StemExpert

Expert · Werkboek · 7. Sinusoïden, complexe getallen en fasoren
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 7Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

Een sinus is een draaiende wijzer; met complexe getallen reken je ermee zoals met gewone getallen

Je oefent eerst sinusoïden lezen en rekenen met complexe getallen en fasoren, past ze daarna toe op spanningen, trillingen, metingen, impedanties en de omvormer van het station (Habitat-opdracht 7.12), en eindigt met bewijzen, aliasing, het synchroniseren met het net en een debat over de vraag of imaginaire getallen 'bestaan'. Voor de code-opdrachten heb je Python met numpy nodig.

6× oefenen7× toepassen5× uitdagen± 447 min0/18 gedaan

WWiskundig modelleren LElektriciteit en elektronica KKrachten, beweging en constructies

De omvormer maakt van 48 V gelijkspanning een sinus van 325 V piek, vijftig keer per seconde.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

7.1

Een sinusoïde ontleden

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Een signaalgenerator geeft

u (t) = 12 sin (2000 π t + π /6)

V (

t

in s).

a
Geef de amplitude, de hoekfrequentie, de frequentie en de periode.
b
Schrijf u(t) als een cosinus met de fase in graden.
c
Op welk tijdstip na t = 0 bereikt u voor het eerst haar maximum?

7.2

Rekenen met complexe getallen

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

z_{a} = 2 - 3 j

z_{b} = - 1 + 4 j

a
Bereken $z_{a} + z_{b}$ , $z_{a} - z_{b}$ , $z_{a} z_{b}$ en $\overset{z}{ˉ}_{a}$ .
b
Bereken $z_{a} / z_{b}$ in de vorm $a + bj$ .
c
Bereken $∣ z_{b} ∣$ en $ar g z_{b}$ in graden. In welk kwadrant ligt $z_{b}$ ?

7.3

Van en naar poolvorm

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Reken zonder complexe functies op je rekenmachine; controleer daarna eventueel.

a
Schrijf $- 3 + 3 j$ in poolvorm.
b
Schrijf $5∠ - 12 0^{\circ}$ in de vorm $a + bj$ .
c
Bereken $(- 3 + 3 j) \cdot 5∠ - 12 0^{\circ}$ en $\frac{5∠ - 12 0 ^{\circ}}{- 3 + 3 j}$ in poolvorm.

7.4

Van tijd naar fasor en terug

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Referentie:

cos ω t

met

ω = 100 π rad/s

; fasoren met de amplitude als lengte.

a
Geef de fasoren van $u_{1} = 10 cos (ω t - 3 0^{\circ})$ , $u_{2} = 4 sin ω t$ en $u_{3} = - 6 cos ω t$ , in poolvorm en als $a + bj$ .
b
Welke signalen horen bij de fasoren $3 j$ en $2 - 2 j$ ?
c
Geef de fasor van $\frac{d u _{1}}{d t}$ en schrijf het signaal uit.

7.5

Voorijlen of naijlen?

Oefenen6Begrijpen12 min

gedaan

Lees het fasordiagram (50 Hz, de wijzers draaien tegen de klok in).

Drie fasoren bij 50 Hz: de spanning u en twee stromen i₁ en i₂.

a
Welke stroom ijlt voor op u, welke na? Met hoeveel graden?
b
Hoeveel milliseconden na de piek van u komt de piek van i₁? En die van i₂?
c
Welk soort toestel zou i₂ kunnen trekken, en welk i₁?

7.6

Euler in de praktijk

Oefenen7Rekenen15 min

gedaan

Gebruik

e^{j φ} = cos φ + j sin φ

a
Bereken $e^{j π /2}$ , $e^{j π}$ , $e^{j 2 π}$ en $e^{- j π /3}$ .
b
Toon aan dat $cos φ = \frac{e ^{j φ} + e ^{- j φ}}{2}$ .
c
Bereken $j^{j}$ . Tip: $j = e^{j π /2}$ . Wat is er bijzonder aan het resultaat?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

7.7

Twee spanningen in serie

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

Twee sinusvormige spanningen van 50 Hz staan in serie:

u_{1} = 20 cos ω t

u_{2} = 15 cos (ω t - 9 0^{\circ})

(V).

a
Bereken de fasor van u = u₁ + u₂ en schrijf u(t).
b
Controleer je resultaat op t = 0 en op t = 5 ms.
c
Een voltmeter meet effectieve waarden. Wat wijst hij aan over u₁, over u₂ en over beide samen?

7.8

Fasordiagram en tijdbeeld tekenen

Toepassen7Tekenen25 min

gedaan

Drie stromen komen samen in een knooppunt:

i_{1} = 3 cos ω t

i_{2} = 2 cos (ω t + 9 0^{\circ})

i_{3} = 2 cos (ω t - 15 0^{\circ})

(A).

a
Teken de drie fasoren op schaal (1 A = 2 cm) en construeer hun som kop aan staart. Meet lengte en hoek van de som.
b
Bereken de som met complexe getallen en vergelijk met je tekening.
c
Schets de vier signalen over één periode in één grafiek (ωt van 0 tot 360°).

7.9

Van versnelling naar uitwijking

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

Een versnellingsmeter op de ventilatie-unit meet na onderhoud

a (t) = 0, 8 cos (2 π \cdot 25 t) m/ s^{2}

a
Bereken met fasoren (delen door jω) de snelheid en de uitwijking, met amplitude en fase.
b
Een richtlijn voor trillingen van kleine machines noemt een effectieve trilsnelheid tot ongeveer 1,8 mm/s 'goed'. Hoe scoort de unit?

7.10

Een fasor uit een meetreeks

Toepassen8Programmeren30 min

gedaan

Je schrijft zelf de functie die het handboek gebruikte om amplitude en fase uit metingen te halen.

a
Maak met numpy 0,1 s van een signaal 2,5 cos(2π · 50 t + 40°) met normale ruis (σ = 0,3), bemonsterd op 2 kHz. Schrijf een functie fasor(x, t, f) en druk amplitude en fase af.
b
Neem nu 0,105 s in plaats van 0,1 s. Wat gebeurt er met de fout, en waarom?
c
Hoe zou je met dezelfde functie de fase tussen de spanning en de stroom van een toestel meten?

7.11

Twee ventilatoren die zweven

Toepassen7Analyseren20 min

gedaan

In de technische ruimte hangen de ventilator van de omvormer (1450 tpm) en die van de batterijkast (1500 tpm) op hetzelfde rek.

a
Met welke frequentie zweeft het gebrom? Hoe lang duurt één aanzwelling?
b
Leg met twee wijzers uit waarom het geluid aanzwelt en wegsterft.
c
Stel twee manieren voor om de hinder weg te nemen.

7.12

Habitat: de ontwerpbelasting van de omvormer

Toepassen8Habitat45 min

gedaan

Het energiebeheer van het station laat hoogstens deze toestellen tegelijk draaien (230 V, 50 Hz; stromen ijlen na, behalve bij de verwarming):

belasting	$P$ (W)	$cos φ$
noodverwarming	2000	1,00
drukpomp drinkwater	750	0,81
koelkast	150	0,70
rest (licht, elektronica, WTW, Pi)	300	0,95
samen

a
Bereken per toestel de schijnbare belasting S = P/cos φ, de stroom en zijn hoek. Vul de tabel aan.
toestel S (VA) I (A) hoek (°)
b
Tel de stromen op als fasoren. Hoe groot is de totale stroom, onder welke hoek, en welke schijnbare belasting ziet de omvormer?
c
Vergelijk met de gewone som van de stromen. Welke fout maak je zo, en is dat een veilige fout?
d
Het dossier kiest een omvormer van 4,0 kVA continu en 8 kVA gedurende 5 s. Beoordeel die keuze; houd rekening met de aanloopstroom van de pomp (zes keer de nominale stroom, bijna zuiver inductief).

Zo wordt dit beoordeeld

Fasoren	Elke stroom correct als fasor (grootte en hoek, teken van de hoek), in poolvorm en als a + bj.
Som	Complexe som correct; modulus en hoek met atan2; S = U · \|I\|.
Interpretatie	Verschil met de gewone som verklaard; begrijpt dat de gewone som een veilige bovengrens is.
Keuze	Marge onderbouwd met getallen, aanloopstroom meegenomen, koppeling naar de 48 V-kant (stroom).

7.13

Impedanties uitrekenen

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Een condensator van 100 nF, een spoel van 10 mH en een weerstand van 1,0 kΩ.

a
Bereken de impedantie van de condensator bij 50 Hz en bij 10 kHz, en die van de spoel bij 50 Hz.
b
De weerstand en de condensator staan in serie aan een sinusvormige spanning van 5,0 V amplitude en 1,0 kHz. Bereken de stroom (amplitude en fase) en de spanning over de condensator.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

7.14

Goniometrie uit Euler

Uitdagen8Analyseren25 min

gedaan

Met

e^{j (α + β)} = e^{j α} e^{j β}

(e^{j φ})^{n} = e^{j n φ}

vind je de goniometrische formules terug zonder ze te onthouden.

a
Leid de somformules voor $cos (α + β)$ en $sin (α + β)$ af door beide kanten uit te werken en reële en imaginaire delen gelijk te stellen.
b
Leid met De Moivre $cos 3 φ = 4 cos^{3} φ - 3 cos φ$ af.
c
Toon met Euler aan dat $cos^{2} φ = \frac{1}{2} (1 + cos 2 φ)$ , en gebruik het om te verklaren waarom het vermogen $u i$ in een weerstand met de dubbele frequentie schommelt.

7.15

Onderzoek: aliasing als draaiende wijzer

Uitdagen8Onderzoeken40 min

gedaan

Een goedkope logger meet de netspanning (via een veilige meettransformator) maar 60 keer per seconde.

a
Hoeveel graden draait de wijzer van 50 Hz tussen twee metingen? Welke draai 'ziet' de logger, en welke frequentie lijkt het signaal te hebben?
b
Controleer met een Python-programma: vergelijk de metingen van cos(2π · 50 t) met die van de schijnbare frequentie.
c
Bij welke bemonsteringsfrequenties zou het 50 Hz-signaal als 0 Hz (een constante) verschijnen? Waarom is dat gevaarlijk voor een meting?

Zo wordt dit beoordeeld

Redenering	Draai per meting correct; schijnbare draai tussen −180° en 180°; frequentie met teken.
Programma	Metingen van beide signalen vallen samen; resultaat correct geïnterpreteerd.
Veralgemening	fs = 50/k Hz gevonden; gevaar van een schijnbaar constant signaal uitgelegd.

7.16

Ontwerp: de synchronisatiecontrole van de omvormer

Uitdagen9Ontwerpen50 min

gedaan

Voor de omvormer op het net inschakelt, moet het brein van het station controleren dat hij in de pas loopt. Koppelspoel 2,0 mH (X = 0,63 Ω); nominale stroom 17,4 A (4,0 kVA); de omvormer verdraagt kort 35 A.

a
Leid af dat het vermogen naar het net $P = \frac{U _{1} U _{2}}{X} sin δ$ is, met $U_{1}$ de omvormer, $U_{2}$ het net en $δ$ het faseverschil.
b
Hoe groot mag het faseverschil bij het inschakelen hoogstens zijn om onder 35 A te blijven (gelijke spanningen)? En het spanningsverschil bij δ = 0?
c
Ontwerp de controle: welke grootheden meet je, met welke methode (denk aan de fasor uit metingen), welke grenzen, en hoe lang wacht je tot je inschakelt?

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	P = U₁U₂ sin δ / X correct afgeleid met fasoren (Re van U₂ maal de toegevoegde stroom).
Grenzen	Faseverschil en spanningsverschil correct berekend uit X en de toegelaten stroom.
Ontwerp	Meet frequentie, fase en amplitude van beide spanningen (fasor over hele periodes); grenzen en wachttijd onderbouwd; veilige toestand bij twijfel.

7.17

Debat: bestaan imaginaire getallen?

Uitdagen8Argumenteren40 min

gedaan

Descartes noemde ze denkbeeldig, Cardano nutteloos. Toch rekent elk elektriciteitsnet, elke gsm en elke MRI-scanner ermee, en in de kwantummechanica staat j in de basisvergelijking. Maar een stroommeter wijst nooit '3j ampère' aan.

a
Verdedig één van de standpunten: (a) complexe getallen zijn een handige rekentruc, meer niet; (b) ze beschrijven iets echts. Gebruik minstens twee voorbeelden uit dit hoofdstuk.
b
Bestaan negatieve getallen of de wortel uit twee 'echt'? Wat zegt dat over je antwoord op de vorige vraag?

Zo wordt dit beoordeeld

Argumenten	Minstens twee voorbeelden uit het hoofdstuk (fasor, impedantie, Euler, trilling) correct gebruikt.
Tegenargument	Het sterkste argument van de andere kant eerlijk weergegeven.
Reflectie	Vergelijking met andere getalsoorten; onderscheid tussen een meetbare grootheid en een model.

7.18

Het gemiddelde vermogen met fasoren

Uitdagen8Analyseren30 min

gedaan

Een toestel krijgt

u = \hat{U} cos ω t

en neemt

i = \hat{I} cos (ω t - φ)

a
Bereken het gemiddelde van $p = u i$ over één periode met een integraal (hoofdstuk 3). Tip: productformule of Euler.
b
Toon aan dat dat gelijk is aan $\frac{1}{2} Re (U \overset{ˉ}{I})$ met de fasoren $U = \hat{U}$ en $I = \hat{I} e^{- j φ}$ , en aan $U_{eff} I_{eff} cos φ$ .
c
Reken na voor de pomp uit het handboek (325 V, 5,70 A, 36°).

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan van een sinusoïdaal signaal amplitude, periode, frequentie, hoekfrequentie en fase bepalen, ook uit een oscilloscoopbeeld, en een tijdverschil omrekenen naar een faseverschil.
Ik kan een sinus en een cosinus uitleggen als projecties van een draaiende wijzer, en afleiden als een draaiing over 90° met een factor ω.
Ik kan twee sinusoïden van dezelfde frequentie optellen als vectoren en de amplitude en fase van de som berekenen.
Ik kan rekenen met complexe getallen in de vorm a + bj en in poolvorm (optellen, vermenigvuldigen, delen, toegevoegde, modulus, argument met het juiste kwadrant).
Ik kan de formule van Euler afleiden en gebruiken, en complexe getallen in Python (cmath, numpy) inzetten.
Ik kan sinusoïden als fasoren voorstellen en er sommen en afgeleiden mee berekenen, en een fasor uit bemonsterde metingen halen.
Ik kan zwevingen en aliasing verklaren met wijzers die met verschillende snelheden draaien.
Ik kan de impedantie van R, L en C als complex getal afleiden en gebruiken voor een eenvoudige kring, en een gedwongen trilling met een fasor oplossen.
Ik kan voor de netomvormer van het station amplitude, frequentie en fase vastleggen en de stroom bij een gemengde belasting met fasoren berekenen.