Oplossingen · hoofdstuk 8Beweging in twee dimensies

$\vec{v}=(3,0;4,0-9,8t)$ m/s, $\vec{a}=(0;-9,8)$ m/s². Op $t=0,50$ s: $\vec{v}=(3,0;-0,90)$ m/s, $v=\sqrt{9+0,81}=3,13m/s$ (de bal daalt al).

Top: $v_y=0$ bij $t=4,0/9,8=0,408\mathrm{s}$, hoogte $4,0\cdot 0,408-4,9\cdot 0,408^2=0,816\mathrm{m}$. Landing: $y=0$ bij $t=4,0/4,9=0,816\mathrm{s}$, $x=3,0\cdot 0,816=2,45\mathrm{m}$.

$t=x/3,0$ invullen: $y=\frac{4}{3}x-\frac{4,9}{9}{x}^2=1,333x-0,544x^2$: een parabool door (0; 0) en (2,45; 0).

$t=\sqrt{2\cdot 0,80/9,81}=0,404\mathrm{s}$; $v_0=1,20/0,404=2,97m/s$.

$v_y=gt=3,96m/s$; $v=\sqrt{2,97^2+3,96^2}=4,95m/s$ onder ${\tan }^{-1}(3,96/2,97)=53,1^{\circ }$ met de vloer.

Twee keer zo snel: dezelfde valtijd, dus 2,40 m. Twee keer zo hoog: valtijd $\times \sqrt{2}$, dus $1,20\cdot \sqrt{2}=1,70\mathrm{m}$.

$T=2\cdot 15\sin 35^{\circ }/9,81=1,754\mathrm{s}$; $H=(15\sin 35^{\circ }{)}^2/(2\cdot 9,81)=3,77\mathrm{m}$; $R=15^2\sin 70^{\circ }/9,81=21,6\mathrm{m}$.

$90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$ (want $\sin 110^{\circ }=\sin 70^{\circ }$). De baan onder 55° is hoger en duurt langer: $T=2\cdot 15\sin 55^{\circ }/9,81=2,51\mathrm{s}$.

In de top is $v_y=0$, dus $v=v_x=15\cos 35^{\circ }=12,3m/s$ (niet nul!). De versnelling is overal $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$ naar beneden, ook in de top.

(a) Niet waar: alleen de verticale snelheid is nul, de horizontale blijft. (b) Waar: tegenover de lucht valt hij verticaal met zijn eindsnelheid, en de lucht beweegt met de wind mee; tegenover de grond is dat de som van beide. (c) Niet waar: de richting van de snelheid verandert, dus er is een versnelling v²/R naar het middelpunt.

(d) Niet waar: met lucht ligt het optimum lager (voor druppels 27 tot 35°), want een steile baan duurt langer en remt meer af. (e) Niet waar: het pakket krijgt de snelheid van de drone mee; tegenover de drone valt het (zonder lucht) recht naar beneden, tegenover de grond is het een worp. (f) Niet waar: het is geen extra kracht, maar de resultante van de getekende krachten (wrijving, spanning, normaalkracht, gewicht). Je tekent ze niet dubbel.

De stroming verandert de component naar de overkant niet: $t=60/3,0=20\mathrm{s}$. Afdrijven: $1,5\cdot 20=30\mathrm{m}$. Snelheid tegenover de oever $\sqrt{3,0^2+1,5^2}=3,35m/s$.

De component stroomopwaarts moet de stroming opheffen: $3,0\sin \beta =1,5$, $\beta =30^{\circ }$. Naar de overkant blijft $3,0\cos 30^{\circ }=2,60m/s$: $t=60/2,60=23,1\mathrm{s}$.

(a) Pijl 3,0 recht naar de overkant, kop aan staart 1,5 stroomafwaarts, resultante schuin. (b) Pijl 3,0 schuin stroomopwaarts (30° met de loodlijn), plus 1,5 stroomafwaarts: resultante 2,60 recht naar de overkant. De rechte oversteek duurt langer.

$\omega =v/r=0,20/0,0325=6,15rad/s$, $n=58,8$ tpm, $T=2\pi /\omega =1,02\mathrm{s}$.

Motor: $48\cdot 58,8=2821$ tpm. Steentje: $a={\omega }^{2}r=6,15^2\cdot 0,0325=1,23m/{\mathrm{s}}^2$ (ook $v^2/r$).

$a=0,20^2/0,15=0,267m/{\mathrm{s}}^2$, $F=0,8\cdot 0,267=0,21\mathrm{N}$, geleverd door de zijdelingse wrijving van de banden op de vloer (ruim onder $\mu mg\approx 4\mathrm{N}$).

$\vec{w}=5,0(\sin 45^{\circ };\cos 45^{\circ })=(3,54;3,54)m/s$.

$x$: $v_{\text{lucht},x}=-3,54$; dan $v_{\text{lucht},y}=\sqrt{144-3,54^2}=11,47m/s$. Koers ${\sin }^{-1}(3,54/12)=17,1^{\circ }$ ten westen van het noorden. Over de grond: $11,47+3,54=15,00m/s$; $6000/15,00=400\mathrm{s}=6,7\min$.

Terug naar het zuiden: opnieuw $v_{\text{lucht},x}=-3,54$ (koers 17,1° ten westen van het zuiden), $v_{\text{lucht},y}=-11,47$; over de grond $11,47-3,54=7,93m/s$: $12,6\min$. Samen $19,3\min$, meer dan de 16,7 min zonder wind.

$\frac{g{x}^2}{2v_0^2}=\frac{9,81\cdot 36}{200}=1,7658$: $1,7658u^2-6u+3,7658=0$, $u=0,831$ of $2,567$: $\alpha =39,7^{\circ }$ of $68,7^{\circ }$.

$t=x/(v_0\cos \alpha )$: 0,78 s en 1,65 s. Onder 69° is de top op $t=v_0\sin \alpha /g=0,95\mathrm{s}$, vóór de dakrand: het zakje valt van boven op het dak. Onder 40° is de top op 0,65 s, ná 0,78 s: het zakje stijgt nog als het de rand passeert.

$v_{\text{min}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}=\sqrt{9,81(2+6,325)}=9,04m/s$; de hoek is $\frac{1}{2}(90^{\circ }+{\tan }^{-1}\frac{2}{6})=54,2^{\circ }$.

Tegenover de grond (10; 2,0) m/s: de snelheid van de drone. Tegenover de drone nul.

$0=30+2,0t-4,905t^2$: $t=\frac{2,0+\sqrt{4+588,6}}{9,81}=2,685\mathrm{s}$; $x=10\cdot 2,685=26,9\mathrm{m}$; $\vec{v}=(10;-24,3)$, $v=26,3m/s$.

Drone: $(26,9;30+2,0\cdot 2,69)=(26,9;35,4)$ m: recht boven het pakket, 35,4 m hoger. Vanuit de drone valt het pakket recht naar beneden met versnelling $g$, vanuit stilstand: $\Delta y=-\frac{1}{2}g{t}^2$.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np
# baan() uit baan.py (handboek)

hoeken = np.arange(10, 56, 1)
bereik = [baan(19.0, a, 0.30, vt=6.49, dt=0.002)[-1, 1] for a in hoeken]
i = int(np.argmax(bereik))
print(f"beste hoek {hoeken[i]}°: {bereik[i]:.2f} m")
for a in (20, 25, 30, 35, 40, 45):
    print(f"{a}°: {bereik[a - 10]:.2f} m")

Echte uitvoer:

beste hoek 32°: 7.04 m
20°: 6.65 m
25°: 6.91 m
30°: 7.03 m
35°: 7.01 m
40°: 6.88 m
45°: 6.64 m

Het verschil is een paar procent (enkele decimeter): de kromme is vlak rond haar top. De lagere hoek maakt de sproeier minder windgevoelig, en dat weegt zwaarder.

Resultaat (ook de versnellingen):

$t$ (s)	$v_x$ (m/s)	$v_y$ (m/s)	$a_x$ (m/s²)	$a_y$ (m/s²)
0,1	8,99	6,58	−2,2	−11,0
0,2	8,77	5,46	−2,2	−11,3
0,3	8,58	4,39	−1,5	−10,3
0,4	8,46	3,33	−1,0	−10,8
0,5	8,31	2,26	−1,9	−10,5
0,6	8,16	1,27	−1,2	−9,4
0,7	8,01	0,28	−1,7	−10,4
0,8	7,88	−0,70	−1,0	−9,2
0,9	7,76	−1,66	−1,3	−9,9
1,0	7,64	−2,60	−1,2	−8,9
1,1	7,50	−3,51	−1,6	−9,5
1,2	7,36	−4,45	−1,1	−9,1
1,3	7,23	−5,35	−1,6	−9,0

Gemiddeld $a_x=-1,5m/{\mathrm{s}}^2$ en $a_y=-9,9m/{\mathrm{s}}^2$.

Ja: $v_x$ daalt van 8,99 naar 7,23 m/s, dus $a_x$ is negatief, en $|a_y|$ is in het begin, als de bal stijgt, groter dan $g$ (weerstand en zwaartekracht wijzen allebei naar beneden) en aan het eind kleiner. Een tweede differentie deelt door $\Delta t^2=0,01{\mathrm{s}}^2$: een fout van 2 mm in één plaats wordt al 0,4 m/s² (hoofdstuk 1: differentiëren versterkt ruis).

Alleen $G$ (verticaal) en $F_{\text{N}}$ (loodrecht op de baan, dus onder $\theta$ met de verticaal). Verticaal: $F_{\text{N}}\cos \theta =mg$. Horizontaal, naar het middelpunt: $F_{\text{N}}\sin \theta =m{v}^2/R$. Delen: $\tan \theta =v^2/(gR)$.

$\tan \theta =225/(9,81\cdot 25)=0,917$, $\theta =42,5^{\circ }$.

Een autosnelweg heeft een grote straal (honderden meter), dus v²/(gR) is klein; en een sterke helling zou een trage of stilstaande auto (file, ijzel) naar binnen laten glijden. De wrijving doet de rest.

${\vec{v}}_{\text{druppel,trein}}={\vec{v}}_{\text{druppel,grond}}-{\vec{v}}_{\text{trein,grond}}$: verticaal naar beneden $v_{\text{e}}$, plus 33,3 m/s naar achteren. De streep maakt een hoek $\tan \beta =33,3/v_{\text{e}}$ met de verticaal.

$v_{\text{e}}=33,3/\tan 76^{\circ }=8,31m/s$: tussen 8,06 (3 mm) en 8,83 m/s (4 mm), dus druppels van ongeveer 3 mm: een stevige bui.

$\partial y/\partial u=x-\frac{g{x}^2}{v_0^2}u=0$ geeft $u=\frac{v_0^2}{gx}$. Invullen: $y=\frac{v_0^2}{g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}-\frac{v_0^2}{2g}=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$. Geen enkele baan komt boven deze kromme, en elke kromme raakt haar in één punt: de omhullende.

Het verste punt op hoogte $-h$ ligt op de omhullende: $-h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{R}^2}{2v_0^2}$, dus $R^2=\frac{v_0^2}{g^2}(v_0^2+2gh)$ en $R_{\text{max}}=\frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2+2gh}$.

$\tan \alpha =u=\frac{v_0^2}{g{R}_{\text{max}}}=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}<1$. Sproeier: $\tan \alpha =19,0/\sqrt{361+5,89}=0,9919$, $\alpha =44,77^{\circ }$; $R_{\text{max}}=37,10\mathrm{m}$ (met lucht: rond 9,3 m bij 34°).

Met $\tau =gt/v_{\text{e}}$ en $\vec{u}=\vec{v}/v_{\text{e}}$: $\frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}\tau }=\frac{v_{\text{e}}}{g}\cdot \frac{1}{v_{\text{e}}}\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-{\hat{e}}_y-|\vec{u}|\vec{u}$: geen parameter meer. De beginwaarde is ${\vec{u}}_0=(v_0/v_{\text{e}})(\cos \alpha ;\sin \alpha )$. Plaatsen in eenheden $L=v_{\text{e}}^2/g$: $\mathrm{d}(\vec{r}/L)/\mathrm{d}\tau =\vec{u}$. Dus $R/L$ hangt alleen af van $v_0/v_{\text{e}}$ en $\alpha$ (Buckingham: vier grootheden $R,v_0,v_{\text{e}},g$ met twee dimensies geven twee dimensieloze groepen).

Bijvoorbeeld:

import math
import numpy as np

g = 9.81


def bereik(v0, hoek, vt, dt=0.0005):
    """Horizontale afstand tot de grond, vanaf de grond, met kwadratische weerstand (Heun)."""
    a = math.radians(hoek)
    s = np.array([0.0, 0.0, v0 * math.cos(a), v0 * math.sin(a)])

    def f(s):
        k = g / vt**2 * math.hypot(s[2], s[3])
        return np.array([s[2], s[3], -k * s[2], -g - k * s[3]])
    while True:
        k1 = f(s)
        s2 = s + dt / 2 * (k1 + f(s + dt * k1))
        if s2[1] < 0:
            return s[0] + s[1] / (s[1] - s2[1]) * (s2[0] - s[0])
        s = s2


print("v0/vt   R g / vt^2 voor vt = 4,03  6,49  8,06 m/s   zonder lucht")
for q in (0.5, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0):
    rij = [bereik(q * vt, 30.0, vt) * g / vt**2 for vt in (4.03, 6.49, 8.06)]
    print(f"{q:5.1f}   " + "  ".join(f"{r:7.3f}" for r in rij) + f"   {q * q * math.sin(math.radians(60)):9.3f}")

Echte uitvoer:

v0/vt   R g / vt^2 voor vt = 4,03  6,49  8,06 m/s   zonder lucht
  0.5     0.189    0.189    0.189       0.217
  1.0     0.558    0.558    0.558       0.866
  2.0     1.195    1.195    1.195       3.464
  3.0     1.625    1.625    1.625       7.794
  4.0     1.932    1.932    1.932      13.856

De drie kolommen zijn gelijk: de hypothese klopt, één kromme voor alle druppels. Bij $v_0/v_{\text{e}}=0,5$ zit het bereik nog dicht bij de parabool, bij 1 al merkbaar lager, bij 2 à 4 een fractie ervan. De sproeier ($19/8\approx 2,4$) zit diep in het gebied waar de lucht beslist. Een geweerkogel met 800 m/s en $v_{\text{e}}$ van een paar honderd m/s zit ook boven 1: ballistici rekenen altijd met lucht.

$GM/r^2={\omega }^{2}r$ met $\omega =2\pi /T$: $GM=4{\pi }^2{r}^3/T^2$, dus $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$.

$r=\sqrt[3]{GM{T}^2/(4{\pi }^2)}=42164\mathrm{km}$, hoogte $35786\mathrm{km}$, $v=2\pi r/T=3,07km/s$. De satelliet moet meedraaien met de aarde tegenover de sterren; 24 h is de tijd tegenover de zon, die ook nog 1° per dag verschuift.

Straal van de breedtecirkel $6371\cos 50,8^{\circ }=4027\mathrm{km}$; $v=\omega r=294m/s$, $a={\omega }^{2}r=0,0214m/{\mathrm{s}}^2$: 0,22 % van $g$. De gemeten $g$ in Brussel bevat die kleine correctie al.

Zet de sproeier op kwartcirkel: al het water valt dan in een sector van 90° en de bekers vullen vier keer sneller. Bekers om de 0,50 m op de middellijn van de sector, van 0,25 m tot 12,25 m (25 bekers, voorbij de verwachte 9 m). Duur 30 min, 's ochtends vroeg, wind onder 1 m/s, druk aan het mondje 2,0 bar (manometer). Schatting: in 30 min $107\mathrm{L}$ op $\frac{\pi }{4}{9}^2=63,6{\mathrm{m}}^2$: gemiddeld 1,69 mm, of 13 mL in een beker van 10 cm. Dat meet je nauwkeurig genoeg met een maatcilinder van 25 mL.

Waterhoogte per beker: $h=V_{\text{beker}}/(\pi \cdot 0,05^2)$, neerslag $h/0,5\mathrm{h}$. De straal is de afstand van de laatste beker die nog water heeft (een fabrikant neemt de plaats waar het profiel onder 0,26 mm/h zakt). Massabalans: elke beker staat voor een boog van een kwartring met oppervlakte $\frac{\pi }{2}r\Delta r$ ($\Delta r=0,5\mathrm{m}$); $\sum h_i\frac{\pi }{2}{r}_i\Delta r$ moet het volume $Qt$ geven. Komt er veel minder uit, dan is er water verdampt of weggewaaid, of klopt $Q$ niet (meet $Q$ apart met een emmer en een stopwatch).

Vergelijk de gemeten straal met de banen van het model: landt het laatste water op 9 m, dan passen druppels van ongeveer 3 mm; op 10 m ongeveer 4 mm. Stel zo de grootste druppel in het model bij (of de snelheidscoëfficiënt van het mondje, als je ook de uitstroomsnelheid meet met een foto met korte sluitertijd). Het profiel toont ook waar de kleine druppels vallen: dicht bij de sproeier.

(1) Wind: verschuift de druppels 2 à 3 m bij 3 m/s; alleen meten bij windstilte, windmeter erbij. (2) Verdamping uit de bekers: kort meten, meteen aflezen. (3) Spatten in of uit de bekers: bekers met hoge randen, niet te dicht bij de sproeier. (4) Druk en debiet: manometer aan het mondje, drukschommelingen van de pomp noteren; een beker die schuin staat of een mondje dat verstopt, geeft ook fouten.