EExpert · deel E3 · Thermodynamica en stroming

Handboek · hoofdstuk 16Warmtepompen en koelen

Warmte bergop pompen: hoe een koelkast en een warmtepomp werken, en wat ze het station besparen

Een koelkast haalt warmte uit een koude doos en loost ze in de keuken; een warmtepomp doet hetzelfde met de buitenlucht, en verwarmt er het station mee. Met één kilowattuur stroom levert ze drie à vijf kilowattuur warmte. Hoe? Met een vloeistof die bij −4 °C kookt, een compressor, twee warmtewisselaars en een smal ventiel. Je volgt het koudemiddel door de kring in een drukenthalpiediagram dat je zelf berekent, vergelijkt de COP met de grens van Carnot en kiest een warmtepomp voor het station: hoeveel stroom kost ze per jaar, en past ze op de omvormer als het vriest?

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code17 opdrachten in het werkboek± 12 lestijden

EEnergie MMaterie en chemie DOntwerpen en maken

Een buitenunit haalt warmte uit lucht van −5 °C en brengt ze op 35 °C in het verwarmingswater van het station.

Na dit hoofdstuk

Je kan de energiebalans van een warmtepomp en een koelmachine opstellen en de COP berekenen, en toetsen aan de grens van Carnot.
Je kan het koelkringproces uitleggen: wat er in de verdamper, de compressor, de condensor en het expansieventiel gebeurt met druk, temperatuur en fase.
Je kan een kringproces in een drukenthalpiediagram lezen en tekenen, en er de warmte, de arbeid en de COP uit halen.
Je kan koudemiddelen vergelijken op dampspanning, GWP en veiligheid.
Je kan uitleggen hoe de COP afhangt van de bron- en de aanvoertemperatuur, en een seizoens-COP berekenen met de binmethode.
Je kan lucht, bodem en water als warmtebron vergelijken, en het temperatuurverloop in de bodem gebruiken.
Je kan een warmtepomp kiezen voor een gebouw en ze in kWh per jaar en in piekvermogen vergelijken met elektrische verwarming.

Verhaal · 16.1

Kou maken en warmte pompen: van ether tot propaan

1/20

In 1834 kreeg de Amerikaanse uitvinder Jacob Perkins in Londen een octrooi op een machine die ijs maakte: een pomp perste etherdamp samen tot een vloeistof, en als die vloeistof weer verdampte, werd het koud. Dat is nog altijd het principe van elke koelkast. Twintig jaar later, in 1852, schreef William Thomson (de latere Lord Kelvin) dat dezelfde machine achterstevoren een gebouw kon verwarmen met meer warmte dan de brandstof van haar motor zou leveren: een 'warmtevermenigvuldiger'. In de zoutziederij van Ebensee in Oostenrijk bouwde Peter von Rittinger in 1856 en 1857 een eerste warmtepomp die de damp van kokende pekel opnieuw samenperste om er de volgende pan mee te verwarmen.

De koeltechniek kwam op met het bier. In de jaren 1870 bouwde Carl von Linde in München compressiemachines met ammoniak voor brouwerijen, die zo ook in de zomer konden brouwen. Koelschepen brachten diepgevroren vlees uit Zuid-Amerika naar Europa. Ammoniak is een uitstekend koudemiddel, maar giftig; ook zwaveldioxide en chloormethaan eisten slachtoffers bij lekken in huishoudelijke koelkasten.

In 1928 ontwikkelde een team rond Thomas Midgley bij General Motors een 'veilig' koudemiddel: dichloordifluormethaan (CFK-12, freon), niet brandbaar en niet giftig. In 1974 toonden Mario Molina en Sherwood Rowland aan dat zulke chloorfluorkoolwaterstoffen hoog in de atmosfeer de ozonlaag afbreken. Het Protocol van Montreal (1987) bande ze uit; hun opvolgers, de HFK's zoals R134a en R410A, sparen de ozon, maar zijn duizend tot tweeduizend keer sterkere broeikasgassen dan CO₂. Sinds het amendement van Kigali (2016) worden ook die wereldwijd afgebouwd. Zo is de cirkel rond: moderne warmtepompen gebruiken weer natuurlijke koudemiddelen zoals propaan en CO₂, met meer aandacht voor veiligheid.

Een van de eerste grote warmtepompen voor een gebouw verwarmde vanaf 1938 het stadhuis van Zürich, met warmte uit het water van de rivier de Limmat.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

In hoofdstuk 15 bleek dat het station in december en januari stroom tekortkomt, net wanneer het elektrisch verwarmt. Een warmtepomp levert dezelfde warmte met een derde van de stroom, en haalt de rest uit de buitenlucht. Ze maakt ook het piekvermogen bij strenge vorst veel kleiner.

De eerste koelmachines maakten ijs voor brouwerijen en slachthuizen; het principe is dat van elke warmtepomp vandaag.

Uitleg · 16.2

Wat je al weet: warmte bergop pompen

2/20

wat je al kan	wat nu komt
de tweede hoofdwet, Carnot, een warmtepomp als omgekeerde motor (hoofdstuk 15)	hoe een echte warmtepomp dat doet, en hoe dicht ze bij Carnot komt
verdampen en condenseren, verdampingswarmte (hoofdstuk 18 van I)	een vloeistof die bij −4 °C kookt: het koudemiddel
dampspanning en kritisch punt (hoofdstuk 14)	de druk bepaalt bij welke temperatuur het koudemiddel verdampt of condenseert
warmteverlies 50 W/K, het rekenjaar en de jaarbalans (hoofdstuk 15, 39)	de warmtepomp van het station: vermogen, jaarverbruik, piek

Warmte stroomt vanzelf alleen van warm naar koud (hoofdstuk 15). Een warmtepomp laat ze de andere kant op gaan, maar niet gratis: ze krijgt arbeid $W$ , neemt warmte $Q_{c}$ op aan de koude kant en geeft $Q_{h}$ af aan de warme kant. Energiebehoud (eerste hoofdwet) over één ronde van de kring:

energiebalans en COP

Q_{h} = Q_{c} + W COP_{h} = \frac{Q _{h}}{W} COP_{c} = \frac{Q _{c}}{W} = COP_{h} - 1

Bij verwarmen telt

Q_{h}

(warmtepomp), bij koelen

Q_{c}

(koelkast, airco). De COP van verwarmen is altijd groter dan 1: ook de arbeid zelf wordt warmte.

De tweede hoofdwet legt een bovengrens op. De warmtepomp neemt entropie $Q_{c} / T_{c}$ op en moet minstens evenveel afgeven: $Q_{h} / T_{h} \geq Q_{c} / T_{c}$ . Daaruit volgt (opdracht 16.14):

grens van Carnot

COP_{h} \leq \frac{T _{h}}{T _{h} - T _{c}} COP_{c} \leq \frac{T _{c}}{T _{h} - T _{c}}

Temperaturen in kelvin. Hoe kleiner het temperatuurverschil, hoe hoger de COP: van 2 °C naar 35 °C is de grens

308/33 = 9, 3

; van −15 naar 55 °C nog maar

328/70 = 4, 7

Echte warmtepompen halen ongeveer 40 à 55 % van die grens: de warmtewisselaars hebben een temperatuurverschil nodig om warmte door te geven, de compressor heeft verliezen, en het ventiel smoort zonder arbeid terug te winnen.

Een COP van 4 betekent een rendement van 400 %

Er ontstaat geen energie: 1 kWh stroom plus 3 kWh warmte uit de buitenlucht wordt 4 kWh warmte binnen. De COP vergelijkt niet wat erin gaat met wat eruit komt, maar wat je betaalt met wat je krijgt.

Uitleg · 16.3

Het koelkringproces

3/20

Hoe krijg je warmte uit lucht van 2 °C? Met een vloeistof die bij een nog lagere temperatuur kookt. Het koudemiddel doorloopt een gesloten kring met vier onderdelen:

Verdamper. Het koudemiddel komt binnen als een koude nevel van vloeistof en damp, bij lage druk. Bij 4,2 bar kookt propaan bij −4 °C: kouder dan de buitenlucht, dus stroomt er warmte naar het koudemiddel, dat verdampt. Verdampen vraagt veel warmte bij een constante temperatuur (hoofdstuk 18 van I).
Compressor. Een elektromotor perst de damp samen tot 13,7 bar. Daarbij warmt ze op (adiabatisch samenpersen, hoofdstuk 15) tot ongeveer 61 °C.
Condensor. Bij 13,7 bar condenseert propaan bij 40 °C: warmer dan het water van 35 °C. De damp geeft haar warmte af aan het water en wordt vloeistof.
Expansieventiel. Een smalle opening laat de druk van de vloeistof terugvallen naar de verdamperdruk. Een deel verdampt meteen, en dat koelt de rest af tot −4 °C. Daarna begint de kring opnieuw.

De sleutel is dat de druk bepaalt bij welke temperatuur het koudemiddel kookt (de dampspanning, hoofdstuk 14). Aan de lage kant kookt het kouder dan de bron, aan de hoge kant condenseert het warmer dan het water. De compressor is de enige die arbeid kost: hij 'tilt' de warmte van −4 naar 40 °C.

Een koelkast is hetzelfde: de verdamper zit binnen in de koelkast, de condensor is het zwarte rooster achteraan, en haar koudemiddel is meestal isobutaan (R600a). Een airco koelt een kamer met de verdamper binnen en de condensor buiten; draait ze om met een 4-wegklep, dan verwarmt ze.

Het koudemiddel neemt warmte op door te verdampen bij lage druk en geeft ze af door te condenseren bij hoge druk; de compressor levert de arbeid.

Ontleed · 16.4

Een lucht-waterwarmtepomp (monobloc) van binnen

4/20

Bij een monobloc zit de hele koelkring in de buitenunit; alleen water gaat naar binnen. Voor een brandbaar koudemiddel als propaan is dat een voordeel: bij een lek komt het gas buiten vrij. De figuur is schematisch: bovenaanzicht van de unit, met de waterkring naar het station.

Koude leidingen in de ene kleur, warme in de andere; de 4-wegklep (4W) kan de richting omkeren om te ontdooien.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Verdamper
Een blok dunne aluminium lamellen rond koperen buizen: veel oppervlakte om warmte uit de lucht te halen. De lucht koelt er enkele graden af; het koudemiddel verdampt erin bij ongeveer 6 °C onder de luchttemperatuur.
2
Ventilator
Blaast buitenlucht door de verdamper (tot ±30 W). Zijn toerental volgt het vermogen; 's nachts kan hij trager draaien voor minder geluid.
3
Compressor
Een rotatie- of scrollcompressor met een frequentieregelaar (30 tot 90 Hz): hij past zijn vermogen aan de vraag aan in plaats van aan en uit te slaan. Hij staat op eigen rubberdempers in de unit.
4
4-wegklep
Kan de stroomrichting van het koudemiddel omkeren: dan wordt de verdamper even condensor, en smelt het ijs op de lamellen (ontdooien).
5
Condensor
Een platenwarmtewisselaar in roestvast staal: aan de ene kant condenserend propaan, aan de andere kant het verwarmingswater. Compact, en zonder lucht ertussen.
6
Expansieventiel
Elektronisch: een stappenmotor verstelt de opening zodat de damp de verdamper net oververhit verlaat (±5 K). Zo komt er geen vloeistof in de compressor, en wordt de verdamper toch goed benut.
7
Rubberdempers en dooiwater
De unit van 60 kg staat op vier voeten type E (hoofdstuk 11): eigenfrequentie 8,7 Hz, zodat bij 30 Hz nog maar 10 % van de trillingen de sokkel bereikt. Het dooiwater loopt weg via een afvoer met een verwarmingslint (anders bevriest ze).
8
Buffervat
100 L water: de warmtepomp kan niet trager dan 30 Hz. Bij weinig vraag laadt ze het buffervat en valt stil; zo draait ze telkens een twintigtal minuten in plaats van enkele, en slijt de compressor minder.
9
Circulatiepomp
Pompt het water rond door de vloerverwarming en de ventiloconvector (±20 W). Klein, maar ze draait vele uren: bij een station met weinig warmtevraag telt haar verbruik mee.

Uitleg · 16.5

Koudemiddelen

5/20

Een goed koudemiddel verdampt bij de brontemperatuur en condenseert bij de aanvoertemperatuur, allebei bij een redelijke druk: boven 1 bar (anders lekt er lucht in) en ver onder de 40 à 50 bar die leidingen en compressoren verdragen. Het heeft een grote verdampingswarmte per volume damp (dan kan de compressor klein blijven) en een kritische temperatuur ruim boven de condensatietemperatuur. En het moet veilig zijn voor mens en klimaat.

koudemiddel	formule	kookpunt bij 1 atm	kritische temperatuur	GWP	veiligheid
R290 (propaan)	C₃H₈	−42,1 °C	96,7 °C	3	A3 (zeer brandbaar)
R600a (isobutaan)	C₄H₁₀	−11,7 °C	134,7 °C	3	A3
R32	CH₂F₂	−51,7 °C	78,1 °C	675	A2L (licht brandbaar)
R410A	mengsel R32 + R125	−51,4 °C	71,3 °C	2088	A1
R134a	CH₂FCF₃	−26,1 °C	101,1 °C	1430	A1
R744 (CO₂)	CO₂	sublimeert −78,5 °C	31,0 °C	1	A1 (hoge druk)
R717 (ammoniak)	NH₃	−33,3 °C	132,3 °C	0	B2L (giftig)

Propaan (R290) scoort goed: bij −4 °C verdampt het bij 4,2 bar en bij 40 °C condenseert het bij 13,7 bar (figuur). Het klimaateffect is verwaarloosbaar (GWP 3), maar het is zeer brandbaar (klasse A3). Daarom: kleine vullingen (enkele honderden gram tot ongeveer een kilogram), de kring helemaal buiten (monobloc), en een veiligheidszone rond de buitenunit zonder ontstekingsbronnen, kelderopeningen of putten waarin het zware gas zich kan verzamelen. De Europese F-gassenverordening van 2024 bouwt koudemiddelen met een hoog GWP verder af, ook in kleine warmtepompen: propaan wint terrein.

Nooit zelf aan de koelkring

Een koelkring staat onder druk (tot 20 bar en meer), bevat een brandbaar of een sterk broeikasgas, en de olie en het koudemiddel mogen niet vervuild raken met lucht of vocht. Openen, vullen en herstellen is werk voor een erkende koeltechnicus. In de klas meet je van buitenaf: temperaturen op de leidingen, het elektrische vermogen.

Hoe hoger de druk, hoe hoger de kooktemperatuur: aan de lage kant kookt propaan bij −4 °C, aan de hoge kant condenseert het bij 40 °C.

Uitleg · 16.6

Het drukenthalpiediagram

6/20

Ingenieurs tekenen een koelkringproces in een drukenthalpiediagram: horizontaal de enthalpie $h$ per kilogram koudemiddel, verticaal de druk op een logaritmische as. De enthalpie $h = u + p v$ is de energie die een stromende stof meeneemt; bij een apparaat waar een stof door stroomt, is de warmte of de arbeid per kilogram gewoon het verschil in $h$ tussen uitgang en ingang (de eerste hoofdwet voor een open systeem).

Links van de 'koepel' is het koudemiddel vloeibaar, rechts damp, eronder een mengsel. Onder de koepel lopen de isothermen horizontaal: verdampen gebeurt bij constante druk én temperatuur.
1 → 2: de compressor. Arbeid per kg $w = h_{2} - h_{1}$ . De lijn loopt schuin naar rechts omhoog: druk en enthalpie stijgen.
2 → 3: de condensor, bij constante druk: $q_{h} = h_{2} - h_{3}$ gaat naar het water. Eerst koelt de hete damp af, dan condenseert ze, dan koelt de vloeistof nog iets af (onderkoeling).
3 → 4: het ventiel, verticaal naar beneden: $h_{4} = h_{3}$ . Er gaat geen warmte of arbeid in of uit, alleen de druk valt, en een deel van de vloeistof verdampt.
4 → 1: de verdamper, bij constante druk: $q_{c} = h_{1} - h_{4}$ komt uit de buitenlucht.

COP uit het diagram

COP_{h} = \frac{h _{2} - h _{3}}{h _{2} - h _{1}} COP_{c} = \frac{h _{1} - h _{4}}{h _{2} - h _{1}}

Dit is de COP van het kringproces; de elektrische COP is kleiner door de verliezen van motor en omvormer, de ventilator, de pomp en het ontdooien.

Het diagram hieronder is geen overgenomen tabel, maar zelf berekend met de toestandsvergelijking van Peng en Robinson (1976), een verfijning van Van der Waals (hoofdstuk 14) die de procesindustrie overal gebruikt. Getoetst aan de tabellen van NIST wijken de dampspanningen hoogstens een halve procent af en de verdampingswarmte ongeveer een procent: goed genoeg voor rekenwaarden. Bij strenge vorst (stippellijn) moet de compressor van een veel lagere druk vertrekken: de lijn 1 → 2 wordt langer, er is meer arbeid nodig per kilogram, en de COP daalt.

De koepel scheidt vloeistof (links), mengsel (eronder) en damp (rechts). Het kringproces is een vierhoek: de breedte van de bovenkant is de warmte naar het water, de schuine lijn de arbeid van de compressor.

Uitgewerkt voorbeeld · 16.7

Een kringproces doorrekenen (A2/W35)

7/20

Een warmtepomp met propaan haalt warmte uit buitenlucht van 2 °C en levert water van 35 °C ('A2/W35'). Het koudemiddel verdampt bij −4 °C en condenseert bij 40 °C, met 5 K oververhitting en 3 K onderkoeling; de compressor heeft een isentropisch rendement van 0,70. Bereken de warmte en de arbeid per kilogram, de COP van het kringproces, en het debiet koudemiddel en het vermogen van de compressor voor 3,5 kW warmte. Vergelijk met Carnot.

Hetzelfde kringproces in het drukenthalpiediagram: de rekenstappen zijn afstanden in h.

Gegeven

$t_{e} = - 4^{\circ} C$ , $t_{c} = 40^{\circ} C$ , oververhitting 5 K, onderkoeling 3 K, $η_{is} = 0, 70$
de toestanden van het koudemiddel uit het model (tabel)

Gevraagd

$q_{c}$ , $w$ , $q_{h}$ en de COP
$\overset{m}{˙}$ en $P$ voor 3,5 kW
vergelijking met Carnot

Oplossing

Toestanden (model van Peng-Robinson, volgende blad):

punt	toestand	druk (bar)	h (kJ/kg)
1	oververhitte damp, 1 °C, naar de compressor	4,18	580,6
2	hete damp, 61 °C, uit de compressor	13,72	662,1
3	onderkoelde vloeistof, 37 °C, uit de condensor	13,72	300,8
4	nevel van vloeistof en damp, −4 °C, na het ventiel	4,18	300,8

2
Per kg: verdamper $q_{c} = h_{1} - h_{4} = 279, 8 kJ$ ; compressor $w = h_{2} - h_{1} = 81, 5 kJ$ ; condensor $q_{h} = h_{2} - h_{3} = 361, 3 kJ$ . Controle: $q_{h} = q_{c} + w$ .
3
$COP_{h} = 361, 3/81, 5 = 4, 43$ (kringproces). Met 92 % voor motor en omvormer: $4, 08$ ; met ontdooien bij 2 °C (−10 %): $3, 67$ .
4
Voor 3,5 kW: $\overset{m}{˙} = 3500 W / (361, 3 kJ/kg) = 9, 7 g/s$ . Compressor: $\overset{m}{˙} w = 789 W$ (aan het koudemiddel); uit de lucht $2711 W$ . De compressor zuigt $1, 09 L$ damp per seconde aan.
5
Carnot tussen de koudemiddeltemperaturen: $313, 15/44 = 7, 12$ ; tussen lucht en water: $308, 15/33 = 9, 34$ . De elektrische COP is 39 % van die laatste grens.

Antwoord

q_{c} \approx 280

w \approx 81

q_{h} \approx 361 kJ/kg

; COP van het kringproces 4,43, elektrisch met ontdooien 3,67. Voor 3,5 kW: 9,7 g propaan per seconde en 789 W compressorarbeid.

Klopt dit? De grootste verliezen tegenover Carnot: de temperatuurverschillen in de warmtewisselaars (−4 °C in plaats van 2 °C, 40 in plaats van 35 °C; alleen al dat verlaagt de grens van 9,3 naar 7,1), de compressor (70 %), het smoren in het ventiel en het ontdooien. Grotere warmtewisselaars verkleinen het eerste verlies, maar kosten geld en ruimte.

Code · 16.8

Het kringproces in Python

8/20

Het model achter het diagram en het voorbeeld. De vergelijking van Peng en Robinson,

p = \frac{R T}{v - b} - \frac{a ( T )}{v ^{2} + 2 b v - b ^{2}},

is een derdegraadsvergelijking in $Z = p v / (R T)$ : de kleinste wortel is de vloeistof, de grootste de damp (np.roots). De dampspanning is de druk waarbij beide fasen even 'vluchtig' zijn (gelijke fugaciteit); het programma zoekt ze met een eenvoudige iteratie. Enthalpie en entropie zijn die van het ideale gas (een integraal van $c_{p}$ , hoofdstuk 3) plus een correctie die uit de toestandsvergelijking volgt. Voor de compressor zoekt het met bisectie de temperatuur waarbij de entropie gelijk blijft (isentropisch samenpersen), en deelt het de arbeid door het isentropisch rendement.

Pythonkringproces.py91 regelsDownload

# kringproces.py - het koelkringproces met propaan (R290), berekend met de toestandsvergelijking van Peng-Robinsonimport numpy as np R, M = 8.314462618, 44.097e-3                    # J/(mol K), kg/molTk, pk, om = 369.89, 42.512e5, 0.1521            # kritisch punt (K, Pa) en acentrische factor van propaankap = 0.37464 + 1.54226 * om - 0.26992 * om**2a0, b = 0.45724 * R**2 * Tk**2 / pk, 0.07780 * R * Tk / pkC = (-4.224, 0.3063, -1.586e-4, 3.215e-8)        # cp van het ideale gas: C0 + C1 T + C2 T² + C3 T³ (J/(mol K))w2 = np.sqrt(2)  def a(T):    return a0 * (1 + kap * (1 - np.sqrt(T / Tk)))**2  def dadT(T):    return -a0 * kap * (1 + kap * (1 - np.sqrt(T / Tk))) / np.sqrt(T * Tk)  def Z(T, p, fase):    """Compressibiliteitsfactor: de kleinste wortel is de vloeistof, de grootste de damp."""    A, B = a(T) * p / (R * T)**2, b * p / (R * T)    w = np.roots([1, B - 1, A - 3 * B**2 - 2 * B, -(A * B - B**2 - B**3)])    w = sorted(x.real for x in w if abs(x.imag) < 1e-9 and x.real > B)    return (w[0] if fase == "vloeistof" else w[-1]), A, B  def L(z, B):                                     # een logaritme die in alle formules terugkomt    return np.log((z + (1 + w2) * B) / (z + (1 - w2) * B))  def psat(T):    """Dampspanning: de druk waarbij vloeistof en damp even 'vluchtig' zijn (gelijke fugaciteit)."""    p = pk * np.exp(5.373 * (1 + om) * (1 - Tk / T))          # beginschatting (Wilson)    for _ in range(60):        zl, A, B = Z(T, p, "vloeistof")        zv, _, _ = Z(T, p, "damp")        lnf = [z - 1 - np.log(z - B) - A / (2 * w2 * B) * L(z, B) for z in (zl, zv)]        p = p * np.exp(lnf[0] - lnf[1])    return p  def hs_ruw(T, p, fase):    """Enthalpie (J/kg) en entropie (J/(kg K)): ideaal gas vanaf 273,15 K en 1 bar, plus de afwijking van Peng-Robinson."""    z, A, B = Z(T, p, fase)    f = lambda t: C[0] * t + C[1] * t**2 / 2 + C[2] * t**3 / 3 + C[3] * t**4 / 4    g = lambda t: C[0] * np.log(t) + C[1] * t + C[2] * t**2 / 2 + C[3] * t**3 / 3    h = f(T) - f(273.15) + R * T * (z - 1) + (T * dadT(T) - a(T)) / (2 * w2 * b) * L(z, B)    s = g(T) - g(273.15) - R * np.log(p / 1e5) + R * np.log(z - B) + dadT(T) / (2 * w2 * b) * L(z, B)    return h / M, s / M  # referentie: verzadigde vloeistof bij 0 °C heeft h = 200 kJ/kg en s = 1 kJ/(kg K)_h0, _s0 = hs_ruw(273.15, psat(273.15), "vloeistof")  def hs(T, p, fase):    h, s = hs_ruw(T, p, fase)    return h - _h0 + 200e3, s - _s0 + 1000.0  def bisectie(f, lo, hi):    for _ in range(60):        mid = (lo + hi) / 2        lo, hi = (mid, hi) if f(lo) * f(mid) > 0 else (lo, mid)    return (lo + hi) / 2  def cyclus(te, tc, oververhit=5.0, onderkoel=3.0, eta_is=0.70):    """Verdampen bij te en condenseren bij tc (°C). Geeft drukken (Pa), enthalpieën (J/kg) en de COP van het kringproces."""    Te, Tc = te + 273.15, tc + 273.15    pe, pc = psat(Te), psat(Tc)    h1, s1 = hs(Te + oververhit, pe, "damp")                            # 1: oververhitte damp naar de compressor    T2s = bisectie(lambda T: hs(T, pc, "damp")[1] - s1, Tc, Tc + 150)   # isentropisch samenpersen    h2 = h1 + (hs(T2s, pc, "damp")[0] - h1) / eta_is                   # 2: echte compressor    T2 = bisectie(lambda T: hs(T, pc, "damp")[0] - h2, Tc, Tc + 200)    h3 = hs(Tc - onderkoel, pc, "vloeistof")[0]                         # 3: onderkoelde vloeistof na de condensor    h4 = h3                                                             # 4: smoren in het expansieventiel    rho1 = pe * M / (Z(Te + oververhit, pe, "damp")[0] * R * (Te + oververhit))    return {"pe": pe, "pc": pc, "h1": h1, "h2": h2, "h3": h3, "h4": h4, "T2": T2 - 273.15, "rho1": rho1,            "qe": h1 - h4, "w": h2 - h1, "qc": h2 - h3, "cop": (h2 - h3) / (h2 - h1)}  if __name__ == "__main__":    for t in (-42.1, 0.0, 40.0):        print(f"propaan bij {t:6.1f} °C: dampspanning {psat(t + 273.15) / 1e5:6.2f} bar")    c = cyclus(-4.0, 40.0)                       # buitenlucht 2 °C, water 35 °C (A2/W35)    print(f"verdampen {c['pe'] / 1e5:.2f} bar, condenseren {c['pc'] / 1e5:.2f} bar, uit de compressor {c['T2']:.1f} °C")    print(f"h1 = {c['h1'] / 1e3:.1f}, h2 = {c['h2'] / 1e3:.1f}, h3 = h4 = {c['h3'] / 1e3:.1f} kJ/kg")    print(f"per kg: verdamper {c['qe'] / 1e3:.1f} kJ, compressor {c['w'] / 1e3:.1f} kJ, condensor {c['qc'] / 1e3:.1f} kJ")    print(f"COP van het kringproces: {c['cop']:.2f}")

Uitvoer:

propaan bij  -42.1 °C: dampspanning   1.02 bar
propaan bij    0.0 °C: dampspanning   4.73 bar
propaan bij   40.0 °C: dampspanning  13.72 bar
verdampen 4.18 bar, condenseren 13.72 bar, uit de compressor 61.2 °C
h1 = 580.6, h2 = 662.1, h3 = h4 = 300.8 kJ/kg
per kg: verdamper 279.8 kJ, compressor 81.5 kJ, condensor 361.3 kJ
COP van het kringproces: 4.43

De dampspanningen kloppen met de tabellen (1,01 bar bij −42,1 °C: het normale kookpunt van propaan; NIST: 4,74 en 13,69 bar). Met cyclus() kan je nu elke combinatie van bron en aanvoertemperatuur doorrekenen; de COP-lijnen verderop en de simulatie van het station gebruiken precies deze functie.

Echte tabellen

Voor een echt ontwerp gebruiken ingenieurs nauwkeuriger toestandsvergelijkingen met tientallen parameters per stof (zoals in de databank REFPROP van NIST of de vrije bibliotheek CoolProp). Het principe is hetzelfde: $p$ , $T$ en $v$ in één vergelijking, en daaruit $h$ en $s$ .

Proef · 16.9

De COP van een koelkast meten

9/20

Onderzoeksvraag

Hoeveel warmte haalt een koelkast uit haar binnenkant per kilowattuur stroom?

Materiaal

een kleine koelkast (of koelbox met compressor) die al een dag aanstaat
een energiemeter voor het stopcontact
6 flessen van 1,0 L water op kamertemperatuur
een temperatuursensor in het water van één fles, een thermometer voor de keuken

VeiligheidOpen nooit de koelkring en maak geen gaten in de wanden van de koelkast (daar lopen soms leidingen). Het rooster kan heet zijn.

Water afkoelen in een koelkast en het stroomverbruik meten: zo meet je de COP van koelen.

Werkwijze

1Meet eerst 4 uur lang het verbruik van de lege koelkast (de deur dicht): dat is wat ze nodig heeft om haar warmtelekken te compenseren.
2Zet de 6 L water (21 °C) in de koelkast, sluit de deur en meet opnieuw 4 uur het verbruik en de watertemperatuur.
3Bereken de warmte die uit het water gehaald werd, en deel door het extra verbruik.
4Voel voorzichtig aan het rooster achteraan: hoe warm wordt het?

Waarneming

Een voorbeeldmeting: leeg 0,10 kWh in 4 uur; met water 0,16 kWh, en het water koelt af van 21 naar 7 °C. Het rooster achteraan wordt ongeveer 40 °C, in de koelkast meet een sensor op de verdamper −17 °C.

Verklaring

Warmte uit het water: $Q_{c} = m c Δ T = 6 \cdot 4186 \cdot 14 = 352 kJ$ . Extra stroom: $0, 06 kWh = 216 kJ$ . COP van koelen: $1, 6$ . De grens van Carnot tussen verdamper (−17 °C) en rooster (40 °C) is $256/57 = 4, 5$ : de koelkast haalt ongeveer een derde daarvan. Dat is gewoon voor een kleine koelkast: haar compressor is klein en slaat vaak aan en af. Het model van dit hoofdstuk (verdampen bij −20 °C, condenseren bij 35 °C) geeft voor het kringproces 2,5, en met motorverliezen 2,3.

Een bron van fouten: ook de flessen en de lucht in de koelkast koelen af, en de lege meting was misschien niet representatief (een deur die even openging). Herhaal de meting en neem het gemiddelde.

Uitleg · 16.10

COP: Carnot tegenover echt, en de stooklijn

10/20

Met het model kan je de COP berekenen voor elke buitentemperatuur. Drie lessen uit de figuur:

Hoe kouder buiten, hoe lager de COP: bij water van 35 °C daalt ze van 4,6 bij 7 °C tot 3,3 bij −7 °C en 2,9 bij −15 °C. Het verschil dat de compressor moet overbruggen, groeit, en de dampdichtheid aan de zuigkant daalt.
Een knik rond 0 à 5 °C: bij vochtige lucht net boven het vriespunt bevriest waterdamp op de verdamper (verderop), en ontdooien kost energie.
De aanvoertemperatuur telt enorm: water van 55 °C in plaats van 35 °C kost bij 0 °C buiten ongeveer 33 % van de COP. Daarom horen bij een warmtepomp grote, lauwe verwarmingsoppervlakken: vloerverwarming, ventiloconvectoren of grote radiatoren.

Een gebouw heeft bij zacht weer minder warmte nodig, dus kan het water dan ook kouder zijn. Dat verband heet de stooklijn. Voor het station: 35 °C bij −8 °C (de ontwerptemperatuur), en 25 °C vanaf 9 °C buiten:

stooklijn van het station (rekenwaarde)

t_{aanvoer} = 20 + 15 \cdot \frac{20 - t _{b}}{28} (25 \leq t_{aanvoer} \leq 40^{\circ} C)

Zo werkt de warmtepomp altijd met het kleinste temperatuurverschil dat nog volstaat: bij 7 °C buiten haalt ze met de stooklijn een COP van 5,9 in plaats van 4,6.

De SCOP (seizoens-COP) weegt de COP bij elke buitentemperatuur met de warmte die dan nodig is. Dat doet de binmethode: tel hoeveel uren het jaar elke temperatuur heeft (de 'bins'), bereken de warmtevraag en de COP in elke bin, en tel op. De Europese norm EN 14825 doet het zo met een genormaliseerd klimaat; wij doen het met het rekenjaar van Ukkel uit hoofdstuk 15. De meeste stookuren vallen rond 8 °C, de meeste warmte tussen −1 en 5 °C: gewone winterdagen, niet de strengste vorst.

Echte COP's liggen op 40 à 50 % van Carnot. Met de stooklijn (en dus koeler water bij zacht weer) stijgt de COP sterk.

Het rekenjaar in klassen van 1 °C: de meeste stookuren vallen tussen 3 en 8 °C, de meeste warmte tussen −1 en 5 °C; strenge vorst is zeldzaam.

Uitgewerkt voorbeeld · 16.11

Vloerverwarming of radiator? De aanvoertemperatuur telt

11/20

Een woning heeft bij 0 °C buiten 4,0 kW warmte nodig. Met vloerverwarming volstaat water van 35 °C, met gewone radiatoren is 55 °C nodig. Bereken met het model de COP, het elektrische vermogen en het verschil per 1000 uur stoken bij deze temperatuur. Hoe groot is de grens van Carnot in beide gevallen?

Gegeven

$Q = 4, 0 kW$ bij 0 °C buiten
WP-1: COP bij 0 °C: $3, 59$ (35 °C) en $2, 42$ (55 °C)

Gevraagd

elektrisch vermogen in beide gevallen
verschil per 1000 uur
Carnot

Oplossing

1
35 °C: $P = 4000/3, 59 = 1115 W$ . 55 °C: $P = 4000/2, 42 = 1656 W$ .
2
Per 1000 uur: $541 W \cdot 1000 h = 541 kWh$ meer met radiatoren.
3
Carnot: $308, 15/35 = 8, 8$ en $328, 15/55 = 6, 0$ . Beide echte COP's zijn ongeveer 40 % van de grens.

Antwoord

Met vloerverwarming 1115 W, met radiatoren 1656 W: 49 % meer stroom voor dezelfde warmte.

Klopt dit? Vuistregel uit de praktijk: elke graad die het water warmer moet, kost ongeveer 2 % COP; over 20 graden samengesteld (

0, 9 8^{20} = 0, 67

) is dat een derde. Het model: 33 % minder COP. Wie een warmtepomp in een bestaand huis plaatst, isoleert daarom eerst en vervangt kleine radiatoren door grotere.

Uitleg · 16.12

Bronnen: lucht, bodem, water

12/20

Een warmtepomp werkt beter naarmate haar bron warmer is. Buitenlucht is overal en gratis, maar het koudst wanneer je het meest warmte nodig hebt. De bodem en het grondwater zijn in de winter veel warmer.

bron	temperatuur in de winter	voordelen	nadelen
buitenlucht	−8 tot 8 °C (en kouder)	overal, goedkoop, geen boring	koudst als je het meest nodig hebt; ontdooien; geluid
bodem, horizontale collector (1-1,5 m)	7 à 8 °C	stabieler dan lucht	veel grond nodig (twee à drie keer de vloeroppervlakte), graafwerk
bodem, verticale sonde (50-150 m)	±10 à 12 °C	stabiel, hoogste COP in de winter	duur (boring), vergunning
grondwater of oppervlaktewater	grondwater ±10-12 °C, rivier 2-8 °C	groot vermogen mogelijk	vergunning, vervuiling van de wisselaar, water moet terug

Waarom is de bodem zo stabiel? De temperatuur aan het oppervlak schommelt over het jaar rond het jaargemiddelde. Die golf dringt de grond in, maar wordt gedempt en vertraagd. De warmtevergelijking (hoofdstuk 17) geeft:

temperatuurgolf in de bodem

T (z, t) = \overset{ˉ}{T} - A_{0} e^{- z / d} cos (ω (t - t_{0}) - \frac{z}{d}) d = \frac{2 α}{ω}

A_{0}

: amplitude aan het oppervlak;

α

: warmtediffusie van de grond (m²/s);

ω = 2 π

per jaar. Met

α = 0, 8 \cdot 1 0^{- 6} m^{2} /s

(vochtige leem) is

d = 2, 83 m

: op elke

d

dieper wordt de schommeling

e

keer kleiner en schuift ze een radiaal (58 dagen) op.

Op 1,5 m is de schommeling nog 4,7 K en is het koudst ongeveer 31 dagen later dan aan het oppervlak, half februari. Op 10 m merk je de seizoenen nauwelijks meer: de temperatuur is er het hele jaar ongeveer 11,5 °C.

Vlak onder het oppervlak volgt de bodem de seizoenen; dieper wordt de golf kleiner en komt ze later. Op 10 m is het het hele jaar ongeveer even warm.

Uitgewerkt voorbeeld · 16.13

Hoe diep moet een bodemcollector?

13/20

Het station overweegt een horizontale bodemcollector: kunststof buizen met pekel (water met glycol) in de grond. Hoe koud is de grond op 0,8 m en op 1,5 m op de koudste dag? Welke COP haalt de warmtepomp dan bij water van 35 °C, als de pekel 3 K kouder is dan de grond, tegenover lucht van −8 °C?

Gegeven

$\overset{ˉ}{T} = 11, 5^{\circ} C$ , $A_{0} = 8, 0 K$ , $d = 2, 83 m$
model WP-1, verdampen 6 K onder de brontemperatuur

Gevraagd

laagste grondtemperatuur op 0,8 en 1,5 m
COP met bodem tegenover lucht

Oplossing

1
Laagste temperatuur op diepte $z$ : $\overset{ˉ}{T} - A_{0} e^{- z / d}$ . Op 0,8 m: $11, 5 - 8, 0 e^{- 0, 8/2, 83} = 5, 5^{\circ} C$ ; op 1,5 m: $6, 8^{\circ} C$ .
2
Pekel op 1,5 m: ongeveer $3, 8^{\circ} C$ . COP bij 35 °C (zonder ontdooien, er vriest niets aan de lucht): $4, 26$ . Lucht van −8 °C: $3, 28$ .
3
Voor het station (1400 W bij −8 °C) is dat 426 W tegenover 328 W elektrisch.

Antwoord

Op 1,5 m zakt de grond niet onder ±7 °C (op 0,8 m ±5 °C). Bij −8 °C haalt de bodemwarmtepomp een COP van ±4,3 tegenover 3,3 voor lucht.

Klopt dit? Een collector onttrekt zelf warmte en koelt de grond rond de buizen af: in werkelijkheid ligt de pekel in een strenge winter nog een paar graden lager. Vuistregel: 20 à 30 W per m² grond, dus voor 1,4 kW zo'n 50 à 70 m² collector. Voor een klein, goed geïsoleerd station weegt het graafwerk zwaarder dan de winst.

Uitleg · 16.14

Ontdooien, geluid en trillingen

14/20

IJs op de verdamper. De lamellen van de verdamper zijn enkele graden kouder dan de lucht. Liggen ze onder het dauwpunt van de lucht (hoofdstuk 14), dan condenseert er waterdamp; liggen ze bovendien onder 0 °C, dan wordt het rijp. Dat gebeurt het meest bij 0 à 5 °C en vochtig weer: dan bevat de lucht veel waterdamp. Bij −10 °C is de lucht zo droog dat er weinig ijs aangroeit. Een laag rijp isoleert en verstopt de lamellen; de COP zakt.

Ontdooien. De warmtepomp keert met de 4-wegklep de kring even om: de hete damp gaat naar de verdamper, het ijs smelt en loopt weg (bij 0 °C en 90 % RV kan een kleine unit zo enkele liters per dag verliezen). De warmte daarvoor komt uit het buffervat. Een goede regeling ontdooit alleen als het nodig is: ze meet de temperatuur van de verdamper en de lucht (en eventueel de RV) en ziet het vermogen dalen.

Geluid. Een buitenunit maakt geluid met haar ventilator en compressor. Fabrikanten geven het geluidsvermogenniveau $L_{W}$ ; wat je hoort op afstand $r$ is het geluidsdrukniveau. Voor een unit op de grond (geluid verspreidt zich over een halve bol) is ongeveer $L_{p} = L_{W} - 20 lo g_{10} r - 8 dB$ . Een unit van 55 dB(A) geeft op 5 m nog $55 - 14 - 8 = 33 dB (A)$ , zoals fluisteren; op 1 m 47 dB(A). Plaats de unit dus niet onder het slaapkamerraam, en niet in een hoek tussen muren (die kaatsen het geluid terug).

Trillingen. De compressor draait met 30 tot 90 Hz. Hoofdstuk 11 koos voor de buitenunit van 60 kg vier rubberdempers type E: eigenfrequentie 8,7 Hz, zodat bij 30 Hz nog 10 % en bij 90 Hz nog 1,4 % van de trillingskracht de sokkel bereikt. Dat werkt alleen als de leidingen en de kabel flexibel aangesloten zijn; anders lopen de trillingen om de dempers heen.

De frequentieregelaar en de resonantie

Een compressor met frequentieregelaar kan elke snelheid tussen 30 en 90 Hz kiezen. Valt er ergens een eigenfrequentie van de sokkel, de leidingen of de gevel in dat gebied, dan kan de regeling die snelheid overslaan ('verboden frequenties'), net zoals de windturbine door haar kritische toerentallen moet (hoofdstuk 11).

Rijp op de lamellen van de verdamper: bij 0 à 5 °C en vochtig weer groeit het snel aan, en moet de warmtepomp ontdooien.

Uitleg · 16.15

Vermogen tegenover warmtevraag: het bivalentiepunt

15/20

Een warmtepomp levert bij strenge vorst niet alleen met een lagere COP, maar ook minder vermogen: de damp aan de zuigkant is ijler (lagere druk), dus perst dezelfde compressor minder kilogram per seconde. WP-1 levert bij 90 Hz 5,3 kW bij 7 °C (water 35 °C), 3,3 kW bij −8 °C en 2,5 kW bij −15 °C (met de stooklijn).

De warmtevraag van het station stijgt lineair als het kouder wordt: 50 W per graad. Waar de twee lijnen elkaar snijden, ligt het bivalentiepunt: daaronder moet een tweede verwarming bijspringen. Voor WP-1 en het station ligt het ver onder −15 °C, zelfs zonder interne winst. De noodverwarming van 2 kW (hoofdstuk 39) blijft dus een reserve voor een defecte warmtepomp, niet voor gewone vorst.

Het omgekeerde probleem is groter: bij zacht weer is de warmtepomp veel te sterk. Haar kleinste stand (30 Hz) levert bij 5 °C nog ongeveer 1,7 kW, terwijl het station dan maar 217 W vraagt. Ze moet dan aan en uit schakelen ('pendelen'). Het buffervat van 100 L vangt dat op: bij 5 K temperatuurzwaai bevat het $100 \cdot 4, 19 \cdot 5 = 2, 1 MJ = 0, 58 kWh$ , genoeg om de warmtepomp telkens zo'n twintig minuten te laten draaien.

De warmtepomp (volle lijn: maximaal) levert overal meer dan het station vraagt; bij zacht weer is zelfs haar kleinste stand te groot.

Code · 16.16

Habitat: een warmtepomp voor het station kiezen

16/20

Het station krijgt een lucht-waterwarmtepomp: een monobloc met propaan van de 4 kW-klasse (WP-1, rekenwaarden uit het model, geen merk), met de stooklijn van 35 °C bij −8 °C, een buffervat van 100 L, vloerverwarming in de woonmodule en de ventiloconvector van de klimaatmodule op dezelfde waterkring (hoofdstuk 31 van I). Het programma rekent uur per uur door het rekenjaar van hoofdstuk 15: warmtevraag, COP en vermogen bij de buitentemperatuur van dat uur, plus de hulpenergie van de circulatiepomp (20 W zolang er warmtevraag is) en de ventilator. Het bestand rekenjaar.csv bevat de 8760 uurtemperaturen.

Pythonseizoen.py38 regelsDownload

# seizoen.py - de warmtepomp van het station over een rekenjaar, uur per uurimport numpy as npfrom kringproces import cyclus                    # het model van hierboven (Peng-Robinson, propaan) UA, WINST = 50.0, 533.3                          # warmteverlies (W/K) en interne winst (W) van het stationVD = 0.00162                                     # slagvolume maal toerental van de compressor bij 90 Hz (m³/s)  def stooklijn(Tb):                               # aanvoertemperatuur van het water (°C)    return min(40.0, max(25.0, 20 + 15 * (20 - Tb) / 28))  def ontdooien(Tb):                               # extra energie om ijs van de verdamper te smelten (fractie)    if Tb <= -7 or Tb >= 7:        return 0.0    return 0.10 * (Tb + 7) / 9 if Tb <= 2 else 0.10 * (7 - Tb) / 5  def warmtepomp(Tb):    c = cyclus(Tb - 6.0, stooklijn(Tb) + 5.0)     # verdampen 6 K onder de lucht, condenseren 5 K boven het water    lam = 0.95 - 0.025 * c["pc"] / c["pe"]        # volumetrisch rendement van de compressor    return VD * c["rho1"] * lam * c["qc"], c["cop"] * 0.92 * (1 - ontdooien(Tb))   # Qmax (W), COP  T = np.loadtxt(open("rekenjaar.csv"))            # 8760 uurtemperaturen van het rekenjaar (°C)rooster = np.arange(-20.0, 21.0)                 # tabel om de 1 °C, daarna interpolerentab = np.array([warmtepomp(t) for t in rooster])Qmax, COP = np.interp(T, rooster, tab[:, 0]), np.interp(T, rooster, tab[:, 1]) Q = np.clip(UA * (20 - T) - WINST, 0, None)      # warmtevraag per uur (W)P = Q / COP + np.where(Q > 0, 20 + 30 * np.minimum(Q / Qmax, 1), 0)   # compressor + pomp + ventilator (W)tekort = np.clip(Q - Qmax, 0, None)              # wat de noodverwarming zou moeten bijleggen print(f"warmte {Q.sum() / 1e3:.0f} kWh, elektriciteit {P.sum() / 1e3:.0f} kWh, SCOP {Q.sum() / P.sum():.2f}")print(f"waarvan hulpenergie (pomp en ventilator): {(P - Q / COP).sum() / 1e3:.0f} kWh")print(f"hoogste warmtevraag {Q.max():.0f} W, hoogste opgenomen vermogen {P.max():.0f} W")print(f"uren met warmtevraag {int((Q > 0).sum())}, uren onder de kleinste stand (pendelen): {int(((Q > 0) & (Q < Qmax / 3)).sum())}")print(f"tekort voor de noodverwarming: {tekort.sum() / 1e3:.1f} kWh")

Ook te downloadenrekenjaar.csv8760 uurtemperaturen (°C) van het synthetische rekenjaar voor Ukkel · 8760 regels

Uitvoer:

warmte 897 kWh, elektriciteit 285 kWh, SCOP 3.15
waarvan hulpenergie (pomp en ventilator): 77 kWh
hoogste warmtevraag 901 W, hoogste opgenomen vermogen 308 W
uren met warmtevraag 3559, uren onder de kleinste stand (pendelen): 3559
tekort voor de noodverwarming: 0.0 kWh

De warmtepomp levert de 897 kWh warmte met 285 kWh stroom: een SCOP van 3,1. Dat is lager dan de COP bij 7 °C, en dat heeft twee oorzaken. De hulpenergie weegt zwaar: 77 kWh, ruim een kwart, omdat de circulatiepomp 3559 uur draait voor een kleine warmtevraag. En de warmtepomp moet in alle 3559 stookuren pendelen: zelfs haar kleinste stand (30 Hz) levert meer dan het station ooit vraagt. Het model rekent met de COP van een draaiende machine; elke start kost in werkelijkheid een beetje extra, dus de echte SCOP ligt nog wat lager. Een slimme regeling laat de pomp alleen draaien als de warmtepomp of het buffervat warmte levert. Nooit is er een tekort: de noodverwarming hoeft in het rekenjaar niet bij te springen.

Uitgewerkt voorbeeld · 16.17

Habitat: warmtepomp tegenover elektrische verwarming in cijfers

17/20

Vergelijk de warmtepomp met de elektrische noodverwarming als gewone verwarming van het station: stroom per jaar, kost, en vermogen bij −8 °C en bij een koudegolf van −15 °C (reken dan zonder interne winst: het is nacht, de lampen zijn uit). Wat betekent het voor de maanden december en januari, die in hoofdstuk 15 een tekort hadden?

Gegeven

rekenjaar: 897 kWh warmte; WP-1: 285 kWh stroom (seizoen.py)
COP met de stooklijn: $3, 28$ bij −8 °C, $2, 71$ bij −15 °C; hulpenergie 50 W
€ 0,30 per kWh (rekenwaarde)

Gevraagd

jaarverbruik en kost
vermogen bij −8 en −15 °C
gevolg voor de wintermaanden

Oplossing

1
Per jaar: elektrisch $897 kWh$ (€ 269), warmtepomp $285 kWh$ (€ 85). Besparing $612 kWh$ , 68 %.
2
−8 °C: $50 \cdot 28 = 1400 W$ warmte; elektrisch 1400 W, warmtepomp $1400/3, 28 + 50 = 476 W$ .
3
−15 °C: $50 \cdot 35 = 1750 W$ ; elektrisch 1750 W, warmtepomp $1750/2, 71 + 50 = 696 W$ . De warmtepomp kan dan nog 2486 W leveren: genoeg.
4
December en januari: de verwarming vroeg daar samen 421 kWh elektrisch; met de warmtepomp ongeveer een derde. Het tekort van hoofdstuk 15 verdwijnt (opdracht 15.12).

Overzicht:

	elektrische verwarming	warmtepomp WP-1
warmte per jaar (rekenjaar)	897 kWh	897 kWh
elektriciteit per jaar	897 kWh	285 kWh (SCOP 3,15)
kost aan € 0,30/kWh	€ 269	€ 85
vermogen bij −8 °C (zonder winst: 1400 W warmte)	1400 W	476 W
vermogen bij −15 °C (1750 W warmte)	1750 W	696 W
grootste opgenomen vermogen	2000 W (vol vermogen)	±1163 W (90 Hz bij zacht weer)

Antwoord

De warmtepomp bespaart ongeveer 612 kWh (€ 184) per jaar en vraagt bij −15 °C 696 W in plaats van 1750 W: 40 % van het piekvermogen.

Klopt dit? De jaarwinst is bescheiden, omdat het station goed geïsoleerd is en veel interne winst heeft (hoofdstuk 15). Het echte voordeel zit in de winter: minder stroom precies in de donkere maanden, en een kleinere piek als de batterij het moeilijk heeft. Op een afgelegen plek zonder net weegt dat het zwaarst.

Uitgewerkt voorbeeld · 16.18

Habitat: past het op de 48 V-kant?

18/20

De netomvormer van het station levert 4,0 kVA continu (hoofdstuk 7). Controleer met fasoren drie situaties op een koude avond: (A) de warmtepomp op vol vermogen met de drukpomp, de koelkast en de rest; (B) de warmtepomp defect, de noodverwarming aan; (C) warmtepomp én noodverwarming samen. Hoeveel stroom trekt de omvormer uit het 48 V-net?

Gegeven

warmtepomp hoogstens 1,16 kW, cos φ ≈ 0,98 (omvormercompressor met PFC)
drukpomp 0,75 kW (cos φ 0,81), koelkast 0,15 kW (0,70), rest 0,30 kW (0,95); noodverwarming 2,0 kW (1,0)
omvormer: 93 %, batterij 44 tot 56 V

Gevraagd

P, Q en S per situatie
stroom aan de 48 V-kant
een regel voor het brein

Oplossing

Per last:

Q = P tan φ

(hoofdstuk 7). Tel

P

Q

apart op, dan

S = P^{2} + Q^{2}

situatie	P (kW)	Q (kvar)	S (kVA)	binnen 4,0 kVA?
A: warmtepomp vol, drukpomp, koelkast, rest	2,36	1,03	2,58	ja
B: noodverwarming in plaats van de warmtepomp	3,20	0,79	3,30	ja
C: warmtepomp én noodverwarming, met drukpomp	4,36	1,03	4,48	nee

2
Stroom aan de gelijkstroomkant: $I = P / (η U)$ . Situatie A bij 48 V: $2363/ (0, 93 \cdot 48) = 53 A$ . Situatie C bij een bijna lege batterij (44 V): $107 A$ .
3
A en B passen ruim; C overschrijdt de omvormer. Regel voor het brein: de noodverwarming mag alleen aan als de warmtepomp in storing is (of stilstaat) en nooit samen met de drukpomp als die al met de warmtepomp draait. De omvormercompressor start zacht en heeft geen aanloopstroom; alleen de drukpomp vraagt kort ±6,3 kVA.

Antwoord

Normaal (A) 2,6 kVA en ±53 A bij 48 V; met de noodverwarming in plaats van de warmtepomp (B) 3,3 kVA; beide samen (C) 4,5 kVA: te veel. Het brein sluit C uit.

Klopt dit? Met elektrische verwarming als gewone verwarming zou situatie B elke koude avond gelden: 3,3 kVA, dicht bij de grens. De warmtepomp geeft meer dan een kilowatt marge op de omvormer.

Naslag · 16.19

Warmtepompen: formules en kerngetallen

19/20

Werkwijze: (1) bepaal bron- en aanvoertemperatuur; (2) schat de temperaturen van het koudemiddel (±5 à 6 K voorbij de bron en het water); (3) lees of bereken $h_{1}$ tot $h_{4}$ ; (4) COP en debiet; (5) toets aan Carnot; (6) voor een seizoen: binmethode met de stooklijn, inclusief ontdooien en hulpenergie.

energiebalans

Q_{h} = Q_{c} + W

COP en Carnot

COP_{h} = \frac{Q _{h}}{W} \leq \frac{T _{h}}{T _{h} - T _{c}} COP_{c} = \frac{Q _{c}}{W} \leq \frac{T _{c}}{T _{h} - T _{c}}

symbool	betekenis	eenheid
$T$	temperatuur	K

kringproces per kg

q_{c} = h_{1} - h_{4} w = h_{2} - h_{1} q_{h} = h_{2} - h_{3} h_{4} = h_{3}

symbool	betekenis	eenheid
$h$	enthalpie	J/kg

debiet

\overset{m}{˙} = \frac{P _{warmte}}{q _{h}} \dot{V}_{zuig} = \frac{m ˙}{ρ _{1}}

seizoens-COP (binmethode)

SCOP = \frac{\sum Q _{i}}{\sum Q _{i} / COP _{i} + E _{hulp}}

bodemtemperatuur

T (z) = \overset{ˉ}{T} - A_{0} e^{- z / d} cos (ω t - z / d), d = 2 α / ω

geluid van een unit op de grond

L_{p} \approx L_{W} - 20 lo g_{10} r - 8 dB

symbool	betekenis	eenheid
$r$	afstand	m

WP-1 (model), water 35 °C	A7	A2	A−7	A−15
COP (met ontdooien)	4,63	3,67	3,35	2,89
vermogen bij 90 Hz (kW)	5,3	4,5	3,4	2,6
Carnot (lucht → water)	11,0	9,3	7,3	6,2

koudemiddel	formule	kookpunt bij 1 atm	kritische temperatuur	GWP	veiligheid
R290 (propaan)	C₃H₈	−42,1 °C	96,7 °C	3	A3 (zeer brandbaar)
R600a (isobutaan)	C₄H₁₀	−11,7 °C	134,7 °C	3	A3
R32	CH₂F₂	−51,7 °C	78,1 °C	675	A2L (licht brandbaar)
R410A	mengsel R32 + R125	−51,4 °C	71,3 °C	2088	A1
R134a	CH₂FCF₃	−26,1 °C	101,1 °C	1430	A1
R744 (CO₂)	CO₂	sublimeert −78,5 °C	31,0 °C	1	A1 (hoge druk)
R717 (ammoniak)	NH₃	−33,3 °C	132,3 °C	0	B2L (giftig)

Het geheel · 16.20

Waar warmtepompen vandaan komen en waar ze heen gaan

20/20

Een warmtepomp brengt samen wat de vorige twee hoofdstukken bouwden: gassen en dampspanning (hoofdstuk 14), de hoofdwetten en Carnot (hoofdstuk 15). Ze raakt de materialen (M: koudemiddelen, hun veiligheid en klimaateffect) en het ontwerpen (D: kiezen, dimensioneren, plaatsen, trillingen en geluid).

I18 Warmte berekenen

Verdampingswarmte, warmtecapaciteit, een buffer van water.

I19 Warmtetransport en isolatie

Het warmteverlies van de module (20,2 W/K), waarvoor de warmtepomp werkt.

I31 Regelsystemen

De ventiloconvector op de warmwaterkring van het station.

E7 Sinusoïden, complexe getallen en fasoren

Fasoren: de belasting van de netomvormer met de warmtepomp.

E11 Trillingen en resonantie

Rubberdempers type E onder de buitenunit, verboden frequenties.

E14 Gassen en de gaswetten

Dampspanning, kritisch punt, dauwpunt (ijs op de verdamper), echte gassen.

E15 De hoofdwetten van de thermodynamica

Carnot, entropie, de jaarbalans en het rekenjaar.

E17 Warmteoverdracht kwantitatief

Warmtewisselaars, de temperatuurgolf in de bodem, het tweeknoopsmodel met buffervat.

E18 Stroming van vloeistoffen en gassen

De waterkring: pompcurve, drukverlies in de vloerverwarming.

E24 Vermogenselektronica en elektrische machines

De frequentieregelaar van de compressor en de netomvormer.

E39 PID-regeling

De regeling van de aanvoertemperatuur; de noodverwarming van 2 kW als reserve.

E47 Duurzaamheid en levenscyclusanalyse

Koudemiddel, lekken en stroom over de hele levensduur.

HabitatHet station krijgt een lucht-waterwarmtepomp: monobloc met propaan (R290) van de 4 kW-klasse (WP-1: 5,3 kW bij A7/W35 en 90 Hz, 2,5 kW bij −15 °C; COP 4,6 / 3,7 / 3,3 / 2,9 bij A7/A2/A−7/A−15 en W35), stooklijn 35 °C bij −8 °C en 25 °C vanaf 9 °C, buffervat 100 L, vloerverwarming in de woonmodule en de ventiloconvector van de module op dezelfde kring. Over het rekenjaar: 285 kWh stroom voor 897 kWh warmte (SCOP 3,1, ruim een kwart hulpenergie), 476 W bij −8 °C en 696 W bij −15 °C. De buitenunit (60 kg) staat op vier dempers type E, uit de buurt van de slaapruimte. De noodverwarming (2 kW) blijft reserve en mag nooit samen met de warmtepomp op vol vermogen en de drukpomp (4,5 kVA > 4,0 kVA).

Samenvatting

In het kort

Een warmtepomp pompt warmte van koud naar warm met arbeid: $Q_{h} = Q_{c} + W$ ; $COP_{h} = Q_{h} / W \leq T_{h} / (T_{h} - T_{c})$ .
Het koelkringproces: verdampen bij lage druk (warmte in), samenpersen (arbeid), condenseren bij hoge druk (warmte uit), smoren in het expansieventiel.
De druk bepaalt de kooktemperatuur van het koudemiddel; propaan kookt bij −4 °C bij 4,2 bar en condenseert bij 40 °C bij 13,7 bar.
In het drukenthalpiediagram is het kringproces een vierhoek; warmte en arbeid per kg zijn verschillen in $h$ .
Echte warmtepompen halen ongeveer de helft van Carnot; de COP daalt met een koudere bron en een warmere aanvoer (stooklijn, vloerverwarming).
Lucht is eenvoudig maar koud in de winter; de bodem op 1,5 m zakt niet onder ±6 °C en diep is ze het hele jaar ±11 °C.
Ontdooien, hulpenergie en pendelen verlagen de seizoens-COP; een buffervat en een goede regeling helpen.
Voor het station: ±285 kWh stroom per jaar in plaats van 897 kWh, en een piek van ±696 W in plaats van 1750 W bij −15 °C.

Begrippen

Wat je nu kent

warmtepomp: Een machine die met arbeid (meestal elektriciteit) warmte van een koude bron naar een warmere plaats pompt; een koelkast is een warmtepomp die je gebruikt voor de koude kant.
COP: Coefficient of performance: nuttige warmte gedeeld door de toegevoerde arbeid. Verwarmen: $Q_{h} / W$ ; koelen: $Q_{c} / W$ . Hoogstens $T_{h} / (T_{h} - T_{c})$ bij verwarmen.
SCOP: Seizoens-COP: alle warmte van een stookseizoen gedeeld door alle elektriciteit, inclusief ontdooien en hulpenergie; hangt af van het klimaat en de aanvoertemperatuur.
koudemiddel: De werkstof van een koelkringproces: een stof die bij de gewenste temperaturen en een redelijke druk verdampt en condenseert, bv. propaan (R290).
verdamper: Warmtewisselaar waarin het koudemiddel bij lage druk en lage temperatuur verdampt en daarvoor warmte opneemt van de bron.
condensor: Warmtewisselaar waarin het koudemiddel bij hoge druk condenseert en zijn warmte afgeeft aan het water of de lucht die je verwarmt.
expansieventiel: Een vernauwing die de druk van de vloeistof laat zakken; een deel verdampt en het koudemiddel koelt af tot onder de brontemperatuur. De enthalpie blijft gelijk.
drukenthalpiediagram: Diagram met de enthalpie per kilogram op de horizontale as en de druk (logaritmisch) op de verticale: een koelkringproces wordt er een eenvoudige vierhoek.
GWP: Global warming potential: hoeveel een kilogram van een gas over 100 jaar bijdraagt aan de opwarming, tegenover een kilogram CO₂.
stooklijn: Het verband tussen buitentemperatuur en aanvoertemperatuur van het verwarmingswater: hoe kouder buiten, hoe warmer het water.
bivalentiepunt: De buitentemperatuur waaronder de warmtepomp alleen niet meer genoeg warmte levert en een tweede verwarming moet bijspringen.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen