IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Oplossingen · hoofdstuk 6Goniometrie en vectoren

Hoeken en pijlen: van de helling van een oprit tot de hoek van de zon op het zonnepaneel

Uitgewerkte oplossingen bij de 16 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen7× toepassen4× uitdagen± 349 min

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies EEnergie

In december staat de middagzon in België maar 15,6° boven de horizon: een steil paneel vangt haar het best.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

6.1

Zijden benoemen

Oefenen3Begrijpen10 min

Driehoek PQR heeft een rechte hoek in Q. De scherpe hoeken zijn φ (in P) en ψ (in R).

PQ = 12 cm, QR = 6,8 cm en PR = 13,8 cm (verkleind getekend).

a
Welke zijde is ten opzichte van φ de overstaande, de aanliggende en de schuine zijde? En ten opzichte van ψ?
Voor φ: overstaande QR (6,8 cm), aanliggende PQ (12 cm), schuine PR (13,8 cm). Voor ψ: overstaande PQ, aanliggende QR, schuine PR.
b
Schrijf $sin φ$ , $cos φ$ , $tan φ$ , $sin ψ$ en $cos ψ$ als verhoudingen van zijden, en bereken ze.
$sin φ = 6, 8/13, 8 = 0, 49$ ; $cos φ = 12/13, 8 = 0, 87$ ; $tan φ = 6, 8/12 = 0, 57$ ; $sin ψ = 12/13, 8 = 0, 87$ ; $cos ψ = 6, 8/13, 8 = 0, 49$ . (φ ≈ 29,5°, ψ ≈ 60,5°.)
c
Welke twee van die vijf getallen zijn gelijk? Leg uit waarom dat altijd zo is.
$sin φ = cos ψ$ en $cos φ = sin ψ$ : de overstaande zijde van de ene hoek is de aanliggende van de andere, want $φ + ψ = 9 0^{\circ}$ .

6.2

Zijden en hoeken berekenen

Oefenen3Rekenen15 min

Vier rechthoekige driehoeken. Maak telkens een kleine schets met de hoek en de gegeven zijden.

a
Schuine zijde 5,0 m, hoek 30°. Bereken de overstaande zijde.
$o = 5, 0 sin 3 0^{\circ} = 2, 5 m$ .
b
Aanliggende zijde 8,0 m, hoek 40°. Bereken de overstaande zijde en de schuine zijde.
$o = 8, 0 tan 4 0^{\circ} = 6, 7 m$ ; $s = 8, 0/ cos 4 0^{\circ} = 10, 4 m$ .
c
Overstaande zijde 3,0 m, aanliggende zijde 4,0 m. Bereken de hoek.
$α = tan^{- 1} (3, 0/4, 0) = 36, 9^{\circ}$ .
d
Schuine zijde 10 m, aanliggende zijde 6,0 m. Bereken de hoek en de overstaande zijde.
$α = cos^{- 1} (6, 0/10) = 53, 1^{\circ}$ ; $o = 1 0^{2} - 6^{2} = 8, 0 m$ (of $10 sin 53, 1^{\circ}$ ).

6.3

Van procent naar graden en terug

Oefenen3Rekenen10 min

Vul de tabel aan. Rond hoeken af op 0,1° en percentages op 0,1 %.

a
Omrekenen.
2,9°; 4,7°; 6,8°; 45°; 5,2 %; 17,6 %; 100 %; 173,2 %.
b
Een fietser zegt: 'Die helling van 12 % is minder dan 7°, dat stelt niets voor.' Wat zou je hem antwoorden?
Klopt in graden (6,8°), maar wat je in de benen voelt, is het hoogteverschil per meter: 12 cm per meter horizontaal. Voor een fietser is dat zwaar; het steilste stuk van de Koppenberg (22 %) is nog geen 12,5°.

6.4

Vectoren optellen op ruitjespapier

Oefenen4Tekenen15 min

Neem één hokje als eenheid. Vector

a

: 4 naar rechts en 1 omhoog. Vector

b

: 1 naar rechts en 3 omhoog. Vector

c

: 3 naar links en 2 omhoog.

a
Teken $a + b$ met de kop-staartmethode en met de parallellogrammethode.
Beide methoden geven dezelfde pijl: 5 naar rechts en 4 omhoog.
b
Teken $a + c$ en $a - b$ .
$a + c$ : 1 naar rechts, 3 omhoog. $a - b = a + (- b)$ : 3 naar rechts, 2 omlaag.
c
Bereken de grootte van de drie resultanten (in hokjes) met Pythagoras, en de hoek van a + b met de horizontale.
$∣ a + b ∣ = 25 + 16 = 6, 4$ ; $∣ a + c ∣ = 1 + 9 = 3, 2$ ; $∣ a - b ∣ = 9 + 4 = 3, 6$ hokjes. Hoek van $a + b$ : $tan^{- 1} (4/5) = 38, 7^{\circ}$ .

6.5

Krachten ontbinden

Oefenen4Rekenen12 min

Ontbind elke kracht in een horizontale en een verticale component. De hoek is gemeten vanaf de positieve x-as, tegen de klok in.

a
Bereken de componenten.
50 N: $F_{x} = 43, 3$ , $F_{y} = 25, 0$ . 120 N: $F_{x} = 41, 0$ , $F_{y} = 112, 8$ . 80 N onder 150°: $F_{x} = - 69, 3$ , $F_{y} = 40, 0$ (N).
b
Waarom is bij de derde kracht één component negatief? Controleer met een schets.
Onder 150° wijst de kracht schuin naar links en omhoog: de x-component wijst naar links, dus negatief. De rekenmachine geeft dat vanzelf met cos 150° = −0,866; met een schets en de hoek van 30° met de negatieve x-as kom je op hetzelfde.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

6.6

De ladder

Toepassen4Rekenen12 min

Een ladder van 6,0 m wordt tegen de gevel van het station gezet.

a
Volgens de 1-op-4-regel: hoe ver van de muur staat de voet, en hoe hoog reikt de ladder?
Hoek $tan^{- 1} 4 = 76, 0^{\circ}$ . Afstand $6, 0 cos 76, 0^{\circ} = 1, 46 m$ ; hoogte $6, 0 sin 76, 0^{\circ} = 5, 82 m$ .
b
Een collega zet de voet op 2,0 m van de muur. Onder welke hoek staat de ladder? Is dat veilig?
$cos α = 2, 0/6, 0$ , dus $α = 70, 5^{\circ}$ . Flauwer dan de aanbevolen 75 à 76°: de voet kan wegschuiven. Niet veilig zonder extra maatregelen.
c
Hoe hoog reikt de ladder dan nog? Hoeveel verlies je tegenover de regel?
$6, 0 sin 70, 5^{\circ} = 5, 66 m$ : 16 cm lager, en toch minder veilig.

6.7

Recht naar de overkant

Toepassen5Rekenen20 min

Dezelfde boot als in het handboek (3,0 m/s ten opzichte van het water), dezelfde rivier (60 m breed, stroming 1,5 m/s). Nu wil de schipper recht tegenover zijn vertrekpunt aankomen.

a
Teken de snelheidsvectoren. In welke richting moet de neus van de boot wijzen?
De neus wijst schuin stroomopwaarts; de som van de bootsnelheid (schuin) en de stroomsnelheid (langs de oever) moet loodrecht op de oever staan.
b
Bereken de hoek met de loodlijn op de oever.
De stroomopwaartse component van de boot moet de stroming opheffen: $3, 0 sin α = 1, 5$ , dus $sin α = 0, 5$ en $α = 3 0^{\circ}$ .
c
Hoe snel gaat de boot nu dwars over de rivier, en hoe lang duurt de oversteek? Vergelijk met het handboek.
Dwarscomponent $3, 0 cos 3 0^{\circ} = 2, 60 m/s$ ; tijd $60/2, 60 = 23, 1 s$ . Langer dan de 20 s uit het handboek, maar zonder afdrijven.
d
Wat gebeurt er als de stroming sneller is dan de boot?
Dan kan $3, 0 sin α$ nooit even groot worden als de stroming ( $sin α$ kan niet groter dan 1): recht oversteken is onmogelijk. De schipper kan hoogstens het afdrijven beperken.

6.8

Opritten volgens de regels

Toepassen5Rekenen20 min

Gebruik de tabel met de toegelaten hellingen uit het voorbeeld 'Habitat: een toegankelijke oprit naar de module'.

a
Bereken voor een drempel van 8 cm, een trede van 20 cm en een verhoog van 60 cm de grootste toegelaten helling, de horizontale lengte en de hoek.
8 cm: 10 %, 0,80 m, 5,7°. 20 cm: 8,3 %, 2,41 m, 4,7°. 60 cm: 5 %, 12,0 m, 2,9°.
b
Welke van de drie heeft een tussenbordes nodig? Hoe lang wordt ze in totaal?
De oprit van 60 cm: meer dan 50 cm hoogteverschil en langer dan 10 m. Er komt een tussenbordes van minstens 1,50 m, dus in totaal minstens 12,0 + 1,5 = 13,5 m horizontaal.
c
Een aannemer stelt voor de 60 cm te overbruggen met 5,0 m oprit. Hoe steil is dat? Mag het?
$60/500 = 12 %$ ( $6, 8^{\circ}$ ): meer dan twee keer zo steil als toegelaten. Niet toegelaten, en voor een rolstoelgebruiker alleen niet te doen.

6.9

Een kist op een helling

Toepassen5Rekenen15 min

Een kist met gereedschap van 25 kg staat op een plank die je steeds schuiner zet.

a
Bereken de componenten van de zwaartekracht langs en loodrecht op de plank.
$F_{z} = 25 \cdot 9, 81 = 245 N$ . 10°: 42,6 en 241,5 N. 20°: 83,9 en 230,5 N. 30°: 122,6 en 212,4 N. 45°: 173,4 en 173,4 N.
b
Bij welke hoek zijn beide componenten even groot? Toon het zonder rekenmachine.
Bij 45°, want daar is $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ}$ (het halve vierkant).
c
De kist blijft liggen tot ongeveer 30° en schuift dan. Wat zegt dat over de wrijving? (Kwalitatief: de getallen volgen in hoofdstuk 8.)
Tot 30° kan de wrijving de component langs de plank (tot 123 N) compenseren. Boven 30° is F∥ groter dan de wrijving die de plank maximaal kan leveren. Die maximale wrijving hangt af van F⊥ en van de materialen (wrijvingscoëfficiënt, hoofdstuk 8).

6.10

Schaduwen door het jaar

Toepassen4Rekenen15 min

In Oostende (51,2° noorderbreedte) staat een boom van 10 m hoog op een vlak terrein.

a
Bereken de zonnehoogte op het middaguur op 21 juni, 21 maart en 21 december.
$h = 9 0^{\circ} - 51, 2^{\circ} + δ$ : 62,2° (juni), 38,8° (maart), 15,4° (december).
b
Hoe lang is de schaduw van de boom op die drie middagen?
$10/ tan h$ : 5,3 m; 12,4 m; 36,4 m.
c
De kas staat 20 m ten noorden van de boom. Ligt ze op het middaguur ooit in zijn schaduw?
In december reikt de middagschaduw tot 36 m: de kas ligt dan in de schaduw. In maart en juni niet. (En 's ochtends en 's avonds zijn de schaduwen nog langer, maar in een andere richting.)

6.11

Labo: de zonnehoogte en je breedtegraad

Toepassen5Labo60 min

Voer de proef met de schaduwstok uit het handboek uit, op een zonnige dag rond het middaguur.

a
Noteer tijd en schaduwlengte om de 5 minuten.
Bijvoorbeeld tussen 12.30 en 13.00 uur in de winter (13.30 tot 14.00 uur in de zomer): schaduwen die eerst korter en dan weer langer worden.
b
Wanneer was de schaduw het kortst? Bereken de zonnehoogte op dat moment.
$h = tan^{- 1} (1, 000/ kortste schaduw)$ , bijvoorbeeld 1,23 m → 39,1°.
c
Zoek de declinatie van de dag op (of bereken ze met de benadering) en bereken je breedtegraad. Vergelijk met een kaart.
$φ = 9 0^{\circ} - h + δ$ . Voor Vlaanderen en Brussel tussen ongeveer 50,7° en 51,4°; een meting binnen 1° is goed.
d
Bespreek je belangrijkste foutenbron en schat hoe groot haar invloed is.
Bijvoorbeeld de vage schaduwrand (halfschaduw, de zon is een schijf van 0,5°): 1 à 2 cm onzekerheid op de lengte, dus 0,2° à 0,5° op h. Of een stok die 1° scheef staat: rechtstreeks ongeveer 1° fout.

Zo wordt dit beoordeeld

Opstelling	Stok verticaal (gecontroleerd), ondergrond horizontaal, stoklengte gemeten tot op 1 cm.
Metingen	Reeks rond het middaguur, kortste schaduw bepaald, tijdstip genoteerd.
Berekening	h met de tangens, declinatie met bron of formule, breedtegraad correct.
Foutenanalyse	Minstens één foutenbron gekwantificeerd (bv. 1 cm schaduw ≈ 0,2° bij 1 m stok in maart).

6.12

Python: graden of radialen?

Toepassen5Programmeren15 min

Een leerling ontbindt een kracht van 200 N onder 30° in Python. De uitvoer klopt niet.

import math

F = 200                     # kracht in N
hoek = 30                   # hoek met de horizontale, in graden
Fx = F * math.cos(hoek)
Fy = F * math.sin(hoek)
print("Fx =", round(Fx, 1), "N   Fy =", round(Fy, 1), "N")

Uitvoer:

Fx = 30.9 N   Fy = -197.6 N

a
Welke uitkomst had je verwacht? Reken ze uit.
$F_{x} = 200 cos 3 0^{\circ} = 173, 2 N$ , $F_{y} = 200 sin 3 0^{\circ} = 100, 0 N$ .
b
Wat gaat er mis? Waarom is Fy zelfs negatief?
Python rekent met radialen: math.cos(30) is de cosinus van 30 radialen (ongeveer 1719°, of 279° na aftrekken van hele toeren). Die hoek ligt in het vierde kwadrant: de cosinus is klein en positief (0,154), de sinus negatief (−0,988).
c
Verbeter de twee regels en voorspel de nieuwe uitvoer. Voer het uit om te controleren.
Fx = F * math.cos(math.radians(hoek)) en Fy = F * math.sin(math.radians(hoek)). Uitvoer (gecontroleerd): Fx = 173.2 N Fy = 100.0 N.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

6.13

Habitat: de hellingshoek van het zonnepaneel kiezen

Uitdagen6Habitat45 min

Het zonnepaneel van de klimaatmodule staat op het zuiden. De module heeft een batterij voor de nacht, en het energieverbruik is het hele jaar ongeveer gelijk (verwarming en verlichting wegen in de winter zwaarder, ventilatie in de zomer). Opbrengsten per kWp uit PVGIS voor Brussel:

hellingshoek	jaar (kWh/kWp)	december	januari	juni
0°	869	14,3	18,2	127,8
20°	998	26,4	30,9	129,1
39°	1041	34,9	39,6	122,1
60°	990	40,0	44,4	104,3
75°	891	40,7	44,7	85,6
90°	746	39,0	42,4	63,6

Een verstelbaar frame: de hoek is een ontwerpkeuze, geen natuurwet.

a
Bereken met de zonnehoogte op het middaguur de hellingshoek waarbij de middagzon loodrecht invalt op 21 juni, 21 maart en 21 december.
$β = 9 0^{\circ} - h$ : juni $90 - 62, 4 = 27, 6^{\circ}$ ; maart $90 - 39 = 5 1^{\circ}$ ; december $90 - 15, 6 = 74, 4^{\circ}$ .
b
Bij welke hoek is de jaaropbrengst het grootst? Waarom ligt die hoek niet bij 51°?
Bij 39° (1041 kWh per kWp). Lager dan 51°, omdat de zomermaanden veel meer energie leveren (lange, zonnige dagen): de hoek schuift naar de zomerstand.
c
Bereken voor 20°, 60° en 75° het verschil in procent met 39°, voor het jaar en voor december.
20°: jaar −4 %, december −24 %. 60°: jaar −5 %, december +15 %. 75°: jaar −14 %, december +17 %.
d
Welke hoek kies je voor de klimaatmodule? Verantwoord in vijf à zes regels, met getallen, en noem een nadeel van je keuze.
Bijvoorbeeld 60°: 'De batterij moet vooral de donkerste maanden overbruggen. Met 60° wint het paneel 15 % in december en 12 % in januari tegenover 39°, en verliest het maar 5 % op een jaar. Steiler dan 60° levert in de winter bijna niets meer op (75°: +2 % in december) maar kost 10 % extra op het jaar. Nadeel: in juni levert het 15 % minder, en de rijen moeten verder uit elkaar staan.' (Wie een groot overschot in de zomer nuttig kan gebruiken, kan ook 39° verdedigen: de afweging telt.)
e
Het paneel is 1,00 m lang. Hoe hoog komt de bovenrand, en hoe ver moet een volgende rij minstens staan (21 december, middaguur)?
Bij 60°: bovenrand $1, 00 sin 6 0^{\circ} = 0, 87 m$ ; rijafstand $1, 00 cos 6 0^{\circ} + 0, 87/ tan 15, 6^{\circ} = 0, 50 + 3, 11 = 3, 61 m$ .

Zo wordt dit beoordeeld

Zonnestand	β = 90° − h juist toegepast voor drie data (27,6°; 51°; 74,4°).
Data	Procentuele verschillen correct berekend en gelezen.
Afweging	Keuze verantwoord vanuit het doel (winter tegenover jaar), met getallen; nadeel benoemd.
Geometrie	Hoogte en rijafstand correct met sinus, cosinus en tangens.

6.14

Hoe hoog is die boom?

Uitdagen6Rekenen25 min

Je kan niet tot aan de voet van een boom, want er staat een omheining. Met een hellingmeter meet je de hoek naar de top: 40° op een zekere plaats, en 25° als je 15,0 m verder achteruit loopt, in een rechte lijn. Je ogen zijn 1,60 m boven de grond.

a
Maak een schets met de twee rechthoekige driehoeken. Noem de onbekende afstand tot de boom x en de hoogte boven ooghoogte H.
Twee driehoeken met dezelfde verticale zijde H: de ene met horizontale zijde x en hoek 40°, de andere met x + 15,0 m en hoek 25°.
b
Schrijf twee vergelijkingen met $tan 4 0^{\circ}$ en $tan 2 5^{\circ}$ .
$tan 4 0^{\circ} = \frac{H}{x}$ en $tan 2 5^{\circ} = \frac{H}{x + 15 , 0}$ .
c
Los op naar x en H. Hoe hoog is de boom?
$x tan 4 0^{\circ} = (x + 15, 0) tan 2 5^{\circ}$ , dus $x = \frac{15 , 0 tan 2 5 ^{\circ}}{tan 4 0 ^{\circ} - tan 2 5 ^{\circ}} = \frac{6 , 99}{0 , 373} = 18, 8 m$ ; $H = 18, 8 \cdot tan 4 0^{\circ} = 15, 7 m$ . De boom is $15, 7 + 1, 6 = 17, 3 m$ hoog.
d
Een fout van 1° op de tweede hoek (24° in plaats van 25°): hoeveel verandert de hoogte? Wat leer je daaruit over de opstelling?
Met 24°: $x = 15, 0 \cdot 0, 445/ (0, 839 - 0, 445) = 16, 9 m$ , $H = 14, 2 m$ , boom 15,8 m: 1,5 m lager. Een hoekfout van 1° geeft bijna 10 % fout, omdat de twee hoeken dicht bij elkaar liggen. Kies de meetpunten zo dat de hoeken duidelijk verschillen.

6.15

Eratosthenes in de klas

Uitdagen6Analyseren30 min

Twee scholen, 800 km uit elkaar op (bijna) dezelfde meridiaan, meten op dezelfde dag de kortste schaduw van een stok van 1,000 m. School A (in het noorden): 1,150 m. School B (in het zuiden): 0,900 m.

a
Bereken de zonnehoogte bij elke school.
A: $h = tan^{- 1} (1, 000/1, 150) = 41, 0^{\circ}$ . B: $h = tan^{- 1} (1, 000/0, 900) = 48, 0^{\circ}$ .
b
Welke hoek maken de twee scholen, gezien vanuit het middelpunt van de aarde? Leg uit waarom dat het verschil van de zonnehoogtes is.
$h = 9 0^{\circ} - φ + δ$ : dezelfde dag, dus dezelfde $δ$ . Het verschil van de zonnehoogtes is dan het verschil van de breedtegraden: $48, 0^{\circ} - 41, 0^{\circ} = 7, 0^{\circ}$ , en dat is de hoek in het middelpunt van de aarde.
c
Bereken de omtrek van de aarde. Hoeveel procent zit je naast de echte 40 008 km?
$800 km \cdot \frac{36 0 ^{\circ}}{7 , 0 ^{\circ}} = 41100 km$ : ongeveer 3 % te veel. Een fout van 0,2° op het hoekverschil maakt al 3 %.
d
Waarom moeten de scholen op dezelfde dag, op hun eigen middaguur en op dezelfde meridiaan meten?
Dezelfde dag: dan is de declinatie gelijk en valt ze weg. Het eigen middaguur: dan staat de zon bij elke school in het zuiden en is de schaduw het kortst. Dezelfde meridiaan: dan meet het verschil in zonnehoogte alleen het verschil in breedtegraad, en is de 800 km een afstand langs een grote cirkel door de polen.

6.16

Waarom een kabel nooit strak kan hangen

Uitdagen7Analyseren30 min

Een groeilamp van 5,0 kg hangt in het midden van een staalkabel die tussen twee wanden van de kweekruimte gespannen is. Beide helften van de kabel maken dezelfde hoek θ met de horizontale. De lamp hangt stil.

a
Teken de drie krachten op het ophangpunt: het gewicht en de twee spankrachten T. Ontbind de spankrachten.
In het ophangpunt: het gewicht (49 N) recht omlaag, en twee spankrachten langs de kabelhelften, schuin omhoog naar links en naar rechts. Elke T heeft een horizontale component T cos θ en een verticale T sin θ.
b
Leg uit waarom de horizontale componenten elkaar opheffen, en toon dat de verticale componenten samen het gewicht dragen: $2 T sin θ = m g$ .
De lamp hangt stil, dus de som van de krachten is nul (hoofdstuk 8). Horizontaal trekken de twee helften even hard in tegengestelde zin: $T cos θ - T cos θ = 0$ . Verticaal: $2 T sin θ - m g = 0$ .
c
Bereken de spankracht bij θ = 30°, 10° en 2°.
$T = \frac{m g}{2 sin θ} = \frac{49 , 05}{2 sin θ}$ : 30°: 49 N; 10°: 141 N; 2°: 703 N.
d
Wat gebeurt er als je de kabel helemaal strak wil trekken (θ → 0°)? Wat betekent dat voor het ontwerp van de ophanging?
Bij θ → 0° gaat sin θ naar 0 en T naar oneindig: een perfect strakke kabel kan geen gewicht dragen. Hoe strakker je spant, hoe groter de kracht op de kabel, de haken en de wanden: bij 2° al 14 keer het gewicht. Laat de kabel dus wat doorhangen (15° à 30°), of hang de lamp aan een verticale ketting.