StemExpert

Expert · Werkboek · 8. Beweging in twee dimensies
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Werkboek · hoofdstuk 8Beweging in twee dimensies

Van een druppel uit de sproeier tot een drone in de wind: beweging als vector

Je oefent eerst vectoren afleiden, worpen zonder lucht, relatieve snelheden en de cirkelbeweging. Daarna pas je ze toe op de drone, een waterstraal, videodata en een hellende bocht, en rek je de simulatie uit het handboek op. De uitdagingen vragen afleidingen (omhullende en bereik vanaf een hoogte), een dimensieanalyse met simulaties, een geostationaire baan en het ontwerp van een meting aan de sproeier. Opdracht 8.13 is de Habitat-opdracht.

6× oefenen8× toepassen4× uitdagen± 470 min0/18 gedaan

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren

Elke druppel volgt zijn eigen baan: de grote vliegen het verst, de kleine remt de lucht af.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

8.1

Een baan uit r(t)

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Een bal volgt

r (t) = (3, 0 t; 4, 0 t - 4, 9 t^{2})

(in m,

t

in s), vanaf de grond.

a
Bereken $v (t)$ en $a (t)$ . Wat is $v$ en de snelheid op $t = 0, 50$ s?
b
Wanneer en op welke hoogte bereikt de bal zijn top? Waar landt hij?
c
Schrijf de baan als $y (x)$ .

8.2

Van de tafel

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Een knikker rolt van een tafel van 0,80 m hoog en landt 1,20 m van de voet van de tafel. Geen lucht.

a
Bereken de valtijd en de beginsnelheid.
b
Met welke snelheid en onder welke hoek met de vloer landt de knikker?
c
Hoe ver landt hij als hij twee keer zo snel van de tafel rolt? En als de tafel twee keer zo hoog is?

8.3

Een schuine worp

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Een bal vertrekt vanaf de grond met 15 m/s onder 35° en landt op dezelfde hoogte. Geen lucht.

a
Bereken de vliegtijd, de hoogte van de top en het bereik.
b
Onder welke andere hoek landt de bal op dezelfde plaats? Welke baan duurt het langst?
c
Wat is de snelheid in de top, en de versnelling?

8.4

Waar of niet waar?

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

Beoordeel elke uitspraak en verklaar in één of twee zinnen.

a
(a) In de top van een schuine worp is de snelheid nul. (b) Een druppel die in de wind valt, heeft tegenover de grond een schuine eindsnelheid. (c) Een voorwerp dat met constante snelheid een cirkel beschrijft, versnelt niet.
b
(d) Met luchtweerstand draagt 45° het verst. (e) Een pakket dat een drone loslaat, valt tegenover de grond recht naar beneden. (f) De middelpuntzoekende kracht moet je in een vrijlichaamsdiagram apart tekenen, naast de andere krachten.

8.5

De rivier oversteken

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Een bootje vaart met 3,0 m/s tegenover het water over een rivier van 60 m breed; het water stroomt met 1,5 m/s.

a
De stuurman richt recht naar de overkant. Hoe lang duurt de oversteek, hoe ver drijft het bootje af, en hoe snel beweegt het tegenover de oever?
b
Onder welke hoek moet hij stroomopwaarts richten om recht over te steken? Hoe lang duurt het dan?
c
Teken voor beide gevallen de snelheidsdriehoek.

8.6

Het wiel van het robotje

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Het inspectierobotje (hoofdstuk 33 van I) rijdt 0,20 m/s op wielen van Ø 65 mm; de motor draait via een tandwielkast 1:48.

a
Bereken de hoeksnelheid van het wiel (rad/s en toeren per minuut) en de omlooptijd.
b
Hoe snel draait de motoras? Hoe groot is de centripetale versnelling van een steentje in het profiel van de band, tegenover de as?
c
In de bocht van zijn lus (R = 0,15 m) houdt het robotje 0,20 m/s aan. Bereken zijn centripetale versnelling en de kracht op het robotje van 0,8 kg. Welke kracht levert die?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

8.7

Naar het depot, met zuidwestenwind

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

De drone vliegt 12 m/s tegenover de lucht naar het depot, 6,0 km recht ten noorden. De wind komt nu uit het zuidwesten met 5,0 m/s (de lucht beweegt naar het noordoosten).

a
Schrijf $w$ in componenten ( $x$ oost, $y$ noord).
b
Welke koers houdt de drone aan op de heenweg? Hoe snel gaat hij over de grond, en hoe lang duurt de heenvlucht?
c
Idem voor de terugweg. Vergelijk de totale tijd met windstil weer (16,7 min).

8.8

Een pakket op een platform

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Je gooit een zakje zaden van 1,0 m hoog naar een plat dak dat 6,0 m verder en 2,0 m hoger ligt dan je hand, met 10 m/s. Geen lucht.

a
Bereken beide hoeken waaronder het zakje de rand van het dak (6,0 m; 2,0 m) raakt.
b
Bereken voor beide de tijd tot de dakrand. Bij welke hoek komt het zakje van boven op het dak, bij welke nog stijgend?
c
Wat is de kleinste snelheid waarmee je de dakrand nog haalt, en onder welke hoek?

Hint

Gebruik

1/ cos^{2} α = 1 + tan^{2} α

en los op naar

u = tan α

. De hoek bij de kleinste snelheid halveert de hoek tussen de verticaal en de richting naar het doel.

8.9

Loslaten uit een stijgende drone

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Een drone laat op 30 m hoogte een pakket los terwijl hij met (10; 2,0) m/s vliegt (x vooruit, y omhoog). Geen lucht.

a
Wat is de beginsnelheid van het pakket tegenover de grond en tegenover de drone?
b
Wanneer en waar landt het pakket? Met welke snelheid?
c
Waar is de drone dan (hij vliegt eenparig verder)? Beschrijf de beweging van het pakket gezien vanuit de drone.

8.10

De beste hoek voor een druppel van 2 mm

Toepassen7Programmeren25 min

gedaan

Gebruik de functie baan() uit baan.py (handboek). De sproeier: 19,0 m/s, mondje 0,30 m hoog, druppel van 2 mm (vt = 6,49 m/s).

a
Schrijf een programma dat het bereik berekent voor hoeken van 10° tot 55° en de beste hoek zoekt.
b
Hoeveel bereik verlies je met 25° in plaats van de beste hoek? Is dat de moeite?

8.11

Videoanalyse van een tennisbal

Toepassen7Analyseren30 min

gedaan

Een tennisbal wordt schuin weggegooid en gefilmd; uit de video (bv. met Tracker) haal je om de 0,1 s de plaats. Voorbeeldmeting:

$t$ (s)	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
$x$ (m)	0,000	0,910	1,798	2,664	3,515	4,356	5,178	5,988
$y$ (m)	1,798	2,511	3,114	3,604	3,991	4,270	4,444	4,524

$t$ (s)	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
$x$ (m)	6,781	7,564	8,334	9,092	9,834	10,565	11,280
$y$ (m)	4,500	4,384	4,169	3,865	3,466	2,976	2,396

a
Bereken met centrale differenties $v_{x}$ en $v_{y}$ op $t = 0, 1$ s tot $1, 3$ s.
t (s) vx (m/s) vy (m/s)
b
Bereken met de tweede differentie $(x_{i + 1} - 2 x_{i} + x_{i - 1}) /Δ t^{2}$ ook $a_{x}$ en $a_{y}$ . Wat is hun gemiddelde?
c
Wijst de meting op luchtweerstand? Waaraan zie je dat? Waarom is $a_{y}$ zo onrustig?

8.12

De hellende bocht van een wielerbaan

Toepassen7Analyseren25 min

gedaan

Een wielrenner neemt een bocht met straal R die onder een hoek θ helt. Neem aan dat er geen wrijving nodig is.

a
Teken het vrijlichaamsdiagram (renner met fiets als één punt) en toon aan dat $tan θ = \frac{v ^{2}}{g R}$ .
b
Bereken θ voor R = 25 m en 15 m/s (54 km/h).
c
Waarom hellen de bochten van een autosnelweg maar een paar procent?

8.13

Habitat: het beregeningsplan van de moestuin

Toepassen7Habitat60 min

gedaan

De moestuin van 9,0 × 9,0 m krijgt vier kwartcirkelsproeiers (handboek). Rekenwaarden: overdruk aan het mondje Δp, snelheidscoëfficiënt 0,95, pomp met een rendement van 30 %. Uit de simulatie (druppels tot 3 mm, 25°, 0,30 m hoog): bereik 8,0 m bij 1,5 bar, 9,0 m bij 2,0 bar, 9,8 m bij 2,5 bar (model). Een droge zomerdag vraagt 5 mm water; in een droge week zonder regen 30 mm.

a
Kies een spuitmond (1,5 / 2,0 / 2,5 mm) en een druk zodat de straal 9 m haalt. Bereken v₀ en Q per sproeier.
b
Bereken de neerslag in mm/h en de sproeitijd per dag voor 5 mm. Hoeveel regenwater gaat er in een droge week door?
c
Bereken het hydraulisch en het elektrisch vermogen van de pomp en de energie per dag.
d
Schrijf voor het brein van het station een regel van 3 à 5 zinnen: wanneer mag er gesproeid worden (tijdstip, wind, regen)?

Zo wordt dit beoordeeld

Keuze	Druk en mondje samen kloppen met 9 m straal; v₀ uit ½ρv² = Δp met 0,95; Q = A v₀.
Water	Neerslag = 4Q / 81 m²; tijd voor 5 mm; weekvolume in liter.
Energie	Δp · Q per sproeier, gedeeld door het pomprendement; Wh per dag.
Regel	Windgrens met getal (bv. 3 m/s: 2 à 3 m verschuiving), vroeg in de ochtend, niet na regen; meetbaar voor de sensoren.

8.14

Regen op het treinraam

Toepassen7Analyseren15 min

gedaan

Een trein rijdt 120 km/h door windstille regen. De regendruppels maken op het zijraam strepen die 76° met de verticaal maken.

a
Teken de snelheidsdriehoek: druppel tegenover de grond, trein tegenover de grond, druppel tegenover de trein.
b
Bereken de valsnelheid van de druppels. Hoe groot zijn ze ongeveer (gebruik de tabel van het handboek)?

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

8.15

Twee afleidingen: omhullende en bereik vanaf een hoogte

Uitdagen8Analyseren35 min

gedaan

Zonder lucht, beginsnelheid v₀, vertrek in de oorsprong (of op hoogte h).

a
Schrijf de baan als $y = x u - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} (1 + u^{2})$ met $u = tan α$ . Voor een vaste $x$ : welke $u$ geeft de grootste $y$ ? Toon dat die grootste $y$ de omhullende $y = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$ is.
b
Een worp vanaf hoogte $h$ landt op $y = - h$ . Gebruik de omhullende om het grootste bereik te vinden en toon dat $R_{max} = \frac{v _{0}}{g} v_{0}^{2} + 2 g h$ .
c
Toon dat de beste hoek dan voldoet aan $tan α = \frac{v _{0}}{v _{0}^{2} + 2 g h}$ , kleiner dan 45°. Bereken hoek en bereik voor de sproeier zonder lucht (19,0 m/s, 0,30 m).

8.16

Onderzoek: één kromme voor alle druppels

Uitdagen9Onderzoeken50 min

gedaan

De vergelijking

\dot{v} = g - \frac{g}{v _{e}^{2}} ∣ v ∣ v

bevat alleen

g

v_{e}

. Hypothese: het bereik hangt alleen af van de hoek en van

v_{0} / v_{e}

, als je het uitdrukt in

L = v_{e}^{2} / g

a
Toon met dimensieanalyse dat $R g / v_{e}^{2} = F (v_{0} / v_{e}, α)$ . Schrijf de vergelijking in de dimensieloze tijd $τ = g t / v_{e}$ en snelheid $u = v / v_{e}$ .
b
Toets de hypothese met een simulatie: bereken $R g / v_{e}^{2}$ bij 30° voor $v_{0} / v_{e}$ = 0,5 tot 4 en drie verschillende $v_{e}$ .
c
Interpreteer: vanaf welke v₀/vₑ wijkt het bereik sterk af van de parabool? Wat betekent dat voor een sproeier en voor een kogel uit een geweer (vₑ van een kogel ±100 m/s en meer)?

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	Correct dimensieloos gemaakt; enkel v₀/vₑ en α blijven over.
Simulatie	Correct (Heun, landing geïnterpoleerd, kleine stap), reproduceerbaar.
Toets	Kolommen vergeleken; hypothese aanvaard of verworpen met getallen.
Interpretatie	Grens rond v₀/vₑ ≈ 1; toepassing op sproeier en kogel.

8.17

Een satelliet die stilhangt

Uitdagen8Rekenen25 min

gedaan

Een geostationaire satelliet draait boven de evenaar mee met de aarde en staat voor ons stil aan de hemel (tv, weer). De aarde draait tegenover de sterren één keer in 86 164 s (een sterrendag). GM = 3,986 · 10¹⁴ m³/s², straal aan de evenaar 6378 km.

a
Leid uit $GM m / r^{2} = m ω^{2} r$ de derde wet van Kepler voor cirkelbanen af: $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$ .
b
Bereken de straal, de hoogte en de snelheid van de geostationaire baan. Waarom een sterrendag en niet 24 h?
c
Brussel draait zelf ook mee: bereken de snelheid en de centripetale versnelling van een punt op 50,8° noorderbreedte (straal 6371 km). Welk deel van g is dat?

8.18

Ontwerp: een bekertest voor de sproeier

Uitdagen8Ontwerpen45 min

gedaan

Het model van het handboek zegt dat de sproeier ongeveer 9 m ver reikt. Voor je vier sproeiers koopt, wil je dat meten. Sproeifabrikanten doen dat met bekers op een rij op de grond: na een vaste tijd meet je hoeveel water er in elke beker zit. Je hebt 25 plastic bekers (Ø 10 cm), een maatcilinder van 25 mL, een manometer, een windmeter en een stopwatch.

a
Ontwerp de opstelling: stand van de sproeier (vol rond of kwartcirkel?), plaats en onderlinge afstand van de bekers, duur van de test, weersomstandigheden. Schat hoeveel water er gemiddeld in een beker komt.
b
Hoe haal je uit de metingen de straal van de sproeier en het neerslagprofiel (mm/h tegen de afstand)? Hoe controleer je met een massabalans dat je niets vergeten bent?
c
Hoe gebruik je het resultaat om het model uit het handboek te toetsen of bij te stellen?
d
Noem vier foutenbronnen en hoe je ze klein houdt.

Zo wordt dit beoordeeld

Opstelling	Kwartcirkel om het water te concentreren; bekers op de middellijn van de sector, om de 0,5 m tot voorbij de verwachte straal; 30 min; windstil.
Schatting	Volume in de testtijd verdeeld over de sector; mL per beker berekend en vergeleken met de maatcilinder.
Verwerking	Straal = laatste beker met water; profiel; massabalans Σ h · (π/2) r Δr = Q t.
Model	Waar de straal eindigt, welke druppels daar landen; bijsturen (druppelgrootte, snelheidscoëfficiënt).
Fouten	Wind, verdamping, spatten, druk; telkens een maatregel.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan plaats, snelheid en versnelling als vectoren schrijven, v en a per component afleiden uit r(t), en de versnelling ontbinden in een tangentiële en een normale component (met de kromtestraal).
Ik kan de horizontale en de schuine worp zonder luchtweerstand oplossen: baan, top, vliegtijd, bereik, landingssnelheid, en de twee hoeken die hetzelfde doel raken.
Ik kan verklaren waarom luchtweerstand de twee componenten koppelt, een baan met kwadratische weerstand simuleren met Heun, en de eindsnelheid en de lengteschaal v²/g gebruiken om een resultaat te beoordelen.
Ik kan uit een druk de uitstroomsnelheid en het debiet van een sproeier schatten en met een simulatie het bereik, de beste hoek en het effect van wind bepalen.
Ik kan snelheden optellen en aftrekken bij relatieve beweging (snelheid tegenover de grond = snelheid tegenover de lucht + wind), onder meer om een drone of boot tegen wind of stroming in te sturen.
Ik kan de eenparige cirkelbeweging beschrijven met ω, T en f, de middelpuntzoekende versnelling v²/R afleiden en de kracht aanwijzen die ze levert.

t (s)	vx (m/s)	vy (m/s)