IIntermediate · deel I3 · Mechanica

Handboek · hoofdstuk 11Druk en hydraulica

Waarom een punaise prikt, een dam onderaan dikker is en een klein pompje water 1,5 m hoog krijgt

Een kracht die over een oppervlak verdeeld is, heet druk. Druk verklaart waarom sneeuwschoenen werken en een mes snijdt, waarom je oren pijn doen onderaan een zwembad, hoe een klein pedaal een auto van 100 km/h stilzet, en waarom een stalen schip drijft. In dit hoofdstuk reken je met druk in vloeistoffen ( $p = ρ g h$ ), gebruik je de wet van Pascal in hydraulische systemen, verklaar je met Archimedes wat je in F7 al zag bij zinken en drijven, en ontdek je dat we op de bodem van een zee van lucht leven. Voor Habitat meet je het niveau in het reservoir met een druksensor en kies je de pomp.

10× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld3× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code18 opdrachten in het werkboek± 10 lestijden

KKrachten, beweging en constructies MMaterie en chemie WWiskundig modelleren

Een paar vingerdikke slangen met olie onder hoge druk: zo tilt een graafmachine tonnen.

Na dit hoofdstuk

Je kan druk berekenen als kracht per oppervlakte en omrekenen tussen Pa, hPa, kPa, bar en MPa.
Je kan de hydrostatische druk berekenen met $p = ρ g h$ en afleiden uit het gewicht van een vloeistofkolom.
Je kan uitleggen waarom de druk alleen van de diepte afhangt en niet van de vorm van het vat (communicerende vaten).
Je kan de wet van Pascal toepassen op een hydraulische pers, een krik en een remkring, en nagaan dat de arbeid behouden blijft.
Je kan de opwaartse kracht berekenen met de wet van Archimedes en bepalen of en hoe diep een voorwerp drijft.
Je kan de atmosferische druk verklaren, schatten hoe ze met de hoogte afneemt, en overdruk en absolute druk uit elkaar houden.
Je kan uitleggen wat een pomp doet, waarom zuigen maar tot ongeveer 10 m werkt, en een pomp kiezen met een pompkarakteristiek.
Je kan een druksensor gebruiken om een vloeistofniveau te meten, en de omrekening programmeren.

Uitleg · 11.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/23

In F7 zag je dat een voorwerp zinkt, zweeft of drijft naargelang zijn dichtheid, en dat een drijvend voorwerp zo ver wegzakt dat het evenveel vloeistof verplaatst als zijn eigen massa. Waarom dat zo is, bleef open. In F6 botsten gasdeeltjes tegen de wand van hun vat. In hoofdstuk 9 pompte je water 1,5 m hoog, en in hoofdstuk 10 vervang je een verdeelde last door één resultante.

begrip	formule of regel	waar
dichtheid	$ρ = m / V$ , water 1,00 g/cm³ = 1000 kg/m³	F7
zinken, zweven, drijven	vergelijk de dichtheid van voorwerp en vloeistof	F7
gasdeeltjes botsen tegen de wand	deeltjesmodel	F6
zwaartekracht, normaalkracht	$F_{z} = m g$	F11, hoofdstuk 8
opvoerhoogte van een pomp	$E_{p} = m g h$	hoofdstuk 9
resultante van een driehoekige last, hefboom, koppel	$\frac{1}{2} q_{max} l$ op een derde	hoofdstuk 10

In dit hoofdstuk verdeel je een kracht over een oppervlak. Concreet:

reken je met druk en haar eenheden;
bereken je de druk in een vloeistof, onderaan het voedingsreservoir en op zijn wand;
laat je een kleine kracht een grote maken met hydrauliek (wet van Pascal);
verklaar je drijven met de opwaartse kracht van Archimedes;
ontdek je de luchtdruk, en het verschil tussen overdruk en absolute druk;
zoek je uit wat een pomp doet, en welke pomp en welke slang Habitat nodig heeft.

Uitleg · 11.2

Druk: kracht per oppervlakte

2/23

Leg een baksteen plat op zand, dan op zijn kant, dan rechtop. Het gewicht is telkens hetzelfde, maar hoe kleiner het steunvlak, hoe dieper de steen wegzakt. Wat telt, is hoe de kracht over het oppervlak verdeeld is: de druk.

druk

p = \frac{F}{A}

F

de kracht loodrecht op het oppervlak, in N;

A

de oppervlakte, in m²;

p

in pascal:

1 Pa = 1 N/ m^{2}

Eén pascal is heel weinig: een blad papier op tafel geeft ongeveer 1 Pa. Daarom gebruik je vaak veelvouden:

eenheid	in pascal	waar je ze ziet
1 Pa = 1 N/m²	1	SI-eenheid
1 hPa = 1 mbar	100	weerkaarten (1013 hPa)
1 kPa	1000	techniek, sensoren
1 bar	100 000	banden, leidingwater, duikflessen
1 MPa	1 000 000	hydrauliek, sterkte van materialen
1 mmHg (millimeter kwik)	133,3	bloeddruk (120/80 mmHg)
1 standaardatmosfeer	101 325	= 1013,25 hPa = 760 mmHg

Wil je veel druk, dan maak je de oppervlakte klein: een mes, een naald, de punt van een punaise. Wil je weinig druk, dan maak je ze groot: sneeuwschoenen, de rupsbanden van een tank of een graafmachine, de brede riemen van een rugzak.

situatie	kracht	oppervlakte	druk (orde van grootte)
winddruk op een wand bij storm (20 m/s)			300 Pa
iemand van 70 kg op twee sneeuwschoenen	687 N	0,40 m²	1,7 kPa
iemand van 60 kg op twee schoenen	589 N	0,030 m²	20 kPa
olifant van 5 t op vier poten	49 kN	ongeveer 0,5 m²	100 kPa
luchtdruk op zeeniveau			101 kPa
autoband (overdruk)			220 kPa = 2,2 bar
iemand van 60 kg op één naaldhak	589 N	1 cm²	6 MPa
punt van een punaise	20 N	0,1 mm²	200 MPa

Druk en kracht zijn hetzelfde

Een naaldhak en een olifantenpoot: de olifant oefent tachtig keer zoveel kracht uit, maar de naaldhak geeft zestig keer zoveel druk. Kracht is een vector met een richting (in N); druk is kracht per oppervlakte (in Pa) en werkt in een vloeistof of gas in alle richtingen tegelijk.

Hoe kleiner de oppervlakte waarop hetzelfde gewicht rust, hoe groter de druk.

Je duim voelt 200 kPa, het hout onder de punt 200 MPa: duizend keer meer.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.3

Habitat: drukt het reservoir te hard op de vloer?

3/23

Het volle voedingsreservoir (65 kg met bak, deksel en pomp, buitenmaten 0,64 m × 0,44 m) staat op de vloer van de klimaatmodule. Vloeren in Belgische woningen worden berekend op een gelijkmatig verdeelde nuttige belasting van 2,0 kN/m² (en daarnaast op een puntlast van 2 kN). Hoe groot is de druk van het reservoir op de vloer? Wat verandert er als het reservoir op vier pootjes van 3 × 3 cm staat?

Gegeven

$m = 65 kg$
$A = 0, 64 \cdot 0, 44 = 0, 2816 m^{2}$ ; pootjes $4 \cdot 0, 03 \cdot 0, 03 = 0, 0036 m^{2}$
rekenwaarde vloer: $2, 0 kN/ m^{2}$ verdeeld, $2 kN$ als puntlast

Gevraagd

$p$ op de volle bodem en op de pootjes

Oplossing

1
Kracht: $F = m g = 65 \cdot 9, 81 = 637, 65 N$ .
2
Op de volle bodem: $p = \frac{637 , 65}{0 , 2816} = 2264 Pa = 2, 26 kPa$ , of $2, 26 kN/ m^{2}$ .
3
Dat is iets meer dan de 2,0 kN/m² van de norm, maar alleen op 0,28 m². De totale kracht, 0,64 kN, is veel kleiner dan de puntlast van 2 kN waarmee elke vloer ook berekend wordt. In hoofdstuk 10 berekende je welke krachten de liggers daardoor krijgen: 595 N en 223 N.
4
Op vier pootjes: $p = \frac{637 , 65}{0 , 0036} = 177000 Pa = 177 kPa$ : bijna tachtig keer zoveel.

Antwoord

Op zijn volle bodem drukt het reservoir met 2,3 kPa op de vloer, de orde van grootte waarvoor een vloer ontworpen is. Op pootjes wordt dat 177 kPa, genoeg om deuken in een zachte vloerbekleding te maken.

Klopt dit? Dezelfde 637,65 N, een tachtig keer kleinere oppervlakte, dus tachtig keer meer druk:

0, 2816/0, 0036 = 78

. Een plaat onder de pootjes spreidt de kracht weer. Zo werken ook de platen onder de steunpoten van een kraan of een hoogtewerker.

Uitleg · 11.4

Druk in een vloeistof

4/23

Duik naar de bodem van een zwembad en je voelt het in je oren: hoe dieper, hoe groter de druk. De oorzaak is het gewicht van het water boven je. Neem een denkbeeldige kolom water met oppervlakte $A$ en hoogte $h$ . Haar massa is $m = ρ V = ρ A h$ en haar gewicht $ρ A h g$ . Verdeeld over de oppervlakte $A$ geeft dat

hydrostatische druk

p = ρ \cdot g \cdot h p_{abs} = p_{0} + ρ g h

ρ

de dichtheid van de vloeistof (kg/m³),

h

de diepte onder het oppervlak (m). Staat er lucht boven de vloeistof, dan komt de luchtdruk

p_{0}

er nog bij (verderop).

Drie gevolgen die je niet meteen verwacht:

De vorm doet er niet toe. $A$ viel weg uit de formule: de druk hangt alleen af van de diepte. Onderaan een smalle buis van 10 m hoog is de druk even groot als onderaan een meer van 10 m diep.
Druk werkt in alle richtingen. Op een bepaalde diepte duwt het water even hard opzij en omhoog als omlaag. Daarom staat er ook druk op de wanden van een reservoir, en is een stuwdam onderaan dikker.
In water: ongeveer 1 bar per 10 m. $1000 \cdot 9, 81 \cdot 10 = 98100 Pa$ . Een duiker op 10 m diepte in zee ondervindt dus 1 bar overdruk, 2 bar absoluut: twee keer de druk aan het oppervlak.

Een breed vat drukt harder op zijn bodem

Het water in een breed vat weegt meer, maar het verdeelt zich ook over een grotere bodem. De druk hangt alleen af van de hoogte van de vloeistof. Zet je vaten van heel verschillende vorm op dezelfde bodemplaat, dan is bij gelijke waterhoogte de kracht op die bodemplaat telkens gelijk. Pascal beschreef deze hydrostatische paradox al in de zeventiende eeuw.

De druk stijgt lineair met de diepte, in zeewater iets sneller dan in zoet water.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.5

Habitat: de druk onderaan het voedingsreservoir

5/23

Het voedingsreservoir heeft binnenmaten van 60 cm × 40 cm × 30 cm en is gevuld tot 25 cm (60 L). Bereken de overdruk en de absolute druk op de bodem, de kracht op de bodem, en de kracht die het water op een lange zijwand uitoefent. Neem voor de voedingsoplossing $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ (1 g zout per liter verandert daar bijna niets aan).

De pijlen op de wand groeien met de diepte (driehoek), op de bodem is de druk overal gelijk.

Gegeven

$h = 0, 25 m$ , bodem $0, 60 \times 0, 40 m$
$ρ = 1000 kg/ m^{3}$ , $p_{0} = 101325 Pa$

Gevraagd

$p$ en $p_{abs}$ op de bodem
$F_{bodem}$
$F$ op een lange zijwand

Oplossing

1
Overdruk op de bodem: $p = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 0, 25 = 2452, 5 Pa \approx 2, 45 kPa$ . Absoluut: $101325 + 2452, 5 = 103778 Pa \approx 103, 8 kPa$ .
2
Kracht op de bodem (door het water): $F = p \cdot A = 2452, 5 \cdot 0, 24 = 588, 6 N$ .
3
Controle: dat is precies het gewicht van 60 kg water, $60 \cdot 9, 81 = 588, 6 N$ . Bij een vat met rechte wanden draagt de bodem al het water.
4
Op de zijwand groeit de druk lineair van 0 (bovenaan) tot 2452,5 Pa (onderaan): een driehoekige belasting (hoofdstuk 10). De gemiddelde druk is de helft: $F = \frac{1}{2} \cdot 2452, 5 \cdot (0, 60 \cdot 0, 25) = 183, 9 N$ .
5
Die resultante grijpt aan op een derde van de waterhoogte boven de bodem: $0, 25/3 = 8, 3 cm$ .

Antwoord

Onderaan heerst 2,45 kPa overdruk (103,8 kPa absoluut); het water drukt met 588,6 N op de bodem en met 184 N op elke lange zijwand, op 8,3 cm boven de bodem.

Klopt dit? Daarom buikt een kunststof reservoir onderaan het meest uit, en zit een aftapkraantje daar onder de grootste druk. De overdruk is maar 2,4 % van de luchtdruk: een druksensor voor dit reservoir moet dus verschillen in overdruk meten, niet de absolute druk (codeblad verderop). Een kleinere kracht op de korte wand:

\frac{1}{2} \cdot 2452, 5 \cdot 0, 40 \cdot 0, 25 = 123 N

Proef · 11.6

De druk in water meten met een drukdoos

6/23

Onderzoeksvraag

Hoe hangt de druk in water af van de diepte? En hangt ze af van de richting waarin je meet?

Materiaal

hoge maatcilinder of vaas, gevuld met water
drukdoos: kleine trechter met een strak gespannen ballonvlies
slangetje en U-buis met gekleurd water
meetlat

Het water duwt op het vlies; de lucht in het slangetje geeft die druk door aan de U-buis.

Werkwijze

1Verbind de drukdoos met het slangetje met één been van de U-buis. Controleer dat beide waterniveaus in de U-buis gelijk staan.
2Laat de drukdoos zakken tot 5 cm onder het wateroppervlak (gemeten tot het vlies). Lees het hoogteverschil $Δ h$ tussen de twee benen af.
3Herhaal om de 5 cm tot 25 cm diepte.
4Draai op 15 cm diepte het vlies eens opzij en eens naar boven, zonder de diepte te veranderen. Noteer telkens $Δ h$ .

Waarneming

diepte (cm)	0	5	10	15	20	25
$Δ h$ (cm)	0,0	4,8	9,7	14,6	19,5	24,3

$Δ h$ groeit evenredig met de diepte, net iets minder dan de diepte zelf. Op 15 cm blijft $Δ h$ 14,6 cm, of het vlies nu naar onder, opzij of naar boven wijst.

Verklaring

De U-buis vergelijkt de druk in de drukdoos met de luchtdruk: een hoogteverschil $Δ h$ in water betekent een overdruk $ρ g Δ h$ . De drukdoos meet dus $ρ g \cdot$ diepte: de druk is recht evenredig met de diepte, zoals $p = ρ g h$ voorspelt. Dat $Δ h$ iets kleiner is dan de diepte (helling 0,97), komt doordat het vlies zelf een beetje spanning opvangt en de lucht in het slangetje iets samengedrukt wordt. Dat het vlies in elke richting hetzelfde meet, toont dat druk in een vloeistof in alle richtingen even groot is.

Voorbeeldmeting: bijna op de rechte Δh = diepte.

Uitleg · 11.7

Communicerende vaten

7/23

Verbind vaten onderaan met elkaar en giet er water in: het staat overal even hoog, hoe verschillend de vaten ook zijn. Stond het in één vat hoger, dan was de druk op de bodem daar groter ( $p = ρ g h$ ), en stroomde het water weg naar de andere vaten tot de drukken gelijk zijn. Zulke vaten heten communicerende vaten. Je gebruikt ze vaker dan je denkt:

De peilbuis. Het voedingsreservoir van Habitat is lichtdicht (algen, hoofdstuk 5): je ziet het water niet. Een doorzichtig buisje dat onderaan op het reservoir aangesloten is, toont het niveau.
De slangwaterpas. Een doorzichtige slang vol water: de twee uiteinden staan altijd even hoog, ook om een hoek of tien meter verder. Bouwvakkers zetten er peilen mee uit.
De watertoren. Een reservoir hoog boven de stad levert de druk in het leidingnet. Een kraan 32 m onder de waterspiegel krijgt $1000 \cdot 9, 81 \cdot 32 = 3, 1 bar$ overdruk, zonder dat er een pomp draait. Hoog in een flatgebouw is de druk lager, en daar zijn soms drukverhogingspompen nodig.
Een sifon onder een gootsteen houdt altijd wat water vast, zodat er geen rioollucht naar boven komt.

Alleen voor één vloeistof in rust

Gelijke niveaus gelden voor dezelfde vloeistof, die stilstaat, en met dezelfde luchtdruk boven elk oppervlak. Twee vloeistoffen met een verschillende dichtheid staan niet even hoog (dat gebruik je in een U-buis om een dichtheid te meten), en in een leiding waar water stroomt, gaat druk verloren aan wrijving (verderop).

Hoe verschillend de vorm ook is, het water staat overal op hetzelfde niveau en de bodemdruk is overal gelijk.

Links toont de peilbuis het niveau in een reservoir dat je niet kan inkijken; rechts levert de watertoren de druk aan de kranen.

Uitleg · 11.8

De wet van Pascal en de hydraulische pers

8/23

Druk je op de zuiger van een injectiespuit vol water met een dichtgeknepen opening, dan stijgt de druk overal in het water even veel, ook in de hoeken. Blaise Pascal beschreef het in de zeventiende eeuw:

wet van Pascal en de hydraulische pers

Δ p is overal gelijk p = \frac{F _{1}}{A _{1}} = \frac{F _{2}}{A _{2}} \Rightarrow F_{2} = F_{1} \cdot \frac{A _{2}}{A _{1}}

Een drukverandering in een ingesloten vloeistof plant zich onverminderd voort. Verbind je een kleine en een grote zuiger, dan is de kracht op de grote zuiger zoveel keer groter als haar oppervlakte.

Een kracht vermenigvuldigen zonder iets te verliezen? Dat kan niet, en dat klopt ook: de olie die de kleine zuiger wegduwt, verdeelt zich onder de grote zuiger over een veel grotere oppervlakte. Het volume blijft gelijk: $A_{1} \cdot s_{1} = A_{2} \cdot s_{2}$ . De grote zuiger beweegt dus zoveel keer minder. De arbeid aan beide kanten is dezelfde: $F_{1} \cdot s_{1} = F_{2} \cdot s_{2}$ . Dat is de gulden regel van hoofdstuk 9, net als bij de hefboom (hoofdstuk 10) en het hellend vlak.

Waarom een vloeistof? Omdat die (bijna) niet samendrukbaar is. Zit er lucht in een hydraulisch systeem, dan drukt je zuiger eerst die lucht samen voor er iets gebeurt: het pedaal voelt 'sponzig' aan. Hydrauliek zit in graafmachines, hefbruggen, kraanwagens, de landingsgestellen van vliegtuigen, kantpersen die staalplaat plooien en de remmen van elke auto.

Zelfde druk onder beide zuigers: kleine kracht en grote slag links, grote kracht en kleine slag rechts.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.9

Een hydraulische krik

9/23

Een flessenkrik heeft een pompzuiger van 12 mm diameter en een hefzuiger van 50 mm. Je duwt met 150 N op de hendel, die als hefboom de kracht 8 keer vergroot (hoofdstuk 10). Welke druk heerst er in de olie, en welke last kan de krik heffen? Hoeveel keer moet je pompen om de last 10 cm op te krikken als de pompzuiger per slag 20 mm zakt?

Hendel (hefboom), pompzuiger en hefzuiger: twee krachtvermenigvuldigers achter elkaar.

Gegeven

$d_{1} = 12 mm$ , $d_{2} = 50 mm$
handkracht 150 N, hefboom 8 : 1
slag pompzuiger 20 mm

Gevraagd

$p$ , $F_{2}$ en het aantal slagen voor 10 cm

Oplossing

1
Kracht op de pompzuiger: $F_{1} = 8 \cdot 150 = 1200 N$ .
2
Oppervlaktes: $A_{1} = π \cdot 0, 00 6^{2} = 1, 131 \cdot 1 0^{- 4} m^{2}$ en $A_{2} = π \cdot 0, 02 5^{2} = 1, 963 \cdot 1 0^{- 3} m^{2}$ .
3
Druk: $p = \frac{1200}{1 , 131 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 1, 06 \cdot 1 0^{7} Pa = 106 bar$ .
4
Kracht op de hefzuiger: $F_{2} = p \cdot A_{2} = 1, 06 \cdot 1 0^{7} \cdot 1, 963 \cdot 1 0^{- 3} = 20, 8 kN$ : het gewicht van 2,1 ton. (Of korter: $F_{2} = F_{1} \cdot (d_{2} / d_{1})^{2} = 1200 \cdot (50/12)^{2}$ .)
5
Per slag verplaatst de pompzuiger $A_{1} \cdot 20 mm$ olie; de hefzuiger stijgt $20 \cdot \frac{A _{1}}{A _{2}} = 20 \cdot 0, 0576 = 1, 15 mm$ . Voor 100 mm: $100/1, 15 = 87$ slagen.

Antwoord

De olie staat onder 106 bar en de krik kan 20,8 kN heffen, ruim 2 ton. Daarvoor pomp je 87 keer om 10 cm te winnen.

Klopt dit? Arbeid per slag: aan de pompzuiger

1200 \cdot 0, 020 = 24 J

, aan de hefzuiger

20833 \cdot 0, 00115 = 24 J

. Wat je wint aan kracht (een factor 17 in de olie, 139 met de hendel erbij), verlies je aan weg. Kleppen zorgen ervoor dat de olie bij het terugtrekken van de pompzuiger niet terugstroomt.

Ontleed · 11.10

De hydraulische rem van een auto

10/23

Met je voet stop je een auto van anderhalve ton. Dat lukt omdat twee principes uit dit en het vorige hoofdstuk samenwerken: de hefboom en de wet van Pascal. (Bij een echte auto helpt nog een rembekrachtiger, die de pedaalkracht enkele keren vergroot.)

Schematische remkring voor één wiel; in een auto vertakt de remleiding naar de vier wielen.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Rempedaal: een hefboom
Het pedaal draait rond een as bovenaan; de duwstang zit op een vierde van de afstand tot je voet. Een voet die met 200 N duwt, duwt de stang met 800 N (hefboom 4 : 1).
2
Hoofdcilinder
Een zuiger van 22 mm diameter ( $3, 80 c m^{2}$ ): $p = 800/3, 80 \cdot 1 0^{- 4} = 2, 1 \cdot 1 0^{6} Pa$ , ongeveer 21 bar.
3
Reservoir met remvloeistof
Vult de kring bij als de remblokken slijten en de zuigers verder uitschuiven. Remvloeistof neemt vocht op; daarom wordt ze om de twee jaar vervangen.
4
Remleiding
Een dunne stalen leiding. Volgens Pascal staat overal in de kring dezelfde druk. Zit er lucht in, dan drukt die eerst samen: het pedaal zakt door, en de remmen werken slecht. Daarom wordt een remkring na herstellingen 'ontlucht'.
5
Zuiger in de remklauw
Een zuiger van 54 mm diameter ( $22, 9 c m^{2}$ ): $F = 2, 1 \cdot 1 0^{6} \cdot 22, 9 \cdot 1 0^{- 4} = 4, 8 kN$ , zes keer de kracht op de stang, 24 keer die van je voet.
6
Remblokken en remschijf
De zuiger klemt de blokken tegen de draaiende schijf. De wrijving (hoofdstuk 8) zet de bewegingsenergie van de auto om in warmte (hoofdstuk 9): een remschijf kan na een lange afdaling honderden graden heet worden.

Uitleg · 11.11

De wet van Archimedes

11/23

Een steen onder water lijkt lichter; een strandbal duw je nauwelijks onder. Het water duwt omhoog, met de opwaartse kracht. Waar komt die vandaan? Neem een blok met bovenvlak $A$ en hoogte $h$ onder water. De druk op de zijkanten heft zich op. Op het bovenvlak duwt het water omlaag met $ρ g h_{1} \cdot A$ , op het ondervlak omhoog met $ρ g h_{2} \cdot A$ . Onderaan is het dieper, dus de druk groter. Het verschil:

F_{A} = ρ_{vl} g (h_{2} - h_{1}) A = ρ_{vl} g V

wet van Archimedes

F_{A} = ρ_{vl} \cdot g \cdot V_{ond}

Een voorwerp in een vloeistof (of gas) ondervindt een opwaartse kracht die even groot is als het gewicht van de verplaatste vloeistof.

ρ_{vl}

de dichtheid van de vloeistof,

V_{ond}

het volume onder het oppervlak.

Archimedes beschreef die wet in de derde eeuw voor onze tijdrekening, in zijn boek Over drijvende lichamen. Nu kan je F7 verklaren. Op een voorwerp in een vloeistof werken twee krachten: het gewicht $ρ_{v} g V$ omlaag en de opwaartse kracht $ρ_{vl} g V$ omhoog (helemaal ondergedompeld).

$ρ_{v} > ρ_{vl}$ : het gewicht wint, het voorwerp zinkt.
$ρ_{v} = ρ_{vl}$ : evenwicht, het voorwerp zweeft.
$ρ_{v} < ρ_{vl}$ : het voorwerp stijgt tot een deel boven komt, en drijft als $F_{A} = F_{z}$ : $ρ_{vl} V_{ond} = ρ_{v} V$ , dus $\frac{V _{ond}}{V} = \frac{ρ _{v}}{ρ _{vl}}$ . Precies de regel uit F7.

De opwaartse kracht hangt af van hoe zwaar het voorwerp is

Een loden en een aluminium blokje van hetzelfde volume krijgen onder water dezelfde opwaartse kracht: het water 'weet' niet waarvan het blokje gemaakt is, alleen hoeveel plaats het inneemt. Het loden blokje zinkt toch, omdat zijn gewicht veel groter is.

De druk op het ondervlak is groter dan op het bovenvlak: het verschil is de opwaartse kracht.

Proef · 11.12

Een steen wegen onder water

12/23

Onderzoeksvraag

Hoe groot is de opwaartse kracht op een steen, en kan je er het volume en de dichtheid van de steen mee bepalen? Wat toont een weegschaal onder de beker als je de steen onderdompelt?

Materiaal

dynamometer van 5 N
steen of metalen blok aan een dun touwtje (ongeveer 500 g)
beker met water op een keukenweegschaal
zout (voor de tweede meting)

De dynamometer toont 1,85 N minder, de weegschaal 189 g meer: dat is de opwaartse kracht, twee keer gemeten.

Werkwijze

1Hang de steen aan de dynamometer en lees zijn gewicht in de lucht af.
2Zet de weegschaal met de beker water op nul.
3Laat de steen helemaal onder water zakken, zonder de bodem of de wand te raken. Lees de dynamometer en de weegschaal af.
4Los 100 g zout op per liter water en herhaal.
5Bereken de opwaartse kracht, het volume en de dichtheid van de steen.

Waarneming

	dynamometer	weegschaal onder de beker
in de lucht	4,90 N	0 g
onder in water	3,05 N	+189 g
onder in zout water	2,86 N	+208 g

Verklaring

De opwaartse kracht in water is $4, 90 - 3, 05 = 1, 85 N$ . Dat is het gewicht van de verplaatste vloeistof, dus $V = \frac{F _{A}}{ρ g} = \frac{1 , 85}{1000 \cdot 9 , 81} = 1, 89 \cdot 1 0^{- 4} m^{3} = 189 c m^{3}$ , en de dichtheid van de steen is $500 g /189 c m^{3} = 2, 64 g/c m^{3}$ : ongeveer die van kwarts of graniet. Het volume van een onregelmatig voorwerp meten zonder overloopvat: zo deed Archimedes het volgens Galilei met de krans (F7).

In zout water (ongeveer 1,10 g/cm³) is de opwaartse kracht groter: $1100 \cdot 9, 81 \cdot 1, 89 \cdot 1 0^{- 4} = 2, 04 N$ . En de weegschaal? Het water duwt de steen omhoog, dus duwt de steen het water omlaag (derde wet, hoofdstuk 8): de weegschaal stijgt met precies $F_{A} / g = 189 g$ (in zout water 208 g). Wat de dynamometer minder toont, toont de weegschaal meer.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.13

Habitat: de vlotter in het reservoir

13/23

Als tweede beveiliging naast de druksensor krijgt het voedingsreservoir een vlotterschakelaar: een holle kunststof cilinder (diameter 3,0 cm, hoogte 5,0 cm, massa 8,0 g) met een magneetje, die langs een stang schuift en een reedcontact in de stang schakelt. Hoe diep zakt de vlotter in de voedingsoplossing? Met welke kracht duwt hij tegen de bovenste aanslag als het water te hoog komt en hem helemaal onderdompelt?

De vlotter drijft met 1,13 cm onder water; het magneetje schakelt het reedcontact in de stang.

Gegeven

cilinder: $r = 1, 5 cm$ , $h = 5, 0 cm$ , $m = 8, 0 g$
$ρ_{vl} = 1, 00 g/c m^{3}$

Gevraagd

diepgang $d$
kracht bij volledige onderdompeling

Oplossing

1
Volume: $V = π r^{2} h = π \cdot 1, 5^{2} \cdot 5, 0 = 35, 3 c m^{3}$ ; gemiddelde dichtheid $8, 0/35, 3 = 0, 23 g/c m^{3}$ : de vlotter drijft.
2
Drijven: $F_{A} = F_{z}$ , dus de vlotter verplaatst 8,0 g oplossing, $8, 0 c m^{3}$ . Diepgang: $d = \frac{8 , 0}{π \cdot 1 , 5 ^{2}} = \frac{8 , 0}{7 , 07} = 1, 13 cm$ .
3
Helemaal onder: $F_{A} = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 35, 3 \cdot 1 0^{- 6} = 0, 346 N$ , gewicht $0, 008 \cdot 9, 81 = 0, 078 N$ . De vlotter duwt tegen de aanslag met $0, 346 - 0, 078 = 0, 268 N$ .

Antwoord

De vlotter steekt 1,13 cm in de oplossing en kan, helemaal ondergedompeld, met 0,27 N tegen de aanslag duwen.

Klopt dit? Omdat de vlotter maar 1,13 cm diep zit, volgt hij het wateroppervlak op ongeveer een centimeter na: genoeg voor een alarm. De voedingszouten veranderen de dichtheid met maar 0,1 %: dat verschuift de diepgang minder dan een honderdste millimeter. In olie (0,9 g/cm³) zou hij 1,26 cm diep zakken.

Uitleg · 11.14

Drijven, zweven en stabiel blijven

14/23

Een stalen schip drijft omdat zijn romp veel lucht omsluit: de gemiddelde dichtheid van schip en lucht is kleiner dan die van water (F7). Hoe zwaarder het geladen wordt, hoe dieper het zakt, tot het evenveel water verplaatst als het weegt. Een duikboot regelt zijn gemiddelde dichtheid met ballasttanks: laat hij er water in, dan zinkt hij; blaast hij ze leeg met perslucht, dan stijgt hij. Een vis doet hetzelfde met zijn zwemblaas. Ook in lucht werkt Archimedes: een heliumballon stijgt omdat de lucht die hij verplaatst zwaarder is dan de ballon met het helium.

Drijven is niet genoeg: je moet ook rechtop blijven. Het gewicht grijpt aan in het zwaartepunt $G$ van het schip, de opwaartse kracht in het zwaartepunt $B$ van het verplaatste water (het drukkingspunt). Helt een schip over, dan verschuift $B$ naar de kant die dieper ligt. Gewicht en opwaartse kracht vormen dan een koppel (hoofdstuk 10). Ligt $G$ laag, dan draait dat koppel het schip terug. Ligt $G$ te hoog, dan draait het het schip verder om.

De Vasa

Op 10 augustus 1628 vertrok het Zweedse oorlogsschip Vasa op zijn eerste tocht, in de haven van Stockholm. Na ruim een kilometer helde het in een windvlaag over, water stroomde door de open geschutspoorten naar binnen, en het schip zonk. Het was te hoog gebouwd, met twee dekken vol zware bronzen kanonnen, en had te weinig ballast onderin: het zwaartepunt lag te hoog. In 1961 werd het wrak geborgen; het staat nu in een museum in Stockholm.

Twee dezelfde rompen, 15° overgeheld: alleen de hoogte van G verschilt, en die beslist.

Een schip vol kanonnen boven de waterlijn: indrukwekkend, maar met een te hoog zwaartepunt.

Verhaal · 11.15

Een zee van lucht

15/23

Waarom komt water omhoog in een rietje of in de buis van een zuigpomp? Tweeduizend jaar lang was het antwoord: de natuur heeft een afkeer van leegte. Maar in 1638 schreef Galilei dat een zuigpomp water niet hoger dan ongeveer 18 Florentijnse ellen (zowat 10 m) kan optrekken. Waarom juist daar zou die afkeer ophouden?

In 1643 vulde zijn leerling Evangelista Torricelli een glazen buis van ongeveer een meter met kwik, sloot ze af, en zette ze omgekeerd in een schaal kwik. Het kwik zakte tot ongeveer 76 cm boven de schaal, en bleef daar staan; erboven was niets. Torricelli begreep waarom: de lucht weegt, en duwt op het kwik in de schaal. Die druk houdt een kolom van 76 cm kwik in evenwicht, of zowat 10 m water, want water is 13,6 keer lichter. In een brief schreef hij dat we op de bodem van een zee van lucht leven.

Als de lucht weegt, redeneerde Blaise Pascal, moet de kolom op een berg lager zijn: daar ligt er minder lucht boven je. Op 19 september 1648 beklom zijn schoonbroer Florin Périer de Puy de Dôme, een vulkaan van 1465 m bij Clermont. Beneden stond het kwik op 711 mm, bovenaan zo'n 85 mm lager. De eenheid van druk draagt vandaag de naam van Pascal.

Otto von Guericke, burgemeester van Maagdenburg, bouwde een luchtpomp en toonde ze in 1654 aan keizer Ferdinand III. Hij pompte de lucht uit twee koperen halve bollen die tegen elkaar lagen. Volgens zijn boek uit 1672 kregen zestien paarden, acht aan elke kant, ze niet uit elkaar. Liet hij de lucht terug binnen, dan vielen ze vanzelf los.

Wat je uit dit verhaal meeneemt

Zuigen bestaat eigenlijk niet: je maakt de druk aan één kant kleiner, en de luchtdruk aan de andere kant duwt. Die luchtdruk is enorm, 10 ton per vierkante meter, maar je merkt ze niet omdat ze van alle kanten even hard duwt, ook van binnenuit.

Twee halve bollen, een pomp en geen lucht ertussen: de luchtdruk houdt ze tegen elkaar.

Boven het kwik is het (bijna) leeg; de luchtdruk op de schaal draagt 760 mm kwik.

Uitleg · 11.16

De atmosferische druk

16/23

De lucht boven ons weegt. Op zeeniveau is de gemiddelde luchtdruk

standaardatmosfeer

p_{0} = 101325 Pa = 1013, 25 hPa \approx 1 bar

De druk van een kwikkolom van 760 mm, of een waterkolom van 10,3 m. Op elke vierkante meter drukt het gewicht van 10,3 ton lucht.

Waarom word je dan niet platgedrukt? Omdat de druk in een vloeistof of gas in alle richtingen werkt, en omdat de lucht en de vloeistoffen in je lichaam met dezelfde druk terugduwen. Pas als de druk aan één kant verandert, merk je iets: je oren 'ploppen' in een lift of een vliegtuig, een plastic fles die je op een berg leegdrinkt en sluit, wordt beneden ingedeukt.

Het weer. De luchtdruk schommelt met het weer, meestal tussen ongeveer 980 en 1040 hPa. Een barometer toont dat; op een weerkaart verbinden isobaren punten met dezelfde druk. Hogedrukgebieden brengen meestal droog weer, lagedrukgebieden wind en regen.

De hoogte. Hoe hoger, hoe minder lucht er boven je ligt, en hoe dunner de lucht zelf. Onderin daalt de druk ongeveer 12 hPa per 100 m. De afname is niet lineair: op 5,5 km is de druk gehalveerd, op de top van de Mount Everest is ze nog een derde. De grafiek toont de internationale standaardatmosfeer, een model met 15 °C op zeeniveau; de echte druk wijkt daar met het weer een paar procent van af.

Hoe hoger, hoe trager de druk nog daalt: de lucht zelf wordt dunner.

Proef · 11.17

Luchtdruk meten op de trap

17/23

Onderzoeksvraag

Kan je met een smartphone meten dat de luchtdruk afneemt als je een paar verdiepingen hoger gaat? En kan je er de dichtheid van lucht uit halen?

Materiaal

smartphone met een barometer en een app die hem uitleest (bijvoorbeeld phyphox, 'Druk')
een trappenhal met minstens vier verdiepingen
rolmeter

VeiligheidLoop rustig; de meting heeft tijd nodig, niet snelheid.

Voorbeeldmeting: vijf punten op een rechte; de helling is ρ · g voor lucht.

Werkwijze

1Meet de hoogte van één trede en tel de treden per verdieping; bereken de hoogte van elke verdieping.
2Leg de smartphone op het gelijkvloers op de trap, wacht 20 s en noteer de gemiddelde druk.
3Herhaal op elke verdieping, telkens met de telefoon even hoog boven de trede en uit de tocht.
4Zet de druk uit tegen de hoogte en bepaal de helling van de best passende rechte (hoofdstuk 3).

Waarneming

hoogte (m)	0,0	3,2	6,4	9,6	12,8
luchtdruk (hPa)	1012,40	1012,03	1011,64	1011,28	1010,88

Per verdieping daalt de druk met ongeveer 0,38 hPa; de punten liggen op een rechte met helling $- 0, 118 hPa/m = - 11, 8 Pa/m$ .

Verklaring

Ook in lucht geldt $Δ p = ρ g Δ h$ : over een paar verdiepingen verandert de dichtheid van de lucht niet merkbaar. Uit de helling volgt $ρ = \frac{11 , 8}{9 , 81} = 1, 21 kg/ m^{3}$ , dicht bij de tabelwaarde van 1,20 kg/m³ bij 20 °C. Water is ongeveer 830 keer dichter: daarom merk je het drukverschil in een zwembad van 3 m meteen, en op een trap van 13 m niet. Smartphones gebruiken hun barometer om te bepalen op welke verdieping je bent. Wacht je tien minuten en meet je opnieuw, dan is de druk misschien door het weer al een paar tienden hPa veranderd: meet daarom snel na elkaar, of begin en eindig op het gelijkvloers.

De barometer in een smartphone merkt het verschil tussen twee verdiepingen.

Uitleg · 11.18

Overdruk en absolute druk

18/23

De meeste drukmeters tonen niet de druk zelf, maar het verschil met de luchtdruk. Een bandenspanningsmeter die 2,2 bar toont, meet 2,2 bar overdruk: in de band is de absolute druk $2, 2 + 1, 0 = 3, 2 bar$ . Een lege band is niet leeg: er zit lucht in van 1 bar absoluut, en de meter toont 0.

absolute druk en overdruk

p_{abs} = p_{0} + p_{over}

p_{0}

de luchtdruk. Een negatieve overdruk heet onderdruk: in een stofzuiger, in je mond als je aan een rietje zuigt. De absolute druk kan nooit onder nul: daar is vacuüm.

Een eenvoudige manometer is een U-buis met water: het ene been hangt aan het gas, het andere staat open. Het hoogteverschil geeft de overdruk, $p_{over} = ρ g Δ h$ . Een aardgasleiding in huis heeft een overdruk van ongeveer 20 à 25 mbar: 20 à 25 cm water in de U-buis. De ronde wijzermanometer op een compressor of een pomp bevat een gebogen buisje (de buis van Bourdon) dat zich strekt als de druk erin stijgt, en de wijzer meeneemt. Ook je bloeddruk is een overdruk: 120 mmHg is $120 \cdot 133, 3 = 16 kPa$ boven de luchtdruk.

Welke druk staat in de formule?

Voor krachten op een wand (een reservoir, een band, een duikbril) telt het drukverschil tussen binnen en buiten: meestal de overdruk. Voor gassen (hoofdstuk E14) reken je met de absolute druk.

Links vanaf het vacuüm, rechts vanaf de luchtdruk: de twee schalen zijn 1,013 bar verschoven.

Een wijzermanometer toont overdruk: bij open lucht staat hij op nul.

Uitleg · 11.19

Pompen en leidingen

19/23

Een pomp maakt een drukverschil: aan de persopening is de druk hoger dan aan de zuigopening. Die overdruk duwt het water door de leiding omhoog. Pompbouwers geven het drukverschil meestal als opvoerhoogte: de hoogte van de waterkolom die het kan dragen.

opvoerhoogte en druk

Δ p = ρ \cdot g \cdot H 1 bar \approx 10, 2 m waterkolom

De pomp van Habitat (1,5 m) maakt

1000 \cdot 9, 81 \cdot 1, 5 = 14, 7 kPa

overdruk; een pomp voor een leidingnet van 4 bar heeft een opvoerhoogte van ongeveer 40 m.

Zuigen tot 10 m. Een pomp boven een put 'zuigt' niet: ze maakt de druk in de zuigbuis kleiner, en de luchtdruk op het water in de put duwt het omhoog. Zelfs met een perfect vacuüm draagt de luchtdruk maar 10,3 m water. In de praktijk halen zuigpompen 7 à 8 m: bij lage druk begint het water te koken en vormen er dampbellen. Diepe putten krijgen daarom een dompelpomp onderin, die duwt. Ook in het reservoir van Habitat staat een dompelpomp.

Verlies in de leiding. Stromend water wrijft tegen de wand en tegen zichzelf. Daardoor gaat er druk verloren, alsof de pomp het water hoger moest brengen. Dat verlies groeit ongeveer met het kwadraat van de snelheid, en de snelheid met het omgekeerde van de doorsnede: een dunnere slang kost veel meer. Voor de slang van Habitat (2,5 m lang, bij 5,0 L/min, berekend met de formules van hoofdstuk E18):

binnendiameter van de slang	8 mm	10 mm	13 mm	16 mm
snelheid van het water bij 5,0 L/min	1,66 m/s	1,06 m/s	0,63 m/s	0,41 m/s
extra opvoerhoogte (2,5 m slang)	1,57 m	0,56 m	0,17 m	0,07 m

Een pomp levert dus niet één debiet, maar een debiet dat afhangt van de opvoerhoogte die het systeem vraagt: de pompkarakteristiek. Hoe hoger ze moet duwen, hoe minder water ze verplaatst.

Links draagt de luchtdruk het water omhoog, tot hoogstens 10,3 m. Rechts duwt de pomp; de opvoerhoogte telt vanaf het wateroppervlak.

Uitgewerkt voorbeeld · 11.20

Habitat: welke pomp, welke slang?

20/23

Voor de waterkringloop liggen drie 12 V-pompen op tafel, met hun karakteristiek (vereenvoudigd als rechte): A (6 W) tot 2,0 m en 8 L/min; B (12 W, de pomp uit hoofdstuk 9) tot 3,0 m en 10 L/min; C (24 W) tot 5,0 m en 16 L/min. Het water moet 1,5 m hoog, van het wateroppervlak in het reservoir tot de bovenste kweekgoot, door een slang van 2,5 m. Het team wil ongeveer 5 L/min. Welke pomp, en welke slang: 8 mm of 16 mm binnendiameter?

Drie pompen (volle lijnen), twee slangen (stippellijnen); de punten zijn de werkpunten.

Gegeven

pompkarakteristieken A, B, C (grafiek)
hoogteverschil 1,5 m; slang 2,5 m, 8 of 16 mm; leidingverlies uit de tabel van het vorige blad

Gevraagd

het werkpunt (debiet en opvoerhoogte) van elke combinatie
de keuze

Oplossing

1
De leidingkarakteristiek is de opvoerhoogte die het systeem vraagt bij elk debiet: 1,5 m plus het leidingverlies. Bij 0 L/min is het 1,5 m; met de slang van 16 mm stijgt ze nauwelijks (0,07 m extra bij 5 L/min), met 8 mm snel (1,6 m extra).
2
Het werkpunt is het snijpunt van pomp- en leidingkarakteristiek: daar levert de pomp precies de opvoerhoogte die het systeem bij dat debiet vraagt.
3
Pomp A haalt met 16 mm maar 2,0 L/min: te weinig. Pomp C haalt 10,4 L/min: ruim twee keer te veel, voor twee keer het vermogen.
4
Pomp B met 16 mm: 4,8 L/min bij 1,56 m. Met 8 mm valt ze terug tot 3,0 L/min: de dunne slang 'knijpt' de pomp af.

Antwoord

Pomp B met een slang van 16 mm: 4,8 L/min, net onder de 5,0 L/min uit hoofdstuk 9 (dat was het debiet bij 1,5 m zonder leidingverlies). De 60 L één keer rondpompen duurt dan 12,5 minuten in plaats van 12.

Klopt dit? Een dikkere slang kost bijna niets en spaart energie: met 8 mm zou je voor hetzelfde debiet een pomp als C nodig hebben, met het dubbele verbruik. Hoe je pomp- en leidingkarakteristieken zelf berekent, leer je in hoofdstuk E18. In opdracht 11.14 kijk je wat er gebeurt als het niveau in het reservoir zakt.

Code · 11.21

Python en C++: het niveau meten met een druksensor

21/23

Het reservoir is lichtdicht, dus meet je het niveau met de druk. Een stijve buis hangt tot vlak boven de bodem; de lucht erin wordt samengedrukt tot haar druk gelijk is aan de waterdruk op die diepte, en geeft die door naar een droge druksensor op het deksel (Pascal). De sensor MPX5010 meet overdruk van 0 tot 10 kPa en geeft volgens zijn datasheet $U = V_{S} (0, 09 p + 0, 04)$ , met $p$ in kPa en $V_{S} = 5 V$ : 0,2 V bij 0 kPa, 450 mV per kPa. De microcontroller leest die spanning met een ADC van 10 bit (hoofdstuk 25) als een getal van 0 tot 1023. Het programma rekent terug: getal, spanning, druk, hoogte, volume.

Pythonniveau.py16 regelsDownload

# niveau.py - waterhoogte en volume uit de druksensor onderaan het voedingsreservoirRHO, G = 1000.0, 9.81          # dichtheid van de oplossing (kg/m3) en valversnelling (m/s2)VS = 5.0                       # voedingsspanning van de sensor (V)BODEM = 0.60 * 0.40            # binnenoppervlakte van het reservoir (m2)  def niveau(ruw):    u = ruw * VS / 1023                   # ADC-waarde (0 tot 1023) naar volt    p = (u / VS - 0.04) / 0.09 * 1000     # datasheet: druk in kPa; maal 1000 geeft Pa    h = p / (RHO * G)                     # hydrostatische druk: p = rho * g * h    return u, p, h, h * BODEM * 1000      # volt, Pa, m, liter  for ruw in (41, 86, 154, 222, 267):    u, p, h, liter = niveau(ruw)    print(f"ADC {ruw:4d}   {u:5.3f} V   {p:6.0f} Pa   {h * 100:5.1f} cm   {liter:5.1f} L")

De lucht in de buis geeft de waterdruk door; de sensor blijft droog, boven op het deksel.

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

ADC   41   0.200 V        1 Pa     0.0 cm     0.0 L
ADC   86   0.420 V      490 Pa     5.0 cm    12.0 L
ADC  154   0.753 V     1228 Pa    12.5 cm    30.0 L
ADC  222   1.085 V     1967 Pa    20.0 cm    48.1 L
ADC  267   1.305 V     2456 Pa    25.0 cm    60.1 L

Eén stap van de ADC is 4,9 mV, dus 0,011 kPa of 1,1 mm water: fijn genoeg. Maar de datasheet belooft maar $\pm 5 %$ van het bereik, tot 0,5 kPa of 5 cm water fout. Daarom kalibreer je: je leest de sensor af bij een leeg reservoir en trekt dat getal voortaan af (hoofdstuk 1 en 3; opdracht 11.11). Op de microcontroller ziet dezelfde berekening er zo uit:

// niveau.ino - dezelfde berekening op de microcontroller
const float RHO = 1000.0, G = 9.81, VS = 5.0, BODEM = 0.60 * 0.40;

void setup() {
  Serial.begin(9600);
}

void loop() {
  int ruw = analogRead(A5);                     // sensoruitgang op A5 (Mega)
  float u = ruw * VS / 1023.0;                  // volt
  float p = (u / VS - 0.04) / 0.09 * 1000.0;    // overdruk in Pa
  float h = p / (RHO * G);                      // waterhoogte in m
  Serial.print(h * 100.0);
  Serial.print(" cm, ");
  Serial.print(h * BODEM * 1000.0);
  Serial.println(" L");
  delay(1000);
}

Naslag · 11.22

Overzicht: druk en hydraulica

22/23

druk

p = \frac{F}{A}

symbool	betekenis	eenheid
$p$	druk	Pa = N/m²
$F$	kracht loodrecht op het oppervlak	N
$A$	oppervlakte	m²

hydrostatische druk

p = ρ g h p_{abs} = p_{0} + ρ g h

symbool	betekenis	eenheid
$ρ$	dichtheid van de vloeistof	kg/m³
$h$	diepte onder het oppervlak	m
$p_{0}$	luchtdruk, 101 325 Pa (standaard)	Pa

wet van Pascal: hydraulische pers

\frac{F _{1}}{A _{1}} = \frac{F _{2}}{A _{2}} A_{1} s_{1} = A_{2} s_{2}

wet van Archimedes

F_{A} = ρ_{vl} g V_{ond} \frac{V _{ond}}{V} = \frac{ρ _{v}}{ρ _{vl}} (drijven)

overdruk, absolute druk en opvoerhoogte

p_{abs} = p_{0} + p_{over} Δ p = ρ g H

eenheid	in pascal	waar je ze ziet
1 Pa = 1 N/m²	1	SI-eenheid
1 hPa = 1 mbar	100	weerkaarten (1013 hPa)
1 kPa	1000	techniek, sensoren
1 bar	100 000	banden, leidingwater, duikflessen
1 MPa	1 000 000	hydrauliek, sterkte van materialen
1 mmHg (millimeter kwik)	133,3	bloeddruk (120/80 mmHg)
1 standaardatmosfeer	101 325	= 1013,25 hPa = 760 mmHg

dichtheid	kg/m³
lucht (20 °C, zeeniveau)	1,20
helium (20 °C)	0,17
zoet water	1000
zeewater	1025
ijs	917
hydraulische olie	ongeveer 870
kwik	13 590

Habitat: rekenwaarden uit dit hoofdstuk
voedingsreservoir	binnenmaten 60 × 40 × 30 cm; vol 25 cm (60 L): 2,45 kPa overdruk op de bodem, 184 N op een lange wand
niveaumeting	druksensor MPX5010 (0 tot 10 kPa, 0,2 V + 0,45 V/kPa); alarm bij 10 cm (24 L), plus vlotterschakelaar
pomp en slang	pomp B (12 W), slang 16 mm, 2,5 m: werkpunt 4,8 L/min bij 1,56 m
druk op de vloer	2,3 kPa op de volle bodem; nooit op dunne pootjes zonder plaat

Het geheel · 11.23

Waar druk terugkomt

23/23

Druk verbindt de mechanica met de stoffen: ze is kracht per oppervlakte, en ze komt voort uit het gewicht van een vloeistof of het botsen van gasdeeltjes. In Expert wordt ze een van de hoofdrolspelers: in de gaswetten, in de warmtepomp en in de stroming door leidingen.

F6 Het deeltjesmodel

Gasdruk als het botsen van deeltjes tegen de wand.

F7 Massa, volume en dichtheid

Zinken, zweven en drijven, nu verklaard met de opwaartse kracht.

I8 De wetten van Newton

Normaalkracht en derde wet: de weegschaal onder de beker, de reactie van het water.

I9 Arbeid, energie en vermogen

De pomp en haar opvoerhoogte; de gulden regel bij de hydraulische pers.

I10 Moment en evenwicht

De waterdruk op een wand als driehoekige last; het koppel dat een schip terug rechtzet.

I22 De spanningsdeler en sensoren

Een sensor met een analoge uitgang inlezen en kalibreren, zoals de druksensor.

I36 Hydroponie en voedselproductie

Het hydroponiesysteem waarvoor de pomp en de niveaumeting dienen.

E14 Gassen en de gaswetten

Druk, volume en temperatuur van gassen; absolute druk in de ideale gaswet.

E16 Warmtepompen en koelen

Een warmtepomp werkt met een koelmiddel onder hoge en lage druk.

E18 Stroming van vloeistoffen en gassen

Bernoulli, drukverlies in leidingen en het werkpunt van een pomp, nu echt berekend.

HabitatVoor Habitat leggen we vast: het voedingsreservoir heeft binnenmaten van 60 × 40 × 30 cm en is vol bij 25 cm (60 L); onderaan heerst dan 2,45 kPa overdruk. Het niveau wordt gemeten met een druksensor MPX5010 via een luchtbuis; onder 10 cm (24 L) gaat het alarm af, met een vlotterschakelaar als tweede beveiliging. De pomp uit hoofdstuk 9 (pomp B, 12 W) krijgt een slang van 16 mm binnendiameter en 2,5 m: werkpunt 4,8 L/min bij 1,56 m. In opdracht 11.14 reken je het hele systeem na.

Samenvatting

In het kort

Druk is kracht per oppervlakte: $p = F / A$ , in pascal ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ); $1 bar = 1 0^{5} Pa$ , $1 hPa = 100 Pa$ .
In een vloeistof in rust is $p = ρ g h$ : ze hangt alleen af van de diepte, niet van de vorm van het vat, en werkt in alle richtingen. In water ongeveer 1 bar per 10 m.
Communicerende vaten: dezelfde vloeistof in rust staat overal even hoog (peilbuis, slangwaterpas, watertoren).
Wet van Pascal: een drukverandering in een ingesloten vloeistof plant zich overal voort. Een hydraulische pers vermenigvuldigt de kracht met $A_{2} / A_{1}$ , en deelt de weg door hetzelfde getal.
Wet van Archimedes: $F_{A} = ρ_{vl} g V_{ond}$ . Een drijvend voorwerp verplaatst zijn eigen gewicht aan vloeistof; stabiel drijven vraagt een laag zwaartepunt.
De luchtdruk is op zeeniveau gemiddeld 101 325 Pa; ze daalt met de hoogte (de helft op 5,5 km). Zuigen werkt daarom tot hoogstens 10,3 m water.
Een manometer toont overdruk: $p_{abs} = p_{0} + p_{over}$ .
Een pomp maakt een drukverschil $ρ g H$ . Het werkpunt is het snijpunt van pomp- en leidingkarakteristiek; een te dunne leiding kost veel debiet.

Begrippen

Wat je nu kent

druk: Kracht loodrecht op een oppervlak, gedeeld door die oppervlakte: $p = F / A$ , in pascal.
pascal: De SI-eenheid van druk: $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ . $1 bar = 100000 Pa$ , $1 hPa = 100 Pa$ .
hydrostatische druk: De druk in een vloeistof in rust door het gewicht van de vloeistof erboven: $p = ρ g h$ .
communicerende vaten: Vaten die onderaan verbonden zijn; een vloeistof in rust staat erin overal even hoog.
wet van Pascal: Een drukverandering in een ingesloten vloeistof plant zich onverminderd voort naar elk punt van de vloeistof.
opwaartse kracht: De kracht omhoog van een vloeistof of gas op een voorwerp erin: $F_{A} = ρ_{vl} g V_{ond}$ (wet van Archimedes).
atmosferische druk: De druk van de lucht rondom ons, door het gewicht van de lucht erboven; op zeeniveau gemiddeld 101 325 Pa.
overdruk: Het verschil tussen de druk en de atmosferische druk; dat is wat een manometer meestal toont.
absolute druk: De druk gemeten vanaf het vacuüm: overdruk plus atmosferische druk.
opvoerhoogte: De hoogte van een waterkolom die met het drukverschil van een pomp overeenkomt: $H = Δ p / (ρ g)$ .
werkpunt: Het snijpunt van de pompkarakteristiek en de leidingkarakteristiek: het debiet en de opvoerhoogte waarbij het systeem echt draait.

Aan de slag in het werkboek18 opdrachten, van oefenen tot uitdagen