FFundamental · deel F1 · Denken en werken als STEM'er

Oplossingen · hoofdstuk 4Tabellen, grafieken en verbanden

Van een rij getallen naar een beeld dat een verband toont, en weten hoe ver je dat beeld mag vertrouwen

Uitgewerkte oplossingen bij de 16 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

6× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 344 min

WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten AData en AI

Een dag metingen uit de meetkas wordt één lijn op millimeterpapier.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

4.1

Wat is er mis met deze tabel?

Oefenen1Begrijpen10 min

Een leerling meet hoe een mok thee afkoelt. Dit zijn zijn notities:

Tijd	Temperatuur
0 min	85
2	80 °C
1	82,3
4	75 graden
3 min	77
300 s	73

a
Noem vier afspraken voor een goede tabel die hier niet gevolgd zijn.
(1) In de kop ontbreken de grootheid-symbolen en de eenheden. (2) De eenheden staan in de cellen, en niet overal. (3) Er zijn twee eenheden van tijd (min en s) en twee schrijfwijzen van temperatuur (°C en graden). (4) De tijden staan niet in volgorde. (5) Het aantal cijfers is niet gelijk (82,3 tegenover 85). (6) Er is geen titel.
b
Schrijf de tabel opnieuw volgens de afspraken.
Titel: Afkoelen van een mok thee. Kop: $t$ (min) | $T$ (°C). Rijen: 0 | 85; 1 | 82 (of alle waarden met één decimaal); 2 | 80; 3 | 77; 4 | 75; 5 | 73. (300 s = 5 min.)

4.2

Welke grootheid op welke as?

Oefenen1Begrijpen10 min

Je zet de resultaten van vier proeven in een grafiek.

a
Vul in: welke grootheid komt horizontaal, welke verticaal? Schrijf ze zoals op de as, met eenheid.
(a) $t$ (min) | $T$ (°C). (b) $m$ (g) | $l$ (cm). (c) valhoogte (cm) | terugbotshoogte (cm). (d) $U$ (V) | $I$ (mA).
b
Welke regel gebruikte je telkens?
Wat je zelf kiest of instelt (de onafhankelijke variabele) komt horizontaal, wat je meet (de afhankelijke variabele) verticaal.

4.3

Een grafiek aflezen

Oefenen1Analyseren12 min

Een leerling meet om de twee weken de hoogte van een zonnebloem in de schooltuin.

De meetpunten zijn met rechte stukjes verbonden.

a
Hoe hoog was de zonnebloem na 4 weken? En na 10 weken?
Na 4 weken 35 cm; na 10 weken 170 cm.
b
Hoe hoog was ze na 7 weken, volgens de grafiek? Is dat interpoleren of extrapoleren?
Halfweg tussen 6 weken (80 cm) en 8 weken (135 cm): ongeveer 107 à 108 cm. Dat is interpoleren: 7 weken ligt tussen twee metingen in.
c
Na hoeveel weken was ze 150 cm hoog?
Tussen 8 weken (135 cm) en 10 weken (170 cm). Er is nog 15 cm nodig van de 35 cm: $15/35 \approx 0, 43$ van twee weken, dus na ongeveer 8,9 weken.
d
Tussen welke twee metingen groeide ze het snelst? Hoe zie je dat aan de grafiek?
Tussen week 6 en week 8: 55 cm in twee weken. Daar is de lijn het steilst.
e
Is de hoogte recht evenredig met de tijd? Leg uit.
Nee. De grafiek is geen rechte door de oorsprong: ze begint bij 5 cm, stijgt eerst traag, dan snel en op het einde weer traag. De verhouding hoogte / tijd is niet constant.

4.4

Een schaal kiezen

Oefenen2Rekenen12 min

Je grafiekpapier is 15 cm breed en 10 cm hoog. Kies voor elke as een handige schaal (1, 2, 5 of 2,5 × 10, 100 ...).

a
(a) Tijd van 0 tot 60 s op de horizontale as.
$60/15 = 4$ s per cm; handige stap erboven: 5 s per cm. 60 s komt op 12 cm.
b
(b) Temperatuur van 18 tot 83 °C op de verticale as (begin bij 0).
$83/10 = 8, 3$ °C per cm; handige stap: 10 °C per cm. 83 °C komt op 8,3 cm.
c
(c) Massa van 0 tot 2400 g op de verticale as.
$2400/10 = 240$ g per cm; handige stap: 250 g per cm (2400 g op 9,6 cm). 500 g per cm kan ook, maar dan gebruik je maar 4,8 cm.
d
(d) Een klasgenoot kiest bij (b) 3 °C per cm. Geef twee redenen waarom dat geen goede keuze is.
83 °C zou op $83/3 \approx 27, 7$ cm komen: van het papier af. En 3 is geen handige stap: punten als 50 °C zet je niet vlot.

4.5

Recht evenredig of niet?

Oefenen2Analyseren15 min

Onderzoek voor elke tabel of

y

recht evenredig is met

x

. Bereken daarvoor telkens

y / x

a
(a) aantal broodjes: 1, 2, 4, 6 — prijs (€): 1,20; 2,40; 4,80; 7,20
$y / x$ = 1,20 bij elke rij: recht evenredig.
b
(b) huurtijd van een fiets (h): 1, 2, 3, 4 — prijs (€): 7, 9, 11, 13
$y / x$ = 7; 4,5; 3,67; 3,25: niet constant, dus niet recht evenredig. (Het is wel een rechte: 5 € vast plus 2 € per uur. Bij 0 uur betaal je 5 €, dus de rechte gaat niet door de oorsprong.)
c
(c) zijde van een vierkant (cm): 1, 2, 3, 4 — oppervlakte (cm²): 1, 4, 9, 16
$y / x$ = 1, 2, 3, 4: niet constant. Verdubbelt de zijde, dan wordt de oppervlakte vier keer zo groot. Niet recht evenredig (de grafiek is een kromme).
d
(d) lengte van een ledstrip (m): 0,5; 1; 2; 5 — aantal leds: 30, 60, 120, 300
$y / x$ = 60 bij elke rij: recht evenredig.
e
Geef bij de recht evenredige verbanden de evenredigheidsconstante met eenheid.
(a) $k$ = 1,20 € per broodje. (d) $k$ = 60 leds per meter.

4.6

Welke grafiek past?

Oefenen1Begrijpen10 min

Kies telkens de best passende grafiek: lijngrafiek, staafdiagram, cirkeldiagram of spreidingsdiagram.

a
Vul in en geef een korte reden.
(a) lijngrafiek: een verloop in de tijd. (b) staafdiagram: aparte groepen vergelijken (een cirkeldiagram kan ook als je de verdeling van de klas wil tonen). (c) cirkeldiagram: 24 uur is het geheel. (d) spreidingsdiagram: per leerling twee metingen, je zoekt een verband. (e) lijngrafiek: een verloop in de tijd. (f) staafdiagram: een totaal per maand; elke maand is een aparte groep (een lijngrafiek wordt ook gebruikt, om het verloop over het jaar te tonen).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

4.7

De kaars

Toepassen2Tekenen25 min

Een kaars wordt aangestoken. Elk uur meet een leerling de lengte:

$t$ (h)	0	1	2	3	4
$L$ (cm)	18,0	15,6	13,1	10,7	8,2

a
Teken de grafiek van de lengte tegenover de tijd, met een handige schaal. Laat plaats tot 8 uur. Teken een trendlijn.
Bijvoorbeeld 1 h per 2 cm horizontaal, 2 cm kaars per cm verticaal (0 tot 20 cm). De punten liggen op een dalende rechte.
b
Hoe lang was de kaars na 2,5 uur? Interpoleer of extrapoleer je?
Ongeveer 11,9 cm ( $18, 0 - 2, 45 \times 2, 5$ ). Interpoleren: 2,5 h ligt tussen twee metingen.
c
Trek de trendlijn door: na hoeveel uur is de kaars helemaal op? Onderaan blijft er in de houder 1 cm kaars staan die niet brandt. Wat betekent dat voor je voorspelling?
De kaars wordt per uur 2,45 cm korter. De trendlijn raakt 0 cm na $18, 0/2, 45 \approx 7, 3$ h (ongeveer 7 h 20 min). Maar de onderste centimeter brandt niet: de kaars dooft als er 1 cm over is, na $17, 0/2, 45 \approx 6, 9$ h. Bij extrapoleren moet je nagaan of het verband tot het einde blijft gelden.
d
Is de lengte recht evenredig met de tijd? Leg uit met je grafiek.
Nee. De lengte daalt, en bij $t = 0$ is ze 18,0 cm, niet 0. De rechte gaat niet door de oorsprong.
e
Bereken voor elke meting de verbrande lengte. Is die wel recht evenredig met de tijd? Geef de constante met eenheid.
Verbrand: 0; 2,4; 4,9; 7,3; 9,8 cm. De verhouding verbrand / tijd is 2,4; 2,45; 2,43; 2,45: constant. Ja, recht evenredig, met $k \approx 2, 45$ cm/h.

Zo wordt dit beoordeeld

Grafiek	Assen met grootheid en eenheid, handige schaal tot 8 h, punten nauwkeurig, één rechte trendlijn.
Aflezen	Interpoleren en extrapoleren correct benoemd en afgelezen.
Redenering	Het verschil tussen de lengte (daalt, niet recht evenredig) en de verbrande lengte (recht evenredig) uitgelegd.

4.8

Het afval van de school

Toepassen2Tekenen20 min

De milieuwerkgroep weegt een week lang al het afval van de school: papier en karton 18 kg, PMD 9 kg, GFT 6 kg, restafval 12 kg.

a
Bereken voor elke soort het percentage en de hoek van de sector.
Totaal 45 kg. Papier en karton: 18/45 = 40,0 %, 144°. PMD: 20,0 %, 72°. GFT: 13,3 %, 48°. Restafval: 26,7 %, 96°. Samen 100 % en 360°. (Snel: 1 kg is 360° / 45 = 8°.)
b
Teken het cirkeldiagram met een gradenboog.
Vier sectoren van 144°, 72°, 48° en 96°, elk met naam en percentage.
c
Waarom past hier een cirkeldiagram? Welk deel van het afval wordt niet apart ingezameld?
De vier soorten vormen samen al het afval: een geheel dat verdeeld is. Het restafval, ongeveer een kwart (26,7 %), wordt niet apart ingezameld.

Zo wordt dit beoordeeld

Rekenwerk	Totaal 45 kg; percentages en hoeken juist; controle dat de som 100 % en 360° is.
Tekening	Hoeken nauwkeurig met gradenboog, start bovenaan, met de klok mee, elke sector benoemd met percentage.

4.9

Twee pompjes

Toepassen3Rekenen20 min

Voor de meetkas liggen twee pompjes klaar. Pomp A wordt getest met een maatbeker:

$t$ (s)	0	10	20	30
$V$ (mL)	0	80	161	240

Van pomp B krijg je alleen de grafiek van de fabrikant.

Volume tegenover tijd voor pomp B.

a
Bereken de evenredigheidsconstante van pomp A, met eenheid.
$V / t$ = 8,0; 8,05; 8,0: $k_{A} \approx 8, 0 mL/s$ .
b
Bepaal met de grafiek de evenredigheidsconstante van pomp B.
Lees een punt af, bv. (20 s; 300 mL): $k_{B} = 300/20 = 15 mL/s$ .
c
Hoe lang moet elke pomp per dag draaien voor de 1,8 L die de planten nodig hebben?
$1800 mL$ : pomp A $1800/8, 0 = 225 s$ (3 min 45 s); pomp B $1800/15 = 120 s$ (2 min).
d
Hoeveel water pompt A in 45 s? Is dat interpoleren of extrapoleren? Is het hier toegelaten?
$8, 0 \times 45 = 360 mL$ . Extrapoleren: 45 s ligt buiten het meetbereik (0 tot 30 s). Dat is hier geen probleem: zolang er water in het reservoir staat, pompt het pompje even snel.
e
Het water komt druppel per druppel bij de planten via een druppelslang. Waarom kies je misschien toch de tragere pomp?
Een druppelslang laat maar een beperkt debiet door; een sterke pomp duwt water uit de slang of spoelt de grond weg. De tragere pomp geeft het water rustiger, en een langere pomptijd is makkelijker nauwkeurig te regelen.

4.10

Hoe groot word je?

Toepassen3Analyseren15 min

Zo lang zijn baby's (jongens) gemiddeld in hun eerste levensjaar, afgerond:

leeftijd (maanden)	0	3	6	9	12
lengte (cm)	50	61	68	72	76

a
Hoeveel cm per maand groeit een baby in de eerste drie maanden? En tussen 9 en 12 maanden? Wat besluit je over de vorm van de grafiek?
Eerste drie maanden: $11/3 \approx 3, 7$ cm per maand. Van 9 tot 12 maanden: $4/3 \approx 1, 3$ cm per maand. De groei vertraagt: de grafiek is geen rechte maar een kromme die steeds vlakker wordt.
b
Schat de lengte na 4,5 maanden. Welke techniek gebruik je?
Halfweg tussen 61 en 68 cm: ongeveer 64,5 cm. Interpoleren.
c
Een baby groeit in zijn eerste jaar 26 cm. Iemand extrapoleert: 'Blijft hij zo groeien, dan is hij op zijn achttiende ...' Reken het uit.
$50 + 18 \times 26 = 518$ cm: ruim 5 m.
d
En als je extrapoleert met de groei van de eerste drie maanden?
11 cm per 3 maanden is 44 cm per jaar: $50 + 18 \times 44 = 842$ cm, meer dan 8 m.
e
Waarom is deze extrapolatie fout? Wat moet je weten om wel een goede voorspelling te maken?
De groei is niet constant: hij vertraagt al in het eerste jaar en stopt rond de volwassen leeftijd. Buiten het meetbereik (0 tot 12 maanden) geldt het verband niet meer. Voor een goede voorspelling heb je metingen over de hele groeiperiode nodig (de groeicurven van de dokter).

4.11

Een misleidende grafiek

Toepassen3Analyseren15 min

Zadenhandel B verspreidt deze grafiek met de slogan 'Ons zaad kiemt veel beter!'.

Percentage zaadjes dat kiemt, voor twee merken tomatenzaad.

a
Hoeveel keer zo hoog lijkt de staaf van B als die van A?
De staven zijn $95 - 90 = 5$ en $92 - 90 = 2$ eenheden hoog: B lijkt $5/2 = 2, 5$ keer zo hoog.
b
Hoeveel zaadjes van de 100 kiemen er in werkelijkheid meer bij merk B?
3 zaadjes van de 100 (95 tegenover 92).
c
Teken het staafdiagram eerlijk.
Verticale as van 0 tot 100 %, met stappen van 20 %; twee bijna even hoge staven van 92 en 95 %.
d
Een klasgenoot zegt: 'Dan mag de kasgrafiek in het handboek ook niet bij 15 °C beginnen.' Heeft hij gelijk? Leg uit.
Nee. Bij een staafdiagram vergelijkt je oog de lengtes, dus moet de as bij 0 beginnen. Bij een lijngrafiek lees je de positie van punten af op een as met getallen: inzoomen mag, als de schaal duidelijk vermeld is.

4.12

Labo: stapelbekertjes

Toepassen3Labo45 min

Plastic bekertjes passen in elkaar. Hoe hangt de hoogte van een stapel af van het aantal bekertjes? Je hebt 10 gelijke bekertjes, een lat en millimeterpapier.

Eén bekertje is hoog, elk volgend bekertje voegt alleen een randje toe.

a
Voorspel eerst: is de hoogte recht evenredig met het aantal bekertjes? Waarom (niet)?
Nee: één bekertje heeft al zijn volle hoogte, elk extra bekertje voegt alleen een randje toe.
b
Meet de hoogte van een stapel van 1 tot 10 bekertjes.
Bijvoorbeeld: 1 bekertje 9,5 cm, 2 bekertjes 10,3 cm, 3 bekertjes 11,1 cm ... 10 bekertjes 16,7 cm. De verhouding hoogte / aantal daalt.
c
Teken de grafiek met een trendlijn.
De punten liggen op een rechte die de verticale as snijdt bij ongeveer 8,7 cm, niet bij 0.
d
Is het verband recht evenredig? Hoeveel hoger wordt de stapel per extra bekertje?
Niet recht evenredig: hoogte / aantal is niet constant en de rechte gaat niet door de oorsprong. Elke extra beker voegt wel steeds hetzelfde toe, in het voorbeeld 0,8 cm.
e
Voorspel de hoogte van 20 bekertjes en controleer (voeg de bekertjes van een andere groep toe). Hoeveel bekertjes heb je nodig voor een stapel van 1 m?
Met het voorbeeld: $9, 5 + 19 \times 0, 8 = 24, 7$ cm voor 20 bekertjes. Voor 1 m: $(100 - 9, 5) /0, 8 \approx 113, 1$ extra bekertjes bovenop het eerste: je hebt er 115 nodig om minstens 1 m te halen (114 geeft 99,9 cm, 115 geeft 100,7 cm). Die voorspelling is extrapolatie; ze klopt alleen als elk bekertje even diep in het vorige zakt.

Zo wordt dit beoordeeld

Metingen	Tien metingen, op dezelfde manier gemeten (bv. tot de bovenrand), met eenheid in de kop.
Grafiek	Assen met grootheid en eenheid, handige schaal, rechte trendlijn.
Besluit	Herkent dat de rechte niet door de oorsprong gaat; bepaalt de toename per bekertje; voorspelling gecontroleerd.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

4.13

Habitat: een dag in de meetkas

Uitdagen4Habitat45 min

Een eerste testversie van de meetkas logt om de twee uur de temperatuur in de kas en buiten, op een zonnige dag in april.

tijdstip (h)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
in de kas (°C)	9,5	8,6	7,9	7,7	11,0	20,5	28,5	32,0	27,5	19,5	13,5	11,0	9,8
buiten (°C)	8,5	7,6	6,9	6,6	8,6	12,3	15,4	17,3	17,9	16,0	12,6	10,3	8,8

a
Teken beide temperaturen in één grafiek. Kies een schaal (de temperatuur mag bij 0 °C beginnen) en verbind de punten per reeks. Zet een legenda.
Bijvoorbeeld 1 cm per 2 h horizontaal (0 tot 24 h op 12 cm) en 1 cm per 5 °C verticaal (0 tot 35 °C op 7 cm), of groter. Twee lijnen: de kas stijgt 's middags ver boven buiten uit.
b
Wanneer is het in de kas het warmst en het koudst? Hoe groot is het verschil tussen de hoogste en de laagste temperatuur in de kas? En buiten?
Kas: warmst om 14 uur (32,0 °C), koudst om 6 uur (7,7 °C); verschil 24,3 °C. Buiten: 17,9 °C om 16 uur, 6,6 °C om 6 uur; verschil 11,3 °C.
c
Bepaal door te interpoleren van wanneer tot wanneer het in de kas warmer is dan 30 °C.
Stijgend tussen 12 h (28,5 °C) en 14 h (32,0 °C): $1, 5/3, 5 \times 2 h \approx 0, 86 h$ , dus om ongeveer 12:51. Dalend tussen 14 h (32,0 °C) en 16 h (27,5 °C): $2, 0/4, 5 \times 2 h \approx 0, 89 h$ , dus om ongeveer 14:53. Ongeveer 2 uur boven 30 °C.
d
In het handboek staan metingen van dezelfde dag om het uur. Daarmee kom je uit op 12:36 tot 15:10. Waarom verschilt jouw antwoord? Welke is betrouwbaarder?
Met metingen om de twee uur interpoleer je met een rechte over twee uur, terwijl de temperatuur in die tijd niet gelijkmatig verandert (om 13 en 15 uur was het al boven 30 °C). Metingen om het uur liggen dichter bij elkaar: dat resultaat is betrouwbaarder.
e
Hoeveel warmer is de kas dan buiten om 14 uur en om 4 uur? Wat moet de meetkas overdag kunnen, en wat 's nachts?
Om 14 uur $32, 0 - 17, 3 = 14, 7$ °C, om 4 uur $7, 9 - 6, 9 = 1, 0$ °C. Overdag moet de kas warmte kwijt kunnen (dakraam, verluchting), 's nachts moet ze warmte vasthouden (isolatie, een watervat als buffer).
f
Portfolio: hoe vaak moet de sensor van de echte meetkas meten om de 30 °C-grens tot op 10 minuten te kennen? Noteer ook wat je in een tabel van één dag meten zet (kolommen met eenheden).
Rond 30 °C stijgt de temperatuur ongeveer 2,5 °C per uur, dus 10 minuten is ongeveer 0,4 °C: meten om de 10 minuten (of vaker) volstaat. Tabel: tijdstip (h:min) | $T$ kas (°C) | $T$ buiten (°C), eventueel licht (lux) en bodemvocht (%).

Zo wordt dit beoordeeld

Grafiek	Twee reeksen met legenda, assen met grootheid en eenheid, handige schaal, punten verbonden per reeks.
Aflezen	Maximum, minimum en verschillen juist; interpolatie van de 30 °C-grens uitgewerkt.
Kritisch	Legt uit waarom meer meetpunten een nauwkeuriger resultaat geven.
Ontwerp	Koppelt de grafiek aan verluchten overdag en isoleren 's nachts; meetfrequentie gemotiveerd.

4.14

Voorspellen met een trendlijn

Uitdagen3Analyseren20 min

Twintig leerlingen meten hun lengte en hun armspanwijdte (van vingertop tot vingertop, armen gespreid). Elk punt is één leerling.

Spreidingsdiagram van lengte en armspanwijdte.

a
Teken met een lat de best passende rechte door de puntenwolk.
Een rechte die ongeveer door (145; 145) en (180; 180) gaat, met ongeveer evenveel punten erboven als eronder.
b
Schat met je trendlijn de armspanwijdte van een leerling van 165 cm. Hoe zeker ben je? Kijk hoe ver de punten van de lijn liggen.
Ongeveer 165 cm. De punten liggen tot ongeveer 5 cm van de lijn: een individuele leerling kan dus enkele centimeters afwijken. Een trendlijn voorspelt een typische waarde, geen exacte.
c
Zijn lengte en armspanwijdte ongeveer recht evenredig? Wat is de constante ongeveer?
Ongeveer wel: de rechte gaat (verlengd) ongeveer door de oorsprong en spanwijdte / lengte is voor de meeste leerlingen ongeveer 1,0 (gemiddeld 1,00 voor deze groep).
d
Mag je met deze lijn de armspanwijdte van een baby van 50 cm voorspellen? En van een basketbalspeler van 2,10 m?
Nee. 50 cm en 2,10 m liggen ver buiten het meetbereik (146 tot 178 cm): extrapolatie. Een baby heeft andere lichaamsverhoudingen dan een tiener. Voor de basketbalspeler kan de lijn een ruwe schatting geven, maar zekerheid is er niet.
e
Een app 'leert' uit duizenden zulke punten om iemands lengte te schatten uit een foto van zijn arm. Welke fout uit deze opdracht kan die app ook maken?
Dezelfde extrapolatiefout: als de app alleen geleerd heeft van volwassenen, voorspelt hij slecht voor kinderen of voor mensen die anders zijn dan de voorbeelden. Een model is zo goed als de data waaruit het geleerd heeft.

4.15

Mag je hier extrapoleren?

Uitdagen4Argumenteren25 min

Vier uitspraken, telkens gebaseerd op extrapolatie. Bespreek ze in groepjes van drie en verdedig je oordeel met argumenten.

a
(a) 'Het pompje geeft 8,0 mL/s in een test van 30 s. In 10 minuten pompt het dus 4,8 L.'
$8, 0 \times 600 = 4800 mL = 4, 8 L$ . Verantwoord: een pompje werkt na 10 minuten op dezelfde manier als na 30 s, en het reservoir (24 L) raakt niet leeg. Wel nagaan of het pompje lang mag draaien.
b
(b) 'De tuinkers in de meetkas groeide 3 cm in 5 dagen. Na een jaar is ze dus meer dan 2 m hoog.'
0,6 cm per dag × 365 = 219 cm. Niet verantwoord: tuinkers groeit maar enkele weken, bloeit en sterft, en wordt nooit 2 m hoog. Groei vertraagt en stopt.
c
(c) 'Tussen 8 en 12 uur steeg de temperatuur in de kas van 11,0 °C tot 28,5 °C. Om 20 uur is het dus ruim 60 °C.'
$17, 5/4 = 4, 375$ °C per uur; $28, 5 + 8 \times 4, 375 = 63, 5$ °C. Niet verantwoord: de oorzaak van de stijging, de zon, verdwijnt in de namiddag. In werkelijkheid was het om 20 uur 13,5 °C.
d
(d) 'Voor zes voorwerpen van munt tot emmer is de omtrek 3,14 keer de diameter. De evenaar van de aarde, met een diameter van 12 756 km, is dus ongeveer 40 000 km lang.'
$3, 14 \times 12756 \approx 40050$ km. Verantwoord: $O = π \cdot d$ geldt voor elke cirkel, dat weten we uit de wiskunde. Gemeten omtrek van de evenaar: ongeveer 40 075 km.
e
Formuleer met je groep een regel: wanneer is extrapoleren verantwoord?
Extrapoleren is verantwoord als je weet waarom het verband bestaat en die reden buiten het meetbereik blijft gelden, en als niets anders verandert (leeg, koken, stoppen met groeien, zon onder). Hoe verder buiten het meetbereik, hoe voorzichtiger.

Zo wordt dit beoordeeld

Rekenwerk	De voorspelling van elke uitspraak nagerekend.
Argumenten	Per uitspraak een reden waarom het verband wel of niet blijft gelden.
Regel	Een algemene regel die de vier gevallen verklaart.

4.16

Onderzoek: hoe snel koelt thee af?

Uitdagen4Onderzoeken45 min

Een mok thee van ongeveer 85 °C koelt af in de klas. Daalt de temperatuur elke minuut met evenveel graden? Je hebt een thermometer, een stopwatch en een mok heet water.

a
Formuleer een onderzoeksvraag en een hypothese. Welke variabelen hou je gelijk?
Bv.: 'Hoe verandert de temperatuur van thee in een mok met de tijd?' Hypothese: 'eerst snel, dan trager dalen, omdat het verschil met de kamer kleiner wordt.' Gelijk: zelfde mok, hoeveelheid, plaats, geen deksel, geen roeren.
b
Meet 20 minuten lang elke minuut de temperatuur. Maak eerst de lege tabel.
Eigen metingen, bijvoorbeeld 85, 82, 80, 77, 75, 73 °C in de eerste vijf minuten, na 20 minuten rond 60 °C: de daling per minuut wordt kleiner.
c
Teken de grafiek. Verbind de punten niet, maar teken een vloeiende trendlijn.
Een kromme die eerst steil daalt en dan steeds vlakker wordt.
d
Daalt de temperatuur elke minuut evenveel? Is de grafiek een rechte? Wanneer daalt ze het snelst?
Nee: de daling per minuut wordt kleiner, de grafiek buigt af. De temperatuur daalt het snelst in het begin, als de thee het heetst is.
e
Voorspel de temperatuur na 60 minuten. Waarom kan je hier niet gewoon de lijn van de eerste minuten doortrekken? Welke temperatuur bereikt de thee uiteindelijk?
De thee kan niet kouder worden dan de lucht in de klas (ongeveer 20 °C): de kromme nadert die temperatuur. De lijn van de eerste minuten doortrekken zou na een uur een temperatuur ver onder 0 °C geven. Na 60 minuten is de thee typisch nog 30 à 40 °C, afhankelijk van de mok en de hoeveelheid. Een goed model voor afkoelen leer je in Expert (de afkoelingswet van Newton).

Zo wordt dit beoordeeld

Onderzoeksplan	Vraag, hypothese en gecontroleerde variabelen (zelfde mok, zelfde hoeveelheid, geen deksel, thermometer in het midden).
Metingen	Tabel met eenheden in de kop, regelmatig gemeten.
Grafiek	Assen correct, vloeiende kromme als trendlijn.
Besluit	Herkent dat de afkoeling vertraagt en dat de thee naar de kamertemperatuur gaat; extrapolatie kritisch.