IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Handboek · hoofdstuk 4Functies als modellen

Rechten en parabolen die kosten, afstanden en remwegen voorspellen, en weten waar ze ophouden

Een formule die een stopafstand, een kostprijs of de hoogte van een bal voorspelt, is een model: een functie die bij elke invoer één uitvoer geeft. In dit hoofdstuk leer je functies lezen als tabel, grafiek en formule, werk je met de twee werkpaarden van de techniek, de lineaire en de kwadratische functie, en geef je betekenis aan hun top, nulpunten en snijpunten. Je kiest een model dat bij je data past, en je leert de belangrijkste vraag bij elk model stellen: tot waar mag ik het geloven?

7× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code15 opdrachten in het werkboek± 9 lestijden

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies

Gelijke tijdstappen, ongelijke afstanden: de baan van een bal is een parabool, en de top is waar hij het traagst gaat.

Na dit hoofdstuk

Je kan uitleggen wat een functie is en een functie voorstellen als tabel, grafiek en formule.
Je kan het domein en het bereik van een functie in een context bepalen, met eenheden, en onderscheiden van wat de formule wiskundig toelaat.
Je kan een lineaire functie opstellen uit een beschrijving of uit twee punten, en richtingscoëfficiënt en snijpunt interpreteren als grootheden.
Je kan van een kwadratische functie de top, de symmetrieas en de nulpunten berekenen en ze in de context betekenis geven.
Je kan snijpunten van twee functies algebraïsch en grafisch bepalen en uitleggen wat ze betekenen (kantelpunt, inhalen).
Je kan met eerste en tweede verschillen nagaan of data lineair of kwadratisch zijn, en een model kiezen dat bij data én fysica past.
Je kan het geldigheidsgebied van een model benoemen en inschatten wanneer extrapoleren misloopt.
Je kan in Python een functie schrijven, een tabel maken en een lineair en een kwadratisch model fitten.

Uitleg · 4.1

Wat je al weet, en wat nu komt

1/18

In Fundamental (hoofdstuk F4) zette je metingen in een tabel en een grafiek, en herkende je het recht evenredig verband $y = k \cdot x$ . In hoofdstuk F14 las je een (s,t)-grafiek: een rechte betekent een constante snelheid, en hoe steiler, hoe sneller. In hoofdstuk 3 werd de rechte algemener, $y = a \cdot x + b$ , en leerde je de helling en het snijpunt lezen als grootheden met een eenheid. Je trok krommen recht door $y$ uit te zetten tegen $x^{2}$ of $1/ x$ .

Nu draai je het om. In plaats van een verband uit metingen te halen, gebruik je een verband om te voorspellen: wat kost een systeem met 30 plantplaatsen, hoe hoog komt een bal, bij welke snelheid stop je nog op tijd? Zo'n voorspellend verband is een functie. In dit hoofdstuk

leer je wat een functie is, en wat haar domein en bereik zijn in een echte situatie;
werk je met de lineaire functie (vaste start, vaste stap) en de kwadratische functie (de parabool van vallen, remmen en oppervlakte);
geef je betekenis aan top, nulpunten en snijpunten;
kies je een model dat bij data past, en zoek je zijn geldigheidsgebied.

Eén letter, veel betekenissen

In de wiskunde heet de invoer vaak $x$ en de uitvoer $y$ . In de techniek krijgen ze de naam van hun grootheid: $t$ voor tijd, $h$ voor hoogte, $v$ voor snelheid, $K$ voor kosten. De wiskunde is dezelfde; de eenheden maken het een model.

De fietser legt elke seconde 5 m af: een rechte. De steen valt elke seconde verder dan de vorige: een parabool.

Verhaal · 4.2

Galilei en de oneven getallen

2/18

Rond 1604 wilde Galileo Galilei, hoogleraar wiskunde in Padua, weten hoe een vallend voorwerp versnelt. Een vrije val duurt te kort om met de klokken van toen te meten. Daarom liet hij een bronzen kogel rollen door een gladde groef in een lange houten balk die schuin stond: dezelfde soort beweging, maar trager. De tijd mat hij door water uit een vat te laten lopen zolang de kogel rolde, en dat water te wegen.

Zijn vondst was verrassend eenvoudig. Deel de tijd op in gelijke stukken. In het eerste stuk legt de kogel een afstand 1 af, in het tweede 3, in het derde 5, in het vierde 7: de oneven getallen. Tel je ze op, dan krijg je de afstand vanaf de start: 1, 4, 9, 16, de kwadraten van 1, 2, 3, 4. De afgelegde weg is evenredig met het kwadraat van de tijd, $s = k \cdot t^{2}$ , en dat gold voor elke helling die hij probeerde, en dus ook voor de vrije val, de steilste helling van allemaal.

Galilei publiceerde dit pas in 1638, in zijn boek Discorsi. Hij was toen 74 en stond onder huisarrest na zijn proces over het wereldbeeld; het boek werd daarom gedrukt in Leiden, in de Nederlanden. Het boek werd een van de grondslagen van de natuurkunde: niet omdat het een theorie gaf, maar omdat het toonde dat je een beweging kan meten, in getallen kan gieten en in een wiskundige functie kan vangen.

Wat je uit dit verhaal meeneemt

De oneven getallen zijn de eerste verschillen van de kwadraten: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 ... en hun eigen verschillen (de tweede verschillen) zijn allemaal 2. Constante tweede verschillen zijn de vingerafdruk van een kwadratische functie. Je gebruikt die test verderop om een model te kiezen.

Een reconstructie van de opstelling: een kogel in een groef, en een waterklok die de tijd meet in gram water.

Na gelijke tijdstappen staat de knikker op afstand 1, 4, 9, 16: tussen twee stappen legt hij 1, 3, 5, 7 af.

Uitleg · 4.3

Functie, domein en bereik

3/18

Een functie is een voorschrift dat aan elke toegelaten invoer precies één uitvoer koppelt. Je schrijft $y = f (x)$ : 'y is f van x'. De invoer $x$ is de onafhankelijke veranderlijke (die kies je, of die verloopt vanzelf, zoals de tijd), de uitvoer $y$ de afhankelijke. Dezelfde functie kan je op drie manieren tonen:

een tabel: enkele invoerwaarden met hun uitvoer, handig om af te lezen;
een grafiek: het verloop in één oogopslag, met stijgen, dalen en extreme waarden;
een formule (voorschrift): het compactst, en de enige vorm waarmee je exact kan rekenen.

De temperatuur in de kas als functie van de tijd is een functie: op elk tijdstip is er één temperatuur. Omgekeerd niet: de temperatuur 20 °C komt twee keer voor, rond 10.40 u en rond 19.20 u. In de grafiek zie je dat met de verticale-lijntest: een grafiek stelt een functie van $x$ voor als elke verticale lijn hem hoogstens één keer snijdt.

Het domein is de verzameling invoerwaarden waarvoor je de functie gebruikt; het bereik de verzameling uitvoerwaarden die ze dan aanneemt. Bij de kas: domein $0 \leq t \leq 24 h$ , bereik $10 \leq T \leq 24^{\circ} C$ . In een model heeft het domein twee grenzen:

wiskundig: wat de formule toelaat. Je mag niet delen door nul, en geen vierkantswortel nemen van een negatief getal.
fysisch: wat in de werkelijkheid zin heeft. Een tijd vóór het loslaten, een negatief aantal plantplaatsen, een bal onder de grond. En vaak ook: waar het model getoetst is.

Punten of een lijn?

Kost een plantplaats € 11, dan is de kost voor $n$ plaatsen $K = 11 n$ . Het domein is ${0, 1, 2, \dots}$ : natuurlijke getallen. De grafiek is een rij losse punten die op een rechte liggen, geen doorlopende lijn. Een halve plantplaats bestaat niet.

Elke verticale lijn snijdt de kromme één keer: T is een functie van t. De horizontale lijn bij 20 °C snijdt twee keer: t is geen functie van T.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.4

Een steen valt van een brug: domein en bereik

4/18

Je laat een steen los vanaf een brug, 20 m boven het water. Zonder luchtweerstand is zijn hoogte boven het water $h (t) = 20 - 4, 905 \cdot t^{2}$ (h in m, t in s, $t = 0$ bij het loslaten). Bepaal het domein en het bereik van dit model, en leg uit wat de formule buiten het domein 'voorspelt'.

Volle lijn: het model binnen zijn domein. Stippellijn: wat de formule zou zeggen als je ze blind gelooft.

Gegeven

$h (t) = 20 - 4, 905 t^{2}$
$4, 905 m/ s^{2} = \frac{1}{2} g$ met $g = 9, 81 m/ s^{2}$

Gevraagd

domein en bereik in de context
betekenis van de formule buiten het domein

Oplossing

1
Wiskundig mag je elke $t$ invullen: een kwadraat bestaat altijd. De grenzen komen dus uit de fysica.
2
Begin: de beweging start bij het loslaten, dus $t \geq 0$ .
3
Einde: de steen raakt het water als $h = 0$ : $4, 905 t^{2} = 20$ , dus $t^{2} = 4, 077$ en $t = 4, 077 = 2, 02 s$ . De negatieve oplossing $- 2, 02 s$ valt weg: vóór het loslaten viel er niets.
4
Domein: $0 \leq t \leq 2, 02 s$ . Op dat domein daalt $h$ van 20 m naar 0 m, dus het bereik is $0 \leq h \leq 20 m$ .
5
Buiten het domein rekent de formule gewoon door: bij $t = 2, 5 s$ geeft ze $h = - 10, 7 m$ , een steen die ongehinderd onder water verder versnelt. En bij $t = - 0, 5 s$ zou de steen al gevallen zijn, maar omhoog: de parabool loopt naar links weer omlaag. Het model weet niets van de hand die de steen vasthield of van het water.

Antwoord

Domein

[0; 2, 02] s

, bereik

[0; 20] m

. Buiten het domein geeft de formule getallen, maar geen werkelijkheid.

Klopt dit? Een valtijd van ongeveer 2 s voor 20 m klopt met de ervaring (probeer het met een steentje van een brug en tel). Luchtweerstand maakt de echte valtijd voor een steen maar enkele procenten langer; voor een blad papier zou het model volledig falen.

Uitleg · 4.5

De lineaire functie: vaste start, vaste stap

5/18

Veel situaties hebben een vaste start en een vaste stap: een abonnement met een vast bedrag plus een prijs per eenheid, een fietser die vanaf een startpunt met constante snelheid rijdt, een reservoir dat met een constant debiet leegloopt. Dat zijn lineaire functies:

lineaire functie

f (x) = a x + b

b

is de waarde bij

x = 0

(de vaste start),

a

de verandering van

y

per eenheid

x

(de vaste stap, de richtingscoëfficiënt). Eenheid van

a

: eenheid van

y

gedeeld door die van

x

Het kenmerk in een tabel: bij gelijke stappen in $x$ zijn de eerste verschillen van $y$ constant. Heb je twee punten $(x_{1}, y_{1})$ en $(x_{2}, y_{2})$ , dan ligt de rechte vast:

a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} en y - y_{1} = a (x - x_{1})

context	model	$a$	$b$
kosten	$K (n) = 11 n + 260$	€ 11 per plantplaats	€ 260 vaste kost
afstand (ERB)	$x (t) = 6 t + 150$	6 m/s, de snelheid	150 m, de startpositie
temperatuurschaal	$T_{F} = 1, 8 T_{C} + 32$	1,8 °F per °C	32 °F bij 0 °C
atmosfeer	$T (h) = - 6, 5 h + 15$	−6,5 °C per km	15 °C op zeeniveau

Het laatste model is de standaardatmosfeer die de luchtvaart gebruikt: de lucht koelt 6,5 °C af per kilometer hoogte. Dat geldt tot ongeveer 11 km. Daarboven, in de stratosfeer, blijft de temperatuur tot 20 km gelijk op −56,5 °C. Het model 'verlengen' naar 20 km geeft −115 °C: 58 °C te koud. Een rechte gaat eeuwig door, de werkelijkheid niet.

Lineair betekent recht evenredig

Recht evenredig is het speciale geval $b = 0$ : dan verdubbelt $y$ als $x$ verdubbelt. Bij $K = 11 n + 260$ kosten 20 plantplaatsen € 480, en 40 plaatsen € 700, niet het dubbele. Wat wel verdubbelt, is de toename: van 0 naar 20 plaatsen komt er € 220 bij, van 0 naar 40 € 440.

Tot 11 km beschrijft de rechte de standaardatmosfeer; daarboven buigt de werkelijkheid af en wordt de verlengde rechte onzin.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.6

Hoe hoog ligt het vriesniveau?

6/18

Een weerballon meet op 500 m hoogte 12 °C en op 2500 m hoogte −1 °C. Stel een lineair model $T (h)$ op, geef de betekenis van de parameters, en bereken op welke hoogte het vriest.

Twee metingen leggen de rechte vast; het nulpunt is het vriesniveau.

Gegeven

$(h_{1}, T_{1}) = (0, 5 km; 12^{\circ} C)$
$(h_{2}, T_{2}) = (2, 5 km; - 1^{\circ} C)$

Gevraagd

$T (h) = a h + b$
de hoogte waar $T = 0^{\circ} C$

Oplossing

1
Richtingscoëfficiënt: $a = \frac{- 1 - 12}{2 , 5 - 0 , 5} = \frac{- 13 ^{\circ} C}{2 , 0 km} = - 6, 5^{\circ} C/km$ . Per kilometer hoger is het 6,5 °C kouder.
2
Snijpunt: vul een punt in. $12 = - 6, 5 \cdot 0, 5 + b$ , dus $b = 12 + 3, 25 = 15, 25^{\circ} C$ : de temperatuur die het model aan de grond geeft.
3
Model: $T (h) = - 6, 5^{\circ} C/km \cdot h + 15, 25^{\circ} C$ . Controle met het tweede punt: $- 6, 5 \cdot 2, 5 + 15, 25 = - 1, 0$ . Klopt.
4
Nulpunt: $- 6, 5 h + 15, 25 = 0$ geeft $h = \frac{15 , 25}{6 , 5} = 2, 35 km$ .

Antwoord

T (h) = 15, 25 - 6, 5 h

(T in °C, h in km). Het vriesniveau ligt op ongeveer 2350 m. Het nulpunt van de functie is hier een echte grootheid, die weerdiensten dagelijks vermelden.

Klopt dit? Dat het vriesniveau tussen de twee meethoogtes ligt, is een interpolatie: betrouwbaar. De waarde aan de grond (15,25 °C) is een kleine extrapolatie: bij een windstille nacht kan het aan de grond juist kouder zijn dan hoger (een temperatuurinversie), en dan faalt het model onderaan.

Een radiosonde meet op weg naar boven elke paar seconden temperatuur, druk en vochtigheid: zo kennen weerdiensten het vriesniveau.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.7

Twee groeilampen: waar de rechten elkaar snijden

7/18

Voor de kweekruimte van de klimaatmodule twijfel je tussen twee groeilampen met dezelfde lichtopbrengst. Lamp A kost € 45 en neemt 150 W op. Lamp B kost € 120 en neemt 95 W op. Reken met € 0,30 per kWh. Na hoeveel branduren is lamp B in totaal goedkoper? Hoeveel dagen is dat als de lamp 16 uur per dag brandt?

Links van het snijpunt ligt de rode rechte (A) lager, rechts de blauwe (B).

Gegeven

A: € 45, 150 W; B: € 120, 95 W
energieprijs € 0,30/kWh; 16 h per dag

Gevraagd

$K_{A} (t)$ en $K_{B} (t)$
het snijpunt en zijn betekenis

Oplossing

1
Energiekost per branduur: A neemt $0, 150 kW$ op, dus per uur $0, 150 kWh$ × € 0,30 per kWh = € 0,045. B: $0, 095 \cdot 0, 30 = 0, 0285$ , dus € 0,0285 per uur.
2
Twee lineaire modellen, met $t$ in branduren: $K_{A} (t) = 0, 045 t + 45$ en $K_{B} (t) = 0, 0285 t + 120$ (in €).
3
Snijpunt: stel ze gelijk. $0, 045 t + 45 = 0, 0285 t + 120$ , dus $0, 0165 t = 75$ en $t = 4545 h$ . De kost is dan $0, 045 \cdot 4545 + 45 = 249, 55$ euro voor elke lamp.
4
Omrekenen: $4545 h /16 h/dag = 284$ dagen, ruim negen maanden.
5
Interpretatie: vóór het snijpunt is A goedkoper (lagere start), erna B (kleinere helling). Het snijpunt is het kantelpunt: de terugverdientijd van de duurdere, zuinigere lamp.

Antwoord

Na 4545 branduren, ongeveer 284 dagen bij 16 uur per dag, zijn beide lampen € 249,55 gekost. Daarna bespaart B € 0,0165 per uur, ongeveer € 96 per jaar.

Klopt dit? Eenheden: € gedeeld door €/h geeft h. En de grootte-orde: het verschil in aankoop (€ 75) gedeeld door het verschil in kost per uur (€ 0,0165) moet het snijpunt geven:

75/0, 0165 = 4545

. Het model geldt zolang de energieprijs gelijk blijft en de lampen niet vroeger stuk gaan: allebei aannames.

Uitleg · 4.8

De kwadratische functie: de parabool

8/18

Zodra een grootheid met het kwadraat van een andere groeit, krijg je een kwadratische functie. Drie contexten die je in dit hoofdstuk tegenkomt:

valbeweging: $h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ;
remweg: $d = \frac{v ^{2}}{2 a _{rem}}$ , twee keer zo snel is vier keer zo ver;
oppervlakte: een rechthoek met breedte $x$ en lengte $4, 8 - 2 x$ heeft $A = x (4, 8 - 2 x)$ .

kwadratische functie

f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)

De grafiek is een parabool: een dalparabool (opening naar boven) als

a > 0

, een bergparabool als

a < 0

c = f (0)

is het snijpunt met de verticale as.

De top. Een parabool is symmetrisch rond een verticale lijn, de symmetrieas. De top ligt erop, en is het laagste of hoogste punt:

top van de parabool

x_{top} = - \frac{b}{2 a} y_{top} = f (x_{top})

De nulpunten. Waar is $f (x) = 0$ ? Bereken eerst de discriminant $D = b^{2} - 4 a c$ . Is $D > 0$ , dan zijn er twee nulpunten; is $D = 0$ , dan raakt de top de as (één nulpunt); is $D < 0$ , dan zijn er geen. De nulpunten liggen symmetrisch rond de top:

abc-formule

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} D = b^{2} - 4 a c

Een kwadratische functie kan je ook schrijven in topvorm $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ , met top $(p, q)$ , of, als ze nulpunten $x_{1}$ en $x_{2}$ heeft, in productvorm $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Welke vorm je kiest, hangt af van wat je wil weten.

Gelijke tweede verschillen

Neem $f (x) = 3 x^{2}$ : de waarden bij $x = 0, 1, 2, 3$ zijn 0, 3, 12, 27; de eerste verschillen 3, 9, 15; de tweede verschillen 6, 6. Dat is altijd $2 a$ bij stappen van 1 in $x$ : bij Galilei was $a = 1$ en het tweede verschil 2.

Zelfde a en b, dus dezelfde symmetrieas; c schuift de parabool op en neer, en de discriminant telt de nulpunten.

Ontleed · 4.9

Een worp ontleed

9/18

Je gooit een bal recht omhoog. Hij verlaat je hand op 1,5 m hoogte met een snelheid van 10 m/s. Zonder luchtweerstand is zijn hoogte $h (t) = 1, 5 + 10 t - 4, 905 t^{2}$ (h in m, t in s). Elk bijzonder punt van de parabool heeft een betekenis. Wijs de nummers aan.

Volle lijn: het domein van de worp. Stippellijnen: de formule vóór het loslaten en na de landing.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Snijpunt met de verticale as
$h (0) = c = 1, 5 m$ : de hoogte van je hand bij het loslaten. Het getal $c$ in de formule is altijd de beginwaarde.
2
De top
$t_{top} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{10}{2 \cdot ( - 4 , 905 )} = 1, 02 s$ en $h_{top} = h (1, 02) = 6, 60 m$ . Op dat ogenblik is de snelheid nul: de bal keert om. Het hoogste punt van de bal is de top van de functie.
3
Symmetrieas
Van 1,5 m omhoog naar de top duurt even lang (1,02 s) als van de top terug naar 1,5 m. Zonder luchtweerstand is de beweging omkeerbaar: de bal komt met dezelfde snelheid terug in je hand.
4
Het nulpunt dat telt
$D = 1 0^{2} - 4 \cdot (- 4, 905) \cdot 1, 5 = 129, 4$ , dus $t = \frac{- 10 - 129 , 4}{- 9 , 81} = 2, 18 s$ : de bal raakt de grond (als je hem niet vangt). Dat is het einde van het domein.
5
Het nulpunt dat niet telt
De andere oplossing, $t = - 0, 14 s$ , ligt buiten het domein. Toch heeft ze een betekenis: een bal die 0,14 s eerder vanaf de grond vertrok met de juiste snelheid, zou dezelfde baan volgen.
6
Snijpunten met h = 5 m
Los $1, 5 + 10 t - 4, 905 t^{2} = 5$ op: $t = 0, 45 s$ (stijgend) en $t = 1, 59 s$ (dalend). De bal is 1,14 s boven 5 m. Een horizontale lijn snijdt een parabool twee, één of nul keer.

Uitgewerkt voorbeeld · 4.10

Stopafstand: een parabool op de weg

10/18

Een bestuurder heeft een reactietijd van 1,0 s; zijn auto remt op een droge weg met een vertraging van 7,0 m/s² (de waarden uit opdracht 3.14). Bereken de stopafstand bij 50 km/h en bij 70 km/h. Hoe snel mag hij hoogstens rijden om binnen 40 m te stoppen?

De reactieafstand groeit lineair met v, de stopafstand kwadratisch.

Gegeven

$t_{r} = 1, 0 s$ , $a_{rem} = 7, 0 m/ s^{2}$
$v = 50 km/h$ en $70 km/h$ ; $d_{max} = 40 m$

Gevraagd

$d (50)$ , $d (70)$
$v_{max}$ voor $d = 40 m$

Oplossing

1
Model: tijdens de reactietijd rijdt de auto aan constante snelheid ( $v \cdot t_{r}$ ), daarna remt hij tot stilstand ( $v^{2} / (2 a_{rem})$ , hoofdstuk 7). Samen: $d (v) = v t_{r} + \frac{v ^{2}}{2 a _{rem}} = 1, 0 v + \frac{v ^{2}}{14}$ , met $v$ in m/s.
2
50 km/h = $50/3, 6 = 13, 9 m/s$ : $d = 13, 9 + 13, 9^{2} /14 = 13, 9 + 13, 8 = 27, 7 m$ .
3
70 km/h = $19, 4 m/s$ : $d = 19, 4 + 27, 0 = 46, 5 m$ . 40 % sneller geeft 68 % meer stopafstand: het kwadraat van de remweg doet zich gelden.
4
Omgekeerd: $\frac{v ^{2}}{14} + v - 40 = 0$ . Met $a = 1/14$ , $b = 1$ , $c = - 40$ : $D = 1 + 4 \cdot \frac{1}{14} \cdot 40 = 12, 43$ en $v = \frac{- 1 \pm 12 , 43}{2/14} = 7 \cdot (- 1 \pm 3, 525)$ .
5
Dat geeft $v = 17, 7 m/s$ of $v = - 31, 7 m/s$ . Een negatieve snelheid valt buiten het domein: $v_{max} = 17, 7 m/s = 63, 6 km/h$ .

Antwoord

Stopafstand 27,7 m bij 50 km/h en 46,5 m bij 70 km/h. Wie binnen 40 m wil stoppen, mag hoogstens 64 km/h rijden.

Klopt dit? Bij 50 km/h zijn reactie- en remafstand bijna even groot; bij hogere snelheid wint het kwadratische deel. Het model geldt voor een droge weg en een aandachtige bestuurder: op een natte weg is de vertraging kleiner, met een telefoon in de hand de reactietijd groter (opdracht 4.7).

Uitgewerkt voorbeeld · 4.11

Habitat: het grootste kweekbed

11/18

In de klimaatmodule komt een rechthoekig kweekbed tegen een wand. Je hebt 4,8 m aluminiumprofiel voor de drie vrije zijden. Welke afmetingen geven de grootste oppervlakte? En welke afmetingen geven precies 2,5 m²?

De wand spaart één zijde uit; het profiel loopt langs de andere drie.

Gegeven

profiel voor drie zijden: $4, 8 m$
de wand vormt de vierde zijde

Gevraagd

$A (x)$ met domein
de grootste oppervlakte
$x$ voor $A = 2, 5 m^{2}$

Oplossing

1
Noem de diepte (loodrecht op de wand) $x$ . Twee zijden zijn $x$ , de zijde langs de wand is wat overblijft: $4, 8 - 2 x$ . Oppervlakte: $A (x) = x (4, 8 - 2 x) = - 2 x^{2} + 4, 8 x$ (in m², x in m).
2
Domein: beide afmetingen positief: $x > 0$ en $4, 8 - 2 x > 0$ , dus $0 < x < 2, 4 m$ .
3
Bergparabool ( $a = - 2 < 0$ ), dus de top is een maximum: $x_{top} = - \frac{4 , 8}{2 \cdot ( - 2 )} = 1, 2 m$ . Lengte langs de wand: $4, 8 - 2, 4 = 2, 4 m$ . $A = 1, 2 \cdot 2, 4 = 2, 88 m^{2}$ .
4
Voor $A = 2, 5$ : $- 2 x^{2} + 4, 8 x - 2, 5 = 0$ . $D = 4, 8^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2, 5 = 3, 04$ , $x = \frac{4 , 8 \pm 1 , 744}{4}$ : $x = 0, 76 m$ of $x = 1, 64 m$ .
5
Twee vormen dus: 0,76 m diep en 3,27 m lang, of 1,64 m diep en 1,53 m lang. Beide liggen in het domein.

Antwoord

Het grootste bed is 1,2 m diep en 2,4 m lang, 2,88 m². Een bed van 2,5 m² kan ondiep en lang (0,76 m × 3,27 m) of diep en kort (1,64 m × 1,53 m).

Klopt dit? Symmetrie: de twee oplossingen voor 2,5 m² liggen even ver links en rechts van de top (1,2 ± 0,44 m). Praktisch kies je niet blind de top: een bed dieper dan ongeveer 1,2 m is vanaf één kant niet meer te bereiken. Hier valt het wiskundige optimum toevallig samen met een bruikbare maat.

De oppervlakte als functie van de diepte: een bergparabool met de top bij 1,2 m.

Uitleg · 4.12

Snijpunten: waar twee modellen elkaar ontmoeten

12/18

Twee functies snijden elkaar waar ze dezelfde uitvoer geven. Algebraïsch stel je de voorschriften gelijk en los je op; grafisch lees je het punt af. Het snijpunt krijgt pas betekenis in de context: een kantelpunt tussen twee keuzes, het moment van inhalen, de snelheid waarbij een grens overschreden wordt.

Voorbeeld. Een auto staat stil aan een verkeerslicht. Op het moment dat het groen wordt, rijdt een fietser hem voorbij aan 6 m/s. De auto trekt op met 2,0 m/s². Posities vanaf het licht: fietser $x_{f} = 6 t$ (lineair), auto $x_{a} = \frac{1}{2} \cdot 2, 0 \cdot t^{2} = t^{2}$ (kwadratisch, hoofdstuk 7). Gelijkstellen:

t^{2} = 6 t \Leftrightarrow t^{2} - 6 t = 0 \Leftrightarrow t (t - 6) = 0 \Leftrightarrow t = 0 of t = 6 s

Twee snijpunten, twee betekenissen: bij $t = 0$ staan ze naast elkaar aan het licht, bij $t = 6 s$ haalt de auto de fietser in, 36 m verder. De auto rijdt dan $2, 0 \cdot 6 = 12 m/s$ (43 km/h), het dubbele van de fietser.

Het verschil van twee functies is zelf een functie: de voorsprong van de fietser is $6 t - t^{2}$ , een bergparabool met top bij $t = 3 s$ : 9 m voorsprong. Het snijpunt van twee functies is altijd een nulpunt van hun verschil. Zo worden alle snijpuntproblemen nulpuntproblemen.

Een snijpunt is een ontmoeting

In een (x,t)-grafiek betekent een snijpunt dat twee voorwerpen op hetzelfde moment op dezelfde plaats zijn. In een kostengrafiek betekent het alleen dat twee keuzes even duur zijn. En twee grafieken met verschillende grootheden op de assen (een temperatuur en een kost) mag je niet laten snijden: dat snijpunt is een toeval van de schaal.

Snijpunten bij 0 s en 6 s; de verticale afstand tussen beide krommen is de voorsprong, maximaal 9 m bij 3 s.

Uitleg · 4.13

Welk model past bij de data?

13/18

Een model kiezen begint niet bij de trendlijnknop van een rekenblad. Drie vragen, in deze volgorde:

Wat zegt de fysica? Een stopafstand bevat een remweg met $v^{2}$ ; een kost met een vast en een variabel deel is lineair. Een model met een reden is sterker dan een model dat toevallig past.
Wat zeggen de verschillen? Meet je bij gelijke stappen in $x$ , bereken dan de eerste verschillen $Δ y$ . Zijn ze (binnen de meetfout) constant: lineair. Zijn de tweede verschillen constant: kwadratisch. Is de verhouding van opeenvolgende waarden constant: exponentieel (hoofdstuk 5).
Wat zeggen de residuen? Fit het model en bekijk de residuen (hoofdstuk 3). Liggen ze willekeurig rond nul, dan past het. Vormen ze een boog, dan mist het model iets.

Drie meetreeksen als voorbeeld:

$x$	0	1	2	3	4	5
A: kaarslengte (cm), $x$ in stappen van 10 min	20,0	18,6	17,3	15,9	14,6	13,2
eerste verschillen		−1,4	−1,3	−1,4	−1,3	−1,4
B: remafstand fiets (m) bij 10, 15, 20, 25, 30 km/h	1,29	2,89	5,14	8,04	11,57
eerste verschillen		1,60	2,25	2,90	3,53
tweede verschillen			0,65	0,65	0,63
C: bacteriën per mL (×1000), $x$ in uren	100	160	256	410	655
eerste verschillen		60	96	154	245
tweede verschillen			36	58	91
verhouding $y_{2} / y_{1}$		1,60	1,60	1,60	1,60

A: eerste verschillen ongeveer −1,35 cm per 10 min: lineair, een kaars die gelijkmatig opbrandt. B: eerste verschillen groeien, tweede verschillen constant (0,64 m): kwadratisch, zoals een remafstand hoort te zijn. C: de tweede verschillen groeien ook, maar elke waarde is 1,60 keer de vorige: geen parabool, maar exponentiële groei.

Meer parameters is niet beter

Door drie punten gaat altijd een parabool, door zeven punten altijd een veelterm van graad zes. Zo'n model volgt de meetfouten, niet het verband, en voorspelt daarbuiten onzin (opdracht 4.14). Kies het eenvoudigste model dat de fysica toelaat en waarvan de residuen geen patroon tonen.

Verschillen zijn een snelle eerste test; de fysica en de residuen hebben het laatste woord.

Proef · 4.14

Een knikker in een goot

14/18

Onderzoeksvraag

Hoe hangt de afgelegde weg van een knikker in een licht hellende goot af van de tijd? Is het verband lineair of kwadratisch, en wat is de versnelling?

Materiaal

pvc-goot of kabelgoot van ongeveer 1,2 m
knikker
rolmeter, stroken plakband om de 10 cm
boeken of een blokje om de goot 4 à 5 cm op te tillen
smartphone op een statief (video)

De parabool gaat door alle punten; de beste rechte mist systematisch: te hoog in het midden, te laag aan de uiteinden.

Werkwijze

1Leg de goot schuin (één uiteinde 4 à 5 cm hoger) en plak een meetlint of stroken plakband om de 10 cm langs de goot.
2Film de hele goot van opzij, met de camera stil en loodrecht op de goot. Houd de knikker bij de nulstreep en laat hem los zonder te duwen.
3Speel de video beeld per beeld af. Noteer de positie van de knikker om de 0,4 s (bij 30 beelden per seconde: elk twaalfde beeld).
4Bereken de eerste en de tweede verschillen van de posities.
5Zet $s$ uit tegen $t$ en tegen $t^{2}$ . Bepaal het model.

Waarneming

$t$ (s)	0,0	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4
$s$ (cm)	0,0	3,1	13,0	28,7	51,1	79,7	115,1
eerste verschil		3,1	9,9	15,7	22,4	28,6	35,4
tweede verschil			6,8	5,8	6,7	6,2	6,8

De eerste verschillen groeien telkens met ongeveer 6,5 cm; de tweede verschillen liggen tussen 5,8 en 6,8 cm, zonder trend. $s$ tegen $t^{2}$ geeft een rechte door de oorsprong.

Verklaring

Constante tweede verschillen: het verband is kwadratisch, $s = k \cdot t^{2}$ , zoals bij Galilei. Voor $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ is het tweede verschil bij een tijdstap $Δ t$ gelijk aan $a (Δ t)^{2}$ . Het gemiddelde tweede verschil is 6,46 cm, dus $a = 6, 46 cm / (0, 4 s)^{2} = 40 cm/ s^{2} = 0, 40 m/ s^{2}$ .

Geldigheidsgebied: het model geldt zolang de knikker in de goot rolt, dus tot 1,2 m. Bij een steilere helling gaat de knikker slippen en klopt de eenvoudige verhouding niet meer; bij een heel lange goot gaan wrijving en luchtweerstand meetellen.

Code · 4.15

Twee modellen fitten in Python

15/18

In hoofdstuk 3 rekende je de kleinste-kwadratenrechte met de hand uit. De bibliotheek numpy doet hetzelfde voor elke veelterm: np.polyfit(t, s, 1) geeft de beste rechte, np.polyfit(t, s, 2) de beste parabool. Het programma vergelijkt beide op de metingen van de knikker, via hun residuen.

Pythonmodellen.py17 regelsDownload

# modellen.py - een lineair en een kwadratisch model fitten op de knikkermetingenimport numpy as np t = np.array([0.0, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2.0, 2.4])          # tijd (s)s = np.array([0.0, 3.1, 13.0, 28.7, 51.1, 79.7, 115.1])    # afgelegde weg (cm) for graad in (1, 2):    coef = np.polyfit(t, s, graad)       # kleinste kwadraten; hoogste macht eerst    model = np.poly1d(coef)    residu = s - model(t)    print(f"graad {graad}: coefficienten", "  ".join(f"{c:.2f}" for c in coef))    print("   residuen (cm):", "  ".join(f"{r:+.1f}" for r in residu))    print(f"   som van de kwadraten: {np.sum(residu**2):.1f} cm2") a2, a1, a0 = np.polyfit(t, s, 2)print(f"versnelling a = 2 * {a2:.2f} cm/s2 = {2 * a2 / 100:.3f} m/s2")print(f"voorspelling bij t = 3,0 s: {np.polyval([a2, a1, a0], 3.0):.0f} cm")

De residuen van de rechte vormen een boog; die van de parabool liggen op nul.

Uitvoer (gecontroleerd door het programma te draaien):

graad 1: coefficienten 47.91  -15.96
   residuen (cm): +16.0  -0.1  -9.4  -12.8  -9.6  -0.2  +16.1
   som van de kwadraten: 857.7 cm2
graad 2: coefficienten 19.97  -0.02  0.01
   residuen (cm): -0.0  -0.1  +0.2  -0.0  -0.0  -0.2  +0.1
   som van de kwadraten: 0.1 cm2
versnelling a = 2 * 19.97 cm/s2 = 0.399 m/s2
voorspelling bij t = 3,0 s: 180 cm

Lees de uitvoer als een onderzoeker. De rechte heeft residuen tot 16 cm met een duidelijk patroon (plus, min, plus): verworpen. De parabool heeft residuen van hoogstens 0,2 cm, kleiner dan de afleesfout van de video. Haar coëfficiënten $b = - 0, 02$ en $c = 0, 01$ zijn praktisch nul, zoals de fysica voorspelt voor een knikker die vanuit stilstand bij $s = 0$ vertrekt. De voorspelling bij 3,0 s (180 cm) is een extrapolatie voorbij het einde van de goot: onzin, hoe goed de fit ook is. (Het −0.0 in de uitvoer is een heel klein negatief getal dat na afronden nul wordt.)

Uitleg · 4.16

Het geldigheidsgebied van een model

16/18

Elk model is een vereenvoudiging, en elke vereenvoudiging heeft een grens. Het geldigheidsgebied is het gebied waarin het model getoetst is en goed genoeg werkt voor wat je ermee wil doen. Binnen dat gebied voorspellen heet interpoleren; daarbuiten extrapoleren, en dat doe je alleen met een reden.

Een valschermspringer. Zonder luchtweerstand is $v = g \cdot t$ , een rechte. De eerste seconden klopt dat goed, want bij lage snelheid is de luchtweerstand klein. Maar ze groeit met het kwadraat van de snelheid, tot ze even groot is als het gewicht: dan versnelt de springer niet meer. Buik naar beneden gebeurt dat rond 55 m/s, ongeveer 200 km/h. De rechte voorspelt na 60 s vrije val 589 m/s, sneller dan het geluid. In de grafiek zie je waar het model 'breekt': na 3 s wijkt het al bijna 10 % af, na 6 s 35 %.

Vier bronnen van grenzen, die je bij elk model nagaat:

verwaarloosde effecten die groter worden: luchtweerstand, wrijving, warmteverlies;
materiaal- of systeemgrenzen: een veer die blijvend vervormt (hoofdstuk F11), een goot die ophoudt, een batterij die leeg is;
veranderende omstandigheden: een natte weg, een andere energieprijs, de tropopauze op 11 km;
het meetbereik: wat je niet gemeten hebt, weet je niet.

Een formule geldt overal

Een formule in een boek is geen natuurwet zonder voorwaarden. $v = g t$ is 'vrije val zonder luchtweerstand', $d = v^{2} / (2 a)$ is 'remmen met constante vertraging'. Wie de voorwaarden vergeet, rekent correct aan een verkeerde werkelijkheid.

De rechte v = g · t (rood) beschrijft alleen de eerste seconden; daarna nadert de echte snelheid (blauw) een eindsnelheid.

Naslag · 4.17

Overzicht: functies en modellen

17/18

lineaire functie

f (x) = a x + b

symbool	betekenis	eenheid
$a$	richtingscoëfficiënt: verandering per eenheid x	eenheid y / eenheid x
$b$	beginwaarde f(0)	eenheid y

rechte door twee punten

a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} y - y_{1} = a (x - x_{1})

kwadratische functie

f (x) = a x^{2} + b x + c

symbool	betekenis	eenheid
$a$	opening (a > 0: dal, a < 0: berg) en steilheid	eenheid y / (eenheid x)²
$c$	beginwaarde f(0)	eenheid y

top en symmetrieas

x_{top} = - \frac{b}{2 a} y_{top} = f (x_{top})

discriminant en nulpunten (abc-formule)

D = b^{2} - 4 a c x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

topvorm en productvorm

f (x) = a (x - p)^{2} + q f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

verticale worp zonder luchtweerstand

h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}

symbool	betekenis	eenheid
$h_{0}$	beginhoogte	m
$v_{0}$	beginsnelheid (omhoog positief)	m/s
$g$	valversnelling, 9,81	m/s²

stopafstand

d = v t_{r} + \frac{v ^{2}}{2 a _{rem}}

symbool	betekenis	eenheid
$v$	snelheid	m/s
$t_{r}$	reactietijd	s
$a_{rem}$	remvertraging	m/s²

vraag in de context	wiskundig	hoe
wanneer is ... nul? (leeg, op de grond, geen winst)	nulpunt	$f (x) = 0$ oplossen
wat is het meeste / minste? (hoogste punt, grootste oppervlakte)	top	$x = - b / (2 a)$
wanneer zijn twee keuzes even duur? wanneer haalt A B in?	snijpunt	$f (x) = g (x)$ oplossen
wanneer is ... groter dan een grens?	snijpunt met een horizontale lijn	$f (x) =$ grens oplossen, dan kijken welke kant
wat is de beginwaarde?	snijpunt met de verticale as	$f (0)$

data bij gelijke stappen in $x$	model	voorbeeld
eerste verschillen constant	lineair	kosten, ERB, kaars
tweede verschillen constant (gelijk aan $2 a (Δ x)^{2}$ )	kwadratisch	val, remweg, oppervlakte
verhouding opeenvolgende waarden constant	exponentieel	bacteriën, afkoelen (hoofdstuk 5)

controlelijst bij elk model
invoer en uitvoer benoemd, met eenheid
domein: wiskundig én fysisch; punten of een doorlopende lijn?
parameters met eenheid en betekenis
oplossingen buiten het domein geschrapt, met uitleg
geldigheidsgebied: welke aannames, welk meetbereik?

Het geheel · 4.18

Waar functies en modellen terugkomen

18/18

Een functie is de taal waarin je in de rest van StemExpert voorspelt. De rechte en de parabool zijn de eerste twee families; in hoofdstuk 5 komt de exponentiële functie erbij, in hoofdstuk 6 de goniometrische. In Expert leer je met afgeleiden de top van elke functie vinden, niet alleen van een parabool, en bouw je modellen uit veranderingen in plaats van uit formules.

F4 Tabellen, grafieken en verbanden

Tabel en grafiek, recht evenredig, interpoleren en extrapoleren: de basis van elke functie.

F14 Beweging en snelheid

De (s,t)-grafiek van een eenparige beweging is een lineaire functie; de snelheid is haar helling.

I3 Verbanden in data

De rechte uit metingen, residuen en lineariseren: hier gebruikt om een model te kiezen en te toetsen.

I5 Groei en verval: exponentiële modellen

Als de verhouding van opeenvolgende waarden constant is: groei en verval.

I7 Beweging beschrijven

ERB en EVRB: de lineaire en de kwadratische functie van de tijd, met de stopafstand als toepassing.

I9 Arbeid, energie en vermogen

Kinetische energie groeit met v²: waarom de remweg kwadratisch is.

I28 Functies, lijsten en data in Python

Functies in Python met parameters en returnwaarden, en data inlezen om modellen te fitten.

E1 Afgeleiden: verandering meten

De helling van een kromme in elk punt; de top is waar die helling nul is.

E2 Optimaliseren

Het grootste kweekbed was een eerste optimalisatieprobleem; met afgeleiden los je er elk op.

E41 Van data naar model: regressie

Modellen met meer parameters, overfitting en validatie: waarom een zesdegraadsveelterm bedriegt.

HabitatVoor de klimaat- en energiemodule maak je in opdracht 4.12 het kostenmodel van het hydroponiesysteem: zelf bouwen of kopen, met het kantelpunt en de kost per plantplaats. Het kweekbed van 2,88 m² uit het voorbeeld is een bouwsteen voor hoofdstuk 36 (hydroponie) en het integratieproject in hoofdstuk 40.

Samenvatting

In het kort

Een functie koppelt aan elke invoer precies één uitvoer; je toont ze als tabel, grafiek of formule. In een grafiek: elke verticale lijn snijdt hoogstens één keer.
Het domein is wat je mag invullen, het bereik wat eruit komt. In een model begrenst de fysica het domein vaak sterker dan de formule (geen negatieve tijd, geen halve plantplaats).
De lineaire functie $f (x) = a x + b$ heeft een vaste start $b$ en een vaste stap $a$ (met eenheid); twee punten leggen ze vast.
De kwadratische functie $f (x) = a x^{2} + b x + c$ is een parabool met top bij $x = - b / (2 a)$ ; de discriminant $D = b^{2} - 4 a c$ telt de nulpunten, de abc-formule geeft ze.
Top, nulpunten en snijpunten krijgen betekenis in de context: hoogste punt, landing, kantelpunt, inhalen. Oplossingen buiten het domein schrap je, met uitleg.
Een model kies je met de fysica, de verschillen (constante eerste verschillen: lineair; constante tweede verschillen: kwadratisch) en de residuen.
Elk model heeft een geldigheidsgebied. Interpoleren binnen het getoetste gebied is veilig, extrapoleren alleen met een reden.

Begrippen

Wat je nu kent

functie: Voorschrift dat aan elke toegelaten invoer $x$ precies één uitvoer $f (x)$ koppelt.
domein: De verzameling invoerwaarden waarvoor een functie (of een model) gebruikt mag worden; in een context vaak kleiner dan wat de formule toelaat.
bereik: De verzameling uitvoerwaarden die de functie op haar domein aanneemt.
lineaire functie: Functie $f (x) = a x + b$ : gelijke stappen in $x$ geven gelijke stappen in $y$ ; de grafiek is een rechte.
kwadratische functie: Functie $f (x) = a x^{2} + b x + c$ met $a \neq = 0$ ; de grafiek is een parabool.
top van een parabool: Het hoogste (bij $a < 0$ ) of laagste (bij $a > 0$ ) punt, bij $x = - b / (2 a)$ ; de symmetrieas gaat erdoor.
nulpunt: Invoerwaarde waarvoor de functie nul is; in de grafiek een snijpunt met de horizontale as.
discriminant: Het getal $D = b^{2} - 4 a c$ dat zegt hoeveel nulpunten een kwadratische functie heeft: twee, één of geen.
snijpunt van twee functies: Punt waar twee functies dezelfde uitvoer geven; je vindt het door de voorschriften gelijk te stellen.
stopafstand: Reactieafstand plus remafstand: $d = v t_{r} + v^{2} / (2 a_{rem})$ , kwadratisch in de snelheid.
geldigheidsgebied: Het gebied waarin een model getoetst is en de werkelijkheid goed genoeg beschrijft.
tweede verschillen: De verschillen van de verschillen van opeenvolgende $y$ -waarden bij gelijke stappen in $x$ ; constant bij een kwadratisch verband.

Aan de slag in het werkboek15 opdrachten, van oefenen tot uitdagen