IIntermediate · deel I1 · Onderzoeken met data

Handboek · hoofdstuk 3Verbanden in data

De best passende rechte, de richtingscoëfficiënt als grootheid, en krommen die je rechttrekt

Metingen worden pas kennis als je er een verband in ziet. In dit hoofdstuk leer je door een wolk van meetpunten de best passende rechte te trekken, op het oog en met een rekenblad, en je leest uit de helling een echte grootheid af: een dichtheid, een opwarmsnelheid, een veerconstante. Je herkent omgekeerd evenredige verbanden, trekt krommen recht om er een rechte van te maken, en kalibreert een sensor van de meetkas met een rechte, in een rekenblad en in een paar regels Python.

7× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code14 opdrachten in het werkboek± 8 lestijden

OOnderzoeken en meten WWiskundig modelleren AData en AI

IJswater, kraantjeswater, warm water: drie referentiepunten, één rechte, en de sensor spreekt de waarheid.

Na dit hoofdstuk

Je kan de richtingscoëfficiënt en het snijpunt van een rechte bepalen en ze interpreteren als grootheden met een eenheid.
Je kan door meetpunten de best passende rechte tekenen en er met de steilste en de minst steile rechte een fout op de helling bij schatten.
Je kan uitleggen hoe de methode van de kleinste kwadraten een rechte kiest, en a en b met de formules berekenen.
Je kan residuen en R² gebruiken om te beoordelen of een lineair model past.
Je kan een omgekeerd evenredig verband herkennen aan een tabel, een formule en een grafiek.
Je kan een kromme rechttrekken door de juiste grootheden op de assen te zetten, en uit de rechte een grootheid bepalen.
Je kan in een rekenblad formules met relatieve en absolute celverwijzingen maken, een spreidingsdiagram tekenen en een trendlijn laten berekenen.
Je kan een sensor kalibreren met een rechte en de kalibratieformule omvormen tot een bruikbare omrekening.

Uitleg · 3.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/18

In Fundamental (hoofdstuk F4) zette je meetresultaten in een tabel met grootheden en eenheden in de kop, en tekende je een grafiek met gekozen schaal en een trendlijn. Je leerde het recht evenredig verband herkennen: de punten liggen op een rechte door de oorsprong, en de verhouding $y / x$ is constant. Die constante, de evenredigheidsconstante $k$ in $y = k \cdot x$ , had een betekenis: in hoofdstuk F19 was ze de weerstand. En je wist dat extrapoleren, voorbij je metingen voorspellen, gevaarlijk kan zijn.

Maar veel verbanden gaan niet door de oorsprong. Weeg je een bekerglas met water, dan meet je ook de beker: de rechte schuift 150 g omhoog. Dat is een lineair verband $y = a \cdot x + b$ . In dit hoofdstuk leer je

de richtingscoëfficiënt $a$ en het snijpunt $b$ bepalen en er een fysische betekenis aan geven, met eenheid;
de best passende rechte door punten met meetfouten trekken, op het oog en met de methode van de kleinste kwadraten;
het omgekeerd evenredig verband $y = k / x$ herkennen;
krommen rechttrekken (lineariseren), zodat je ook daar een rechte kan gebruiken;
dat alles in een rekenblad en, voor wie wil, in een paar regels Python.

Dezelfde helling (1,00 g per mL), maar de rechte met de beker begint 150 g hoger: lineair, niet recht evenredig.

Verhaal · 3.2

Een helling met de leeftijd van het heelal erin

2/18

In 1927 publiceerde de Leuvense priester en natuurkundige Georges Lemaître een artikel in de Annales de la Société scientifique de Bruxelles. Hij toonde dat de vergelijkingen van Einstein een uitdijend heelal toelaten, en dat verre sterrenstelsels dan van ons weg bewegen met een snelheid die evenredig is met hun afstand. Het artikel verscheen in het Frans, in een weinig gelezen tijdschrift, en kreeg eerst weinig aandacht.

Twee jaar later zette de Amerikaanse sterrenkundige Edwin Hubble de snelheid van een reeks sterrenstelsels uit tegen hun afstand. De punten lagen ruwweg op een rechte door de oorsprong: $v = H_{0} \cdot d$ . De richtingscoëfficiënt $H_{0}$ kreeg zijn naam. Hubble vond ongeveer 500 km/s per megaparsec (een megaparsec is ongeveer 3,26 miljoen lichtjaar).

Kijk naar de eenheid: kilometer per seconde, gedeeld door een afstand. Dat is 'per seconde', en het omgekeerde $1/ H_{0}$ is dus een tijd: ruwweg hoe lang het heelal al uitdijt. Met Hubbles helling kwam dat uit op ongeveer 2 miljard jaar, jonger dan de ouderdom die geologen met radioactiviteit aan gesteenten op aarde toekenden. Die tegenspraak bleef jaren bestaan, tot bleek dat Hubbles afstanden systematisch te klein waren (hoofdstuk 1): de 'standaardsterren' waarmee hij afstanden schatte, waren verkeerd geijkt.

Vandaag meten sterrenkundigen een helling van ongeveer 70 km/s per megaparsec. Dat geeft $1/ H_{0} \approx 14$ miljard jaar, in dezelfde orde als de leeftijd van het heelal volgens de beste metingen: 13,8 miljard jaar. In 2018 raadde de Internationale Astronomische Unie aan om voortaan van de wet van Hubble-Lemaître te spreken.

Wat je uit dit verhaal meeneemt

Een richtingscoëfficiënt is geen kaal getal: ze heeft een eenheid en een betekenis, soms een verrassende. En een helling is maar zo goed als de metingen waarop ze steunt: een systematische fout op de afstanden gaf een heelal dat zeven keer te jong leek.

Uit zulke fotoplaten haalden sterrenkundigen snelheden en afstanden van sterrenstelsels, en daaruit één helling.

Uitleg · 3.3

De rechte y = a · x + b en wat a en b betekenen

3/18

Een zwart watervat van 20 liter staat in de zon in de kas. Om het halfuur meet je de temperatuur (grafiek). De punten liggen mooi op een rechte, niet door de oorsprong:

lineair verband

y = a \cdot x + b a = \frac{Δ y}{Δ x}

a

is de richtingscoëfficiënt (helling),

b

het snijpunt met de y-as, de waarde van

y

bij

x = 0

. Is

b = 0

, dan is het verband recht evenredig.

De richtingscoëfficiënt bepalen. Kies twee punten op de rechte (niet twee meetpunten), zo ver mogelijk uit elkaar, want dan weegt een afleesfout het minst. Op de rechte lees je $(1, 0 h; 15, 7^{\circ} C)$ en $(4, 0 h; 25, 3^{\circ} C)$ :

a = \frac{25 , 3 ^{\circ} C - 15 , 7 ^{\circ} C}{4 , 0 h - 1 , 0 h} = \frac{9 , 6 ^{\circ} C}{3 , 0 h} = 3, 2^{\circ} C/h

De eenheid van $a$ is de eenheid van $y$ gedeeld door die van $x$ . Hier is $a$ de opwarmsnelheid: het vat wordt 3,2 °C warmer per uur. Het snijpunt $b = 12, 4^{\circ} C$ is de begintemperatuur. Het model: $T = 3, 2^{\circ} C/h \cdot t + 12, 4^{\circ} C$ .

Een model heeft een geldigheidsgebied. Binnen je metingen (0 tot 5 h) mag je interpoleren: na 2 h 15 min is het vat ongeveer 19,6 °C. Extrapoleren naar 12 h geeft 51 °C: onzin, want 's middags verliest het vat steeds meer warmte en 's avonds gaat de zon onder.

Een richtingscoëfficiënt is gewoon een getal

3,2 °C per uur en 3,2 °C per minuut schelen een factor 60. Zonder eenheid is een helling betekenisloos. Een negatieve helling is net zo betekenisvol: een waterstand die daalt met 0,8 cm per dag heeft $a = - 0, 8 cm/dag$ .

De hellingsdriehoek staat op de rechte, niet op twee meetpunten. Hoe groter de driehoek, hoe nauwkeuriger je afleest.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.4

Een dichtheid uit de helling

4/18

Hoe dicht is de geconcentreerde stamoplossing van de hydroponievoeding? Je zet een leeg bekerglas op een balans, giet er telkens 20 mL oplossing bij (gemeten met een maatcilinder) en noteert de massa van beker plus oplossing.

V (mL)	20	40	60	80	100	120
m (g)	73,9	95,1	116,5	138,0	159,1	180,5

De helling van de rechte is de dichtheid, het snijpunt de massa van de lege beker.

Gegeven

zes metingen van $V$ (mL) en $m$ (g)
balans $\pm 0, 1 g$ , maatcilinder $\pm 0, 5 mL$

Gevraagd

de dichtheid $ρ$ van de oplossing
de betekenis van het snijpunt

Oplossing

1
Het model: de totale massa is de massa van de oplossing plus die van de beker, $m = ρ \cdot V + m_{beker}$ . Dat is $y = a \cdot x + b$ met $a = ρ$ en $b = m_{beker}$ .
2
Zet de punten in een grafiek met $V$ horizontaal en $m$ verticaal, en trek op het oog de rechte die zo goed mogelijk tussen alle punten loopt (zie grafiek).
3
Kies twee punten op de rechte, ver uit elkaar: A $(0 mL; 52, 5 g)$ en B $(130 mL; 191, 0 g)$ .
4
$a = \frac{191 , 0 g - 52 , 5 g}{130 mL - 0 mL} = \frac{138 , 5 g}{130 mL} = 1, 065 g/mL$ .
5
Het snijpunt $b = 52, 5 g$ is de massa van het lege bekerglas.

Antwoord

ρ \approx 1, 07 g/mL = 1, 07 g/c m^{3}

(op het oog, tot op ongeveer 1 %). Het bekerglas weegt ongeveer 52,5 g.

Klopt dit? Water heeft een dichtheid van

0, 998 g/mL

bij 20 °C, zeewater ongeveer

1, 025 g/mL

: een geconcentreerde zoutoplossing mag zwaarder zijn. En het lege bekerglas wegen geeft 52,6 g: het snijpunt klopt. Merk op: je hoefde geen enkele meting door haar volume te delen. De rechte haalt de beker er vanzelf uit.

Uitleg · 3.5

De best passende rechte op het oog, en haar onzekerheid

5/18

Meetpunten liggen nooit precies op een rechte: elke meting heeft een fout (hoofdstuk 1). De best passende rechte loopt zo dicht mogelijk langs alle punten tegelijk. Op het oog trek je ze met vijf regels:

Verbind de punten niet: een zigzaglijn beschrijft de meetfouten, niet het verband.
Leg de lat zo dat er ongeveer evenveel punten boven als onder de rechte liggen, verspreid over het hele bereik (niet alle bovenste links en alle onderste rechts).
Laat de rechte door het zwaartepunt $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ van de punten gaan: de best passende rechte gaat daar altijd door.
Dwing de rechte niet door de oorsprong, tenzij de natuurkunde dat eist én de punten het toelaten. Een snijpunt dat niet nul is, kan juist informatie zijn (de beker, de rustlengte van een veer).
Negeer een uitschieter alleen met een reden (hoofdstuk 1), en vermeld het.

Hoe zeker is de helling? Teken de foutbalken van de metingen. Trek dan de steilste en de minst steile rechte die nog door alle foutbalken gaan. Het verschil tussen hun hellingen is een maat voor de onzekerheid:

fout op de helling

Δ a \approx \frac{a _{steilst} - a _{minst steil}}{2}

Voor de veer: de best passende rechte heeft $a = 0, 0399 cm/g$ . De steilste rechte gaat door (50 g; 13,9 cm) en (300 g; 24,2 cm): $a = 10, 3/250 = 0, 0412 cm/g$ . De minst steile door (50 g; 14,3 cm) en (300 g; 23,8 cm): $a = 9, 5/250 = 0, 0380 cm/g$ . Dus $a = (0, 0399 \pm 0, 0016) cm/g$ : de veer rekt 4,0 cm uit per 100 g, met een fout van 4 %. Het snijpunt, 12,0 cm, is de lengte van de veer zonder massa.

Van helling naar veerconstante

Per kilogram rekt de veer $0, 0399 cm/g = 0, 399 m/kg$ uit. Een kilogram weegt 9,81 N, dus de veerconstante is $k = 9, 81 N/kg /0, 399 m/kg = 24, 6 N/m$ , met dezelfde relatieve fout van 4 %: $k = (24, 6 \pm 1, 0) N/m$ (wet van Hooke, F11).

De steilste en de minst steile rechte gaan net door alle foutbalken; de best passende rechte ligt ertussen.

Uitleg · 3.6

Hoe een rekenblad de rechte kiest: de kleinste kwadraten

6/18

Op het oog trekt iedereen een net iets andere rechte. Een rekenblad gebruikt een vaste regel. Voor elk meetpunt bepaalt het het residu: hoeveel het punt boven (+) of onder (−) de rechte ligt, gemeten in de $y$ -richting. De methode van de kleinste kwadraten kiest de rechte waarvoor de som van de kwadraten van alle residuen zo klein mogelijk is.

Waarom kwadraten? Plus en min heffen elkaar dan niet op, grote afwijkingen wegen zwaarder dan kleine, en er is precies één oplossing, met eenvoudige formules:

kleinste-kwadratenrechte

a = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}} b = \overset{y}{ˉ} - a \cdot \overset{x}{ˉ}

Uit de formule voor

b

volgt dat de rechte altijd door het zwaartepunt

(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})

gaat.

Hoe goed past de rechte? Een rekenblad toont vaak $R^{2}$ (de determinatiecoëfficiënt): het deel van de spreiding van de $y$ -waarden dat de rechte verklaart. $R^{2} = 1$ betekent dat alle punten op de rechte liggen, $R^{2} = 0$ dat de rechte niets verklaart:

determinatiecoëfficiënt

R^{2} = 1 - \frac{\sum ( residu ) ^{2}}{\sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

Beter dan $R^{2}$ is kijken naar de residuen zelf. Zet ze uit tegen $x$ . Liggen ze willekeurig boven en onder nul, dan beschrijft de rechte het verband en zijn de afwijkingen gewone meetfouten. Vormen ze een patroon, een boog of een trend, dan is het model niet goed.

R² bijna 1, dus het verband is lineair

Een stopafstand groeit met het kwadraat van de snelheid, en toch geeft een rechte door tien metingen tussen 30 en 120 km/h nog $R^{2} = 0, 987$ . De residuen verraden het: eerst positief, dan negatief, dan weer positief, een boog (opdracht 3.14). $R^{2}$ zegt hoe dicht de punten bij de rechte liggen, niet of een rechte het juiste model is.

Schematisch: de residuen zijn de verticale afstanden tot de rechte. De kleinste-kwadratenrechte maakt

r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \dots

zo klein mogelijk.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.7

De kleinste kwadraten met de hand

7/18

Bereken de kleinste-kwadratenrechte door de metingen van de stamoplossing (vorig voorbeeld). Hoe goed was de rechte op het oog?

De residuen liggen zonder patroon rond nul en zijn allemaal kleiner dan 0,2 g: een rechte is hier het juiste model.

Gegeven

zes punten $(V, m)$ uit het voorbeeld 'Een dichtheid uit de helling'

Gevraagd

$a$ en $b$ volgens de kleinste kwadraten
$R^{2}$ en de residuen

Oplossing

1
Gemiddelden: $\overset{ˉ}{V} = 420/6 = 70 mL$ en $\overset{m}{ˉ} = 763, 1/6 = 127, 183 g$ .

Maak een tabel met de afwijkingen, hun producten en de kwadraten van de

x

-afwijkingen.

$V$ (mL)	$m$ (g)	$V - \overset{ˉ}{V}$	$m - \overset{m}{ˉ}$	$(V - \overset{ˉ}{V}) (m - \overset{m}{ˉ})$	$(V - \overset{ˉ}{V})^{2}$
20	73,9	−50	−53,283	2664,17	2500
40	95,1	−30	−32,083	962,50	900
60	116,5	−10	−10,683	106,83	100
80	138,0	10	10,817	108,17	100
100	159,1	30	31,917	957,50	900
120	180,5	50	53,317	2665,83	2500
gem. 70	gem. 127,183	0	0	7465,00	7000

3
$a = \frac{7465 , 00 g \cdot mL}{7000 m L ^{2}} = 1, 06643 g/mL$ .
4
$b = \overset{m}{ˉ} - a \cdot \overset{ˉ}{V} = 127, 183 - 1, 06643 \times 70 = 52, 53 g$ .
5
Residuen, gemeten min berekend: $+ 0, 04$ ; $- 0, 09$ ; $- 0, 02$ ; $+ 0, 15$ ; $- 0, 08$ ; $- 0, 01 g$ . Ze liggen willekeurig rond nul en zijn kleiner dan wat de maatcilinder toelaat ( $0, 5 mL$ komt overeen met ongeveer $0, 5 g$ ). $R^{2} = 0, 999995$ .

Antwoord

m = 1, 066 g/mL \cdot V + 52, 5 g

, dus

ρ = 1, 066 g/mL

. De rechte op het oog gaf

1, 065 g/mL

: een verschil van 0,1 %, veel kleiner dan de meetfouten.

Klopt dit? Controleer met een rekenblad: =RICHTING(B2:B7;A2:A7) geeft 1,066429 en =SNIJPUNT(B2:B7;A2:A7) 52,53333. Hoeveel van die cijfers beduidend zijn, beslis jij (hoofdstuk 1): de spreiding van de punten laat hoogstens vier beduidende cijfers voor

a

toe.

Ontleed · 3.8

Een rekenblad ontleed

8/18

Een rekenblad (Excel, LibreOffice Calc, Google Spreadsheets) doet het rekenwerk van het vorige voorbeeld in een oogwenk. Maar het rekent alleen wat je het vraagt, en het toont meer cijfers dan je meting verdient. Dit is het blad van de stamoplossing.

Gegevens in kolommen, berekeningen in cellen, en een spreidingsdiagram met trendlijn dat over de cellen zweeft.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Naamvak
Toont welke cel geselecteerd is: kolom E, rij 2. Elke cel heeft zo'n adres, en formules verwijzen naar adressen, niet naar getallen.
2
Formulebalk
Hier staat wat de cel berekent. In de cel zelf zie je alleen het resultaat. Een formule begint altijd met =.
3
Kop met eenheid
Rij 1 bevat de grootheid met de eenheid, net als in een tabel op papier. In de cellen eronder staan alleen getallen, anders kan het rekenblad er niet mee rekenen.
4
Een kolom met een formule
C2 bevat =B2-($E$2*A2+$E$3): het residu. Naar beneden gekopieerd wordt B2 telkens B3, B4 ... (relatieve verwijzing), maar $E$2 en $E$3 blijven staan (absolute verwijzing, met dollartekens).
5
Richting en snijpunt
RICHTING en SNIJPUNT rekenen de kleinste-kwadratenrechte uit met de formules van het vorige blad. Eerst het bereik van de y-waarden, dan dat van de x-waarden.
6
Zes cijfers, niet zes beduidende
0,999995 en 1,066429: het rekenblad toont zoveel cijfers als de kolom toelaat. Rond zelf af volgens de fout (hoofdstuk 1).
7
Trendlijn met vergelijking
Het rekenblad schrijft x en y, niet V en m. Vertaal naar je eigen grootheden, met eenheden. 'R² = 1' is afgerond: de echte waarde is 0,999995.
8
Spreidingsdiagram
Kies altijd een spreidingsdiagram (xy-diagram): dan staat elk punt op zijn echte x-waarde. Een lijndiagram zet de punten op gelijke afstanden, ook als je metingen dat niet zijn.

Uitleg · 3.9

Werken met een rekenblad

9/18

Een stappenplan dat voor elke meetreeks werkt:

Invoeren. Eén grootheid per kolom, in rij 1 de naam met de eenheid, daaronder alleen getallen. Let op het decimaalteken: een Nederlandstalig rekenblad verwacht een komma.
Berekenen. Een nieuwe kolom met een formule, bijvoorbeeld =1/A2 of =B2^2, en die naar beneden doortrekken. Moet een formule altijd naar dezelfde cel verwijzen (een constante, een helling), zet dan dollartekens: $E$2. In Excel wissel je met F4 tussen relatief en absoluut.
Grafiek. Selecteer de twee kolommen en kies een spreidingsdiagram (xy-diagram) met alleen punten. Geef de assen een titel met grootheid en eenheid.
Trendlijn. Voeg een lineaire trendlijn toe en laat de vergelijking en $R^{2}$ tonen. Vraagt de natuurkunde een rechte door de oorsprong, dan kan je het snijpunt op nul vastzetten; doe dat alleen met een reden.
Controleren. Bereken met RICHTING en SNIJPUNT dezelfde getallen in cellen, voeg een kolom met residuen toe, en rond af volgens de fout.

wat	Nederlandstalig rekenblad	Engelstalig rekenblad
richtingscoëfficiënt	`=RICHTING(B2:B7;A2:A7)`	`=SLOPE(B2:B7,A2:A7)`
snijpunt met de y-as	`=SNIJPUNT(B2:B7;A2:A7)`	`=INTERCEPT(B2:B7,A2:A7)`
R²	`=R.KWADRAAT(B2:B7;A2:A7)`	`=RSQ(B2:B7,A2:A7)`
gemiddelde	`=GEMIDDELDE(A2:A7)`	`=AVERAGE(A2:A7)`
kwadraat, omgekeerde, wortel	`=A2^2` · `=1/A2` · `=WORTEL(A2)`	`=A2^2` · `=1/A2` · `=SQRT(A2)`

Let op de volgorde: eerst de y-waarden, dan de x-waarden. In een Nederlandstalig rekenblad scheidt een puntkomma de argumenten, in een Engelstalig een komma.

Lijndiagram of spreidingsdiagram

Een lijndiagram behandelt de $x$ -waarden als namen en zet ze op gelijke afstanden. Voor metingen op ongelijke afstanden (0,20 m, 0,25 m, 0,30 m, 0,40 m ... 1,00 m) vervormt het de kromme volledig. Gebruik voor meetreeksen altijd een spreidingsdiagram.

Fout: in een lijndiagram staan de metingen op gelijke afstanden, de x-as is een volgnummer.

Juist: in een spreidingsdiagram staat elk punt op zijn echte afstand.

Uitleg · 3.10

Omgekeerd evenredig

10/18

Hoe sterker de pomp, hoe sneller het reservoir van de kas vol is. Meet je de vultijd $t$ bij verschillende debieten $Q$ , dan krijg je een dalende kromme (grafiek). Verdubbel je het debiet van 3 naar 6 L/min, dan halveert de vultijd van ongeveer 20 naar 10 minuten. Dat is een omgekeerd evenredig verband:

omgekeerd evenredig

y = \frac{k}{x} \Leftrightarrow x \cdot y = k

Het product van beide grootheden is constant. De grafiek is een hyperbool: ze komt steeds dichter bij de assen, zonder ze te raken.

Voor de pomp is $t = V / Q$ , met $V$ het volume van het reservoir: $k = V$ . Andere voorbeelden: de stroom door een weerstand bij vaste spanning, $I = U / R$ (hoofdstuk F19); de reistijd bij een vaste afstand, $t = s / v$ ; de druk van een ingesloten gas bij vaste temperatuur, $p \cdot V =$ constant (hoofdstuk E14).

Herkennen doe je op drie manieren: in een tabel is het product $x \cdot y$ (binnen de meetfout) constant; in de formule staat $x$ in de noemer; in de grafiek zie je een hyperbool. Die laatste is de zwakste test: veel dalende krommen lijken op een hyperbool.

Dalend is omgekeerd evenredig

Een waterstand die daalt met 0,8 cm per dag ( $h = 30 - 0, 8 t$ ) daalt ook, maar het product $t \cdot h$ is niet constant: bij $t = 0$ is het nul. Een dalende rechte is lineair, geen omgekeerd evenredig verband. En ook een kromme die daalt, zoals een afkoelende thee (hoofdstuk 5), is niet vanzelf een hyperbool.

De vultijd daalt steeds trager bij grotere debieten: de kromme nadert de as, maar raakt ze nooit.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.11

Is het echt omgekeerd evenredig? De pomp

11/18

Bij acht instellingen van de pomp werd de vultijd van het lege reservoir gemeten. Toon aan dat het verband omgekeerd evenredig is en bepaal het volume van het reservoir. Hoe lang duurt het vullen bij 7 L/min?

Q (L/min)	2	3	4	5	6	8	10	12
t (min)	29,9	20,2	15,4	11,9	10,2	7,4	6,0	4,9
Q · t (L)	59,8	60,6	61,6	59,5	61,2	59,2	60,0	58,8
1/Q (min/L)	0,500	0,333	0,250	0,200	0,167	0,125	0,100	0,083

Uit de hyperbool wordt een rechte door de oorsprong; de helling is het volume van het reservoir.

Gegeven

acht debieten $Q$ en vultijden $t$

Gevraagd

toets: omgekeerd evenredig?
volume $V$ van het reservoir
$t$ bij $Q = 7 L/min$

Oplossing

1
Productentest: $Q \cdot t$ ligt tussen 58,8 L en 61,6 L, gemiddeld $60, 1 L$ met $s = 1, 0 L$ . Er is geen trend: klein en groot debiet geven hetzelfde product, binnen de meetfout.
2
Rechttrekken: als $t = V / Q = V \cdot (1/ Q)$ , dan geeft $t$ tegen $1/ Q$ een rechte door de oorsprong met helling $V$ . De punten liggen inderdaad op een rechte (grafiek).
3
Kleinste kwadraten door de punten $(1/ Q, t)$ : $a = 60, 15 L$ en $b = 0, 02 min$ , praktisch nul, zoals het model voorspelt.
4
De eenheid van de helling: min gedeeld door min/L geeft L. De helling is het volume: $V = 60 L$ .
5
Voorspelling (interpoleren, binnen het gemeten bereik): $t = 60, 15 L /7 L/min = 8, 6 min$ .

Antwoord

Het verband is omgekeerd evenredig, het reservoir bevat

60 L

, en bij 7 L/min duurt vullen

8, 6 min

Klopt dit? Het snijpunt van de rechte ligt vrijwel in de oorsprong: een extra constante tijd (bijvoorbeeld een leiding die eerst vol moet lopen) zou als snijpunt verschijnen. Hier is die er niet.

Uitleg · 3.12

Lineariseren: een kromme rechttrekken

12/18

Een rechte is makkelijk: je ziet meteen of punten erop liggen, je trekt ze op het oog of met de kleinste kwadraten, en haar helling heeft een betekenis. Een kromme is lastig: is dit een hyperbool, een parabool of iets anders? Daarom lineariseer je: je zet op de assen de grootheden die het verwachte verband tot een rechte maken.

Het recept: schrijf het model in de vorm $y = a \cdot X + b$ , waarbij $X$ een functie van je gemeten grootheid is (een kwadraat, een omgekeerde, een wortel). Bereken $X$ in een extra kolom en zet $y$ uit tegen $X$ .

model	horizontaal	verticaal	helling
$t = V / Q$ (pomp)	$1/ Q$	$t$	$V$
$s = \frac{1}{2} g t^{2}$ (vrije val)	$t^{2}$	$s$	$g /2$
$T = 2 π L / g$ (slinger)	$L$	$T^{2}$	$4 π^{2} / g$
$E = k / d^{2}$ (licht van een kleine lamp)	$1/ d^{2}$	$E$	$k$
$I = U / R$ (vaste spanning)	$1/ R$	$I$	$U$

Lineariseren is ook een test. Liggen de punten na de omzetting op een rechte, dan past het model. Buigen ze nog, of vormen de residuen een patroon, dan klopt het model niet en zoek je verder. Bij exponentiële groei en verval (hoofdstuk 5) trek je de kromme recht met een logaritme.

Welke kant op?

Bij de slinger kan je ook $T$ tegen $L$ zetten. Beide geven een rechte, maar $T^{2}$ tegen $L$ is handiger: $L$ is wat je instelt en meet, en het snijpunt krijgt een betekenis (volgend voorbeeld).

Boven drie krommen, onder dezelfde gegevens met y uitgezet tegen x², 1/x en √x: telkens een rechte door de oorsprong.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.13

De valversnelling uit een slinger

13/18

Een leerling meet de slingertijd $T$ (uit tien slingeringen, zoals in hoofdstuk 1) bij zes lengtes $L$ . Ze meet $L$ van het ophangpunt tot de bovenkant van de kogel. Bepaal de valversnelling $g$ . Wat betekent het snijpunt?

L (m)	0,200	0,350	0,500	0,650	0,800	0,950
T (s)	0,931	1,212	1,442	1,636	1,809	1,972
T² (s²)	0,8668	1,4689	2,0794	2,6765	3,2725	3,8888

T² tegen L is een rechte; ze snijdt de verticale as net boven nul, omdat L tot de bovenkant van de kogel gemeten werd.

Gegeven

zes lengtes $L$ (m) en slingertijden $T$ (s)
model: $T = 2 π L / g$

Gevraagd

$g$ uit de helling
de betekenis van het snijpunt

Oplossing

1
Lineariseren: kwadrateer het model. $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{g} \cdot L$ . Dat is $y = a \cdot x$ met $y = T^{2}$ , $x = L$ en $a = 4 π^{2} / g$ .
2
Bereken $T^{2}$ in een extra rij (tabel) en zet $T^{2}$ uit tegen $L$ : de punten liggen op een rechte.
3
Kleinste kwadraten: $a = 4, 022 s^{2} /m$ en $b = 0, 063 s^{2}$ , $R^{2} = 0, 99998$ .
4
$g = \frac{4 π ^{2}}{a} = \frac{39 , 48}{4 , 022 s ^{2} /m} = 9, 81 m/ s^{2}$ .
5
Het snijpunt is niet nul. De rechte snijdt de $L$ -as bij $L = - b / a = - 0, 063/4, 022 = - 0, 0156 m$ : de slinger gedraagt zich alsof hij 1,6 cm langer is dan gemeten. Dat is de straal van de kogel: de echte slingerlengte loopt tot het midden van de kogel.

Antwoord

g = 9, 81 m/ s^{2}

. Het snijpunt verraadt een systematische fout in de lengtemeting:

L

werd ongeveer 1,6 cm te kort gemeten, de straal van de kogel (1,5 cm gemeten met een schuifmaat).

Klopt dit? Had de leerling de rechte door de oorsprong gedwongen, dan was de systematische fout in de helling terechtgekomen en had ze een verkeerde g gevonden. Een vrij snijpunt beschermt de helling tegen een constante fout in x.

Proef · 3.14

Hoe hangt de verlichtingssterkte af van de afstand tot een lamp?

14/18

Onderzoeksvraag

Hoe hangt de verlichtingssterkte $E$ (in lux) af van de afstand $d$ tot een kleine lamp, en hoe voorspel je dat voor een groeilamp in de kas?

Materiaal

een klein ledlampje of zaklamp zonder reflector
smartphone met een app die de lichtsensor uitleest (bijvoorbeeld phyphox)
rolmeter, plakband
een donker lokaal

VeiligheidKijk niet recht in een fel ledlampje van dichtbij.

Na het rechttrekken liggen alle punten op een rechte; het snijpunt (7 lx) is het achtergrondlicht.

Werkwijze

1Verduister het lokaal. Leg de smartphone plat op tafel en zoek waar de lichtsensor zit (meestal bovenaan, naast de camera).
2Houd de lamp recht boven de sensor. Meet de afstand $d$ van de lamp tot de sensor, niet tot de telefoon.
3Meet $E$ bij acht afstanden van 0,20 m tot 1,00 m. Meet ook $E$ met de lamp uit.
4Bereken $1/ d^{2}$ en $E \cdot d^{2}$ in een rekenblad en zet $E$ uit tegen $1/ d^{2}$ in een spreidingsdiagram.

Waarneming

d (m)	0,20	0,25	0,30	0,40	0,50	0,60	0,80	1,00
E (lx)	1490	974	682	381	241	168	101	65
1/d² (1/m²)	25,00	16,00	11,11	6,25	4,00	2,78	1,56	1,00
E · d² (lx·m²)	59,6	60,9	61,4	61,0	60,2	60,5	64,6	65,0

Het product $E \cdot d^{2}$ is niet constant: het stijgt van ongeveer 60 naar 65 lx·m² bij grote afstanden. $E$ tegen $1/ d^{2}$ geeft wel een mooie rechte, met $a = 59, 7 lx \cdot m^{2}$ en $b = 7, 2 lx$ . Met de lamp uit meet de telefoon ongeveer 7 lx.

Verklaring

Het licht van een kleine lamp verspreidt zich over een steeds groter boloppervlak, $4 π d^{2}$ : op dubbele afstand valt dezelfde hoeveelheid licht op een vier keer groter oppervlak. Dus $E = k / d^{2}$ , de kwadratenwet. Het snijpunt van de rechte is het licht dat er altijd is: het achtergrondlicht in het lokaal (7 lx, zoals gemeten met de lamp uit). Het maakt het product $E \cdot d^{2}$ groter bij grote afstanden, waar de lamp zelf zwak is. De rechte haalt het er netjes uit.

Geldigheidsgebied: de kwadratenwet geldt voor een lichtbron die klein is tegenover de afstand. Een breed ledpaneel boven de planten is dat niet: daar daalt $E$ trager met de afstand. Toch blijft de les voor de kas: een kleine lamp twee keer zo hoog hangen, geeft de planten maar een kwart van het licht.

Uitgewerkt voorbeeld · 3.15

Habitat: een temperatuursensor kalibreren

15/18

De klimaatmodule krijgt een goedkope analoge temperatuursensor die de microcontroller inleest als een getal tussen 0 en 1023 (de 'ruwe waarde'). Volgens het datablad hoort bij elke °C een vaste stap, maar elke sensor wijkt een beetje af. Je zet de sensor samen met een referentiethermometer in ijswater, kraantjeswater en warm water op verschillende temperaturen. Stel de kalibratieformule op die de microcontroller moet gebruiken.

T_ref (°C)	0,4	10,2	18,7	24,9	32,6	41,3	49,8
ruwe waarde	106	127	143	158	174	192	209

De eigen kalibratierechte (rood) ligt boven en is steiler dan de rechte uit het datablad (groen).

Gegeven

zeven paren (referentietemperatuur, ruwe waarde)
referentiethermometer $\pm 0, 1^{\circ} C$

Gevraagd

de kalibratierechte
een formule die een ruwe waarde omzet naar °C
hoe nauwkeurig is de gekalibreerde sensor?

Oplossing

1
Kies de assen: de referentie is (bijna) foutloos, de ruwe waarde heeft ruis. Zet daarom de ruwe waarde $r$ verticaal en $T_{ref}$ horizontaal: $r = a \cdot T + b$ .
2
Kleinste kwadraten (rekenblad of Python, volgend blad): $a = 2, 094$ tellen per °C, $b = 105, 2$ tellen, $R^{2} = 0, 9996$ . De helling is de gevoeligheid van de sensor, het snijpunt de ruwe waarde bij 0 °C.
3
Omvormen naar de formule die je nodig hebt: $T = \frac{r - b}{a} = \frac{r - 105 , 2}{2 , 094}$ , of $T = 0, 4775 \cdot r - 50, 24$ (in °C).
4
Controle met de residuen, omgerekend naar °C: tussen $- 0, 65$ en $+ 0, 31^{\circ} C$ , zonder patroon. Eén stap van de ruwe waarde komt overeen met $1/2, 094 = 0, 48^{\circ} C$ : de sensor kan niet fijner meten dan dat.
5
Vergelijk met het datablad ( $r = 204, 6 \cdot (0, 5 + 0, 01 \cdot T)$ , dus $a = 2, 046$ en $b = 102, 3$ ): bij $r = 158$ geeft die formule 27,2 °C, terwijl de referentie 24,9 °C aanwees. Het verschil loopt op van +1,4 °C bij 0 °C tot +2,4 °C bij 50 °C: zowel het snijpunt als de helling wijken af.

Antwoord

Kalibratieformule:

T = 0, 4775 \cdot r - 50, 24

(°C), geldig van 0 tot 50 °C. De gekalibreerde sensor zit binnen ongeveer

\pm 0, 7^{\circ} C

van de referentie, beperkt door zijn stappen van 0,48 °C.

Klopt dit? Een correctie met één getal, zoals in hoofdstuk 1, volstaat hier niet: de afwijking is niet overal even groot. Een rechte corrigeert tegelijk de verschuiving (snijpunt) en de gevoeligheid (helling). Buiten 0 tot 50 °C heb je geen metingen: daar is de formule een extrapolatie.

Code · 3.16

De kalibratie in Python

16/18

Wat het rekenblad met RICHTING en SNIJPUNT doet, kan je ook in een paar regels Python schrijven, met de formules van de kleinste kwadraten. Het voordeel: hetzelfde programma kalibreert morgen tien sensoren, en de functie temperatuur() kan je later bijna letterlijk overnemen in de software van de klimaatmodule. Hoe lijsten, lussen en functies werken, leer je in hoofdstuk 28; hier volstaat het om de formules te herkennen.

Pythonkalibratie.py27 regelsDownload

# kalibratie.py - kalibratierechte van een temperatuursensor (kleinste kwadraten)T_ref = [0.4, 10.2, 18.7, 24.9, 32.6, 41.3, 49.8]   # referentiethermometer (°C)ruw = [106, 127, 143, 158, 174, 192, 209]            # ruwe waarde van de sensor (ADC) n = len(T_ref)x_gem = sum(T_ref) / ny_gem = sum(ruw) / nteller = sum((x - x_gem) * (y - y_gem) for x, y in zip(T_ref, ruw))noemer = sum((x - x_gem) ** 2 for x in T_ref)a = teller / noemer          # gevoeligheid: tellen per °Cb = y_gem - a * x_gem        # ruwe waarde bij 0 °C # R²: welk deel van de spreiding van de ruwe waarden verklaart de rechte?ss_res = sum((y - (a * x + b)) ** 2 for x, y in zip(T_ref, ruw))ss_tot = sum((y - y_gem) ** 2 for y in ruw)r2 = 1 - ss_res / ss_totprint(f"a = {a:.4f} tellen/°C   b = {b:.2f} tellen   R² = {r2:.5f}")  def temperatuur(r):    """Zet een ruwe sensorwaarde om naar °C met de omgekeerde kalibratierechte."""    return (r - b) / a  for x, y in zip(T_ref, ruw):    t = temperatuur(y)    print(f"ref {x:5.1f} °C   ruw {y:4d}   gekalibreerd {t:5.1f} °C   verschil {t - x:+.2f} °C")

Na kalibratie blijven de afwijkingen binnen ongeveer één stap van de sensor (0,48 °C), zonder patroon.

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

a = 2.0941 tellen/°C   b = 105.21 tellen   R² = 0.99961
ref   0.4 °C   ruw  106   gekalibreerd   0.4 °C   verschil -0.02 °C
ref  10.2 °C   ruw  127   gekalibreerd  10.4 °C   verschil +0.21 °C
ref  18.7 °C   ruw  143   gekalibreerd  18.0 °C   verschil -0.65 °C
ref  24.9 °C   ruw  158   gekalibreerd  25.2 °C   verschil +0.31 °C
ref  32.6 °C   ruw  174   gekalibreerd  32.9 °C   verschil +0.25 °C
ref  41.3 °C   ruw  192   gekalibreerd  41.4 °C   verschil +0.15 °C
ref  49.8 °C   ruw  209   gekalibreerd  49.6 °C   verschil -0.24 °C

Python toont een punt als decimaalteken. De getallen zijn dezelfde als in het vorige blad. zip() overloopt twee lijsten paar per paar; sum(... for ...) telt de termen van een som op, precies zoals het $\sum$ -teken in de formule. Wie numpy kent, krijgt $a$ en $b$ ook met numpy.polyfit(T_ref, ruw, 1).

Naslag · 3.17

Overzicht: rechten, verbanden en rekenblad

17/18

lineair verband

y = a \cdot x + b

symbool	betekenis	eenheid
$a$	richtingscoëfficiënt	eenheid y / eenheid x
$b$	snijpunt met de y-as	eenheid y

helling uit twee punten op de rechte

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

kleinste kwadraten: helling

a = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}

kleinste kwadraten: snijpunt

b = \overset{y}{ˉ} - a \cdot \overset{x}{ˉ}

determinatiecoëfficiënt

R^{2} = 1 - \frac{\sum ( residu ) ^{2}}{\sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

fout op de helling

Δ a \approx \frac{a _{steilst} - a _{minst steil}}{2}

omgekeerd evenredig

y = \frac{k}{x} \Leftrightarrow x \cdot y = k

verband	tabel	grafiek	rechttrekken
recht evenredig $y = k x$	$y / x$ constant	rechte door de oorsprong	(al recht)
lineair $y = a x + b$	gelijke stappen in $x$ geven gelijke stappen in $y$	rechte	(al recht)
omgekeerd evenredig $y = k / x$	$x \cdot y$ constant	hyperbool	$y$ tegen $1/ x$
kwadratisch $y = k x^{2}$	$y / x^{2}$ constant	halve parabool	$y$ tegen $x^{2}$
kwadratenwet $y = k / x^{2}$	$x^{2} \cdot y$ constant	snel dalende kromme	$y$ tegen $1/ x^{2}$
wortel $y = k x$	$y^{2} / x$ constant	afvlakkende kromme	$y$ tegen $x$ of $y^{2}$ tegen $x$

wat	Nederlandstalig rekenblad	Engelstalig rekenblad
richtingscoëfficiënt	`=RICHTING(B2:B7;A2:A7)`	`=SLOPE(B2:B7,A2:A7)`
snijpunt met de y-as	`=SNIJPUNT(B2:B7;A2:A7)`	`=INTERCEPT(B2:B7,A2:A7)`
R²	`=R.KWADRAAT(B2:B7;A2:A7)`	`=RSQ(B2:B7,A2:A7)`
gemiddelde	`=GEMIDDELDE(A2:A7)`	`=AVERAGE(A2:A7)`
kwadraat, omgekeerde, wortel	`=A2^2` · `=1/A2` · `=WORTEL(A2)`	`=A2^2` · `=1/A2` · `=SQRT(A2)`

Let op de volgorde: eerst de y-waarden, dan de x-waarden. In een Nederlandstalig rekenblad scheidt een puntkomma de argumenten, in een Engelstalig een komma.

controlelijst voor een grafiek met een rechte
spreidingsdiagram, geen lijndiagram; assen met grootheid en eenheid
punten niet verbinden; foutbalken als de fout bekend is
helling uit twee punten op de rechte, ver uit elkaar, of met de kleinste kwadraten
helling en snijpunt met eenheid en betekenis, afgerond volgens de fout
residuen bekeken: willekeurig rond nul?
geldigheidsgebied vermeld: alleen binnen het gemeten bereik voorspellen

Het geheel · 3.18

Waar verbanden in data terugkomen

18/18

De rechte is het werkpaard van elk labo: bijna elk verband dat je in StemExpert tegenkomt, maak je ooit recht om er een grootheid uit te halen. Dit hoofdstuk sluit het deel 'Onderzoeken met data' af: meten met een fout (hoofdstuk 1), eerlijk ontwerpen (hoofdstuk 2), en nu het verband vinden. In het volgende deel wordt de rechte een van de vele functies die je als model gebruikt.

F4 Tabellen, grafieken en verbanden

Recht evenredig, trendlijn, interpoleren en extrapoleren: hier uitgebreid tot rechten met snijpunt en de kleinste kwadraten.

I1 Meetfouten en nauwkeurigheid

Foutbalken, uitschieters en afronden bepalen hoe zeker een helling is.

I4 Functies als modellen

De lineaire functie als model naast de kwadratische, met domein en geldigheidsgebied.

I5 Groei en verval: exponentiële modellen

Groei en verval rechttrekken met een logaritmische schaal.

I7 Beweging beschrijven

De helling van een (x,t)-grafiek is de snelheid, die van een (v,t)-grafiek de versnelling.

I22 De spanningsdeler en sensoren

Een sensor met een microcontroller inlezen en kalibreren met een referentie.

I28 Functies, lijsten en data in Python

Lijsten, functies en CSV-bestanden in Python: de kalibratie van dit hoofdstuk voor een hele week data.

E1 Afgeleiden: verandering meten

De helling van een kromme in één punt: de afgeleide als richtingscoëfficiënt van de raaklijn.

E41 Van data naar model: regressie

Kleinste kwadraten met meerdere variabelen, overfitting en het analyseren van residuen.

HabitatElke sensor van de klimaatmodule wordt voor gebruik gekalibreerd met een rechte, zoals de temperatuursensor in dit hoofdstuk. In opdracht 3.11 kalibreer je de bodemvochtsensor; de formules die je vindt, komen later in de software van de module (hoofdstukken 22, 29 en 30).

Samenvatting

In het kort

Een lineair verband $y = a \cdot x + b$ heeft een richtingscoëfficiënt $a = Δ y /Δ x$ en een snijpunt $b$ , allebei grootheden met een eenheid en een betekenis (dichtheid, opwarmsnelheid, beginwaarde).
Bepaal de helling uit twee punten op de rechte, ver uit elkaar. De steilste en de minst steile rechte door de foutbalken geven de fout op de helling.
De methode van de kleinste kwadraten kiest de rechte met de kleinste som van de gekwadrateerde residuen; ze gaat door $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
$R^{2}$ zegt hoe dicht de punten bij de rechte liggen, niet of een rechte het juiste model is: kijk naar de residuen.
Omgekeerd evenredig: $y = k / x$ , het product $x \cdot y$ is constant, de grafiek is een hyperbool. Dalend is niet hetzelfde als omgekeerd evenredig.
Lineariseren: zet $y$ uit tegen een functie van $x$ ( $1/ x$ , $x^{2}$ , $1/ x^{2}$ ...) zodat het model een rechte wordt; een snijpunt dat niet nul is, verraadt vaak een systematische fout of een achtergrond.
In een rekenblad: één grootheid per kolom met eenheid in de kop, formules met relatieve en absolute verwijzingen (met dollartekens), altijd een spreidingsdiagram, RICHTING en SNIJPUNT.
Een sensor kalibreer je met een rechte tegenover een referentie en een omgevormde formule $T = (r - b) / a$ , geldig binnen het gemeten bereik.

Begrippen

Wat je nu kent

lineair verband: Verband van de vorm $y = a \cdot x + b$ ; de grafiek is een rechte. Recht evenredig is het speciale geval $b = 0$ .
richtingscoëfficiënt: De helling $a = Δ y /Δ x$ van een rechte, met als eenheid de eenheid van $y$ gedeeld door die van $x$ .
snijpunt met de y-as: De waarde $b$ van $y$ bij $x = 0$ , met de eenheid van $y$ .
best passende rechte: De rechte die zo dicht mogelijk bij alle meetpunten ligt; met de methode van de kleinste kwadraten wordt ze uniek bepaald.
residu: Het verschil tussen een gemeten waarde en de waarde op de rechte (of het model) bij dezelfde $x$ .
kleinste kwadraten: Methode die de rechte kiest waarvoor de som van de kwadraten van de residuen het kleinst is.
R² (determinatiecoëfficiënt): Het deel van de spreiding in $y$ dat de rechte verklaart; 1 = alle punten op de rechte. Bewijst geen lineair verband.
omgekeerd evenredig: Verband $y = k / x$ : het product $x \cdot y$ is constant; verdubbel je $x$ , dan halveert $y$ . De grafiek is een hyperbool.
lineariseren: Grootheden op de assen zetten (bv. $1/ x$ of $x^{2}$ ) zodat een verwacht verband een rechte wordt.
kalibratierechte: Rechte die de ruwe waarde van een sensor koppelt aan de echte waarde, bepaald met een referentie.
spreidingsdiagram: Grafiek met punten op hun echte $x$ - en $y$ -waarde (xy-grafiek); het juiste diagram voor meetreeksen.

Aan de slag in het werkboek14 opdrachten, van oefenen tot uitdagen