EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Handboek · hoofdstuk 9Impuls en botsingen

Wat een botsing doet, hangt af van hoe lang ze duurt: van karretjes tot raketten en pakketten aan een parachute

Een bal die terugkaatst, een raket die zich afzet tegen zijn eigen uitlaatgassen, een auto die zich opvouwt tegen een muur: telkens verandert een impuls, en de kracht die daarvoor nodig is, hangt af van hoe lang het duurt. Je leert de stoot als oppervlakte onder een krachtcurve, het behoud van impuls als gevolg van de derde wet, het verschil tussen elastische en inelastische botsingen, en de raketvergelijking van Tsiolkovski. Met dezelfde ideeën ontwerp je de bevoorrading van Habitat: hoeveel vermogen een drone nodig heeft om te hangen, en hoe een pakket veilig neerkomt.

7× uitleg7× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code17 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren

Een pakket van 2 kg valt van 40 m: zonder parachute met bijna 18 m/s, met parachute met minder dan 5 m/s.

Na dit hoofdstuk

Je kan impuls als vector gebruiken, de tweede wet schrijven als F = dp/dt, en de stoot berekenen als oppervlakte onder F(t), ook uit meetwaarden met de trapeziumregel.
Je kan het behoud van impuls afleiden uit de derde wet, toepassen op botsingen, terugstoot en explosies, en controleren met een botsingsproef.
Je kan elastische en inelastische botsingen in één dimensie oplossen, de restitutiecoëfficiënt en het energieverlies berekenen, en botsingen in het vlak met vectoren behandelen.
Je kan de raketvergelijking van Tsiolkovski afleiden, er massaverhoudingen en trappen mee beoordelen, en een waterraket simuleren.
Je kan straalkracht F = ṁ v toepassen op een sproeier en op de rotoren van een drone (impulstheorie, vermogen om te hangen).
Je kan met stoot en remweg verklaren hoe een kreukelzone, gordel, airbag of verpakking de krachten verkleint, en een parachute en verpakking voor een pakket dimensioneren.

Verhaal · 9.1

Tsiolkovski en de raket

1/21

Konstantin Tsiolkovski werd in 1857 geboren in Izjevskoje, een dorp in het gouvernement Rjazan. Toen hij negen was, maakte roodvonk hem bijna doof; op school kon hij niet meer volgen. Als tiener trok hij naar Moskou en leerde drie jaar lang zelf wiskunde, natuurkunde en sterrenkunde in de bibliotheek van het Roemjantsev-museum. Daarna werd hij leraar rekenen en meetkunde, eerst in Borovsk en vanaf 1892 in Kaloega, en in zijn vrije tijd rekende en schreef hij over vliegen, luchtschepen en de ruimte.

Op 10 mei 1897 schreef hij in zijn schrift een formule die zijn naam zou dragen: de snelheid die een raket kan winnen, hangt alleen af van de snelheid van zijn uitlaatgassen en van de verhouding tussen zijn massa bij de start en bij brandsluiting. In mei 1903 verscheen zijn artikel 'Onderzoek van de wereldruimte met reactietoestellen' in het tijdschrift Naoetsjnoje Obozrenieje. Hij stelde er vloeibare waterstof en zuurstof als brandstof voor, en later, in 1929, raketten die trap na trap hun lege tanks achterlaten. In een brief uit 1911 schreef hij dat de aarde de wieg van de mensheid is, maar dat niemand eeuwig in een wieg kan blijven.

Tsiolkovski was niet de enige. De Britse wiskundige William Moore had dezelfde vergelijking al in 1810 afgeleid voor militaire raketten (in boekvorm in 1813), maar niemand deed er iets mee. De Duitser Hermann Oberth publiceerde in 1923 Die Rakete zu den Planetenräumen, en de Amerikaan Robert Goddard lanceerde op 16 maart 1926 in Auburn (Massachusetts) de eerste raket op vloeibare brandstof: ze vloog 2,5 seconden, 12,5 m hoog en kwam 56 m verder neer. Tsiolkovski bouwde zelf nooit een raket. Hij stierf in 1935 in Kaloega. Op 4 oktober 1957, iets meer dan honderd jaar na zijn geboorte, bracht een raket Spoetnik 1 in een baan om de aarde.

De raketvergelijking is een toepassing van één eenvoudig idee: impuls die je nergens kwijtraakt. Wat de raket naar achteren wegstoot, duwt haar naar voren. Hetzelfde idee verklaart waarom een drone kan hangen, waarom een airbag je leven redt en hoe een pakket veilig uit de lucht komt.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Het station wordt om de 30 dagen bevoorraad; dringende onderdelen en stalen komen tussendoor met een drone. Het brein moet weten hoeveel energie zo'n vlucht kost, waar de drone moet loslaten en of de inhoud de landing overleeft. Dat zijn vragen over impuls, stoot en botsduur.

In zijn huis in Kaloega rekende een dove wiskundeleraar uit wat een raket nodig heeft om de ruimte te bereiken.

Uitleg · 9.2

Wat je al weet: impuls en de tweede wet

2/21

wat je al kan	wat nu komt
$F = m a$ en actie en reactie (hoofdstuk 8 van I)	$F = d p / d t$ : de tweede wet voor impuls, en behoud van impuls uit de derde wet
kinetische energie en rendement (hoofdstuk 9 van I)	welke botsingen energie verliezen, en hoeveel
de integraal als oppervlakte, de trapeziumregel (hoofdstuk 3)	de stoot $\int F d t$ uit een krachtmeting
scheiden van veranderlijken, Euler en Heun (hoofdstuk 4)	de raketvergelijking; een waterraket en een parachute simuleren
vectoren en worpen (hoofdstuk 5 en 8)	impuls als vector: botsingen in het vlak, een pakket uit een drone

Newton schreef zijn tweede wet oorspronkelijk niet als $F = ma$ , maar als: de verandering van de 'hoeveelheid beweging' is evenredig met de kracht. Die hoeveelheid heet nu impuls:

impuls, tweede wet en stoot

p = m v F_{res} = \frac{d p}{d t} J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t = Δ p

Impuls is een vector (kg·m/s), met de richting van de snelheid. De stoot

J

(N·s) is de integraal van de kracht over de tijd: de oppervlakte onder

F (t)

. Bij constante massa is

d p / d t = m d v / d t = m a

Waarom zou je die omweg maken? Omdat bij een botsing de kracht een paar milliseconden duurt en razendsnel verandert: niemand kent $F (t)$ precies. Maar voor en na de botsing ken je de snelheden, dus de stoot. Deel je die door de botsduur, dan heb je de gemiddelde kracht: $F_{gem} = Δ p /Δ t$ . De rechthoek in de figuur heeft dezelfde oppervlakte als de kromme.

Daaruit volgt meteen de sleutel van dit hoofdstuk: dezelfde impulsverandering in een langere tijd vraagt een kleinere kracht. Een voetballer die een bal opvangt, beweegt mee; een kreukelzone vouwt; een pakket landt in schuim. En omgekeerd: wie een grote kracht wil, maakt de botsing kort, zoals een hamer op een spijker.

Een zware vrachtwagen en een fiets met dezelfde snelheid hebben dezelfde 'vaart'

Ze hebben dezelfde snelheid, maar niet dezelfde impuls. Om ze in dezelfde tijd tot stilstand te brengen, vraagt de vrachtwagen een honderden keren grotere kracht. Impuls combineert massa en snelheid; dat is wat een botsing voelt.

De stoot is de oppervlakte onder F(t); de gemiddelde kracht maal de botsduur geeft dezelfde oppervlakte.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.3

Een stoot meten met een krachtplaat

3/21

Een voetbal van 0,43 kg valt met 8,0 m/s op een krachtplaat die om de milliseconde meet (voorbeeldmeting):

$t$ (ms)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$F$ (N)	0	364	670	901	1038	1031	902	659	356	4	0

Bereken de stoot met de trapeziumregel, de gemiddelde en de grootste kracht, en de snelheid waarmee de bal terugkaatst. Welk deel van de energie gaat verloren?

De meetpunten liggen op een halve sinus; de oppervlakte eronder is de stoot.

Gegeven

$m = 0, 43 kg$ , $v_{in} = 8, 0 m/s$ omlaag
$F$ om de 1 ms (tabel)

Gevraagd

$J$ , $F_{gem}$ , $F_{max}$
$v_{uit}$ en het energieverlies

Oplossing

1
Trapeziumregel (hoofdstuk 3) met $Δ t = 1 ms$ : $J \approx Δ t (\frac{1}{2} F_{0} + F_{1} + \dots + F_{9} + \frac{1}{2} F_{10}) = 5, 925 N s$ .
2
Botsduur ongeveer 9 ms: $F_{gem} = J /Δ t = 658 N$ ; de grootste gemeten waarde is 1038 N, ongeveer 250 keer het gewicht van de bal.
3
Tijdens de botsing werkt ook het gewicht (omlaag). Omhoog positief: $Δ p = J - m g Δ t = 5, 925 - 0, 038 = 5, 887 N s$ . De bijdrage van het gewicht is minder dan 1 %.
4
$Δ p = m v_{uit} - m (- v_{in})$ , dus $v_{uit} = Δ p / m - v_{in} = 13, 69 - 8, 0 = 5, 69 m/s$ omhoog.
5
Energie: $\frac{1}{2} m v^{2}$ gaat van $13, 76 J$ naar $6, 96 J$ : 49 % wordt warmte in de bal en de plaat.

Antwoord

J \approx 5, 92 N s

F_{gem} \approx 658 N

F_{max} \approx 1038 N

; de bal kaatst terug met 5,7 m/s en verliest ongeveer 49 % van zijn energie.

Klopt dit? Een halve sinus met dezelfde oppervlakte heeft top

F_{max} = \frac{π J}{2 Δ t}

, ongeveer

1, 57 F_{gem}

: 1034 N, dicht bij de meting. Met stappen van 1 ms op een botsing van 9 ms is de trapeziumregel nauwkeurig tot op een procent; met 5 ms (twee punten) zou je de stoot niet meer kunnen reconstrueren.

Uitleg · 9.4

Behoud van impuls

4/21

Neem twee karretjes A en B die botsen. Tijdens de botsing duwt A op B met $F_{A B}$ en B op A met $F_{B A}$ . Volgens de derde wet zijn die op elk ogenblik even groot en tegengesteld, en ze duren even lang. Dus zijn ook hun stoten tegengesteld:

Δ p_{B} = \int F_{A B} d t = - \int F_{B A} d t = - Δ p_{A} \Rightarrow Δ (p_{A} + p_{B}) = 0 .

behoud van impuls

\sum F_{uitw} = 0 \Rightarrow p_{tot} = \sum m_{i} v_{i} = constant

De inwendige krachten (tussen de delen van het systeem) heffen elkaar paarsgewijs op. Alleen uitwendige krachten veranderen de totale impuls:

\sum F_{uitw} = d p_{tot} / d t

Drie opmerkingen die in opgaven het verschil maken:

Kies het systeem. Voor twee botsende karretjes op een rail zijn gewicht en normaalkracht uitwendig, maar ze heffen elkaar op; de wrijving is klein tegenover de botsingskrachten. Bij een botsing van een paar milliseconden doen uitwendige krachten als de zwaartekracht bijna niets (zie de voetbal: minder dan 1 %).
Het is een vectorwet. Ze geldt per component. Werkt er alleen verticaal een uitwendige kracht, dan blijft de horizontale impuls toch behouden.
Het zwaartepunt. $p_{tot} = M v_{zw}$ , met $r_{zw} = \sum m_{i} r_{i} / M$ . Zonder uitwendige kracht beweegt het zwaartepunt dus eenparig rechtdoor, wat de delen ook doen: botsen, uit elkaar springen, ontploffen.

In de zeventiende eeuw was dat allerminst duidelijk. René Descartes telde 'hoeveelheid beweging' als massa maal snelheid zonder richting, en kwam tot botsingsregels die niet klopten. In 1668 vroeg de Royal Society in Londen om de wetten van de botsing; John Wallis, Christopher Wren en Christiaan Huygens antwoordden in 1668-1669. Huygens en Wren toonden voor harde bollen dat de som met teken behouden blijft; Huygens zag ook dat bij zulke botsingen $\sum m v^{2}$ behouden blijft.

Op elk ogenblik van de botsing duwt A even hard op B als B op A, in tegengestelde zin: de stoten heffen elkaar op.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.5

Terugstoot in de ruimte

5/21

Een astronaut van 100 kg (met pak) zweeft stil op 20 m van het ruimtestation, zijn veiligheidslijn is los. Hij gooit een gereedschapskist van 2,0 kg met 5,0 m/s van het station weg. Hoe snel drijft hij naar het station, hoe lang duurt dat, en hoeveel energie leverden zijn armen?

Gegeven

$M = 100 kg$ , $m = 2, 0 kg$ , $v = 5, 0 m/s$
afstand 20 m, alles in rust tegenover het station

Gevraagd

$V$ van de astronaut, de tijd, de energie

Oplossing

1
Systeem astronaut + kist: geen uitwendige kracht (in de baan vallen station, astronaut en kist samen; tegenover het station telt alleen hun onderlinge duw). Impuls voor: 0.
2
Na: $M V + m v = 0$ , dus $V = - \frac{m}{M} v = - \frac{2 , 0 \cdot 5 , 0}{100} = - 0, 10 m/s$ : 10 cm/s naar het station.
3
Tijd: $20 m /0, 10 m/s = 200 s$ , iets meer dan drie minuten.
4
Energie: $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} = 25 + 0, 50 = 25, 5 J$ . Bijna alles gaat naar de kist.

Antwoord

Hij drijft met 0,10 m/s naar het station en is er na 200 s; zijn armen leverden ongeveer 26 J.

Klopt dit? Impulsen zijn even groot (

10 kg \cdot m/s

), maar de energie verdeelt zich omgekeerd evenredig met de massa:

E_{k} = p^{2} / (2 m)

. Daarom schopt een geweer minder hard dan de kogel vliegt, en draagt een raket haar energie vooral mee in de uitlaatgassen. Astronauten dragen voor zo'n noodgeval een klein stuwraketpakket: hetzelfde principe, met gas in plaats van een kist.

Proef · 9.6

Botsende karretjes

6/21

Onderzoeksvraag

Blijft de impuls behouden bij elke botsing, ook als de karretjes aan elkaar blijven hangen of uit elkaar springen? En de kinetische energie?

Materiaal

rail met twee karretjes (0,500 kg; een extra massa maakt B 1,000 kg)
magneten (afstoten), klittenband (vasthaken), een samengedrukt veertje met een pal
twee bewegingssensoren aan de uiteinden (of een smartphone op statief voor videoanalyse met een meetlat in beeld)
weegschaal

Alle vijf de botsingen liggen op de rechte p na = p voor: impuls blijft behouden, welke koppeling je ook gebruikt.

Werkwijze

1Weeg de karretjes. Zet de rail waterpas: een karretje dat je een zetje geeft, moet op 1 m hoogstens 1 à 2 % vertragen.
2Duw A met ongeveer 0,6 m/s tegen het stilstaande B. Lees de snelheden vlak voor en vlak na de botsing af (gemiddelde over 0,1 s).
3Herhaal met magneten, met klittenband en met B = 1,000 kg.
4Zet A en B met het samengedrukte veertje tegen elkaar en ontgrendel de pal.
5Bereken per poging de impuls en de kinetische energie voor en na, en de restitutiecoëfficiënt e.

Waarneming

Een voorbeeldmeting (snelheden naar rechts positief):

poging	koppeling	$m_{A}$ (kg)	$m_{B}$ (kg)	$v_{A}$ (m/s)	$v_{A}^{'}$ (m/s)	$v_{B}^{'}$ (m/s)
1	magneten	0,500	0,500	0,606	0,031	0,581
2	magneten	0,500	1,000	0,601	−0,172	0,383
3	klittenband	0,500	0,500	0,597	0,294	0,294
4	klittenband	0,500	1,000	0,599	0,205	0,205
5	veer	0,500	1,000	0,000	−0,404	0,198

Verwerkt:

poging	$p$ voor (kg·m/s)	$p$ na	$E_{k}$ voor (mJ)	$E_{k}$ na (mJ)	$e$
1	0,303	0,306	91,8	84,6	0,91
2	0,300	0,297	90,3	80,7	0,92
3	0,298	0,294	89,1	43,2	0,00
4	0,299	0,307	89,7	31,5	0,00
5	0,000	−0,004	0,0	60,4	-

Verklaring

De impuls na de botsing verschilt hoogstens 8 g·m/s van die ervoor (poging 4), van dezelfde orde als de meetonzekerheid: een fout van 0,004 m/s op de 1,5 kg die daar samen rijden, is al 6 g·m/s. Impuls blijft behouden, bij elke soort botsing. De kinetische energie niet: met magneten gaat er 8 à 11 % verloren ( $e \approx 0, 92$ ), met klittenband de helft (gelijke massa's) of twee derde (B dubbel zo zwaar), en bij de veer ontstaat er 60 mJ uit de veerenergie. Bij poging 5 was de impuls voor en na nul: de karretjes schieten uit elkaar met snelheden in de verhouding 2 : 1, omgekeerd evenredig met hun massa.

Bij poging 2 kaatst het lichtere A terug: een licht voorwerp dat op een zwaarder botst, keert om (volgend blad).

Uitleg · 9.7

Elastisch en inelastisch

7/21

Impuls blijft bij elke botsing behouden; kinetische energie niet noodzakelijk. Dat geeft de indeling:

soort	impuls	kinetische energie	$e$	voorbeeld
elastisch	behouden	behouden	1	biljartballen (bijna), neutronen op kernen, magneten
inelastisch	behouden	deels omgezet in warmte en vervorming	tussen 0 en 1	tennisbal op de grond, auto's
volledig inelastisch	behouden	het grootste mogelijke verlies	0	klittenband, een kogel in een blok
'explosie'	behouden	neemt toe (uit een veer, een lading, een spier)	-	terugstoot, raket

Elastisch, frontaal, in één dimensie. Voorwerp 1 ( $m_{1}$ , $v_{1}$ ) botst op voorwerp 2 ( $m_{2}$ , $v_{2}$ ). Twee onbekenden $v_{1}^{'}$ en $v_{2}^{'}$ , twee behoudswetten:

m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) = m_{2} (v_{2}^{'} - v_{2}), m_{1} (v_{1}^{2} - v_{1}^{'2}) = m_{2} (v_{2}^{'2} - v_{2}^{2}) .

Schrijf de tweede als $m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) (v_{1} + v_{1}^{'}) = m_{2} (v_{2}^{'} - v_{2}) (v_{2}^{'} + v_{2})$ en deel door de eerste: $v_{1} + v_{1}^{'} = v_{2}^{'} + v_{2}$ , dus

elastische botsing in één dimensie

v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = - (v_{2} - v_{1}) v_{1}^{'} = \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{2} v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} + \frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{2}

Bij een elastische botsing keert de relatieve snelheid om met dezelfde grootte. Dat is een lineaire vergelijking: veel handiger dan de energie.

Restitutie. Bij echte botsingen is de relatieve snelheid na kleiner: $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = - e (v_{2} - v_{1})$ met $0 \leq e \leq 1$ . Een tennisbal op beton heeft $e \approx 0, 75$ (hij stuitert tot $e^{2} \approx 56 %$ van zijn valhoogte). Met $e = 0$ blijven de voorwerpen samen: $v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ .

Wat de figuur toont (voorwerp 2 in rust): bij gelijke massa's staat 1 stil en neemt 2 alles over (de slinger van Newton); een licht voorwerp op een zwaar kaatst terug met bijna dezelfde snelheid; een zwaar op een licht rijdt bijna ongestoord door en geeft het lichte bijna twee keer zijn snelheid. De energie gaat alleen volledig over bij gelijke massa's.

Bij een inelastische botsing gaat impuls verloren

Nee: impuls kan niet 'verloren gaan' in warmte, want warmte heeft geen richting. Impuls van de ene naar de andere kant van de botsing verplaatsen gaat alleen via krachten, en die zijn tegengesteld. Energie kan wel van vorm veranderen. Daarom is impulsbehoud de eerste vergelijking bij elke botsing.

Snelheden na een frontale elastische botsing met een stilstaand voorwerp, tegen de massaverhouding (logaritmische as).

Uitgewerkt voorbeeld · 9.8

Neutronen afremmen

8/21

In een kernreactor komen neutronen bij de splijting vrij met ongeveer 2 MeV. Om een volgende uraniumkern te splijten, moeten ze afgeremd worden tot ongeveer 0,025 eV, de energie van de warmtebeweging. Dat gebeurt door elastische botsingen met kernen van een moderator. Welke kern remt het best af: waterstof, deuterium, koolstof of uranium? Neem een frontale botsing met een kern in rust.

Gegeven

neutron: massa 1 (in atomaire eenheden), kern: massa $A$
elastisch, frontaal, kern in rust

Gevraagd

welk deel van zijn energie het neutron per botsing verliest

Oplossing

1
Met $m_{1} = 1$ , $m_{2} = A$ , $v_{2} = 0$ : de kern krijgt $v_{2}^{'} = \frac{2}{1 + A} v_{1}$ .
2
Zijn energie: $\frac{1}{2} A v_{2}^{'2} = \frac{4 A}{( 1 + A ) ^{2}} \cdot \frac{1}{2} v_{1}^{2}$ . Het deel dat overgaat, is dus $\frac{4 A}{( 1 + A ) ^{2}}$ .
3
Per kern:
kern $A$ frontaal: deel van $E$ dat overgaat gemiddeld aantal botsingen van 2 MeV tot 0,025 eV
waterstof (water) 1 100,0 % 18
deuterium (zwaar water) 2 88,9 % 25
koolstof (grafiet) 12 28,4 % 115
uranium-238 238 1,7 % 2172
4
Echte botsingen zijn meestal niet frontaal: dan gaat er minder over. De laatste kolom geeft het gemiddelde aantal botsingen (isotrope verstrooiing, standaardformule uit de reactorfysica; opdracht 9.15 controleert ze met een simulatie).

Antwoord

Waterstof neemt bij een frontale botsing alle energie over (gelijke massa's); ongeveer 18 botsingen volstaan. Koolstof neemt hoogstens 28 % over (±115 botsingen), uranium nog geen 2 %. Lichte kernen zijn de beste moderators.

Klopt dit? Dezelfde massaverhouding als bij de karretjes: een licht voorwerp op een zwaar kaatst terug en houdt zijn energie. Toch gebruiken veel reactoren grafiet of zwaar water in plaats van gewoon water: waterstof vangt ook neutronen in. De eerste kernreactor, die van Enrico Fermi in Chicago (2 december 1942), was een stapel grafiet.

Uitleg · 9.9

Botsingen in twee dimensies

9/21

Impuls is een vector: bij een schuine botsing blijft elke component apart behouden. In het vlak geeft dat twee vergelijkingen; is de botsing elastisch, dan komt de energie erbij als derde. Voor vier onbekenden (twee snelheden, twee richtingen) is dat één vergelijking te weinig: je moet één richting meten (bv. de hoek waaronder bal 1 wegspringt), of weten waar de botsing de bal raakt.

Gelijke massa's, elastisch, één in rust: 90°. Met $m_{1} = m_{2}$ vereenvoudigen de behoudswetten tot

v_{1} = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}, v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2} .

Kwadrateer de eerste: $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2} + 2 v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'}$ . Vergelijk met de tweede: $v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'} = 0$ . De twee ballen gaan loodrecht uit elkaar (hoofdstuk 5: scalair product nul). De drie impulsen vormen een rechthoekige driehoek, met de impuls vooraf als schuine zijde.

Voorbeeld. Een biljartbal met 2,0 m/s raakt een stilstaande bal schuin en springt onder 30° weg. Dan gaat bal 2 onder 60° aan de andere kant weg, en de driehoek geeft $v_{1}^{'} = 2, 0 cos 3 0^{\circ} = 1, 73 m/s$ , $v_{2}^{'} = 2, 0 sin 3 0^{\circ} = 1, 00 m/s$ . Controle: $1, 73 2^{2} + 1, 0^{2} = 4, 0$ .

Bij twijfel: componenten

Kies $x$ langs de beginsnelheid, schrijf per component 'impuls voor = impuls na', en voeg de energie toe als de botsing elastisch is. Deeltjesfysici doen niets anders: uit de sporen van de deeltjes na een botsing en het behoud van impuls leiden ze af hoeveel impuls er onzichtbaar wegvloog, met een deeltje dat hun detectoren niet zien.

Impuls per kg van bal 1 voor, bal 1 na en bal 2 na: kop aan staart geven ze de impuls ervoor; bij gelijke massa's staan ze loodrecht op elkaar.

Uitleg · 9.10

Het raketprincipe: de vergelijking van Tsiolkovski

10/21

Een raket heeft niets om zich tegen af te zetten, behalve haar eigen uitlaatgassen. Die verlaten de straalpijp met een snelheid $v_{e}$ tegenover de raket. Bekijk een kort tijdje $d t$ in een stelsel dat op dat ogenblik met de raket meebeweegt (hoofdstuk 8), zonder zwaartekracht of lucht:

voor: raket met massa $m$ , in rust, impuls 0;
na: raket met massa $m + d m$ (met $d m < 0$ ) en snelheid $d v$ ; gas met massa $- d m$ en snelheid $- v_{e}$ .

Behoud van impuls: $0 = (m + d m) d v + (- d m) (- v_{e})$ . Het product $d m d v$ is verwaarloosbaar, dus $m d v = - v_{e} d m$ . Scheiden en integreren (hoofdstuk 4) van $m_{0}$ tot $m_{1}$ :

raketvergelijking van Tsiolkovski en stuwkracht

Δ v = \int_{m_{0}}^{m_{1}} - \frac{v _{e}}{m} d m = v_{e} ln \frac{m _{0}}{m _{1}} F_{stuw} = \overset{m}{˙} v_{e}

m_{0}

: massa bij de start,

m_{1}

: massa bij brandsluiting (leeg),

\overset{m}{˙}

: massadebiet van het gas. De snelheidswinst hangt niet af van hoe snel de stuwstof verbrandt, alleen van

v_{e}

en de verhouding.

Wat de logaritme betekent. Wie $Δ v$ wil verdubbelen, moet de massaverhouding kwadrateren. Met chemische motoren is $v_{e}$ ongeveer 2,5 tot 4,5 km/s (waterstof en zuurstof geven de hoogste waarde). Een lage baan om de aarde vraagt 7,7 km/s (hoofdstuk 8) plus ongeveer 1,5 à 2 km/s verlies aan zwaartekracht en lucht: ongeveer 9,4 km/s. Met $v_{e} = 3, 0 km/s$ is dan $m_{0} / m_{1} = e^{9, 4/3, 0} = 23$ : 95,6 % van de startmassa moet stuwstof zijn. Tanks, motoren en last in 4 %: onmogelijk met één trap.

Stuwkracht. Per seconde krijgt een massa $\overset{m}{˙}$ gas de snelheid $v_{e}$ : de raket geeft het gas een impuls $\overset{m}{˙} v_{e}$ per seconde, en krijgt dezelfde terug. De stuwkracht moet groter zijn dan het gewicht om op te stijgen, maar de vergelijking hierboven kent geen zwaartekracht: wie traag opstijgt, verliest $g t_{brand}$ (opdracht 9.16).

De snelheidswinst groeit maar met de logaritme van de massaverhouding: elke extra km/s kost exponentieel meer stuwstof.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.11

Waarom raketten trappen hebben

11/21

Een raket moet 1,0 t nuttige last in een lage baan brengen (±9,4 km/s). Vergelijk twee ontwerpen met dezelfde stuwstof en dezelfde structuurmassa (rekenwaarden): (a) twee trappen: trap 1 met 100 t stuwstof en 8 t structuur ( $v_{e} = 2, 9 km/s$ in de dichte lucht onderaan), trap 2 met 20 t stuwstof en 2 t structuur ( $v_{e} = 3, 3 km/s$ in het luchtledige); (b) één trap met 120 t stuwstof, 10 t structuur en gemiddeld $v_{e} = 3, 1 km/s$ .

Gegeven

massa's en uitstroomsnelheden hierboven

Gevraagd

$Δ v$ van beide ontwerpen

Oplossing

1
Startmassa: $1 + 2 + 20 + 8 + 100 = 131 t$ .
2
Trap 1 brandt: van 131 t naar 31 t: $Δ v_{1} = 2, 9 ln \frac{131}{31} = 4, 18 km/s$ .
3
Trap 1 (8 t leeg) valt af. Trap 2 brandt van 23 t naar 3 t: $Δ v_{2} = 3, 3 ln \frac{23}{3} = 6, 72 km/s$ .
massa voor (t) massa na (t) $v_{e}$ (km/s) $Δ v$ (km/s)
trap 1 brandt 131 31 2,9 4,18
trap 1 los, trap 2 brandt 23 3 3,3 6,72
twee trappen samen 10,9
één trap, zelfde stuwstof en structuur 131 11 3,1 7,7
4
Eén trap: $3, 1 ln \frac{131}{11} = 7, 68 km/s$ : de lege tanks van trap 1 moeten helemaal mee versneld worden.

Antwoord

Twee trappen: 10,9 km/s, genoeg voor een baan (met reserve). Eén trap: 7,7 km/s, niet genoeg. Het verschil komt alleen van het afwerpen van 8 t lege structuur.

Klopt dit? Dit is het idee van de 'raketten-treinen' van Tsiolkovski (1929). Het eerste model van een trap is ook de eenvoudigste reden waarom herbruikbare raketten zo moeilijk zijn: elke kilogram landingsgestel en brandstof om terug te keren, moet eerst mee omhoog, en de logaritme vergeeft niets.

Code · 9.12

Een waterraket simuleren

12/21

Een waterraket is een PET-fles met water, onder druk gezet met een fietspomp. De lucht in de fles duwt het water door de hals naar buiten: dat is de 'uitlaat'. Anders dan bij een echte raket daalt $v_{e}$ tijdens de stuwing, omdat de lucht uitzet en de druk zakt. Het model per tijdstap:

druk: de lucht zet adiabatisch uit (hoofdstuk 15), $p = p_{0} (V_{lucht, 0} / V_{lucht})^{1, 4}$ ;
uitstroomsnelheid uit de energie, zoals bij de sproeier (hoofdstuk 8): $u = 2 (p - p_{at}) / ρ$ ;
stuwkracht $F = \overset{m}{˙} u = ρ A u^{2} = 2 (p - p_{at}) A$ , met $A$ de doorsnede van de hals;
bewegingsvergelijking met veranderlijke massa: $m d v / d t = F - m g - k v ∣ v ∣$ (Euler, stap 0,1 ms).

De vraag: hoeveel water moet er in de fles voor de hoogste vlucht? Te weinig water: te weinig massa om weg te stoten. Te veel: te weinig lucht om het water uit te duwen, en zwaar dood gewicht.

Pythonwaterraket.py35 regelsDownload

# waterraket.py - een PET-fles van 1,5 L met water en lucht onder druk, verticaal gelanceerdimport math g, rho, p_at, gamma = 9.81, 1000.0, 1.013e5, 1.4V_fles, d_mond, m_leeg = 1.5e-3, 0.0215, 0.15      # m³, m, kgA_mond = math.pi / 4 * d_mond**2k = 0.5 * 1.2 * 0.4 * math.pi / 4 * 0.09**2          # luchtweerstand van de fles (Ø 9 cm, cd 0,4)  def lancering(V_water, p_over=4.0e5, dt=1e-4):    """Geeft (brandtijd, snelheid bij brandsluiting, hoogste punt). De luchtstoot na het water verwaarlozen we."""    V_lucht0, p0 = V_fles - V_water, p_over + p_at    V_w, v, h, t, t_brand, v_brand = V_water, 0.0, 0.0, 0.0, None, None    while v >= 0.0:        m = m_leeg + rho * V_w        F = 0.0        if V_w > 0:            p = p0 * (V_lucht0 / (V_fles - V_w))**gamma  # lucht zet adiabatisch uit            if p > p_at:                u = math.sqrt(2 * (p - p_at) / rho)      # uitstroomsnelheid (Bernoulli)                F = rho * A_mond * u * u                 # stuwkracht = massadebiet x uitstroomsnelheid                V_w = max(V_w - A_mond * u * dt, 0.0)            else:                V_w = 0.0                                # de druk is op: resterend water blijft zitten        elif t_brand is None:            t_brand, v_brand = t, v        a = F / m - g - k / m * v * abs(v)        v, h, t = v + a * dt, h + v * dt, t + dt    return t_brand, v_brand, h  print("water (L)  brandtijd (s)  v einde stuwing (m/s)  hoogste punt (m)")for V in (0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1.0):    tb, vb, h = lancering(V * 1e-3)    print(f"{V:6.1f}  {tb:12.3f}  {vb:18.1f}  {h:16.1f}")

Uitvoer:

water (L)  brandtijd (s)  v einde stuwing (m/s)  hoogste punt (m)
   0.2         0.021                22.1              20.4
   0.3         0.032                27.1              28.3
   0.4         0.045                30.3              33.4
   0.5         0.060                31.9              36.3
   0.6         0.077                32.2              37.0
   0.7         0.098                31.4              36.0
   0.8         0.125                29.2              33.0
   1.0         0.253                19.1              19.0

Het optimum ligt rond 0,60 L, ongeveer 40 % van de fles: 37 m hoog. De stuwing duurt amper 77 ms en versnelt de fles tot ongeveer 32 m/s: tientallen keren $g$ . Met 1,0 L water is de lucht zo snel ontspannen dat de raket maar half zo hoog komt. Echte waterraketten doen het nog iets beter: na het water blaast ook de resterende lucht nog uit.

Waterraketten lanceren

Alleen buiten, met een lanceerbasis die je van op afstand ontgrendelt, veiligheidsbril voor iedereen, nooit over mensen heen en nooit boven 5 à 6 bar in een gewone PET-fles. Een fles die barst, spat in stukken; gebruik altijd flessen voor koolzuurhoudende dranken (die zijn op druk gebouwd).

Hoogste punt en snelheid bij brandsluiting tegen de vulling: rond 40 % water vliegt de fles het hoogst.

Uitleg · 9.13

Straalkracht: sproeiers, rotors en drones

13/21

Wat voor een raket geldt, geldt voor elke stroom die iets wegstoot: de kracht is de impuls die per seconde wordt meegegeven, $F = \overset{m}{˙} Δ v$ .

De sproeier. Het mondje van de moestuinsproeier (hoofdstuk 8) stoot $\overset{m}{˙} = ρQ = 59, 7 g/s$ water uit met 19,0 m/s: een reactiekracht van $1, 13 N$ tegen de straal in. Staat het mondje op een arm, dan draait de sproeier vanzelf rond: de reactiesproeier.

De rotor. Een drone hangt stil door lucht naar beneden te versnellen. Het eenvoudigste model, de impulstheorie van Rankine en Froude (19e eeuw), ziet de rotor als een schijf met oppervlakte $A$ waar de lucht door stroomt. Ver boven de rotor staat de lucht stil, in de schijf heeft ze de geïnduceerde snelheid $v_{i}$ , ver eronder $v_{j}$ . Drie behoudswetten:

massa: $\overset{m}{˙} = ρ A v_{i}$ ;
impuls: stuwkracht $T = \overset{m}{˙} v_{j}$ ;
energie: het vermogen dat de rotor levert, gaat in bewegingsenergie van de lucht: $P = T v_{i} = \frac{1}{2} \overset{m}{˙} v_{j}^{2}$ .

De laatste twee geven $v_{j} = 2 v_{i}$ : de lucht versnelt voor de helft boven en voor de helft onder de schijf. Dan is $T = 2 ρ A v_{i}^{2}$ :

impulstheorie van een hangende rotor

v_{i} = \frac{T}{2 ρ A} P_{ideaal} = T v_{i} = \frac{T ^{3/2}}{2 ρ A}

Een grotere schijf vraagt minder vermogen voor dezelfde stuwkracht: veel lucht een beetje versnellen is zuiniger dan weinig lucht veel. Daarom hebben helikopters grote rotoren. Echte rotoren halen 60 à 75 % van het ideale vermogen (de figure of merit).

De rotor versnelt een luchtkolom naar beneden; de impuls die de lucht per seconde krijgt, is de stuwkracht omhoog.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.14

Habitat: hoeveel vermogen vraagt de bevoorradingsdrone?

14/21

De bevoorradingsdrone van het station is een quadcopter van 8,0 kg (met batterij) die een pakket tot 2,0 kg draagt. Hij heeft vier rotoren van 0,56 m. Bereken het vermogen om te hangen met en zonder pakket (figure of merit 0,65, motoren en regelaars 85 %), en de energie voor een vlucht naar het depot op 6,0 km, een minuut hangen om te droppen, en terug. De batterij levert 44,4 V en 20 Ah, waarvan 80 % bruikbaar.

Gegeven

$M = 10 kg$ met pakket, 8,0 kg zonder; $A = 4 \cdot \frac{π}{4} 0, 5 6^{2} = 0, 985 m^{2}$
$ρ = 1, 2 kg/ m^{3}$ ; kruissnelheid 12 m/s (hoofdstuk 8)

Gevraagd

$v_{i}$ , $P$ met en zonder pakket
energie per vlucht

Oplossing

1
Met pakket: $T = 10 \cdot 9, 81 = 98, 1 N$ , $v_{i} = 98, 1/ (2 \cdot 1, 2 \cdot 0, 985) = 6, 44 m/s$ , $P_{ideaal} = 632 W$ . Werkelijk: $632/ (0, 65 \cdot 0, 85) = 1144 W$ uit de batterij.
2
Zonder pakket: $T = 78, 5 N$ , $v_{i} = 5, 76 m/s$ , $P_{ideaal} = 452 W$ , uit de batterij $818 W$ . Het vermogen schaalt met $T^{3/2}$ : 20 % minder massa is 28 % minder vermogen.
3
Vooruit vliegen kost bij deze snelheid ongeveer evenveel als hangen (vaak iets minder); we rekenen met het vermogen van hangen als bovengrens.
deel van de vlucht massa vermogen tijd energie
heen, 6,0 km met 12 m/s 10 kg 1144 W 500 s 159 Wh
hangen boven het afzetpunt 10 kg 1144 W 60 s 19 Wh
terug 8 kg 818 W 500 s 114 Wh
samen 292 Wh (41 % van 710 Wh)
4
De rotoren stuwen $\overset{m}{˙} = ρ A v_{i} = 7, 6 kg$ lucht per seconde omlaag met $2 v_{i} = 12, 9 m/s$ : een stevige windvlaag onder de drone.

Antwoord

Hangen kost 1144 W met pakket en 818 W zonder; een vlucht naar het depot en terug met een drop ongeveer 292 Wh, 41 % van de bruikbare batterij. De rest is reserve voor wind (hoofdstuk 8) en een tweede poging.

Klopt dit? Op het ogenblik dat de drone het pakket loslaat, is zijn stuwkracht nog afgesteld op 98 N terwijl hij maar 78,5 N weegt: hij schiet omhoog met

19, 6/8, 0 = 2, 45 m/ s^{2}

tot de regelaar het vermogen terugschroeft. Dat is een tweede reden (naast de windvlaag) om niet vlak boven mensen of het station te droppen.

Uitleg · 9.15

Botsveiligheid: kreukelzone, gordel en airbag

15/21

Bij een frontale botsing tegen een muur moet de impuls $m v$ van de auto en van elke inzittende naar nul. Die stoot ligt vast; de kracht hangt af van de tijd waarin hij gegeven wordt. Bij een constante vertraging over een remweg $s$ geldt (hoofdstuk 7 van I):

remmen over een remweg s

a = \frac{v ^{2}}{2 s} Δ t = \frac{2 s}{v} F_{gem} = \frac{m v}{Δ t} = \frac{m v ^{2}}{2 s}

Dubbel zo veel remweg, half zo veel kracht. De energie

\frac{1}{2} m v^{2}

moet door vervorming worden opgenomen: de kracht maal de remweg.

De kreukelzone is het voorste deel van de auto, gebouwd om gecontroleerd in elkaar te plooien, zodat de auto over 0,5 à 0,7 m tot stilstand komt in plaats van over een paar centimeter. De kooi rond de inzittenden moet net heel stijf blijven. Gordel en airbag zorgen ervoor dat de inzittende meteen mee begint te remmen, over de remweg van de auto plus een paar decimeter in de auto. De airbag blaast zich in een paar honderdste van een seconde op en loopt dan leeg terwijl het hoofd erin zakt: de kracht wordt gespreid over een groot oppervlak en een langere tijd.

In de figuur krijgt een auto van 1200 kg met 50 km/h dezelfde stoot van 16,7 kN·s op twee manieren: in 15 ms (een stijve auto) of in 86 ms (met kreukelzone). Dezelfde oppervlakte, een zes keer lagere piek.

Een stevige auto die niet vervormt, is het veiligst

Voor de inzittenden is het omgekeerd: een auto die niet plooit, stopt in een fractie van de tijd, en alles wat erin zit, krijgt enorme versnellingen. Moderne auto's zien er na een botsing vaak total loss uit terwijl de inzittenden ongedeerd uitstappen. Juist dat wordt getest bij de frontale botstest tegen een vaste muur met 50 km/h.

Twee stoten met dezelfde oppervlakte: de kreukelzone rekt de botsing zes keer uit en deelt de piekkracht door zes.

Na de botsing is de voorkant opgevouwen, de kooi heel: de kreukelzone heeft de energie opgenomen.

Uitgewerkt voorbeeld · 9.16

Een frontale botsing met 50 km/h

16/21

Een auto van 1200 kg rijdt met 50 km/h tegen een vaste muur. De kreukelzone plooit 0,60 m. Een inzittende van 75 kg met gordel en airbag remt 0,30 m extra in de auto. Bereken voor auto en inzittende de gemiddelde vertraging (in $g$ ), de botsduur en de gemiddelde kracht. Vergelijk met een inzittende zonder gordel die 0,50 m vrij vooruit vliegt en dan over 5 cm tegen het stuur tot stilstand komt.

Gegeven

$v = 50 km/h = 13, 89 m/s$ , $s_{auto} = 0, 60 m$
inzittende: $s = 0, 60 + 0, 30 = 0, 90 m$

Gevraagd

$a$ , $Δ t$ , $F$

Oplossing

1
Auto: $a = v^{2} / (2 s) = 13, 8 9^{2} /1, 20 = 161 m/ s^{2} = 16, 4 g$ ; $Δ t = 2 s / v = 86 ms$ ; $F = 193 kN$ .
2
Inzittende met gordel en airbag: $a = 13, 8 9^{2} /1, 80 = 107 m/ s^{2} = 10, 9 g$ ; $Δ t = 130 ms$ ; $F = 75 \cdot 107 = 8, 0 kN$ , verdeeld over gordel en airbag.
3
Zonder gordel: tegenover de remmende auto schuift de inzittende 0,50 m vooruit in $2 \cdot 0, 50/ a = 79 ms$ . Tegen dan is de auto bijna stil; de inzittende heeft nog zijn volle snelheid: hij raakt het stuur met $12, 7 m/s$ .
4
Over 5 cm: $a = 12, 7^{2} /0, 10 = 1608 m/ s^{2} = 164 g$ , een kracht van 121 kN op een klein oppervlak.

Antwoord

De auto remt met ongeveer 16

g

in 86 ms; de inzittende met gordel en airbag met ongeveer 11

g

(8 kN), zonder gordel met ongeveer 164

g

(121 kN).

Klopt dit? De stoot op de inzittende is in alle gevallen

75 \cdot 13, 9 = 1042 N s

. Wat verschilt, is de tijd: 130 ms tegenover een paar milliseconden. Zonder gordel doet de kreukelzone voor de inzittende niets: hij botst pas als de auto al stilstaat. (Een echte botsing heeft geen constante vertraging; de piek ligt hoger dan het gemiddelde, zoals bij de voetbal.)

Code · 9.17

Habitat: het pakket aan een parachute

17/21

Het pakket van hoofdstuk 4 (2,0 kg, doos van 30 cm) valt zonder parachute met bijna 18 m/s op de grond. Hoofdstuk 8 toonde dat het tegenover de grond een worp is. Nu krijgt het een ronde parachute van 1,5 m. Een treklijn aan de drone trekt ze open: vanaf 0,5 s, na 1,5 s volledig open (een eenvoudig model van het opengaan). De simulatie is die van hoofdstuk 8, met een weerstandsconstante die in de tijd verandert en met wind.

Wat we willen weten: de landingssnelheid, de grootste kracht bij het opengaan (die de treklijn en de naden moeten houden), en hoe ver het pakket afdrijft in de wind.

Pythonpakket.py45 regelsDownload

# pakket.py - een pakket van 2,0 kg aan een parachute, uit de drone op 40 m (hoofdstuk 4 en 8)import mathimport numpy as np g, rho, m = 9.81, 1.2, 2.0k_doos = 0.5 * rho * 1.05 * 0.30**2                 # doos van 30 cm, plat vlak naar vorenD, cd_par = 1.5, 0.8                                # ronde parachute: diameter (m), cd op de nominale oppervlaktek_par = 0.5 * rho * cd_par * math.pi / 4 * D**2  def open_deel(t, t_start=0.5, t_vol=1.5):    """Welk deel van de parachute open is: niets tot t_start, dan lineair tot volledig open op t_vol."""    return min(1.0, max(0.0, (t - t_start) / (t_vol - t_start)))  def val(h0=40.0, vx0=0.0, wind=0.0, parachute=True, dt=0.001):    """Heun op s = [x, y, vx, vy]; geeft de tijden, de toestanden en de grootste kracht van de lucht."""    def f(s, t):        k = k_doos + (k_par * open_deel(t) if parachute else 0.0)        rx, ry = s[2] - wind, s[3]                   # snelheid tegenover de lucht        v = math.hypot(rx, ry)        return np.array([s[2], s[3], -k / m * v * rx, -g - k / m * v * ry]), k * v * v     s, t, F_max = np.array([0.0, h0, vx0, 0.0]), 0.0, 0.0    ts, ss = [t], [s]    while s[1] > 0:        k1, F = f(s, t)        k2, _ = f(s + dt * k1, t + dt)        s, t = s + dt / 2 * (k1 + k2), t + dt        F_max = max(F_max, F)        ts.append(t)        ss.append(s)    return np.array(ts), np.array(ss), F_max  if __name__ == "__main__":    ve = math.sqrt(m * g / (k_doos + k_par))    print(f"eindsnelheid met open parachute: {ve:.2f} m/s")    for naam, kw in (("zonder parachute", dict(parachute=False)), ("met parachute", {}),                     ("wind 3 m/s", dict(wind=3.0)), ("wind 5 m/s", dict(wind=5.0)),                     ("drone 8 m/s vooruit", dict(vx0=8.0))):        ts, ss, F_max = val(**kw)        x, y, vx, vy = ss[-1]        print(f"{naam:20s} {ts[-1]:5.2f} s  landt {x:5.1f} m verder  v = {math.hypot(vx, vy):5.2f} m/s"              f"  grootste luchtkracht {F_max:5.1f} N")

Uitvoer:

eindsnelheid met open parachute: 4.66 m/s
zonder parachute      3.41 s  landt   0.0 m verder  v = 17.61 m/s  grootste luchtkracht  17.6 N
met parachute         8.47 s  landt   0.0 m verder  v =  4.66 m/s  grootste luchtkracht  26.4 N
wind 3 m/s            8.49 s  landt  21.9 m verder  v =  5.54 m/s  grootste luchtkracht  26.4 N
wind 5 m/s            8.52 s  landt  36.9 m verder  v =  6.83 m/s  grootste luchtkracht  26.5 N
drone 8 m/s vooruit   8.58 s  landt   8.7 m verder  v =  4.66 m/s  grootste luchtkracht  27.2 N

Met parachute landt het pakket na 8,5 s met 4,66 m/s, de eindsnelheid $m g / (k_{doos} + k_{par})$ . De grootste luchtkracht, 26 N, is kleiner dan je zou vrezen, omdat de parachute al na een halve seconde (bij 4,8 m/s) begint open te gaan.

De wind is het grote probleem: aan een parachute gaat het pakket binnen enkele seconden horizontaal met de wind mee, en het hangt lang in de lucht. Bij 3 m/s drijft het 22 m af, bij 5 m/s 37 m. De drone moet dus boven de wind loslaten, op ongeveer wind maal valtijd van het afzetpunt, en het brein leest daarvoor de windmeter van de weermast. Vliegt de drone zelf nog 8 m/s bij het loslaten, dan landt het pakket maar 8,7 m verder: de parachute remt de horizontale snelheid snel af.

Aan de parachute daalt het pakket traag en drijft het met de wind mee; zonder wind landt het recht onder het punt van loslaten.

Ontleed · 9.18

Habitat: de val van het pakket ontleed

18/21

De valsnelheid van het pakket uit dezelfde simulatie, zonder en met parachute, van 40 m hoog, windstil.

Zonder parachute versnelt het pakket tot bijna zijn eindsnelheid; met parachute (die opengaat in de gekleurde strook) remt het af tot minder dan 5 m/s.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Vrije val
De eerste halve seconde valt het pakket bijna vrij: 9,8 m/s per seconde. De doos zelf remt nog nauwelijks.
2
De parachute gaat open
Tussen 0,5 en 1,5 s groeit de parachute. De snelheid piekt op 6,9 m/s na 0,92 s; daarna is de luchtkracht groter dan het gewicht en remt het pakket af. De grootste kracht op de lijnen is 26 N.
3
Eindsnelheid
Na ongeveer 1,7 s is de snelheid binnen 5 % van de eindsnelheid, 4,66 m/s: luchtkracht en gewicht heffen elkaar op.
4
Landing
Na 8,5 s raakt het pakket de grond met 4,66 m/s: de stoot die de verpakking moet opvangen is 2,0 · 4,66 = 9,3 N·s.
5
Zonder parachute
Na 3,41 s met 17,6 m/s op de grond, dicht bij de eindsnelheid van de doos (18,6 m/s): een stoot van 35 N·s, bijna vier keer zo veel. Zonder lucht zou het pakket al na 2,86 s met 28,0 m/s neerkomen (hoofdstuk 8).

Uitgewerkt voorbeeld · 9.19

Habitat: de verpakking dimensioneren

19/21

In het pakket zitten sensoren en reserveonderdelen. Ontwerpeis: de inhoud mag bij de landing hoogstens 30 $g$ krijgen. Het pakket landt met 4,66 m/s. De inhoud zit in schuim dat bij indrukken een ongeveer constante spanning geeft (de plateauspanning) en dat je hoogstens tot 70 % van zijn dikte kan indrukken. Hoe dik moet het schuim zijn, en hoe zacht? Vergelijk met droppen zonder parachute (van 40 m) en met hangen op 2,0 m.

Dezelfde stoot op twee manieren: 16 ms in zacht schuim of 2 ms op harde grond (ideale, constante remkracht).

Gegeven

$m = 2, 0 kg$ , $v = 4, 66 m/s$ , eis $a \leq 30 g$
bodem 30 × 30 cm, bruikbare indrukking 70 %

Gevraagd

remweg, dikte en plateauspanning van het schuim
landingsstoot en duur

Oplossing

1
De grond duwt met $F$ omhoog, het gewicht trekt omlaag: de vertraging is $F / m - g$ . Met $F / m \leq 30 g$ is de vertraging hoogstens $29 g = 284 m/ s^{2}$ .
2
Remweg: $s = v^{2} / (2 a) = 4, 6 6^{2} / (2 \cdot 284) = 3, 8 cm$ . Met 70 % bruikbare indrukking: $3, 8/0, 7 = 5, 4 cm$ : kies 6 cm.
3
Kracht: $F = m \cdot 30 g = 589 N$ . Over de hele bodem van 0,09 m² is dat een plateauspanning van $589/0, 09 = 6, 5 kPa$ : een zacht schuim. Hard verpakkingsschuim (EPS) plooit pas rond 100 kPa: over de hele bodem zou dat 9000 N en 460 $g$ geven. Wie EPS wil gebruiken, zet het in vier kleine blokjes van samen 59 cm². De plateauspanning bepaalt de kracht, de dikte de remweg.
4
Stoot: $J = m v = 9, 31 N s$ (plus het gewicht tijdens de korte rem), over $Δ t = 2 s / v = 16 ms$ . Op harde grond met 5 mm vervorming zou het 2,1 ms duren en 222 $g$ geven.
5
Zonder parachute (17,6 m/s) zou dezelfde eis 55 cm remweg vragen, 78 cm schuim. Hangen op 2,0 m en loslaten geeft 6,3 m/s en 6,9 cm remweg, maar de drone moet dan laag boven de grond hangen met zijn windvlaag van 13 m/s.

Antwoord

Met parachute: 6 cm zacht schuim met een plateauspanning van ongeveer 6,5 kPa over de hele bodem houdt de inhoud onder 30

g

(stoot 9,3 N·s in ongeveer 16 ms). Zonder parachute zou er 78 cm schuim nodig zijn: de parachute is de sleutel.

Klopt dit? Energie:

\frac{1}{2} m v^{2} + m g s = 21, 7 + 0, 75 = 22, 4 J

, en

F s = 589 \cdot 0, 0381 = 22, 4 J

: het schuim neemt precies die energie op. Een pakket landt niet altijd op zijn bodem: het schuim moet rondom zitten.

Mag dat zomaar?

Nee. In de Europese regels voor drones (Uitvoeringsverordening (EU) 2019/947) mag een drone in de 'open' categorie niets laten vallen, blijft hij onder 120 m en altijd in het zicht van de piloot. Pakketten afwerpen, en zeker buiten het zicht naar een depot vliegen, kan alleen in de 'specifieke' categorie, met een risicoanalyse en een vergunning van de luchtvaartautoriteit (in België het Directoraat-generaal Luchtvaart). De bevoorrading van Habitat is een fictief scenario op een afgesloten proefterrein. Echte voorbeelden bestaan wel: in Rwanda levert Zipline sinds 2016 bloed aan ziekenhuizen met pakketjes aan een papieren parachute.

Naslag · 9.20

Impuls en botsingen: formules en werkwijze

20/21

Werkwijze bij een botsing: (1) kies het systeem en controleer dat de uitwendige stoot verwaarloosbaar is; (2) schrijf impulsbehoud per component; (3) voeg een tweede vergelijking toe: energie (elastisch), gelijke eindsnelheid (volledig inelastisch) of $e$ ; (4) controleer met de energie of het resultaat kan.

impuls en stoot

p = m v, F = \frac{d p}{d t}, J = \int F d t = Δ p

symbool	betekenis	eenheid
$p$	impuls	kg·m/s
$J$	stoot	N·s

behoud van impuls (geen uitwendige kracht)

\sum m_{i} v_{i} = constant = M v_{zw}

restitutie (e = 1 elastisch, 0 volledig inelastisch)

v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = - e (v_{2} - v_{1})

elastisch, 1D

v_{1}^{'} = \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{2}

energieverlies bij een botsing (opdracht 9.14)

Δ E_{k} = \frac{1}{2} \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}} (v_{1} - v_{2})^{2} (1 - e^{2})

raket

Δ v = v_{e} ln \frac{m _{0}}{m _{1}}, F = \overset{m}{˙} v_{e}

symbool	betekenis	eenheid
$v_{e}$	uitstroomsnelheid	m/s

hangende rotor (ideaal)

v_{i} = \frac{T}{2 ρ A}, P = \frac{T ^{3/2}}{2 ρ A}

remmen over een remweg

F_{gem} = \frac{m v ^{2}}{2 s}, Δ t = \frac{2 s}{v}

bevoorrading van Habitat	waarde
drone	quadcopter 8,0 kg + pakket tot 2,0 kg; rotoren 4 × Ø 0,56 m; batterij 888 Wh
hangen	1144 W met pakket, 818 W zonder
vlucht naar het depot (6,0 km) en terug	±292 Wh
pakket, parachute	2,0 kg, doos 30 cm; rond, Ø 1,5 m; drop op 40 m
landing	4,7 m/s na 8,5 s; drift 22 m bij 3 m/s wind
verpakking	6 cm zacht schuim, ±6,5 kPa: hoogstens 30 $g$

Het geheel · 9.21

Waar impuls vandaan komt en waar hij heen gaat

21/21

Impuls is de tweede wet van Newton in haar oorspronkelijke vorm, en zijn behoud is de derde wet in één zin. Samen met energiebehoud vormt hij het gereedschap voor alles wat kort en hevig is: botsingen, sprongen, ontploffingen, stromen die iets wegduwen. Hij verbindt de mechanica (K) met het modelleren (W: integralen, differentiaalvergelijkingen) en met energie (E), en in het station met ontwerpen (D) en veiligheid.

I8 De wetten van Newton

F = m a en actie en reactie: hier als dp/dt en behoud van impuls.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Kinetische energie: wat bij een botsing wel of niet behouden blijft.

E3 Integralen: ophopen

De stoot als oppervlakte onder F(t), met de trapeziumregel uit meetwaarden.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Scheiden van veranderlijken voor de raket; het vallende pakket met luchtweerstand.

E8 Beweging in twee dimensies

Het pakket uit een vliegende drone als worp; de drone in de wind; de sproeier.

E10 Rotatie

Impulsmoment: de draaiende tegenhanger van impuls, en hoe een drone om zijn as draait.

E12 Sterkteleer

Hoe een kreukelzone of schuim energie opneemt: spanning, rek en plastisch vervormen.

E15 De hoofdwetten van de thermodynamica

Adiabatische uitzetting van de lucht in de waterraket.

E18 Stroming van vloeistoffen en gassen

Bernoulli en debiet: de uitstroomsnelheid van water en lucht.

E33 Het lichaam als regelsysteem

Wat het lichaam verdraagt: versnellingen en krachten bij een botsing.

E36 Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Monte-Carlosimulaties en betere integratiemethoden.

E46 Betrouwbaarheid en risico

Risicoanalyse van een drone-operatie: wat als de parachute niet opengaat?

HabitatDe bevoorradingsdrone van Habitat is nu gedimensioneerd: 8,0 kg plus een pakket tot 2,0 kg, 1,1 kW om te hangen, ±292 Wh voor een vlucht naar het depot en terug. Het pakket krijgt een ronde parachute van 1,5 m (landing met 4,7 m/s) en 6 cm zacht schuim rond de inhoud (hoogstens 30

g

). De drone laat boven de wind los: bij 3 m/s 22 m van het afzetpunt. Opdracht 9.12 werkt de drop uit; hoofdstuk 46 maakt er een risicoanalyse van.

Samenvatting

In het kort

Impuls $p = m v$ is een vector; de tweede wet luidt $F = d p / d t$ . De stoot $\int F d t$ (oppervlakte onder $F (t)$ ) is gelijk aan $Δ p$ .
Zonder uitwendige kracht blijft de totale impuls behouden, want inwendige krachten heffen elkaar op (derde wet); het zwaartepunt beweegt eenparig.
Bij elke botsing blijft impuls behouden; kinetische energie alleen bij een elastische. De restitutiecoëfficiënt $e$ meet hoeveel de relatieve snelheid overhoudt.
Elastisch in 1D: de relatieve snelheid keert om. Gelijke massa's wisselen hun snelheden; lichte kernen remmen neutronen het best af. In 2D: per component, en bij gelijke massa's 90°.
Raket: $Δ v = v_{e} ln (m_{0} / m_{1})$ en $F = \overset{m}{˙} v_{e}$ ; de logaritme maakt trappen nodig. Een waterraket vliegt het hoogst met ongeveer 40 % water.
Straalkracht $F = \overset{m}{˙} Δ v$ drijft sproeiers en rotors aan; een hangende rotor vraagt $T^{3/2} / 2 ρ A$ (ideaal).
Dezelfde stoot over een langere tijd geeft een kleinere kracht: $F = m v^{2} / (2 s)$ . Kreukelzone, gordel, airbag, parachute en schuim werken zo.

Begrippen

Wat je nu kent

impuls: Het product van massa en snelheid, $p = m v$ (kg·m/s), een vector. De tweede wet van Newton zegt $F_{res} = d p / d t$ .
stoot: De integraal van een kracht over de tijd, $J = \int F d t$ (N·s): de oppervlakte onder $F (t)$ , gelijk aan de impulsverandering.
behoud van impuls: In een systeem waarop geen resulterende uitwendige kracht werkt, blijft de totale impuls constant: de inwendige krachten heffen elkaar op (derde wet).
elastische botsing: Een botsing waarbij ook de kinetische energie behouden blijft; de relatieve snelheid keert om met dezelfde grootte.
volledig inelastische botsing: Een botsing waarbij de voorwerpen samen verder gaan; het grootst mogelijke deel van de kinetische energie wordt warmte en vervorming.
restitutiecoëfficiënt: $e =$ relatieve snelheid na / relatieve snelheid voor (van elkaar weg tegenover naar elkaar toe): 1 elastisch, 0 volledig inelastisch.
raketvergelijking: $Δ v = v_{e} ln (m_{0} / m_{1})$ (Tsiolkovski): de snelheidswinst hangt alleen af van de uitstroomsnelheid en de massaverhouding.
straalkracht: De kracht $F = \overset{m}{˙} v$ van een massastroom $\overset{m}{˙}$ die met snelheid $v$ weggestoten wordt: raket, sproeier, rotor.
kreukelzone: Het deel van een voertuig dat bij een botsing gecontroleerd vervormt: de remweg en de botsduur worden langer, dus de kracht kleiner.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen

kern	$A$	frontaal: deel van $E$ dat overgaat	gemiddeld aantal botsingen van 2 MeV tot 0,025 eV
waterstof (water)	1	100,0 %	18
deuterium (zwaar water)	2	88,9 %	25
koolstof (grafiet)	12	28,4 %	115
uranium-238	238	1,7 %	2172

	massa voor (t)	massa na (t)	$v_{e}$ (km/s)	$Δ v$ (km/s)
trap 1 brandt	131	31	2,9	4,18
trap 1 los, trap 2 brandt	23	3	3,3	6,72
twee trappen samen				10,9
één trap, zelfde stuwstof en structuur	131	11	3,1	7,7

deel van de vlucht	massa	vermogen	tijd	energie
heen, 6,0 km met 12 m/s	10 kg	1144 W	500 s	159 Wh
hangen boven het afzetpunt	10 kg	1144 W	60 s	19 Wh
terug	8 kg	818 W	500 s	114 Wh
samen				292 Wh (41 % van 710 Wh)