EExpert · deel E3 · Thermodynamica en stroming

Handboek · hoofdstuk 14Gassen en de gaswetten

Wat de lucht in het station doet: van botsende moleculen tot een ventilatie die klopt

Twee bewoners in een woonmodule van 62 m³ ademen elke dag 2 kg CO₂ en 4 kg waterdamp uit en halen er 1,7 kg zuurstof uit. Hoe snel wordt dat een probleem, en hoeveel verse lucht is er nodig? Om dat te beantwoorden leer je de taal van gassen: druk, volume, temperatuur en hoeveelheid, de ideale gaswet, en waar die wet vandaan komt: miljarden botsingen per seconde. Je rekent met partiële drukken en luchtvochtigheid, ziet wanneer een gas niet meer ideaal is (een CO₂-fles), en je legt vast hoe het station zijn lucht bewaakt.

7× uitleg6× uitgewerkt voorbeeld2× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel2× code17 opdrachten in het werkboek± 11 lestijden

EEnergie MMaterie en chemie BLeven en systemen

Een klein kastje aan de wand meet wat je niet ziet: CO₂, zuurstof, luchtvochtigheid en luchtdruk. Het brein van het station beslist ermee hoeveel verse lucht er binnenkomt.

Na dit hoofdstuk

Je kan druk, volume, temperatuur en hoeveelheid van een gas omrekenen en de ideale gaswet pV = nRT = NkT toepassen, ook op het station.
Je kan de wet van Boyle met een meting toetsen en een systematische fout (de dode ruimte) uit de gegevens halen.
Je kan de druk van een gas afleiden uit de botsingen van moleculen en het verband tussen temperatuur en kinetische energie gebruiken.
Je kan de verdeling van Maxwell en Boltzmann interpreteren en er de meest waarschijnlijke, de gemiddelde en de rms-snelheid mee berekenen.
Je kan met molfracties, ppm en partiële drukken rekenen (wet van Dalton) en de invloed van hoogte en luchtdruk uitleggen.
Je kan een massabalans voor CO₂, O₂ en waterdamp opstellen en er een ventilatiedebiet mee ontwerpen.
Je kan relatieve vochtigheid, absolute vochtigheid en dauwpunt berekenen (Magnus) en condens op een oppervlak voorspellen.
Je kan uitleggen wanneer een gas niet meer ideaal is (compressibiliteitsfactor, Van der Waals, kritisch punt) en wat dat betekent voor een gasfles.

Verhaal · 14.1

Van gas sylvestre tot pV = nRT

1/21

Het woord gas komt uit Brussel. Rond 1600 onderzocht de Brusselse arts en scheikundige Jan Baptista van Helmont (geboren rond 1580, gestorven in 1644 in Vilvoorde) wat er vrijkomt als je houtskool verbrandt of druiven laat gisten. Het was geen lucht en geen damp, en hij verzon er een nieuw woord voor, naar het Griekse chaos: gas. Wat uit brandende houtskool en gistend sap kwam, noemde hij gas sylvestre, 'wild gas'. Vandaag heet het koolstofdioxide. Zijn werk verscheen pas na zijn dood, in 1648, uitgegeven door zijn zoon.

In 1662 beschreef Robert Boyle in Oxford hoe lucht zich laat samendrukken. Met een luchtpomp die zijn assistent Robert Hooke had gebouwd en een J-vormige buis met kwik toonde hij dat een ingesloten hoeveelheid lucht een half zo groot volume inneemt als je de druk verdubbelt: $p V$ is constant. Edme Mariotte vond hetzelfde in 1676 in Frankrijk; daarom spreekt men in België vaak van de wet van Boyle-Mariotte.

Een eeuw later vulde Jacques Charles een ballon met waterstof en steeg er op 1 december 1783 zelf mee op, boven Parijs. Rond 1787 mat hij dat gassen bij verwarmen allemaal evenveel uitzetten, maar hij publiceerde het niet. Joseph Louis Gay-Lussac deed het wel, in 1802, en noemde Charles als eerste ontdekker. In 1808 vond Gay-Lussac dat gassen in eenvoudige volumeverhoudingen reageren (twee volumes waterstof en één volume zuurstof geven twee volumes waterdamp), en in 1811 verklaarde Amedeo Avogadro dat: gelijke volumes gas bevatten bij dezelfde druk en temperatuur evenveel deeltjes.

De Franse ingenieur Émile Clapeyron smeedde die wetten in 1834 samen tot één vergelijking, $p v = R (267 + t)$ : de 267 was de beste waarde van toen voor wat wij 273,15 noemen. Waarom gassen zo eenvoudig doen, had Daniel Bernoulli al in 1738 geraden: een gas is een zwerm kleine deeltjes die tegen de wanden botsen. Pas in 1860 werkte James Clerk Maxwell dat idee wiskundig uit, met een verdeling van de snelheden die Ludwig Boltzmann daarna verder uitbouwde.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

Een station met bewoners is een gesloten doos lucht. Zonder verse lucht zou de CO₂ in minder dan een uur boven 1000 ppm stijgen en na zes uur boven de alarmgrens. Het brein van het station moet dus weten hoeveel moleculen er zijn, hoe snel ze bijkomen en verdwijnen, en wat een sensor eigenlijk meet. Dat is de ideale gaswet, toegepast.

Een luchtpomp zoals die van Boyle en Hooke: met zulke toestellen werd lucht voor het eerst een meetbaar ding.

Uitleg · 14.2

Wat je al weet: druk, temperatuur en deeltjes

2/21

wat je al kan	wat nu komt
deeltjesmodel: gasdeeltjes bewegen, botsen en vullen elke ruimte; warmer = sneller (hoofdstuk 6 van F)	de kinetische gastheorie: druk en temperatuur kwantitatief uit die beweging
druk $p = F / A$ , pascal en bar, luchtdruk en overdruk (hoofdstuk 11 van I)	de toestand van een gas: $p$ , $V$ , $T$ en $n$ in één vergelijking
de mol, molaire massa, molair volume 24,1 L/mol bij 20 °C (hoofdstuk 14 van I)	waarom dat molair volume voor elk gas hetzelfde is, en wanneer niet meer
CO₂ en O₂ van planten en bewoners, alarmgrenzen (hoofdstuk 14 van I, hoofdstuk 29 van F)	partiële druk, ppm en het ontwerp van de ventilatie
dauwpunt en condens (hoofdstuk 6 van F, hoofdstuk 19 van I); differentiaalvergelijkingen (hoofdstuk 4)	de formule van Magnus, en de luchtbalans van de woonmodule als simulatie

Vier grootheden beschrijven de toestand van een gas:

Druk $p$ in pascal ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ; $1 bar = 1 0^{5} Pa$ ; $1 hPa = 100 Pa$ ). In gaswetten altijd de absolute druk. Een bandenmeter of de manometer op een fles toont de overdruk tegenover de luchtdruk: '2 bar' in een fietsband is ongeveer 3 bar absoluut.
Volume $V$ in m³ ( $1 L = 1 0^{- 3} m^{3}$ ).
Temperatuur $T$ in kelvin: $T = t + 273, 15$ . Een temperatuurverschil is in K en °C hetzelfde; een temperatuur zelf niet. 20 °C is geen 'twee keer zo warm' als 10 °C: 293 K tegenover 283 K.
Hoeveelheid: $n$ mol of $N = n N_{A}$ moleculen, met $N_{A} = 6, 022 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$ .

De standaardluchtdruk is $p_{0} = 1013, 25 hPa$ . In België schommelt de luchtdruk met het weer tussen ongeveer 970 en 1040 hPa; dat is belangrijk voor sensoren die een partiële druk meten (verderop).

Temperatuur in graden Celsius in de gaswet

Wie 20 °C en 10 °C in $p V = n R T$ invult, krijgt een gas dat bij 0 °C geen druk meer heeft. Gebruik altijd kelvin. Alleen in een verschil ( $Δ T$ ) mag je °C laten staan.

Uitleg · 14.3

De gaswetten en de ideale gaswet

3/21

Drie historische wetten beschrijven een vaste hoeveelheid gas als je telkens één grootheid vasthoudt:

Boyle-Mariotte ( $T$ constant): $p V =$ constant. De isothermen in de figuur zijn hyperbolen.
Charles en Gay-Lussac ( $p$ constant): $V / T =$ constant; en bij constant volume $p / T =$ constant. Trek je de rechten van een gasthermometer door naar lage temperatuur, dan snijden ze de as allemaal bij −273,15 °C: het absolute nulpunt (tweede figuur). Kelvin koos dat punt in 1848 als nulpunt van zijn schaal.
Avogadro: bij dezelfde $p$ en $T$ bevatten gelijke volumes evenveel moleculen: $V \sim n$ .

Samen: $p V / (n T)$ is voor elk gas dezelfde constante $R$ .

de ideale gaswet

p V = n R T = N k T R = N_{A} k = 8, 314 J/ (mol K) k = 1, 380649 \cdot 1 0^{- 23} J/K

p

in Pa,

V

in m³,

T

in K. De constante van Boltzmann

k

is sinds 2019 exact vastgelegd: ze definieert de kelvin. Handige vormen: molair volume

V_{m} = R T / p

(

24, 06 L/mol

bij 20 °C) en dichtheid

ρ = pM / (R T)

Een gas is ideaal als de moleculen klein zijn tegenover de afstand tussen hen en elkaar niet aantrekken. Voor lucht bij gewone druk en temperatuur klopt de wet tot op een paar promille; bij 200 bar of dicht bij het vloeibaar worden niet meer (verderop).

De dichtheid $ρ = pM / (R T)$ verklaart meteen twee dingen in het station. Koude buitenlucht is zwaarder: bij −8 °C $1, 331 kg/ m^{3}$ tegenover $1, 204 kg/ m^{3}$ bij 20 °C, en daarom zakt ze door een open deur naar binnen langs de vloer. En CO₂ ( $M = 44$ ) is 1,5 keer zo zwaar als lucht ( $M = 29$ ): een lek van een CO₂-fles verzamelt zich eerst laag bij de grond.

Hoe warmer het gas, hoe hoger de isotherm: bij hetzelfde volume duwen snellere moleculen harder. Eén mol bij 20 °C en 1 atm neemt 24,1 L in.

Bij constant volume stijgt de druk lineair met de temperatuur; doorgetrokken komen alle rechten samen in −273,15 °C.

Uitgewerkt voorbeeld · 14.4

De lucht in de woonmodule

4/21

De woonmodule is binnen 6,0 × 4,0 × 2,6 m. Bereken bij 20 °C en 1013 hPa hoeveel mol lucht erin zit, hoeveel die weegt en hoeveel zuurstof ze bevat. Hoe lang zou die zuurstof twee bewoners voeden als je ze helemaal kon opgebruiken? En wat zou er gebeuren als de module luchtdicht was en je haar opwarmde van −8 °C tot 20 °C?

Gegeven

$V = 62, 4 m^{3}$ , $T = 293, 15 K$ , $p = 101325 Pa$
lucht $M = 28, 97 g/mol$ , 20,95 % O₂; een bewoner verbruikt 0,84 kg O₂ per dag

Gevraagd

n, massa en zuurstofvoorraad
hoe lang de zuurstof volstaat
de druk in een luchtdichte module

Oplossing

1
$n = \frac{p V}{R T} = \frac{101 325 \cdot 62 , 4}{8 , 314 \cdot 293 , 15} = 2594 mol$ . Massa: $2594 \cdot 0, 02897 = 75, 1 kg$ : de lucht in de module weegt zoveel als een volwassene.
2
Zuurstof: $0, 2095 \cdot 2594 = 543 mol$ , of $17, 4 kg$ . Twee bewoners verbruiken $1, 68 kg$ per dag: genoeg voor $10, 4$ dagen, als je alle zuurstof kon opgebruiken.
3
Maar dat kan niet: bij 19,5 % gaat het alarm al, en lang daarvoor is er een ander probleem (de CO₂, verderop). De voorraad zegt dus weinig; wat telt, is hoe snel de samenstelling verandert.
4
Luchtdicht opwarmen is isochoor: $p / T$ blijft constant. $p_{2} = p_{1} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 1013 \cdot \frac{293 , 15}{265 , 15} = 1120 hPa$ : $107 hPa$ overdruk. Op een deur van 0,90 × 2,10 m is dat $10700 \cdot 1, 89 = 20, 2 kN$ , het gewicht van ongeveer twee ton.

Antwoord

2594 mol

lucht of

75 kg

, waarvan

17, 4 kg

zuurstof: in theorie 10 dagen voor twee bewoners. Luchtdicht opwarmen zou 107 hPa overdruk geven.

Klopt dit? Een echt gebouw is nooit luchtdicht: bij opwarmen zet de lucht uit (isobaar) en ontsnapt 10,6 % van het volume door kieren en de ventilatie. Een ruimtestation daarentegen is luchtdicht; daar regelt men druk en temperatuur samen. Snelle controle van de orde van grootte: 1 m³ lucht weegt ongeveer 1,2 kg.

Proef · 14.5

De wet van Boyle met een spuit en een druksensor

5/21

Onderzoeksvraag

Is $p V$ constant voor een ingesloten hoeveelheid lucht als je ze langzaam samendrukt of uitrekt?

Materiaal

spuit van 60 mL (Ø ±27 mm) met een kort slangetje
absolute druksensor (bv. MPX5700AP, 15-700 kPa) op een Arduino, of een digitale manometer
rekenblad of Python

VeiligheidDuw niet verder dan 20 mL: de spuit kan losschieten van het slangetje. Gebruik geen glazen spuit.

1/p ligt op een rechte in V, maar die snijdt de as niet in 0: het slangetje en de sensor voegen een dode ruimte toe.

Werkwijze

1Zet de zuiger op 40 mL, sluit het slangetje aan op de sensor en noteer de druk (de luchtdruk van de dag).
2Trek de zuiger in stappen tot 60 mL, en duw hem daarna in stappen tot 20 mL. Wacht bij elke stand tien seconden: de lucht moet terug op kamertemperatuur komen.
3Noteer telkens het volume op de schaal van de spuit en de druk.
4Zet $1/ p$ uit tegen $V$ en trek een rechte door de punten.

Waarneming

Een voorbeeldmeting:

$V$ op de spuit (mL)	60	55	50	45	40	35	30	25	20
$p$ (hPa)	693	753	821	906	1014	1146	1321	1556	1894
$p \cdot V$ (hPa·L)	41,6	41,4	41,0	40,8	40,6	40,1	39,6	38,9	37,9
$p \cdot (V + V_{d})$ (hPa·L)	43,7	43,7	43,6	43,6	43,7	43,6	43,7	43,7	43,7

Het product $p \cdot V$ is niet constant: het daalt van 41,6 naar 37,9 hPa·L. Toch liggen de punten van $1/ p$ tegen $V$ mooi op een rechte, maar die gaat niet door de oorsprong.

Verklaring

De spuit is niet het hele volume: ook het slangetje en de sensor bevatten lucht, een dode ruimte $V_{d}$ die de schaal niet toont. Boyle geldt voor het echte volume: $p (V + V_{d}) = C$ , dus $\frac{1}{p} = \frac{V}{C} + \frac{V _{d}}{C}$ : een rechte met helling $1/ C$ die de $V$ -as snijdt in $- V_{d}$ . De rechte door de meetpunten (kleinste kwadraten) geeft $V_{d} = 3, 1 mL$ en $C = 43, 7 hPa \cdot L$ . Met die correctie is $p (V + V_{d})$ constant op minder dan een halve procent (laatste rij van de tabel).

Dat is een typische systematische fout (hoofdstuk 6): ze verschuift alle metingen in dezelfde richting en verdwijnt niet door meer te meten, wel door een beter model. Uit $C$ volgt ook hoeveel lucht er in het systeem zit: $n = C / (R T) = 1, 79 mmol$ .

Duw je snel, dan warmt de lucht op (hoofdstuk 15) en is de druk even hoger: daarom wacht je tien seconden. Bij 20 mL duw je al met ongeveer 50 N op de zuiger.

Uitleg · 14.6

Druk uit botsingen: de kinetische gastheorie

6/21

Waarom gedraagt elk gas zich hetzelfde? Neem een kubus met ribbe $L$ en $N$ moleculen met massa $m$ . De moleculen zijn punten die niet met elkaar botsen, alleen elastisch met de wanden (de botsingen onderling veranderen de uitkomst niet, alleen wie welke snelheid heeft).

Eén molecule. Botst ze tegen de rechterwand, dan keert $v_{x}$ om: haar impuls verandert met $- 2 m v_{x}$ , en de wand krijgt $+ 2 m v_{x}$ . Ze komt terug na een heen-en-weertje van $2 L$ , dus na $Δ t = 2 L / v_{x}$ . De gemiddelde kracht op de wand is impuls per tijd (hoofdstuk 9):

F_{1} = \frac{2 m v _{x}}{2 L / v _{x}} = \frac{m v _{x}^{2}}{L} .

Alle moleculen. Tel op en deel door de oppervlakte $L^{2}$ : $p = \frac{m}{L ^{3}} \sum v_{x}^{2} = \frac{N m v _{x}^{2}}{V}$ . Geen richting is bijzonder, dus $\overline{v_{x}^{2}} = \overline{v_{y}^{2}} = \overline{v_{z}^{2}} = \frac{1}{3} \overline{v^{2}}$ :

druk uit botsingen

p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m \overline{v^{2}} ⟺ p V = \frac{2}{3} N \cdot \frac{1}{2} m \overline{v^{2}}

De druk is evenredig met het aantal moleculen per volume en met hun gemiddelde kinetische energie. Over de soort gas zegt de formule niets.

Temperatuur. Vergelijk met $p V = N k T$ : dan moet

temperatuur is gemiddelde kinetische energie

\overline{E_{kin}} = \frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T v_{rms} = \overline{v^{2}} = \frac{3 k T}{m} = \frac{3 R T}{M}

Bij 20 °C heeft elke molecule gemiddeld

\frac{3}{2} k T = 6, 07 \cdot 1 0^{- 21} J

aan bewegingsenergie, welk gas ook. Zware moleculen zijn daardoor trager: bij dezelfde

T

v_{rms} \sim 1/ M

Dat is de diepere betekenis van temperatuur: een maat voor de gemiddelde bewegingsenergie van de deeltjes. Het absolute nulpunt is waar die beweging (klassiek gezien) stilvalt. Moleculen met meer atomen kunnen ook draaien en trillen; die energie telt mee in de inwendige energie, maar niet in de druk (hoofdstuk 15).

Meer druk betekent snellere moleculen

Niet bij dezelfde temperatuur. In een fles van 200 bar bij 20 °C bewegen de zuurstofmoleculen even snel als in de kamer; er zijn er alleen 200 keer zoveel per liter, die dus 200 keer vaker tegen de wand botsen.

Links: een molecule die heen en weer vliegt. Rechts: bij een elastische botsing keert alleen vₓ om; de wand krijgt 2 m vₓ impuls.

Uitleg · 14.7

Temperatuur is beweging: de verdeling van Maxwell en Boltzmann

7/21

Niet alle moleculen zijn even snel: botsingen herverdelen voortdurend de energie. Maxwell (1860) vond de verdeling in evenwicht. Het idee: elke snelheidscomponent is normaal verdeeld (hoofdstuk 6) met gemiddelde 0 en variantie $k T / m$ , onafhankelijk van de andere. De kans op een snelheid tussen $v$ en $v + d v$ is dan de kans om in een bolschil met straal $v$ en dikte $d v$ te zitten, met oppervlakte $4 π v^{2}$ :

verdeling van Maxwell en Boltzmann

f (v) = 4 π (\frac{m}{2 π k T})^{3/2} v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k T)} \int_{0}^{\infty} f (v) d v = 1

De factor

v^{2}

maakt dat bijna geen molecule stilstaat; de exponentiële factor (de factor van Boltzmann,

e^{- E / k T}

) maakt hoge snelheden zeldzaam.

Drie kenmerkende snelheden volgen uit $f$ (met hoofdstuk 1 en 3):

meest waarschijnlijk: $f^{'} (v) = 0$ geeft $v_{p} = 2 k T / m$ ;
gemiddeld: $\overset{v}{ˉ} = \int_{0}^{\infty} v f (v) d v = 8 k T / (π m)$ ;
rms: $v_{rms} = 3 k T / m$ , die van de druk.

Voor stikstof bij 20 °C: $v_{p} = 417$ , $\overset{v}{ˉ} = 471$ en $v_{rms} = 511 m/s$ , sneller dan het geluid (343 m/s). Zuurstof is iets zwaarder en iets trager ( $v_{rms} = 478 m/s$ ), CO₂ nog trager (408 m/s), waterstof veel sneller (1904 m/s). Bij −8 °C schuift de hele verdeling naar links: de top ligt op 397 m/s. Ongeveer 0,9 % van de stikstofmoleculen is sneller dan 1000 m/s.

Waarom een geur dan toch traag de kamer doorkruist

In 1 m³ lucht zitten $p / (k T) = 2, 50 \cdot 1 0^{25}$ moleculen, gemiddeld 3,4 nm uit elkaar. Met een doorsnede van ongeveer 0,37 nm legt een stikstofmolecule tussen twee botsingen gemiddeld $λ = \frac{k T}{2 π d ^{2} p} \approx 66 nm$ af, de gemiddelde vrije weglengte, en botst ze $7$ miljard keer per seconde. Een geurmolecule zigzagt dus in een willekeurige wandeling (diffusie); wat een geur echt verspreidt, is stroming van de lucht.

Zuurstof is iets zwaarder dan stikstof en dus iets trager; in de kou schuift de verdeling naar lagere snelheden. De drie punten zijn vp, v̄ en vrms van stikstof.

Code · 14.8

Moleculen in een doos

8/21

Klopt de afleiding? Laat de computer het tellen. Het programma trekt eerst 100 000 snelheden zoals Maxwell ze veronderstelt (elke component normaal verdeeld) en vergelijkt het gemiddelde met de formules. Daarna zet het 10 000 stikstofmoleculen in een kubus van 10 cm en laat ze 2 ms lang heen en weer vliegen in stapjes van 1 µs. Elke keer dat een molecule de rechterwand raakt, telt het programma de impuls $2 m ∣ v_{x} ∣$ . Impuls per tijd per oppervlakte is druk.

Pythondoos.py34 regelsDownload

# doos.py - moleculen stikstof in een doos: snelheden en druk uit botsingen tegen de wandimport numpy as np k = 1.380649e-23                    # constante van Boltzmann (J/K)NA = 6.02214076e23                  # getal van Avogadro (1/mol)m = 28.014e-3 / NA                  # massa van één N2-molecule (kg)T = 293.15                          # 20 °Crng = np.random.default_rng(1) # 1. snelheden: elke component normaal verdeeld met standaardafwijking sqrt(kT/m)N = 100_000v = rng.normal(0.0, np.sqrt(k * T / m), size=(N, 3))s = np.linalg.norm(v, axis=1)       # grootte van de snelheidprint(f"gemiddeld {s.mean():.1f} m/s, rms {np.sqrt((s**2).mean()):.1f} m/s, "      f"sneller dan 1000 m/s: {100 * (s > 1000).mean():.2f} %")print(f"theorie:  {np.sqrt(8 * k * T / (np.pi * m)):.1f} m/s, rms {np.sqrt(3 * k * T / m):.1f} m/s") # 2. druk: 10 000 moleculen in een kubus van 10 cm, 2 ms lang, stapjes van 1 µsn, L, dt, stappen = 10_000, 0.10, 1e-6, 2000x = rng.uniform(0.0, L, n)vx = v[:n, 0].copy()impuls = 0.0for _ in range(stappen):    x += vx * dt    rechts = x > L                  # botsing met de rechterwand    impuls += 2 * m * np.abs(vx[rechts]).sum()    x[rechts] = 2 * L - x[rechts]    vx[rechts] *= -1    links = x < 0                   # de linkerwand: gewoon terugkaatsen    x[links] = -x[links]    vx[links] *= -1p_sim = impuls / (stappen * dt) / L**2p_gas = n * k * T / L**3print(f"druk uit botsingen {p_sim:.4e} Pa, uit pV = NkT {p_gas:.4e} Pa, verhouding {p_sim / p_gas:.3f}")

Snelheden met normaal verdeelde componenten vormen vanzelf de verdeling van Maxwell en Boltzmann.

Uitvoer:

gemiddeld 470.0 m/s, rms 510.2 m/s, sneller dan 1000 m/s: 0.96 %
theorie:  470.7 m/s, rms 510.9 m/s
druk uit botsingen 4.0400e-14 Pa, uit pV = NkT 4.0474e-14 Pa, verhouding 0.998

De gesimuleerde druk van een handvol moleculen is piepklein (ongeveer $4 \cdot 1 0^{- 14} Pa$ ), maar hij klopt met $p V = N k T$ op een procent: de kinetische gastheorie werkt, ook met moleculen die niet onderling botsen. Met meer moleculen of een langere tijd wordt het verschil kleiner (het is ruis: hoofdstuk 6). Het histogram van de 100 000 snelheden ligt precies onder de kromme van Maxwell en Boltzmann.

Uitleg · 14.9

Gasmengsels: de wet van Dalton en de partiële druk

9/21

In een mengsel van ideale gassen botst elk soort molecule tegen de wanden alsof de andere er niet waren. De totale druk is dus de som van de partiële drukken, en elke partiële druk is evenredig met het aantal moleculen van dat gas (John Dalton, 1801):

wet van Dalton

p = i \sum p_{i} p_{i} = x_{i} p x_{i} = \frac{n _{i}}{n} = \frac{V _{i}}{V}

De molfractie

x_{i}

is ook de volumefractie. 'ppm' betekent bij gassen een molfractie van

1 0^{- 6}

: 1000 ppm CO₂ is

x = 0, 001

en bij 1013 hPa een partiële druk van 101 Pa.

gas	volume- = molfractie	partiële druk bij 1013 hPa	massa per m³ bij 20 °C
stikstof N₂	78,08 %	791 hPa	909 g
zuurstof O₂	20,95 %	212 hPa	279 g
argon Ar	0,930 %	9,42 hPa	15,4 g
koolstofdioxide CO₂	0,042 %	0,43 hPa	0,8 g
waterdamp (20 °C, 50 %)	1,15 %	11,7 hPa	8,6 g

Omrekenen naar massa per volume doe je met de ideale gaswet: $c = x pM / (R T)$ . Zo is 1000 ppm CO₂ bij 20 °C $1830 mg/ m^{3}$ . Grenswaarden voor de werkplek staan vaak in beide eenheden.

Wat je lichaam 'meet', is de partiële druk. Zuurstof gaat in je longen van de lucht naar het bloed omdat de partiële druk er hoger is dan in het bloed. Hoger in de bergen is er nog altijd 20,95 % zuurstof, maar minder druk, dus minder zuurstof per ademteug. Omgekeerd: het alarm van 19,5 % op zeeniveau komt overeen met de zuurstof die je inademt op 601 m hoogte. Dat is niet gevaarlijk; het alarm bestaat omdat een dalend percentage betekent dat een ander gas de lucht verdringt, en dat gas (CO₂, stikstof uit een lek, rook) kan zelf wel gevaarlijk zijn.

Een zuurstofsensor meet een partiële druk

Een elektrochemische zuurstofcel geeft een stroom die evenredig is met de partiële druk van O₂, niet met het percentage. Daalt de luchtdruk bij een storm van 1013 naar 973 hPa, dan toont een cel die bij 1013 hPa geijkt is $20, 95 \cdot 973/1013 = 20, 12$ %: bijna een vol procentpunt te weinig. Daarom hoort bij de zuurstofsensor van het station een barometer (opdracht 14.15).

De partiële druk van zuurstof daalt met de hoogte. Het alarm van 19,5 % op zeeniveau komt overeen met ongeveer 600 m hoogte; op de Botrange is er al iets minder.

Uitgewerkt voorbeeld · 14.10

Wat je inademt en wat je uitademt

10/21

Een bewoner verbruikt per dag 0,84 kg zuurstof en ademt 1,0 kg CO₂ uit (hoofdstuk 14 van I). Bereken het ademhalingsquotiënt. Uitgeademde lucht bevat nog ongeveer 16 % zuurstof. Hoeveel liter lucht adem je dan per minuut in? Welke partiële druk heeft de zuurstof als de ingeademde lucht in je luchtwegen verzadigd raakt met waterdamp van 37 °C?

	ingeademd (buitenlucht)	uitgeademd (orde van grootte)
O₂	20,95 %	±16 %
CO₂	0,04 %	±4 %
N₂ + Ar	79,0 %	±79 %
waterdamp	wisselend (±1 %)	verzadigd bij 37 °C: 6,3 kPa (±6 %)
temperatuur	de kamer	±34 °C aan de mond

Gegeven

$m_{O_{2}} = 0, 84 kg/dag$ , $m_{CO_{2}} = 1, 0 kg/dag$
in 20,95 % O₂, uit ±16 % O₂
$p_{s} (37^{\circ} C) = 6, 27 kPa$ (Magnus)

Gevraagd

het ademhalingsquotiënt
het ademvolume per minuut
de partiële druk van O₂ in de luchtwegen

Oplossing

1
Mol per dag: O₂ $840/31, 998 = 26, 3 mol$ , CO₂ $1000/44, 009 = 22, 7 mol$ . Ademhalingsquotiënt $R Q = 22, 7/26, 3 = 0, 87$ . Bij het verbranden van alleen suiker is dat 1 ( $C_{6} H_{12} O_{6} + 6 O_{2} \to 6 C O_{2} + 6 H_{2} O$ ), van alleen vet ongeveer 0,7: dit is een gemengd dieet.
2
Volume zuurstof per dag bij 20 °C: $26, 3 \cdot 24, 06 = 631 L$ . Elke liter ingeademde lucht staat $0, 2095 - 0, 16 = 0, 0495 L$ zuurstof af (het volume van in- en uitgeademde lucht is bijna gelijk). Dus $631/0, 0495 = 12757 L$ per dag, of $8, 9 L/min$ .
3
In de luchtwegen neemt de waterdamp 6,3 kPa van de totale druk in; de rest wordt verdeeld volgens de droge samenstelling: $p_{O_{2}} = 0, 2095 \cdot (101, 3 - 6, 3) = 19, 9 kPa$ .

Antwoord

R Q \approx 0, 87

; ongeveer 9 L lucht per minuut; in de luchtwegen

p_{O_{2}} \approx 20 kPa

(in de longblaasjes zakt ze verder tot ongeveer 13 kPa, omdat er ook CO₂ in de lucht zit die niet vervangen is).

Klopt dit? Een volwassene in rust ademt 6 à 8 liter per minuut, bij inspanning veel meer: 9 L/min is een plausibel daggemiddelde. Het ademhalingsquotiënt onder 1 betekent dat het station netto minder mol CO₂ krijgt dan het mol O₂ verliest; het gasvolume krimpt heel licht.

Uitgewerkt voorbeeld · 14.11

Habitat: de woonmodule zonder verluchting

11/21

Stel dat de ventilatie van de woonmodule uitvalt en alle kieren dicht zijn. Twee bewoners zijn binnen. Hoe snel stijgt de CO₂, hoe snel daalt de zuurstof, en wat gebeurt er met de luchtvochtigheid? Welke grens wordt het eerst bereikt?

Zonder verluchting: de CO₂ passeert 5000 ppm lang voor de zuurstof onder 19,5 % zakt.

Gegeven

$n = 2594 mol$ lucht (vorig voorbeeld)
per bewoner per dag: 1,0 kg CO₂, 0,84 kg O₂, 2,0 kg waterdamp
begin: 420 ppm CO₂, 20,95 % O₂, 20 °C en RV 50 %

Gevraagd

stijging CO₂ en daling O₂ per uur
de volgorde van de grenzen

Oplossing

1
CO₂: $2 \cdot 22, 7/24 = 1, 894 mol/h$ . Als molfractie: $1, 894/2594 = 730 ppm$ per uur (hoofdstuk 4 kwam met de dichtheid van CO₂ op hetzelfde uit).
2
O₂: $2 \cdot 26, 3/24 = 2, 19 mol/h$ , dus $843 ppm$ of $0, 084$ procentpunt per uur. Van 20,95 naar 19,5 %: $1, 45/0, 0843 = 17, 2 h$ .
3
Waterdamp: $4000/24 = 167 g/h$ , verdeeld over 62,4 m³: $2, 67 g/ m^{3}$ per uur. Bij 20 °C is verzadigde lucht $17, 2 g/ m^{3}$ , en RV 50 % is $8, 62 g/ m^{3}$ : na $3, 2 h$ is de lucht verzadigd (als er niets condenseert).

Volgorde:

grens (vertrek: 420 ppm, 20,95 %, RV 50 % bij 20 °C)	bereikt na
CO₂ 1000 ppm (waarschuwing, lucht voelt bedompt)	48 min
RV 70 % (schimmelrisico op koude plekken)	1,3 h
dauwpunt 15 °C (condens op elk oppervlak onder 15 °C)	1,6 h
RV 100 % (condens overal)	3,2 h
CO₂ 5000 ppm (alarm, grenswaarde werkplek over 8 uur)	6,3 h
O₂ 19,5 % (alarm)	17,2 h

Antwoord

De CO₂ stijgt met 730 ppm per uur, de zuurstof daalt met 0,08 procentpunt per uur. Eerst wordt de lucht bedompt (1000 ppm na 48 min), dan nat, dan gaat na 6,3 h het CO₂-alarm af. Het zuurstofalarm komt pas na 17 h.

Klopt dit? De CO₂ stijgt sneller in ppm dan de O₂ daalt in ppm terwijl

R Q < 1

? Nee: in ppm daalt de O₂ sneller (843 tegenover 730), maar de CO₂ vertrekt van bijna nul en haar grens ligt maar 4580 ppm hoger, terwijl de zuurstof 14 500 ppm mag dalen. In een gesloten ruimte met mensen is CO₂ het eerste gevaar, niet zuurstofgebrek.

Uitgewerkt voorbeeld · 14.12

Habitat: hoeveel ventilatie?

12/21

Hoeveel buitenlucht per uur is nodig om de CO₂ in de woonmodule onder 1000 ppm te houden? Kies een debiet met marge en controleer de zuurstof, de warmte die de ventilatie kost (met warmteterugwinning, WTW) en de luchtvochtigheid op een winterdag (buiten −8 °C en 90 % RV).

Gegeven

CO₂-productie $G = 0, 0455 m^{3} /h$ (twee bewoners, 20 °C); buiten 420 ppm
lucht: $ρ c = 0, 336 Wh/ (m^{3} K)$ ; WTW-rendement 85 % (rekenwaarde)
waterdamp 167 g/h

Gevraagd

$Q_{min}$ en een gekozen $Q$
zuurstof, warmteverlies en RV bij het gekozen debiet

Oplossing

1
Balans voor de CO₂ in evenwicht (hoofdstuk 4): wat erbij komt = wat de ventilatie afvoert: $G = Q (c - c_{b})$ . Dus $c = c_{b} + G / Q$ , en $c \leq 1000 ppm$ vraagt $Q \geq \frac{G}{580 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 79 m^{3} /h$ .
2
Marge: de productie schommelt met de activiteit, de sensor meet tot ±(50 ppm + 5 %) naast de echte waarde, en een evenwicht op precies 1000 ppm geeft voortdurend waarschuwingen. We kiezen $Q = 100 m^{3} /h$ (1,6 keer het volume per uur): evenwicht $420 + 455 = 875 ppm$ , bereikt met een tijdconstante $V / Q = 37 min$ .
3
Zuurstof: het tekort is $\frac{0 , 0526}{100} = 0, 053$ procentpunt: binnen 20,90 %. Met genoeg ventilatie voor de CO₂ is er altijd genoeg zuurstof.
4
Warmte: zonder WTW kost $100 m^{3} /h$ lucht $33, 6 W/K$ , meer dan de hele gebouwschil van de woonmodule. Met 85 % terugwinning blijft $5, 0 W/K$ over.
5
Vocht: de bewoners verhogen de waterdampdruk binnen met $Δ p_{w} = \frac{n ˙ _{w} R T}{Q} = 225 Pa$ . Buitenlucht van −8 °C en 90 % heeft $302 Pa$ . Binnen bij 20 °C: $RV = (302 + 225) /2333 = 23 %$ .

Antwoord

Minstens 79 m³/h; gekozen 100 m³/h met WTW (evenwicht ±875 ppm, 5 W/K warmteverlies). Op een koude dag wordt de lucht dan wel droog: RV ±23 % (bij 5 °C buiten ±41 %).

Klopt dit? De Belgische norm voor ventilatie van woningen (NBN D 50-001) rekent voor een leefruimte met 3,6 m³/h per m² vloer: voor 24 m² is dat 86 m³/h, dezelfde orde. Winterlucht is droog omdat koude lucht weinig waterdamp kan bevatten; opgewarmd tot 20 °C wordt haar RV klein. De oplossing is niet minder ventileren (de CO₂ stijgt dan), maar slimmer: minder als er weinig CO₂ is (vraagsturing), en een WTW die ook vocht terugwint (enthalpiewisselaar). Het codeblad simuleert dat.

Uitleg · 14.13

Waterdamp: luchtvochtigheid en dauwpunt

13/21

Waterdamp is een gas in het mengsel zoals de andere, met één verschil: bij gewone temperaturen kan het condenseren. Boven een vlak water verdampen en condenseren moleculen tot een evenwicht bereikt is: de verzadigingsdruk $p_{s} (T)$ , die snel stijgt met de temperatuur (de snelste moleculen uit de staart van Maxwell-Boltzmann ontsnappen). Een goede benadering tussen −45 en 60 °C is de formule van Magnus:

verzadigingsdruk, relatieve en absolute vochtigheid

p_{s} (t) = 611, 2 Pa \cdot exp (\frac{17 , 62 t}{243 , 12 + t}) RV = \frac{p _{w}}{p _{s} ( t )} ρ_{w} = \frac{p _{w} M _{w}}{R T}

t

in °C. De absolute vochtigheid

ρ_{w}

(g/m³) volgt uit de ideale gaswet voor waterdamp alleen.

Het dauwpunt is de temperatuur waarbij de waterdamp die er is, precies verzadigend is: $p_{s} (t_{d}) = p_{w}$ . Magnus omkeren (neem de logaritme, los op naar $t$ ):

dauwpunt

t_{d} = \frac{243 , 12 γ}{17 , 62 - γ} γ = ln \frac{RV}{100 %} + \frac{17 , 62 t}{243 , 12 + t}

Voorbeeld: 20 °C en 50 % geeft

γ = 0, 6462

t_{d} = 9, 3

°C. Elk oppervlak dat kouder is, wordt nat.

De relatieve vochtigheid zegt dus niets zonder temperatuur. Buitenlucht van 0 °C en 90 % bevat maar $4, 4 g/ m^{3}$ . Opgewarmd tot 20 °C houdt ze dezelfde waterdampdruk ( $0, 9 \cdot 611 = 550 Pa$ ), maar de verzadigingsdruk is nu $2333 Pa$ : de RV zakt tot 24 %. Omgekeerd krijgt lucht die afkoelt tegen een koud oppervlak een hogere RV, tot 100 %: condens.

Wat een SHT31 meet

De SHT31 van de module (hoofdstuk 30 van I) meet de RV met een condensator waarvan het diëlektricum water opneemt, en de temperatuur van diezelfde chip. Warmt de chip op (door de elektronica ernaast of de zon), dan meet hij een te lage RV: de waterdamp is dezelfde, maar $p_{s}$ is groter. Het dauwpunt dat je uit beide berekent, is veel minder gevoelig voor die fout (opdracht 14.5).

Lucht van 20 °C en 50 % bevat 8,6 g/m³ waterdamp. Koel je ze af bij dezelfde hoeveelheid, dan raakt ze verzadigd bij 9,3 °C: het dauwpunt.

Uitgewerkt voorbeeld · 14.14

Condens op een koude ruit

14/21

Binnen is het 20 °C, buiten −8 °C. Welke temperatuur heeft de binnenkant van een ruit met enkel, dubbel, hoogrendements- en driedubbel glas? Wanneer beslaat het glas als de lucht binnen 50 % RV heeft, en wanneer bij 60 % (koken)? Wat betekent de droge winterlucht van het vorige voorbeeld?

Waar een lijn onder het dauwpunt zakt, beslaat de ruit. Bij −8 °C (verticale lijn) ligt dubbel glas net op de grens van 60 %.

Gegeven

$U$ = 5,8 / 2,8 / 1,1 / 0,6 W/(m²·K) (hoofdstuk 19 van I)
$R_{si} = 0, 13 m^{2} K/W$

Gevraagd

de binnentemperatuur van elk glas
condens of niet

Oplossing

1
De warmtestroom door het glas is $q = U (T_{i} - T_{e})$ per m². Dezelfde stroom gaat door de overgangsweerstand aan de binnenkant: $T_{i} - T_{si} = R_{si} q$ . Dus $T_{si} = T_{i} - U R_{si} (T_{i} - T_{e})$ .
2
Bij −8 °C:
glas $U$ (W/(m²·K)) binnenkant bij −8 °C
enkel glas 5,8 −1,1 °C
dubbel glas (luchtspouw) 2,8 9,8 °C
hoogrendementsglas 1,1 16,0 °C
driedubbel glas 0,6 17,8 °C
3
Dauwpunt bij 20 °C: 50 % → $9, 3$ °C, 60 % → $12, 0$ °C, 70 % → $14, 4$ °C. Enkel glas beslaat altijd (en bevriest). Dubbel glas zit bij 50 % net boven het dauwpunt, bij 60 % al eronder: het beslaat vanaf $T_{e} = - 2, 0$ °C buiten. Hoogrendements- en driedubbel glas blijven droog tot ver boven 70 %.
4
In de woonmodule is de winterlucht droog (RV ±23 %, dauwpunt $- 2, 0$ °C): daar beslaat zelfs dubbel glas niet. Het risico zit bij tijdelijk vochtige lucht (koken, douchen) en aan de rand van het glas, waar de afstandhouder een koudebrug is en het glas enkele graden kouder is dan in het midden.

Antwoord

Enkel −1,1 °C, dubbel 9,8 °C, hoogrendement 16,0 °C, driedubbel 17,8 °C. Met hoogrendements- of driedubbel glas beslaat het midden van de ruit niet; enkel glas altijd.

Klopt dit? Het verschil tussen binnenlucht en glas is

U R_{si} \cdot 28 K

: bij enkel glas 75 % van het hele temperatuurverschil, bij driedubbel glas maar 8 %. Dat is ook de reden dat je bij een koud raam 'tocht' voelt: de koude glaslaag laat lucht naar beneden vallen.

Proef · 14.15

Het dauwpunt met een glas ijswater

15/21

Onderzoeksvraag

Klopt het dauwpunt dat je met de formule van Magnus uit de temperatuur en de RV van de lucht berekent?

Materiaal

een blikken beker (of een dun glas), water op kamertemperatuur, ijsblokjes, een roerstaafje
thermometer of temperatuursensor in het water (±0,5 °C)
hygrometer of SHT31 voor de lucht in het lokaal

Waar het blik kouder is dan het dauwpunt van de lucht, wordt het dof: de waterdamp condenseert.

Werkwijze

1Meet de temperatuur en de RV van de lucht, niet te dicht bij jezelf (je adem is vochtig). Bereken het dauwpunt.
2Vul de beker half met water, voeg telkens één ijsblokje toe en roer goed. Houd de thermometer in het water.
3Kijk van opzij met een lamp erachter naar de buitenkant: noteer de watertemperatuur als het blik net dof wordt.
4Laat opwarmen en noteer de temperatuur waarbij de waas weer verdwijnt. Het gemiddelde is je dauwpunt.
5Herhaal drie keer en vergelijk met de berekening.

Waarneming

Een voorbeeld: in het lokaal 21,5 °C en 48 % (berekend dauwpunt $10, 0$ °C). De waas verschijnt bij 9,1 °C en verdwijnt bij 10,3 °C; gemiddeld 9,7 °C. Drie keer herhaald: 9,7; 9,5; 9,8 °C.

Verklaring

De dunne luchtlaag tegen het blik neemt de temperatuur van het blik aan. Is die lager dan het dauwpunt, dan is de laag oververzadigd en condenseert water op het metaal. Het gemeten dauwpunt ligt hier een paar tienden graad onder de berekening. Oorzaken: de buitenkant van het blik is iets warmer dan het water (de warmte moet door de wand), je ziet de waas pas als er al een laagje ligt, en de hygrometer heeft zelf een onzekerheid van ±2 à 3 % RV, wat ±0,5 °C op het dauwpunt geeft. Het gemiddelde van verschijnen en verdwijnen verkleint de eerste fout.

Zo werkte de klassieke dauwpunthygrometer van John Frederic Daniell (1820): een gepolijst oppervlak afkoelen tot het beslaat. Moderne 'spiegelhygrometers' doen het met een Peltier-element en een lichtsensor, en zijn nog altijd de referentie om andere vochtsensoren te ijken.

Uitleg · 14.16

Echte gassen: wanneer pV = nRT niet meer klopt

16/21

De ideale gaswet vergeet twee dingen: moleculen hebben een eigen volume, en ze trekken elkaar een beetje aan. Hoe groot die afwijking is, meet de compressibiliteitsfactor $Z = p V / (n R T)$ : 1 voor een ideaal gas.

Bij gewone druk is $Z$ voor lucht $0, 999 \dots$ : de ideale gaswet is uitstekend.
Bij 100 à 200 bar trekt de aantrekking de druk wat omlaag: zuurstof heeft bij 200 bar en 20 °C $Z \approx 0, 92$ , er gaat dus zo'n 9 % meer in een fles dan de ideale gaswet zegt.
Bij nog hogere druk wint het eigen volume: $Z$ wordt groter dan 1 (stikstof vanaf ongeveer 150 bar, waterstof altijd; hoofdstuk 27).

Johannes Diderik van der Waals (Leiden, proefschrift 1873) voegde beide effecten toe met twee constanten per gas:

vergelijking van Van der Waals

(p + \frac{a n ^{2}}{V ^{2}}) (V - nb) = n R T T_{c} = \frac{8 a}{27 R b} p_{c} = \frac{a}{27 b ^{2}}

b

: het eigen volume per mol;

a n^{2} / V^{2}

: de 'binnendruk' door de aantrekking. De vergelijking voorspelt dat een gas vloeibaar kan worden, maar alleen onder een kritische temperatuur

T_{c}

(opdracht 14.14).

Het fasediagram van CO₂. Onder 31,0 °C wordt CO₂ vloeibaar als je de druk opdrijft tot de dampspanning: 57,3 bar bij 20 °C. Boven 31,0 °C (het kritisch punt, 73,8 bar) lukt dat niet meer: het is dan 'superkritisch', niet echt gas en niet echt vloeistof. Onder 5,2 bar bestaat vloeibaar CO₂ helemaal niet: droog ijs sublimeert bij 1 atm bij −78,5 °C. De dampspanningskromme volgt goed de vergelijking van Clausius-Clapeyron, $ln p = A - B / T$ (ze volgt uit de hoofdwetten van de thermodynamica; hoofdstuk 16 berekent de dampspanning van een koudemiddel nauwkeuriger). De rechte door de tabelwaarden geeft $B = 1992 K$ ; ze wijkt pas dicht bij het kritisch punt zichtbaar af.

Waarom lucht bij −196 °C vloeibaar wordt, maar niet in een fles

Zuurstof ( $T_{c} = - 118$ °C) en stikstof ( $- 147$ °C) zijn bij kamertemperatuur ver boven hun kritische temperatuur: in een fles van 200 bar blijven ze gas. CO₂ ( $31$ °C) en propaan ( $97$ °C) hebben een kritische temperatuur boven de kamertemperatuur: in hun fles zijn ze vloeibaar. Dat verschil bepaalt hoe je de inhoud meet (volgend blad) en hoe een koelkast werkt (hoofdstuk 16).

De dampspanningskromme scheidt vloeistof en gas en eindigt in het kritisch punt (31 °C, 73,8 bar). Onder het tripelpunt gaat vast CO₂ rechtstreeks over in gas (het punt linksonder: droog ijs bij 1 atm, −78,5 °C); de smeltlijn (stippel) staat bijna verticaal.

Zuurstof wijkt bij 200 bar ongeveer 8 % af van de ideale gaswet; stikstof ligt er dan al boven.

Uitgewerkt voorbeeld · 14.17

Habitat: een CO₂-fles voor de kweekruimte

17/21

De kweekruimte krijgt CO₂ uit een fles met 2,0 kg CO₂ (hoofdstuk 14 van I), met een waterinhoud van 3,0 L (rekenwaarde). Welke druk voorspelt de ideale gaswet bij 20 °C, en welke druk staat er echt op de fles? Hoe weet je hoeveel er nog in zit? Hoe lang gaat een fles mee, en wat gebeurt er als ze helemaal leegloopt in de kweekruimte (11,5 m³)? Waar zet je haar?

Gegeven

2,0 kg CO₂, 3,0 L; verbruik met lekverlies 29 g per dag (hoofdstuk 14 van I)
CO₂ bij 20 °C: dampspanning 57,3 bar, vloeistof 773 kg/m³, damp 194 kg/m³ (NIST)

Gevraagd

ideale en echte druk
hoe je de inhoud meet
gebruiksduur en risico van een lek
plaats en regels

Oplossing

1
Ideaal: $n = 2000/44, 01 = 45, 4 mol$ , $p = n R T / V = 45, 4 \cdot 8, 314 \cdot 293, 15/0, 0030 = 36922519 Pa \approx 369 bar$ .
2
Echt: 20 °C ligt onder de kritische temperatuur, en de ideale druk ligt ver boven de dampspanning, dus het meeste CO₂ is vloeibaar. Zolang er vloeistof is, staat er de dampspanning op: 57,3 bar, ruim zes keer minder dan ideaal. De gemiddelde dichtheid is $2, 0/3, 0 = 667 kg/ m^{3}$ , dus het volume is voor $\frac{667 - 194}{773 - 194} = 82 %$ gevuld met vloeistof.
3
Inhoud: de manometer blijft op 57 bar staan tot de vloeistof op is. Dan zit er nog damp van 194 kg/m³ in: $0, 194 \cdot 3, 0 = 0, 58 kg$ , 29 % van de vulling. Pas dan daalt de druk. De manometer zegt dus bijna niets over de inhoud, alleen over de temperatuur. Weeg de fles: een weegcel onder de fles meldt aan het brein hoeveel gram er nog in zit.
4
Gebruiksduur: $2000/29 = 69$ dagen. Met bevoorrading om de 30 dagen volstaan twee flessen: één aangesloten, één vol als reserve.
5
Lek: 2,0 kg is $45, 4 \cdot 24, 06 = 1093 L$ gas. In de kweekruimte wordt dat $9, 5 %$ CO₂ (95 000 ppm): levensgevaarlijk, terwijl de zuurstof maar tot $19, 0 %$ zakt. Het zuurstofalarm gaat dan net af, maar bij een half zo groot lek (4,8 % CO₂, al gevaarlijk) blijft de zuurstof op 20,0 % en zwijgt het. Tegen een CO₂-lek beschermt alleen een CO₂-sensor.
6
Plaats: buiten, rechtop vastgeketend in een verluchte kast aan de noordgevel van de klimaatmodule (niet in de zon), met een drukregelaar en de magneetklep (D10, hoofdstuk 23 van I) aan de binnenkant van de leiding. Bij −8 °C zakt de druk tot ongeveer 28 bar: ruim genoeg om te doseren.

Antwoord

Ideaal 369 bar, echt 57 bar (dampspanning, 82 % vloeistof). Meet de inhoud met een weegcel, niet met de manometer. Een fles gaat 69 dagen mee. Omdat een volledig lek de kweekruimte op 9,5 % CO₂ zou brengen, staat de fles buiten en is er een CO₂-alarm laag in de kweekruimte.

Klopt dit? Warmt de fles op, dan stijgt de dampspanning snel (30 °C: 72 bar) en zet de vloeistof uit: bij 25 °C is de fles al voor 91 % vloeistof, en boven ongeveer 27 °C is ze er helemaal mee gevuld. Dan stijgt de druk bij elke graad met tientallen bar. Daarom: nooit in de zon, nooit naast de verwarming, en altijd een veiligheidsplaatje (breekplaat) op de kraan.

De CO₂-fles staat buiten in de schaduw, op een weegcel: het gewicht vertelt hoeveel er nog in zit.

Code · 14.18

Habitat: de lucht van de woonmodule simuleren

18/21

Het brein van het station moet vooraf weten hoe de ventilatie zich zal gedragen. Het programma simuleert twee winterdagen (buiten −3 °C, 90 %) met de methode van Euler (hoofdstuk 4) in stappen van een minuut. Drie balansen, elk van de vorm verandering = productie − ventilatie · (binnen − buiten):

\frac{d x _{CO_{2}}}{d t} = \frac{n ˙ _{CO_{2}}}{n} - \frac{Q}{V} (x_{CO_{2}} - x_{b}), \frac{d p _{w}}{d t} = \frac{n ˙ _{w} R T}{V} - \frac{Q}{V} (p_{w} - p_{w,b})

en zo ook voor de zuurstof. De bewoners zijn 's nachts rustiger (72 % van het gemiddelde) en overdag actiever (114 %). De ventilatie heeft drie standen: 100 m³/h gewoon, 150 m³/h boven 900 ppm, en 's nachts 70 m³/h zolang de CO₂ onder 850 ppm blijft (stiller, en minder droog). De eerste dag dient om in te schommelen; de tweede telt.

Pythonlucht.py41 regelsDownload

# lucht.py - CO2, O2 en waterdamp in de woonmodule op een winterdag, met vraaggestuurde ventilatieimport math R, T = 8.314, 293.15                 # J/(mol K), binnen 20 °CV = 6.0 * 4.0 * 2.6                  # woonmodule (m³)n_lucht = 101325 * V / (R * T)       # mol lucht in de moduleps = lambda t: 611.2 * math.exp(17.62 * t / (243.12 + t))   # verzadigingsdruk water (Pa)  def activiteit(uur):                 # twee bewoners: slapen van 23 tot 7 uur, overdag actief    return 0.72 if (uur >= 23 or uur < 7) else 1.14            # gemiddeld precies 1  co2, o2, pw = 420e-6, 0.2095, 0.40 * ps(20.0)                # molfracties en dampdruk (Pa)co2_b, o2_b, pw_b = 420e-6, 0.2095, 0.90 * ps(-3.0)          # buitenlucht: -3 °C, 90 %Q, dt = 100.0, 1 / 60                                        # m³/h en een stap van 1 minuut (h)log = []for stap in range(48 * 60):                                  # twee dagen    uur = (stap * dt) % 24    a = activiteit(uur)    # ventilatie in drie trappen met hysterese, gestuurd door de CO2-sensor    if co2 > 900e-6:        Q = 150.0    elif co2 < 750e-6 and Q == 150.0:        Q = 100.0    if (uur >= 23 or uur < 7) and co2 < 850e-6:        Q = 70.0                                             # 's nachts stiller, zolang het kan    elif Q == 70.0 and not (uur >= 23 or uur < 7):        Q = 100.0    ververs = Q / V                                          # per uur ververste fractie    co2 += dt * (2 * a * 1.0 / 44.009e-3 / 24 / n_lucht - ververs * (co2 - co2_b))    o2 += dt * (-2 * a * 0.84 / 31.998e-3 / 24 / n_lucht - ververs * (o2 - o2_b))    pw += dt * (2 * a * 2000 / 18.015 / 24 * R * T / V - ververs * (pw - pw_b))    log.append((stap * dt, co2 * 1e6, o2 * 100, 100 * pw / ps(20.0), Q)) dag2 = log[24 * 60:]print(f"CO2 {min(r[1] for r in dag2):.0f} tot {max(r[1] for r in dag2):.0f} ppm, "      f"O2 hoogstens {20.95 - min(r[2] for r in dag2):.3f} procentpunt onder buiten")print(f"RV {min(r[3] for r in dag2):.0f} tot {max(r[3] for r in dag2):.0f} %, "      f"gemiddeld debiet {sum(r[4] for r in dag2) / len(dag2):.0f} m³/h")print(f"minuten boven 1000 ppm: {sum(1 for r in dag2 if r[1] > 1000)}")

Uitvoer:

CO2 766 tot 901 ppm, O2 hoogstens 0.056 procentpunt onder buiten
RV 26 tot 29 %, gemiddeld debiet 123 m³/h
minuten boven 1000 ppm: 0

De CO₂ blijft tussen 766 en 901 ppm: nooit boven de waarschuwing. De zuurstof verandert nauwelijks. De luchtvochtigheid blijft tussen 26 en 29 %: droog, zoals voorspeld. Het gemiddelde debiet is 123 m³/h: overdag staat de ventilatie bijna voortdurend op 150 m³/h, omdat het evenwicht bij 100 m³/h en actieve bewoners net boven 900 ppm ligt; 100 m³/h is de stand voor gemiddelde activiteit. Een WTW met vochtterugwinning (die ongeveer de helft van het vocht in de afgevoerde lucht teruggeeft) brengt de RV bij −8 °C van ±23 naar ±32 % (opdracht 14.16).

Van simulatie naar regeling

Dezelfde drempels (900/750 ppm, nacht 850 ppm) gaan naar de regeling van de WTW-unit. In de simulatie kan je veilig uitproberen wat een andere drempel of een sensor met ruis doet (hoofdstuk 6: beslissen op een minuutgemiddelde), voor het in het echte station draait.

Boven: de CO₂ blijft onder 1000 ppm. Onder: de ventilatie staat overdag op 150 m³/h en 's nachts op 70 m³/h; de lucht blijft droog.

Ontleed · 14.19

Habitat: de luchtbewaking van het station

19/21

Wat het station meet, waar, en wat het ermee doet. De plattegrond is schematisch (de indeling van de woonmodule ligt nog niet vast); de sensoren en grenzen zijn de afspraken van dit hoofdstuk.

grootheid	sensor	grens en actie
CO₂	NDIR (MH-Z19B, zoals in de module; bereik op 10 000 ppm), S1 leefruimte en S2 slaapruimte, op 1,2 m, niet naast bed, kookplaat of rooster	boven 900 ppm ventilatie 150 m³/h; waarschuwing 1000 ppm (minuutgemiddelde); alarm 5000 ppm (losse meting)
O₂	elektrochemische cel 0-25 % via ADS1115 (0x48), in S1	alarm onder 19,5 % (na drukcorrectie); jaarlijks ijken in buitenlucht; cel vervangen om de twee jaar
luchtdruk	BME280 (0x76), in S1	correctie van de O₂-cel; controle van de SHT31
temperatuur, RV	SHT31 (0x44), in S1	streefzone 40-60 %; melding onder 25 % of boven 70 %; dauwpunt minstens 3 °C onder de koudste binnenoppervlakte
CO₂ bij de fles	MH-Z19B laag in de kweekruimte (bestaat al, hoofdstuk 14 van I)	dosering stopt boven 1500 ppm; alarm 5000 ppm; inhoud van de fles via een weegcel

De woonmodule van boven: twee sensorpunten, de WTW-unit met toevoer (volle lijn) en afvoer (stippellijn), en de CO₂-fles buiten aan de klimaatmodule.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
S1: leefruimte
CO₂ (NDIR), O₂ (elektrochemische cel), luchtdruk (BME280) en temperatuur en RV (SHT31) in één kastje op 1,2 m, aan een binnenwand, weg van de kookplaat en de roosters. Meet om de 2 s; het brein beslist op minuutgemiddelden, behalve bij de alarmgrenzen.
2
S2: slaapruimte
Een tweede CO₂-sensor: 's nachts met de deur dicht stijgt de CO₂ hier het snelst. Hij stuurt de nachtstand van de ventilatie.
3
WTW-unit
Ventilatie met warmteterugwinning (85 %): 70 m³/h 's nachts, 100 m³/h gewoon, 150 m³/h boven 900 ppm. Blaast verse lucht in de slaap- en leefruimte en zuigt af in de keuken, het sanitair en de technische ruimte.
4
Afzuiging keuken
Waar de meeste waterdamp (en geur) ontstaat, wordt afgezogen: zo verspreidt het vocht zich niet over de module.
5
CO₂-fles
Buiten, in een verluchte kast aan de noordgevel van de klimaatmodule, op een weegcel. Een lek komt dus buiten terecht; in de kweekruimte meet een CO₂-sensor laag bij de grond (alarm 5000 ppm).
6
Technische ruimte
Batterijen, omvormer en waterzuivering; hier wordt ook afgezogen. Hier staan geen gasflessen.

Naslag · 14.20

Gassen: formules, constanten en grenswaarden

20/21

Werkwijze bij een gasprobleem: (1) alles in SI en de temperatuur in kelvin, de druk absoluut; (2) welke grootheden blijven constant? (3) ideaal of niet: druk hoog, temperatuur laag, dicht bij condensatie? (4) bij mengsels met molfracties rekenen; (5) bij een ruimte met bronnen en ventilatie een balans opstellen.

ideale gaswet

p V = n R T = N k T

symbool	betekenis	eenheid
$p$	absolute druk	Pa
$V$	volume	m³
$n$	hoeveelheid	mol
$T$	temperatuur	K
$R$	gasconstante 8,314	J/(mol·K)
$k$	constante van Boltzmann 1,381 · 10⁻²³	J/K

dichtheid en molair volume

ρ = \frac{pM}{R T} V_{m} = \frac{R T}{p}

symbool	betekenis	eenheid
$M$	molaire massa	kg/mol

kinetische gastheorie

p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m \overline{v^{2}} \frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T

snelheden (Maxwell-Boltzmann)

v_{p} = \frac{2 R T}{M} \overset{v}{ˉ} = \frac{8 R T}{π M} v_{rms} = \frac{3 R T}{M}

gemiddelde vrije weglengte

λ = \frac{k T}{2 π d ^{2} p}

symbool	betekenis	eenheid
$d$	doorsnede van een molecule	m

Dalton; ppm naar mg/m³

p_{i} = x_{i} p c = x \frac{pM}{R T}

symbool	betekenis	eenheid
$x$	molfractie (1 ppm = 10⁻⁶)	-

ventilatiebalans

V \frac{d c}{d t} = G - Q (c - c_{b}) \Rightarrow c_{\infty} = c_{b} + \frac{G}{Q}, τ = \frac{V}{Q}

symbool	betekenis	eenheid
$G$	productie	m³/h
$Q$	ventilatiedebiet	m³/h

Magnus

p_{s} = 611, 2 e^{17, 62 t / (243, 12 + t)} Pa RV = \frac{p _{w}}{p _{s}}

symbool	betekenis	eenheid
$t$	temperatuur	°C

echte gassen

(p + \frac{a n ^{2}}{V ^{2}}) (V - nb) = n R T Z = \frac{p V}{n R T}

grootheid	normaal	grens	waarom
O₂	20,95 %	< 19,5 %: alarm	iets verdringt de lucht (lek, brand)
CO₂	420 ppm buiten, 600-900 binnen	1000 ppm waarschuwing, 5000 ppm alarm	bedompt, concentratie; 5000 ppm = grenswaarde werkplek (8 h)
RV bij 20 °C	40-60 %	< 25 % of > 70 %	droge slijmvliezen; schimmel en condens
dauwpunt	5-12 °C	hoger dan een oppervlak	condens

gas	M (g/mol)	kritisch punt	in een fles bij 20 °C
stikstof N₂	28,01	−147 °C, 34 bar	gas (200-300 bar)
zuurstof O₂	32,00	−118 °C, 50 bar	gas (200 bar)
CO₂	44,01	31,0 °C, 73,8 bar	vloeistof + damp (57 bar)
propaan C₃H₈	44,10	96,7 °C, 42,5 bar	vloeistof + damp (8,4 bar)
waterstof H₂	2,016	−240 °C, 13 bar	gas (200-700 bar)

Het geheel · 14.21

Waar de gaswetten vandaan komen en waar ze heen gaan

21/21

De ideale gaswet verbindt het deeltjesmodel (M) met energie (E): temperatuur is bewegingsenergie van moleculen. Balansen voor CO₂, O₂ en waterdamp zijn differentiaalvergelijkingen (W), en ze gaan over mensen en planten (B). De luchtbewaking is een meetsysteem (O) dat een regeling (R) voedt.

F6 Het deeltjesmodel

Deeltjes die bewegen en botsen, condens en dauwpunt: hier kwantitatief.

I11 Druk en hydraulica

Druk, pascal en bar, absolute druk en overdruk.

I14 Reacties en stoichiometrie

Mol, molair volume, de CO₂ van planten en bewoners, de CO₂-fles van 2 kg.

I19 Warmtetransport en isolatie

U-waarden, oppervlaktetemperatuur en condens in een wand.

E4 Differentiaalvergelijkingen en simulatie

De ventilatiebalans V dc/dt = G − Q(c − cb) en de simulatie met Euler.

E6 Statistiek en meetonzekerheid

Normaal verdeelde snelheidscomponenten; beslissen op een minuutgemiddelde; systematische fouten.

E15 De hoofdwetten van de thermodynamica

Inwendige energie van een gas, arbeid bij samendrukken, adiabatische processen.

E16 Warmtepompen en koelen

Een koudemiddel dat verdampt en condenseert: dampspanning in actie.

E18 Stroming van vloeistoffen en gassen

Ventilatiekanalen en drukverlies: hoe de 100 m³/h door de module stroomt.

E27 Elektrochemie: batterijen, brandstofcellen en elektrolyse

Waterstof uit elektrolyse onder druk opslaan: Z > 1, en veiligheid.

E33 Het lichaam als regelsysteem

Ademhaling en zuurstofsaturatie: de partiële druk in het lichaam.

E37 Embedded systemen en IoT

De sensoren van de luchtbewaking in het netwerk van het station.

HabitatHet station heeft nu een luchtbewaking: twee sensorpunten in de woonmodule (CO₂, O₂ met drukcorrectie, luchtdruk, temperatuur en RV), een ventilatie met warmteterugwinning van 100 m³/h (minimum 79 m³/h voor 1000 ppm; 70 m³/h 's nachts, 150 m³/h boven 900 ppm), en een CO₂-fles van 2 kg buiten in een verluchte kast op een weegcel (69 dagen per fles, twee flessen). De simulatie toont dat de CO₂ onder 1000 ppm blijft en dat de winterlucht droog wordt: een WTW met vochtterugwinning is de volgende stap.

Samenvatting

In het kort

De toestand van een gas: absolute druk $p$ , volume $V$ , temperatuur $T$ in kelvin en hoeveelheid $n$ ; samen $p V = n R T = N k T$ .
De wetten van Boyle-Mariotte, Charles en Gay-Lussac en Avogadro zijn speciale gevallen; een meting toont ook systematische fouten zoals een dode ruimte.
Druk komt van botsingen: $p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m \overline{v^{2}}$ , en temperatuur is gemiddelde kinetische energie: $\frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T$ .
De snelheden volgen de verdeling van Maxwell en Boltzmann; stikstof bij 20 °C heeft $v_{rms} \approx 511 m/s$ ; zwaardere moleculen zijn trager.
In een mengsel is de partiële druk $p_{i} = x_{i} p$ (Dalton); ppm is een molfractie. Lichaam en zuurstofsensor reageren op de partiële druk.
In een gesloten woonmodule komt het CO₂-alarm (6 h) lang voor het zuurstofalarm (17 h); 100 m³/h ventilatie met WTW houdt de CO₂ onder 1000 ppm.
Relatieve vochtigheid, absolute vochtigheid en dauwpunt volgen uit Magnus; een oppervlak onder het dauwpunt wordt nat. Winterlucht die opgewarmd wordt, is droog.
Bij hoge druk of dicht bij condensatie is een gas niet ideaal ( $Z \neq = 1$ ); een CO₂-fles staat op haar dampspanning (57 bar bij 20 °C) en je weegt haar om de inhoud te kennen.

Begrippen

Wat je nu kent

ideale gaswet: $p V = n R T = N k T$ : het verband tussen druk, volume, temperatuur (in kelvin) en hoeveelheid van een gas waarvan de moleculen klein zijn tegenover hun onderlinge afstand en elkaar niet aantrekken.
absolute druk: De echte druk, gemeten tegenover vacuüm. Een manometer toont meestal de overdruk: absolute druk min de luchtdruk.
molair volume: Het volume van één mol gas: $V_{m} = R T / p$ , voor elk ideaal gas 24,06 L bij 20 °C en 1013,25 hPa (22,41 L bij 0 °C).
kinetische gastheorie: Model dat druk en temperatuur verklaart uit bewegende en botsende moleculen: $p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m \overline{v^{2}}$ en $\frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T$ .
verdeling van Maxwell en Boltzmann: De kansverdeling van de snelheden van de moleculen van een gas in evenwicht; hangt alleen af van de temperatuur en de massa van de moleculen.
partiële druk: De druk die één gas uit een mengsel zou uitoefenen als het alleen het hele volume vulde: $p_{i} = x_{i} p$ (wet van Dalton).
ppm: Parts per million: een miljoenste. Voor gassen een volumefractie, gelijk aan de molfractie: 1000 ppm CO₂ = 0,1 % van de moleculen.
relatieve vochtigheid: De waterdampdruk gedeeld door de verzadigingsdruk bij dezelfde temperatuur: $RV = p_{w} / p_{s} (T)$ .
dauwpunt: De temperatuur waartot je lucht moet afkoelen (bij dezelfde hoeveelheid waterdamp) voor ze verzadigd is; een koeler oppervlak wordt nat.
compressibiliteitsfactor: $Z = p V / (n R T)$ : 1 voor een ideaal gas; kleiner als de moleculen elkaar aantrekken, groter als hun eigen volume telt.
kritisch punt: Boven deze temperatuur (voor CO₂ 31,0 °C) kan je een gas niet meer vloeibaar maken, hoe hoog je de druk ook maakt.
ademhalingsquotiënt: Het aantal mol CO₂ dat je uitademt per mol O₂ die je verbruikt; hangt af van wat je verbrandt, gemiddeld ±0,85.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen

glas	$U$ (W/(m²·K))	binnenkant bij −8 °C
enkel glas	5,8	−1,1 °C
dubbel glas (luchtspouw)	2,8	9,8 °C
hoogrendementsglas	1,1	16,0 °C
driedubbel glas	0,6	17,8 °C