IIntermediate · deel I1 · Onderzoeken met data

Oplossingen · hoofdstuk 3Verbanden in data

De best passende rechte, de richtingscoëfficiënt als grootheid, en krommen die je rechttrekt

Uitgewerkte oplossingen bij de 14 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

4× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 336 min

OOnderzoeken en meten WWiskundig modelleren AData en AI

IJswater, kraantjeswater, warm water: drie referentiepunten, één rechte, en de sensor spreekt de waarheid.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

3.1

Helling en snijpunt aflezen

Oefenen3Rekenen12 min

Het waterreservoir van de kas wordt twee weken niet bijgevuld. Om de twee dagen meet je de waterhoogte.

De waterhoogte daalt door verdamping en door wat de planten opnemen.

a
Lees het snijpunt met de verticale as af. Wat betekent het?
$b \approx 30, 1 cm$ : de waterhoogte bij de start.
b
Bepaal de richtingscoëfficiënt met twee punten op de rechte. Geef de eenheid en de betekenis.
Bijvoorbeeld (0 dagen; 30,1 cm) en (14 dagen; 18,9 cm): $a = (18, 9 - 30, 1) /14 = - 0, 80 cm/dag$ . Het water zakt 0,80 cm per dag.
c
Schrijf het model $h = a \cdot t + b$ met getallen en eenheden.
$h = - 0, 80 cm/dag \cdot t + 30, 1 cm$ .
d
Wanneer is het reservoir leeg volgens het model? Waarom is die voorspelling onzeker?
$0 = - 0, 80 t + 30, 1$ geeft $t = 38$ dagen. Onzeker, want dat is ver buiten de metingen (extrapoleren): bij warmer weer verdampt meer, grotere planten nemen meer water op, en bij een lage waterstand kan de pomp droog lopen.

3.2

Welk verband?

Oefenen4Begrijpen15 min

Vijf tabellen.
(A) x: 1, 2, 3, 4; y: 2,5; 5,0; 7,5; 10,0
(B) x: 1, 2, 3, 4; y: 12; 6; 4; 3
(C) x: 0, 1, 2, 3; y: 5; 8; 11; 14
(D) x: 1, 2, 3, 4; y: 1; 4; 9; 16
(E) x: 2, 4, 6, 8; y: 10; 8; 6; 4

a
Welk verband heeft elke tabel: recht evenredig, lineair (niet evenredig), omgekeerd evenredig of geen van deze? Toon met een berekening.
A: recht evenredig, $y / x = 2, 5$ overal. B: omgekeerd evenredig, $x \cdot y = 12$ overal. C: lineair: per stap +3, maar bij $x = 0$ is $y = 5$ . D: geen van deze: $y = x^{2}$ (kwadratisch). E: lineair dalend: per stap van 2 daalt $y$ met 2; het product (20, 32, 36, 32) is niet constant, dus niet omgekeerd evenredig.
b
Schrijf voor A, B en C de formule.
A: $y = 2, 5 x$ . B: $y = 12/ x$ . C: $y = 3 x + 5$ .
c
Wat zet je op de horizontale as om D recht te trekken?
$x^{2}$ : dan liggen de punten op een rechte door de oorsprong met helling 1.

3.3

Formules in een rekenblad lezen

Oefenen4Programmeren12 min

In een rekenblad staan in A2:A7 volumes (mL) en in B2:B7 de massa van beker plus vloeistof (g). In F1 staat de massa van de lege beker: 52,5. In C2 typt een leerling =B2-$F$1 en trekt die formule door tot C7. Een klasgenoot typt in D2 =B2-F1 en trekt die ook door.

a
Welke formule staat er na het doortrekken in C5 en in D5?
C5: =B5-$F$1. D5: =B5-F4.
b
Wat berekent kolom C? Waarom geeft kolom D vanaf D3 foute waarden?
C: de massa van de vloeistof alleen. In D verschuift ook de verwijzing naar de beker: D3 trekt F2 af, een lege cel (dus 0), zodat de beker meegeteld wordt.
c
Schrijf een formule voor E2 die de dichtheid van de vloeistof in die rij berekent, en die je kan doortrekken.
=C2/A2 (of =(B2-$F$1)/A2), in g/mL.

3.4

Wat zet je op de assen?

Oefenen4Begrijpen12 min

Voor elk model wil je een rechte. Vul in wat horizontaal en verticaal komt, en wat de helling betekent.

a
Model per situatie.
Vrije val: $t^{2}$ ; $s$ ; $g /2$ . Stroom: $1/ R$ ; $I$ ; $U$ . Veer: $m$ ; $T^{2}$ ; $4 π^{2} / k$ . Vermogen: $U^{2}$ ; $P$ ; $1/ R$ .
b
Bij de veer vind je een rechte die niet door de oorsprong gaat. Bedenk een fysische reden.
De veer zelf heeft massa en beweegt mee: het is alsof er een kleine extra massa aan hangt. Die verschuift de rechte (een snijpunt dat niet nul is).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

3.5

Een zonnepaneel op millimeterpapier

Toepassen4Tekenen25 min

Een zonnepaneel van 0,50 m² wordt bij verschillende instralingen

G

(W/m²) gemeten. Het elektrisch vermogen

P

(W): bij 200 W/m²: 16,9 W; 350: 31,7; 500: 46,4; 650: 61,8; 800: 75,1; 950: 89,8.

a
Zet de punten uit ( $G$ horizontaal) en trek de best passende rechte op het oog.
Zes punten die bijna op een rechte liggen, van (200; 16,9) tot (950; 89,8).
b
Bepaal de richtingscoëfficiënt. Toon dat haar eenheid m² is.
Bijvoorbeeld op de rechte (200; 17,2) en (950; 90,1): $a = 72, 9/750 = 0, 097$ . Eenheid: W gedeeld door W/m² is m². (Kleinste kwadraten: $0, 0972 m^{2}$ .)
c
De helling is het oppervlak maal het rendement. Bereken het rendement van het paneel.
$η = a / A = 0, 097/0, 50 = 0, 19 = 19 %$ .
d
Het snijpunt is een beetje negatief. Wat betekent dat voor het paneel bij zeer zwak licht?
Bij zwak licht levert het paneel iets minder dan de rechte voorspelt: onder een kleine drempel levert het (bijna) niets. Het rendement is bij zwak licht lager. De rechte is een model voor het gemeten gebied.

3.6

De kleinste kwadraten met de hand

Toepassen5Rekenen20 min

Tijdens een gelijkmatige regenbui vult een regenton zich. Je meet het volume

V

dat erin zit na

t

= 1, 2, 3, 4 en 5 minuten: 2,1 L; 3,9 L; 6,2 L; 7,8 L; 10,1 L.

a
Bereken $\overset{ˉ}{t}$ en $\overset{ˉ}{V}$ .
$\overset{ˉ}{t} = 3 min$ , $\overset{ˉ}{V} = 30, 1/5 = 6, 02 L$ .
b
Vul de tabel in en bereken $a$ en $b$ van de kleinste-kwadratenrechte.
Afwijkingen $t - \overset{ˉ}{t}$ : −2, −1, 0, 1, 2; kwadraten: 4, 1, 0, 1, 4 (som 10). $V - \overset{ˉ}{V}$ : −3,92; −2,12; 0,18; 1,78; 4,08. Producten: 7,84; 2,12; 0; 1,78; 8,16 (som 19,90). $a = 19, 90/10 = 1, 99 L/min$ ; $b = 6, 02 - 1, 99 \times 3 = 0, 05 L$ .
c
Wat betekenen $a$ en $b$ ? Is een snijpunt van die grootte te verwachten?
$a$ : de ton vult zich met 1,99 L per minuut (het debiet van de goot). $b$ : het volume bij de start. 0,05 L is verwaarloosbaar: de ton was leeg, het snijpunt is binnen de meetfout nul.
d
Bereken de residuen. Liggen ze willekeurig rond nul?
Residuen: $2, 1 - 2, 04 = + 0, 06$ ; $3, 9 - 4, 03 = - 0, 13$ ; $+ 0, 18$ ; $- 0, 21$ ; $+ 0, 10 L$ . Afwisselend plus en min, zonder patroon: de rechte past.

3.7

In het rekenblad: de ledstrip

Toepassen5Analyseren25 min

Van een 12 V-ledstrip voor de kas worden stukken van verschillende lengte gemeten. Lengte

L

(m) en vermogen

P

(W): 0,5 m: 7,2 W; 1,0 m: 14,5 W; 1,5 m: 22,0 W; 2,0 m: 29,0 W; 2,5 m: 36,3 W; 3,0 m: 43,6 W.

a
Zet de gegevens in een rekenblad, maak een spreidingsdiagram en laat een lineaire trendlijn met vergelijking en R² tonen. Noteer de vergelijking.
$y = 14, 537 x - 0, 0067$ , $R^{2} = 0, 99994$ (afhankelijk van het rekenblad iets anders afgerond).
b
Bereken helling en snijpunt ook met RICHTING en SNIJPUNT. Rond correct af en geef hun betekenis.
$a = 14, 5 W/m$ : vermogen per meter strip. $b = - 0, 01 W \approx 0$ : geen meetbaar vermogen zonder strip.
c
Mag je hier het snijpunt op nul vastzetten? Motiveer.
Ja: zonder strip is er geen vermogen, en het gemeten snijpunt is binnen de meetfout nul. Beide redenen samen maken het verantwoord.
d
Voorspel het vermogen van 5,0 m strip. Een leverancier waarschuwt dat 12 V-strips langer dan 5 m aan het einde zwakker branden. Wat betekent dat voor je model?
$P \approx 14, 5 \times 5, 0 = 73 W$ (extrapolatie). Bij lange strips zakt de spanning langs de dunne koperbanen: het vermogen per meter daalt, en het model is dan niet meer lineair. Het geldigheidsgebied is het gemeten bereik (tot 3 m), met voorzichtigheid tot 5 m.

3.8

Omgekeerd evenredig: stroom en weerstand

Toepassen5Analyseren20 min

Een voeding van 12,0 V wordt telkens op een andere weerstand aangesloten. Weerstand

R

(Ω) en stroom

I

(A): 10 Ω: 1,174 A; 15 Ω: 0,790 A; 20 Ω: 0,599 A; 30 Ω: 0,394 A; 40 Ω: 0,298 A; 60 Ω: 0,200 A.

a
Bereken $R \cdot I$ voor elke meting. Wat stel je vast?
11,74; 11,85; 11,98; 11,82; 11,92; 12,00 V: bijna constant, gemiddeld 11,9 V: omgekeerd evenredig, $I = U / R$ .
b
Bereken $1/ R$ en zet $I$ uit tegen $1/ R$ . Bepaal de helling met eenheid.
$1/ R$ : 0,100; 0,0667; 0,0500; 0,0333; 0,0250; 0,0167 (1/Ω). Rechte door de oorsprong; helling (kleinste kwadraten) $11, 7 V$ : A gedeeld door 1/Ω is A·Ω = V. De helling is de spanning.
c
Het product is net niet overal 12,0 V. Bedenk een verklaring.
Het product is iets kleiner bij kleine weerstanden, waar de stroom groot is. Dat past bij een kleine extra weerstand in de kring (de ampèremeter, de snoeren of de voeding zelf): daarover valt een deel van de 12,0 V, en dat deel is groter bij grote stroom.

3.9

De valversnelling uit een valproef

Toepassen6Analyseren25 min

Een kogeltje valt van verschillende hoogtes

s

door twee lichtpoortjes; een timer meet de valtijd

t

s

(m): 0,20; 0,40; 0,60; 0,80; 1,00; 1,20; 1,40; 1,60.

t

(s): 0,201; 0,285; 0,350; 0,407; 0,455; 0,494; 0,533; 0,573. Model:

s = \frac{1}{2} g t^{2}

a
Welke grootheden zet je op de assen om een rechte te krijgen? Wat is dan de helling?
$s$ tegen $t^{2}$ : een rechte door de oorsprong met helling $g /2$ .
b
Bereken de nodige kolom en bepaal de helling (rekenblad of op papier).
$t^{2}$ (s²): 0,0404; 0,0812; 0,1225; 0,1656; 0,2070; 0,2440; 0,2841; 0,3283. Kleinste kwadraten: $a = 4, 89 m/ s^{2}$ , $b \approx 0, 000 m$ .
c
Bepaal $g$ en vergelijk met 9,81 m/s². Hoe groot is het verschil in procent?
$g = 2 a = 9, 78 m/ s^{2}$ : 0,3 % lager dan 9,81 m/s², binnen de meetfout.
d
Het snijpunt is bijna nul. Welke systematische fout zou een snijpunt verschillend van nul geven?
Bijvoorbeeld: de hoogte gemeten vanaf de verkeerde plaats (onderkant in plaats van midden van het kogeltje), of een poortje dat de start een vaste tijd te laat registreert. Een vaste fout in s geeft een snijpunt; een vaste fout in t vervormt de rechte licht.

3.10

Labo: de veerconstante met een rekenblad

Toepassen5Labo45 min

Hang een veer aan een statief en meet haar lengte met een lat bij zes verschillende massa's (bijvoorbeeld 50 g tot 300 g). Verwerk in een rekenblad.

Lees af op ooghoogte, recht voor de onderkant van de haak: zo vermijd je parallax.

a
Noteer je metingen met hun afleesfout.
Bijvoorbeeld zes rijen met F van 0,49 N tot 2,94 N en lengtes met ± 0,1 cm.
b
Maak een spreidingsdiagram van $l$ tegen $F$ met trendlijn. Wat is de betekenis van de helling en van het snijpunt?
De helling is de uitrekking per newton (cm/N); het snijpunt is de rustlengte van de veer.
c
Bereken de veerconstante $k$ in N/m. Schat de fout met de steilste en de minst steile rechte.
$k = 1/ helling$ , na omzetten naar m/N. Bij 4,1 cm/N = 0,041 m/N is $k = 24 N/m$ . De relatieve fout op $k$ is die op de helling.
d
Bekijk de residuen. Gedraagt de veer zich lineair over het hele bereik? Wat als je een veel grotere massa zou hangen?
Liggen de residuen willekeurig rond nul, dan geldt de wet van Hooke in dat bereik. Bij een te grote massa vervormt de veer blijvend: dan is het verband niet meer lineair (en is de veer stuk).

Zo wordt dit beoordeeld

Metingen	Zes massa's, F = m · 9,81 N/kg correct, lengtes met afleesfout.
Rekenblad	Spreidingsdiagram met assen en eenheden, trendlijn, RICHTING en SNIJPUNT in cellen, residuen in een kolom.
Resultaat	k in N/m, correct uit de helling (k = 1 / helling, eenheden omgezet), met fout en afronding.
Interpretatie	Snijpunt = rustlengte; residuen beoordeeld; geldigheidsgebied (elastisch gebied) benoemd.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

3.11

Habitat: de bodemvochtsensor kalibreren

Uitdagen6Habitat45 min

De capacitieve bodemvochtsensor van de klimaatmodule geeft een ruwe waarde die daalt als de grond natter wordt. Om hem te kalibreren, meng je potgrond met afgemeten hoeveelheden water en bepaal je het volumetrisch watergehalte

θ

(in %) door wegen en drogen. Resultaten:

θ

= 5, 10, 17, 24, 31, 38 en 45 %; ruwe waarde = 530, 496, 446, 407, 362, 306 en 272.

a
Maak een spreidingsdiagram (welke grootheid zet je horizontaal, en waarom?) en bepaal de kleinste-kwadratenrechte.
$θ$ horizontaal (de referentie, met kleine fout), $r$ verticaal (de sensor, met ruis). Kleinste kwadraten: $a = - 6, 51$ per %, $b = 560, 9$ ; $R^{2} = 0, 998$ .
b
Geef de betekenis en de eenheid van de helling. Waarom is ze negatief?
De ruwe waarde daalt 6,5 eenheden per procentpunt watergehalte. Negatief omdat natte grond de capaciteit van de sensor verhoogt en de uitgangsspanning daardoor daalt.
c
Vorm om tot een formule die de microcontroller gebruikt: $θ$ als functie van de ruwe waarde $r$ .
$θ = \frac{r - 560 , 9}{- 6 , 51} = 86, 1 - 0, 154 \cdot r$ (in %).
d
Bereken de residuen in procentpunten. Hoe nauwkeurig is de gekalibreerde sensor?
Residuen in ruwe eenheden: +1,7; +0,2; −4,2; +2,4; +3,0; −7,4; +4,2; gedeeld door 6,51: ongeveer ±1 procentpunt, het grootste 1,1. De gekalibreerde sensor is nauwkeurig tot op ongeveer 1 à 2 procentpunten.
e
Noteer het geldigheidsgebied en twee situaties waarin je opnieuw moet kalibreren.
Geldig van 5 tot 45 % watergehalte, voor deze potgrond. Opnieuw kalibreren bij ander substraat (kokosvezel, zand), bij een nieuwe sensor, en periodiek omdat de coating kan verouderen of de sensor anders in de grond steekt.

Zo wordt dit beoordeeld

Rechte	Juiste keuze van de assen, a en b correct met eenheid.
Formule	Correct omgevormd: θ = (r − b) / a, bruikbaar in code.
Nauwkeurigheid	Residuen berekend en vertaald naar procentpunten watergehalte.
Geldigheid	Bereik 5 tot 45 % vermeld; opnieuw kalibreren bij andere grond, andere sensor of na veroudering.

3.12

Zoek de fout in de Python-code

Uitdagen6Programmeren20 min

Een leerling wil de dichtheid van de stamoplossing uit het handboek berekenen met de kleinste kwadraten. Het programma stopt met een foutmelding.

V = [20, 40, 60, 80, 100, 120]
m = [73.9, 95.1, 116.5, 138.0, 159.1, 180.5]
n = len(V)
x_gem = sum(V) / n
y_gem = sum(m) / n
teller = 0
noemer = 0
for x, y in zip(V, m):
    teller = teller + (x - x_gem) * (y - y_gem)
    noemer = noemer + (x - x_gem)
a = teller / noemer
b = y_gem - a * x_gem
print("a =", round(a, 4), "g/mL")
print("b =", round(b, 2), "g")

Uitvoer:

Traceback (most recent call last):
  File "dichtheid.py", line 11, in <module>
    a = teller / noemer
ZeroDivisionError: float division by zero

a
Wat betekent de foutmelding?
Het programma deelt door nul in regel 11 (a = teller / noemer): noemer is 0.
b
Waarom is noemer precies nul? Toon dat de som van de afwijkingen $x - \overset{x}{ˉ}$ altijd nul is.
In de formule staat $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ , maar de code telt $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$ op. Die som is altijd nul: $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = \sum x_{i} - n \overset{x}{ˉ} = n \overset{x}{ˉ} - n \overset{x}{ˉ} = 0$ . Hier: −50 − 30 − 10 + 10 + 30 + 50 = 0.
c
Verbeter de regel en voorspel wat het programma dan print.
noemer = noemer + (x - x_gem) ** 2. Uitvoer (gecontroleerd): a = 1.0664 g/mL en b = 52.53 g.

3.13

Hoe zeker is de weerstand?

Uitdagen6Analyseren25 min

Over een weerstand wordt de spanning

U

gemeten bij zes stromen

I

. De voltmeter heeft een fout van ± 0,1 V.

Metingen met foutbalken van ± 0,1 V; stroom 4,5 mA tot 27,3 mA.

a
Wat is de betekenis van de helling van $U$ tegen $I$ ? Welke eenheid krijgt ze als $I$ in mA staat?
De helling is $U / I$ , de weerstand. Met $I$ in mA: V/mA = kΩ.
b
Teken de steilste en de minst steile rechte die door alle foutbalken gaan, en bepaal hun hellingen.
Steilst door (4,5 mA; 0,89 V) en (27,3 mA; 6,09 V): $5, 20/22, 8 = 0, 228 V/mA$ . Minst steil door (4,5; 1,09) en (27,3; 5,89): $4, 80/22, 8 = 0, 211 V/mA$ . (Controleer dat beide ook door de middelste foutbalken gaan.)
c
Geef de weerstand als waarde ± fout. (De kleinste-kwadratenrechte geeft 0,2201 V/mA.)
$Δ R \approx (0, 228 - 0, 211) /2 = 0, 009 kΩ$ . $R = (220 \pm 9) Ω$ .
d
De kleurcode zegt 220 Ω ± 5 %. Is je meting daarmee in overeenstemming?
Ja: 220 Ω ± 5 % is 209 tot 231 Ω, en het meetinterval 211 tot 229 Ω ligt daar volledig in.

3.14

Een misleidende R²

Uitdagen7Analyseren35 min

Bij een verkeersproef op een droge weg werd de stopafstand

d

gemeten (van het moment dat de bestuurder het gevaar ziet tot stilstand) bij tien snelheden. Een rekenblad geeft een lineaire trendlijn

d = 1, 105 \cdot v - 26, 3

(

v

in km/h,

d

in m) met

R^{2} = 0, 987

. Gegevens:

v

= 30, 40, ..., 120 km/h;

d

= 13, 20, 28, 37, 46, 58, 71, 84, 97 en 112 m.

Tien metingen met een lineaire trendlijn uit een rekenblad.

a
Wat voorspelt de lineaire trendlijn bij 20 km/h? Wat zegt dat over het model?
$d = 1, 105 \times 20 - 26, 3 = - 4 m$ : een negatieve stopafstand, onmogelijk. Het lineaire model klopt niet buiten (en eigenlijk ook niet binnen) het meetbereik.
b
Bereken de residuen van de rechte (of lees ze uit de grafiek) en beschrijf het patroon.
Residuen: +6,1; +2,1; −1,0; −3,0; −5,1; −4,1; −2,2; −0,2; +1,7; +5,7 m. Eerst positief, dan negatief, dan weer positief: een boog. De punten liggen op een kromme die steiler wordt.
c
Een fysisch model is $d = v \cdot t_{r} + \frac{v ^{2}}{2 a}$ (reactieafstand plus remafstand; $v$ in m/s). Toon dat $d / v$ tegen $v$ een rechte geeft. Wat zijn helling en snijpunt?
$\frac{d}{v} = t_{r} + \frac{1}{2 a} \cdot v$ : een rechte met snijpunt $t_{r}$ (de reactietijd, in s) en helling $\frac{1}{2 a}$ (in s²/m).
d
Bereken $d / v$ (met $v$ in m/s), bepaal de rechte en daaruit de reactietijd $t_{r}$ en de remvertraging $a$ .
$v$ (m/s): 8,33; 11,11; ...; 33,33. $d / v$ (s): 1,560; 1,800; 2,016; 2,220; 2,366; 2,610; 2,840; 3,024; 3,175; 3,360. Kleinste kwadraten: helling $0, 0719 s^{2} /m$ , snijpunt $1, 00 s$ . Dus $t_{r} = 1, 0 s$ en $a = 1/ (2 \times 0, 0719) = 6, 95 m/ s^{2} \approx 7, 0 m/ s^{2}$ , typisch voor remmen op een droge weg.
e
Schrijf in twee zinnen waarom een hoge $R^{2}$ hier misleidt.
R² zegt alleen dat de punten dicht bij de rechte liggen, niet dat een rechte het juiste model is. De residuen tonen een systematisch patroon, en het fysische model, rechtgetrokken, geeft zinvolle grootheden (reactietijd en remvertraging) die de rechte door d en v nooit zou geven.