FFundamental · deel F3 · Krachten, beweging en constructies

Oplossingen · hoofdstuk 12Hefbomen en mechanismen

Hoe een plank, een touw of een tandwiel een kleine kracht groot maakt, en wat je daarvoor inlevert

Uitgewerkte oplossingen bij de 16 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen6× toepassen5× uitdagen± 366 min

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Trapper, kettingblad, ketting, tandwielen, derailleur: een fiets is een verzameling mechanismen.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

12.1

Draaipunt, kracht en last

Oefenen1Begrijpen15 min

Neem het gereedschap in je hand of kijk naar de foto. Duid bij elk het draaipunt, de kracht en de last aan, en zeg welke soort hefboom het is.

Acht stukken gereedschap, acht hefbomen.

a
Vul in.
(a) schroef; handvatten; het papier tussen de messen; eerste soort. (b) scharnier aan het uiteinde; de handvatten; de noot in het midden; tweede soort. (c) het samengeklemde uiteinde; je vingers in het midden; het voorwerp tussen de punten; derde soort. (d) de rand van de opener die bovenop de dop steunt; je hand aan het handvat; de rand van de dop in het midden; tweede soort. (e) scharnier; handvatten; wat je vastgrijpt of doorknipt tussen de bekken; eerste soort. (f) het verbonden uiteinde; je hand in het midden; het eten aan de punten; derde soort.

12.2

De hefboomwet invullen

Oefenen2Rekenen12 min

Bereken de ontbrekende waarde met

F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}

. Schrijf je berekening op.

a
Vul in.
- (a) $F_{1} = 600 \times 0, 20/1, 2 = 100 N$
- (b) $a_{1} = 400 \times 0, 15/50 = 1, 2 m$
- (c) $F_{2} = 80 \times 0, 90/0, 30 = 240 N$
- (d) $a_{2} = 25 \times 20/100 = 5, 0 cm$

12.3

Hefbomen in je lichaam

Oefenen2Begrijpen12 min

Gebruik de tabel en de figuur uit het handboek.

a
Waarom zijn de meeste hefbomen in je lichaam van de derde soort, ook al kost dat kracht?
Een spier kan maar een paar centimeter samentrekken. Hecht ze dicht bij het gewricht aan, dan beweegt het uiteinde van het bot veel verder en sneller: je wint bereik en snelheid, nodig om te gooien, te lopen en te grijpen.
b
Een harde noot kraak je met je kiezen, niet met je voortanden. Leg uit met de hefboomwet.
Het draaipunt is het kaakgewricht, de kauwspieren trekken dicht erbij. De kiezen liggen dichter bij het draaipunt dan de voortanden: een kortere lastarm. Met dezelfde spierkracht en dezelfde krachtarm wordt de kracht op de noot dan groter.
c
Waarom kan je op je tenen staan met een kuitspier die minder hard trekt dan je gewicht?
Het draaipunt ligt aan de bal van je voet, de last (je gewicht via het scheenbeen) ligt ertussen, de kuitspier trekt aan de hiel, verder weg: tweede soort. De krachtarm is langer dan de lastarm, dus de spier mag minder hard trekken dan je gewicht.

12.4

Tandwielen in een rij

Oefenen2Tekenen12 min

Een motor drijft tandwiel A aan. De motor draait 90 omw/min met de klok mee.

Vier tandwielen A, B, C en D die in elkaar grijpen.

a
Teken bij elk tandwiel een pijltje voor de draairichting.
A met de klok mee, B tegen de klok in, C met de klok mee, D tegen de klok in.
b
Bereken hoe snel B, C en D draaien.
B: $90 \times 12/24 = 45 omw/min$ . C: $45 \times 24/12 = 90 omw/min$ . D: $90 \times 12/36 = 30 omw/min$ .
c
Welke tandwielen zou je kunnen weglaten zonder dat de snelheid van D verandert? Wat verandert er dan wel?
B en C zijn tussenwielen: de snelheid van D hangt alleen af van A en D (90 × 12 / 36 = 30). Laat je B en C allebei weg (A grijpt rechtstreeks in D), dan verandert er niets aan de snelheid en de zin van D: nog altijd 30 omw/min tegen de klok in. Alleen de afstand tussen de assen wordt kleiner. Laat je maar één tussenwiel weg, dan keert de draairichting van D om.

12.5

Touwdelen tellen

Oefenen2Rekenen10 min

Een zak potgrond van 30 kg moet 1,0 m omhoog. Wrijving laten we weg. Gebruik de figuur met katrollen uit het handboek.

a
Bereken de trekkracht en hoeveel touw je binnenhaalt.
$F_{z} = 30 \times 9, 81 = 294 N$ . Vaste katrol: 1 touwdeel, 294 N, 1,0 m. Losse katrol: 2, 147 N, 2,0 m. Takel: 4, 73,6 N, 4,0 m. Takel met 6: 6, 49,1 N, 6,0 m.
b
Waarom gebruik je soms toch een vaste katrol, ook al win je er geen kracht mee?
Omlaag trekken is makkelijker dan optillen: je kan je eigen gewicht gebruiken en je hoeft niet naar boven te klimmen (een vlag hijsen, een emmer uit een put).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

12.6

De kruiwagen met potgrond

Toepassen3Rekenen15 min

Je rijdt potgrond naar de meetkas. De kruiwagen met lading heeft samen een massa van 72 kg. Het zwaartepunt van de lading ligt 45 cm van de as van het wiel, je handen houden de handvatten vast op 1,35 m van de as.

a
Welke soort hefboom is een kruiwagen? Duid draaipunt, kracht en last aan.
Tweede soort: draaipunt = de as van het wiel, last = de lading in het midden, kracht = je handen aan het uiteinde.
b
Met welke kracht moet je de handvatten optillen?
$F_{2} = 72 \times 9, 81 = 706 N$ . $F_{1} = 706 \times 0, 45/1, 35 = 235 N$ .
c
Vergelijk met de kracht om alles rechtstreeks op te tillen. Wie draagt de rest?
Rechtstreeks: 706 N. Met de kruiwagen tillen je handen maar 235 N, een derde. De rest (706 − 235 = 471 N) duwt via het wiel op de grond.
d
Waar leg je zware zakken het best in de kruiwagen: vooraan bij het wiel of achteraan bij de handvatten? Leg uit.
Vooraan, bij het wiel: dan is de lastarm korter en moet je minder hard tillen. Te ver vooraan kan de kruiwagen wel over het wiel kantelen.

12.7

Labo: de hefboomwet onderzoeken

Toepassen3Labo45 min

Voer de proef 'Wanneer is een hefboom in evenwicht?' zelf uit, met een hefboomlat, gewichtjes en een krachtmeter.

a
Voorspel: als je de krachtmeter twee keer zo ver van het draaipunt zet, wat wijst hij dan aan?
De helft.
b
Meet minstens vijf combinaties.
De producten F₁ · a₁ en F₂ · a₂ zijn telkens bijna gelijk (zie de tabel in het handboek).
c
Houd $F_{1}$ en $a_{1}$ vast en meet $F_{2}$ bij vijf verschillende $a_{2}$ . Zet $F_{2}$ uit tegenover $a_{2}$ . Is dat een rechte?
Geen rechte, maar een dalende kromme: bij dubbele arm halve kracht. Het product F₂ · a₂ blijft constant: omgekeerd evenredig (hoofdstuk I3).
d
Formuleer je besluit in één zin. Waar komen de kleine verschillen vandaan?
Een hefboom is in evenwicht als kracht maal arm aan beide kanten gelijk is. Verschillen: aflezen op 0,05 N, de lat die niet perfect horizontaal hangt, de krachtmeter die niet helemaal verticaal trekt, de massa van de haakjes.

Zo wordt dit beoordeeld

Voorspelling	Met een reden (hefboomwet of eigen redenering).
Metingen	Krachtmeter op nul gezet in de stand waarin je meet; armen gemeten vanaf het draaipunt; lat horizontaal bij het aflezen.
Grafiek	Assen met grootheid en eenheid; herkent een dalende kromme (geen rechte): omgekeerd evenredig.
Besluit	F₁ · a₁ = F₂ · a₂ binnen de meetnauwkeurigheid; foutenbronnen benoemd.

12.8

Drie kinderen op de wip

Toepassen3Rekenen15 min

Anna (40 kg) zit op 1,50 m van het draaipunt. Aan de andere kant zit Bram (25 kg) op 1,60 m. Cas (20 kg) wil bij Bram komen zitten.

a
Kantelt de wip naar Anna of naar Bram als Cas er nog niet is? Leg uit met de hefboomwet.
Anna: $40 \times 9, 81 \times 1, 50 = 589$ ; Bram: $25 \times 9, 81 \times 1, 60 = 392$ (in N·m). Anna's kant wint: de wip kantelt naar Anna.
b
Op welke afstand van het draaipunt moet Cas zitten om evenwicht te krijgen?
Er ontbreekt $589 - 392 = 196, 2$ aan Brams kant. Cas: $20 \times 9, 81 = 196, 2 N$ , dus $a = 196, 2/196, 2 = 1, 0 m$ .
c
Cas wil liever helemaal achteraan zitten, op 1,60 m. Wat moet Anna dan doen?
Brams kant: $392 + 196, 2 \times 1, 60 = 392 + 314 = 706$ . Anna moet dan op $706/ (40 \times 9, 81) = 1, 80 m$ zitten, als de wip lang genoeg is.

12.9

De versnellingen van een koersfiets

Toepassen3Rekenen20 min

Een koersfiets heeft vooraan kettingbladen van 50 en 34 tanden en achteraan tandwielen van 11 tot 28 tanden. Het achterwiel heeft een omtrek van 2,10 m.

a
Vul de tabel in.
50/11: 4,55 omw, 9,55 m. 50/28: 1,79 omw, 3,75 m. 34/11: 3,09 omw, 6,49 m. 34/28: 1,21 omw, 2,55 m.
b
Welke combinatie gebruik je om een steile helling op te fietsen, en welke voor een afdaling met de wind in de rug? Waarom?
Helling: 34/28, de kleinste afstand per trapomwenteling: je komt trager vooruit, maar elke omwenteling vraagt het minst kracht. Afdaling: 50/11, de grootste afstand per omwenteling: anders trap je te snel rond om nog kracht te zetten.
c
Hoe snel rijd je in de snelste en in de traagste combinatie, als je 80 keer per minuut rondtrapt? Geef je antwoord in km/h.
50/11: $80 \times 9, 55 = 764 m$ per minuut, $\times 60 = 45800 m/h \approx 46 km/h$ . 34/28: $80 \times 2, 55 = 204 m/min \approx 12 km/h$ .

12.10

Riem of ketting?

Toepassen3Begrijpen15 min

De ventilator van een kas wordt aangedreven door een elektromotor die 1500 omw/min draait. Op de motoras zit een riemschijf van 4,0 cm diameter; op de as van de ventilator een schijf van 12 cm.

a
Hoe snel draait de ventilator? Draait hij in dezelfde zin als de motor?
$i = d_{2} / d_{1} = 12/4, 0 = 3$ ; $n_{2} = 1500/3 = 500 omw/min$ . Open riem: dezelfde zin.
b
Hoe laat je de ventilator de andere kant op draaien zonder de motor te veranderen?
De riem kruisen (of een tussenwiel gebruiken als het om tandwielen gaat).
c
Een klasgenoot wil de riem vervangen door een ketting 'omdat die sterker is'. Geef een argument voor en twee argumenten tegen.
Voor: een ketting slipt niet en brengt grotere krachten over. Tegen: een ventilator heeft geen grote kracht nodig; een ketting maakt meer lawaai, moet gesmeerd worden en roest in de vochtige kas; een riem kan slippen als de ventilator geblokkeerd raakt, zodat er niets breekt.

12.11

Je biceps, opnieuw

Toepassen3Rekenen15 min

Je houdt een fles water van 2,0 kg in je hand, onderarm horizontaal. De fles zit op 30 cm van de elleboog, de biceps hecht aan op 4,0 cm. Je onderarm met hand heeft zelf een massa van 1,5 kg, met het zwaartepunt op 14 cm van de elleboog.

a
Hoe hard moet de biceps trekken voor de fles alleen?
$F = 2, 0 \times 9, 81 \times 30/4, 0 = 147 N$ .
b
Hoeveel extra kracht is nodig voor de onderarm zelf? Hoe groot is de totale spierkracht?
Onderarm: $1, 5 \times 9, 81 \times 14/4, 0 = 51, 5 N$ . Samen: $147 + 51, 5 \approx 199 N$ .
c
Je biceps wordt 1,0 cm korter. Hoe ver stijgt je hand?
De hand zit $30/4, 0 = 7, 5$ keer zo ver van de elleboog: ze stijgt $7, 5 cm$ .

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

12.12

Habitat: het dakraam automatisch openen

Uitdagen4Habitat40 min

In hoofdstuk 25 laat je de meetkas zelf beslissen wanneer het dakraam opengaat. Je denkt nu al na over het mechanisme. Een kleine elektrische duwstang (een lineaire actuator op 12 V) staat verticaal in de kas en duwt van onderen tegen het dakraam, op afstand

a

van het scharnier. De stang kan hoogstens 40 N duwen en schuift hoogstens 4,0 cm uit (de slag). Het dakraam (1,2 kg, zwaartepunt in het midden, 0,60 m diep) moet aan de voorrand minstens 15 cm opengaan.

De duwstang staat op afstand a van het scharnier; h is de opening aan de voorrand.

a
Hoe groot moet $a$ minstens zijn zodat de duwstang het raam kan openen?
$F_{z} = 1, 2 \times 9, 81 = 11, 8 N$ op 0,30 m. Met 40 N: $a = \frac{11 , 8 \times 0 , 30}{40} = 0, 088 m$ . De stang moet minstens 9 cm van het scharnier duwen.
b
Hoe groot mag $a$ hoogstens zijn zodat 4,0 cm slag nog 15 cm opening geeft?
Het punt op afstand $a$ stijgt $a /0, 60$ keer zoveel als de voorrand. Voor 15 cm aan de voorrand mag dat punt 4,0 cm stijgen: $a = 0, 60 \times 4, 0/15 = 0, 16 m$ . Dus hoogstens 16 cm.
c
Kies een waarde voor $a$ met wat reserve aan beide kanten. Bereken voor jouw keuze de kracht en de opening.
Bijvoorbeeld $a = 12 cm$ : kracht $11, 8 \times 0, 30/0, 12 = 29, 5 N$ (onder 40 N), opening $4, 0 \times 60/12 = 20 cm$ (meer dan 15 cm).
d
Bij stroomuitval op een hete dag moet je het raam met de hand kunnen openen. Hoe los je dat op, en welke kracht heb je dan nodig aan de voorrand?
Bijvoorbeeld: de stang met een pen of een klikverbinding aan het raam vastmaken, zodat je ze kan losmaken; dan het raam aan de voorrand optillen (5,9 N) en openzetten met een uitzetstang met gaatjes (een lat met gaten die je op een pennetje hangt).
e
Portfolio: noteer je keuze voor $a$ met de twee voorwaarden die ze bepalen.
Bijvoorbeeld: 'a = 12 cm: 29,5 N (grens 40 N) en 20 cm opening (eis 15 cm).'

Zo wordt dit beoordeeld

Kracht	Hefboomwet correct toegepast: a ≥ 11,8 × 0,30 / 40 ≈ 9 cm.
Afstand	Verhouding van de afstanden correct: a ≤ 0,60 × 4,0 / 15 = 16 cm.
Keuze	Een waarde tussen beide grenzen, met controle van kracht en opening.
Noodopening	Handmatige oplossing met de kracht aan de voorrand (5,9 N) en een manier om het raam open te zetten.

12.13

Ontwerp: een sjadoef voor het regenwater

Uitdagen4Ontwerpen40 min

Je wil regenwater uit een diepe regenput naar de meetkas scheppen met een sjadoef. De paal kantelt op een draaipunt; de emmer hangt 2,0 m van het draaipunt, het tegengewicht 1,0 m aan de andere kant. De emmer weegt vol 11 kg en leeg 1 kg. De paal zelf is in evenwicht op zijn draaipunt.

Een sjadoef met de afmetingen uit de opdracht.

a
Welk tegengewicht houdt de volle emmer precies in evenwicht?
$m \cdot g \times 1, 0 = 11 \cdot g \times 2, 0$ , dus $m = 22 kg$ .
b
Met dat tegengewicht: hoe hard moet je trekken om de lege emmer omlaag in de put te krijgen?
Tegengewicht: $22 \times 9, 81 \times 1, 0 = 216$ ; lege emmer: $1 \times 9, 81 \times 2, 0 = 19, 6$ (N·m). Het tegengewicht wint met 196; je trekt op 2,0 m: $196/2, 0 = 98 N$ omlaag.
c
Zoek een tegengewicht waarbij je even hard moet trekken om de lege emmer te laten zakken als om de volle te laten stijgen. Hoe groot is die kracht?
Kies het tegengewicht zo dat het midden ligt tussen leeg en vol: $(1 + 11) /2 \times 2, 0/1, 0 = 12 kg$ . Lege emmer omlaag: $(12 \times 1, 0 - 1 \times 2, 0) \times 9, 81/2, 0 = 49 N$ . Volle emmer omhoog: $(11 \times 2, 0 - 12 \times 1, 0) \times 9, 81/2, 0 = 49 N$ .
d
Vergelijk met het optillen van de volle emmer zonder sjadoef. Wat is het voordeel van jouw ontwerp?
Zonder sjadoef til je $11 \times 9, 81 = 108 N$ . Met het tegengewicht van 12 kg is het telkens 49 N, minder dan de helft, en de inspanning is verdeeld over zakken en stijgen. (De emmer legt wel 2,0 m af, het tegengewicht maar 1,0 m: de gulden regel.)

Zo wordt dit beoordeeld

Evenwicht	Hefboomwet correct voor de volle emmer: 22 kg tegengewicht.
Kracht bij de lege emmer	Verschil van kracht × arm omgezet naar een trekkracht aan de emmer.
Optimaal ontwerp	Tegengewicht gekozen zodat beide bewegingen even zwaar zijn, met berekening.
Vergelijking	Voordeel in newton uitgedrukt en uitgelegd.

12.14

Maak: een takel of een tandwielkast

Uitdagen4Maken60 min

Bouw met een bouwpakket (of met klosjes, een stok en touw) een takel met minstens vier dragende touwdelen, of een tandwielkast met een overbrenging van minstens 9. Meet daarna hoe goed hij werkt.

a
Maak een schets van je ontwerp. Hoeveel touwdelen of welke tandwielen gebruik je? Welke kracht of snelheid verwacht je?
Bijvoorbeeld een takel met twee vaste en twee losse katrollen (4 touwdelen): verwachte kracht een vierde van de zwaartekracht op de last. Of een tandwielkast met 10 → 30 en 10 → 30 op één tussenas: 3 × 3 = 9.
b
Meet: de trekkracht bij een gekende last (takel), of de omwentelingen van de uitgaande as bij 10 omwentelingen van de ingaande as (tandwielkast).
Typisch meet je bij een takel 10 tot 30 % meer kracht dan verwacht. Bij een tandwielkast klopt het aantal omwentelingen precies (tanden kunnen niet slippen), bij een riem soms niet.
c
Waarom meet je bij de takel een grotere kracht dan de formule voorspelt?
De katrollen draaien met wrijving rond hun as, het touw moet buigen rond de katrollen, en de losse katrollen moeten zelf ook opgetild worden.
d
Hoe zou je je ontwerp verbeteren?
Bijvoorbeeld: katrollen met kogellagers of een gladdere as, een dunner en soepeler touw, lichtere losse katrollen; bij tandwielen: de assen evenwijdig en stevig vastzetten.

Zo wordt dit beoordeeld

Ontwerp	Schets met aantal touwdelen of tanden en de verwachte kracht of overbrenging.
Bouw	Werkt zonder te haperen; touwdelen lopen evenwijdig, tandwielen grijpen goed in elkaar.
Meting	Gemeten tegenover verwacht, verschil in procent.
Verklaring	Wrijving in de assen en het touw, massa van de losse katrollen, speling tussen de tanden.

12.15

De klemhendel van het dakraam

Uitdagen4Rekenen20 min

Om het dakraam van de meetkas in de wind dicht te houden, drukt een klemhendel het raamkader op een rubberen dichting. Het draaipunt zit aan het uiteinde van de hendel; de neus die op het kader drukt, zit 1,5 cm van het draaipunt; je hand duwt op 12 cm.

De klemhendel: draaipunt links, drukneus op 1,5 cm, hand op 12 cm.

a
Welke soort hefboom is de klemhendel?
Tweede soort: het draaipunt aan het uiteinde, de last (het kader) dicht erbij in het midden, je hand aan het andere uiteinde.
b
Je duwt met 15 N. Met welke kracht drukt de neus op het kader?
$F_{2} = 15 \times 12/1, 5 = 120 N$ .
c
Om goed af te sluiten moet de rubberen dichting 5 mm ingedrukt worden. Hoe ver beweegt je hand?
De hand zit $12/1, 5 = 8$ keer zo ver: $8 \times 0, 5 cm = 4, 0 cm$ .
d
Een wind van onderen tegen het raam kan het met ongeveer 60 N optillen. Is de klemhendel sterk genoeg? Waarom kan het gevaarlijk zijn om de hendel te lang te maken?
120 N is meer dan de 60 N van de wind: ja, met een factor 2 reserve. Een te lange hendel geeft een enorme drukkracht: je kan het polycarbonaat of het kader beschadigen zonder het te voelen, en de hendel steekt ver uit, zodat iemand er per ongeluk tegen kan lopen.

12.16

Debat: gratis kracht?

Uitdagen4Argumenteren20 min

Een leerling beweert: 'Met een lang genoeg hefboom til ik een auto op met mijn pink. Dus een hefboom geeft je gratis kracht. Als je twee hefbomen achter elkaar zet, zou je zelfs een machine kunnen bouwen die meer werk levert dan je erin stopt.'

a
Wat klopt er aan de eerste zin? Reken een voorbeeld uit: een auto van 1200 kg, waarvan je één kant optilt (de helft van de zwaartekracht), met een pinkkracht van 20 N.
De helft van de zwaartekracht: $1200 \times 9, 81/2 = 5886 N$ . Verhouding van de armen: $5886/20 \approx 294$ . Met een lastarm van 1 cm zou de krachtarm 2,94 m moeten zijn. Het klopt dus: de kracht kan heel klein.
b
Hoe ver moet je pink bewegen om die kant van de auto 1,0 cm op te tillen?
De pink beweegt 294 keer zo ver: $294 \times 1, 0 cm = 2, 94 m$ .
c
Weerleg de laatste zin met de gulden regel. Geldt je argument ook voor twee hefbomen achter elkaar?
Kracht maal afstand is aan beide kanten gelijk: 20 N × 2,94 m = 5886 N × 0,01 m ≈ 59. Je krijgt er dus niet meer uit dan je erin stopt. Bij twee hefbomen achter elkaar geldt het voor elke hefboom apart, dus ook voor het geheel. Met wrijving krijg je er zelfs altijd iets minder uit. Een machine die meer levert dan je erin stopt (een perpetuum mobile) bestaat niet (hoofdstuk 15).

Zo wordt dit beoordeeld

Rekenwerk	Verhouding van de armen en de afstand correct berekend.
Argument	Gulden regel correct toegepast: kracht × afstand blijft gelijk, ook over meerdere mechanismen.
Nuance	Erkent wat wel klopt (kleine kracht mogelijk) en wat niet (geen gratis werk, wrijving maakt het nog slechter).