdichtheid.

E21 Filters en signaalverwerking

Middelen als filter; periodieke storing en onafhankelijke ruis.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Bisectie, numeriek integreren en simuleren, verder uitgewerkt.

E40 Sensorfusie en schatten

Het Kalman-filter weegt metingen met hun onzekerheid: een gewogen gemiddelde (opdracht 6.16).

E41 Van data naar model: regressie

Intervallen op de helling van een rechte, residuen, overfitting.

E42 Classificatie en clustering

Vals alarm en gemist effect heten daar vals positief en vals negatief: precisie en recall.

E46 Betrouwbaarheid en risico

Kansen op falen, zeldzaam maal vaak.

HabitatHet brein van het station rekent met onzekerheden: elke meting krijgt een waarde en een

U

(

k = 2

), alarmen beslissen op een minuutgemiddelde (CO₂) in plaats van op losse metingen, de NTC van het reservoir middelt 28 metingen per ronde, en een nieuwe teeltbehandeling wordt getest in het proefrek met loting per plank, blind wegen en een vooraf vastgelegde analyse. De eerste lampproef gaf 15,0 g winst (95 %-interval 2,1 tot 27,9 g): de lampen blijven. Opdracht 6.12 voegt de tweede teelt toe.

Samenvatting

In het kort

Een kansverdeling beschrijft het toeval; bij een continue grootheid is een kans een oppervlakte $\int_{a}^{b} f d x$ , met verwachting $μ$ en variantie $σ^{2}$ .
De normale verdeling: 68,3 % binnen $\pm σ$ , 95 % binnen $\pm 1, 96 σ$ , 99,7 % binnen $\pm 3 σ$ . Een zeldzame gebeurtenis maal veel metingen is een geregelde gebeurtenis.
Onafhankelijke varianties tellen op; daardoor heeft een gemiddelde de standaardfout $σ / n$ en wordt het normaal verdeeld (centrale limietstelling). Middelen verkleint geen systematische fout en weinig bij afhankelijke ruis.
Betrouwbaarheidsinterval: $\overset{x}{ˉ} \pm t_{n - 1}^{*} s / n$ ; de 95 % gaat over de methode. Met weinig metingen is $t^{*}$ veel groter dan 1,96.
Foutenpropagatie: $u (y)^{2} = \sum (\partial f / \partial x_{i})^{2} u (x_{i})^{2}$ ; relatief bij producten; type A en B; $U = 2 u$ ; controleer kromme of grote gevallen met Monte Carlo.
Een toets berekent hoe verrassend de gegevens zijn als er geen effect is ( $p$ ); Welch voor twee groepen, gepaard voor paren. Een p-waarde is niet de kans dat $H_{0}$ waar is en zegt niets over de grootte van het effect.
Goede proeven: de juiste proefeenheid (geen pseudoreplicatie), $n \approx 16 (σ / δ)^{2}$ , loting (in blokken), blind meten, voorregistratie; rapporteer het verschil met zijn interval en beslis op relevantie.

Begrippen

Wat je nu kent

kansdichtheid: Functie $f (x) \geq 0$ met totale oppervlakte 1; de kans dat de grootheid tussen $a$ en $b$ ligt, is $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .
verwachting: Het gemiddelde van een kansverdeling: $μ = \int x f (x) d x$ (continu) of $\sum x_{k} p_{k}$ (discreet).
variantie: De verwachte gekwadrateerde afwijking $σ^{2} = \int (x - μ)^{2} f (x) d x$ ; de standaardafwijking $σ$ is haar wortel.
normale verdeling: De klokvormige verdeling $\frac{1}{σ 2 π} e^{- (x - μ)^{2} / (2 σ^{2})}$ ; 68,3 % binnen $\pm σ$ , 95,4 % binnen $\pm 2 σ$ , 99,7 % binnen $\pm 3 σ$ .
standaardfout: De standaardafwijking van een gemiddelde: $σ / n$ , geschat met $s / n$ .
centrale limietstelling: Het gemiddelde van veel onafhankelijke metingen is bij benadering normaal verdeeld, ook als de metingen zelf dat niet zijn.
betrouwbaarheidsinterval: Interval rond een schatting dat met een vooraf gekozen methode in bv. 95 % van de herhaalde proeven de echte waarde bevat: $\overset{x}{ˉ} \pm t^{*} s / n$ .
t-verdeling: De verdeling van (x̄ − μ)/(s/√n) bij normale metingen; bredere staarten dan de normale verdeling, vooral bij weinig vrijheidsgraden.
standaardonzekerheid: De onzekerheid op een grootheid uitgedrukt als een standaardafwijking (u); type A uit een reeks metingen, type B uit andere informatie (tolerantie, resolutie, ijkcertificaat).
uitgebreide onzekerheid: $U = k u$ , met meestal $k = 2$ : een interval dat ongeveer 95 % dekt.
p-waarde: De kans om, als de nulhypothese waar is, een resultaat te vinden dat minstens zo extreem is als het gemeten resultaat.
onderscheidingsvermogen: De kans dat een toets een echt effect van een gegeven grootte ook vindt (1 − β).
pseudoreplicatie: Metingen tellen als onafhankelijke herhalingen terwijl ze dezelfde behandeling niet onafhankelijk kregen (bv. alle planten onder één lamp).
voorregistratie: Vraag, uitkomstmaat, steekproefgrootte en analyse vastleggen vóór de gegevens bestaan.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen