EExpert · deel E2 · Mechanica en constructies

Oplossingen · hoofdstuk 10Rotatie

Van riemschijf tot vliegwiel en pirouette: wat een draaiende massa doet en bewaart

Uitgewerkte oplossingen bij de 17 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

6× oefenen7× toepassen4× uitdagen± 475 min

KKrachten, beweging en constructies EEnergie WWiskundig modelleren

Een vliegwiel en een batterij bewaren allebei energie. Het ene houdt zich met staal bij elkaar, het andere met chemie.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

10.1

Van toerental naar snelheid

Oefenen6Rekenen15 min

De wielen van het inspectierobotje (Ø 65 mm) draaien onbelast 187,5 tpm (hoofdstuk 33 van I).

a
Bereken ω in rad/s, de snelheid van het robotje en de centripetale versnelling van een punt op de band.
$ω = 2 π \cdot 187, 5/60 = 19, 63 rad/s$ ; $v = ω r = 0, 638 m/s$ ; $a_{c} = ω^{2} r = 12, 5 m/ s^{2}$ .
b
Het robotje trekt in 0,40 s op van stilstand tot 0,20 m/s. Bereken α van het wiel (constant) en het aantal toeren in die tijd.
$ω_{eind} = 0, 20/0, 0325 = 6, 15 rad/s$ , $α = 6, 15/0, 40 = 15, 4 rad/ s^{2}$ ; $θ = \frac{1}{2} α t^{2} = 1, 231 rad = 0, 196$ toer.
c
Een propeller van de drone (Ø 0,56 m) draait 3500 tpm. Bereken de snelheid van de tip in m/s en km/h.
$v = ω r = 2 π \cdot 3500/60 \cdot 0, 28 = 103 m/s = 369 km/h$ : bijna een derde van de geluidssnelheid.

10.2

Traagheidsmomenten uit de tabel

Oefenen6Rekenen15 min

Gebruik de tabel van het handboek.

a
Een wiel van het robotje als volle schijf (30 g, Ø 65 mm), en als ring met dezelfde massa. Welke verhouding?
Schijf $\frac{1}{2} \cdot 0, 030 \cdot 0, 032 5^{2} = 1, 58 \cdot 1 0^{- 5} kg m^{2}$ ; ring het dubbele, $3, 17 \cdot 1 0^{- 5}$ . Verhouding 2.
b
Het vliegwiel van de gyrobus: 1500 kg, Ø 1,6 m, als volle schijf. Hoeveel energie bij 3000 tpm, in MJ en kWh?
$I = \frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 0, 8^{2} = 480 kg m^{2}$ ; $ω = 314, 2 rad/s$ ; $E = \frac{1}{2} I ω^{2} = 23, 7 MJ = 6, 6 kWh$ .
c
Een dikwandige buis (R₁ = 4,0 cm, R₂ = 5,0 cm, 2,0 kg). Vergelijk met een volle cilinder en een dunne buis met dezelfde buitenstraal.
$\frac{1}{2} \cdot 2, 0 (0, 0 4^{2} + 0, 0 5^{2}) = 4, 10 \cdot 1 0^{- 3} kg m^{2}$ ; vol: $\frac{1}{2} \cdot 2, 0 \cdot 0, 0 5^{2} = 2, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ ; dun: $2, 0 \cdot 0, 0 5^{2} = 5, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ . De dikwandige buis zit ertussen, dicht bij de dunne ( $k = 0, 82$ ).

10.3

De verschuivingsstelling

Oefenen6Rekenen15 min

Een dunne staaf van 1,0 m en 0,60 kg.

a
Bereken I om een as loodrecht door het midden, door een uiteinde, en door een punt op 25 cm van een uiteinde.
Midden: $\frac{1}{12} \cdot 0, 60 \cdot 1, 0^{2} = 0, 050 kg m^{2}$ . Uiteinde: $0, 050 + 0, 60 \cdot 0, 5 0^{2} = 0, 200 kg m^{2}$ . Op 25 cm: $d = 0, 25 m$ : $0, 050 + 0, 60 \cdot 0, 0625 = 0, 0875 kg m^{2}$ .
b
Om welke evenwijdige as is I het kleinst? Waarom geldt dat voor elk voorwerp?
Door het zwaartepunt: $I = I_{zw} + M d^{2}$ en $M d^{2} \geq 0$ . Elke verschuiving uit het zwaartepunt maakt $I$ groter.
c
Toon met een integraal dat I om een uiteinde ML²/3 is, zonder Steiner.
$\int_{0}^{L} x^{2} \frac{M}{L} d x = \frac{M}{L} \cdot \frac{L ^{3}}{3} = \frac{1}{3} M L^{2}$ .

10.4

Een slijpschijf loopt uit

Oefenen6Rekenen15 min

Een slijpschijf (volle schijf, 1,8 kg, Ø 20 cm) draait 3000 tpm. Na het uitschakelen staat ze na 40 s stil (constante vertraging).

a
Bereken I, de hoekvertraging en het wrijvingsmoment.
$I = \frac{1}{2} \cdot 1, 8 \cdot 0, 1 0^{2} = 0, 009 kg m^{2}$ ; $ω_{0} = 314, 2 rad/s$ , $α = 314, 2/40 = 7, 85 rad/ s^{2}$ ; $τ = I α = 0, 0707 N m$ .
b
Hoeveel toeren maakt de schijf nog? Hoeveel energie wordt warmte?
$θ = \frac{1}{2} ω_{0} t = 6283 rad$ , dat is 1000 toeren (gemiddeld 1500 tpm gedurende 40 s: 1000 toeren). Warmte $\frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = 444 J$ ; controle $τ θ = 444 J$ .

10.5

Rollen en glijden

Oefenen6Rekenen15 min

Een volle bol, een volle cilinder en een dunne ring rollen zonder slippen van een hoogte van 0,80 m.

a
Bereken hun snelheid onderaan.
Bol: 3,35 m/s; cilinder: 3,23 m/s; ring: 2,80 m/s (glijdend zonder wrijving: 3,96 m/s).
b
Welk deel van de energie is voor elk voorwerp rotatie-energie?
Rotatie-energie / totaal $= k / (1 + k)$ : bol $0, 4/1, 4 = 29 %$ , cilinder 33 %, ring 50 %.
c
Waarom mag je hier energiebehoud gebruiken, terwijl er toch wrijving nodig is om te rollen?
Het contactpunt staat op elk ogenblik stil: de statische wrijving grijpt aan in een punt dat niet beweegt en doet dus geen arbeid. Ze zet alleen een deel van de energie om in draaien.

10.6

Waar of niet waar?

Oefenen6Begrijpen15 min

Beoordeel elke uitspraak en verklaar in één of twee zinnen.

a
(a) Alle punten van een draaiend wiel hebben dezelfde snelheid. (b) Een voorwerp heeft één traagheidsmoment. (c) Een grote cilinder rolt sneller van een helling dan een kleine van hetzelfde materiaal.
(a) Niet waar: dezelfde ω, maar v = ωr hangt van de afstand tot de as af. (b) Niet waar: I hangt van de as af (Steiner). (c) Niet waar: straal en massa vallen weg; alleen k = I/(MR²) telt, en die is voor elke volle cilinder 0,5.
b
(d) Een kunstschaatser die haar armen intrekt, krijgt er energie bij zonder dat iemand arbeid levert. (e) Een vliegwiel van koolstofvezel slaat meer energie op dan een even zwaar van staal omdat koolstofvezel zwaarder is. (f) Een helikopter zonder staartrotor zou tegen zijn rotor in draaien.
(d) Niet waar: haar armen leveren arbeid door de massa naar binnen te trekken. (e) Niet waar: juist lichter; wat telt is σ/ρ, en koolstofvezel is veel sterker per kilogram. (f) Waar: de motor duwt de rotor rond met een moment, en de rotor duwt met een tegengesteld moment op de romp; zonder staartrotor blijft het totale impulsmoment behouden en draait de romp de andere kant op.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

10.7

Een emmer aan een haspel

Toepassen7Rekenen25 min

Een emmer water van 10 kg hangt aan een touw rond een haspel (straal 0,10 m, I = 0,20 kg·m², wrijving verwaarloosbaar). Je laat de slinger los.

a
Teken de krachten op de emmer en de momenten op de haspel. Stel de vergelijkingen op.
Emmer: G = 98,1 N omlaag, T omhoog. Haspel: moment T · r. Vergelijkingen: m g − T = m a; T r = I α; a = r α.
b
Bereken de versnelling van de emmer en de spankracht in het touw.
$a = \frac{m g}{m + I / r ^{2}} = \frac{98 , 1}{10 + 20} = 3, 27 m/ s^{2}$ ; $T = m (g - a) = 65, 4 N$ .
c
Hoe snel valt de emmer na 8,0 m, en hoe snel draait de haspel dan? Controleer met energie.
$v = 2 ah = 7, 23 m/s$ , $ω = v / r = 72, 3 rad/s$ . Energie: $m g h = 785 J$ en $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} = 262 + 523 = 785 J$ .

10.8

Eigen meting: een traagheidsmoment

Toepassen7Labo30 min

Een fietswiel ligt horizontaal op een as met straal 12 mm; een gewicht van 80 g valt 0,80 m. Voorbeeldmeting van de valtijd: zonder blokjes 11,27 s; met twee blokjes van 150 g op 8 cm van de as 12,39 s; op 12 cm 13,85 s.

a
Leid de formule I = m r²(g t²/(2h) − 1) af.
Gewicht: $m g - T = ma$ , wiel: $T r = I α = I a / r$ ; samen $m g = a (m + I / r^{2})$ . Met $a = 2 h / t^{2}$ : $I = m r^{2} (g / a - 1) = m r^{2} (\frac{g t ^{2}}{2 h} - 1)$ .
b
Bereken I voor de drie metingen en controleer het verschil met 2 m d².
I = 0,00896; 0,01083; 0,01354 kg·m². Verschillen met de eerste: 0,00187 en 0,00458 kg·m², tegenover 2 m d² = 0,00192 en 0,00432 kg·m².
c
Een fout van 0,05 s op de tijd: hoe groot is de fout op I? Wat zou je verbeteren?
I ≈ m r² g t²/(2h): de relatieve fout op I is ongeveer twee keer die op t: 0,05 s op 11,3 s is 0,4 %, dus 0,9 % op I. Beter: een langere valhoogte, een lichtpoort in plaats van een stopwatch, vijf herhalingen, en de wrijving compenseren.

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	Twee vergelijkingen (gewicht en wiel) en a = r α correct gecombineerd.
Verwerking	I per opstelling; verschil vergeleken met 2 m d².
Fout	Relatieve fout op I ≈ 2 × die op t; verbeteringen (langere val, meer herhalingen, lichtpoort, wrijving compenseren).

10.9

Een demper voor het dakraam

Toepassen7Analyseren25 min

Het dakraam van de meetkas (I = 0,144 kg·m² om het scharnier, 1,2 kg, 0,60 m) valt van 20° dicht (handboek).

a
Toon dat de voorrand bij de start versnelt met (3/2) g cos θ.
$α = \frac{M g ( L /2 ) cos θ}{M L ^{2} /3} = \frac{3 g cos θ}{2 L}$ , dus $a = α L = \frac{3}{2} g cos θ = 13, 8 m/ s^{2}$ bij 20°.
b
Een rubberen aanslag op de voorrand drukt 5 mm in. Schat de gemiddelde kracht op het frame bij het dichtslaan.
De voorrand stopt van 2,46 m/s over 5 mm: gemiddelde vertraging $v^{2} / (2 s) = 604 m/ s^{2}$ . Als stoot: $I ω = 0, 590 N m s$ moet weg in $Δ t = 2 s / v = 4, 1 ms$ : $F = I ω / (L Δ t) = 242 N$ aan de voorrand.
c
Een gasveertje vlak bij het scharnier remt het raam af met een constant moment. Hoe groot moet dat moment zijn om de voorrand met hoogstens 0,5 m/s te laten neerkomen?
Energie: $m g Δ h - τ_{d} θ_{0} = \frac{1}{2} I ω_{e}^{2}$ met $ω_{e} = 0, 5/0, 60 = 0, 833 rad/s$ en $θ_{0} = 0, 349 rad$ : $τ_{d} = \frac{1 , 208 - \frac{1}{2} \cdot 0 , 144 \cdot 0 , 83 3 ^{2}}{0 , 349} = 3, 32 N m$ . (Het gewicht geeft bij 20° 3,32 N·m: de demper houdt het raam bijna in evenwicht.)

10.10

Een pirouette

Toepassen7Rekenen20 min

Een kunstschaatser draait met gestrekte armen 1,5 toer per seconde; haar traagheidsmoment is dan 3,5 kg·m², met de armen tegen het lichaam 1,0 kg·m².

a
Hoe snel draait ze met de armen in?
$n_{2} = 1, 5 \cdot 3, 5/1, 0 = 5, 25$ toer/s.
b
Bereken haar rotatie-energie voor en na. Waar komt het verschil vandaan?
$E_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3, 5 \cdot (3 π)^{2} = 155 J$ , $E_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 0 \cdot (2 π \cdot 5, 25)^{2} = 544 J$ : haar armen leveren 389 J.
c
Het ijs oefent een klein wrijvingsmoment van 0,5 N·m uit. Hoe lang zou haar snelle pirouette duren?
$L = 1, 0 \cdot 2 π \cdot 5, 25 = 33, 0 kg m^{2} /s$ ; $t = L / τ = 66 s$ (in werkelijkheid korter: ze stopt zelf).

10.11

Het verlies van een vliegwiel fitten

Toepassen7Programmeren30 min

De stalen demonstrator (I = 2,408 kg·m²) wordt op 6000 tpm gebracht en losgelaten; het toerental wordt elke kwartier gelogd (voorbeeldmeting):

$t$ (h)	0,00	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50
$n$ (tpm)	6000	5916	5832	5752	5672	5593	5516	5441	5367	5293	5220

$t$ (h)	2,75	3,00	3,25	3,50	3,75	4,00	4,25	4,50	4,75	5,00
$n$ (tpm)	5151	5079	5012	4944	4877	4812	4748	4684	4622	4560

Bereken uit het logboek het verliesvermogen P = −dE/dt (centrale differenties) en fit P = a (ω/ω₀) + b (ω/ω₀)³ met kleinste kwadraten.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np
# vliegwiel.py: verlies() en I = 2,408 kg m²; het toerental wordt elke 15 min gelogd
t = np.arange(0, 5.01, 0.25) * 3600                 # s
n = np.array(NS)                                     # tpm, uit het logboek (zie tabel)
w = n * 2 * np.pi / 60
E = 0.5 * I * w**2
P = -np.gradient(E, t)                               # verliesvermogen (W), centrale differenties
A = np.vstack([w / w[0], (w / w[0])**3]).T           # model P = a (w/w0) + b (w/w0)³
(a, b), *_ = np.linalg.lstsq(A, P, rcond=None)
print(f"lagers a = {a:.1f} W, lucht b = {b:.1f} W bij {n[0]:.0f} tpm")
print(f"na 5 h nog {100 * E[-1] / E[0]:.1f} % van de energie")

Echte uitvoer:

lagers a = 5.3 W, lucht b = 9.7 W bij 6000 tpm
na 5 h nog 57.8 % van de energie

b
Vergelijk a en b met de rekenwaarden van het handboek (5 W en 10 W). Wat verandert als de vacuümpomp uitvalt?
De fit vindt de rekenwaarden terug (binnen de ruis van het afronden op 1 tpm). Valt het vacuüm weg, dan stijgt het luchtverlies (b) met een factor die evenredig is met de dichtheid van het gas: bij gewone luchtdruk is dat al snel tientallen keren meer, en het vliegwiel is in minder dan een uur leeg.

10.12

Habitat: een vliegwiel voor het station?

Toepassen7Habitat60 min

Een leverancier biedt een vliegwielopslag aan met een koolstofvezelring: 5 kWh bruikbaar, 250 kW vermogen, systeemmassa 1000 kg, stilstandsverlies 2 % per uur, 100 000 cycli. Habitat heeft 2,46 kWh bruikbaar in LiFePO4 (±28 kg, ±3000 cycli), een netomvormer van 4 kVA (8 kVA gedurende 5 s), een drukpomp met een korte aanloop van ±6,3 kVA, en 's nachts ±1,2 à 1,4 kWh verbruik in de module (hoofdstuk 20 van I).

a
Bereken voor beide opslagtechnieken de specifieke energie (Wh/kg) en het verlies over één nacht van 12 h zonder laden.
Vliegwiel: $5000/1000 = 5 Wh/kg$ ; na 12 h: $0, 9 8^{12} = 0, 785$ , dus 22 % weg. Batterij: $2460/28 = 88 Wh/kg$ ; zelfontlading een paar procent per maand, over 12 h een paar honderdste procent.
b
Beoordeel de drie taken van het handboek (pomp, wolk, nacht) voor dit aanbod. Is 250 kW nuttig voor Habitat?
Pomp: het probleem is vermogen gedurende een fractie van een seconde, en dat dekt de omvormer al. Wolk: een paar tientallen Wh, 1 % van de batterij. Nacht: het vliegwiel verliest over 12 h een vijfde van zijn inhoud, meer dan de hele nachtvraag verschilt. 250 kW is zestig keer wat de omvormer kan leveren: dat vermogen kan het station niet eens gebruiken.
c
Bereken hoeveel jaar de batterij meegaat bij één cyclus per dag, en het vliegwiel bij 100 cycli per dag.
Batterij: 3000 cycli / 365 ≈ 8 jaar. Vliegwiel: 100 000 / 100 = 1000 dagen ≈ 2,7 jaar, maar bij één cyclus per dag 270 jaar: de cycli zijn het sterke punt van het vliegwiel, niet nodig voor Habitat.
d
Schrijf een advies van 5 à 8 regels aan het brein van het station, met getallen, en één situatie waarin je het advies zou herzien.
Bijvoorbeeld: 'Geen vliegwiel. De LiFePO4-batterijen leveren 18 keer meer energie per kg, verliezen 's nachts bijna niets en dekken een wolk met 1 % van hun inhoud; de omvormer dekt de aanloop van de pomp. Het vliegwiel zou 1000 kg wegen en 's nachts 21 % verliezen. Herzien als het station verhuist naar een plek waar de batterijen onder 0 °C moeten laden, of als er een toestel komt met honderden zware, korte cycli per dag (een lier, een lift).'

Zo wordt dit beoordeeld

Rekenwerk	Wh/kg (5 en 88); nachtverlies (±21 % tegenover ±0,05 %); levensduur in jaren.
Beoordeling	Per taak onderbouwd; vermogen tegenover energie onderscheiden; 250 kW is 60 keer de omvormer.
Advies	Duidelijk besluit met getallen en één voorwaarde om het te herzien (kou, veel korte cycli, afgelegen site).
Eerlijkheid	Dezelfde grenzen voor beide (bruikbare energie, systeemmassa, tijd).

10.13

Een reactiewiel met een grens

Toepassen7Rekenen20 min

Dezelfde satelliet (40 kg·m²) en hetzelfde reactiewiel (0,050 kg·m²) als in het handboek; het wiel mag hoogstens 6000 tpm draaien, de motor levert hoogstens 0,10 N·m.

a
Wat is de grootste hoeksnelheid die de satelliet met dit wiel kan krijgen?
$ω_{w} = 628, 3 rad/s$ : $ω_{s} = 0, 050 \cdot 628, 3/40 = 0, 785 rad/s$ (45°/s).
b
De satelliet moet zich 180° draaien: eerst versnellen met het grootste moment, dan even hard remmen. Hoe lang duurt dat, en hoe snel draait het wiel op zijn snelst? Wordt de grens van 6000 tpm gehaald?
$α_{s} = 0, 10/40 = 0, 0025 rad/ s^{2}$ . Halverwege is de hoek $π /2 = \frac{1}{2} α t_{h}^{2}$ : $t_{h} = π / α = 35, 4 s$ , samen 71 s. Grootste $ω_{s} = α t_{h} = 0, 0886 rad/s$ , dus het wiel $40 \cdot 0, 0886/0, 050 = 70, 9 rad/s$ = 677 tpm: ruim onder 6000 tpm.
c
Welke grens beslist hier: het moment of het toerental? Hoe snel zou de draai kunnen met een onbeperkt sterke motor?
Het moment beslist: de motor is te zwak om het wiel tot zijn grens te brengen binnen een halve draai. Met een onbeperkt sterke motor zou de satelliet meteen 0,785 rad/s halen en 180° draaien in $π /0, 785 = 4, 0 s$ ; om dat in de buurt te komen, is een motor van tientallen N·m nodig (en een satelliet die zulke schokken verdraagt).

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

10.14

Bol en bolschil met een integraal

Uitdagen8Analyseren35 min

Leid de traagheidsmomenten van de volle bol en de dunne bolschil af, met straal R en massa M.

a
Snij de volle bol in schijven loodrecht op de as, op hoogte $z$ en met dikte $d z$ . Toon dat $I = \frac{π ρ}{2} \int_{- R}^{R} (R^{2} - z^{2})^{2} d z = \frac{2}{5} M R^{2}$ .
Schijf met straal $R^{2} - z^{2}$ en massa $ρ π (R^{2} - z^{2}) d z$ : $d I = \frac{1}{2} (R^{2} - z^{2}) d m = \frac{π ρ}{2} (R^{2} - z^{2})^{2} d z$ . $\int_{- R}^{R} (R^{4} - 2 R^{2} z^{2} + z^{4}) d z = 2 R^{5} - \frac{4}{3} R^{5} + \frac{2}{5} R^{5} = \frac{16}{15} R^{5}$ . Dus $I = \frac{8 π ρ}{15} R^{5}$ ; met $M = \frac{4}{3} π R^{3} ρ$ : $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ .
b
Leid voor de bolschil af: $I = \frac{2}{3} M R^{2}$ (tip: $I_{x} + I_{y} + I_{z} = 2 \int r^{2} d m$ voor een symmetrisch voorwerp, of snij in ringen).
Voor een bolschil ligt alle massa op afstand $R$ van het middelpunt: $\int r^{2} d m = M R^{2}$ , met $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ . Om de $z$ -as telt $x^{2} + y^{2}$ ; door symmetrie is $I_{x} = I_{y} = I_{z}$ en $I_{x} + I_{y} + I_{z} = 2 \int r^{2} d m = 2 M R^{2}$ , dus $I = \frac{2}{3} M R^{2}$ . (Zelfde truc voor de volle bol: $\int r^{2} d m = \frac{3}{5} M R^{2}$ , dus $I = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} M R^{2} = \frac{2}{5} M R^{2}$ .)
c
Controleer de bol numeriek: bereken de integraal met de trapeziumregel in Python.
Met $R = 1$ : $k = \frac{\int \frac{1}{2} ( 1 - z ^{2} ) ^{2} d z}{\int ( 1 - z ^{2} ) d z}$ (de massa in dezelfde schijven). Trapeziumregel met 200 000 stukjes: $k = 0, 400000$ , dus $\frac{2}{5}$ .

10.15

Onderzoek: van glijden naar rollen

Uitdagen9Onderzoeken50 min

Een bowlingbal (volle bol) wordt met 8,0 m/s weggegooid zonder te draaien. Hij glijdt eerst; de wrijving (μ = 0,10) remt hem af en laat hem tegelijk draaien, tot hij rolt zonder slippen.

a
Stel de vergelijkingen op voor $v (t)$ en $ω (t)$ tijdens het glijden. Toon dat het rollen begint na $t = \frac{2 v _{0}}{7 μg}$ , met $v = \frac{5}{7} v_{0}$ , voor elke μ.
Glijden: $m \overset{v}{˙} = - μ m g$ , dus $v = v_{0} - μg t$ ; $I \overset{ω}{˙} = μ m g R$ , dus $ω = \frac{5 μg}{2 R} t$ (met $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ ). Rollen als $v = R ω$ : $v_{0} - μg t = \frac{5}{2} μg t$ , dus $t = \frac{2 v _{0}}{7 μg}$ en $v = v_{0} - \frac{2}{7} v_{0} = \frac{5}{7} v_{0}$ , voor elke μ.
b
Bereken de tijd, de afstand en welk deel van de kinetische energie warmte wordt.
$t = 16/ (7 \cdot 0, 981) = 2, 33 s$ ; $s = v_{0} t - \frac{1}{2} μg t^{2} = 16, 0 m$ ; $v = 5, 71 m/s$ . Energie na: $\frac{1}{2} m v^{2} (1 + 0, 4) = \frac{7}{10} \cdot \frac{25}{49} m v_{0}^{2} = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ : $\frac{2}{7}$ of 28,6 % wordt warmte, ook voor elke μ.
c
Verklaar $\frac{5}{7}$ met het impulsmoment om het contactpunt met de grond. Wat verandert er voor een ring of een cilinder?
Om het contactpunt (een punt op de grond) werkt de wrijving zonder arm en de zwaartekracht en normaalkracht heffen elkaar op: $L$ om dat punt blijft behouden. Voor: $L = m v_{0} R$ (alleen translatie). Na: $L = m v R + I ω = m v R (1 + k)$ . Dus $v = v_{0} / (1 + k)$ : bol $\frac{5}{7}$ , cilinder $\frac{2}{3}$ , ring $\frac{1}{2}$ van de beginsnelheid.

Zo wordt dit beoordeeld

Model	Wrijving μmg tegen de beweging; tegelijk moment μmgR dat ω laat groeien.
Afleiding	Rolvoorwaarde v = Rω opgelost; resultaat onafhankelijk van μ.
Rekenwerk	Tijd, afstand en energieverlies correct.
Inzicht	Impulsmoment om het contactpunt behouden; algemeen v = v₀/(1 + k).

10.16

De precessie van een fietswiel

Uitdagen8Analyseren30 min

Een fietswiel (I = 0,10 kg·m² om zijn as, 2,0 kg) draait 5,0 toer per seconde. Je hangt het aan een touwtje aan het ene uiteinde van de as, 0,15 m van het wiel; de as staat horizontaal.

a
Teken $L$ , het gewicht en het moment om het ophangpunt. Leg uit waarom het wiel niet valt maar horizontaal gaat ronddraaien.
$L$ ligt langs de as, horizontaal. Het gewicht grijpt aan in het wiel, 0,15 m van het ophangpunt: het moment $r \times F$ staat horizontaal en loodrecht op $L$ . Het verandert dus niet de grootte van $L$ , alleen de richting: de as draait in het horizontale vlak, ze valt niet.
b
Toon met $d L = τ d t$ dat de as ronddraait met $Ω = \frac{m g d}{I ω}$ . Bereken Ω en de tijd voor één toer.
In $d t$ draait $L$ over $d φ = τ d t / L$ , dus $Ω = τ / L = \frac{m g d}{I ω}$ . $L = 0, 10 \cdot 2 π \cdot 5, 0 = 3, 142 kg m^{2} /s$ ; $τ = 2, 0 \cdot 9, 81 \cdot 0, 15 = 2, 94 N m$ ; $Ω = 0, 94 rad/s$ , één toer in 6,7 s.
c
Wat gebeurt er als het wiel langzamer gaat draaien? Waar houdt het model op te kloppen?
Hoe trager het wiel, hoe kleiner L en hoe sneller de precessie. Het model veronderstelt dat L bijna helemaal van het draaien van het wiel komt; draait de precessie zelf niet meer traag tegenover het wiel (Ω niet meer ≪ ω), dan telt ook het impulsmoment van de precessie mee, gaat de as schommelen (nutatie) en zakt het wiel uiteindelijk.

10.17

Ontwerp: een vliegwiel van koolstofvezel voor 1 kWh

Uitdagen9Ontwerpen60 min

Ontwerp de rotor van een vliegwielopslag met 1,0 kWh bruikbare energie: een dunne ring van koolstofvezel (toelaatbare spanning 1000 MPa in de omtreksrichting, 1600 kg/m³), gebruikt tussen de helft en het volle toerental. De buitenmaat mag hoogstens 0,70 m zijn (de deur van de technische ruimte is 0,80 m).

a
Kies een straal. Bereken de grootste randsnelheid, het toerental, de massa van de ring en een doorsnede (breedte × hoogte).
Met $R = 0, 30 m$ : $v = 1 0^{9} /1600 = 791 m/s$ , $ω = 2635 rad/s$ = 25 165 tpm. Energie per kg ring $σ / (2 ρ) = 86, 8 Wh/kg$ ; met 75 % bruikbaar is de massa $1000/ (0, 75 \cdot 86, 8) = 15, 4 kg$ . Doorsnede $A = m / (2 π R ρ) = 51 c m^{2}$ , bv. 5 cm dik (radiaal) en 10 cm hoog.
b
Welk deel van de energie haal je eruit tussen de helft en het volle toerental? Hoeveel energie zit er in het vliegwiel bij vol toerental? Vergelijk met de energie in TNT (4,2 MJ/kg).
$E \sim ω^{2}$ : tussen $\frac{1}{2} ω$ en $ω$ komt $1 - \frac{1}{4} = 75 %$ vrij. Vol: $1, 0/0, 75 = 1, 33 kWh = 4, 8 MJ$ , de energie van ongeveer 1,1 kg TNT. Bij een breuk moet de omhulling dat opvangen.
c
Waarom maakt de straal voor de massa niet uit, maar wel voor het toerental? Welke straal kies je, en waarom?
De massa volgt uit σ/(2ρ): elke dunne ring van dit materiaal bewaart evenveel per kg, welke straal ook. Het toerental is v/R: een kleine ring moet sneller draaien (lagers, motor en balans worden moeilijker), een grote past niet door de deur en vraagt een grotere behuizing. R = 0,30 m (buitendiameter van de ring ±0,65 m) is een compromis: 25 000 tpm is haalbaar met magnetische lagers.
d
Vergelijk met LiFePO4 (110 Wh/kg nominaal, 80 % bruikbaar) en noem twee onderdelen die de systeemmassa van het vliegwiel nog zwaar maken.
LiFePO4: $1000/ (110 \cdot 0, 8) = 11, 4 kg$ voor 1 kWh bruikbaar, tegenover 15,4 kg voor de ring alleen. Maar de ring is niet het systeem: de omhulling die een breuk moet opvangen (vaak zwaarder dan de rotor), de vacuümbehuizing met pomp, de magnetische lagers, de motor-generator en de elektronica maken een vliegwielsysteem meestal zwaarder per kWh dan een batterij.

Zo wordt dit beoordeeld

Rotor	v = √(σ/ρ), ω = v/R, massa uit σ/(2ρ) en 75 % bruikbaar, doorsnede uit m = 2πR A ρ.
Energie	75 % tussen ½ω en ω; volle energie 4,8 MJ ≈ 1 kg TNT: omhulling nodig.
Keuze	Straal onderbouwd: groot genoeg voor een haalbaar toerental, klein genoeg voor de deur; massa onafhankelijk van R.
Vergelijking	Batterijmassa berekend; behuizing, lagers, motor en vacuüm genoemd.