IIntermediate · deel I3 · Mechanica

Oplossingen · hoofdstuk 10Moment en evenwicht

Waarom een lange sleutel helpt, waar een balk op steunt, en wanneer iets omvalt

Uitgewerkte oplossingen bij de 18 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

6× oefenen7× toepassen5× uitdagen± 487 min

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Een torenkraan is een reusachtige wip: het contragewicht houdt de last in evenwicht.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

10.1

Momenten om een draaipunt

Oefenen3Rekenen15 min

Een staaf kan draaien rond O. Er werken vier krachten op, zoals in de figuur.

F1 en F3 wijzen omhoog, F2 omlaag, F4 trekt langs de staaf.

a
Bereken het moment van elke kracht om O, met teken (tegen de klok in positief).
F1: $+ 40 \cdot 0, 50 = + 20 N \cdot m$ . F2: $- 60 \cdot 0, 30 = - 18 N \cdot m$ . F3: arm $0, 70 sin 3 0^{\circ} = 0, 35 m$ , dus $+ 50 \cdot 0, 35 = + 17, 5 N \cdot m$ (of $F_{⊥} = 25 N$ maal 0,70 m). F4: werklijn door O, arm 0, moment 0.
b
Hoe groot is het totale moment? In welke zin draait de staaf?
$20 - 18 + 17, 5 = + 19, 5 N \cdot m$ : de staaf draait tegen de klok in.
c
Welke loodrechte kracht moet je op 0,80 m uitoefenen, en in welke richting, om de staaf in evenwicht te houden?
$- 19, 5 N \cdot m$ nodig: $F = 19, 5/0, 80 = 24, 4 N$ , loodrecht omlaag op het uiteinde.

10.2

Een deur openduwen

Oefenen3Begrijpen10 min

Een deur draait rond de scharnieren. Ze is 0,90 m breed en de klink zit 0,80 m van de scharnieren.

a
Waarom zit de klink zo ver mogelijk van de scharnieren?
Hoe groter de arm, hoe kleiner de kracht die je nodig hebt voor hetzelfde moment.
b
Om de deur te openen is een moment van 4,0 N·m nodig. Met welke kracht duw je loodrecht aan de klink? En loodrecht op 10 cm van de scharnieren?
Aan de klink: $4, 0/0, 80 = 5, 0 N$ . Op 10 cm: $4, 0/0, 10 = 40 N$ , acht keer zoveel.
c
Je duwt aan de klink met 20 N, maar schuin: je kracht maakt 30° met het deurblad. Gaat de deur open?
Arm $0, 80 sin 3 0^{\circ} = 0, 40 m$ ; moment $20 \cdot 0, 40 = 8, 0 N \cdot m$ , meer dan 4,0 N·m: ja.
d
Waarom mag je een deurstopper beter niet vlak bij de scharnieren zetten als iemand de deur hard dichtduwt?
De deurstopper moet het moment van de duw opvangen met een kleine arm: de kracht op de stopper (en op de scharnieren, die de reactie leveren) wordt dan heel groot. Het deurblad of de scharnieren kunnen scheuren.

10.3

De wip op de speelplaats

Oefenen3Rekenen12 min

Lotte (35 kg) zit op een wip, 1,8 m van het draaipunt. Haar vader (80 kg) gaat aan de andere kant zitten. Het gewicht van de plank verwaarloos je (ze is symmetrisch).

a
Op welke afstand van het draaipunt moet haar vader zitten voor evenwicht?
$35 \cdot 1, 8 = 80 \cdot x$ , dus $x = 0, 79 m$ (de valversnelling valt weg).
b
Haar broertje (15 kg) komt bij Lotte zitten, 1,2 m van het draaipunt. Waar moet de vader nu zitten?
$35 \cdot 1, 8 + 15 \cdot 1, 2 = 63 + 18 = 81 = 80 \cdot x$ , dus $x = 1, 01 m$ .
c
Met welke kracht duwt het draaipunt dan op de plank?
Som van de krachten: $(35 + 15 + 80) \cdot 9, 81 = 1275 N$ omhoog.

10.4

Evenwicht of niet?

Oefenen4Begrijpen15 min

Vier situaties. Het gewicht van de plankjes en het blok verwaarloos je in (a) tot (c).

(a) twee krachten aan de uiteinden; (b) twee krachten op één lijn; (c) een wip met twee lasten; (d) een blok dat bovenaan geduwd wordt.

a
Is de som van de krachten nul in (a), (b) en (c)? En de som van de momenten? Welke zijn in evenwicht?
(a) $\sum F = 0$ , maar $\sum M \neq = 0$ (koppel): geen evenwicht, draait. (b) $\sum F = 0$ en $\sum M = 0$ : evenwicht. (c) momenten om het draaipunt: $30 \cdot 0, 4 = 12$ tegen $20 \cdot 0, 6 = 12 N \cdot m$ : $\sum M = 0$ ; de krachten zijn in evenwicht als je de steunkracht meetelt.
b
Welke kracht ontbreekt er in figuur (c) om het een volledig vrijlichaamsdiagram te maken? Hoe groot is ze?
De steunkracht van het draaipunt op de plank: $30 + 20 = 50 N$ omhoog.
c
In (d) duw je bovenaan een blok met 30 N en de wrijving onderaan is ook 30 N. De horizontale krachten heffen elkaar op. Waarom kantelt het blok dan toch niet vanzelf, en wanneer wel?
De duw en de wrijving vormen samen een koppel dat het blok naar voor wil kantelen. De normaalkracht verschuift daarom naar de voorste rand: samen met het gewicht vormt ze een tegenkoppel. Zolang die verschuiving binnen het steunvlak kan blijven, kantelt het blok niet. Duw je te hard of te hoog, dan zou de normaalkracht voorbij de rand moeten: dan kantelt het blok.

10.5

Zwaartepunten van profielen

Oefenen4Rekenen20 min

Bereken het zwaartepunt van de twee vormen. Leg de oorsprong linksonder.

Links een T-profiel (lijf 20 × 80 mm, flens 100 × 20 mm), rechts een plaat van 100 × 60 mm met een vierkant gat van 20 × 20 mm.

a
Waar ligt het zwaartepunt van het T-profiel horizontaal? Leg uit zonder te rekenen.
Op de symmetrie-as, 50 mm van links.
b
Bereken de hoogte van het zwaartepunt van het T-profiel.
Lijf: $A = 1600 m m^{2}$ , $y = 40 mm$ . Flens: $A = 2000 m m^{2}$ , $y = 90 mm$ . $y_{Z} = \frac{1600 \cdot 40 + 2000 \cdot 90}{3600} = \frac{64 000 + 180 000}{3600} = 67, 8 mm$ .
c
Bereken het zwaartepunt van de plaat met het gat.
Plaat $6000 m m^{2}$ op $x = 50$ ; gat $- 400 m m^{2}$ op $x = 70$ . $x_{Z} = \frac{6000 \cdot 50 - 400 \cdot 70}{5600} = 48, 6 mm$ ; $y_{Z} = 30 mm$ (symmetrie).

10.6

Steunpuntsreacties van een balk

Oefenen4Rekenen15 min

Een balk van 4,0 m rust op een scharnier in A en een rol in B.

Twee puntlasten: 2,0 kN op 1,0 m en 1,0 kN op 3,0 m van A.

a
Teken het vrijlichaamsdiagram en bereken $R_{A}$ en $R_{B}$ . Controleer met de momenten om B.
Om A: $R_{B} \cdot 4, 0 = 2, 0 \cdot 1, 0 + 1, 0 \cdot 3, 0 = 5, 0 kN \cdot m$ , dus $R_{B} = 1, 25 kN$ ; $R_{A} = 3, 0 - 1, 25 = 1, 75 kN$ . Om B: $R_{A} \cdot 4, 0 = 2, 0 \cdot 3, 0 + 1, 0 \cdot 1, 0 = 7, 0$ , dus $R_{A} = 1, 75 kN$ . Klopt.
b
De balk weegt zelf 0,50 kN per meter. Hoe groot worden de reacties nu?
Eigengewicht $0, 50 \cdot 4, 0 = 2, 0 kN$ in het midden: elk steunpunt 1,0 kN extra. $R_{A} = 2, 75 kN$ , $R_{B} = 2, 25 kN$ .

Toepassen

meerdere stappen, in een context

10.7

Een boekenplank

Toepassen4Rekenen20 min

Een plank van 1,20 m en 3,0 kg ligt op twee dragers aan de muur, 0,10 m van elk uiteinde. Links op de plank staan boeken: 25 kg, gelijkmatig over de eerste 0,60 m.

De dragers staan 1,00 m uit elkaar; de plank steekt aan elke kant 0,10 m uit.

a
Bereken de kracht op elke drager.
Boeken: $245, 3 N$ op 0,30 m van de linkerrand, dus 0,20 m rechts van A. Plank: $29, 4 N$ in het midden, 0,50 m van A. Om A: $R_{B} \cdot 1, 00 = 245, 3 \cdot 0, 20 + 29, 4 \cdot 0, 50 = 63, 8$ , dus $R_{B} = 64 N$ ; $R_{A} = 274, 7 - 63, 8 = 211 N$ .
b
De boeken gaan weg. Iemand zet een pot van 10 kg helemaal links op het uitstekende stukje. Hoe groot zijn de reacties nu?
De pot hangt 0,10 m links van A (negatief moment om A): $R_{B} = 29, 4 \cdot 0, 50 - 98, 1 \cdot 0, 10 = 4, 9 N$ ; $R_{A} = 29, 4 + 98, 1 - 4, 9 = 122, 6 N$ .
c
Vanaf welke massa helemaal links komt de plank los van drager B? Wat moet je dan doen?
$R_{B} = 0$ als $m g \cdot 0, 10 = 29, 4 \cdot 0, 50$ , dus $m = 15 kg$ . Zwaarder, en de plank kiept rond A omhoog aan de kant van B: schroef de plank vast op de dragers, dan kan B ook naar beneden trekken.

10.8

Labo: steunpuntsreacties meten

Toepassen5Labo50 min

Herhaal de proef met de twee keukenweegschalen uit het handboek, maar met je eigen lat of plank en twee massa's tegelijk. Voorspel eerst, meet dan.

a
Meet de massa van de lat en de afstand tussen de steunpunten. Kies twee massa's en hun plaatsen.
Bijvoorbeeld een lat van 200 g, steunpunten 0,90 m uit elkaar, 500 g op 0,20 m en 200 g op 0,70 m.
b
Voorspel met de evenwichtsvoorwaarden wat elke weegschaal zal tonen.
Om A: $m_{B} \cdot 0, 90 = 200 \cdot 0, 45 + 500 \cdot 0, 20 + 200 \cdot 0, 70 = 330$ , dus $m_{B} = 367 g$ ; $m_{A} = 900 - 367 = 533 g$ .
c
Meet voor minstens vijf opstellingen en vergelijk met je voorspelling.
Verschillen van enkele gram (tot 1 %).
d
Verschuif één massa in stappen van 10 cm en zet de aflezing van B uit tegen de plaats. Welke helling verwacht je?
Een rechte met helling $\frac{m}{L}$ : voor 500 g en 0,90 m is dat 556 g per meter, of 55,6 g per 10 cm.
e
Verklaar de verschillen tussen voorspelling en meting.
De resolutie van de weegschalen (1 g), het nauwkeurig plaatsen van de massa's (een paar millimeter), het blokje dat niet precies onder het uiteinde staat, een lat die niet overal even dik is.

Zo wordt dit beoordeeld

Voorspelling	Momentenvergelijking om een steunpunt correct, met het gewicht van de lat in het midden.
Metingen	Minstens vijf opstellingen, tarra op nul, eenheden.
Grafiek	Rechte met helling = massa gedeeld door de afstand tussen de steunpunten.
Besluit	Verschillen gekwantificeerd en verklaard (resolutie, plaatsing, blokjes).

10.9

Een plank met een overstek

Toepassen5Rekenen20 min

Een plank van 4,0 m en 24 kg ligt op twee schragen A en B, op 0,5 m en 2,5 m van het linkeruiteinde. Een schilder van 60 kg wandelt over de plank naar rechts.

Voorbij schraag B steekt de plank 1,5 m uit.

a
Tot waar kan de schilder wandelen voor de plank kantelt? Rond welk punt kantelt ze?
De plank kantelt rond B als $R_{A} = 0$ . Om B: $24 \cdot 0, 5 = 60 \cdot (x - 2, 5)$ (de plank heeft haar zwaartepunt op 2,0 m, 0,5 m links van B). $x = 2, 5 + 0, 2 = 2, 7 m$ : maar 20 cm voorbij de schraag!
b
Welk tegengewicht moet op het linkeruiteinde liggen, zodat hij tot het rechteruiteinde kan (kantelveiligheid 1)?
Om B, met de schilder op 4,0 m (arm 1,5 m) en het tegengewicht op 0 m (arm 2,5 m): $m \cdot 2, 5 + 24 \cdot 0, 5 = 60 \cdot 1, 5$ , dus $m = 31, 2 kg$ .
c
Waarom is het veel veiliger om schraag B verder naar rechts te zetten?
Hoe korter het overstek, hoe kleiner de arm van de schilder voorbij het kantelpunt, en hoe groter de arm van het plankgewicht erachter. Een overstek van meer dan een paar decimeter vraagt verankering.

10.10

Maak: een mobiel in evenwicht

Toepassen5Maken45 min

Voor de inkom van het station maak je een mobiel: stokjes die aan draadjes hangen, met figuren aan de uiteinden. Elk stokje moet horizontaal hangen. Het voorbeeld in de figuur: onderaan een stokje van 30 cm (6 g) met 18 g links en 6 g rechts; bovenaan een stokje van 40 cm (10 g) met links het onderste mobiel en rechts 20 g. Het gewicht van de draadjes verwaarloos je.

Waar komen de ophangdraadjes (de vraagtekens)?

a
Bereken waar het ophangdraadje van het onderste stokje moet komen, gemeten vanaf links.
Om het linkeruiteinde: het ophangpunt draagt 30 g en ligt op $x = \frac{18 \cdot 0 + 6 \cdot 15 + 6 \cdot 30}{30} = 9, 0 cm$ . Controle om dat punt: $18 \cdot 9 = 162$ tegen $6 \cdot 6 + 6 \cdot 21 = 36 + 126 = 162$ .
b
Bereken waar het bovenste stokje opgehangen moet worden.
Het onderste mobiel weegt 30 g en hangt aan het linkeruiteinde: $x = \frac{30 \cdot 0 + 10 \cdot 20 + 20 \cdot 40}{60} = 16, 7 cm$ van links.
c
Ontwerp en bouw je eigen mobiel met minstens drie niveaus. Weeg alle onderdelen, bereken de ophangpunten vooraf en controleer.
Eigen ontwerp; controle: elk stokje hangt horizontaal, en het ophangpunt ligt telkens in het zwaartepunt van alles wat eronder hangt.

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening	Voor elk stokje een momentenvergelijking om het ophangpunt, met het gewicht van het stokje in zijn midden.
Volgorde	Van onder naar boven: een lager niveau telt als één last (zijn totale massa) voor het niveau erboven.
Bouw	Alle stokjes hangen binnen enkele graden horizontaal zonder bijregelen, of het bijregelen is verklaard.
Verslag	Tabel met massa's, ophangpunten berekend en gemeten.

10.11

Python: waar mag het reservoir staan?

Toepassen5Programmeren25 min

Gebruik het programma steunpuntsreacties.py uit het handboek. Als iemand het reservoir bijvult, staat hij (80 kg, dus 785 N) 0,40 m naast het midden van het reservoir, aan de kant van B. De balkdragers waarmee de vloerbalk aan de liggers hangt, mogen elk hoogstens 1,0 kN dragen.

a
Welke regel moet je aanpassen om de persoon mee te rekenen? Schrijf de nieuwe regel(s).
Bijvoorbeeld persoon = [(785.0, x + 0.40)] en R_A, R_B = reacties(persoon, eigengewicht + reservoir).

Laat het midden van het reservoir in stappen van 1 cm van 0,32 m tot 2,08 m lopen, en print alleen de plaatsen waar beide reacties hoogstens 1000 N zijn. Tussen welke grenzen mag het reservoir staan?

goed = []
for i in range(32, 209):
    x = i / 100
    reservoir = [(996.3, x - 0.32, x + 0.32)]
    persoon = [(785.0, x + 0.40)]
    R_A, R_B = reacties(persoon, eigengewicht + reservoir)
    if R_A <= 1000 and R_B <= 1000:
        goed.append(x)
print("van", min(goed), "tot", max(goed), "m")

Uitvoer (gedraaid): van 0.65 tot 1.31 m. Staat het reservoir dichter bij A, dan krijgt A te veel; dichter bij B, dan B (door de persoon aan die kant).

c
Controleer één grens met een berekening op papier.
Grens bij A: $R_{A} = 90 + \frac{637 , 6 ( 2 , 40 - x ) + 785 ( 2 , 00 - x )}{2 , 40} = 1000$ geeft $x = 0, 644 m$ : afgerond op de volgende centimeter 0,65 m.

10.12

Waarom kasten omvallen

Toepassen5Analyseren25 min

Een ladekast van 35 kg is 0,48 m diep en 1,10 m hoog. Met alle laden dicht ligt haar zwaartepunt midden in de diepte. De vier laden wegen samen 12 kg; de onderste weegt 5 kg. Een kind van 20 kg staat op de open onderste lade, 0,35 m voor de voorkant van de kast.

De kast kantelt, als ze kantelt, rond haar voorste onderrand.

a
Met welke horizontale kracht bovenaan (1,10 m) kan je de gesloten kast naar je toe trekken voor ze kantelt?
$M_{stab} = 35 \cdot 9, 81 \cdot 0, 24 = 82, 4 N \cdot m$ ; $F = 82, 4/1, 10 = 75 N$ . Minder dan een kind met zijn gewicht kan trekken.
b
Alleen de onderste lade staat 0,35 m open en het kind staat erop. Waar ligt het zwaartepunt van de kast nu? Kantelt ze?
De lade van 5 kg schuift 0,35 m naar voor: het zwaartepunt verschuift $5 \cdot 0, 35/35 = 0, 05 m$ naar voor, tot 0,19 m achter de voorrand. $M_{stab} = 35 \cdot 9, 81 \cdot 0, 19 = 65, 2 N \cdot m$ ; het kind: $20 \cdot 9, 81 \cdot 0, 35 = 68, 7 N \cdot m$ . Groter: de kast kantelt.
c
Alle laden staan open. Kantelt de kast met het kind erop?
Zwaartepunt $12 \cdot 0, 35/35 = 0, 12 m$ naar voor, dus 0,12 m achter de voorrand: $M_{stab} = 41, 2 N \cdot m$ , veel minder dan 68,7: de kast valt zeker om.
d
Een muuranker bovenaan (1,05 m hoog) trekt de kast horizontaal naar de muur. Hoe sterk moet het zijn voor een kantelveiligheid van 1,5 in het geval met alle laden open?
$F \cdot 1, 05 + 41, 2 \geq 1, 5 \cdot 68, 7 = 103, 0$ , dus $F \geq 59 N$ . Een kleine kracht met een grote arm: daarom wordt bij kasten een muuranker meegeleverd.

10.13

Tekenen: een kruiwagen

Toepassen4Tekenen15 min

Een kruiwagen met lading weegt samen 60 kg. Het zwaartepunt ligt horizontaal 0,40 m van de wielas; je handen tillen de handvatten 1,40 m van de wielas.

Een hefboom van de tweede soort: de last zit tussen het draaipunt (de as) en de kracht.

a
Teken het vrijlichaamsdiagram van de kruiwagen met de lading, met elke kracht op haar aangrijpingspunt.
Gewicht 588,6 N omlaag in Z; je handkracht F omhoog aan de handvatten; de normaalkracht van de grond omhoog in het contactpunt van het wiel (onder de as).
b
Bereken de kracht waarmee je moet tillen, en de kracht op het wiel.
Momenten om de as: $F \cdot 1, 40 = 588, 6 \cdot 0, 40$ , dus $F = 168 N$ . Wiel: $588, 6 - 168 = 420 N$ .
c
Waarom laad je een kruiwagen het best vooraan, boven het wiel?
Hoe dichter het zwaartepunt bij de as, hoe kleiner de arm van de last en hoe minder je moet tillen: op 0,30 m nog $126 N$ . Het wiel draagt dan de rest.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

10.14

Habitat: de draagbalk onder het reservoir narekenen

Uitdagen6Habitat45 min

De vloerbalk uit het handboek (2,40 m, 75 N/m) draagt het reservoir (65 kg over 0,64 m, midden op 0,50 m van A). Bij het bijvullen staat er iemand van 80 kg op 0,90 m van A, op dezelfde balk. De metalen balkdragers waarmee de balk aan de liggers hangt, mogen volgens hun fiche elk hoogstens 1,0 kN dragen. Reken aan de veilige kant: één balk draagt alles.

Het reservoir en de persoon op dezelfde vloerbalk.

a
Teken het vrijlichaamsdiagram van de balk en vervang de verdeelde lasten door resultanten.
Resultanten: reservoir 637,65 N op 0,50 m, eigengewicht 180 N op 1,20 m, persoon 784,8 N op 0,90 m; RA en RB omhoog.
b
Bereken $R_{A}$ en $R_{B}$ . Controleer met een tweede momentenvergelijking.
Om A: $R_{B} \cdot 2, 40 = 637, 65 \cdot 0, 50 + 180 \cdot 1, 20 + 784, 8 \cdot 0, 90 = 318, 8 + 216 + 706, 3 = 1241, 1$ , dus $R_{B} = 517 N$ . $R_{A} = 1602, 5 - 517, 1 = 1085 N$ . Om B: $R_{A} \cdot 2, 40 = 637, 65 \cdot 1, 90 + 180 \cdot 1, 20 + 784, 8 \cdot 1, 50 = 2604, 7$ , dus $R_{A} = 1085 N$ .
c
Is de balkdrager bij A sterk genoeg? En die bij B?
A: 1085 N is meer dan 1,0 kN: te zwak. B: 517 N, in orde.
d
Het team stelt voor het reservoir naar het midden te schuiven (midden op 1,20 m); de persoon staat dan op 1,60 m. Bereken opnieuw.
Om A: $R_{B} = \frac{637 , 65 \cdot 1 , 20 + 180 \cdot 1 , 20 + 784 , 8 \cdot 1 , 60}{2 , 40} = 932 N$ ; $R_{A} = 1602, 5 - 932 = 670 N$ . Beide onder 1,0 kN.
e
Schrijf voor je portfolio een advies van drie à vier regels: waar komt het reservoir, en waarom? Noem ook wat de berekening niet zegt.
Bijvoorbeeld: 'Het reservoir komt met zijn midden tussen 0,65 m en 1,31 m van ligger A (opdracht 10.11), liefst rond 1,0 m: dan blijven beide balkdragers ook met iemand erbij onder 1,0 kN. We rekenden alsof één balk alles draagt; in werkelijkheid helpen de buurbalken. Of de balk zelf niet te veel doorbuigt, berekenen we in E12.'

Zo wordt dit beoordeeld

Vrijlichaamsdiagram	Alle lasten op hun plaats, verdeelde lasten met hun resultante, twee reacties, afmetingen.
Berekening	Momenten om A en om B; som van de krachten klopt; eenheden.
Toetsing	Beide reacties vergeleken met 1,0 kN, voor beide opstellingen.
Advies	Keuze onderbouwd met getallen; grenzen van het model benoemd (één balk, sterkte en doorbuiging van de balk zelf: E12).

10.15

Hoe hoog mag je op de ladder?

Uitdagen7Rekenen30 min

Een ladder van 5,0 m en 14 kg staat onder 65° tegen een gladde muur. De voet staat op een vloer met

μ_{s} = 0, 35

. Een persoon van 80 kg klimt naar boven.

a
Teken het vrijlichaamsdiagram van de ladder met de persoon op een afstand $s$ langs de ladder.
Gewichten 137 N (midden, 2,5 m) en 785 N (op s) omlaag; muurkracht horizontaal van de muur weg aan de top; normaalkracht omhoog en wrijving naar de muur aan de voet.
b
Stel de momentenvergelijking om de voet op en druk de muurkracht uit in functie van $s$ .
$N_{muur} \cdot 5, 0 sin 6 5^{\circ} = 9, 81 (14 \cdot 2, 5 + 80 s) cos 6 5^{\circ}$ , dus $N_{muur} = \frac{9 , 81 ( 35 + 80 s )}{5 , 0 tan 6 5 ^{\circ}} = 0, 915 (35 + 80 s)$ .
c
Tot welke afstand $s$ kan de persoon klimmen voor de ladder wegschuift?
$N_{vloer} = 94 \cdot 9, 81 = 922 N$ ; hoogstens $0, 35 \cdot 922 = 323 N$ wrijving. $0, 915 (35 + 80 s) = 323$ geeft $35 + 80 s = 353$ , dus $s = 3, 97 m$ . De laatste meter is niet veilig.
d
Onder welke hoek moet de ladder minstens staan om veilig tot bovenaan te klimmen?
Met $s = 5, 0$ : $tan α \geq \frac{9 , 81 \cdot ( 35 + 400 )}{5 , 0 \cdot 323} = 2, 65$ , dus $α \geq 69, 3^{\circ}$ . De 1-op-4-regel (76°) geeft ruim marge.

10.16

Het contragewicht van een kraan

Uitdagen6Rekenen30 min

Een kleine torenkraan staat op een voet van 4,0 m breed, met de mast in het midden. Mast en voet wegen samen 12 t, met hun zwaartepunt op de as. Het contragewicht

C

ligt 6,0 m achter de mast; de grootste last is 2,0 t op 20 m voor de mast. Het gewicht van giek en contragiek verwaarloos je.

De kraan kantelt naar voor rond de voorste rand van de voet, of naar achter rond de achterste.

a
Met de grootste last: welk contragewicht is minstens nodig om niet naar voor te kantelen (kantelveiligheid 1)?
Om de voorste rand: de last heeft arm $20 - 2 = 18 m$ , de mast arm 2 m, het contragewicht $6 + 2 = 8 m$ . $8 C + 12 \cdot 2 \geq 2, 0 \cdot 18$ , dus $C \geq 1, 5 t$ .
b
Zonder last: welk contragewicht is hoogstens toegelaten om niet naar achter te kantelen?
Om de achterste rand: contragewicht arm $6 - 2 = 4 m$ , mast 2 m aan de andere kant. $4 C \leq 12 \cdot 2 = 24$ , dus $C \leq 6, 0 t$ .
c
Herhaal beide met een kantelveiligheid van 1,5. Tussen welke grenzen moet C liggen?
Vooraan: $8 C + 24 \geq 1, 5 \cdot 36 = 54$ , dus $C \geq 3, 75 t$ . Achteraan: $1, 5 \cdot 4 C \leq 24$ , dus $C \leq 4, 0 t$ . Een smal venster: $3, 75 t \leq C \leq 4, 0 t$ .
d
Met C = 4,0 t: welke last mag er op 10 m hangen (veiligheid 1,5)? Wat leer je daaruit over een hijstabel?
Arm van de last om de voorste rand: 8 m. $1, 5 \cdot 8 \cdot m \leq 8 \cdot 4, 0 + 24 = 56$ , dus $m \leq 4, 7 t$ . Hoe dichter bij de mast, hoe zwaarder de last mag zijn: daarom hoort bij elke kraan een hijstabel met de grootste last per vlucht.

10.17

Onderzoek: hoe ver kan een stapel overhangen?

Uitdagen6Onderzoeken50 min

Leg identieke blokken (boeken, dominostenen, houten blokjes) op elkaar aan de rand van een tafel, telkens een beetje verschoven. Hoe ver kan het bovenste blok voorbij de tafelrand steken? De theorie zegt: met

n

blokken van lengte

L

hoogstens

\frac{L}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n})

Met vier blokken steekt het bovenste blok helemaal voorbij de tafelrand.

a
Leg met het zwaartepunt uit waarom het bovenste blok hoogstens $L /2$ over het tweede mag uitsteken, en waarom de twee bovenste samen hoogstens $L /4$ over het derde.
Het bovenste blok blijft liggen zolang zijn zwaartepunt (in het midden, $L /2$ van zijn rand) boven het blok eronder ligt: het mag dus hoogstens $L /2$ uitsteken. Leg je het zo, dan ligt het zwaartepunt van de twee bovenste blokken samen midden tussen hun twee zwaartepunten, $L /4$ achter de rand van het tweede blok. Dat zwaartepunt moet boven het derde blok liggen: het tweede blok mag dus hoogstens $L /4$ over het derde uitsteken. Zo gaat het verder: de bovenste $k$ blokken samen mogen $L / (2 k)$ over het volgende uitsteken.
b
Bereken met de formule de theoretische overhang voor 1 tot 6 blokken, in eenheden $L$ .
n = 1: 0,50; 2: 0,75; 3: 0,92; 4: 1,04; 5: 1,14; 6: 1,23 (× L).
c
Bouw de stapels en meet de grootste overhang die je haalt. Vergelijk met de theorie.
In de praktijk haal je iets minder (ongelijke blokken, een tafelrand die niet scherp is, trillen); met 4 blokken een overhang van net meer dan één bloklengte is haalbaar.
d
Hoeveel blokken zijn nodig voor een overhang van twee bloklengtes? Wat zegt dat over de reeks?
Je hebt $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \geq 4$ nodig: dat lukt pas bij $n = 31$ blokken. De reeks groeit onbeperkt (je kan elke overhang halen), maar zo traag dat het in de praktijk snel stopt.

Zo wordt dit beoordeeld

Uitleg	Zwaartepunt van de stapel erboven moet boven het blok eronder liggen; per niveau correct.
Theorie	Tabel met de som van de reeks voor n = 1 tot 6.
Metingen	Herhaalde metingen, gemiddeld, in cm en in L.
Besluit	Meting onder of op de theorie; afwijkingen verklaard; reeks groeit onbeperkt maar heel traag.

10.18

Ontwerp: ballast voor het zonnepaneel

Uitdagen7Ontwerpen45 min

Het zonnepaneel van de klimaatmodule (1,00 m in de hellingsrichting, 1,65 m breed, 60°, hoofdstuk 6) staat op het platte dak op een steun zonder in het dak te boren. De onderrand ligt 0,20 m boven het dak, de voeten staan recht onder de onder- en de bovenrand. Paneel en steun wegen 25 kg, met hun zwaartepunt onder het midden van het paneel. Bij storm uit het noorden duwt de wind met 300 Pa loodrecht op de achterkant van het paneel, naar voor en omhoog. De ballast (betonblokken) komt op de achterste voet.

De wind duwt loodrecht op het paneel, in het midden C; de steun kantelt rond de voorste voet.

a
Bereken de windkracht op het paneel en ontbind ze in een horizontale en een verticale component.
$F = 300 \cdot 1, 00 \cdot 1, 65 = 495 N$ , loodrecht op het paneel: horizontaal $495 cos 3 0^{\circ} = 429 N$ naar voor, verticaal $495 sin 3 0^{\circ} = 248 N$ omhoog.
b
Bereken het kantelmoment om de voorste voet. Gebruik de horizontale en de verticale afstand van C tot die voet.
C ligt 0,25 m achter de voorste voet en $0, 20 + 0, 50 sin 6 0^{\circ} = 0, 633 m$ hoog. Kantelmoment: $429 \cdot 0, 633 + 248 \cdot 0, 25 = 271, 5 + 61, 9 = 333 N \cdot m$ .
c
Hoeveel kilogram ballast is nodig voor een kantelveiligheid van 1,5?
Gewicht: $25 \cdot 9, 81 \cdot 0, 25 = 61, 3 N \cdot m$ ; ballast op 0,50 m: $61, 3 + 0, 50 B \geq 1, 5 \cdot 333 = 500$ , dus $B \geq 877 N$ , ongeveer 89 kg.
d
De steun kan ook wegschuiven. Rubberen voetjes op het dak geven $μ_{s} = 0, 5$ . Is de ballast ook genoeg tegen schuiven?
Normaalkracht $245 + 877 - 248 = 874 N$ ; wrijving hoogstens $0, 5 \cdot 874 = 437 N \geq 429 N$ : net genoeg, zonder marge. Iets meer ballast (of een hogere $μ$ ) is verstandig.
e
Stel twee andere oplossingen voor die minder ballast vragen, en beoordeel ze.
Bijvoorbeeld: een kleinere hellingshoek (minder hoogte en minder windvang, maar minder winteropbrengst, hoofdstuk 6); een windscherm aan de achterkant (minder druk, maar meer materiaal); de steun vastmaken aan de dakrand of aan de dakconstructie (geen ballast, maar dichtheid van het dak); de ballast verder naar achter op een verlengde voet (grotere arm, dus minder kilogram).

Zo wordt dit beoordeeld

Windkracht	Druk maal oppervlakte, ontbonden onder de juiste hoek.
Momenten	Beide componenten met hun eigen arm om de voorste voet; gewicht en ballast stabiliserend.
Ballast	Kantelveiligheid 1,5 toegepast; schuiven apart gecontroleerd.
Alternatieven	Minstens twee ideeën, met een voor- en een nadeel (bv. lagere hoek, windscherm, verankeren, ballast verder naar achter).