EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Handboek · hoofdstuk 1Afgeleiden: verandering meten

Van de helling tussen twee meetpunten naar de snelheid van verandering op één ogenblik

Een ingenieur wil niet alleen weten hoe warm de kas is, maar hoe snel ze opwarmt; niet alleen hoeveel energie de batterij bevat, maar hoeveel watt eruit stroomt. Dat is de afgeleide: de verandering per eenheid, op één ogenblik. Je bouwt ze op uit een helling tussen twee punten, leidt de rekenregels af in plaats van ze te geloven, en leert ze numeriek berekenen uit een meetreeks met ruis. Aan het eind haalt het brein van het station de opwarmsnelheid van de meetkas uit echte data en voorspelt het wanneer het dakraam open moet.

11× uitleg8× uitgewerkt voorbeeld1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code17 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies

Om acht uur is de meetkas nog koud; twee uur later warmt ze vijf graden per uur op.

Na dit hoofdstuk

Je kan een gemiddelde veranderingssnelheid berekenen als differentiequotiënt, met de juiste eenheid, en ze aflezen als helling van een koorde.
Je kan de afgeleide definiëren als limiet van een differentiequotiënt, ze interpreteren als helling van de raaklijn en een raaklijn opstellen.
Je kan de machtsregel en de productregel uit de definitie afleiden en de rekenregels (som, veelvoud, product, quotiënt, ketting) toepassen op veeltermen, machten, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies.
Je kan snelheid, versnelling en schok als eerste, tweede en derde afgeleide van de plaats berekenen en een grafiek van een functie en haar afgeleide aan elkaar koppelen.
Je kan een functie in een punt lineariseren en daarmee de gevoeligheid van een sensor of een schakeling schatten.
Je kan een afgeleide numeriek benaderen met een voorwaartse, achterwaartse en centrale differentie, de orde van de fout verklaren en de invloed van afronding en ruis op de keuze van de stap inschatten.
Je kan in de techniek de afgeleide herkennen en gebruiken: vermogen, stroom, stroom in een condensator, warmtestroom.
Je kan uit een meetreeks van de meetkas de opwarmsnelheid bepalen en er een onderbouwde voorspelling mee maken.

Verhaal · 1.1

Twee uitvinders en een bittere ruzie

1/25

In 1665 sloot de universiteit van Cambridge haar deuren voor de pest. De 22-jarige student Isaac Newton trok zich terug op de boerderij van zijn familie in Woolsthorpe en werkte er ongeveer anderhalf jaar aan wat hij de methode van de fluxies noemde: rekenen met grootheden die veranderen (fluenten) en met hun veranderingssnelheid (fluxies). Hij vond er raaklijnen, snelheden en oppervlakten mee. Publiceren deed hij het niet: zijn manuscript De analysi uit 1669 ging van hand tot hand en werd pas in 1711 gedrukt.

In 1675-1676 bouwde de Duitse filosoof, wiskundige en diplomaat Gottfried Wilhelm Leibniz in Parijs onafhankelijk hetzelfde gereedschap, met een notatie die we nog altijd gebruiken: $d x$ voor een heel kleine toename, $\frac{d y}{d x}$ voor de verhouding van twee zulke toenamen en een uitgerekte S, $\int$ , voor een som (summa). Dat integraalteken staat al in een manuscript van 29 oktober 1675. Leibniz publiceerde als eerste, in 1684 in het tijdschrift Acta Eruditorum.

Wat volgde, was een van de bitterste prioriteitsruzies uit de wetenschap. Newtons aanhangers beschuldigden Leibniz van plagiaat; toen Leibniz de Royal Society om een oordeel vroeg, stelde die een commissie aan. Het verslag van 1712 gaf Newton volledig gelijk, maar Newton was toen voorzitter van de Royal Society en had het verslag grotendeels zelf geschreven. Historici zijn het er vandaag over eens dat beiden de differentiaal- en integraalrekening onafhankelijk uitvonden: Newton eerst, Leibniz als eerste in druk.

De ruzie had een lang staartje. Britse wiskundigen bleven trouw aan Newtons puntnotatie ( $\overset{x}{˙}$ ), het vasteland rekende met de soepelere notatie van Leibniz. Pas in 1812 richtten drie studenten in Cambridge, onder wie Charles Babbage, de Analytical Society op om de d-notatie ook daar in te voeren. In dit hoofdstuk gebruik je beide: $\frac{d T}{d t}$ van Leibniz, en voor een afgeleide naar de tijd soms de punt van Newton, $\dot{T}$ .

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het brein van het station meet niet alleen hoe warm het is, maar ook hoe snel het warmer wordt. Een regelaar die die snelheid kent, grijpt in voor een grens bereikt is (de D-actie van hoofdstuk 39); vermogen is de afgeleide van energie, stroom die van lading. Bijna elk model in Expert, van de differentiaalvergelijkingen in hoofdstuk 4 tot de neurale netwerken in hoofdstuk 43, rust op dit hoofdstuk.

Newton en Leibniz werkten met ganzenveer en inkt; hun rekenregels gebruik je vandaag in elke simulatie.

Uitleg · 1.2

Wat je al weet: de helling van een koorde

2/25

wat je al kan (Intermediate)	wat nu komt
de richtingscoëfficiënt van een rechte, met eenheid (hoofdstuk 3 en 4)	de helling van een kromme in één punt: de afgeleide
snelheid als helling van de (x,t)-grafiek, een raaklijn op het oog (hoofdstuk 7)	de raaklijn berekenen; $v (t)$ en $a (t)$ als afgeleiden
exponentiële modellen, $τ = R C$ (hoofdstuk 5 en 24)	de afgeleide van $e^{x}$ ; de stroom $i = C d u / d t$ uit $u (t)$
Python: lijsten, CSV-bestanden, grafieken (hoofdstuk 27 en 28)	afgeleiden uit een meetreeks, met hun fout

Op de zonnige aprildag uit hoofdstuk 4 van Fundamental steeg de temperatuur in de meetkas van 8,2 °C om 7 uur naar 25,0 °C om 11 uur. Gemiddeld steeg ze dus met

\frac{Δ T}{Δ t} = \frac{25 , 0 ^{\circ} C - 8 , 2 ^{\circ} C}{11 h - 7 h} = 4, 2^{\circ} C/h .

gemiddelde veranderingssnelheid op [a, b]

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Het differentiequotiënt: in de grafiek de helling van de koorde tussen

(a, f (a))

(b, f (b))

. Eenheid: de eenheid van

y

per eenheid van

x

Zo meet je elke verandering in Habitat: het reservoir van de meetkas zakt 1,8 L per dag (L/dag), de batterij van de module verliest op een donkere winteravond 6,5 procentpunt per uur (%/h, of met 3,07 kWh capaciteit ongeveer 200 W), de weerstand van een NTC daalt tussen 20 en 30 °C met gemiddeld −0,450 kΩ per kelvin.

Maar een gemiddelde verbergt veel. Tussen 7 en 8 uur steeg de kas maar 2,8 °C, tussen 9 en 10 uur 5,0 °C. Hoe korter het interval, hoe meer detail je ziet, tot je bij één ogenblik uitkomt. Dat is de vraag van dit hoofdstuk: hoe snel verandert iets nu?

Temperatuur gedeeld door tijd

25,0 °C om 11 uur is geen '2,3 °C per uur'. Een veranderingssnelheid is altijd een verhouding van twee verschillen: $Δ T /Δ t$ , nooit $T / t$ . Een kas van 25 °C kan even goed afkoelen als opwarmen.

De koorde van 7 tot 11 uur stijgt 4,2 °C per uur: een gemiddelde over vier uur, niet de helling op één ogenblik.

Uitleg · 1.3

Van koorde naar raaklijn: de afgeleide

3/25

Een voorwerp valt vanuit stilstand: $s (t) = \frac{1}{2} g t^{2} = 4, 905 t^{2}$ (in m, $t$ in s, luchtweerstand verwaarloosd). Hoe snel valt het op $t = 2 s$ ? Neem de koorde van $t = 2$ tot $t = 2 + h$ en maak $h$ steeds kleiner:

$h$ (s)	$s (2 + h)$ (m)	helling van de koorde (m/s)
1,0	44,1450	24,525
0,5	30,6563	22,073
0,10	21,6311	20,111
0,01	19,8167	19,6690
0,001	19,6396	19,6249

De hellingen naderen 19,62 m/s. Algebra laat zien waarom:

\frac{s ( 2 + h ) - s ( 2 )}{h} = \frac{4 , 905 ( 4 + 4 h + h ^{2} ) - 4 , 905 \cdot 4}{h} = 4, 905 (4 + h) = 19, 62 + 4, 905 h .

Voor elke $h \neq = 0$ mag je delen; daarna gaat de term $4, 905 h$ naar nul. De koorden draaien naar één rechte: de raaklijn. Haar helling is de ogenblikkelijke snelheid, 19,62 m/s, precies $g t$ zoals in hoofdstuk 7 van Intermediate.

definitie van de afgeleide

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

Bestaat die limiet, dan is

f

afleidbaar in

a

. Notaties:

f^{'} (x)

(Lagrange),

\frac{d f}{d x}

\frac{d y}{d x}

(Leibniz),

\overset{y}{˙}

voor een afgeleide naar de tijd (Newton). Eenheid: die van

f

gedeeld door die van

x

: m/s, °C/h, W = J/s.

De raaklijn in $a$ heeft vergelijking $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ . Niet elke functie heeft overal een raaklijn: in een knik (de snelheid van het kasdak in hoofdstuk 7 van Intermediate op $t = 1 s$ ) verschillen de hellingen links en rechts, bij een sprong (een lamp die aanspringt: het vermogen) bestaat de limiet niet.

Koorden met h = 2, 1 en 0,5 s draaien rond het punt op t = 2 s naar de raaklijn met helling 19,62 m/s.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.4

Uit de definitie: de valsnelheid op elk ogenblik

4/25

Bereken met de definitie de afgeleide van $s (t) = 4, 905 t^{2}$ in een willekeurig tijdstip $t$ , en die van $f (x) = x^{3}$ . Controleer het eerste resultaat met de tabel van het vorige blad.

Gegeven

$s (t) = 4, 905 t^{2}$ (m), $f (x) = x^{3}$
$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

Gevraagd

$s^{'} (t)$ en $f^{'} (x)$

Oplossing

1
Differentiequotiënt van $s$ : $\frac{4 , 905 ( t + h ) ^{2} - 4 , 905 t ^{2}}{h} = \frac{4 , 905 ( 2 t h + h ^{2} )}{h} = 4, 905 (2 t + h)$ .
2
Limiet $h \to 0$ : $s^{'} (t) = 9, 81 t$ (m/s). Op $t = 2 s$ : $19, 62 m/s$ , zoals de tabel. De afgeleide van de plaats is een nieuwe functie: de snelheid $v (t) = g t$ .
3
Voor $x^{3}$ : $(x + h)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$ , dus $\frac{( x + h ) ^{3} - x ^{3}}{h} = 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$ .
4
Limiet: $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ . De termen met $h$ verdwijnen; alleen de term die lineair was in $h$ blijft over.

Antwoord

s^{'} (t) = 9, 81 t

(x^{3})^{'} = 3 x^{2}

Klopt dit? Numeriek:

\frac{( 2 , 001 ) ^{3} - 2 ^{3}}{0 , 001} = 12, 0060

, dicht bij

3 \cdot 2^{2} = 12

. Het verschil, ongeveer

3 \cdot 2 \cdot 0, 001

, is de term

3 x h

Uitleg · 1.5

Machten, sommen en veelvouden

5/25

Het patroon uit het voorbeeld geldt voor elke natuurlijke macht. Met het binomium van Newton is

(x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (2 n) x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n} .

Trek $x^{n}$ af en deel door $h$ : er blijft $n x^{n - 1}$ plus termen die allemaal nog minstens één factor $h$ bevatten. In de limiet vallen die weg:

machtsregel

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

Bewezen voor

n = 1, 2, 3, \dots

; ze geldt voor elke reële exponent (zie de kettingregel verder). Zo is

(x)^{'} = (x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2 x}

(1/ x)^{'} = (x^{- 1})^{'} = - x^{- 2}

Twee eigenschappen volgen meteen uit de definitie, omdat een limiet van een som de som van de limieten is:

som, veelvoud, constante

(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'} (c f)^{'} = c f^{'} c^{'} = 0

Afleiden is lineair. Een constante verschuift de grafiek maar verandert geen helling.

Daarmee leid je elke veelterm af: $\frac{d}{d t} (2 t^{3} - 5 t + 7) = 6 t^{2} - 5$ . Een fysisch voorbeeld: de doorbuiging van een balk, het volume van een bol $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ met $\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$ , precies de oppervlakte van de bol: een dun laagje verf van dikte $d r$ heeft volume $4 π r^{2} d r$ .

Uitgewerkt voorbeeld · 1.6

Hoe gevoelig is de stroom voor de weerstand?

6/25

De ledstrip van de meetkas trekt $I = U / R$ met $U = 12 V$ en $R = 30 Ω$ . Leid de afgeleide van $1/ x$ af uit de definitie, controleer ze met de machtsregel, en bereken hoeveel de stroom verandert per ohm extra weerstand (bv. door een warme verbinding).

Gegeven

$I (R) = U / R$ , $U = 12 V$ , $R = 30 Ω$

Gevraagd

$\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$
$\frac{d I}{d R}$ bij $30 Ω$

Oplossing

1
Differentiequotiënt: $\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - ( x + h )}{h x ( x + h )} = \frac{- 1}{x ( x + h )}$ .
2
Limiet: $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ . Machtsregel met $n = - 1$ : $(x^{- 1})^{'} = - 1 \cdot x^{- 2}$ . Klopt.
3
Dus $\frac{d I}{d R} = - \frac{U}{R ^{2}} = - \frac{12}{900} = - 0, 0133 A/Ω$ : $- 13, 3 mA$ per ohm.
4
Eenheid: A/Ω. Het minteken zegt: meer weerstand, minder stroom. Relatief: $\frac{d I / I}{d R / R} = - 1$ , 1 % meer weerstand geeft 1 % minder stroom.

Antwoord

(1/ x)^{'} = - 1/ x^{2}

; bij 30 Ω daalt de stroom met ongeveer 13 mA per ohm extra weerstand (van 400 mA).

Klopt dit? Exact bij 31 Ω:

12/31 = 0, 3871 A

, dus

- 12, 9 mA

. De afgeleide (13,3 mA) is de helling in 30 Ω zelf; over een hele ohm kromt de grafiek al een beetje.

Uitleg · 1.7

De afgeleide als functie, en de tweede afgeleide

7/25

Bereken je de afgeleide in elk punt, dan krijg je een nieuwe functie $f^{'}$ . Onder de temperatuur van de meetkas (een glad model door de uurwaarden van de aprildag) staat haar afgeleide, de opwarmsnelheid in °C/h. Lees ze samen:

Waar $T$ stijgt, is $T^{'} > 0$ ; waar $T$ daalt, is $T^{'} < 0$ .
Op het warmste moment (13:55, 32,0 °C) is de raaklijn horizontaal: $T^{'} = 0$ . Dat is het werkpaard van hoofdstuk 2: extrema zoek je waar de afgeleide nul is.
De kas warmt het snelst op om 9:27: 5,0 °C/h, bij amper 18 °C. Daar is $T^{'}$ maximaal en gaat de grafiek van $T$ over van hol naar bol: een buigpunt.

De afgeleide van $f^{'}$ is de tweede afgeleide $f^{''}$ (of $\frac{d ^{2} f}{d x ^{2}}$ ). Ze meet hoe de helling verandert: $f^{''} > 0$ is hol (de helling neemt toe, de grafiek buigt naar boven), $f^{''} < 0$ is bol. Eenheid: °C/h² bij de kas, m/s² bij een plaatsfunctie. In een buigpunt is $f^{''} = 0$ en $f^{'}$ extreem.

Hoogste waarde, grootste afgeleide

Om 13:55 is de kas het warmst, maar ze warmt dan niet meer op. De grootste opwarmsnelheid valt vier uur eerder, bij een kas die nog koel aanvoelt. Waarde en verandering zijn twee verschillende vragen: een regelaar die alleen naar de waarde kijkt, is altijd te laat.

Boven de temperatuur, onder haar afgeleide op dezelfde tijdas: het maximum van T valt samen met het nulpunt van T′, de steilste stijging met het maximum van T′.

Uitleg · 1.8

Product, quotiënt en ketting

8/25

Productregel. Stel dat $u$ en $v$ allebei veranderen, bv. spanning en stroom in $p = u i$ . Denk aan $u \cdot v$ als de oppervlakte van een rechthoek. Groeien de zijden met $Δ u$ en $Δ v$ , dan komt er $v Δ u + u Δ v + Δ u Δ v$ bij. Deel door $Δ x$ en laat $Δ x \to 0$ : het hoekje $Δ u Δ v /Δ x$ gaat naar nul (het is $Δ u$ maal iets eindigs).

productregel

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Dus niet

u^{'} v^{'}

. Voorbeeld:

(x^{2} sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x

Quotiëntregel. Schrijf $f = u / v$ als $u = f v$ en leid af met de productregel: $u^{'} = f^{'} v + f v^{'}$ , dus $f^{'} = (u^{'} - f v^{'}) / v$ . Vul $f = u / v$ in:

quotiëntregel

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Voor

v \neq = 0

Kettingregel. Bij een samengestelde functie $y = f (g (x))$ verandert $x$ eerst $u = g (x)$ , en $u$ verandert dan $y$ . De verhoudingen vermenigvuldigen, zoals overbrengingen: draait tandwiel B 3 keer zo snel als A en C 2 keer zo snel als B, dan draait C 6 keer zo snel als A. Met Leibniz lijkt het of je gewoon breuken vereenvoudigt:

kettingregel

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} (f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Buitenste functie afleiden (met de binnenste erin laten staan), maal de afgeleide van de binnenste. Voorbeeld:

((3 x^{2} + 1)^{5})^{'} = 5 (3 x^{2} + 1)^{4} \cdot 6 x

Groeit een rechthoek u · v, dan komen er twee stroken bij (v · Δu en u · Δv) en een hoekje dat in de limiet wegvalt.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.9

Rekenregels combineren

9/25

Leid af: (a) $P (R) = \frac{144 R}{( R + 0 , 5 ) ^{2}}$ , het vermogen in een belasting $R$ aan een bron van 12 V met 0,5 Ω inwendige weerstand (hoofdstuk 2 zoekt het maximum); (b) $y = 1 + x^{2}$ ; (c) $x (t) = 0, 60 (10 u^{3} - 15 u^{4} + 6 u^{5})$ met $u = t /7$ .

Gegeven

product-, quotiënt- en kettingregel
machtsregel voor reële exponenten

Gevraagd

$P^{'} (R)$ , $y^{'} (x)$ , $\overset{x}{˙} (t)$

Oplossing

1
(a) Quotiëntregel met $u = 144 R$ en $v = (R + 0, 5)^{2}$ , $v^{'} = 2 (R + 0, 5)$ (ketting): $P^{'} = \frac{144 ( R + 0 , 5 ) ^{2} - 144 R \cdot 2 ( R + 0 , 5 )}{( R + 0 , 5 ) ^{4}}$ .
2
Deel teller en noemer door $(R + 0, 5)$ : $P^{'} (R) = \frac{144 ( 0 , 5 - R )}{( R + 0 , 5 ) ^{3}}$ (W/Ω). Positief voor $R < 0, 5 Ω$ , negatief erboven: het vermogen is maximaal bij $R = 0, 5 Ω$ .
3
(b) Kettingregel met $u = 1 + x^{2}$ : $y^{'} = \frac{1}{2 u} \cdot 2 x = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ .
4
(c) Eerst naar $u$ : $\frac{d x}{d u} = 0, 60 (30 u^{2} - 60 u^{3} + 30 u^{4}) = 18 u^{2} (1 - u)^{2}$ ; dan $\frac{d u}{d t} = \frac{1}{7}$ . Samen: $\overset{x}{˙} = \frac{18}{7} u^{2} (1 - u)^{2}$ (m/s).

Antwoord

P^{'} (R) = \frac{144 ( 0 , 5 - R )}{( R + 0 , 5 ) ^{3}}

y^{'} = \frac{x}{1 + x ^{2}}

\overset{x}{˙} = \frac{18}{7} u^{2} (1 - u)^{2}

met

u = t /7

Klopt dit? (c) Op

t = 3, 5 s

(

u = 0, 5

\overset{x}{˙} = \frac{18}{7} \cdot \frac{1}{16} = 0, 1607 m/s

, de topsnelheid van het kasdak verder in dit hoofdstuk. Eenheden: 0,60 m maal 1/(7 s) geeft m/s.

Uitleg · 1.10

Exponentiële functies, logaritmen en sinussen

10/25

Exponentieel. Voor $f (x) = a^{x}$ is $\frac{a ^{x + h} - a ^{x}}{h} = a^{x} \cdot \frac{a ^{h} - 1}{h}$ : de afgeleide is de functie zelf maal een getal dat alleen van $a$ afhangt. De tabel toont dat getal:

$h$	$\frac{2 ^{h} - 1}{h}$	$\frac{e ^{h} - 1}{h}$	$\frac{3 ^{h} - 1}{h}$
0,1000	0,7177	1,0517	1,1612
0,0100	0,6956	1,0050	1,1047
0,0010	0,6934	1,0005	1,0992
0,0001	0,6932	1,0001	1,0987
limiet	$ln 2 = 0, 6931$	$1$	$ln 3 = 1, 0986$

Het getal $e = 2, 71828 \dots$ is precies het grondtal waarvoor die factor 1 is. Daarom is $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ : in elk punt is de helling even groot als de hoogte. Met de kettingregel volgt $\frac{d}{d t} e^{- t / τ} = - \frac{1}{τ} e^{- t / τ}$ , de wiskunde achter elke afkoeling en elke RC-kring (hoofdstuk 5 en 24 van Intermediate): hoe verder van het evenwicht, hoe sneller het gaat.

Logaritme. Als $y = ln x$ , dan is $x = e^{y}$ , dus $\frac{d x}{d y} = e^{y} = x$ en omgekeerd $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ . Zo volgt ook de machtsregel voor elke reële $n$ : $x^{n} = e^{n l n x}$ geeft $(x^{n})^{'} = e^{n l n x} \cdot \frac{n}{x} = n x^{n - 1}$ .

Sinus en cosinus. Met de somformule en de limieten $\frac{s i n h}{h} \to 1$ en $\frac{c o s h - 1}{h} \to 0$ (voor $h$ in radialen) vind je $(sin x)^{'} = cos x$ en $(cos x)^{'} = - sin x$ . De figuur toont het numeriek: de helling van $sin x$ in twaalf punten ligt telkens op de cosinus. In graden klopt het niet: $\frac{d}{d x} sin (x^{\circ}) = \frac{π}{180} cos (x^{\circ})$ , een kettingregel.

De punten zijn centrale differenties van sin x met h = 0,01 rad; ze vallen op de cosinus.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.11

De gevoeligheid van een NTC-sensor

11/25

De NTC in het reservoir van de module (hoofdstuk 22 van Intermediate) volgt $R (T) = R_{25} e^{B (1/ T - 1/ T_{25})}$ met $R_{25} = 10 kΩ$ , $B = 3950 K$ , $T$ in kelvin. Ze staat boven in een deler met 10 kΩ naar de massa op 5 V: $U = 5 \cdot \frac{10}{10 + R}$ ( $R$ in kΩ). Hoeveel mV verandert $U$ per kelvin bij 25 °C, en hoeveel ADC-stappen is dat?

Gegeven

$R_{25} = 10 kΩ$ , $B = 3950 K$ , $T_{25} = 298, 15 K$
ADC: 10 bit op 5 V, stap $5/1024 = 4, 88 mV$

Gevraagd

$d R / d T$ en $d U / d T$ bij 25 °C

Oplossing

1
Kettingregel met binnenfunctie $B (1/ T - 1/ T_{25})$ , waarvan de afgeleide $- B / T^{2}$ is: $\frac{d R}{d T} = R \cdot (- \frac{B}{T ^{2}})$ .
2
Bij 25 °C: $\frac{d R}{d T} = - \frac{3950}{298 , 1 5 ^{2}} \cdot 10000 = - 444 Ω/K$ , of $- 4, 44 %/K$ .
3
Deler: $\frac{d U}{d R} = 5 \cdot 10 \cdot \frac{- 1}{( 10 + R ) ^{2}} = - \frac{50}{400} = - 0, 125 V/kΩ$ bij $R = 10 kΩ$ .
4
Nog een kettingregel: $\frac{d U}{d T} = \frac{d U}{d R} \cdot \frac{d R}{d T} = - 0, 125 \cdot (- 0, 444) = 55, 5 mV/K$ .
5
In ADC-stappen: $55, 5/4, 88 = 11, 4$ stappen per kelvin: één stap is $0, 088 K$ .

Antwoord

Bij 25 °C stijgt

U

met ongeveer 55,5 mV per kelvin: 11,4 ADC-stappen, een resolutie van ongeveer 0,09 K.

Klopt dit? Numeriek:

U (25, 5^{\circ} C) - U (24, 5^{\circ} C) = 55, 5 mV

over 1 K. De afgeleide is een gevoeligheid: bij 0 °C of 50 °C is ze anders, omdat

R

T^{2}

veranderen.

Uitleg · 1.12

Snelheid, versnelling en schok

12/25

Voor een beweging langs een rechte is de snelheid de afgeleide van de plaats en de versnelling die van de snelheid:

kinematica met afgeleiden

v = \frac{d x}{d t} = \overset{x}{˙} a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = \overset{x}{¨} j = \frac{d a}{d t}

j

is de schok (jerk), in m/s³. Hij bepaalt hoe 'zacht' een beweging aanvoelt.

In hoofdstuk 7 van Intermediate reed het schuifpaneel van de kasmodule met een trapeziumprofiel: 1 s versnellen met 0,10 m/s², 5 s aan 0,10 m/s, 1 s remmen, samen 0,60 m in 7,0 s. De versnelling springt daar van 0 naar 0,10 m/s² en terug: de schok is op die ogenblikken oneindig groot, en dat hoor je als een tik in riem en geleiding. Liften, cnc-machines en robotarmen gebruiken daarom gladde profielen, bv. de vijfdegraadsveelterm

x (t) = s (10 u^{3} - 15 u^{4} + 6 u^{5}), u = t / T,

die in $t = 0$ en $t = T$ plaats, snelheid én versnelling juist goed zet ( $x = 0$ of $s$ , $v = 0$ , $a = 0$ ). Afleiden met de kettingregel ( $d u / d t = 1/ T$ ):

v = \frac{30 s}{T} u^{2} (1 - u)^{2}, a = \frac{60 s}{T ^{2}} u (1 - u) (1 - 2 u) .

De figuur toont beide profielen voor $s = 0, 60 m$ en $T = 7, 0 s$ . Het gladde profiel heeft een hogere topsnelheid nodig (0,161 in plaats van 0,100 m/s), maar een kleinere, continue versnelling (0,071 in plaats van 0,100 m/s²). De helling van elke grafiek is de hoogte van de grafiek eronder.

Plaats, snelheid en versnelling van het schuifpaneel: vijfdegraadsprofiel (volle lijn) en trapeziumprofiel (stippellijn), op dezelfde tijdas.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.13

Het kasdak zacht laten vertrekken

13/25

Het schuifpaneel (10 kg, slag 0,60 m) moet in 7,0 s open met het vijfdegraadsprofiel. Bereken de topsnelheid, de grootste versnelling en het tijdstip waarop die optreedt, de extra kracht die de motor daarvoor levert, en de schok bij de start.

Gegeven

$s = 0, 60 m$ , $T = 7, 0 s$ , $m = 10 kg$
$v = \frac{30 s}{T} u^{2} (1 - u)^{2}$ , $a = \frac{60 s}{T ^{2}} u (1 - u) (1 - 2 u)$

Gevraagd

$v_{max}$ , $a_{max}$ en wanneer, $F = m a_{max}$ , $j (0)$

Oplossing

1
$v$ is maximaal waar $a = 0$ binnen het interval: $1 - 2 u = 0$ , dus $u = \frac{1}{2}$ ( $t = 3, 5 s$ ). $v_{max} = \frac{30 s}{16 T} = 0, 161 m/s$ .
2
$a$ is maximaal waar $\overset{a}{˙} = 0$ : $\frac{d}{d u} (u - 3 u^{2} + 2 u^{3}) = 1 - 6 u + 6 u^{2} = 0$ , dus $u = \frac{3 - 3}{6} = 0, 2113$ ( $t = 1, 48 s$ ).
3
Invullen: $a_{max} = \frac{60 s}{T ^{2}} \cdot u (1 - u) (1 - 2 u) = \frac{10}{3} \cdot \frac{s}{T ^{2}} = 0, 0707 m/ s^{2}$ .
4
Kracht om te versnellen: $F = m a = 10 \cdot 0, 0707 = 0, 71 N$ , bovenop wrijving en zwaartekracht langs het dak (hoofdstuk 8 van Intermediate: tientallen newton). Klein, maar zonder sprong.
5
Schok: $j = \frac{s}{T ^{3}} (60 - 360 u + 360 u^{2})$ , in $u = 0$ : $j (0) = \frac{60 s}{T ^{3}} = 0, 105 m/ s^{3}$ . Eindig, terwijl het trapeziumprofiel een sprong van 0,10 m/s² in nul seconden maakt.

Antwoord

v_{max} = 0, 161 m/s

op 3,5 s;

a_{max} = 0, 071 m/ s^{2}

op 1,48 s (en even groot remmend op 5,52 s); 0,71 N extra; schok bij de start 0,105 m/s³.

Klopt dit? Dimensies:

s / T

is m/s,

s / T^{2}

m/s²,

s / T^{3}

m/s³. En

\int

van

v

over 7 s moet 0,60 m zijn: dat controleer je in hoofdstuk 3.

Uitleg · 1.14

De raaklijn als benadering

14/25

Dicht bij een punt valt een gladde grafiek bijna samen met haar raaklijn. Dat is de nuttigste formule van dit hoofdstuk:

lineariseren

f (a + Δ x) \approx f (a) + f^{'} (a) Δ x

De fout is van de orde

\frac{1}{2} f^{''} (a) Δ x^{2}

: klein als

Δ x

klein is en de grafiek weinig kromt.

Voorbeeld: de ledstrip (weerstandsmodel 30 Ω) neemt bij 12 V $P = U^{2} / R = 4, 8 W$ . Zakt de batterij naar 11,5 V, dan is met $d P / d U = 2 U / R = 0, 80 W/V$

Δ P \approx 0, 80 W/V \cdot (- 0, 5 V) = - 0, 40 W,

terwijl exact $11, 5^{2} /30 - 4, 8 = - 0, 392 W$ . Handiger nog is de relatieve vorm: uit $d P = \frac{2 U}{R} d U$ volgt $\frac{d P}{P} = 2 \frac{d U}{U}$ . Een spanning die 4,2 % lager is, geeft 8,3 % minder vermogen. Zo reken je in hoofdstuk 6 met meetonzekerheden: een macht $n$ vermenigvuldigt de relatieve fout met $n$ .

Het model bepaalt de gevoeligheid

Een ledstrip is geen gewone weerstand: per segment staan drie leds (samen ongeveer 9 V) in serie met 150 Ω (hoofdstuk 19 van Fundamental). Dan is $I = (U - 9 V) /150 Ω$ en $\frac{d I / I}{d U / U} = \frac{U}{U - 9} = 4$ bij 12 V: dezelfde spanningsdaling kost ongeveer vier keer zoveel stroom. De afgeleide is zo goed als het model waarvan je ze neemt.

Bij 11,5 V ligt de raaklijn maar 0,008 W onder de kromme: voor kleine veranderingen is lineariseren uitstekend.

Naslag · 1.15

Afgeleiden en rekenregels

15/25

Alle regels volgen uit de definitie. Controleer een resultaat altijd numeriek (een centrale differentie) en op eenheden.

definitie

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

symbool	betekenis	eenheid
$f^{'} (a)$	afgeleide in a	eenheid van f per eenheid van x
$h$	toename van x	eenheid van x

raaklijn in a

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)

product en quotiënt

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

kettingregel

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

voorwaartse en centrale differentie

\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} \frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}

symbool	betekenis	eenheid
$h$	stap	eenheid van x

tweede afgeleide, numeriek

\frac{f ( x + h ) - 2 f ( x ) + f ( x - h )}{h ^{2}} \approx f^{''} (x)

$f (x)$	$f^{'} (x)$	opmerking
$c$ (constante)	$0$	een constante verandert niet
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	voor elke reële $n$ , bv. $x = x^{1/2}$ en $1/ x = x^{- 1}$
$e^{x}$	$e^{x}$	de enige functie (op een factor na) die haar eigen afgeleide is
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	want $a^{x} = e^{x l n a}$
$ln x$	$1/ x$	voor $x > 0$
$sin x$	$cos x$	$x$ in radialen
$cos x$	$- sin x$	$x$ in radialen
$e^{k x}$ , $sin (ω t)$	$k e^{k x}$ , $ω cos (ω t)$	kettingregel met een lineaire binnenfunctie

methode	fout (afbreken)	stap h halveren	beste h (float, $f \sim f^{''}$ )
voorwaarts of achterwaarts	$\approx \frac{1}{2} f^{''} h$	fout / 2	$ε \approx 1 0^{- 8}$
centraal	$\approx \frac{1}{6} f^{'''} h^{2}$	fout / 4	$3 ε \approx 1 0^{- 5}$
uit meetdata met ruis $σ$	$+ σ / (2 h)$ (centraal)	ruis × 2	volgt uit ruis en kromming

$ε = 2^{- 52} \approx 2, 2 \cdot 1 0^{- 16}$ : de relatieve afrondingsfout van een float.

Uitleg · 1.16

Numeriek differentiëren: drie differenties

16/25

Een computer kent geen limieten. Hij neemt een kleine, eindige stap $h$ en rekent een helling uit. Welke koorde je neemt, maakt veel uit. De reeks van Taylor (een raaklijn met correcties, zie de naslag) zegt

f (x \pm h) = f (x) \pm h f^{'} (x) + \frac{h ^{2}}{2} f^{''} (x) \pm \frac{h ^{3}}{6} f^{'''} (x) + \dots

Houd je alleen het plusteken, dan is de voorwaartse differentie $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x) + \frac{h}{2} f^{''} (x) + \dots$ : de fout is evenredig met $h$ (eerste orde). Trek je de twee versies van elkaar af, dan vallen de termen met $f^{''}$ weg:

\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h} = f^{'} (x) + \frac{h ^{2}}{6} f^{'''} (x) + \dots

De centrale differentie is van tweede orde: halveer $h$ en de fout wordt vier keer kleiner. In de figuur, met de uurwaarden van de kas rond 11 uur ( $h = 1 h$ ): voorwaarts $28, 5 - 25, 0 = 3, 5$ °C/h, achterwaarts $25, 0 - 20, 5 = 4, 5$ °C/h, centraal $(28, 5 - 20, 5) /2 = 4, 0$ °C/h. De helling van het model is 4,03 °C/h: de centrale koorde ligt bijna evenwijdig met de raaklijn.

Waarom zou je dan ooit voorwaarts rekenen? Omdat je in een regelaar de toekomst niet kent: op het laatste meetpunt kan alleen de achterwaartse differentie. De D-actie van hoofdstuk 39 doet precies dat.

Voorwaarts (3,5), achterwaarts (4,5) en centraal (4,0 °C/h) rond 11 uur: de centrale koorde is bijna evenwijdig met de raaklijn.

Code · 1.17

Hoe klein mag h zijn?

17/25

Kleiner is beter, zegt de afbreekfout. Maar een computer rekent met ongeveer 16 beduidende cijfers. Is $h$ heel klein, dan liggen $f (x + h)$ en $f (x)$ zo dicht bij elkaar dat hun verschil vooral uit afrondingsruis bestaat, en die deel je dan nog eens door een heel kleine $h$ . Probeer het met $f (x) = e^{x}$ in $x = 1$ , waarvan de afgeleide exact $e$ is:

Pythonstapgrootte.py13 regelsDownload

# stapgrootte.py - de fout van een voorwaartse en een centrale differentieimport math f = math.exp            # testfunctie f(x) = e^x: haar afgeleide is e^x zelfx = 1.0exact = math.exp(x) print("  h       voorwaarts  centraal")for k in range(1, 14):    h = 10.0 ** -k    voorw = (f(x + h) - f(x)) / h    centr = (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)    print("1e-%02d   %9.1e   %9.1e" % (k, abs(voorw - exact), abs(centr - exact)))

Uitvoer:

  h       voorwaarts  centraal
1e-01     1.4e-01     4.5e-03
1e-02     1.4e-02     4.5e-05
1e-03     1.4e-03     4.5e-07
1e-04     1.4e-04     4.5e-09
1e-05     1.4e-05     5.9e-11
1e-06     1.4e-06     1.6e-10
1e-07     1.4e-07     5.9e-11
1e-08     6.6e-09     6.6e-09
1e-09     2.2e-07     6.6e-09
1e-10     1.5e-06     6.7e-07
1e-11     3.3e-05     1.0e-05
1e-12     4.3e-04     2.1e-04
1e-13     4.6e-04     4.6e-04

Zolang de afbreekfout domineert, daalt de centrale fout met een factor 100 per factor 10 in $h$ (tweede orde) en de voorwaartse met een factor 10 (eerste orde). De centrale fout is het kleinst rond $h = 1 0^{- 5}$ , de voorwaartse rond $1 0^{- 8}$ ; bij nog kleinere $h$ stijgen beide weer. Een model voor de totale fout van de voorwaartse differentie is

E (h) \approx \frac{1}{2} ∣ f^{''} ∣ h + \frac{ε ∣ f ∣}{h}, ε = 2^{- 52} \approx 2, 2 \cdot 1 0^{- 16} .

De eerste term daalt met $h$ , de tweede stijgt: het minimum ligt waar ze ongeveer even groot zijn, bij $h \approx 2 ε \approx 2, 1 \cdot 1 0^{- 8}$ . Voor de centrale differentie geeft hetzelfde redeneren $h \approx 3 3 ε \approx 9 \cdot 1 0^{- 6}$ . De log-loggrafiek (uit dezelfde formules, met vier punten per decade) toont het V-patroon: rechts de rechte van de afbreekfout (helling 1 of 2), links de ruwe rand van de afronding (helling −1).

In de praktijk

Neem voor een centrale differentie van een functie die je zelf kan uitrekenen $h \approx 1 0^{- 5}$ tot $1 0^{- 6}$ maal de grootte van $x$ . Beter nog: gebruik een exacte afgeleide (met de hand of automatisch, zoals neurale netwerken dat doen in hoofdstuk 43).

Links wint de afrondingsfout, rechts de afbreekfout; de centrale differentie haalt ongeveer tien cijfers, de voorwaartse acht.

Uitleg · 1.18

Afgeleiden uit meetdata: ruis tegenover stapgrootte

18/25

Een meetreeks heeft geen afrondingsfout van $1 0^{- 16}$ maar ruis van een tiende graad. Stel dat elke meting een toevallige fout met standaardafwijking $σ$ heeft. De centrale differentie deelt het verschil van twee metingen door $2 h$ ; de fout op dat verschil is $2 σ$ (hoofdstuk 6), dus

ruis op een centrale differentie

σ_{\overset{y}{˙}} \approx \frac{2 σ}{2 h} = \frac{σ}{2 h}

Halveer

h

en de ruis op de afgeleide verdubbelt. Tegelijk groeit de afbreekfout

\frac{h ^{2}}{6} ∣ f^{'''} ∣

met

h

Voor de voorbeeldreeks van de meetkas (elke 5 minuten, ruis $σ \approx 0, 08$ °C en afgerond op 0,1 °C, samen $σ \approx 0, 085$ °C) geeft $h = 5 min$ al $σ_{\dot{T}} \approx 0, 72^{\circ} C/h$ : de opwarmsnelheid springt alle kanten op. Omdat we de reeks zelf uit een glad model gemaakt hebben, kennen we hier de echte opwarmsnelheid en kunnen we de fout meten:

stap $h$	5 min	10 min	15 min	20 min	30 min	45 min	60 min	90 min	120 min
rms-fout (°C/h)	0,71	0,38	0,25	0,19	0,15	0,12	0,15	0,30	0,52

De fout daalt eerst (minder ruis), bereikt een minimum rond $h = 45$ minuten en stijgt dan weer (de centrale koorde vlakt de piek af). Met echte metingen ken je het model niet, maar het patroon blijft: kies $h$ zo dat de ruis klein wordt tegenover het signaal, en niet groter dan de tijd waarop het signaal zelf verandert.

Hoe kleiner de stap, hoe nauwkeuriger

Dat geldt voor een formule, niet voor meetdata. Wie de afgeleide neemt tussen twee opeenvolgende metingen, meet vooral ruis. Andere remedies dan een grotere stap: eerst gladmaken (een voortschrijdend gemiddelde, hoofdstuk 21), of een rechte fitten door een venster van metingen en haar helling nemen (kleinste kwadraten, hoofdstuk 41).

Bij kleine stap domineert de ruis (stippellijn), bij grote stap het afvlakken van de piek; ertussen ligt een beste stap.

Ontleed · 1.19

De opwarmsnelheid van de meetkas lezen

19/25

De voorbeeldreeks (boven) is gemaakt uit het gladde model van de aprildag, met ruis van ongeveer 0,1 °C en afgerond op 0,1 °C, zoals een logger die elke 5 minuten een gemiddelde wegschrijft. Onder: de opwarmsnelheid met een centrale differentie met $h = 5$ en $h = 30$ minuten, en die van het model.

Dezelfde meetreeks, twee stapgroottes: kort geeft ruis, lang geeft een gladde maar iets afgevlakte opwarmsnelheid.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Koude ochtend
Tot ongeveer 7 uur staat de temperatuur bijna stil rond 8 °C: de afgeleide is ongeveer nul. De zon staat nog te laag.
2
Steilste stijging
Om 9:27 warmt het model het snelst op: 5,0 °C/h. De verticale lijn loopt door beide grafieken: hier is T′ maximaal en heeft T een buigpunt.
3
Ruis, geen opwarming
Met h = 5 min piekt de afgeleide tot 7,2 °C/h om 10:00. Dat is ruis: een verschil van 0,1 °C over 10 minuten is al 0,6 °C/h.
4
Glad, maar afgevlakt
Met h = 30 min volgt de schatting het model op enkele tienden: grootste waarde 5,3 °C/h om 9:20, tegenover 5,0 °C/h in het model.
5
28 °C
Om 11:55 meet de logger voor het eerst 28 °C: hier moet het dakraam open (hoofdstuk 25 van Fundamental).
6
Bijna aan de top
Tegen 14:00 zakt de opwarmsnelheid naar nul: het maximum van 32,0 °C valt om 13:55.

Code · 1.20

Habitat: de opwarmsnelheid berekenen op de Pi

20/25

De centrale computer van het station (een Raspberry Pi met Python) krijgt de metingen van de meetkas als CSV-bestand, in het formaat van hoofdstuk 28 van Intermediate. De eerste regels:

tijdstip,temperatuur_C
06:00,7.6
06:05,7.7
06:10,7.6
06:15,7.8
...

Het programma leest de reeks, berekent centrale differenties over $k$ meetstappen aan elke kant en maakt met de raaklijn een voorspelling. De tijd staat in uren, zodat de afgeleide meteen in °C/h uitkomt.

Pythonopwarmsnelheid.py33 regelsDownload

# opwarmsnelheid.py - hoe snel warmt de meetkas op? Centrale differenties op een meetreeks.import csv tijden, temps = [], []                            # tijd in uren, temperatuur in graden Celsiuswith open("meetkas_aprildag.csv", newline="") as f:    for rij in csv.DictReader(f):        uur, minuut = rij["tijdstip"].split(":")        tijden.append(int(uur) + int(minuut) / 60)        temps.append(float(rij["temperatuur_C"]))  def klok(t):    m = round(t * 60)    return "%d:%02d" % (m // 60, m % 60)  def afgeleide(t, y, k):    """Centrale differentie over k meetstappen aan elke kant: (y[i+k] - y[i-k]) / (t[i+k] - t[i-k])."""    return [(t[i], (y[i + k] - y[i - k]) / (t[i + k] - t[i - k])) for i in range(k, len(y) - k)]  for k in (1, 3, 6, 9):    d = afgeleide(tijden, temps, k)    t_max, v_max = max(d, key=lambda p: p[1])    print("h = %2d min: grootste opwarmsnelheid %.1f °C/h om %s" % (5 * k, v_max, klok(t_max))) # voorspelling om 11:00 met de raaklijn (h = 15 min): wanneer is het 28 °C?nu = tijden.index(11.0)snelheid = dict(afgeleide(tijden, temps, 3))[11.0]t_28 = 11.0 + (28.0 - temps[nu]) / snelheidecht = next(t for t, T in zip(tijden, temps) if T >= 28.0)print("om 11:00: %.1f °C en %.1f °C/h -> 28 °C om ongeveer %s (gemeten: %s)"      % (temps[nu], snelheid, klok(t_28), klok(echt)))

Uitvoer:

h =  5 min: grootste opwarmsnelheid 7.2 °C/h om 10:00
h = 15 min: grootste opwarmsnelheid 5.6 °C/h om 9:45
h = 30 min: grootste opwarmsnelheid 5.3 °C/h om 9:20
h = 45 min: grootste opwarmsnelheid 5.1 °C/h om 9:15
om 11:00: 24.9 °C en 3.8 °C/h -> 28 °C om ongeveer 11:49 (gemeten: 11:55)

Dezelfde meetreeks geeft een grootste opwarmsnelheid van 7,2 tot 5,1 °C/h, naargelang de stap. Het echte model zegt 5,0 °C/h om 9:27. Een stap van 30 tot 45 minuten zit er het dichtst bij; bij 5 minuten meet je ruis. Let op het detail t[i + k] - t[i - k]: het programma deelt door het echte tijdsverschil, zodat het ook werkt als er een meting ontbreekt of de logger niet precies om de 5 minuten schrijft.

numpy kan het ook

numpy.gradient(temps, tijden) geeft centrale differenties met $k = 1$ (en aan de randen een eenzijdige). Handig, maar met ruisende data wil je net een grotere $k$ kunnen kiezen.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.21

Wanneer moet het dakraam open?

21/25

Het dakraam van de meetkas opent bij 28 °C (hoofdstuk 25 van Fundamental). De duwstang heeft ongeveer 8 s nodig, maar de kas koelt pas echt af als het raam al een tijd open staat. Het brein van het station wil daarom een kwartier vooruit kijken. Om 11:00 meet de logger 24,9 °C. Voorspel met de raaklijn wanneer 28 °C bereikt wordt, en beoordeel de voorspelling.

Gegeven

$T (11 : 00) = 24, 9^{\circ} C$
centrale differentie met $h = 15 min$ : $\dot{T} = 3, 80^{\circ} C/h$ ; met $h = 30 min$ : $4, 00^{\circ} C/h$

Gevraagd

het tijdstip $t_{28}$ volgens de raaklijn
hoe betrouwbaar dat is

Oplossing

1
Raaklijn: $T (t) \approx T (11) + \dot{T} (t - 11)$ . Zet $T = 28$ : $t_{28} = 11 + \frac{28 - 24 , 9}{3 , 80} = 11, 816 h$ , dus om 11:49.
2
Met $h = 30 min$ : $t_{28} = 11 + \frac{3 , 1}{4 , 00} = 11, 775 h$ , om 11:46.
3
Werkelijkheid in de meetreeks: voor het eerst 28 °C om 11:55. De raaklijn voorspelt iets te vroeg, omdat de opwarmsnelheid rond 11 uur al daalt ( $\ddot{T} < 0$ ): de grafiek is bol en ligt onder haar raaklijn.
4
Beslissing: 'open als de voorspelde temperatuur over 15 minuten 28 °C haalt'. Om 11:00 geeft dat $24, 9 + 3, 80 \cdot 0, 25 = 25, 8$ °C: nog niet. Rekent het brein dat elke 5 minuten opnieuw, dan gaat het raam open om 11:35 (voorspeld $28, 0$ °C), 20 minuten voor de kas 28 °C meet.

Antwoord

Volgens de raaklijn ongeveer om 11:49 (met een stap van 30 min om 11:46); gemeten om 11:55. Een voorspelling van bijna een uur vooruit met één helling zit 6 minuten te vroeg: voor een dakraam goed genoeg, en aan de veilige kant.

Klopt dit? De fout past bij de tweede afgeleide: in het model is

\ddot{T} \approx - 1, 1^{\circ} C/ h^{2}

om 11 uur, dus mist de raaklijn na

Δ t

ongeveer

\frac{1}{2} ∣ \ddot{T} ∣ Δ t^{2}

: na 0,92 h ongeveer 0,5 °C, genoeg om het tijdstip enkele minuten te vroeg te leggen. Wie beter wil, neemt de kromming mee (een parabool, hoofdstuk 41) of een model van de kas (hoofdstuk 4 en 17).

Uitleg · 1.22

De afgeleide in de techniek

22/25

Veel grootheden in de techniek zijn afgeleiden. Telkens meet de ene grootheid hoe snel de andere verandert, en de eenheid volgt vanzelf:

grootheid	is de afgeleide van	formule	eenheid
snelheid	plaats	$v = d x / d t$	m/s
versnelling	snelheid	$a = d v / d t$	m/s²
vermogen	energie (of arbeid)	$P = d E / d t$	J/s = W
stroomsterkte	lading	$i = d q / d t$	C/s = A
stroom in een condensator	spanning (maal $C$ )	$i = C d u / d t$	A
spanning over een spoel	stroom (maal $L$ )	$u = L d i / d t$	V
warmtestroom in een massa	temperatuur (maal $C$ )	$P = C d T / d t$	W
debiet	volume	$Q = d V / d t$	m³/s, L/min
kracht	impuls	$F = d p / d t$	N
gevoeligheid van een sensor	uitgang naar ingang	$d U / d T$	V/K

Een paar gevolgen die je in Habitat terugziet. De energiemeter van de module telt wattuur; het vermogen op een ogenblik is de helling van die telling. De stroom door een condensator is nul als de spanning constant is, en groot als ze snel verandert: daarom laat een condensator gelijkstroom tegen en wisselstroom door (hoofdstuk 20). Een spoel doet het omgekeerde: een stroom die plots onderbroken wordt, geeft een enorme $L d i / d t$ , de reden voor de vrijloopdiode over de pomp (hoofdstuk 23 van Intermediate). En de warmtestroom in het station is $C d T / d t$ : meet je hoe snel het afkoelt, dan weet je hoeveel warmte er weglekt.

De energiemeter telt wattuur; het vermogen dat nu door de kabel gaat, is de helling van die telling.

Uitgewerkt voorbeeld · 1.23

Het warmteverlies van het station uit een afkoelcurve

23/25

Op een koude nacht (buiten −8 °C) valt de stroom uit. Het station stond op 20 °C. Het warmtemodel (hoofdstuk 39) zegt $T (t) = - 8 + 28 e^{- t / τ}$ met $τ = 3 h$ en warmtecapaciteit $C = 540 kJ/K$ . Bereken de afkoelsnelheid op het moment van de uitval en het warmteverlies dat daaruit volgt. Wat meet de logger na 10 minuten, en wat zou je met die meting besluiten?

De raaklijn in t = 0 bereikt de buitentemperatuur na τ = 3 h; haar helling maal C is het warmteverlies van 1400 W.

Gegeven

$T (t) = - 8 + 28 e^{- t /3}$ ( $t$ in h, $T$ in °C)
$C = 540 kJ/K$

Gevraagd

$\dot{T} (0)$
$P = C ∣ \dot{T} ∣$
de schatting uit twee metingen

Oplossing

1
Kettingregel: $\dot{T} (t) = 28 \cdot (- \frac{1}{3}) e^{- t /3}$ , dus $\dot{T} (0) = - \frac{28}{3} = - 9, 33^{\circ} C/h$ .
2
Omrekenen: $- 9, 33^{\circ} C/h = - 2, 593 \cdot 1 0^{- 3} K/s$ . Warmtestroom: $P = C ∣ \dot{T} ∣ = 540000 \cdot 2, 593 \cdot 1 0^{- 3} = 1400 W$ .
3
Controle met het dossier: 50 W per graad verschil maal 28 °C is ook 1400 W. De afgeleide van de temperatuur is het warmteverlies, gedeeld door $C$ .
4
Na 10 minuten meet de logger $T = - 8 + 28 e^{- 1/18} = 18, 5$ °C. De voorwaartse differentie is $\frac{18 , 5 - 20 , 0}{1/6} = - 9, 0^{\circ} C/h$ , dus $P \approx 1350 W$ : 4 % te laag, omdat de curve al afbuigt (en de meting afgerond is).

Antwoord

\dot{T} (0) = - 9, 33^{\circ} C/h

P = 1400 W

. Uit twee metingen met 10 minuten ertussen schat je ongeveer 1350 W.

Klopt dit? De raaklijn in

t = 0

snijdt de buitentemperatuur na precies

τ = 3 h

28/ \frac{28}{3} = 3

. Dat is een algemene eigenschap van een exponentiële afkoeling, en een snelle manier om

τ

uit een gemeten curve te halen (hoofdstuk 17).

Uitgewerkt voorbeeld · 1.24

Stroom in een condensator

24/25

Een condensator van 1,0 µF laadt via 10 kΩ op tot 5,0 V, zoals in een ontdenderfilter (hoofdstuk 24 van Intermediate): $u (t) = 5, 0 (1 - e^{- t / τ})$ met $τ = R C$ . Bereken de stroom $i = C d u / d t$ en controleer met de wet van Ohm. Bereken daarna hoe snel de spanning van de supercondensator (1 F) op de 5 V-rail zakt als hij 0,16 A levert.

Gegeven

$C = 1, 0 μ F$ , $R = 10 kΩ$ , $U_{0} = 5, 0 V$
supercondensator $C = 1 F$ , $i = 0, 16 A$

Gevraagd

$i (t)$ , $i (0)$
$d u / d t$ van de supercondensator en de tijd van 5,0 tot 4,5 V

Oplossing

1
$τ = R C = 1 0^{4} \cdot 1 0^{- 6} = 0, 010 s = 10 ms$ .
2
Kettingregel: $\frac{d u}{d t} = 5, 0 \cdot \frac{1}{τ} e^{- t / τ} = 500 e^{- t / τ} V/s$ .
3
$i = C \frac{d u}{d t} = 1 0^{- 6} \cdot 500 e^{- t / τ} = 0, 50 e^{- t / τ} mA$ ; $i (0) = 0, 50 mA$ .
4
Ohm: over de weerstand staat $5, 0 - u = 5, 0 e^{- t / τ}$ , dus $i = \frac{5 , 0 e ^{- t / τ}}{10 000} = 0, 50 e^{- t / τ} mA$ . Dezelfde formule langs twee wegen.
5
Supercondensator: $\frac{d u}{d t} = - \frac{i}{C} = - 0, 16 V/s$ , constant zolang de stroom constant is. Van 5,0 naar 4,5 V: $0, 5/0, 16 = 3, 1 s$ , zoals in hoofdstuk 24 van Intermediate.

Antwoord

i (t) = 0, 50 e^{- t /10 ms} mA

; de supercondensator zakt 0,16 V per seconde en houdt 3,1 s boven 4,5 V.

Klopt dit? Eenheden: F · V/s = (C/V) · (V/s) = C/s = A. De raaklijn aan

u (t)

t = 0

bereikt 5,0 V na precies

τ

: dezelfde eigenschap als bij het afkoelende station.

Waar de spanning het steilst stijgt (bij de start), is de stroom het grootst; als u vlak wordt, valt i weg.

Het geheel · 1.25

Waar afgeleiden vandaan komen en waar ze heen gaan

25/25

De afgeleide is de taal van verandering: ze verbindt de wiskunde (W) met beweging (K), energie en vermogen (E), elektronica (L), regelen (R) en data (A). Wie een model opstelt, schrijft bijna altijd op hoe snel iets verandert; wie meet, wil vaak weten hoe snel iets verandert. Het omgekeerde, uit een snelheid opbouwen hoeveel er is, is integreren: hoofdstuk 3.

F14 Beweging en snelheid

Steilheid van een (s,t)-grafiek is snelheid: het eerste idee van een afgeleide.

I3 Verbanden in data

De richtingscoëfficiënt met eenheid: de helling van een rechte, hier van een kromme.

I7 Beweging beschrijven

Raaklijnen op het oog en het trapeziumprofiel van het kasdak; hier exact.

I24 Condensatoren en de RC-tijd

i = C · du/dt en de laadcurve; hier afgeleid met de kettingregel.

I28 Functies, lijsten en data in Python

CSV-bestanden inlezen en verwerken in Python: de basis van de Habitat-code.

E2 Optimaliseren

Waar de afgeleide nul is, ligt een extremum: het beste ontwerp.

E3 Integralen: ophopen

Het omgekeerde van afleiden: uit vermogen energie, uit snelheid verplaatsing.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Modellen die zeggen hoe snel iets verandert: dy/dt = f(y, t).

E6 Statistiek en meetonzekerheid

Lineariseren is de basis van foutenpropagatie.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Differenties, afrondingsfouten en stabiliteit, verder uitgewerkt.

E39 PID-regeling

De D-actie is een achterwaartse differentie op een meting met ruis.

E43 Neurale netwerken

Leren is afleiden: de gradiënt van een fout naar duizenden parameters.

HabitatHet brein van het station haalt uit elke meetreeks niet alleen waarden maar ook snelheden: de opwarmsnelheid van de meetkas (voorspellend dakraam), de afkoelsnelheid van het station (warmteverlies), het vermogen uit de energiemeter. Afspraak voor de software: een centrale differentie over 30 tot 45 minuten voor temperaturen die om de 5 minuten gelogd worden, en een achterwaartse differentie in regelaars. Opdracht 1.12 werkt dat uit.

Samenvatting

In het kort

De gemiddelde verandering op $[a, b]$ is het differentiequotiënt $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ : de helling van een koorde, met als eenheid die van $y$ per eenheid van $x$ .
De afgeleide $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ is de ogenblikkelijke veranderingssnelheid: de helling van de raaklijn $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ .
Rekenregels: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , afleiden is lineair, $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(u / v)^{'} = (u^{'} v - u v^{'}) / v^{2}$ , $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ ; $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(ln x)^{'} = 1/ x$ , $(sin x)^{'} = cos x$ .
Snelheid, versnelling en schok zijn de eerste, tweede en derde afgeleide van de plaats; een extremum van $f$ valt waar $f^{'} = 0$ , een buigpunt waar $f^{'}$ extreem is.
Lineariseren: $f (a + Δ x) \approx f (a) + f^{'} (a) Δ x$ ; een afgeleide is een gevoeligheid.
Numeriek: voorwaartse differentie fout $\sim h$ , centrale $\sim h^{2}$ ; bij heel kleine $h$ wint de afrondingsfout, bij meetdata de ruis ( $σ / (2 h)$ ): kies de stap bewust.
In de techniek: $P = d E / d t$ , $i = d q / d t$ , $i = C d u / d t$ , $P = C d T / d t$ .

Begrippen

Wat je nu kent

differentiequotiënt: De gemiddelde verandering $Δ y /Δ x$ over een interval: de helling van de koorde tussen twee punten van een grafiek.
afgeleide: De ogenblikkelijke veranderingssnelheid $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ : de helling van de raaklijn in $a$ . Eenheid: eenheid van $f$ per eenheid van $x$ .
raaklijn: De rechte door een punt van een grafiek met als helling de afgeleide in dat punt: de beste lineaire benadering van de functie daar.
tweede afgeleide: De afgeleide van de afgeleide; zegt hoe de helling verandert (bolling). Bij een plaatsfunctie is ze de versnelling.
buigpunt: Punt waar de bolling van een grafiek omslaat; daar is de eerste afgeleide extreem en de tweede afgeleide nul.
kettingregel: De afgeleide van een samengestelde functie: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .
schok (jerk): De afgeleide van de versnelling (m/s³). Een sprong in de versnelling geeft een oneindige schok: een tik in de mechaniek.
lineariseren: Een functie in de buurt van een punt vervangen door haar raaklijn: $f (a + Δ x) \approx f (a) + f^{'} (a) Δ x$ .
centrale differentie: De numerieke benadering $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ van $f^{'} (x)$ , met een fout van orde $h^{2}$ .
afbreekfout: De fout van een numerieke formule omdat de stap h niet nul is; ze wordt kleiner met h.
afrondingsfout: De fout doordat een computer met een eindig aantal cijfers rekent (ongeveer 16 bij float); ze wordt groter bij een heel kleine stap.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen