EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Oplossingen · hoofdstuk 6Statistiek en meetonzekerheid

Van ruis op één meting tot een onderbouwd besluit: hoe zeker weet je wat je gemeten hebt?

Uitgewerkte oplossingen bij de 17 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

6× oefenen6× toepassen5× uitdagen± 442 min

WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten AData en AI

Twaalf vakjes, twee lamptypes, één vraag: is de nieuwe lamp echt beter, of was het toeval?

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

6.1

Kansen met de normale verdeling

Oefenen6Rekenen15 min

De SHT31 in de sensorkast van de module geeft bij een constante temperatuur waarden die normaal verdeeld zijn rond de echte waarde, met

σ = 0, 04^{\circ} C

(voorbeeldmeting).

a
Hoe groot is de kans dat één meting meer dan 0,10 °C van de echte waarde afwijkt (in een van beide richtingen)?
$z = 0, 10/0, 04 = 2, 5$ ; $P (∣ Z ∣ > 2, 5) = 2 (1 - Φ (2, 5)) = 0, 0124$ , ongeveer 1,24 %.
b
Binnen welk symmetrisch interval rond de echte waarde valt 95 % van de metingen? En 99,7 %?
95 %: $\pm 1, 96 \cdot 0, 04 = \pm 0, 078^{\circ} C$ ; 99,7 %: $\pm 3 \cdot 0, 04 = \pm 0, 12^{\circ} C$ .
c
De module logt één waarde per minuut. Hoe vaak per dag verwacht je een meting die meer dan 0,10 °C afwijkt?
$1440 \cdot 0, 0124 \approx 18$ keer per dag. Wie op één meting een alarm zou zetten bij 0,1 °C afwijking, krijgt dat elke dag.

6.2

Een ijking controleren met een interval

Oefenen6Rekenen20 min

De pH-module van de klimaatmodule (hoofdstuk 15 van I) staat in een bufferoplossing van pH 7,00. Acht metingen: 7,04 · 6,98 · 7,06 · 7,01 · 6,97 · 7,03 · 7,05 · 7,00.

a
Bereken het gemiddelde, s en de standaardfout.
$\overset{x}{ˉ} = 7, 0175$ , $s = 0, 0328$ , $s / 8 = 0, 0116$ .
b
Bereken het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.
$t_{7}^{*} = 2, 365$ : $7, 0175 \pm 0, 0275$ , dus $[6, 990; 7, 045]$ .
c
Is er een aanwijzing dat de module scheef meet? Leg uit met het interval.
Het interval bevat 7,00: de gegevens passen bij een juist geijkte module. Dat bewijst niet dat de afwijking nul is; ze is kleiner dan ongeveer 0,05 pH, ruim binnen de marge van de bijsturing (5,5 tot 6,5).

6.3

t of z, en wat gebeurt er met n?

Oefenen6Begrijpen12 min

Drie meetsituaties in het station.

a
(a) Vier metingen van de vultijd van een reservoir, σ onbekend. (b) 400 metingen van de NTC. (c) Een sensor waarvan de fabrikant σ opgeeft, één meting. Kies telkens z of t (en ν), en leg uit.
(a) t met ν = 3: σ is geschat uit maar vier metingen (t* = 3,18). (b) t met ν = 399, praktisch z = 1,96: s is dan een zeer goede schatting. (c) z: σ is gekend (als je de fabrikant vertrouwt), en met één meting kan je s niet eens berekenen.
b
Een interval met 5 metingen is ±0,8 °C. Hoe breed wordt het ongeveer met 20 metingen (zelfde s)? Reken het exact met t en vergelijk met de ruwe schatting via √n.
Ruw: $20/5 = 2$ , dus $\pm 0, 4^{\circ} C$ . Exact: de halve breedte is $t^{*} s / n$ ; uit $t_{4}^{*} s / 5 = 0, 8$ volgt $s = 0, 8 \cdot 5 /2, 776 = 0, 644$ , en met 20 metingen $2, 093 \cdot 0, 644/ 20 = 0, 30^{\circ} C$ . Smaller dan de helft: je wint ook doordat $t^{*}$ daalt van 2,78 naar 2,09.

6.4

Onzekerheden doorrekenen

Oefenen6Rekenen20 min

Het vermogen van één zonnepaneel is

P = η G A

met

A = l \cdot b

. Gegeven:

l = (1, 650 \pm 0, 003) m

b = (1, 000 \pm 0, 003) m

η = 0, 21 \pm 0, 01

G = (900 \pm 30) W/ m^{2}

(alle

\pm

zijn standaardonzekerheden).

a
Bereken A en u(A).
$A = 1, 650 m^{2}$ ; relatief $(0, 003/1, 65)^{2} + (0, 003/1, 0)^{2} = 0, 351 %$ , $u (A) = 0, 0058 m^{2}$ .
b
Bereken P en u(P). Welke bron domineert?
$P = 0, 21 \cdot 900 \cdot 1, 650 = 311, 8 W$ ; relatief $(4, 76 %)^{2} + (3, 33 %)^{2} + (0, 35 %)^{2} = 5, 82 %$ , $u (P) = 18, 2 W$ . Het rendement domineert (4,76 %), de afmetingen doen er nauwelijks toe.
c
Hoe groot zou u(P) zijn als je de relatieve fouten lineair optelt (zoals in hoofdstuk 1 van I)?
Lineair: $4, 76 + 3, 33 + 0, 48 = 8, 58 %$ , dus $26, 7 W$ : een bovengrens, ruim een derde groter dan de standaardonzekerheid.

6.5

De resolutie van drie temperatuursensoren

Oefenen6Rekenen10 min

Afronden op een stap

q

geeft (met wat ruis) een uniforme fout met

σ = q / 12

a
Bereken σ van de afrondingsfout voor: de TMP36 op een 10-bits ADC van 5 V (10 mV/°C); een logger die op 0,1 °C afrondt; de SHT31, die de temperatuur als 16-bits getal S geeft met T = −45 + 175 · S / 65535 (°C).
TMP36: $q = 0, 488^{\circ} C$ , $σ = 0, 141^{\circ} C$ . Logger: $σ = 0, 029^{\circ} C$ . SHT31: $q = 175/65535 = 0, 00267^{\circ} C$ , $σ = 0, 00077^{\circ} C$ : verwaarloosbaar tegenover haar ruis.
b
Waarom is de afrondingsfout van een perfect constante, ruisvrije temperatuur géén toevallige fout?
Dan valt de temperatuur elke keer op dezelfde plek tussen twee stappen: de fout is elke meting dezelfde (systematisch). Middelen helpt niet. Pas als ruis of een veranderend signaal de waarde over meerdere stappen laat springen, gedraagt de afrondingsfout zich toevallig (zo werkt 'dithering').

6.6

Juist of fout: intervallen en p-waarden

Oefenen7Begrijpen15 min

Een proef gaf voor het verschil in versgewicht een 95 %-interval van [3; 27] g en p = 0,02.

a
(a) Er is 95 % kans dat het echte verschil tussen 3 en 27 g ligt. (b) Als de lamp geen effect had, dan was een resultaat als dit of extremer zeldzaam (2 %). (c) Er is 2 % kans dat de lamp geen effect heeft. (d) Het effect is groot. (e) Een nieuwe proef met hetzelfde ontwerp geeft zeker weer p < 0,05. Zeg telkens juist of fout, met een zin uitleg.
(a) Strikt genomen fout: het echte verschil ligt erin of niet; 95 % is de trefkans van de methode (in de praktijk zegt men het zo, en dat is verdedigbaar als je vooraf niets wist). (b) Juist: dat is de definitie van p. (c) Fout: p is geen kans op H0. (d) Fout: p zegt niets over de grootte; het interval zegt 'ergens tussen klein en behoorlijk'. (e) Fout: stel dat het echte effect precies de geschatte 15 g is; dan ligt het verwachte resultaat van een herhaling 2,3 standaardfouten van nul, en haalt de herhaling de grens van 1,96 maar in ongeveer 64 % van de gevallen. 'Zeker' is veel te sterk.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

6.7

Bijsturen door ruis

Toepassen7Rekenen15 min

De pH van de voedingsoplossing is 5,80; de module stuurt bij als een meting onder 5,50 komt (hoofdstuk 15 van I). De pH-meting ruist met

σ = 0, 08

per meting, en er wordt om de 2 s gemeten.

a
Bereken de kans per meting op een valse 'te zuur'-melding, en het verwachte aantal per dag.
$z = (5, 80 - 5, 50) /0, 08 = 3, 75$ ; $P = 8, 84 \cdot 1 0^{- 5}$ ; per dag $43200 \cdot P = 3, 8$ .
b
Het programma beslist voortaan op het gemiddelde van 15 metingen (30 s). Herbereken.
$σ = 0, 08/ 15 = 0, 0207$ , $z = 14, 5$ : de kans is kleiner dan $1 0^{- 40}$ , dus nooit.
c
Waarom is een vals 'te zuur' hier erger dan een vals CO₂-alarm?
Een vals alarm is hinderlijk; een valse bijsturing doet iets: de module doseert pH-plus (of salpeterzuur in de andere richting) terwijl er niets mis was, en verstoort zo zelf de oplossing. Een actie op een meting vraagt een robuustere beslissing dan een melding.

6.8

Wat is de proefeenheid?

Toepassen7Analyseren20 min

Vier proefopzetten uit Habitat. Geef telkens de proefeenheid, het echte aantal herhalingen per groep, en of de conclusie deugt.

a
(a) Twee lampen boven de twee helften van het kweekbed, 24 planten per helft; t-toets op 24 + 24 planten. (b) De groeiproef van hoofdstuk 27 van F: 12 bakjes met eigen druppelaar, geloot, 3 per behandeling. (c) Eén NTC wordt 400 keer gemeten om 'de ruis van het type NTC' te bepalen. (d) Vijf sensoren van merk A en vijf van merk B, elk 20 keer gemeten; toets op 100 + 100 metingen.
(a) Proefeenheid = lamp (met haar helft van het bed): 1 per groep. Lamp en plek vallen samen; geen toets mogelijk over het lamptype. De t-toets op planten is pseudoreplicatie. (b) Het bakje, 3 per groep: deugt (eigen behandeling, geloot). (c) Eén sensor: de 400 metingen zeggen iets over déze NTC (en haar deler), niet over het type; voor het type heb je meerdere exemplaren nodig. (d) De sensor, 5 per groep: toets de 5 sensorgemiddelden per merk (Welch met ν ≈ 8), niet 100 metingen; anders is p veel te klein.

6.9

Monte Carlo voor het zonnepaneel

Toepassen7Programmeren20 min

Neem de gegevens van opdracht 6.4 (vermogen van een zonnepaneel).

Schrijf een Monte Carlo-programma met numpy dat P = η G A 100 000 keer berekent met normaal verdeelde invoer, en u(P) en het 95 %-gebied afdrukt.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
M = 100_000
eta = rng.normal(0.21, 0.01, M)
G = rng.normal(900, 30, M)
A = rng.normal(1.650, 0.003, M) * rng.normal(1.000, 0.003, M)
P = eta * G * A
print("P = %.1f W, u(P) = %.1f W (%.2f %%)" % (P.mean(), P.std(ddof=1), 100 * P.std(ddof=1) / P.mean()))
print("95 %% tussen %.1f en %.1f W" % tuple(np.percentile(P, [2.5, 97.5])))

Echte uitvoer:

P = 311.8 W, u(P) = 18.1 W (5.82 %)
95 % tussen 276.9 en 347.9 W

b
Vergelijk met je resultaat uit opdracht 6.4. Is lineariseren hier goed genoeg?
De formule gaf $u (P) = 18, 2 W$ (5,82 %). Monte Carlo geeft hetzelfde op een tiende watt: bij relatieve onzekerheden van enkele procenten is een product bijna lineair. Het 95 %-gebied is ongeveer $\pm 2 u$ , symmetrisch.

6.10

Twee soorten druppelaars

Toepassen7Rekenen25 min

Voor de meetkas twijfelt het team tussen twee druppelaars. Het debiet van 8 exemplaren van type A en 7 van type B, gemeten bij dezelfde druk:

type	debiet (mL/min)
A (8 stuks)	32,1 · 30,8 · 33,5 · 31,2 · 29,9 · 32,8 · 31,5 · 30,6
B (7 stuks)	34,2 · 33,1 · 35,8 · 32,9 · 34,6 · 33,4 · 36,1

a
Bereken per type het gemiddelde en s.
A: $\overset{x}{ˉ} = 31, 550$ , $s = 1, 194$ mL/min. B: $\overset{x}{ˉ} = 34, 300$ , $s = 1, 278$ mL/min.
b
Voer de Welch-toets uit (α = 0,05, tweezijdig): t, ν, besluit.
Standaardfout $s_{B}^{2} /7 + s_{A}^{2} /8 = 0, 642$ ; $t = 2, 750/0, 642 = 4, 29$ ; $ν = 12, 4$ ; $p = 0, 00097$ . H0 verworpen: type B geeft meer water.
c
Geef het 95 %-interval van het verschil. Doet het verschil ertoe als elke plant 150 mL per dag nodig heeft en het debiet de pomptijd bepaalt?
$2, 75 \pm 2, 170 \cdot 0, 642$ , dus $[1, 36; 4, 14] mL/min$ , ongeveer 9 % meer. Voor één druppelaar is dat klein, maar alle bakjes hangen aan dezelfde pomptijd: met type B krijgt elk bakje 9 % meer water, en belangrijker is de spreiding binnen een type (s ≈ 1 mL/min, 3 %): die bepaalt of alle bakjes evenveel krijgen.

6.11

Gepaard of niet? De DHT11 opnieuw

Toepassen7Analyseren25 min

In hoofdstuk 1 van I hingen een DHT11 en een referentiethermometer een dag lang naast elkaar:

uur	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
referentie (°C)	12,6	13,4	14,7	16,6	19,4	22,4	25,2	27,0	26,7	25,1	22,6	19,5
DHT11 (°C)	14	14	16	18	20	24	26	28	27	26	23	21

a
Voer een Welch-toets uit op de twee kolommen alsof het onafhankelijke groepen waren. Besluit?
Welch: verschil van de gemiddelden $0, 98^{\circ} C$ , maar $s \approx 5^{\circ} C$ per kolom (de dag warmt op); $t = 0, 47$ , $p = 0, 64$ : 'geen significant verschil'.
b
Voer een gepaarde t-toets uit op de verschillen DHT11 − referentie. Besluit?
Verschillen: $\overset{ˉ}{d} = 0, 983$ , $s_{d} = 0, 451$ ; $t = 0, 983/ (0, 451/ 12) = 7, 55$ met $ν = 11$ : $p = 11, 2 \cdot 1 0^{- 6}$ . De DHT11 meet systematisch te hoog: $0, 98 \pm 0, 29^{\circ} C$ (95 %).
c
Verklaar waarom de twee toetsen zo verschillen. Welke is juist?
De metingen zijn paren (hetzelfde ogenblik). De Welch-toets ziet de grote spreiding door de dagcyclus als ruis en verdrinkt het kleine, constante verschil erin. De gepaarde toets trekt elk paar af, waardoor de dagcyclus wegvalt. De gepaarde toets is juist.

6.12

Habitat: de tweede teelt van de lampproef

Toepassen8Habitat45 min

Het team herhaalt de lampproef in de winter met exact hetzelfde ontwerp (nieuwe loting, blind gewogen). De vakjesgemiddelden:

vakjesgemiddelde (g)	1	2	3	4	5	6
oude lamp	186,6	198,3	186,2	205,7	209,2	198,2
nieuwe lamp	202,8	208,6	204,2	199,7	202,4	208,4

Eerste teelt (handboek): verschil 15,00 g met standaardfout 5,78 g (ν = 9,9).

a
Voer de Welch-toets uit op de tweede teelt: verschil, standaardfout, ν, p en 95 %-interval.
Oud: $\overset{x}{ˉ} = 197, 37$ , $s = 9, 50$ ; nieuw: $\overset{x}{ˉ} = 204, 35$ , $s = 3, 53$ . Verschil $6, 98 g$ , standaardfout $4, 14 g$ , $t = 1, 69$ , $ν = 6, 4$ , $p = 0, 140$ . Interval $7, 0 \pm 10, 0$ : $[- 3, 0; 17, 0] g$ . Alleen: niet significant.
b
Combineer beide teelten: neem het gemiddelde van de twee verschillen. Wat is de standaardfout daarvan (onafhankelijke teelten)? Geef een 95 %-interval (gebruik ν ≈ 16).
$\overset{ˉ}{d} = (15, 00 + 6, 98) /2 = 10, 99 g$ ; $se = 5, 7 8^{2} + 4, 1 4^{2} /2 = 3, 56 g$ . Met $t^{*} = 2, 12$ ( $ν \approx 16$ ): $[3, 5; 18, 5] g$ .
c
Pas de vooraf vastgelegde beslisregel toe op het gecombineerde resultaat. Verandert het besluit?
Het interval ligt boven 0 (er is een effect), en de schatting 11,0 g blijft onder 20 g. Bovendien ligt nu het hele interval onder 20 g: een winst van 10 % is nu zo goed als uitgesloten. Het besluit blijft 'niet vervangen', maar nu met meer zekerheid.
d
Schrijf een advies van 6 à 10 regels voor de bewoners: wat weten we nu over de nieuwe lamp, hoe zeker, en wat kost het?
Bijvoorbeeld: 'Twee teelten in het proefrek, blind gewogen, tonen dat de nieuwe lamp gemiddeld ongeveer 11 g (5 %) meer sla per krop geeft, met een onzekerheid van ruwweg 3 tot 19 g. De beloofde 15 % halen we niet, en 10 % is onwaarschijnlijk. De lamp verbruikt 5 % meer stroom, net in de winter als die schaars is. We houden de huidige lampen; bij vervanging kiezen we het type met het beste rendement in µmol/J en nemen de verroodlamp alleen mee als ze niet duurder is. De proefopzet blijft klaar voor een volgende vraag.'

Zo wordt dit beoordeeld

Toets	Welch correct (gemiddelden, s, standaardfout, ν, p) en een interval met de juiste t*.
Combineren	Standaardfout van een gemiddelde van twee onafhankelijke verschillen correct: √(se₁² + se₂²)/2.
Besluit	Beslisregel letterlijk toegepast; onderscheid tussen significant en relevant.
Advies	Effect met interval, energie (5 % meer stroom) en kosten meegewogen; eerlijk over wat onzeker blijft.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

6.13

Waar komt de 16 vandaan? Afleiden en simuleren

Uitdagen8Analyseren35 min

Hoofdstuk 2 van I gaf de vuistregel

n \approx 16 (s / δ)^{2}

per groep voor 80 % vermogen bij

α = 0, 05

a
Leid de formule af met de normale verdeling. Waar komen 1,960 en 0,842 vandaan?
Standaardfout van het verschil: $σ 2/ n$ . Verwerpen als het gemeten verschil $> z_{0, 975} σ 2/ n$ ( $z_{0, 975} = 1, 960$ : 2,5 % in elke staart). Bij een echt verschil $δ$ is het gemeten verschil normaal rond $δ$ ; 80 % ervan ligt boven $δ - z_{0, 80} σ 2/ n$ met $z_{0, 80} = 0, 842$ . Dus $δ - 0, 842 σ 2/ n = 1, 960 σ 2/ n$ , en $n = 2 (1, 960 + 0, 842)^{2} (σ / δ)^{2} = 15, 70 (σ / δ)^{2}$ .
b
Hoe verandert de factor voor 90 % vermogen? En voor α = 0,01?
90 %: $z_{0, 90} = 1, 282$ , factor $2 (3, 242)^{2} = 21, 0$ . $α = 0, 01$ : $z_{0, 995} = 2, 576$ , factor $2 (3, 418)^{2} = 23, 4$ .
c
Schrijf een simulatie die voor σ = 11, δ = 20 en n = 5, 6 en 7 het vermogen schat (duizenden gesimuleerde proeven, Welch-toets). Vergelijk met de formule.
Bijvoorbeeld:
```
rng = np.random.default_rng(0)
for n in (5, 6, 7):
    a = rng.normal(0, 11, (20000, n)); b = rng.normal(20, 11, (20000, n))
    p = stats.ttest_ind(b, a, axis=1, equal_var=False).pvalue
    print(n, np.mean(p < 0.05))
```
De exacte waarden met de t-verdeling (Student) zijn 71 %, 81 % en 88 %; een Welch-simulatie geeft een paar procentpunt minder (Welch is bij kleine groepen iets voorzichtig). De normale formule is dus optimistisch bij kleine n: ze zegt 5, je hebt er 6 à 7 nodig.

6.14

Onderzoek: toetsen tot het lukt

Uitdagen9Onderzoeken50 min

Een onderzoeker test een lamp die in werkelijkheid niets doet. Hij weegt na elke drie planten per groep, toetst, en stopt zodra p < 0,05 (hoogstens 30 planten per groep). Zijn collega legt n = 30 vooraf vast.

Schrijf een simulatie (numpy en scipy) die beide werkwijzen 4000 keer uitvoert en telt hoe vaak ze een 'effect' vinden.

Bijvoorbeeld (met echte uitvoer):

# stoppen.py - 'we toetsen na elke drie planten en stoppen zodra p < 0,05' bij een lamp die NIETS doet
import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(5)
K, NMAX = 4000, 30                                  # 4000 gesimuleerde proeven, hoogstens 30 planten per groep
a = rng.normal(200, 20, (K, NMAX))                  # oude lamp
b = rng.normal(200, 20, (K, NMAX))                  # nieuwe lamp: zelfde verdeling, dus H0 is waar
gevonden = np.zeros(K, dtype=bool)
for n in range(3, NMAX + 1, 3):
    p = stats.ttest_ind(a[:, :n], b[:, :n], axis=1, equal_var=False).pvalue
    gevonden |= p < 0.05                            # wie ooit onder 0,05 zakte, stopte en 'publiceerde'
print("vooraf n = 30 vastgelegd: %.3f vals positief" % np.mean(p < 0.05))
print("toetsen na elke 3 planten: %.3f vals positief" % np.mean(gevonden))

vooraf n = 30 vastgelegd: 0.046 vals positief
toetsen na elke 3 planten: 0.189 vals positief

b
Verklaar het verschil. Waarom is de kans op een vals effect bij de eerste werkwijze groter dan 5 %, hoewel elke afzonderlijke toets 5 % heeft?
Met vaste n vindt de toets in 4,6 % van de proeven een vals effect, zoals beloofd. Wie tien keer kijkt, krijgt tien kansen om toevallig onder 0,05 te zakken: 18,9 %. De tien toetsen zijn sterk gecorreleerd (ze delen de eerste planten), anders was het 1 − 0,95¹⁰ = 40 %; maar elke nieuwe blik geeft een extra kans.
c
Hoe beschermt voorregistratie hiertegen? Mag je nooit tussentijds kijken?
Wie vooraf n en analyse vastlegt, kan niet stoppen 'als het goed uitkomt'. Tussentijds kijken mag wel, als dat vooraf gepland is met een strengere grens per blik (zoals in medische studies met een tussentijdse analyse), zodat de totale kans op een vals effect 5 % blijft.

Zo wordt dit beoordeeld

Simulatie	Correcte opzet onder H0, beide werkwijzen, reproduceerbaar (seed), genoeg herhalingen.
Verklaring	Meerdere kansen op een vals alarm per proef; de toetsen zijn gecorreleerd maar niet gelijk.
Voorregistratie	Legt n en analyse vast; tussentijds kijken mag met een vooraf vastgelegde, gecorrigeerde regel.

6.15

Ontwerp: het meetplan van de reservoirtemperatuur

Uitdagen8Ontwerpen45 min

Het brein van het station wil de temperatuur van het voedingsreservoir kennen tot op ±0,1 K (uitgebreide onzekerheid, k = 2) voor de warmtebalans. Je hebt de NTC-deler (ruis 1,2 ADC-stap per meting, 0,087 K per stap), de geijkte R25 (u = 30 Ω) en B (u = 15 K), en een referentiethermometer met u = 0,05 K voor een nieuwe ijking.

a
Stel het onzekerheidsbudget op voor één meting en voor het gemiddelde van n metingen. Haal je ±0,1 K?
Eén meting: ruis $0, 105$ , $R_{25}$ : $0, 064$ , $B$ : $0, 019$ K → $u = 0, 124$ K, $U = 0, 25$ K. Gemiddelde van 28: ruis $0, 020$ → $u = 0, 069$ K, $U = 0, 138$ K: net niet (de ijking domineert).
b
Welke maatregel(en) stel je voor om de eis te halen, en wat kost elk ervan?
De ijking verbeteren: $R_{25}$ opnieuw bepalen met de referentie van 0,05 K in water rond de werktemperatuur (bij 20 °C is de bijdrage van $R_{25}$ en $B$ samen dan ongeveer die van de referentie, 0,05 K), plus 28 metingen middelen: $u \approx 0, 0 2^{2} + 0, 0 5^{2} = 0, 054$ K, $U \approx 0, 11$ K; met twee ijkpunten (15 en 25 °C) en het gemiddelde van enkele referentiemetingen per punt haal je 0,1 K. Kost: een uur werk, geen onderdelen. Een NTC van betere kwaliteit helpt niet zolang je niet ijkt.
c
Hoe controleer je na installatie of het plan werkt?
Na installatie een dag naast de referentiethermometer loggen bij verschillende temperaturen; de verschillen moeten binnen ±0,1 K blijven (95 % ervan), zonder trend. Om het halfjaar herhalen (drift).

Zo wordt dit beoordeeld

Budget	Alle bronnen met type en u; kwadratisch opgeteld; ruis gedeeld door √n, ijking niet.
Maatregel	Richt zich op de grootste bron; kwantitatief onderbouwd.
Controle	Vergelijking met een referentie in meerdere punten; herhaalbaar.

6.16

Twee sensoren samen: het gewogen gemiddelde

Uitdagen8Analyseren25 min

In het reservoir hangen de NTC (

T_{1} = 20, 12^{\circ} C

u_{1} = 0, 07 K

) en een digitale sensor (

T_{2} = 19, 95^{\circ} C

u_{2} = 0, 20 K

). De fouten zijn onafhankelijk.

a
Zoek het gewicht $w$ in $T = w T_{1} + (1 - w) T_{2}$ waarvoor $u (T)$ minimaal is (afgeleide!). Toon dat $w$ evenredig is met $1/ u_{1}^{2}$ .
$u (T)^{2} = w^{2} u_{1}^{2} + (1 - w)^{2} u_{2}^{2}$ . Afleiden naar $w$ : $2 w u_{1}^{2} - 2 (1 - w) u_{2}^{2} = 0 \Rightarrow w = \frac{u _{2}^{2}}{u _{1}^{2} + u _{2}^{2}} = \frac{1/ u _{1}^{2}}{1/ u _{1}^{2} + 1/ u _{2}^{2}}$ . Elke sensor telt mee met het omgekeerde van zijn variantie; minimaal is $u (T)^{2} = \frac{1}{1/ u _{1}^{2} + 1/ u _{2}^{2}}$ .
b
Bereken T en u(T). Is de gecombineerde meting beter dan de beste sensor alleen?
$w = 0, 891$ ; $T = 20, 101^{\circ} C$ , $u (T) = 0, 066 K$ : iets beter dan de NTC alleen (0,07 K). Een slechte sensor voegt weinig toe, maar nooit iets slechts, als zijn u juist is.
c
Liggen de twee metingen verenigbaar? Toets het verschil.
Verschil $0, 17 K$ , $u = 0, 0 7^{2} + 0, 2 0^{2} = 0, 212 K$ , $z = 0, 80$ : verenigbaar. Is $∣ z ∣ > 3$ , dan is een van beide sensoren stuk: zo werkt foutdetectie in hoofdstuk 40, en het Kalman-filter is precies dit gewogen gemiddelde, stap na stap.

6.17

Debat: moet de grens van 0,05 weg?

Uitdagen8Argumenteren45 min

In 2018 stelden 72 onderzoekers voor om de grens voor 'significant' te verstrengen tot 0,005. In 2019 riepen meer dan 800 wetenschappers in Nature op om 'statistisch significant' als ja-neegrens helemaal te laten vallen en intervallen en effecten te rapporteren. Anderen vinden een vaste grens juist nodig tegen wensdenken.

a
Bereid met je groep één standpunt voor (verstrengen, afschaffen, behouden). Gebruik minstens twee argumenten uit dit hoofdstuk (meervoudig toetsen, onderscheidingsvermogen, effectgrootte, winner's curse, voorregistratie).
Verstrengen: minder valse ontdekkingen, maar grotere proeven nodig (factor n ongeveer 1,7 voor hetzelfde vermogen) en nog steeds een ja-neegrens. Afschaffen: dwingt tot effecten met intervallen en verhindert 'net significant'; risico: zonder grens rekt iedereen zijn besluit op. Behouden: eenvoudig en bekend; zinvol mét voorregistratie, één hoofduitkomst en het interval erbij.
b
Welke regel zou jij invoeren voor de beslissingen van het brein van het station (lampen, sensoren, alarmen)? Is dat dezelfde als voor een wetenschappelijk tijdschrift?
Voor een technische beslissing (zoals de lamp) is een vooraf vastgelegde beslisregel op het effect en zijn interval, gekoppeld aan kosten en risico, beter dan een p-grens: 'vervang als het interval boven 0 ligt en de winst ≥ 10 %'. Voor alarmen reken je met kansen op vals alarm en gemiste gevaren (zoals CO₂ en pH). Een tijdschrift moet vooral eerlijkheid afdwingen: voorregistratie, alle uitkomsten, open data.

Zo wordt dit beoordeeld

Argumenten	Minstens twee inhoudelijke argumenten uit het hoofdstuk, correct gebruikt.
Tegenargument	Het sterkste argument van de andere kant eerlijk weergegeven en beantwoord.
Toepassing	Een concrete, werkbare regel voor Habitat, met het verschil tussen onderzoek en een technische beslissing.