EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Oplossingen · hoofdstuk 12Sterkteleer

Wat er in een staaf, een balk en een mast gebeurt als je ze belast, en hoe dik ze moeten zijn

Uitgewerkte oplossingen bij de 17 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

7× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 505 min

KKrachten, beweging en constructies MMaterie en chemie DOntwerpen en maken

Een trekproef: de staaf wordt langer, dunner in het midden, en breekt. Uit die ene proef haal je de getallen waarmee dit hoofdstuk rekent.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

12.1

Spanning en rek

Oefenen6Rekenen15 min

Een trekstang Ø 10 mm van 2,0 m draagt 8,0 kN.

a
Bereken de spanning, de rek en de verlenging als de stang uit staal is (E = 210 GPa).
$A = π \cdot 1 0^{2} /4 = 78, 5 m m^{2}$ ; $σ = 8000/78, 5 = 101, 9 MPa$ ; $ε = 101, 9/210 000 = 4, 85 \cdot 1 0^{- 4}$ ; $Δ L = ε L = 0, 97 mm$ .
b
Hoeveel verlengt ze als ze uit aluminium is (E = 70 GPa)?
Zelfde spanning, drie keer de rek: $Δ L = 2, 91 mm$ .
c
Welke kracht mag een stalen stang S235 van die diameter dragen met een veiligheidsfactor 1,5 op de vloeigrens?
$σ_{toel} = 235/1, 5 = 157 MPa$ ; $F = 157 \cdot 78, 5 = 12, 3 kN$ .

12.2

E uit een meting

Oefenen6Analyseren15 min

Een staaldraad Ø 0,50 mm hangt 2,00 m lang aan een haak, met een kleine voorbelasting die hem strak trekt. Extra gewichten geven deze verlengingen:

a
Bereken de doorsnede en bepaal E uit de helling van ΔL tegen F: F (N) = 10, 20, 30, 40; ΔL (mm) = 0,51, 1,01, 1,54, 2,03.
$A = π \cdot 0, 5^{2} /4 = 0, 1963 m m^{2}$ . Helling (rechte door de punten) $0, 0509 mm/N$ ; $E = L / (helling \cdot A) = 2000/ (0, 0509 \cdot 0, 1963) = 200116 MPa$ , dus ±200 GPa: staal.
b
Welke spanning heeft de draad bij 40 N? Waarom mag je die veilig gebruiken voor pianodraad, maar niet voor een koperdraad van dezelfde dikte?
$σ = 40/0, 1963 = 204 MPa$ . Pianodraad (verenstaal) vloeit pas boven 1500 MPa; zacht koper vloeit al rond een honderdtal MPa en zou blijvend uitrekken: de meting geeft dan geen $E$ meer.

12.3

Een tank hijsen

Oefenen6Rekenen15 min

De drinkwatertank van het station (hoofdstuk 2) weegt vol 530 kg; leeg wordt hij bij de plaatsing aan vier draadstangen van staal klasse 4.6 (vloeigrens 240 MPa) gehesen, samen met een stalen frame: 130 kg. Rekenregels voor hijswerk: een dynamische factor 1,5 (schokken bij het optrekken) en een veiligheidsfactor 3 op de vloeigrens. Spanningsdoorsnede van de schroefdraad: M6 20,1 mm², M8 36,6 mm², M10 58,0 mm².

a
Welke kracht komt op één stang? Welke spanningsdoorsnede is nodig, en welke maat kies je?
$F = 130 \cdot 9, 81/4 = 319 N$ ; met 1,5 en 3: $A_{s} \geq 319 \cdot 1, 5 \cdot 3/240 = 6, 0 m m^{2}$ . M6 (20,1 mm²) volstaat ruim.
b
Mag je dezelfde stangen gebruiken om de volle tank te hijsen?
Vol: $530 \cdot 9, 81/4 = 1300 N$ per stang, vereiste $A_{s} = 24, 4 m m^{2}$ : M6 is te klein, M8 (36,6 mm²) zou volstaan. Toch hijs je een volle tank beter niet: het water klotst (een grotere dynamische last dan de factor 1,5 dekt), het zwaartepunt verschuift, en 530 kg boven mensen is een onnodig risico.

12.4

Een T-profiel

Oefenen6Rekenen20 min

Een T-profiel heeft een flens van 100 × 10 mm bovenaan en een lijf van 10 × 90 mm eronder (totale hoogte 100 mm).

a
Zoek de hoogte van het zwaartepunt boven de onderkant.
$\overset{y}{ˉ} = \frac{1000 \cdot 95 + 900 \cdot 45}{1900} = 71, 32 mm$ .
b
Bereken I om de horizontale as door het zwaartepunt met de verschuivingsstelling.
$I = \frac{100 \cdot 1 0 ^{3}}{12} + 1000 \cdot (95 - 71, 32)^{2} + \frac{10 \cdot 9 0 ^{3}}{12} + 900 \cdot (45 - 71, 32)^{2} = 1800044 m m^{4}$ ( $180 c m^{4}$ ).
c
Bereken W voor de bovenkant en de onderkant. Waar treedt de grootste buigspanning op, en is dat bij een balk op twee steunen trek of druk?
$W_{boven} = I /28, 68 = 62754 m m^{3}$ , $W_{onder} = I /71, 32 = 25240 m m^{3}$ . De grootste spanning zit in de verste vezel: onderaan, in het lijf. Bij een balk op twee steunen is dat trek. Met de flens naar onder draai je het om: dan zit de grootste spanning (druk) bovenaan in het dunne lijf, dat kan plooien.

12.5

Opleggingen tellen

Oefenen6Rekenen15 min

Een aluminium koker 20 × 20 × 1,5 mm (I = 6373 mm⁴, E = 70 GPa) van 0,60 m draagt 50 N.

a
Bereken de grootste doorbuiging als de koker (a) aan één kant ingeklemd is met de last aan het vrije uiteinde, (b) op twee steunen ligt met de last in het midden, (c) aan beide kanten ingeklemd is met de last in het midden.
$E I = 70000 \cdot 6373 = 4, 46 \cdot 1 0^{8} N m m^{2}$ . (a) $F L^{3} / (3 E I) = 8, 07 mm$ ; (b) $F L^{3} / (48 E I) = 0, 504 mm$ ; (c) $F L^{3} / (192 E I) = 0, 126 mm$ .
b
Welke factor ligt er tussen (a) en (c)? Wat leer je daaruit voor het ontwerp van een frame?
Factor 64. Stijve verbindingen (hoekplaatjes, lassen) en een tweede steunpunt maken een frame veel stijver dan dikkere profielen: daarom kreeg het kasframe hoekplaatjes en diagonalen.

12.6

Knik in vier gevallen

Oefenen6Rekenen20 min

Een aluminium koker 20 × 20 × 1,5 mm (A = 111 mm², I = 6373 mm⁴, E = 70 GPa, Rp0,2 = 170 MPa) van 1,0 m staat op druk.

a
Bereken de kniklast van Euler voor de vier gevallen van de tabel.
L_k = 2000 mm: F_k = 1101 N; L_k = 1000 mm: F_k = 4403 N; L_k = 700 mm: F_k = 8986 N; L_k = 500 mm: F_k = 17 612 N.
b
Bereken de kracht waarbij de koker zou vloeien (A · Rp0,2). Voor welk geval is Euler niet meer te vertrouwen? Waarom?
$111 \cdot 170 = 18870 N$ . Bij beide uiteinden ingeklemd ( $L_{k} = 500 mm$ ) geeft Euler bijna evenveel als de vloeikracht: $\overset{ˉ}{λ} = 1, 04$ , rond 1, waar onvolkomenheden het meest wegen. Dan geldt de knikkromme: het echte draagvermogen ligt duidelijk onder beide getallen.

12.7

Waar of niet waar?

Oefenen6Begrijpen15 min

Beoordeel elke uitspraak en verklaar in één of twee zinnen.

a
(a) S355 buigt minder door dan S235 onder dezelfde last. (b) Een buis is sterker bij buiging dan een volle staaf met dezelfde massa. (c) De neutrale lijn ligt altijd in het midden van de hoogte.
(a) Niet waar: E is gelijk, dus ook de doorbuiging; S355 houdt alleen meer spanning. (b) Waar: het materiaal ligt verder van de neutrale lijn, I en W zijn groter. (c) Niet waar: ze gaat door het zwaartepunt van de doorsnede, bij een T-profiel dus dichter bij de flens.
b
(d) Een staaf die twee keer zo lang is, knikt bij de helft van de kracht. (e) Een veiligheidsfactor 1,5 betekent dat het onderdeel 1,5 keer te zwaar is. (f) Een bros materiaal krijgt een grotere veiligheidsfactor.
(d) Niet waar: bij een kwart (L² in de noemer). (e) Niet waar: het is een marge voor de spreiding van lasten, materiaal en model; zonder die marge zou het onderdeel in een ongunstig geval falen. (f) Waar: het waarschuwt niet door te vervormen en is gevoeliger voor krassen en spanningspieken.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

12.8

Eigen meting: een lat als uitkraging

Toepassen7Labo45 min

Klem een lat met één uiteinde vast aan een tafel, zodat 0,80 m uitsteekt. Hang gewichten aan het vrije uiteinde en meet de doorbuiging. Meet b en h van de lat op drie plaatsen.

a
Voorspel met δ = FL³/(3EI) en E = 11 GPa de doorbuiging voor 0,2 en 0,5 kg. Meet daarna voor vijf massa's.
Voor een lat van 12 × 45 mm: $I = 6480 m m^{4}$ , $δ / F = 80 0^{3} / (3 \cdot 11000 \cdot 6480) = 2, 39 mm/N$ : bij 0,2 kg 4,7 mm, bij 0,5 kg 11,7 mm.
b
Bepaal E uit de helling. Vergelijk met de proef van het handboek (lat op twee steunen).
$E = L^{3} / (3 \cdot helling \cdot I)$ . Verwacht een waarde tussen 9 en 12 GPa; de balk op twee steunen gaf ±10,5 GPa.
c
Waarom geeft een uitkraging vaak een te kleine E? Hoe verbeter je de opstelling?
Een klem houdt de lat nooit helemaal vast: ze draait een beetje, en die hoek wordt aan het uiteinde vermenigvuldigd met L. De lat lijkt dan slapper (kleinere E). Beter: een lange, stijve klem met twee klemmen achter elkaar, of de verplaatsing ook vlak bij de klem meten en aftrekken.

Zo wordt dit beoordeeld

Voorspelling	Formule correct met I = bh³/12 en L tot het aangrijpingspunt; eenheden.
Meting	Vijf punten, nul gecontroleerd na ontlasten, lineair gebied.
Verwerking	E uit de helling, niet uit één punt; vergelijking met de balk op twee steunen.
Kritiek	Inklemming niet perfect (de lat draait een beetje in de klem), eigen gewicht, afleesfout, h³.

12.9

Een geprinte sensorhouder

Toepassen7Rekenen25 min

De sensorhouder SH-1 van de meetkas (hoofdstuk 32 van F) is in PETG geprint: een arm van 6 mm breed en 5 mm hoog draagt een ring op 50 mm van de koker. De sensor zelf weegt bijna niets, maar bij het water geven stoot iemand er met 20 N tegen, aan de ring, loodrecht op de arm. Rekenwaarde voor geprint PETG: 40 MPa langs de lijnen, 20 MPa tussen de lagen.

a
Bereken het moment aan de voet van de arm en de spanning als de stoot (a) in de richting van de 5 mm, (b) in de richting van de 6 mm werkt.
$M = 20 \cdot 50 = 1000 N mm$ . (a) $W = 6 \cdot 5^{2} /6 = 25 m m^{3}$ : $σ = 40 MPa$ . (b) $W = 5 \cdot 6^{2} /6 = 30 m m^{3}$ : $σ = 33 MPa$ .
b
De arm is liggend geprint, zodat de lagen evenwijdig aan de arm lopen. Welke sterkte geldt dan? Is de arm sterk genoeg met een veiligheidsfactor 2?
Liggend geprint lopen de lijnen langs de arm: de buigspanning werkt langs de lijnen, dus 40 MPa. Met n = 2 mag de spanning hoogstens 20 MPa zijn: de arm is twee keer te zwak. (Staand geprint zou buiging de lagen uit elkaar trekken: dan geldt 20 MPa en breekt hij bij de eerste stoot.)
c
Hoe hoog moet de arm zijn (breedte 6 mm) voor een spanning van hoogstens 20 MPa? Welke andere oplossingen zijn er?
$W = b h^{2} /6 \geq 1000/20 = 50 m m^{3}$ , dus $h \geq 6 \cdot 50/6 = 7, 07 mm$ : kies 7,5 mm. Of: de steunwig groter maken (kortere arm), een ribbe onder de arm, of de ring zo plaatsen dat een stoot hem opzij duwt in plaats van de arm te buigen.

12.10

Een trekproef verwerken

Toepassen7Analyseren30 min

Een proefstaaf aluminium (Ø 10,0 mm, meetlengte 50,0 mm) wordt uitgetrokken. De extensometer geeft (voorbeeldmeting; de laatste kolom is het moment van de breuk):

$F$ (kN)	3,14	6,28	9,42	12,57	13,74	14,53	15,32	16,10	16,89	17,67	18,06	15,71
$Δ L$ (mm)	0,029	0,057	0,086	0,119	0,147	0,193	0,301	0,551	1,126	2,405	3,527	5,000

a
Reken om naar spanning en rek en teken het spanning-rekdiagram.
$A_{0} = 78, 54 m m^{2}$ ; $σ = F / A_{0}$ en $ε = Δ L /50$ . De eerste punten: 40 MPa bij 0,057 %, 120 MPa bij 0,171 %.
b
Bepaal E uit het rechte begin, Rp0,2 met de verschoven rechte, Rm en de rek bij breuk.
$E = 40/ (0, 0571/100) \approx 70 GPa$ (uit de eerste punten). $R_{p0,2}$ : de rechte $σ = E (ε - 0, 2 %)$ snijdt de kromme bij ±190 MPa. $R_{m} = 230 MPa$ (de grootste kracht, 18,06 kN). Rek bij breuk: ±10 % (het elastische deel, 0,3 %, veert bij de breuk terug).
c
Voldoet het materiaal aan de minimumeisen voor 6063-T6 (Rp0,2 ≥ 170 MPa, Rm ≥ 215 MPa)?
Ja: 190 ≥ 170 en 230 ≥ 215 MPa. Het certificaat van een leverancier vermeldt zulke meetwaarden per lot.

12.11

Waarom het kasframe sleufgaten heeft

Toepassen7Rekenen20 min

Een aluminium koker van het kasframe (20 × 20 × 1,5 mm, 1,20 m, A = 111 mm², I = 6373 mm⁴) wordt tussen twee stijve steunen vastgezet bij −5 °C. In de zomer wordt hij 45 °C. Uitzettingscoëfficiënt 23·10⁻⁶ per K (hoofdstuk 6 van F).

a
Hoeveel zou de koker vrij langer worden? Welke spanning ontstaat als hij niet mag uitzetten?
$Δ L = α L Δ T = 23 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1200 \cdot 50 = 1, 38 mm$ (hoofdstuk 6 van F: 1,4 mm). Belet: $σ = E α Δ T = 70000 \cdot 23 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 50 = 80, 5 MPa$ , onafhankelijk van de lengte!
b
Welke drukkracht is dat? Vergelijk met de kniklast (scharnierend, 1,20 m). Wat gebeurt er?
$F = σ A = 8936 N$ , tegenover $F_{k} = π^{2} E I / L^{2} = 3058 N$ : de koker knikt al bij een derde van de opwarming. Daarom zit het frame in het midden vast en hebben de uiteinden sleufgaten: dan kan het uitzetten zonder kracht.

12.12

Habitat: flens en fundering van de windturbinemast

Toepassen7Habitat60 min

De mast (buis 244,5 × 5,0 mm, 12,0 m) staat met een voetflens op 8 ankerbouten M20 klasse 8.8 op een steekcirkel van Ø 340 mm, gelijk verdeeld (de eerste op 22,5° van de windrichting). Karakteristieke lasten aan de voet:

M = 30, 3 kN m

V = 3, 55 kN

, gewicht mast en gondel

4, 95 kN

. Bout M20: spanningsdoorsnede 245 mm², treksterkte 800 MPa; de Eurocode laat

0, 9 \cdot 800 \cdot 245/1, 25

toe. Beton: 24 kN/m³.

a
Toon dat voor $n$ bouten op een cirkel de grootste boutkracht $F = M d_{max} / \sum d_{i}^{2}$ is ( $d$ : afstand tot de as door het midden, loodrecht op de wind). Bereken ze met $M_{Ed} = 1, 5 M$ en vergelijk met het toegelaten.
Onderstel dat de flens draait om de as door het midden: de rek (en kracht) in bout $i$ is evenredig met $d_{i}$ : $F_{i} = c d_{i}$ . Momentenevenwicht: $M = \sum F_{i} d_{i} = c \sum d_{i}^{2}$ , dus $F_{max} = M d_{max} / \sum d_{i}^{2}$ . Met 8 bouten is $\sum d_{i}^{2} = 4 R^{2}$ en $d_{max} = R sin 67, 5^{\circ}$ : $F = 45, 5 \cdot 0, 1571/0, 1156 = 61, 8 kN$ , tegenover $0, 9 \cdot 800 \cdot 245/1, 25 = 141 kN$ : 44 % benut.
b
Een betonblok van 2,0 × 2,0 × 1,0 m of 2,5 × 2,5 × 1,0 m: bereken voor beide de kantelveiligheid om een onderrand en de excentriciteit e = M/N van de kracht op de grond (moment aan de onderkant van het blok).
Moment aan de onderkant: $30, 3 + 3, 55 \cdot 1, 0 = 33, 9 kN m$ . Blok 2,0 m: $N = 101 kN$ , kantelveiligheid $N \cdot B /2/ M = 3, 0$ , $e = 0, 336 m$ (groter dan $B /6 = 0, 33 m$ : een rand komt los). Blok 2,5 m: $N = 155 kN$ , veiligheid 5,7, $e = 0, 219 m < 0, 42 m$ .
c
Welk blok kies je? Bereken de grootste gronddruk N/A · (1 + 6e/B).
Het blok van 2,5 m: de hele grond blijft gedrukt. Grootste gronddruk $155/6, 25 \cdot (1 + 6 \cdot 0, 219/2, 5) = 37, 8 kPa$ : klein tegenover wat een gewone bodem draagt (±100 kPa en meer). Het blok is dus niet nodig voor de gronddruk, wel tegen kantelen en om de mast stijf in te klemmen (een fundering die kantelt, verlaagt $f_{1}$ ).
d
Waarom worden ankerbouten van een windturbinemast voorgespannen? Denk aan hoofdstuk 11.
De buigende last wisselt honderden miljoenen keren (1P, 3P, windstoten). Een voorgespannen bout houdt de flens altijd tegen het beton gedrukt: de wisselende kracht verandert dan vooral de druk tussen flens en beton en nauwelijks de kracht in de bout. Zonder voorspanning zou de bout de hele wisseling zien, en vermoeiing zou hem na enkele jaren breken; bovendien draait hij los.

Zo wordt dit beoordeeld

Bouten	Formule afgeleid (lineaire verdeling, momentenevenwicht); boutkracht berekend en getoetst.
Fundering	Moment aan de onderkant met V · 1,0 m; kantelveiligheid en excentriciteit voor beide blokken.
Keuze	Blok met e binnen B/6 (geen opwippende rand) gekozen; gronddruk berekend.
Inzicht	Voorspanning tegen vermoeiing en losdraaien door de wisselende belasting (1P, 3P) uitgelegd.

12.13

Een persoon wandelt over de vloerbalk

Toepassen7Programmeren30 min

Gebruik de functie balk() uit balk.py van het handboek (reservoir midden op 1,00 m).

Laat de persoon (785 N) in stappen van 5 cm van 0,20 m tot 2,20 m wandelen en bewaar telkens het grootste moment en de grootste doorbuiging.

Bijvoorbeeld:

resultaten = []
for xp in np.arange(0.2, 2.21, 0.05):
    RA, RB, V, M, w = balk(eigen + reservoir, [(80 * 9.81, xp)])
    resultaten.append((M.max(), w.max(), xp))
print(max(resultaten))                          # grootste moment
print(max(resultaten, key=lambda r: r[1]))     # grootste doorbuiging

b
Waar is het moment het grootst, en waar de doorbuiging? Waarom liggen die plaatsen niet op dezelfde plek?
Het grootste moment (842 N·m) krijg je met de persoon op 1,10 m, de grootste doorbuiging (3,41 mm) met de persoon op 1,20 m. Het moment piekt waar de persoon het reservoir 'bijstaat' (samen het grootste moment in één doorsnede); de doorbuiging is een integraal over de hele balk en is het grootst als de persoon dicht bij het midden staat.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

12.14

Ontwerp: de lichtste stijve balk

Uitdagen8Ontwerpen45 min

Je zoekt een balk met een gegeven lengte en een gegeven buigstijfheid EI, zo licht mogelijk. Neem aan dat de doorsnede een vaste vorm heeft (bv. een vierkante koker met wand = 5 % van de zijde) en alleen groter of kleiner geschaald wordt.

a
Toon dat voor een geschaalde vorm $I = c A^{2}$ geldt, en dat de massa bij gegeven $E I$ evenredig is met $ρ / E$ .
Schaal je alle maten met een factor $s$ , dan is $A \propto s^{2}$ en $I \propto s^{4}$ , dus $I = c A^{2}$ . Gegeven $E I = E c A^{2}$ : $A = E I / (c E) \propto 1/ E$ , en de massa $ρ A L \propto ρ / E$ . Hoe groter $E / ρ$ , hoe lichter.
b
Bereken de 'materiaalindex' $E / ρ$ voor staal, aluminium, vuren en koolstofvezelcomposiet. Welk materiaal geeft de lichtste stijve balk?
staal: 1,85; aluminium: 3,10; vuren: 7,90; koolstofvezelcomposiet (langs de vezel): 6,25 (in $GPa$ per 1000 kg/m³). Hout en koolstofvezel geven de lichtste stijve balk; staal is per kilogram het slechtst.
c
Waarom zie je dan toch zoveel stalen balken? Noem drie andere eisen.
Een houten balk met dezelfde stijfheid is veel dikker (ruimte, hoogte van de vloer); staal is sterker per volume, goedkoop, makkelijk te verbinden (lassen, bouten), niet brandbaar, recycleerbaar en voorspelbaar. Koolstofvezel is duur en moeilijk te verbinden. De keuze is een afweging van meerdere eisen (hoofdstuk 28: Ashby-diagrammen).
d
Waarom geldt voor een trekstaaf (gegeven EA) een andere index, E/ρ?
Een trekstaaf rekt $F L / (E A)$ : voor gegeven $E A$ is $A \propto 1/ E$ , dus massa $\propto ρ / E$ . Daar is de vorm onbelangrijk, en wint koolstofvezel ruim; staal en aluminium zijn dan gelijkwaardig ( $E / ρ$ bijna gelijk).

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	I = cA² voor een geschaalde vorm; massa ∝ ρA ∝ ρ/√E.
Tabel	Indices correct; hout en koolstofvezel winnen, staal verliest.
Afweging	Afmetingen (hout wordt dik), sterkte, prijs, verbindingen, brandveiligheid, duurzaamheid.
Trekstaaf	EA lineair in A: massa ∝ ρ/E.

12.15

Knik met een kromme staaf

Uitdagen8Analyseren40 min

Geen staaf is perfect recht. De steigerbuis van de weermast (Ø 48,3 × 3,2 mm, 6,0 m,

F_{k} = 6670 N

) heeft een beginkromming met pijl

e_{0} = L /300 = 20 mm

in het midden.

a
Een drukkracht $N$ vergroot de pijl: $e = e_{0} / (1 - N / F_{k})$ . Leg uit waarom (tip: het moment $N e$ buigt de staaf verder).
De kromme staaf onder $N$ krijgt een moment $N (e_{0} + w)$ , dat ze verder buigt. Met een sinusvorm is de extra uitbuiging per stap een factor $N / F_{k}$ van de vorige: een meetkundige reeks $e_{0} (1 + N / F_{k} + (N / F_{k})^{2} + \dots) = e_{0} / (1 - N / F_{k})$ . Bij $N \to F_{k}$ groeit de pijl zonder grens.
b
Bereken de grootste spanning $σ = N / A + N e / W$ bij de werkelijke drukkracht (1313 N). $A = 453 m m^{2}$ , $W = 4797 m m^{3}$ .
$N / F_{k} = 0, 197$ ; $e = 20/ (1 - 0, 197) = 24, 9 mm$ ; $σ = 1313/453 + 1313 \cdot 24, 9/4797 = 9, 7 MPa$ : ver onder 235.
c
Bij welke kracht bereikt die spanning de vloeigrens (235 MPa)? Vergelijk met Euler en met de knikkromme van het handboek.
Numeriek (of met de formule van Perry): de vloeigrens wordt bereikt bij $N \approx 5930 N$ , iets onder Euler (6670 N) en dicht bij knikkromme c (5938 N). De knikkrommen van de Eurocode zijn precies zo afgeleid: een staaf met een beginkromming en restspanningen die vloeit in de verste vezel.

12.16

Een tapse mast

Uitdagen9Programmeren45 min

De spanning in de windturbinemast is onderaan het grootst en bovenaan bijna nul (handboek). Een tapse buis, onder breed en boven smal, zou materiaal besparen. Wanddikte 5 mm, lasten als in het handboek (1,5 kN op de kop, q_p c_f = 700 N/m² op de mast, factor 1,5).

Schrijf een programma dat voor een buis met een lineair veranderende diameter het moment, de spanning, de doorbuiging van de kop en de massa berekent (w'' = M/(EI(z)), twee keer integreren).

Bijvoorbeeld:

import math
import numpy as np
L, E, t = 12.0, 210e9, 0.005
z = np.linspace(0, L, 1201)
w_wind, F_kop, m_top = 1000 * 0.7, 1500.0, 150.0


def integreer(y):
    return np.concatenate([[0.0], np.cumsum((y[1:] + y[:-1]) / 2 * np.diff(z))])


def mast(D_voet, D_kop):
    D = D_voet + (D_kop - D_voet) * z / L                  # tapse buis: diameter lineair
    I = np.pi / 64 * (D**4 - (D - 2 * t)**4)
    A = np.pi / 4 * (D**2 - (D - 2 * t)**2)
    M = F_kop * (L - z) + np.array([np.trapezoid(w_wind * D[i:] * (z[i:] - z[i]), z[i:]) for i in range(len(z))])
    w = integreer(integreer(M / (E * I)))                   # w'' = M/(EI), w(0) = w'(0) = 0
    sigma = 1.5 * M / (I / (D / 2))
    w1 = integreer(integreer((L - z) / (E * I)))           # 1 N op de kop: vorm en stijfheid k = 1/w1(L)
    m_eff = m_top + np.trapezoid(7850 * A * (w1 / w1[-1])**2, z)
    f1 = math.sqrt(1 / w1[-1] / m_eff) / (2 * math.pi)
    return 7850 * np.trapezoid(A, z), sigma.max() / 1e6, w[-1] * 1000, f1

for Dv, Dk in ((0.2445, 0.2445), (0.30, 0.19), (0.28, 0.14)):
    m, s, w, f1 = mast(Dv, Dk)
    print(f"voet {1000 * Dv:3.0f} mm, kop {1000 * Dk:3.0f} mm: {m:3.0f} kg, sigma {s:3.0f} MPa, kop {w:3.0f} mm, f1 {f1:.2f} Hz")

Echte uitvoer:

voet 244 mm, kop 244 mm: 354 kg, sigma 206 MPa, kop 231 mm, f1 1.03 Hz
voet 300 mm, kop 190 mm: 355 kg, sigma 131 MPa, kop 163 mm, f1 1.24 Hz
voet 280 mm, kop 140 mm: 303 kg, sigma 141 MPa, kop 221 mm, f1 1.07 Hz

b
Vergelijk de rechte buis 244,5 mm met een tapse buis van 300 naar 190 mm en van 280 naar 140 mm, ook op de eigenfrequentie (Rayleigh met de vorm onder een kopkracht).
Met dezelfde massa (300 naar 190 mm) daalt de grootste spanning met een derde en wijkt de kop een derde minder uit: het staal zit onderaan, waar het moment het grootst is. Maar die mast is te stijf: f₁ = 1,24 Hz, boven de grens van 1,21 Hz uit hoofdstuk 11. De slankere tapse buis (280 naar 140 mm) is 14 % lichter dan de rechte, sterker (141 MPa), wijkt iets minder uit en blijft met 1,08 Hz onder 1P.
c
Welke eisen moet je nog opnieuw controleren voor de tapse mast? Denk aan hoofdstuk 11.
Plooien: onderaan is D/t = 56 voor 280 × 5 mm (meer dan 50): het onderste stuk krijgt 6 mm wand of een versterking. De eigenfrequentie (net gedaan). Verder de flens (groter), vermoeiing van de langsnaad, de productie (tapse masten worden uit plaat gerold en in de lengte gelast, vaak in stukken die in elkaar schuiven) en het transport.

12.17

Onderzoek: spaghetti knikken

Uitdagen8Onderzoeken50 min

Zet een staaf droge spaghetti rechtop op een keukenweegschaal en druk er langzaam van boven op tot ze uitbuigt. De grootste waarde op de weegschaal is de kniklast. Voorbeeldmeting (Ø 1,8 mm): lengte (mm) 100, 150, 200, 250 → kniklast (N) 1,51, 0,71, 0,37, 0,23.

a
Welk verband verwacht je tussen kniklast en lengte? Zet log F uit tegen log L en bepaal de helling.
Euler: $F \propto 1/ L^{2}$ , dus in een log-log-grafiek een rechte met helling −2. De meting geeft −2,06.
b
Welke opleggingen heb je (onderaan op de weegschaal, bovenaan je vinger)? Bereken E van droge spaghetti.
Beide uiteinden kunnen draaien maar niet opzij: $L_{k} = L$ . $I = π \cdot 1, 8^{4} /64 = 0, 515 m m^{4}$ ; $E = F L^{2} / (π^{2} I)$ , gemiddeld 2959 MPa (±3,0 GPa), een typische orde voor droge pasta.
c
Waarom breekt spaghetti bijna altijd in drie of meer stukken, en niet in twee?
Als de staaf op één plaats breekt, springen de twee helften plots terug. Die terugslag loopt als een buiggolf door elke helft en verhoogt de kromming plaatselijk: vaak boven de breukgrens, zodat een tweede breuk ontstaat. (Dat werd in 2005 met hogesnelheidsfilms aangetoond.)
d
Ontwerp een eigen meting: welke lengtes, hoeveel herhalingen, hoe hou je de uiteinden scharnierend?
Bijvoorbeeld: lengtes 80, 120, 160, 200 en 240 mm, telkens vijf staafjes; uiteinden in een kleine deuk in een stukje hout (scharnier); langzaam drukken; de hoogste waarde op de weegschaal noteren; gemiddelde en spreiding per lengte; log-log-grafiek met een rechte door de gemiddelden.

Zo wordt dit beoordeeld

Verband	F ∝ 1/L² verwacht; helling in de log-log-grafiek ±−2.
Berekening	Kniklengte L (beide scharnierend benaderd); E uit F L²/(π² I) met I = πd⁴/64.
Uitleg	Na de eerste breuk trillen de twee helften met een grote kromming (een golf van buiging): een tweede breuk.
Opzet	Minstens vier lengtes, drie herhalingen, uiteinden in een klein putje, langzaam belasten, de hoogste waarde noteren.