StemExpert

Expert · Werkboek · 6. Statistiek en meetonzekerheid
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 6Statistiek en meetonzekerheid

Van ruis op één meting tot een onderbouwd besluit: hoe zeker weet je wat je gemeten hebt?

Je oefent eerst kansen, gemiddelden, intervallen en foutenpropagatie met gegevens van Habitat, past ze toe op alarmen, sensoren en proeven (met de tweede teelt van de lampproef als Habitat-opdracht), en eindigt met afleidingen, simulaties, een meetplan en een debat over de grens van 0,05. Voor de code-opdrachten heb je Python met numpy en scipy nodig.

6× oefenen6× toepassen5× uitdagen± 442 min0/17 gedaan

WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten AData en AI

Twaalf vakjes, twee lamptypes, één vraag: is de nieuwe lamp echt beter, of was het toeval?

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

6.1

Kansen met de normale verdeling

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

De SHT31 in de sensorkast van de module geeft bij een constante temperatuur waarden die normaal verdeeld zijn rond de echte waarde, met

σ = 0, 04^{\circ} C

(voorbeeldmeting).

a
Hoe groot is de kans dat één meting meer dan 0,10 °C van de echte waarde afwijkt (in een van beide richtingen)?
b
Binnen welk symmetrisch interval rond de echte waarde valt 95 % van de metingen? En 99,7 %?
c
De module logt één waarde per minuut. Hoe vaak per dag verwacht je een meting die meer dan 0,10 °C afwijkt?

6.2

Een ijking controleren met een interval

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

De pH-module van de klimaatmodule (hoofdstuk 15 van I) staat in een bufferoplossing van pH 7,00. Acht metingen: 7,04 · 6,98 · 7,06 · 7,01 · 6,97 · 7,03 · 7,05 · 7,00.

a
Bereken het gemiddelde, s en de standaardfout.
b
Bereken het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.
c
Is er een aanwijzing dat de module scheef meet? Leg uit met het interval.

6.3

t of z, en wat gebeurt er met n?

Oefenen6Begrijpen12 min

gedaan

Drie meetsituaties in het station.

a
(a) Vier metingen van de vultijd van een reservoir, σ onbekend. (b) 400 metingen van de NTC. (c) Een sensor waarvan de fabrikant σ opgeeft, één meting. Kies telkens z of t (en ν), en leg uit.
b
Een interval met 5 metingen is ±0,8 °C. Hoe breed wordt het ongeveer met 20 metingen (zelfde s)? Reken het exact met t en vergelijk met de ruwe schatting via √n.

6.4

Onzekerheden doorrekenen

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Het vermogen van één zonnepaneel is

P = η G A

met

A = l \cdot b

. Gegeven:

l = (1, 650 \pm 0, 003) m

b = (1, 000 \pm 0, 003) m

η = 0, 21 \pm 0, 01

G = (900 \pm 30) W/ m^{2}

(alle

\pm

zijn standaardonzekerheden).

a
Bereken A en u(A).
b
Bereken P en u(P). Welke bron domineert?
c
Hoe groot zou u(P) zijn als je de relatieve fouten lineair optelt (zoals in hoofdstuk 1 van I)?

6.5

De resolutie van drie temperatuursensoren

Oefenen6Rekenen10 min

gedaan

Afronden op een stap

q

geeft (met wat ruis) een uniforme fout met

σ = q / 12

a
Bereken σ van de afrondingsfout voor: de TMP36 op een 10-bits ADC van 5 V (10 mV/°C); een logger die op 0,1 °C afrondt; de SHT31, die de temperatuur als 16-bits getal S geeft met T = −45 + 175 · S / 65535 (°C).
b
Waarom is de afrondingsfout van een perfect constante, ruisvrije temperatuur géén toevallige fout?

6.6

Juist of fout: intervallen en p-waarden

Oefenen7Begrijpen15 min

gedaan

Een proef gaf voor het verschil in versgewicht een 95 %-interval van [3; 27] g en p = 0,02.

a
(a) Er is 95 % kans dat het echte verschil tussen 3 en 27 g ligt. (b) Als de lamp geen effect had, dan was een resultaat als dit of extremer zeldzaam (2 %). (c) Er is 2 % kans dat de lamp geen effect heeft. (d) Het effect is groot. (e) Een nieuwe proef met hetzelfde ontwerp geeft zeker weer p < 0,05. Zeg telkens juist of fout, met een zin uitleg.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

6.7

Bijsturen door ruis

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

De pH van de voedingsoplossing is 5,80; de module stuurt bij als een meting onder 5,50 komt (hoofdstuk 15 van I). De pH-meting ruist met

σ = 0, 08

per meting, en er wordt om de 2 s gemeten.

a
Bereken de kans per meting op een valse 'te zuur'-melding, en het verwachte aantal per dag.
b
Het programma beslist voortaan op het gemiddelde van 15 metingen (30 s). Herbereken.
c
Waarom is een vals 'te zuur' hier erger dan een vals CO₂-alarm?

6.8

Wat is de proefeenheid?

Toepassen7Analyseren20 min

gedaan

Vier proefopzetten uit Habitat. Geef telkens de proefeenheid, het echte aantal herhalingen per groep, en of de conclusie deugt.

a
(a) Twee lampen boven de twee helften van het kweekbed, 24 planten per helft; t-toets op 24 + 24 planten. (b) De groeiproef van hoofdstuk 27 van F: 12 bakjes met eigen druppelaar, geloot, 3 per behandeling. (c) Eén NTC wordt 400 keer gemeten om 'de ruis van het type NTC' te bepalen. (d) Vijf sensoren van merk A en vijf van merk B, elk 20 keer gemeten; toets op 100 + 100 metingen.

6.9

Monte Carlo voor het zonnepaneel

Toepassen7Programmeren20 min

gedaan

Neem de gegevens van opdracht 6.4 (vermogen van een zonnepaneel).

a
Schrijf een Monte Carlo-programma met numpy dat P = η G A 100 000 keer berekent met normaal verdeelde invoer, en u(P) en het 95 %-gebied afdrukt.
b
Vergelijk met je resultaat uit opdracht 6.4. Is lineariseren hier goed genoeg?

6.10

Twee soorten druppelaars

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Voor de meetkas twijfelt het team tussen twee druppelaars. Het debiet van 8 exemplaren van type A en 7 van type B, gemeten bij dezelfde druk:

type	debiet (mL/min)
A (8 stuks)	32,1 · 30,8 · 33,5 · 31,2 · 29,9 · 32,8 · 31,5 · 30,6
B (7 stuks)	34,2 · 33,1 · 35,8 · 32,9 · 34,6 · 33,4 · 36,1

a
Bereken per type het gemiddelde en s.
b
Voer de Welch-toets uit (α = 0,05, tweezijdig): t, ν, besluit.
c
Geef het 95 %-interval van het verschil. Doet het verschil ertoe als elke plant 150 mL per dag nodig heeft en het debiet de pomptijd bepaalt?

6.11

Gepaard of niet? De DHT11 opnieuw

Toepassen7Analyseren25 min

gedaan

In hoofdstuk 1 van I hingen een DHT11 en een referentiethermometer een dag lang naast elkaar:

uur	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
referentie (°C)	12,6	13,4	14,7	16,6	19,4	22,4	25,2	27,0	26,7	25,1	22,6	19,5
DHT11 (°C)	14	14	16	18	20	24	26	28	27	26	23	21

a
Voer een Welch-toets uit op de twee kolommen alsof het onafhankelijke groepen waren. Besluit?
b
Voer een gepaarde t-toets uit op de verschillen DHT11 − referentie. Besluit?
c
Verklaar waarom de twee toetsen zo verschillen. Welke is juist?

6.12

Habitat: de tweede teelt van de lampproef

Toepassen8Habitat45 min

gedaan

Het team herhaalt de lampproef in de winter met exact hetzelfde ontwerp (nieuwe loting, blind gewogen). De vakjesgemiddelden:

vakjesgemiddelde (g)	1	2	3	4	5	6
oude lamp	186,6	198,3	186,2	205,7	209,2	198,2
nieuwe lamp	202,8	208,6	204,2	199,7	202,4	208,4

Eerste teelt (handboek): verschil 15,00 g met standaardfout 5,78 g (ν = 9,9).

a
Voer de Welch-toets uit op de tweede teelt: verschil, standaardfout, ν, p en 95 %-interval.
b
Combineer beide teelten: neem het gemiddelde van de twee verschillen. Wat is de standaardfout daarvan (onafhankelijke teelten)? Geef een 95 %-interval (gebruik ν ≈ 16).
c
Pas de vooraf vastgelegde beslisregel toe op het gecombineerde resultaat. Verandert het besluit?
d
Schrijf een advies van 6 à 10 regels voor de bewoners: wat weten we nu over de nieuwe lamp, hoe zeker, en wat kost het?

Zo wordt dit beoordeeld

Toets	Welch correct (gemiddelden, s, standaardfout, ν, p) en een interval met de juiste t*.
Combineren	Standaardfout van een gemiddelde van twee onafhankelijke verschillen correct: √(se₁² + se₂²)/2.
Besluit	Beslisregel letterlijk toegepast; onderscheid tussen significant en relevant.
Advies	Effect met interval, energie (5 % meer stroom) en kosten meegewogen; eerlijk over wat onzeker blijft.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

6.13

Waar komt de 16 vandaan? Afleiden en simuleren

Uitdagen8Analyseren35 min

gedaan

Hoofdstuk 2 van I gaf de vuistregel

n \approx 16 (s / δ)^{2}

per groep voor 80 % vermogen bij

α = 0, 05

a
Leid de formule af met de normale verdeling. Waar komen 1,960 en 0,842 vandaan?
b
Hoe verandert de factor voor 90 % vermogen? En voor α = 0,01?
c
Schrijf een simulatie die voor σ = 11, δ = 20 en n = 5, 6 en 7 het vermogen schat (duizenden gesimuleerde proeven, Welch-toets). Vergelijk met de formule.

6.14

Onderzoek: toetsen tot het lukt

Uitdagen9Onderzoeken50 min

gedaan

Een onderzoeker test een lamp die in werkelijkheid niets doet. Hij weegt na elke drie planten per groep, toetst, en stopt zodra p < 0,05 (hoogstens 30 planten per groep). Zijn collega legt n = 30 vooraf vast.

a
Schrijf een simulatie (numpy en scipy) die beide werkwijzen 4000 keer uitvoert en telt hoe vaak ze een 'effect' vinden.
b
Verklaar het verschil. Waarom is de kans op een vals effect bij de eerste werkwijze groter dan 5 %, hoewel elke afzonderlijke toets 5 % heeft?
c
Hoe beschermt voorregistratie hiertegen? Mag je nooit tussentijds kijken?

Hint

Maak meteen alle 30 planten per proef aan, en toets telkens de eerste n. Houd per proef bij of p ooit onder 0,05 zakte.

Zo wordt dit beoordeeld

Simulatie	Correcte opzet onder H0, beide werkwijzen, reproduceerbaar (seed), genoeg herhalingen.
Verklaring	Meerdere kansen op een vals alarm per proef; de toetsen zijn gecorreleerd maar niet gelijk.
Voorregistratie	Legt n en analyse vast; tussentijds kijken mag met een vooraf vastgelegde, gecorrigeerde regel.

6.15

Ontwerp: het meetplan van de reservoirtemperatuur

Uitdagen8Ontwerpen45 min

gedaan

Het brein van het station wil de temperatuur van het voedingsreservoir kennen tot op ±0,1 K (uitgebreide onzekerheid, k = 2) voor de warmtebalans. Je hebt de NTC-deler (ruis 1,2 ADC-stap per meting, 0,087 K per stap), de geijkte R25 (u = 30 Ω) en B (u = 15 K), en een referentiethermometer met u = 0,05 K voor een nieuwe ijking.

a
Stel het onzekerheidsbudget op voor één meting en voor het gemiddelde van n metingen. Haal je ±0,1 K?
bron type u (K)
b
Welke maatregel(en) stel je voor om de eis te halen, en wat kost elk ervan?
c
Hoe controleer je na installatie of het plan werkt?

Zo wordt dit beoordeeld

Budget	Alle bronnen met type en u; kwadratisch opgeteld; ruis gedeeld door √n, ijking niet.
Maatregel	Richt zich op de grootste bron; kwantitatief onderbouwd.
Controle	Vergelijking met een referentie in meerdere punten; herhaalbaar.

6.16

Twee sensoren samen: het gewogen gemiddelde

Uitdagen8Analyseren25 min

gedaan

In het reservoir hangen de NTC (

T_{1} = 20, 12^{\circ} C

u_{1} = 0, 07 K

) en een digitale sensor (

T_{2} = 19, 95^{\circ} C

u_{2} = 0, 20 K

). De fouten zijn onafhankelijk.

a
Zoek het gewicht $w$ in $T = w T_{1} + (1 - w) T_{2}$ waarvoor $u (T)$ minimaal is (afgeleide!). Toon dat $w$ evenredig is met $1/ u_{1}^{2}$ .
b
Bereken T en u(T). Is de gecombineerde meting beter dan de beste sensor alleen?
c
Liggen de twee metingen verenigbaar? Toets het verschil.

6.17

Debat: moet de grens van 0,05 weg?

Uitdagen8Argumenteren45 min

gedaan

In 2018 stelden 72 onderzoekers voor om de grens voor 'significant' te verstrengen tot 0,005. In 2019 riepen meer dan 800 wetenschappers in Nature op om 'statistisch significant' als ja-neegrens helemaal te laten vallen en intervallen en effecten te rapporteren. Anderen vinden een vaste grens juist nodig tegen wensdenken.

a
Bereid met je groep één standpunt voor (verstrengen, afschaffen, behouden). Gebruik minstens twee argumenten uit dit hoofdstuk (meervoudig toetsen, onderscheidingsvermogen, effectgrootte, winner's curse, voorregistratie).
b
Welke regel zou jij invoeren voor de beslissingen van het brein van het station (lampen, sensoren, alarmen)? Is dat dezelfde als voor een wetenschappelijk tijdschrift?

Zo wordt dit beoordeeld

Argumenten	Minstens twee inhoudelijke argumenten uit het hoofdstuk, correct gebruikt.
Tegenargument	Het sterkste argument van de andere kant eerlijk weergegeven en beantwoord.
Toepassing	Een concrete, werkbare regel voor Habitat, met het verschil tussen onderzoek en een technische beslissing.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan een kansverdeling (discreet of continu) gebruiken om kansen, verwachting en standaardafwijking te berekenen, en een kans als oppervlakte onder een kansdichtheid lezen.
Ik kan met de normale verdeling kansen berekenen (z-waarde, de 68-95-99,7-regel) en uitleggen waarom een zeldzame gebeurtenis bij veel metingen toch geregeld optreedt.
Ik kan de standaardfout s/√n afleiden uit de variantie van een som, de centrale limietstelling met een simulatie tonen en beslissen hoeveel metingen je middelt.
Ik kan een betrouwbaarheidsinterval met de z- en de t-verdeling berekenen en juist interpreteren.
Ik kan onzekerheden door een formule heen rekenen met partiële afgeleiden (kwadratisch optellen, type A en B, uitgebreide onzekerheid) en het resultaat met een Monte Carlo-simulatie controleren.
Ik kan een Welch-t-toets met de hand en in Python uitvoeren en de p-waarde, de fouten van type I en II en het onderscheidingsvermogen juist uitleggen.
Ik kan uitleggen wat een p-waarde niet zegt, en effectgrootte, meervoudig toetsen, optional stopping, pseudoreplicatie en voorregistratie in een oordeel over onderzoek betrekken.
Ik kan een vergelijkende proef ontwerpen (proefeenheid, steekproefgrootte, loting in blokken, blind meten) en uit de resultaten een onderbouwd besluit nemen.

bron	type	u (K)