Van riemschijf tot vliegwiel en pirouette: wat een draaiende massa doet en bewaart
Je oefent eerst hoekgrootheden, traagheidsmomenten, τ = Iα en rotatie-energie. Daarna pas je ze toe op een emmer aan een haspel, een eigen meting, het vallende dakraam, een draaistoel en een reactiewiel, en fit je het verlies van een vliegwiel. De uitdagingen vragen afleidingen (bol en bolschil), een onderzoek naar een bal die glijdt en dan rolt, en de precessie van een fietswiel. Opdracht 10.12 is de Habitat-opdracht.
Een vliegwiel en een batterij bewaren allebei energie. Het ene houdt zich met staal bij elkaar, het andere met chemie.
Hoe lees je een opdracht?
Drie tredenOefenenToepassenUitdagen
Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).
De StemExpert-schaal5
Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
10.1
Van toerental naar snelheid
Oefenen6Rekenen15 min
De wielen van het inspectierobotje (Ø 65 mm) draaien onbelast 187,5 tpm (hoofdstuk 33 van I).
a
Bereken ω in rad/s, de snelheid van het robotje en de centripetale versnelling van een punt op de band.
b
Het robotje trekt in 0,40 s op van stilstand tot 0,20 m/s. Bereken α van het wiel (constant) en het aantal toeren in die tijd.
c
Een propeller van de drone (Ø 0,56 m) draait 3500 tpm. Bereken de snelheid van de tip in m/s en km/h.
10.2
Traagheidsmomenten uit de tabel
Oefenen6Rekenen15 min
Gebruik de tabel van het handboek.
a
Een wiel van het robotje als volle schijf (30 g, Ø 65 mm), en als ring met dezelfde massa. Welke verhouding?
b
Het vliegwiel van de gyrobus: 1500 kg, Ø 1,6 m, als volle schijf. Hoeveel energie bij 3000 tpm, in MJ en kWh?
c
Een dikwandige buis (R₁ = 4,0 cm, R₂ = 5,0 cm, 2,0 kg). Vergelijk met een volle cilinder en een dunne buis met dezelfde buitenstraal.
10.3
De verschuivingsstelling
Oefenen6Rekenen15 min
Een dunne staaf van 1,0 m en 0,60 kg.
a
Bereken I om een as loodrecht door het midden, door een uiteinde, en door een punt op 25 cm van een uiteinde.
b
Om welke evenwijdige as is I het kleinst? Waarom geldt dat voor elk voorwerp?
c
Toon met een integraal dat I om een uiteinde ML²/3 is, zonder Steiner.
10.4
Een slijpschijf loopt uit
Oefenen6Rekenen15 min
Een slijpschijf (volle schijf, 1,8 kg, Ø 20 cm) draait 3000 tpm. Na het uitschakelen staat ze na 40 s stil (constante vertraging).
a
Bereken I, de hoekvertraging en het wrijvingsmoment.
b
Hoeveel toeren maakt de schijf nog? Hoeveel energie wordt warmte?
10.5
Rollen en glijden
Oefenen6Rekenen15 min
Een volle bol, een volle cilinder en een dunne ring rollen zonder slippen van een hoogte van 0,80 m.
a
Bereken hun snelheid onderaan.
b
Welk deel van de energie is voor elk voorwerp rotatie-energie?
c
Waarom mag je hier energiebehoud gebruiken, terwijl er toch wrijving nodig is om te rollen?
10.6
Waar of niet waar?
Oefenen6Begrijpen15 min
Beoordeel elke uitspraak en verklaar in één of twee zinnen.
a
(a) Alle punten van een draaiend wiel hebben dezelfde snelheid. (b) Een voorwerp heeft één traagheidsmoment. (c) Een grote cilinder rolt sneller van een helling dan een kleine van hetzelfde materiaal.
b
(d) Een kunstschaatser die haar armen intrekt, krijgt er energie bij zonder dat iemand arbeid levert. (e) Een vliegwiel van koolstofvezel slaat meer energie op dan een even zwaar van staal omdat koolstofvezel zwaarder is. (f) Een helikopter zonder staartrotor zou tegen zijn rotor in draaien.
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
10.7
Een emmer aan een haspel
Toepassen7Rekenen25 min
Een emmer water van 10 kg hangt aan een touw rond een haspel (straal 0,10 m, I = 0,20 kg·m², wrijving verwaarloosbaar). Je laat de slinger los.
a
Teken de krachten op de emmer en de momenten op de haspel. Stel de vergelijkingen op.
b
Bereken de versnelling van de emmer en de spankracht in het touw.
c
Hoe snel valt de emmer na 8,0 m, en hoe snel draait de haspel dan? Controleer met energie.
10.8
Eigen meting: een traagheidsmoment
Toepassen7Labo30 min
Een fietswiel ligt horizontaal op een as met straal 12 mm; een gewicht van 80 g valt 0,80 m. Voorbeeldmeting van de valtijd: zonder blokjes 11,27 s; met twee blokjes van 150 g op 8 cm van de as 12,39 s; op 12 cm 13,85 s.
a
Leid de formule I = m r²(g t²/(2h) − 1) af.
b
Bereken I voor de drie metingen en controleer het verschil met 2 m d².
opstelling
t (s)
I (kg·m²)
ΔI gemeten
2 m d²
c
Een fout van 0,05 s op de tijd: hoe groot is de fout op I? Wat zou je verbeteren?
Zo wordt dit beoordeeld
Afleiding
Twee vergelijkingen (gewicht en wiel) en a = r α correct gecombineerd.
Verwerking
I per opstelling; verschil vergeleken met 2 m d².
Fout
Relatieve fout op I ≈ 2 × die op t; verbeteringen (langere val, meer herhalingen, lichtpoort, wrijving compenseren).
10.9
Een demper voor het dakraam
Toepassen7Analyseren25 min
Het dakraam van de meetkas (I = 0,144 kg·m² om het scharnier, 1,2 kg, 0,60 m) valt van 20° dicht (handboek).
a
Toon dat de voorrand bij de start versnelt met (3/2) g cos θ.
b
Een rubberen aanslag op de voorrand drukt 5 mm in. Schat de gemiddelde kracht op het frame bij het dichtslaan.
c
Een gasveertje vlak bij het scharnier remt het raam af met een constant moment. Hoe groot moet dat moment zijn om de voorrand met hoogstens 0,5 m/s te laten neerkomen?
10.10
Een pirouette
Toepassen7Rekenen20 min
Een kunstschaatser draait met gestrekte armen 1,5 toer per seconde; haar traagheidsmoment is dan 3,5 kg·m², met de armen tegen het lichaam 1,0 kg·m².
a
Hoe snel draait ze met de armen in?
b
Bereken haar rotatie-energie voor en na. Waar komt het verschil vandaan?
c
Het ijs oefent een klein wrijvingsmoment van 0,5 N·m uit. Hoe lang zou haar snelle pirouette duren?
10.11
Het verlies van een vliegwiel fitten
Toepassen7Programmeren30 min
De stalen demonstrator (I = 2,408 kg·m²) wordt op 6000 tpm gebracht en losgelaten; het toerental wordt elke kwartier gelogd (voorbeeldmeting):
t (h)
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
n (tpm)
6000
5916
5832
5752
5672
5593
5516
5441
5367
5293
5220
t (h)
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
n (tpm)
5151
5079
5012
4944
4877
4812
4748
4684
4622
4560
a
Bereken uit het logboek het verliesvermogen P = −dE/dt (centrale differenties) en fit P = a (ω/ω₀) + b (ω/ω₀)³ met kleinste kwadraten.
b
Vergelijk a en b met de rekenwaarden van het handboek (5 W en 10 W). Wat verandert als de vacuümpomp uitvalt?
10.12
Habitat: een vliegwiel voor het station?
Toepassen7Habitat60 min
Een leverancier biedt een vliegwielopslag aan met een koolstofvezelring: 5 kWh bruikbaar, 250 kW vermogen, systeemmassa 1000 kg, stilstandsverlies 2 % per uur, 100 000 cycli. Habitat heeft 2,46 kWh bruikbaar in LiFePO4 (±28 kg, ±3000 cycli), een netomvormer van 4 kVA (8 kVA gedurende 5 s), een drukpomp met een korte aanloop van ±6,3 kVA, en 's nachts ±1,2 à 1,4 kWh verbruik in de module (hoofdstuk 20 van I).
a
Bereken voor beide opslagtechnieken de specifieke energie (Wh/kg) en het verlies over één nacht van 12 h zonder laden.
b
Beoordeel de drie taken van het handboek (pomp, wolk, nacht) voor dit aanbod. Is 250 kW nuttig voor Habitat?
c
Bereken hoeveel jaar de batterij meegaat bij één cyclus per dag, en het vliegwiel bij 100 cycli per dag.
d
Schrijf een advies van 5 à 8 regels aan het brein van het station, met getallen, en één situatie waarin je het advies zou herzien.
Zo wordt dit beoordeeld
Rekenwerk
Wh/kg (5 en 88); nachtverlies (±21 % tegenover ±0,05 %); levensduur in jaren.
Beoordeling
Per taak onderbouwd; vermogen tegenover energie onderscheiden; 250 kW is 60 keer de omvormer.
Advies
Duidelijk besluit met getallen en één voorwaarde om het te herzien (kou, veel korte cycli, afgelegen site).
Eerlijkheid
Dezelfde grenzen voor beide (bruikbare energie, systeemmassa, tijd).
10.13
Een reactiewiel met een grens
Toepassen7Rekenen20 min
Dezelfde satelliet (40 kg·m²) en hetzelfde reactiewiel (0,050 kg·m²) als in het handboek; het wiel mag hoogstens 6000 tpm draaien, de motor levert hoogstens 0,10 N·m.
a
Wat is de grootste hoeksnelheid die de satelliet met dit wiel kan krijgen?
b
De satelliet moet zich 180° draaien: eerst versnellen met het grootste moment, dan even hard remmen. Hoe lang duurt dat, en hoe snel draait het wiel op zijn snelst? Wordt de grens van 6000 tpm gehaald?
c
Welke grens beslist hier: het moment of het toerental? Hoe snel zou de draai kunnen met een onbeperkt sterke motor?
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
10.14
Bol en bolschil met een integraal
Uitdagen8Analyseren35 min
Leid de traagheidsmomenten van de volle bol en de dunne bolschil af, met straal R en massa M.
a
Snij de volle bol in schijven loodrecht op de as, op hoogte z en met dikte dz. Toon dat I=2πρ∫−RR(R2−z2)2dz=52MR2.
b
Leid voor de bolschil af: I=32MR2 (tip: Ix+Iy+Iz=2∫r2dm voor een symmetrisch voorwerp, of snij in ringen).
c
Controleer de bol numeriek: bereken de integraal met de trapeziumregel in Python.
10.15
Onderzoek: van glijden naar rollen
Uitdagen9Onderzoeken50 min
Een bowlingbal (volle bol) wordt met 8,0 m/s weggegooid zonder te draaien. Hij glijdt eerst; de wrijving (μ = 0,10) remt hem af en laat hem tegelijk draaien, tot hij rolt zonder slippen.
a
Stel de vergelijkingen op voor v(t) en ω(t) tijdens het glijden. Toon dat het rollen begint na t=7μg2v0, met v=75v0, voor elke μ.
b
Bereken de tijd, de afstand en welk deel van de kinetische energie warmte wordt.
c
Verklaar 75 met het impulsmoment om het contactpunt met de grond. Wat verandert er voor een ring of een cilinder?
Zo wordt dit beoordeeld
Model
Wrijving μmg tegen de beweging; tegelijk moment μmgR dat ω laat groeien.
Afleiding
Rolvoorwaarde v = Rω opgelost; resultaat onafhankelijk van μ.
Rekenwerk
Tijd, afstand en energieverlies correct.
Inzicht
Impulsmoment om het contactpunt behouden; algemeen v = v₀/(1 + k).
10.16
De precessie van een fietswiel
Uitdagen8Analyseren30 min
Een fietswiel (I = 0,10 kg·m² om zijn as, 2,0 kg) draait 5,0 toer per seconde. Je hangt het aan een touwtje aan het ene uiteinde van de as, 0,15 m van het wiel; de as staat horizontaal.
a
Teken L, het gewicht en het moment om het ophangpunt. Leg uit waarom het wiel niet valt maar horizontaal gaat ronddraaien.
b
Toon met dL=τdt dat de as ronddraait met Ω=Iωmgd. Bereken Ω en de tijd voor één toer.
c
Wat gebeurt er als het wiel langzamer gaat draaien? Waar houdt het model op te kloppen?
10.17
Ontwerp: een vliegwiel van koolstofvezel voor 1 kWh
Uitdagen9Ontwerpen60 min
Ontwerp de rotor van een vliegwielopslag met 1,0 kWh bruikbare energie: een dunne ring van koolstofvezel (toelaatbare spanning 1000 MPa in de omtreksrichting, 1600 kg/m³), gebruikt tussen de helft en het volle toerental. De buitenmaat mag hoogstens 0,70 m zijn (de deur van de technische ruimte is 0,80 m).
a
Kies een straal. Bereken de grootste randsnelheid, het toerental, de massa van de ring en een doorsnede (breedte × hoogte).
b
Welk deel van de energie haal je eruit tussen de helft en het volle toerental? Hoeveel energie zit er in het vliegwiel bij vol toerental? Vergelijk met de energie in TNT (4,2 MJ/kg).
c
Waarom maakt de straal voor de massa niet uit, maar wel voor het toerental? Welke straal kies je, en waarom?
d
Vergelijk met LiFePO4 (110 Wh/kg nominaal, 80 % bruikbaar) en noem twee onderdelen die de systeemmassa van het vliegwiel nog zwaar maken.
Zo wordt dit beoordeeld
Rotor
v = √(σ/ρ), ω = v/R, massa uit σ/(2ρ) en 75 % bruikbaar, doorsnede uit m = 2πR A ρ.
Energie
75 % tussen ½ω en ω; volle energie 4,8 MJ ≈ 1 kg TNT: omhulling nodig.
Keuze
Straal onderbouwd: groot genoeg voor een haalbaar toerental, klein genoeg voor de deur; massa onafhankelijk van R.
Vergelijking
Batterijmassa berekend; behuizing, lagers, motor en vacuüm genoemd.
ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet
Ik kan hoek, hoeksnelheid en hoekversnelling in radialen gebruiken, omrekenen naar toerentallen en naar de snelheid en versnelling van een punt (v = ωr, tangentieel αr, centripetaal ω²r).
Ik kan het traagheidsmoment definiëren vanuit de kinetische energie, het met een integraal afleiden voor een staaf, een ring en een schijf, en de verschuivingsstelling gebruiken.
Ik kan τ = Iα afleiden en toepassen, ook op een aandrijving met een overbrenging (gereduceerd traagheidsmoment).
Ik kan rotatie-energie, arbeid τθ en vermogen τω berekenen en verklaren welk voorwerp het snelst van een helling rolt.
Ik kan de energie in een vliegwiel en de grens door de materiaalsterkte (σ = ρv² in een ring) berekenen, een vliegwiel simuleren en het eerlijk vergelijken met een batterij.
Ik kan impulsmoment als L = Iω en als r × p gebruiken, dL/dt = τ toepassen en het behoud ervan verklaren bij een pirouette, een baan, een reactiewiel en een drone.
