Wat er in een staaf, een balk en een mast gebeurt als je ze belast, en hoe dik ze moeten zijn
Je oefent eerst spanning, rek, veiligheid, traagheidsmomenten, doorbuiging en knik in één stap. Daarna meet je zelf de stijfheid van een lat, reken je aan een geprinte sensorhouder, verwerk je een trekproef, verklaar je waarom het kasframe sleufgaten heeft, dimensioneer je flens en fundering van de windturbinemast (opdracht 12.12) en laat je een persoon over de vloerbalk wandelen. De uitdagingen gaan over de lichtste balk, knik met een kromme staaf, een tapse mast en een knikproef met spaghetti.
Een trekproef: de staaf wordt langer, dunner in het midden, en breekt. Uit die ene proef haal je de getallen waarmee dit hoofdstuk rekent.
Hoe lees je een opdracht?
Drie tredenOefenenToepassenUitdagen
Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).
De StemExpert-schaal5
Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
12.1
Spanning en rek
Oefenen6Rekenen15 min
Een trekstang Ø 10 mm van 2,0 m draagt 8,0 kN.
a
Bereken de spanning, de rek en de verlenging als de stang uit staal is (E = 210 GPa).
b
Hoeveel verlengt ze als ze uit aluminium is (E = 70 GPa)?
c
Welke kracht mag een stalen stang S235 van die diameter dragen met een veiligheidsfactor 1,5 op de vloeigrens?
12.2
E uit een meting
Oefenen6Analyseren15 min
Een staaldraad Ø 0,50 mm hangt 2,00 m lang aan een haak, met een kleine voorbelasting die hem strak trekt. Extra gewichten geven deze verlengingen:
a
Bereken de doorsnede en bepaal E uit de helling van ΔL tegen F: F (N) = 10, 20, 30, 40; ΔL (mm) = 0,51, 1,01, 1,54, 2,03.
b
Welke spanning heeft de draad bij 40 N? Waarom mag je die veilig gebruiken voor pianodraad, maar niet voor een koperdraad van dezelfde dikte?
12.3
Een tank hijsen
Oefenen6Rekenen15 min
De drinkwatertank van het station (hoofdstuk 2) weegt vol 530 kg; leeg wordt hij bij de plaatsing aan vier draadstangen van staal klasse 4.6 (vloeigrens 240 MPa) gehesen, samen met een stalen frame: 130 kg. Rekenregels voor hijswerk: een dynamische factor 1,5 (schokken bij het optrekken) en een veiligheidsfactor 3 op de vloeigrens. Spanningsdoorsnede van de schroefdraad: M6 20,1 mm², M8 36,6 mm², M10 58,0 mm².
a
Welke kracht komt op één stang? Welke spanningsdoorsnede is nodig, en welke maat kies je?
b
Mag je dezelfde stangen gebruiken om de volle tank te hijsen?
12.4
Een T-profiel
Oefenen6Rekenen20 min
Een T-profiel heeft een flens van 100 × 10 mm bovenaan en een lijf van 10 × 90 mm eronder (totale hoogte 100 mm).
a
Zoek de hoogte van het zwaartepunt boven de onderkant.
b
Bereken I om de horizontale as door het zwaartepunt met de verschuivingsstelling.
c
Bereken W voor de bovenkant en de onderkant. Waar treedt de grootste buigspanning op, en is dat bij een balk op twee steunen trek of druk?
12.5
Opleggingen tellen
Oefenen6Rekenen15 min
Een aluminium koker 20 × 20 × 1,5 mm (I = 6373 mm⁴, E = 70 GPa) van 0,60 m draagt 50 N.
a
Bereken de grootste doorbuiging als de koker (a) aan één kant ingeklemd is met de last aan het vrije uiteinde, (b) op twee steunen ligt met de last in het midden, (c) aan beide kanten ingeklemd is met de last in het midden.
b
Welke factor ligt er tussen (a) en (c)? Wat leer je daaruit voor het ontwerp van een frame?
12.6
Knik in vier gevallen
Oefenen6Rekenen20 min
Een aluminium koker 20 × 20 × 1,5 mm (A = 111 mm², I = 6373 mm⁴, E = 70 GPa, Rp0,2 = 170 MPa) van 1,0 m staat op druk.
a
Bereken de kniklast van Euler voor de vier gevallen van de tabel.
opleggingen
Lk (mm)
Fk (N)
b
Bereken de kracht waarbij de koker zou vloeien (A · Rp0,2). Voor welk geval is Euler niet meer te vertrouwen? Waarom?
12.7
Waar of niet waar?
Oefenen6Begrijpen15 min
Beoordeel elke uitspraak en verklaar in één of twee zinnen.
a
(a) S355 buigt minder door dan S235 onder dezelfde last. (b) Een buis is sterker bij buiging dan een volle staaf met dezelfde massa. (c) De neutrale lijn ligt altijd in het midden van de hoogte.
b
(d) Een staaf die twee keer zo lang is, knikt bij de helft van de kracht. (e) Een veiligheidsfactor 1,5 betekent dat het onderdeel 1,5 keer te zwaar is. (f) Een bros materiaal krijgt een grotere veiligheidsfactor.
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
12.8
Eigen meting: een lat als uitkraging
Toepassen7Labo45 min
Klem een lat met één uiteinde vast aan een tafel, zodat 0,80 m uitsteekt. Hang gewichten aan het vrije uiteinde en meet de doorbuiging. Meet b en h van de lat op drie plaatsen.
a
Voorspel met δ = FL³/(3EI) en E = 11 GPa de doorbuiging voor 0,2 en 0,5 kg. Meet daarna voor vijf massa's.
m (kg)
F (N)
voorspeld δ (mm)
gemeten δ (mm)
b
Bepaal E uit de helling. Vergelijk met de proef van het handboek (lat op twee steunen).
c
Waarom geeft een uitkraging vaak een te kleine E? Hoe verbeter je de opstelling?
Zo wordt dit beoordeeld
Voorspelling
Formule correct met I = bh³/12 en L tot het aangrijpingspunt; eenheden.
Meting
Vijf punten, nul gecontroleerd na ontlasten, lineair gebied.
Verwerking
E uit de helling, niet uit één punt; vergelijking met de balk op twee steunen.
Kritiek
Inklemming niet perfect (de lat draait een beetje in de klem), eigen gewicht, afleesfout, h³.
12.9
Een geprinte sensorhouder
Toepassen7Rekenen25 min
De sensorhouder SH-1 van de meetkas (hoofdstuk 32 van F) is in PETG geprint: een arm van 6 mm breed en 5 mm hoog draagt een ring op 50 mm van de koker. De sensor zelf weegt bijna niets, maar bij het water geven stoot iemand er met 20 N tegen, aan de ring, loodrecht op de arm. Rekenwaarde voor geprint PETG: 40 MPa langs de lijnen, 20 MPa tussen de lagen.
a
Bereken het moment aan de voet van de arm en de spanning als de stoot (a) in de richting van de 5 mm, (b) in de richting van de 6 mm werkt.
b
De arm is liggend geprint, zodat de lagen evenwijdig aan de arm lopen. Welke sterkte geldt dan? Is de arm sterk genoeg met een veiligheidsfactor 2?
c
Hoe hoog moet de arm zijn (breedte 6 mm) voor een spanning van hoogstens 20 MPa? Welke andere oplossingen zijn er?
12.10
Een trekproef verwerken
Toepassen7Analyseren30 min
Een proefstaaf aluminium (Ø 10,0 mm, meetlengte 50,0 mm) wordt uitgetrokken. De extensometer geeft (voorbeeldmeting; de laatste kolom is het moment van de breuk):
F (kN)
3,14
6,28
9,42
12,57
13,74
14,53
15,32
16,10
16,89
17,67
18,06
15,71
ΔL (mm)
0,029
0,057
0,086
0,119
0,147
0,193
0,301
0,551
1,126
2,405
3,527
5,000
a
Reken om naar spanning en rek en teken het spanning-rekdiagram.
b
Bepaal E uit het rechte begin, Rp0,2 met de verschoven rechte, Rm en de rek bij breuk.
c
Voldoet het materiaal aan de minimumeisen voor 6063-T6 (Rp0,2 ≥ 170 MPa, Rm ≥ 215 MPa)?
12.11
Waarom het kasframe sleufgaten heeft
Toepassen7Rekenen20 min
Een aluminium koker van het kasframe (20 × 20 × 1,5 mm, 1,20 m, A = 111 mm², I = 6373 mm⁴) wordt tussen twee stijve steunen vastgezet bij −5 °C. In de zomer wordt hij 45 °C. Uitzettingscoëfficiënt 23·10⁻⁶ per K (hoofdstuk 6 van F).
a
Hoeveel zou de koker vrij langer worden? Welke spanning ontstaat als hij niet mag uitzetten?
b
Welke drukkracht is dat? Vergelijk met de kniklast (scharnierend, 1,20 m). Wat gebeurt er?
12.12
Habitat: flens en fundering van de windturbinemast
Toepassen7Habitat60 min
De mast (buis 244,5 × 5,0 mm, 12,0 m) staat met een voetflens op 8 ankerbouten M20 klasse 8.8 op een steekcirkel van Ø 340 mm, gelijk verdeeld (de eerste op 22,5° van de windrichting). Karakteristieke lasten aan de voet: M=30,3kNm, V=3,55kN, gewicht mast en gondel 4,95kN. Bout M20: spanningsdoorsnede 245 mm², treksterkte 800 MPa; de Eurocode laat 0,9⋅800⋅245/1,25 toe. Beton: 24 kN/m³.
a
Toon dat voor n bouten op een cirkel de grootste boutkracht F=Mdmax/∑di2 is (d: afstand tot de as door het midden, loodrecht op de wind). Bereken ze met MEd=1,5M en vergelijk met het toegelaten.
b
Een betonblok van 2,0 × 2,0 × 1,0 m of 2,5 × 2,5 × 1,0 m: bereken voor beide de kantelveiligheid om een onderrand en de excentriciteit e = M/N van de kracht op de grond (moment aan de onderkant van het blok).
c
Welk blok kies je? Bereken de grootste gronddruk N/A · (1 + 6e/B).
d
Waarom worden ankerbouten van een windturbinemast voorgespannen? Denk aan hoofdstuk 11.
Zo wordt dit beoordeeld
Bouten
Formule afgeleid (lineaire verdeling, momentenevenwicht); boutkracht berekend en getoetst.
Fundering
Moment aan de onderkant met V · 1,0 m; kantelveiligheid en excentriciteit voor beide blokken.
Keuze
Blok met e binnen B/6 (geen opwippende rand) gekozen; gronddruk berekend.
Inzicht
Voorspanning tegen vermoeiing en losdraaien door de wisselende belasting (1P, 3P) uitgelegd.
12.13
Een persoon wandelt over de vloerbalk
Toepassen7Programmeren30 min
Gebruik de functie balk() uit balk.py van het handboek (reservoir midden op 1,00 m).
a
Laat de persoon (785 N) in stappen van 5 cm van 0,20 m tot 2,20 m wandelen en bewaar telkens het grootste moment en de grootste doorbuiging.
b
Waar is het moment het grootst, en waar de doorbuiging? Waarom liggen die plaatsen niet op dezelfde plek?
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
12.14
Ontwerp: de lichtste stijve balk
Uitdagen8Ontwerpen45 min
Je zoekt een balk met een gegeven lengte en een gegeven buigstijfheid EI, zo licht mogelijk. Neem aan dat de doorsnede een vaste vorm heeft (bv. een vierkante koker met wand = 5 % van de zijde) en alleen groter of kleiner geschaald wordt.
a
Toon dat voor een geschaalde vorm I=cA2 geldt, en dat de massa bij gegeven EI evenredig is met ρ/E.
b
Bereken de 'materiaalindex' E/ρ voor staal, aluminium, vuren en koolstofvezelcomposiet. Welk materiaal geeft de lichtste stijve balk?
materiaal
E (GPa)
ρ (kg/m³)
√E/ρ
c
Waarom zie je dan toch zoveel stalen balken? Noem drie andere eisen.
d
Waarom geldt voor een trekstaaf (gegeven EA) een andere index, E/ρ?
Zo wordt dit beoordeeld
Afleiding
I = cA² voor een geschaalde vorm; massa ∝ ρA ∝ ρ/√E.
Tabel
Indices correct; hout en koolstofvezel winnen, staal verliest.
Afweging
Afmetingen (hout wordt dik), sterkte, prijs, verbindingen, brandveiligheid, duurzaamheid.
Trekstaaf
EA lineair in A: massa ∝ ρ/E.
12.15
Knik met een kromme staaf
Uitdagen8Analyseren40 min
Geen staaf is perfect recht. De steigerbuis van de weermast (Ø 48,3 × 3,2 mm, 6,0 m, Fk=6670N) heeft een beginkromming met pijl e0=L/300=20mm in het midden.
a
Een drukkracht N vergroot de pijl: e=e0/(1−N/Fk). Leg uit waarom (tip: het moment Ne buigt de staaf verder).
b
Bereken de grootste spanning σ=N/A+Ne/W bij de werkelijke drukkracht (1313 N). A=453mm2, W=4797mm3.
c
Bij welke kracht bereikt die spanning de vloeigrens (235 MPa)? Vergelijk met Euler en met de knikkromme van het handboek.
12.16
Een tapse mast
Uitdagen9Programmeren45 min
De spanning in de windturbinemast is onderaan het grootst en bovenaan bijna nul (handboek). Een tapse buis, onder breed en boven smal, zou materiaal besparen. Wanddikte 5 mm, lasten als in het handboek (1,5 kN op de kop, q_p c_f = 700 N/m² op de mast, factor 1,5).
a
Schrijf een programma dat voor een buis met een lineair veranderende diameter het moment, de spanning, de doorbuiging van de kop en de massa berekent (w'' = M/(EI(z)), twee keer integreren).
b
Vergelijk de rechte buis 244,5 mm met een tapse buis van 300 naar 190 mm en van 280 naar 140 mm, ook op de eigenfrequentie (Rayleigh met de vorm onder een kopkracht).
c
Welke eisen moet je nog opnieuw controleren voor de tapse mast? Denk aan hoofdstuk 11.
12.17
Onderzoek: spaghetti knikken
Uitdagen8Onderzoeken50 min
Zet een staaf droge spaghetti rechtop op een keukenweegschaal en druk er langzaam van boven op tot ze uitbuigt. De grootste waarde op de weegschaal is de kniklast. Voorbeeldmeting (Ø 1,8 mm): lengte (mm) 100, 150, 200, 250 → kniklast (N) 1,51, 0,71, 0,37, 0,23.
a
Welk verband verwacht je tussen kniklast en lengte? Zet log F uit tegen log L en bepaal de helling.
b
Welke opleggingen heb je (onderaan op de weegschaal, bovenaan je vinger)? Bereken E van droge spaghetti.
c
Waarom breekt spaghetti bijna altijd in drie of meer stukken, en niet in twee?
d
Ontwerp een eigen meting: welke lengtes, hoeveel herhalingen, hoe hou je de uiteinden scharnierend?
Zo wordt dit beoordeeld
Verband
F ∝ 1/L² verwacht; helling in de log-log-grafiek ±−2.
Berekening
Kniklengte L (beide scharnierend benaderd); E uit F L²/(π² I) met I = πd⁴/64.
Uitleg
Na de eerste breuk trillen de twee helften met een grote kromming (een golf van buiging): een tweede breuk.
Opzet
Minstens vier lengtes, drie herhalingen, uiteinden in een klein putje, langzaam belasten, de hoogste waarde noteren.
ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet
Ik kan normaalspanning, rek en de elasticiteitsmodulus gebruiken om te berekenen hoeveel een staaf rekt en welke doorsnede ze nodig heeft.
Ik kan een spanning-rekdiagram lezen (elastisch, vloeien, versteviging, insnoering, breuk) en taaie en brosse materialen onderscheiden.
Ik kan een veiligheidsfactor, een toelaatbare spanning en de partiële factoren van de Eurocode verklaren en toepassen.
Ik kan dwarskracht en buigmoment van een balk bepalen, de buigspanning My/I afleiden en traagheidsmomenten van doorsneden berekenen, ook met de verschuivingsstelling.
Ik kan de doorbuiging van een balk berekenen met de elastische lijn, met formules voor standaardgevallen en numeriek in Python.
Ik kan de kniklast van Euler afleiden en toepassen met de juiste kniklengte en slankheid, en een mast volledig dimensioneren.
