IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM
Werkboek · hoofdstuk 6Goniometrie en vectoren
Hoeken en pijlen: van de helling van een oprit tot de hoek van de zon op het zonnepaneel
Je begint met zijden benoemen, zijden en hoeken uitrekenen, hellingen omzetten en vectoren tekenen en ontbinden. In de tweede trede plaats je een ladder, stuur je een boot, ontwerp je opritten, ontbind je krachten op een helling, meet je zelf de zonnehoogte en zoek je een klassieke fout in Python. In de laatste trede kies je de hellingshoek van het zonnepaneel van Habitat (opdracht 6.13), meet je een boom, doe je de meting van Eratosthenes over, en ontdek je waarom een strak gespannen kabel een slecht idee is.
In december staat de middagzon in België maar 15,6° boven de horizon: een steil paneel vangt haar het best.
Hoe lees je een opdracht?
Drie tredenOefenenToepassenUitdagen
Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).
De StemExpert-schaal5
Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
6.1
Zijden benoemen
Oefenen3Begrijpen10 min
Driehoek PQR heeft een rechte hoek in Q. De scherpe hoeken zijn φ (in P) en ψ (in R).
PQ = 12 cm, QR = 6,8 cm en PR = 13,8 cm (verkleind getekend).
a
Welke zijde is ten opzichte van φ de overstaande, de aanliggende en de schuine zijde? En ten opzichte van ψ?
b
Schrijf sinφ, cosφ, tanφ, sinψ en cosψ als verhoudingen van zijden, en bereken ze.
c
Welke twee van die vijf getallen zijn gelijk? Leg uit waarom dat altijd zo is.
6.2
Zijden en hoeken berekenen
Oefenen3Rekenen15 min
Vier rechthoekige driehoeken. Maak telkens een kleine schets met de hoek en de gegeven zijden.
a
Schuine zijde 5,0 m, hoek 30°. Bereken de overstaande zijde.
b
Aanliggende zijde 8,0 m, hoek 40°. Bereken de overstaande zijde en de schuine zijde.
c
Overstaande zijde 3,0 m, aanliggende zijde 4,0 m. Bereken de hoek.
d
Schuine zijde 10 m, aanliggende zijde 6,0 m. Bereken de hoek en de overstaande zijde.
6.3
Van procent naar graden en terug
Oefenen3Rekenen10 min
Vul de tabel aan. Rond hoeken af op 0,1° en percentages op 0,1 %.
a
Omrekenen.
helling (%)
hoek (°)
5
8,3
12
100
3
10
45
60
b
Een fietser zegt: 'Die helling van 12 % is minder dan 7°, dat stelt niets voor.' Wat zou je hem antwoorden?
6.4
Vectoren optellen op ruitjespapier
Oefenen4Tekenen15 min
Neem één hokje als eenheid. Vector a: 4 naar rechts en 1 omhoog. Vector b: 1 naar rechts en 3 omhoog. Vector c: 3 naar links en 2 omhoog.
a
Teken a+b met de kop-staartmethode en met de parallellogrammethode.
b
Teken a+c en a−b.
c
Bereken de grootte van de drie resultanten (in hokjes) met Pythagoras, en de hoek van a + b met de horizontale.
6.5
Krachten ontbinden
Oefenen4Rekenen12 min
Ontbind elke kracht in een horizontale en een verticale component. De hoek is gemeten vanaf de positieve x-as, tegen de klok in.
a
Bereken de componenten.
kracht
hoek
Fx (N)
Fy (N)
50 N
30°
120 N
70°
80 N
150°
b
Waarom is bij de derde kracht één component negatief? Controleer met een schets.
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
6.6
De ladder
Toepassen4Rekenen12 min
Een ladder van 6,0 m wordt tegen de gevel van het station gezet.
a
Volgens de 1-op-4-regel: hoe ver van de muur staat de voet, en hoe hoog reikt de ladder?
b
Een collega zet de voet op 2,0 m van de muur. Onder welke hoek staat de ladder? Is dat veilig?
c
Hoe hoog reikt de ladder dan nog? Hoeveel verlies je tegenover de regel?
6.7
Recht naar de overkant
Toepassen5Rekenen20 min
Dezelfde boot als in het handboek (3,0 m/s ten opzichte van het water), dezelfde rivier (60 m breed, stroming 1,5 m/s). Nu wil de schipper recht tegenover zijn vertrekpunt aankomen.
a
Teken de snelheidsvectoren. In welke richting moet de neus van de boot wijzen?
b
Bereken de hoek met de loodlijn op de oever.
c
Hoe snel gaat de boot nu dwars over de rivier, en hoe lang duurt de oversteek? Vergelijk met het handboek.
d
Wat gebeurt er als de stroming sneller is dan de boot?
6.8
Opritten volgens de regels
Toepassen5Rekenen20 min
Gebruik de tabel met de toegelaten hellingen uit het voorbeeld 'Habitat: een toegankelijke oprit naar de module'.
a
Bereken voor een drempel van 8 cm, een trede van 20 cm en een verhoog van 60 cm de grootste toegelaten helling, de horizontale lengte en de hoek.
hoogteverschil
helling
horizontale lengte
hoek
8 cm
20 cm
60 cm
b
Welke van de drie heeft een tussenbordes nodig? Hoe lang wordt ze in totaal?
c
Een aannemer stelt voor de 60 cm te overbruggen met 5,0 m oprit. Hoe steil is dat? Mag het?
6.9
Een kist op een helling
Toepassen5Rekenen15 min
Een kist met gereedschap van 25 kg staat op een plank die je steeds schuiner zet.
a
Bereken de componenten van de zwaartekracht langs en loodrecht op de plank.
hellingshoek
F∥ (N)
F⊥ (N)
10°
20°
30°
45°
b
Bij welke hoek zijn beide componenten even groot? Toon het zonder rekenmachine.
c
De kist blijft liggen tot ongeveer 30° en schuift dan. Wat zegt dat over de wrijving? (Kwalitatief: de getallen volgen in hoofdstuk 8.)
6.10
Schaduwen door het jaar
Toepassen4Rekenen15 min
In Oostende (51,2° noorderbreedte) staat een boom van 10 m hoog op een vlak terrein.
a
Bereken de zonnehoogte op het middaguur op 21 juni, 21 maart en 21 december.
b
Hoe lang is de schaduw van de boom op die drie middagen?
c
De kas staat 20 m ten noorden van de boom. Ligt ze op het middaguur ooit in zijn schaduw?
6.11
Labo: de zonnehoogte en je breedtegraad
Toepassen5Labo60 min
Voer de proef met de schaduwstok uit het handboek uit, op een zonnige dag rond het middaguur.
a
Noteer tijd en schaduwlengte om de 5 minuten.
tijd
schaduw (m)
h (°)
b
Wanneer was de schaduw het kortst? Bereken de zonnehoogte op dat moment.
c
Zoek de declinatie van de dag op (of bereken ze met de benadering) en bereken je breedtegraad. Vergelijk met een kaart.
d
Bespreek je belangrijkste foutenbron en schat hoe groot haar invloed is.
Zo wordt dit beoordeeld
Opstelling
Stok verticaal (gecontroleerd), ondergrond horizontaal, stoklengte gemeten tot op 1 cm.
Metingen
Reeks rond het middaguur, kortste schaduw bepaald, tijdstip genoteerd.
Berekening
h met de tangens, declinatie met bron of formule, breedtegraad correct.
Foutenanalyse
Minstens één foutenbron gekwantificeerd (bv. 1 cm schaduw ≈ 0,2° bij 1 m stok in maart).
6.12
Python: graden of radialen?
Toepassen5Programmeren15 min
Een leerling ontbindt een kracht van 200 N onder 30° in Python. De uitvoer klopt niet.
importmathF=200# kracht in Nhoek=30# hoek met de horizontale, in gradenFx=F*math.cos(hoek)Fy=F*math.sin(hoek)print("Fx =",round(Fx,1),"N Fy =",round(Fy,1),"N")
Uitvoer:
Fx = 30.9 N Fy = -197.6 N
a
Welke uitkomst had je verwacht? Reken ze uit.
b
Wat gaat er mis? Waarom is Fy zelfs negatief?
c
Verbeter de twee regels en voorspel de nieuwe uitvoer. Voer het uit om te controleren.
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
6.13
Habitat: de hellingshoek van het zonnepaneel kiezen
Uitdagen6Habitat45 min
Het zonnepaneel van de klimaatmodule staat op het zuiden. De module heeft een batterij voor de nacht, en het energieverbruik is het hele jaar ongeveer gelijk (verwarming en verlichting wegen in de winter zwaarder, ventilatie in de zomer). Opbrengsten per kWp uit PVGIS voor Brussel:
hellingshoek
jaar (kWh/kWp)
december
januari
juni
0°
869
14,3
18,2
127,8
20°
998
26,4
30,9
129,1
39°
1041
34,9
39,6
122,1
60°
990
40,0
44,4
104,3
75°
891
40,7
44,7
85,6
90°
746
39,0
42,4
63,6
Een verstelbaar frame: de hoek is een ontwerpkeuze, geen natuurwet.
a
Bereken met de zonnehoogte op het middaguur de hellingshoek waarbij de middagzon loodrecht invalt op 21 juni, 21 maart en 21 december.
b
Bij welke hoek is de jaaropbrengst het grootst? Waarom ligt die hoek niet bij 51°?
c
Bereken voor 20°, 60° en 75° het verschil in procent met 39°, voor het jaar en voor december.
hoek
jaar t.o.v. 39°
december t.o.v. 39°
20°
60°
75°
d
Welke hoek kies je voor de klimaatmodule? Verantwoord in vijf à zes regels, met getallen, en noem een nadeel van je keuze.
e
Het paneel is 1,00 m lang. Hoe hoog komt de bovenrand, en hoe ver moet een volgende rij minstens staan (21 december, middaguur)?
Zo wordt dit beoordeeld
Zonnestand
β = 90° − h juist toegepast voor drie data (27,6°; 51°; 74,4°).
Data
Procentuele verschillen correct berekend en gelezen.
Afweging
Keuze verantwoord vanuit het doel (winter tegenover jaar), met getallen; nadeel benoemd.
Geometrie
Hoogte en rijafstand correct met sinus, cosinus en tangens.
6.14
Hoe hoog is die boom?
Uitdagen6Rekenen25 min
Je kan niet tot aan de voet van een boom, want er staat een omheining. Met een hellingmeter meet je de hoek naar de top: 40° op een zekere plaats, en 25° als je 15,0 m verder achteruit loopt, in een rechte lijn. Je ogen zijn 1,60 m boven de grond.
a
Maak een schets met de twee rechthoekige driehoeken. Noem de onbekende afstand tot de boom x en de hoogte boven ooghoogte H.
b
Schrijf twee vergelijkingen met tan40∘ en tan25∘.
c
Los op naar x en H. Hoe hoog is de boom?
d
Een fout van 1° op de tweede hoek (24° in plaats van 25°): hoeveel verandert de hoogte? Wat leer je daaruit over de opstelling?
6.15
Eratosthenes in de klas
Uitdagen6Analyseren30 min
Twee scholen, 800 km uit elkaar op (bijna) dezelfde meridiaan, meten op dezelfde dag de kortste schaduw van een stok van 1,000 m. School A (in het noorden): 1,150 m. School B (in het zuiden): 0,900 m.
a
Bereken de zonnehoogte bij elke school.
b
Welke hoek maken de twee scholen, gezien vanuit het middelpunt van de aarde? Leg uit waarom dat het verschil van de zonnehoogtes is.
c
Bereken de omtrek van de aarde. Hoeveel procent zit je naast de echte 40 008 km?
d
Waarom moeten de scholen op dezelfde dag, op hun eigen middaguur en op dezelfde meridiaan meten?
6.16
Waarom een kabel nooit strak kan hangen
Uitdagen7Analyseren30 min
Een groeilamp van 5,0 kg hangt in het midden van een staalkabel die tussen twee wanden van de kweekruimte gespannen is. Beide helften van de kabel maken dezelfde hoek θ met de horizontale. De lamp hangt stil.
a
Teken de drie krachten op het ophangpunt: het gewicht en de twee spankrachten T. Ontbind de spankrachten.
b
Leg uit waarom de horizontale componenten elkaar opheffen, en toon dat de verticale componenten samen het gewicht dragen: 2Tsinθ=mg.
c
Bereken de spankracht bij θ = 30°, 10° en 2°.
θ
T (N)
30°
10°
2°
d
Wat gebeurt er als je de kabel helemaal strak wil trekken (θ → 0°)? Wat betekent dat voor het ontwerp van de ophanging?
ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet
Ik kan in een rechthoekige driehoek de zijden benoemen ten opzichte van een hoek en sinus, cosinus en tangens als verhoudingen schrijven.
Ik kan met sinus, cosinus en tangens een onbekende zijde of hoek berekenen, en de rekenmachine correct gebruiken (graden, inverse functies).
Ik kan een helling omrekenen van procent naar graden en omgekeerd, en uitleggen waarom 100 % geen verticale wand is.
Ik kan vectoren tekenen, optellen met de kop-staartmethode en de parallellogrammethode, en het verschil met gewone getallen uitleggen.
Ik kan een vector ontbinden in componenten en vectoren optellen met componenten, met grootte en richting van de resultante.
Ik kan de zwaartekracht op een helling ontbinden in een component langs en een component loodrecht op de helling.
Ik kan de zonnehoogte op het middaguur berekenen uit de breedtegraad en de declinatie, en er schaduwlengtes en de invalshoek op een zonnepaneel mee bepalen.
Ik kan een hellingshoek voor een zonnepaneel kiezen en verantwoorden met een afweging tussen jaaropbrengst en winteropbrengst.
