EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Handboek · hoofdstuk 3Integralen: ophopen

Uit een vermogen de energie, uit een stroom de lading, uit een snelheid de weg

Wie weet hoe snel iets verandert, wil vaak weten hoeveel er in totaal bijkomt. Een zonnepaneel meldt watt, de bewoners betalen kilowattuur; een stroommeter meet ampère, de batterij bevat ampère-uur. Dat ophopen is de integraal: een oppervlakte onder een kromme, opgebouwd uit dunne strookjes. Je bouwt ze op met Riemann-sommen, rekent ze exact uit met primitieven dankzij de hoofdstelling, en numeriek met de trapeziumregel en Simpson. Voor Habitat haal je de dagopbrengst van de zonnepanelen uit een vermogensgrafiek.

7× uitleg6× uitgewerkt voorbeeld1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code15 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

WWiskundig modelleren EEnergie KKrachten, beweging en constructies

Een wolk die voorbijdrijft, is een dip in het vermogen en een klein gat in de energie van de dag.

Na dit hoofdstuk

Je kan een hoeveelheid die met een veranderlijke snelheid ophoopt, voorstellen als de oppervlakte onder een kromme, met de juiste eenheid.
Je kan linker-, rechter- en middenpunt-Riemann-sommen berekenen en uitleggen hoe ze naar de bepaalde integraal gaan.
Je kan de bepaalde integraal interpreteren als oppervlakte met teken en haar eigenschappen gebruiken.
Je kan primitieve functies bepalen en de hoofdstelling uitleggen en gebruiken om integralen exact te berekenen.
Je kan integralen toepassen: energie uit vermogen, lading uit stroom, verplaatsing uit snelheid, arbeid bij een veranderlijke kracht.
Je kan een integraal numeriek benaderen met de trapeziumregel en Simpson, ook op meetdata, en de orde van de fout verklaren.
Je kan de gemiddelde waarde en de effectieve waarde van een functie berekenen en interpreteren.
Je kan de dagopbrengst van de zonnepanelen uit metingen berekenen en kritisch vergelijken met PVGIS en het energiebudget.

Verhaal · 3.1

Archimedes en de uitgeputte parabool

1/19

In de derde eeuw voor Christus wilde Archimedes van Syracuse de oppervlakte kennen van een stuk parabool, afgesneden door een rechte. Er bestond geen formule, dus bouwde hij er een. Hij tekende in het stuk de grootste driehoek, daarna in de twee overblijvende randjes weer de grootste driehoeken, en zo verder. Elke nieuwe generatie driehoeken samen bleek precies een vierde van de vorige te zijn. De oppervlakte is dus

T (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots) = \frac{4}{3} T,

met $T$ de eerste driehoek. Omdat de Grieken oneindige sommen wantrouwden, bewees hij het met de methode van uitputting (exhaustie, ouder dan hem, van Eudoxus): de oppervlakte kan niet groter en niet kleiner zijn dan $\frac{4}{3} T$ , want elk verschil zou na genoeg stappen uitgeput raken.

Hoe Archimedes zulke resultaten eerst vond, bleef eeuwenlang een raadsel. Het antwoord stond in De Methode, een brief die alleen bewaard bleef in een tiende-eeuwse kopie. In de dertiende eeuw werd dat perkament afgeschraapt en overschreven als gebedenboek: een palimpsest. In 1906 herkende de Deense filoloog Johan Ludvig Heiberg er de tekst van Archimedes in; in 1998 werd het boek geveild en daarna in het Walters Art Museum in Baltimore met multispectrale beeldvorming gelezen. Archimedes 'woog' er figuren door ze op te delen in ontelbare dunne sneden: het idee van een integraal, bijna tweeduizend jaar voor Newton en Leibniz.

Leibniz gaf die sommen van dunne sneden een teken, $\int$ , een uitgerekte s van summa. In 1854 maakte Bernhard Riemann er een strenge definitie van: de sommen van rechthoekjes die je in dit hoofdstuk leert.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het brein van het station telt voortdurend op: wattuur uit de zonnepanelen, ampère-uur in en uit de batterij, liter water, graaduren kou. Elke teller is een integraal, en elke numerieke integraal heeft een fout die afhangt van hoe vaak je meet. De I-actie van een PID-regelaar (hoofdstuk 39) en elke simulatie (hoofdstuk 4) zijn integralen.

Onder een gebedenboek bleef de tekst van Archimedes bewaard; pas met moderne beeldvorming werd ze helemaal leesbaar.

Uitleg · 3.2

Wat je al weet: ophopen

2/19

wat je al kan	wat nu komt
energie = vermogen × tijd, in kWh (hoofdstuk 21 van Fundamental)	energie als oppervlakte onder een veranderlijk vermogen
de oppervlakte onder een (v,t)-grafiek is de verplaatsing, voor rechte stukken (hoofdstuk 7 van Intermediate)	voor elke kromme, exact of numeriek
de dagopbrengst als som van uurwaarden, volle zonuren (hoofdstuk 20 van Intermediate)	de trapeziumregel, en hoe groot de fout is
afgeleiden en rekenregels (hoofdstuk 1)	primitieven: de afgeleide achterstevoren

Stroomt water met een constant debiet van 5,0 L/min, dan komt er in 12 minuten $5, 0 \cdot 12 = 60 L$ bij: debiet maal tijd, de oppervlakte van een rechthoek onder de (Q,t)-grafiek. Levert een paneel 350 W gedurende 2 uur, dan is dat 700 Wh. Maar echte snelheden veranderen. Dan deel je de tijd op in stukjes waarin de snelheid bijna constant is, en tel je de rechthoekjes op: de oppervlakte onder de kromme.

Het schuifpaneel van de kasmodule (hoofdstuk 7 van Intermediate) had een trapeziumprofiel: de oppervlakte onder zijn (v,t)-grafiek is $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 10 + 5 \cdot 0, 10 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 10 = 0, 60 m$ , precies de slag. Voor het vijfdegraadsprofiel uit hoofdstuk 1 lukt dat niet meer met driehoekjes en rechthoeken; daarvoor is dit hoofdstuk.

ophopen

hoeveelheid = \int snelheid d t

Eenheid: de eenheid van de snelheid maal die van de tijd: W · h = Wh, A · h = Ah, (m/s) · s = m, (L/min) · min = L.

Twee bewegingen van het kasdak, dezelfde oppervlakte onder de snelheidskromme: 0,60 m.

Uitleg · 3.3

Riemann-sommen

3/19

Neem een geïdealiseerde heldere dag: $P (t) = 900 sin (π (t - 6, 5) /14)$ watt, van 6:30 tot 20:30. Hoeveel energie leveren de panelen in de ochtend, van 6:30 tot 13:30? Verdeel die 7 uur in $n = 7$ stroken van $Δ t = 1 h$ en neem in elke strook een rechthoek met als hoogte het vermogen in één punt:

Riemann-som

S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x

x_{i}^{*}

ligt in de

i

-de strook: links (linkersom

L_{n}

), rechts (

R_{n}

) of in het midden (

M_{n}

Het vermogen stijgt in de ochtend, dus de linkersom onderschat (3544 Wh) en de rechtersom overschat (4444 Wh). De middenpuntsom zit er dicht bij: 4019 Wh, tegen exact 4011 Wh (dat bereken je verder in dit hoofdstuk). Hoe smaller de stroken, hoe kleiner het verschil.

Voor $f (x) = x^{2}$ op $[0, 1]$ kan je de limiet zelfs exact volgen. Met $n$ stroken is de rechtersom

R_{n} = i = 1 \sum n (\frac{i}{n})^{2} \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{3}} i = 1 \sum n i^{2} = \frac{1}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{6 n ^{2}},

en die gaat naar $\frac{1}{3}$ als $n \to \infty$ . Zo werkte Archimedes ook, zonder algebra.

$n$	links $L_{n}$	rechts $R_{n}$	midden $M_{n}$
4	0,218750	0,468750	0,328125
10	0,285000	0,385000	0,332500
100	0,328350	0,338350	0,333325
1000	0,332834	0,333834	0,333333
limiet	$1/3 = 0, 333333 \dots$

Zeven stroken van een uur: links te weinig, rechts te veel, in het midden bijna exact (4011 Wh).

Uitgewerkt voorbeeld · 3.4

Hoeveel water verliest de meetkas per dag?

4/19

De meetkas verliest water door verdamping en door de planten. Uit het gewicht van de plantenbakken schat het brein van het station elke 2 uur hoe snel dat gaat (voorbeeldreeks):

tijd (h)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
mL/h	25	25	25	25	76	129	161	161	129	76	25	25	25

Bereken het verlies over de hele dag met de linker- en de rechtersom, en vergelijk met de 1,8 L per dag uit het dossier (150 mL per bakje, hoofdstuk 27 van Fundamental).

De linkersom: elke strook van 2 uur krijgt de hoogte van de meting aan zijn begin.

Gegeven

snelheid $r (t)$ in mL/h om de 2 uur, van 0 tot 24 uur
$Δ t = 2 h$

Gevraagd

$L_{12}$ en $R_{12}$ in mL, en hun gemiddelde

Oplossing

1
Linkersom: elke strook krijgt de waarde aan het begin: $L_{12} = 2 \cdot (25 + 25 + 25 + 25 + 76 + 129 + 161 + 161 + 129 + 76 + 25 + 25) = 1764 mL$ .
2
Rechtersom: de waarde aan het eind: $R_{12} = 2 \cdot (25 + 25 + 25 + 76 + 129 + 161 + 161 + 129 + 76 + 25 + 25 + 25) = 1764 mL$ .
3
Hier zijn ze zelfs gelijk: $L_{12} - R_{12} = Δ t (r_{0} - r_{24}) = 0$ , want de reeks begint en eindigt met 25 mL/h. Wat links te weinig is in de ochtend, is rechts te veel, en omgekeerd in de namiddag. Samen: $1764 mL$ .
4
Eenheid: mL/h maal h geeft mL. Omgerekend: $1, 76 L$ per dag.

Antwoord

Ongeveer 1,76 L per dag, in overeenstemming met de 1,8 L van het dossier. Het gemiddelde van links en rechts is de trapeziumregel, verder in dit hoofdstuk.

Klopt dit? Het gladde verloop waaruit de reeks gemaakt is, geeft 1,777 L. Met metingen om de 2 uur mis je de vorm van de piek rond de middag, maar het totaal zit er op enkele procent na.

Uitleg · 3.5

De bepaalde integraal

5/19

Als de Riemann-sommen naar één getal gaan, welk punt je in de stroken ook kiest, dan is dat getal de bepaalde integraal. Voor continue functies is dat altijd zo.

bepaalde integraal

\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x

Leibniz' notatie vertelt het verhaal:

\int

is een som,

f (x) d x

een strookje met hoogte

f (x)

en breedte

d x

. Eenheid: die van

f

maal die van

x

a

b

zijn de grenzen.

Oppervlakte met teken. Waar $f$ negatief is, zijn de strookjes negatief. De stroom van de batterij is positief bij laden en negatief bij ontladen: de integraal over een dag is de netto lading. De figuur toont een gemiddelde aprildag in de module (zonnestroom min verbruik per uur, uit hoofdstuk 20 van Intermediate): overdag gaat er 231 Ah in, 's avonds en 's nachts 83 Ah uit, netto $148 Ah$ . Dat is meer dan de batterij (2 × 120 Ah) kan opnemen: in werkelijkheid stopt de regelaar met laden als ze vol is, het overschot uit hoofdstuk 20 van Intermediate. Wie de totale 'drukte' wil, integreert $∣ f ∣$ .

Eigenschappen, rechtstreeks uit de sommen:

lineair: $\int_{a}^{b} (c f + g) = c \int_{a}^{b} f + \int_{a}^{b} g$ ;
opsplitsen: $\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{c} f$ (energie van de ochtend plus die van de namiddag);
grenzen omdraaien wisselt het teken: $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ , en $\int_{a}^{a} f = 0$ ;
als $f \leq g$ op $[a, b]$ , dan $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .

Groen telt positief (laden), rood negatief (ontladen); de integraal over de dag is het verschil.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.6

Een coulombteller voor de batterij

6/19

De batterij van de module (2 × 120 Ah) staat 's morgens om 7:00 op 55 %. Een stroomsensor meet elk uur (positief = laden). Bereken met de trapeziumregel per uur hoeveel ampère-uur er bijkomt en volg de laadtoestand (state of charge, SoC).

Gegeven

$I$ om 7:00, 8:00, …, 19:00: 2,0; 6,5; 12,0; 17,0; 19,0; 18,0; 13,5; 6,0; −3,5; −15,5; −15,8; −15,7; −15,8 A
$Q_{nom} = 240 Ah$ , start 55 % = 132 Ah

Gevraagd

laadtoestand na elk uur

Oplossing

1
In elk uur: $Δ Q \approx \frac{I _{i} + I _{i + 1}}{2} \cdot 1 h$ (een trapezium). Eerste uur: $\frac{2 , 0 + 6 , 5}{2} = 4, 25 Ah$ .
2
De teller telt die bijdragen op: $Q_{k} = Q_{0} + \sum Δ Q$ . Dat is een Riemann-som die de integraal $\int I d t$ benadert.

Het programma hieronder doet het voor alle uren.

# coulombteller.py - laadtoestand van de batterij uit de gemeten stroom (trapeziumregel, cumulatief)
stroom = [2.0, 6.5, 12.0, 17.0, 19.0, 18.0, 13.5, 6.0, -3.5, -15.5, -15.8, -15.7, -15.8]   # A, om het uur
Q_nominaal = 240.0            # Ah (2 x 120 Ah)
soc = 0.55                     # laadtoestand bij de start (55 %)
q = soc * Q_nominaal
for i in range(len(stroom) - 1):
    q += (stroom[i] + stroom[i + 1]) / 2 * 1.0          # Ah in dit uur
    print("na uur %2d: %6.1f Ah  (%3.0f %%)" % (i + 1, q, 100 * q / Q_nominaal))

na uur  1:  136.2 Ah  ( 57 %)
na uur  2:  145.5 Ah  ( 61 %)
na uur  3:  160.0 Ah  ( 67 %)
na uur  4:  178.0 Ah  ( 74 %)
na uur  5:  196.5 Ah  ( 82 %)
na uur  6:  212.2 Ah  ( 88 %)
na uur  7:  222.0 Ah  ( 92 %)
na uur  8:  223.2 Ah  ( 93 %)
na uur  9:  213.8 Ah  ( 89 %)
na uur 10:  198.1 Ah  ( 83 %)
na uur 11:  182.3 Ah  ( 76 %)
na uur 12:  166.6 Ah  ( 69 %)

Antwoord

De batterij stijgt tot 93 % om 15:00 en zakt 's avonds weer als de lampen aangaan en de zon weg is: om 19:00 staat ze op 69 %.

Klopt dit? Een echte coulombteller telt veel vaker (elke seconde) en corrigeert zijn drift: een stroomsensor met een fout van 0,1 A telt er 2,4 Ah per dag bij, 1 % van de batterij. Daarom zet een BMS de teller opnieuw gelijk als de batterij vol is (hoofdstuk 16 van Intermediate).

Uitleg · 3.7

Primitieve functies

7/19

Een primitieve functie van $f$ is een functie $F$ waarvan de afgeleide $f$ is: $F^{'} = f$ . Je zoekt dus de afgeleide 'achterstevoren'. Omdat de afgeleide van een constante nul is, heeft $f$ niet één maar oneindig veel primitieven: $F (x) + C$ . Een tabel volgt rechtstreeks uit de tabel van afgeleiden in hoofdstuk 1:

$f (x)$	primitieve $F (x)$	controle: $F^{'} (x)$
$k$ (constante)	$k x$	$k$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$x^{n}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$	$\frac{1}{x}$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x}$	$e^{k x}$
$sin (ω t)$	$- \frac{1}{ω} cos (ω t)$	$sin (ω t)$
$cos (ω t)$	$\frac{1}{ω} sin (ω t)$	$cos (ω t)$

Bij elke primitieve mag je een constante $C$ optellen. Voor de bepaalde integraal valt die weg in $F (b) - F (a)$ .

Voorbeelden: een primitieve van $3 t^{2} + 4 t$ is $t^{3} + 2 t^{2}$ ; van $e^{- t / τ}$ is $- τ e^{- t / τ}$ ; van $325 sin (100 π t)$ is $- \frac{325}{100 π} cos (100 π t)$ . Controleer altijd door af te leiden: dat is eenvoudig, en de fouten zitten meestal in een factor ( $\frac{1}{k}$ , $\frac{1}{ω}$ ) of een teken.

Niet elke functie heeft een formule als primitieve

$e^{- x^{2}}$ (de normale verdeling, hoofdstuk 6), $sin (x) / x$ of het vermogen van een echte zonnedag hebben geen primitieve die je met gewone functies kan opschrijven. Afleiden kan altijd, integreren in formules niet. Daarom is numeriek integreren in de techniek geen noodgreep maar het gewone werk.

Uitleg · 3.8

De hoofdstelling: afleiden en integreren zijn elkaars omgekeerde

8/19

Definieer de oppervlaktefunctie $E (x) = \int_{6, 5}^{x} P (t) d t$ : de energie die de panelen sinds de ochtend geleverd hebben, tot tijdstip $x$ . Hoe snel groeit $E$ ? Schuif $x$ een beetje op, met $h$ . Er komt een dun strookje bij met breedte $h$ en hoogte ongeveer $P (x)$ :

E (x + h) - E (x) \approx P (x) \cdot h ⟹ \frac{E ( x + h ) - E ( x )}{h} \approx P (x) .

Hoe smaller het strookje, hoe beter (voor een continue $P$ ); in de limiet: $E^{'} (x) = P (x)$ . De energieteller groeit met precies het vermogen: dat wist je fysisch al, nu staat het wiskundig.

hoofdstelling van de integraalrekening

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) als F^{'} = f

Eerste deel: de oppervlaktefunctie is een primitieve. Tweede deel: elke primitieve

F

verschilt daarvan maar een constante, en die valt weg in het verschil. Notatie:

[F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Terug naar $x^{2}$ : $F (x) = x^{3} /3$ is een primitieve, dus $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ , de limiet waar de Riemann-sommen naartoe kropen, in één regel. Een oneindige som van strookjes wordt een verschil van twee functiewaarden: dat is de kracht van de stelling, en de reden waarom Newton en Leibniz de vaders van de analyse heten.

Boven: de oppervlakte tot x = 11 h (blauw) en een strookje van een half uur breed (rood). Onder: die oppervlakte als functie van x; haar helling is P(x).

Uitgewerkt voorbeeld · 3.9

De energie van een ideale heldere dag

9/19

Bereken exact de energie van de geïdealiseerde dag $P (t) = 900 sin (π (t - 6, 5) /14)$ W van 6:30 tot 20:30, en die van de ochtend (tot 13:30). Vergelijk met de Riemann-sommen met zeven stroken.

Gegeven

$P_{max} = 900 W$ , $L = 14 h$ , $t_{0} = 6, 5 h$

Gevraagd

$E_{dag} = \int_{6, 5}^{20, 5} P d t$ en $E_{ochtend}$

Oplossing

1
Substitueer $u = π (t - 6, 5) /14$ ; een primitieve van $sin (ω (t - t_{0}))$ is $- \frac{1}{ω} cos (ω (t - t_{0}))$ met $ω = \frac{π}{14} h^{- 1}$ .
2
$E_{dag} = 900 [- \frac{14}{π} cos \frac{π ( t - 6 , 5 )}{14}]_{6, 5}^{20, 5} = 900 \cdot \frac{14}{π} (- cos π + cos 0) = \frac{2 \cdot 900 \cdot 14}{π}$ .
3
$E_{dag} = 8021 Wh \approx 8, 02 kWh$ . De ochtend is de helft (symmetrie): $\frac{900 \cdot 14}{π} = 4011 Wh$ .
4
Riemann met zeven stroken: links 3544, rechts 4444, midden 4019 Wh. De middenpuntsom mist maar 0,2 %.

Antwoord

E_{dag} = \frac{2 P _{max} L}{π} = 8, 02 kWh

: een sinus levert

\frac{2}{π} \approx 64 %

van wat de piek over de hele dag zou geven.

Klopt dit? Eenheid: W · h = Wh. Orde van grootte: 5,7 Wh per Wp, vrijwel evenveel als de heldere hemel van 12 mei verder in dit hoofdstuk (5,7 Wh per Wp). De sinus is een ruw model: echte zonnedagen zijn smaller aan de voet (lage zon) en hebben een vlakkere top.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.10

Verplaatsing uit snelheid: het kasdak

10/19

In hoofdstuk 1 opende het schuifpaneel met het vijfdegraadsprofiel $v (t) = \frac{30 s}{T} u^{2} (1 - u)^{2}$ , $u = t / T$ , $s = 0, 60 m$ , $T = 7, 0 s$ . Toon aan dat het paneel echt 0,60 m aflegt, en bereken hoe ver het na 2,0 s is.

Gegeven

$v (t) = \frac{30 s}{T} u^{2} (1 - u)^{2}$ met $u = t / T$

Gevraagd

$\int_{0}^{T} v d t$ en $x (2, 0 s)$

Oplossing

1
Substitueer $u = t / T$ , dus $d t = T d u$ : $\int_{0}^{T} v d t = 30 s \int_{0}^{1} u^{2} (1 - u)^{2} d u$ .
2
Werk uit: $u^{2} (1 - u)^{2} = u^{2} - 2 u^{3} + u^{4}$ , met primitieve $\frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{4}}{2} + \frac{u ^{5}}{5}$ .
3
Van 0 tot 1: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10 - 15 + 6}{30} = \frac{1}{30}$ . Dus $\int_{0}^{T} v d t = 30 s \cdot \frac{1}{30} = s = 0, 60 m$ .
4
Tot $t = 2, 0 s$ ( $u = 2/7$ ): $x = 30 s (\frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{4}}{2} + \frac{u ^{5}}{5}) = s (10 u^{3} - 15 u^{4} + 6 u^{5}) = 0, 0868 m$ .

Antwoord

Het paneel legt precies 0,60 m af; na 2,0 s is het 8,7 cm ver. De primitieve van de snelheid is de plaatsfunctie van hoofdstuk 1.

Klopt dit? De afgeleide van

s (10 u^{3} - 15 u^{4} + 6 u^{5})

naar

t

geeft terug

v (t)

(hoofdstuk 1). En de afstandssensor in opdracht 1.10 mat op 2,0 s 0,087 m.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.11

Arbeid bij een veranderlijke hoogte: de tank vullen

11/19

De drinkwatertank van het station (hoofdstuk 2: diameter 0,78 m, 500 L) staat met haar bodem 0,30 m boven de vloer op een sokkel. Stel dat ze gevuld wordt vanuit een put waarvan de waterspiegel 2,0 m onder de vloer ligt. Hoeveel arbeid kost het om de tank te vullen, en hoeveel elektrische energie met een pomp van 10 % rendement (hoofdstuk 9 van Intermediate)?

Gegeven

$A = π \cdot 0, 3 9^{2} = 0, 4778 m^{2}$ , waterhoogte $h = 1, 046 m$
elk laagje moet van −2,0 m naar $0, 30 + y$ m

Gevraagd

$W = \int d W$ en de elektrische energie

Oplossing

1
De kracht is niet het probleem, de hoogte wel: elk laagje water gaat anders ver omhoog. Een laagje op hoogte $y$ in de tank met dikte $d y$ heeft massa $d m = ρ A d y$ en gaat $2, 3 + y$ meter omhoog.
2
$d W = ρ g A (2, 3 + y) d y$ , dus $W = ρ g A \int_{0}^{h} (2, 3 + y) d y = ρ g A [2, 3 y + \frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{h}$ .
3
$W = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 0, 4778 \cdot (2, 3 \cdot 1, 046 + \frac{1 , 04 6 ^{2}}{2}) = 13, 8 kJ$ .
4
In wattuur: $3, 85 Wh$ ; met 10 % rendement $38 Wh$ elektrisch.

Antwoord

Ongeveer 13,8 kJ arbeid, 38 Wh elektrisch: minder dan de groeilampen in een kwartier verbruiken.

Klopt dit? Het resultaat is

m g (2, 3 + h /2)

: alsof alle 500 kg in één keer tot het zwaartepunt van de volle tank gaan. De integraal bewijst die vuistregel (een gemiddelde hoogte, verder in dit hoofdstuk).

Naslag · 3.12

Integralen: formules en eenheden

12/19

Controleer een primitieve door af te leiden, een numerieke integraal door $n$ te verdubbelen, en elk resultaat op eenheden.

hoofdstelling

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} = f

ophopen in de techniek

E = \int P d t Q = \int I d t x = \int v d t W = \int F d x

symbool	betekenis	eenheid
$E$	energie	J of Wh
$Q$	lading	C of Ah
$x$	verplaatsing	m
$W$	arbeid	J

trapeziumregel

T_{n} = h [\frac{1}{2} f_{0} + f_{1} + \dots + f_{n - 1} + \frac{1}{2} f_{n}]

symbool	betekenis	eenheid
$h$	breedte van een strook (b − a)/n	eenheid van x
$f_{i}$	f(a + i h)	eenheid van f

regel van Simpson (n even)

S_{n} = \frac{h}{3} [f_{0} + 4 f_{1} + 2 f_{2} + 4 f_{3} + \dots + 4 f_{n - 1} + f_{n}]

gemiddelde en effectieve waarde

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f d x f_{eff} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f^{2} d x

$f (x)$	primitieve $F (x)$	controle: $F^{'} (x)$
$k$ (constante)	$k x$	$k$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$x^{n}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$	$\frac{1}{x}$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x}$	$e^{k x}$
$sin (ω t)$	$- \frac{1}{ω} cos (ω t)$	$sin (ω t)$
$cos (ω t)$	$\frac{1}{ω} sin (ω t)$	$cos (ω t)$

Bij elke primitieve mag je een constante $C$ optellen. Voor de bepaalde integraal valt die weg in $F (b) - F (a)$ .

regel	fout bij $h$ klein	$n$ verdubbelen	exact voor
links of rechts	$\approx \frac{1}{2} (b - a) h ∣ f^{'} ∣$	fout / 2	constanten
midden	$\approx \frac{1}{24} (b - a) h^{2} ∣ f^{''} ∣$	fout / 4	rechten
trapezium	$\approx \frac{1}{12} (b - a) h^{2} ∣ f^{''} ∣$	fout / 4	rechten
Simpson	$\approx \frac{1}{180} (b - a) h^{4} ∣ f^{(4)} ∣$	fout / 16	derdegraadsveeltermen

Uitleg · 3.13

Numeriek integreren: trapezium en Simpson

13/19

Trapeziumregel. Verbind opeenvolgende punten met rechte stukjes en tel de trapezia op. Elk trapezium heeft oppervlakte $h \frac{f _{i} + f _{i + 1}}{2}$ ; samen tellen de binnenste punten twee keer half mee:

trapeziumregel

\int_{a}^{b} f d x \approx h [\frac{1}{2} f_{0} + f_{1} + f_{2} + \dots + f_{n - 1} + \frac{1}{2} f_{n}]

h = (b - a) / n

. Het is het gemiddelde van de linker- en de rechtersom.

Waar de kromme bol is ( $f^{''} < 0$ ), ligt de koorde eronder en onderschat de trapeziumregel; waar ze hol is, overschat ze. Voor één trapezium is exact min benadering $- \frac{h ^{3}}{12} f^{''}$ ; over $n = (b - a) / h$ stroken samen is de fout van de orde $\frac{( b - a ) h ^{2}}{12} ∣ f^{''} ∣$ : tweede orde. Voor meetdata met een vaste stap is het de natuurlijke keuze: je integreert precies wat je gemeten hebt, met rechte lijnen ertussen.

Simpson. Leg door telkens drie punten een parabool in plaats van een rechte. Voor twee stroken samen geeft dat $\frac{h}{3} (f_{0} + 4 f_{1} + f_{2})$ ; achter elkaar de gewichten 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 (met $n$ even). De fout is van de orde $h^{4}$ , en de regel is zelfs exact voor derdegraadsveeltermen. Nog een manier om hem te zien: $S_{2 n} = T_{2 n} + \frac{T _{2 n} - T _{n}}{3}$ , de trapeziumregel verbeterd met haar eigen foutschatting (extrapolatie van Richardson).

Voor de ochtend van de ideale dag met zeven trapezia: $3994 Wh$ tegen exact $4011 Wh$ , −0,4 %: de sinus is bol, de koorden liggen eronder.

Zeven trapezia onder een bolle kromme: de koorden liggen er net onder, de fout is klein en negatief.

Code · 3.14

Vier regels vergeleken

14/19

Een test met een integraal waarvan je de uitkomst kent, $\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1$ , toont de orde van elke regel: verdubbel $n$ en kijk hoeveel keer kleiner de fout wordt.

Pythonintegreer.py30 regelsDownload

# integreer.py - vier regels voor een bepaalde integraal, getest op de integraal van e^x van 0 tot 1import math  def links(f, a, b, n):    h = (b - a) / n    return h * sum(f(a + i * h) for i in range(n))  def midden(f, a, b, n):    h = (b - a) / n    return h * sum(f(a + (i + 0.5) * h) for i in range(n))  def trapezium(f, a, b, n):    h = (b - a) / n    return h * (f(a) / 2 + sum(f(a + i * h) for i in range(1, n)) + f(b) / 2)  def simpson(f, a, b, n):                    # n moet even zijn    h = (b - a) / n    binnen = sum((4 if i % 2 else 2) * f(a + i * h) for i in range(1, n))    return h / 3 * (f(a) + binnen + f(b))  exact = math.e - 1print("  n     links      midden     trapezium  Simpson")for n in (2, 4, 8, 16, 32):    fouten = [abs(r(math.exp, 0, 1, n) - exact) for r in (links, midden, trapezium, simpson)]    print("%3d   " % n + "  ".join("%9.2e" % x for x in fouten))

Uitvoer:

  n     links      midden     trapezium  Simpson
  2    3.94e-01   1.78e-02   3.56e-02   5.79e-04
  4    2.06e-01   4.47e-03   8.94e-03   3.70e-05
  8    1.05e-01   1.12e-03   2.24e-03   2.33e-06
 16    5.31e-02   2.80e-04   5.59e-04   1.46e-07
 32    2.67e-02   6.99e-05   1.40e-04   9.10e-09

Links: fout / 2 per verdubbeling (eerste orde). Midden en trapezium: fout / 4 (tweede orde), met de middenregel ongeveer twee keer nauwkeuriger en met het andere teken. Simpson: fout / 16 (vierde orde); bij 32 stroken is de fout al $1 0^{- 8}$ . De log-loggrafiek (tot 256 stroken) toont de hellingen −1, −2 en −4; bij nog meer stroken zou Simpson op de bodem van de afrondingsfout botsen, zoals in hoofdstuk 1.

In numpy

numpy.trapezoid(p, t) doet de trapeziumregel op meetpunten, ook met ongelijke stappen (in oudere versies heette ze numpy.trapz); scipy.integrate.simpson doet Simpson. Voor een functie die je zelf kan uitrekenen, kiest scipy.integrate.quad de stroken zelf.

Hoe steiler de lijn, hoe hoger de orde: links −1, trapezium en midden −2, Simpson −4.

Uitleg · 3.15

Gemiddelde en effectieve waarde

15/19

De gemiddelde waarde van een functie op $[a, b]$ is de hoogte van de rechthoek met dezelfde breedte en dezelfde oppervlakte:

gemiddelde waarde van een functie

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

De meetkas op de zonnige aprildag (hoofdstuk 4 van Fundamental): de trapeziumregel op de uurwaarden geeft $\int_{0}^{24} T d t = 394^{\circ} C \cdot h$ , dus $\overset{ˉ}{T} = 16, 4^{\circ} C$ . Het gemiddelde van minimum en maximum, $19, 9^{\circ} C$ , ligt veel hoger: de kas is maar enkele uren echt warm. Ook de gemiddelde hoogte van het water in de tankopdracht, en de 'gemiddelde snelheid' van hoofdstuk 7 van Intermediate, zijn zulke gemiddelden.

De effectieve waarde (RMS, root mean square) is de wortel uit het gemiddelde van het kwadraat. Ze telt voor vermogen, want $P = u^{2} / R$ . Voor $u = \hat{U} sin (ω t)$ is het gemiddelde van $sin^{2}$ over een periode $\frac{1}{2}$ (want $sin^{2} = \frac{1 - c o s 2 ω t}{2}$ en de cosinus middelt weg), dus

effectieve waarde van een sinus

U_{eff} = \overline{u^{2}} = \frac{U ^}{2}

Het net:

\hat{U} = 325 V

geeft

230 V

. Een PWM-signaal met duty cycle

D

en amplitude

U

heeft gemiddelde

D U

maar effectieve waarde

D U

(hoofdstuk 25 van Intermediate).

Het gemiddelde van de sinus is nul, dus doet ze niets

Het gemiddelde van de netspanning over een periode is nul, maar een waterkoker wordt er toch warm van: het vermogen hangt af van $u^{2}$ , en dat is nooit negatief. Welk gemiddelde je nodig hebt, hangt af van de vraag: lading (gewoon gemiddelde van de stroom) of warmte (effectieve waarde).

Het oranje vlak onder de temperatuur heeft dezelfde oppervlakte als een rechthoek van 24 h breed en 16,4 °C hoog: het gemiddelde.

Code · 3.16

Habitat: de dagopbrengst uit de logger

16/19

De MPPT-regelaar van de klimaatmodule meldt elk kwartier het vermogen dat hij naar de batterij stuurt. Het brein van het station krijgt een CSV-bestand. Hier: een zonnige dag, 12 mei 2026, met drie wolken (een voorbeeldreeks, gemaakt met een model voor de zonnestand in Brussel, zie het volgende blad). De eerste regels, en een stuk rond de middag:

tijdstip,vermogen_W
05:00,0
05:15,0
...
11:45,944
12:00,1006
12:15,1013
...

Pythondagopbrengst.py31 regelsDownload

# dagopbrengst.py - de energie van de zonnepanelen uit het vermogen om het kwartier (trapeziumregel)import csv tijden, vermogen = [], []                   # uren, wattwith open("zonnestroom_12mei.csv", newline="") as f:    for rij in csv.DictReader(f):        uur, minuut = rij["tijdstip"].split(":")        tijden.append(int(uur) + int(minuut) / 60)        vermogen.append(float(rij["vermogen_W"]))  def trapezium(t, p):    """Oppervlakte onder de punten (t, p): energie in Wh als t in uur en p in W."""    return sum((p[i] + p[i + 1]) / 2 * (t[i + 1] - t[i]) for i in range(len(t) - 1))  E = trapezium(tijden, vermogen)E_uur = trapezium(tijden[::4], vermogen[::4])      # alleen de volle urenP_max = max(vermogen)print("dagopbrengst:          %.0f Wh (%.2f volle zonuren voor 1400 Wp)" % (E, E / 1400))print("met alleen uurwaarden: %.0f Wh (%+.1f %%)" % (E_uur, (E_uur / E - 1) * 100))t_max = tijden[vermogen.index(P_max)]print("grootste vermogen:     %.0f W om %d:%02d" % (P_max, *divmod(round(t_max * 60), 60)))print("gemiddeld vermogen:    %.0f W over 24 uur" % (E / 24)) opgebouwd, helft = 0.0, Nonefor i in range(len(tijden) - 1):    opgebouwd += (vermogen[i] + vermogen[i + 1]) / 2 * (tijden[i + 1] - tijden[i])    if helft is None and opgebouwd >= E / 2:        helft = tijden[i + 1]print("de helft van de energie is binnen om %d:%02d" % divmod(round(helft * 60), 60))

Uitvoer:

dagopbrengst:          7197 Wh (5.14 volle zonuren voor 1400 Wp)
met alleen uurwaarden: 6787 Wh (-5.7 %)
grootste vermogen:     1102 W om 13:15
gemiddeld vermogen:    300 W over 24 uur
de helft van de energie is binnen om 13:30

De trapeziumregel op 69 kwartierwaarden geeft 7,20 kWh. Met alleen de 18 uurwaarden kom je 5,7 % lager uit: toevallig vallen drie volle uren (11:00, 15:00 en 17:00) midden in een wolk, zodat elke wolk een heel uur lang lijkt te duren. Omdat de voorbeeldreeks uit een model komt, kennen we ook de energie met een meting per minuut: 7,23 kWh. Het kwartier zit er 0,5 % naast, het uur 6,1 %.

Ontleed · 3.17

Habitat: een zonnedag lezen

17/19

Boven: het vermogen om het kwartier op 12 mei (voorbeeldreeks), het model voor een heldere hemel, en het gemiddelde uurprofiel van een meidag uit PVGIS (hoofdstuk 20 van Intermediate). Onder: de energie die sinds de ochtend is opgebouwd, met de trapeziumregel.

De onderste kromme is de integraal van de bovenste: waar het vermogen groot is, stijgt ze steil; in een wolk vlakt ze af. Tijden in zomertijd (UTC+2): de klok van het station loopt het hele jaar op UTC+1, een uur vroeger.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Alleen hemellicht
De zon komt op rond 6:10, maar staat in mei in het noordoosten, achter het steile paneel. Tot ongeveer 8 uur valt er alleen diffuus licht op: enkele tientallen watt.
2
De zon op het paneel
Rond 7:52 valt de directe zon voor het eerst op de voorkant van de panelen: het vermogen versnelt. Een paneel onder 60° is gemaakt voor de lage winterzon.
3
Een wolk, één meting
Om 10:45 meet de logger midden in een wolk (386 W). Met alleen uurwaarden zie je ze enkel omdat 11:00 er toevallig in valt, en dan lijkt ze een uur te duren; met een meting per minuut zie je haar echte vorm.
4
Middag
Het grootste vermogen, 1102 W om 13:15: 79 % van het piekvermogen. De zon staat in het zuiden, maar hoger dan loodrecht op het steile paneel.
5
Een lange wolk
Tussen 14:30 en 15:15 zakt het vermogen tot ongeveer een derde. De energiekromme onder vlakt daar zichtbaar af.
6
Helling = vermogen
De opgebouwde energie is de integraal van het vermogen; haar helling (kWh per uur) is dus het vermogen (hoofdstelling). Om 13:30 is de helft binnen.
7
De dagopbrengst
7,20 kWh, tegen gemiddeld 5,01 kWh voor een meidag (PVGIS, stippellijn): dit was een goede dag, geen gemiddelde.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.18

Habitat: de dagopbrengst beoordelen

18/19

Vergelijk de gemeten dagopbrengst van 12 mei met PVGIS, met de heldere hemel en met het energiebudget van de module (3,27 kWh per dag, hoofdstuk 20 van Intermediate). Hoeveel volle zonuren waren het? Hoeveel energie kan de batterij (2,46 kWh bruikbaar) opvangen, en welk besluit trek je voor de logger?

Gegeven

$E_{12 mei} = 7197 Wh$ (trapezium, kwartier)
PVGIS mei: 3,58 Wh per Wp per dag; heldere hemel (model): $7993 Wh$

Gevraagd

volle zonuren, verhoudingen, overschot, advies

Oplossing

1
Volle zonuren: $\frac{7197 Wh}{1400 Wp} = 5, 14 h$ : evenveel energie als 5,1 uur bij 1000 W/m² en STC.
2
PVGIS-gemiddelde voor mei: $3, 58 \cdot 1400 = 5012 Wh$ . Deze dag gaf 44 % meer; het gemiddelde bevat ook grijze dagen. Tegenover een volledig heldere hemel mist de dag 10 % door de wolken.
3
Het budget van de module is 3,27 kWh per dag. Overdag verbruikt de module zelf al een groot deel rechtstreeks; wat overblijft, gaat naar de batterij tot ze vol is. Van de 3,9 kWh verschil kan de batterij hoogstens 2,46 kWh opnemen: op zo'n dag is er een overschot (hoofdstuk 20 van Intermediate).
4
De logger: om het kwartier is de fout op de dagopbrengst ongeveer 0,5 %, om het uur 6 %. Voor een dagtotaal volstaat het kwartier; wie de wolken wil zien (voorspellen, hoofdstuk 43), logt elke minuut. Nog beter: de regelaar integreert zelf elke seconde en meldt wattuur.

Antwoord

7,2 kWh of 5,1 volle zonuren: 44 % boven het PVGIS-gemiddelde voor mei, 10 % onder een heldere dag. Ruim genoeg voor de module; het overschot is een reden om later lasten te verschuiven (hoofdstuk 49).

Klopt dit? Het gemiddelde vermogen over de dag is 300 W: minder dan een derde van de piek. Een energiebudget op basis van piekvermogen is dus altijd veel te optimistisch; op basis van integralen niet.

Het geheel · 3.19

Waar integralen vandaan komen en waar ze heen gaan

19/19

Integreren is de tweede helft van de analyse: afleiden vraagt 'hoe snel?', integreren 'hoeveel in totaal?'. Samen vormen ze de taal van elk dynamisch model. Het raakt energie (E), mechanica (K), elektronica (L), regelen (R) en data (A): een teller, een gemiddelde, een effectieve waarde, een kans (de oppervlakte onder een verdeling, hoofdstuk 6).

F21 Elektrisch vermogen en energie

E = P · t en de kilowattuur: ophopen bij een constant vermogen.

I7 Beweging beschrijven

De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek is de verplaatsing, voor rechte stukken.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Arbeid W = F · s bij een constante kracht; hier bij een veranderlijke.

I20 Zonne-energie dimensioneren

PVGIS, volle zonuren en het energiebudget van de module.

I25 Van analoog naar digitaal

PWM: gemiddelde en effectieve waarde van een blokgolf.

E1 Afgeleiden: verandering meten

De afgeleide; de hoofdstelling maakt van integreren afleiden achterstevoren.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Een simulatie integreert een verandering stap voor stap (Euler).

E6 Statistiek en meetonzekerheid

Een kans is een oppervlakte onder een kansverdeling.

E20 Wisselstroom

Effectieve waarden en gemiddeld vermogen bij wisselstroom.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Runge-Kutta: de regel van Simpson voor differentiaalvergelijkingen.

E39 PID-regeling

De I-actie is een integraal van de fout, numeriek een som.

HabitatHet brein van het station integreert voortdurend: het vermogen van de MPPT-regelaars tot wattuur (dagopbrengst 12 mei: 7,2 kWh), de batterijstroom tot ampère-uur (coulombteller), het debiet tot liter. Afspraak: de regelaars integreren zelf per seconde; de Pi logt per minuut en controleert met de trapeziumregel. Opdracht 3.11 doet dat voor een bewolkte oktoberdag, opdracht 3.15 ontwerpt de teller zelf.

Samenvatting

In het kort

Ophopen met een veranderlijke snelheid is de oppervlakte onder de snelheidskromme: $E = \int P d t$ , $Q = \int I d t$ , $x = \int v d t$ , $W = \int F d x$ .
Een Riemann-som $\sum f (x_{i}^{*}) Δ x$ benadert die oppervlakte; de bepaalde integraal is haar limiet. Eenheid: die van $f$ maal die van $x$ .
Stukken onder de as tellen negatief (oppervlakte met teken); integralen zijn lineair en je mag ze opsplitsen.
Een primitieve $F$ heeft $F^{'} = f$ ; hoofdstelling: $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f = f (x)$ en $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$ .
Numeriek: trapeziumregel (fout $\sim h^{2}$ , natuurlijk voor meetdata), Simpson (fout $\sim h^{4}$ ); controleer door $n$ te verdubbelen.
Gemiddelde waarde $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ ; effectieve waarde $\overline{f^{2}}$ , bij een sinus $\hat{U} / 2$ .
De dagopbrengst van de panelen is de integraal van het vermogen: om het kwartier gemeten ongeveer 0,5 % nauwkeurig, om het uur enkele procent.

Begrippen

Wat je nu kent

Riemann-som: Een som van rechthoekjes $\sum f (x_{i}^{*}) Δ x$ die de oppervlakte onder een kromme benadert; links, rechts of in het midden van elke strook.
bepaalde integraal: De limiet van de Riemann-sommen als de stroken oneindig smal worden: $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Eenheid: die van $f$ maal die van $x$ .
primitieve functie: Een functie $F$ met $F^{'} = f$ . Ze is bepaald op een constante na.
hoofdstelling van de integraalrekening: Afleiden en integreren zijn elkaars omgekeerde: $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ en $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
oppervlakte met teken: Stukken onder de x-as tellen negatief in een integraal: bv. ontladen tegenover laden.
trapeziumregel: Numerieke integratie met rechte lijnstukjes tussen de meetpunten; fout evenredig met $h^{2}$ .
regel van Simpson: Numerieke integratie met parabolen door telkens drie punten; fout evenredig met $h^{4}$ , exact voor derdegraadsveeltermen.
gemiddelde waarde: $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ : de hoogte van de rechthoek met dezelfde oppervlakte.
effectieve waarde (RMS): De wortel uit het gemiddelde van het kwadraat: de gelijkspanning die hetzelfde vermogen in een weerstand geeft.
coulombteller: Meet de stroom van een batterij en telt (integreert) hem op tot lading, om de laadtoestand te kennen.

Aan de slag in het werkboek15 opdrachten, van oefenen tot uitdagen