← Back to CoursesStemExpert
StemExpert
Intermediate · Werkboek · 3. Verbanden in data
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me
StemExpert
I3. Verbanden in data — werkboek
IIntermediate · deel I1 · Onderzoeken met data

Werkboek · hoofdstuk 3Verbanden in data

De best passende rechte, de richtingscoëfficiënt als grootheid, en krommen die je rechttrekt

Je begint met hellingen en snijpunten aflezen, verbanden herkennen in tabellen en rekenbladformules lezen. Daarna teken je zelf best passende rechten, reken je de kleinste kwadraten uit, werk je in een rekenblad en trek je krommen recht. In de laatste trede kalibreer je de bodemvochtsensor van Habitat (opdracht 3.11), zoek je een fout in Python-code, schat je de fout op een helling en ontmasker je een misleidende .

4× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 336 min0/14 gedaan
OOnderzoeken en metenWWiskundig modellerenAData en AI
IJswater, kraantjeswater, warm water: drie referentiepunten, één rechte, en de sensor spreekt de waarheid.
IJswater, kraantjeswater, warm water: drie referentiepunten, één rechte, en de sensor spreekt de waarheid.
Hoe lees je een opdracht?
Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

Oefenen

één stap, direct toepassen
3.1

Helling en snijpunt aflezen

Oefenen3Rekenen12 min
Het waterreservoir van de kas wordt twee weken niet bijgevuld. Om de twee dagen meet je de waterhoogte.
024681012141605101520253035t (dagen)h (cm)gemeten waterhoogtebest passende rechte
De waterhoogte daalt door verdamping en door wat de planten opnemen.
  1. a
    Lees het snijpunt met de verticale as af. Wat betekent het?
  2. b
    Bepaal de richtingscoëfficiënt met twee punten op de rechte. Geef de eenheid en de betekenis.
  3. c
    Schrijf het model met getallen en eenheden.
  4. d
    Wanneer is het reservoir leeg volgens het model? Waarom is die voorspelling onzeker?
3.2

Welk verband?

Oefenen4Begrijpen15 min
Vijf tabellen.
(A) x: 1, 2, 3, 4; y: 2,5; 5,0; 7,5; 10,0
(B) x: 1, 2, 3, 4; y: 12; 6; 4; 3
(C) x: 0, 1, 2, 3; y: 5; 8; 11; 14
(D) x: 1, 2, 3, 4; y: 1; 4; 9; 16
(E) x: 2, 4, 6, 8; y: 10; 8; 6; 4
  1. a
    Welk verband heeft elke tabel: recht evenredig, lineair (niet evenredig), omgekeerd evenredig of geen van deze? Toon met een berekening.
    verbandhoe je het ziet
    A
    B
    C
    D
    E
  2. b
    Schrijf voor A, B en C de formule.
  3. c
    Wat zet je op de horizontale as om D recht te trekken?
3.3

Formules in een rekenblad lezen

Oefenen4Programmeren12 min
In een rekenblad staan in A2:A7 volumes (mL) en in B2:B7 de massa van beker plus vloeistof (g). In F1 staat de massa van de lege beker: 52,5. In C2 typt een leerling =B2-$F$1 en trekt die formule door tot C7. Een klasgenoot typt in D2 =B2-F1 en trekt die ook door.
  1. a
    Welke formule staat er na het doortrekken in C5 en in D5?
  2. b
    Wat berekent kolom C? Waarom geeft kolom D vanaf D3 foute waarden?
  3. c
    Schrijf een formule voor E2 die de dichtheid van de vloeistof in die rij berekent, en die je kan doortrekken.
3.4

Wat zet je op de assen?

Oefenen4Begrijpen12 min
Voor elk model wil je een rechte. Vul in wat horizontaal en verticaal komt, en wat de helling betekent.
  1. a
    Model per situatie.
    situatie en modelhorizontaalverticaalhelling
    vrije val:
    stroom bij vaste spanning:
    massa aan een veer:
    vermogen in een weerstand: (vaste )
  2. b
    Bij de veer vind je een rechte die niet door de oorsprong gaat. Bedenk een fysische reden.
Toepassen

Toepassen

meerdere stappen, in een context
3.5

Een zonnepaneel op millimeterpapier

Toepassen4Tekenen25 min
Een zonnepaneel van 0,50 m² wordt bij verschillende instralingen (W/m²) gemeten. Het elektrisch vermogen (W): bij 200 W/m²: 16,9 W; 350: 31,7; 500: 46,4; 650: 61,8; 800: 75,1; 950: 89,8.
  1. a
    Zet de punten uit ( horizontaal) en trek de best passende rechte op het oog.
  2. b
    Bepaal de richtingscoëfficiënt. Toon dat haar eenheid m² is.
  3. c
    De helling is het oppervlak maal het rendement. Bereken het rendement van het paneel.
  4. d
    Het snijpunt is een beetje negatief. Wat betekent dat voor het paneel bij zeer zwak licht?
3.6

De kleinste kwadraten met de hand

Toepassen5Rekenen20 min
Tijdens een gelijkmatige regenbui vult een regenton zich. Je meet het volume dat erin zit na = 1, 2, 3, 4 en 5 minuten: 2,1 L; 3,9 L; 6,2 L; 7,8 L; 10,1 L.
  1. a
    Bereken en .
  2. b
    Vul de tabel in en bereken en van de kleinste-kwadratenrechte.
    t (min)V (L)t − t̄V − V̄(t − t̄)(V − V̄)(t − t̄)²
  3. c
    Wat betekenen en ? Is een snijpunt van die grootte te verwachten?
  4. d
    Bereken de residuen. Liggen ze willekeurig rond nul?
3.7

In het rekenblad: de ledstrip

Toepassen5Analyseren25 min
Van een 12 V-ledstrip voor de kas worden stukken van verschillende lengte gemeten. Lengte (m) en vermogen (W): 0,5 m: 7,2 W; 1,0 m: 14,5 W; 1,5 m: 22,0 W; 2,0 m: 29,0 W; 2,5 m: 36,3 W; 3,0 m: 43,6 W.
  1. a
    Zet de gegevens in een rekenblad, maak een spreidingsdiagram en laat een lineaire trendlijn met vergelijking en R² tonen. Noteer de vergelijking.
  2. b
    Bereken helling en snijpunt ook met RICHTING en SNIJPUNT. Rond correct af en geef hun betekenis.
  3. c
    Mag je hier het snijpunt op nul vastzetten? Motiveer.
  4. d
    Voorspel het vermogen van 5,0 m strip. Een leverancier waarschuwt dat 12 V-strips langer dan 5 m aan het einde zwakker branden. Wat betekent dat voor je model?
3.8

Omgekeerd evenredig: stroom en weerstand

Toepassen5Analyseren20 min
Een voeding van 12,0 V wordt telkens op een andere weerstand aangesloten. Weerstand (Ω) en stroom (A): 10 Ω: 1,174 A; 15 Ω: 0,790 A; 20 Ω: 0,599 A; 30 Ω: 0,394 A; 40 Ω: 0,298 A; 60 Ω: 0,200 A.
  1. a
    Bereken voor elke meting. Wat stel je vast?
  2. b
    Bereken en zet uit tegen . Bepaal de helling met eenheid.
  3. c
    Het product is net niet overal 12,0 V. Bedenk een verklaring.
3.9

De valversnelling uit een valproef

Toepassen6Analyseren25 min
Een kogeltje valt van verschillende hoogtes door twee lichtpoortjes; een timer meet de valtijd . (m): 0,20; 0,40; 0,60; 0,80; 1,00; 1,20; 1,40; 1,60. (s): 0,201; 0,285; 0,350; 0,407; 0,455; 0,494; 0,533; 0,573. Model: .
  1. a
    Welke grootheden zet je op de assen om een rechte te krijgen? Wat is dan de helling?
  2. b
    Bereken de nodige kolom en bepaal de helling (rekenblad of op papier).
  3. c
    Bepaal en vergelijk met 9,81 m/s². Hoe groot is het verschil in procent?
  4. d
    Het snijpunt is bijna nul. Welke systematische fout zou een snijpunt verschillend van nul geven?
3.10

Labo: de veerconstante met een rekenblad

Toepassen5Labo45 min
Hang een veer aan een statief en meet haar lengte met een lat bij zes verschillende massa's (bijvoorbeeld 50 g tot 300 g). Verwerk in een rekenblad.
Lees af op ooghoogte, recht voor de onderkant van de haak: zo vermijd je parallax.
Lees af op ooghoogte, recht voor de onderkant van de haak: zo vermijd je parallax.
  1. a
    Noteer je metingen met hun afleesfout.
    m (g)F (N)l (cm)residu (cm)
  2. b
    Maak een spreidingsdiagram van tegen met trendlijn. Wat is de betekenis van de helling en van het snijpunt?
  3. c
    Bereken de veerconstante in N/m. Schat de fout met de steilste en de minst steile rechte.
  4. d
    Bekijk de residuen. Gedraagt de veer zich lineair over het hele bereik? Wat als je een veel grotere massa zou hangen?
Zo wordt dit beoordeeld
MetingenZes massa's, F = m · 9,81 N/kg correct, lengtes met afleesfout.
RekenbladSpreidingsdiagram met assen en eenheden, trendlijn, RICHTING en SNIJPUNT in cellen, residuen in een kolom.
Resultaatk in N/m, correct uit de helling (k = 1 / helling, eenheden omgezet), met fout en afronding.
InterpretatieSnijpunt = rustlengte; residuen beoordeeld; geldigheidsgebied (elastisch gebied) benoemd.
Uitdagen

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren
3.11

Habitat: de bodemvochtsensor kalibreren

Uitdagen6Habitat45 min
De capacitieve bodemvochtsensor van de klimaatmodule geeft een ruwe waarde die daalt als de grond natter wordt. Om hem te kalibreren, meng je potgrond met afgemeten hoeveelheden water en bepaal je het volumetrisch watergehalte (in %) door wegen en drogen. Resultaten: = 5, 10, 17, 24, 31, 38 en 45 %; ruwe waarde = 530, 496, 446, 407, 362, 306 en 272.
  1. a
    Maak een spreidingsdiagram (welke grootheid zet je horizontaal, en waarom?) en bepaal de kleinste-kwadratenrechte.
  2. b
    Geef de betekenis en de eenheid van de helling. Waarom is ze negatief?
  3. c
    Vorm om tot een formule die de microcontroller gebruikt: als functie van de ruwe waarde .
  4. d
    Bereken de residuen in procentpunten. Hoe nauwkeurig is de gekalibreerde sensor?
  5. e
    Noteer het geldigheidsgebied en twee situaties waarin je opnieuw moet kalibreren.
Zo wordt dit beoordeeld
RechteJuiste keuze van de assen, a en b correct met eenheid.
FormuleCorrect omgevormd: θ = (r − b) / a, bruikbaar in code.
NauwkeurigheidResiduen berekend en vertaald naar procentpunten watergehalte.
GeldigheidBereik 5 tot 45 % vermeld; opnieuw kalibreren bij andere grond, andere sensor of na veroudering.
3.12

Zoek de fout in de Python-code

Uitdagen6Programmeren20 min
Een leerling wil de dichtheid van de stamoplossing uit het handboek berekenen met de kleinste kwadraten. Het programma stopt met een foutmelding.
V = [20, 40, 60, 80, 100, 120]
m = [73.9, 95.1, 116.5, 138.0, 159.1, 180.5]
n = len(V)
x_gem = sum(V) / n
y_gem = sum(m) / n
teller = 0
noemer = 0
for x, y in zip(V, m):
    teller = teller + (x - x_gem) * (y - y_gem)
    noemer = noemer + (x - x_gem)
a = teller / noemer
b = y_gem - a * x_gem
print("a =", round(a, 4), "g/mL")
print("b =", round(b, 2), "g")

Uitvoer:

Traceback (most recent call last):
  File "dichtheid.py", line 11, in <module>
    a = teller / noemer
ZeroDivisionError: float division by zero
  1. a
    Wat betekent de foutmelding?
  2. b
    Waarom is noemer precies nul? Toon dat de som van de afwijkingen altijd nul is.
  3. c
    Verbeter de regel en voorspel wat het programma dan print.
3.13

Hoe zeker is de weerstand?

Uitdagen6Analyseren25 min
Over een weerstand wordt de spanning gemeten bij zes stromen . De voltmeter heeft een fout van ± 0,1 V.
05101520253001234567I (mA)U (V)metingen ± 0,1 V
Metingen met foutbalken van ± 0,1 V; stroom 4,5 mA tot 27,3 mA.
  1. a
    Wat is de betekenis van de helling van tegen ? Welke eenheid krijgt ze als in mA staat?
  2. b
    Teken de steilste en de minst steile rechte die door alle foutbalken gaan, en bepaal hun hellingen.
  3. c
    Geef de weerstand als waarde ± fout. (De kleinste-kwadratenrechte geeft 0,2201 V/mA.)
  4. d
    De kleurcode zegt 220 Ω ± 5 %. Is je meting daarmee in overeenstemming?
3.14

Een misleidende R²

Uitdagen7Analyseren35 min
Bij een verkeersproef op een droge weg werd de stopafstand gemeten (van het moment dat de bestuurder het gevaar ziet tot stilstand) bij tien snelheden. Een rekenblad geeft een lineaire trendlijn ( in km/h, in m) met . Gegevens: = 30, 40, ..., 120 km/h; = 13, 20, 28, 37, 46, 58, 71, 84, 97 en 112 m.
2030405060708090100110120130020406080100120v (km/h)stopafstand d (m)metingenlineaire trendlijn, R² = 0,987
Tien metingen met een lineaire trendlijn uit een rekenblad.
  1. a
    Wat voorspelt de lineaire trendlijn bij 20 km/h? Wat zegt dat over het model?
  2. b
    Bereken de residuen van de rechte (of lees ze uit de grafiek) en beschrijf het patroon.
  3. c
    Een fysisch model is (reactieafstand plus remafstand; in m/s). Toon dat tegen een rechte geeft. Wat zijn helling en snijpunt?
  4. d
    Bereken (met in m/s), bepaal de rechte en daaruit de reactietijd en de remvertraging .
  5. e
    Schrijf in twee zinnen waarom een hoge hier misleidt.
Hint
Deel beide kanten van het model door . Reken km/h om naar m/s door te delen door 3,6.
ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet